Projektionen der Achsengeschwindigkeit. Bewegungsarten

Um Berechnungen von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen durchzuführen, ist es notwendig, vom Schreiben von Gleichungen in Vektorform auf das Schreiben von Gleichungen in algebraischer Form umzuschalten.

Die Vektoren der Anfangsgeschwindigkeit und -beschleunigung können unterschiedliche Richtungen haben, daher kann der Übergang von einer Vektordarstellung von Gleichungen zu einer algebraischen sehr mühsam sein.

Es ist bekannt, dass die Projektion der Summe zweier Vektoren auf eine beliebige Koordinatenachse gleich der Summe der Projektionen der Terme der Vektoren auf derselben Achse ist.

Geschwindigkeitsdiagramm

Aus der Gleichung daraus folgt, dass der Plot der Geschwindigkeitsprojektion gleichmäßig beschleunigte Bewegung von Zeit zu Zeit ist eine gerade Linie. Ist die Projektion der Anfangsgeschwindigkeit auf die OX-Achse Null, dann geht die Gerade durch den Ursprung.

Grundbewegungen

1. a n = 0, a t = 0- geradlinige gleichförmige Bewegung;

2. a n = 0, a t = const- geradlinige gleich-variable Bewegung;

3. und n = 0, a t ¹ 0 – geradlinig mit variabler Beschleunigung;

4. a n = konstant, a t = 0 - umlaufend gleichmäßig

5. a n = const, a t = const- entlang des Umfangs gleich variabel

6. a n const, a t ¹ const- krummlinig mit variabler Beschleunigung.

Drehbewegung fest.

Rotationsbewegung eines starren Körpers um eine feste Achse - eine Bewegung, bei der alle Punkte eines starren Körpers Kreise beschreiben, deren Mittelpunkte auf einer Geraden liegen, genannt Drehachse.

Gleichförmige Kreisbewegung

Betrachten Sie die einfachste Form Drehbewegung, und achten Sie besonders auf die Zentripetalbeschleunigung.

Bei gleichförmiger Bewegung entlang eines Kreises bleibt der Geschwindigkeitswert konstant und die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ändert sich während der Bewegung.

Die Ähnlichkeit der Dreiecke OAB und BCD impliziert

Ist das Zeitintervall ∆t klein, so ist auch der Winkel a klein. Bei kleinen Werten des Winkels a ist die Länge der Sehne AB ungefähr gleich der Länge des Bogens AB, d.h. ... weil ,, dann bekommen wir

Da bekommen wir dann

Zeitraum und Häufigkeit

Das Zeitintervall, in dem der Körper bei einer Kreisbewegung eine vollständige Umdrehung macht, heißt Umlaufzeiten (T). weil der umfang ist 2pR, die Umlaufdauer für eine gleichförmige Bewegung des Körpers mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius R gleich:

Der Kehrwert der Umlaufzeit heißt Frequenz. Die Frequenz gibt an, wie viele Umdrehungen der Körper pro Zeiteinheit im Kreis macht:

(s-1)

Rotationskinematik

Um die Drehrichtung anzugeben, wird kleinen Drehwinkeln eine Richtung zugeschrieben: entlang der Drehachse gerichtet, so dass die Drehung von ihrem Ende aus gesehen gegen den Uhrzeigersinn erfolgt (Regel der rechten Schraube). Wenn der Körper es tat n wendet sich:. Durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit:

Momentane Winkelgeschwindigkeit:

(12)

3.1. Gleichermaßen abwechselnde Bewegung in einer geraden Linie.

3.1.1. Gleichermaßen abwechselnde Bewegung in einer geraden Linie- Bewegung in gerader Linie mit konstanter Beschleunigung in Betrag und Richtung:

3.1.2. Beschleunigung () ist eine physikalische Vektorgröße, die angibt, wie stark sich die Geschwindigkeit in 1 s ändert.

In Vektorform:

Wo ist die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers, ist die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt T.

Auf die Achse projiziert Ochse:

wo ist die Projektion der Anfangsgeschwindigkeit auf die Achse Ochse, ist die Projektion der Körpergeschwindigkeit auf die Achse Ochse im Augenblick T.

Die Vorzeichen der Projektionen hängen von der Richtung der Vektoren und der Achse ab Ochse.

3.1.3. Beschleunigungs-Zeit-Projektionsdiagramm.

Bei gleicher Bewegung ist die Beschleunigung konstant, daher sind es gerade Linien parallel zur Zeitachse (siehe Abb.):

3.1.4. Geschwindigkeit bei gleicher Bewegung.

In Vektorform:

Auf die Achse projiziert Ochse:

Für gleichmäßig beschleunigte Bewegung:

Für gleichmäßige Zeitlupe:

3.1.5. Ein Diagramm der Projektion der Geschwindigkeit gegenüber der Zeit.

Der Graph der Projektion der Geschwindigkeit über die Zeit ist eine Gerade.

Bewegungsrichtung: Wenn der Graph (oder ein Teil davon) über der Zeitachse liegt, dann bewegt sich der Körper in die positive Richtung der Achse Ochse.

Beschleunigungswert: je größer die Steigungstangente (je steiler sie nach oben oder unten ansteigt), desto größer ist der Beschleunigungsmodul; wo ist die geschwindigkeitsänderung im laufe der zeit

Schnittpunkt mit der Zeitachse: Wenn der Graph die Zeitachse kreuzt, verlangsamte sich der Körper bis zum Schnittpunkt (gleichmäßige Zeitlupe) und begann nach dem Schnittpunkt in die entgegengesetzte Richtung zu beschleunigen (gleichmäßig beschleunigte Bewegung).

3.1.6. Geometrische Bedeutung Flächen unter der Grafik in Achsen

Fläche unter dem Diagramm auf Achse Oy die Geschwindigkeit ist aufgetragen und auf der Achse Ochse- Zeit ist der Weg, den der Körper zurücklegt.

In Abb. 3.5 ist der Fall gleichförmig beschleunigter Bewegung dargestellt. Der Weg entspricht in diesem Fall der Fläche des Trapezes: (3.9)

3.1.7. Pfadformeln

Gleichermaßen beschleunigte Bewegung	Gleiche Zeitlupe
(3.10)	(3.12)
(3.11)	(3.13)
(3.14)

Alle in der Tabelle dargestellten Formeln funktionieren nur, wenn die Bewegungsrichtung beibehalten wird, d. h. bis zum Schnittpunkt der Geraden mit der Zeitachse im Diagramm der Geschwindigkeitsprojektion über der Zeit.

Wenn die Kreuzung auftritt, lässt sich die Bewegung leichter in zwei Phasen aufteilen:

vor dem Überqueren (Bremsen):

Nach der Überfahrt (Beschleunigung, Bewegung in Gegenrichtung)

In den obigen Formeln - die Zeit vom Beginn der Bewegung bis zum Schnittpunkt mit der Zeitachse (Zeit bis zum Stopp), - der Weg, den der Körper vom Beginn der Bewegung bis zum Schnittpunkt mit der Zeitachse zurückgelegt hat, - die verstrichene Zeit vom Moment des Überquerens der Zeitachse bis von diesem Moment T, ist der Weg, den der Körper in der Zeit vom Überqueren der Zeitachse bis zum gegebenen Moment in die entgegengesetzte Richtung zurückgelegt hat T, ist der Modul des Verschiebungsvektors für die gesamte Bewegungszeit, L- der vom Körper während der gesamten Bewegung zurückgelegte Weg.

3.1.8. In einer Sekunde bewegen.

Während der Zeit wird der Körper den Weg passieren:

Während der Zeit wird der Körper den Weg passieren:

Dann wird der Körper im th-Intervall den Weg passieren:

Als Zeitraum kann ein beliebiger Zeitraum genommen werden. Meistens mit.

Dann, in 1 Sekunde, reist der Körper den Weg:

In der 2. Sekunde:

In der 3. Sekunde:

Wenn wir genau hinsehen, sehen wir das usw.

Damit kommen wir zu der Formel:

In Worten: Die Wege, die der Körper in aufeinanderfolgenden Zeitintervallen zurücklegt, beziehen sich als eine Reihe ungerader Zahlen aufeinander, und dies hängt nicht von der Beschleunigung ab, mit der sich der Körper bewegt. Wir betonen, dass diese Beziehung gilt für

3.1.9. Die Koordinatengleichung des Körpers mit gleicher Bewegung

Koordinatengleichung

Vorzeichen der Projektionen der Anfangsgeschwindigkeit und -beschleunigung hängen ab von gegenseitige Verfügung die entsprechenden Vektoren und die Achse Ochse.

Um Probleme zu lösen, muss die Gleichung zum Ändern der Projektion der Geschwindigkeit auf die Achse zur Gleichung hinzugefügt werden:

3.2. Diagramme der kinematischen Werte für gerade Bewegung

3.3. Körperfreier Fall

Freier Fall bedeutet das folgende physikalische Modell:

1) Der Sturz erfolgt unter dem Einfluss der Schwerkraft:

2) Es gibt keinen Luftwiderstand (manchmal schreiben sie "Luftwiderstand vernachlässigen" bei Problemen);

3) Alle Körper, unabhängig von der Masse, fallen mit der gleichen Beschleunigung (manchmal fügen sie hinzu - "unabhängig von der Form des Körpers", aber wir betrachten nur die Bewegung materieller Punkt, daher wird die Körperform nicht mehr berücksichtigt);

4) Die Beschleunigung des freien Falls ist streng nach unten gerichtet und auf der Erdoberfläche gleich (bei Problemen nehmen wir sie oft zur Vereinfachung der Berechnungen an);

3.3.1. Bewegungsgleichungen projiziert auf eine Achse Oy

Im Gegensatz zur Bewegung entlang einer horizontalen Geraden, wenn nicht alle Aufgaben die Bewegungsrichtung ändern, ist es beim freien Fall am besten, sofort die Gleichungen in Projektionen auf die Achse zu verwenden Oy.

Körperkoordinatengleichung:

Geschwindigkeitsprojektionsgleichung:

In der Regel ist es in Aufgaben bequem, die Achse auszuwählen Oy auf die folgende Weise:

Achse Oy senkrecht nach oben gerichtet;

Der Ursprung fällt mit dem Niveau der Erde oder dem tiefsten Punkt der Flugbahn zusammen.

Bei dieser Wahl werden die Gleichungen und in die folgende Form umgeschrieben:

3.4. Flugzeugbewegung Oxy.

Wir haben die Bewegung eines Körpers mit Beschleunigung entlang einer Geraden betrachtet. Die ebenso variable Bewegung ist jedoch nicht darauf beschränkt. Zum Beispiel ein Körper, der schräg zum Horizont geworfen wird. Bei solchen Aufgaben muss die Bewegung entlang zweier Achsen gleichzeitig berücksichtigt werden:

Oder in Vektorform:

Und die Projektion der Geschwindigkeit auf beide Achsen ändern:

3.5. Anwendung des Konzepts von Ableitung und Integral

Wir werden hier keine detaillierte Definition der Ableitung und des Integrals geben. Um Probleme zu lösen, brauchen wir nur einen kleinen Satz von Formeln.

Derivat:

wo EIN, B und das heißt, konstante Werte.

Integral:

Sehen wir uns nun an, wie das Konzept einer Ableitung und eines Integrals angewendet wird auf physikalische Quantitäten... In der Mathematik wird die Ableitung mit """ bezeichnet, in der Physik mit "∙" über die Funktion.

Geschwindigkeit:

das heißt, die Geschwindigkeit ist eine Ableitung des Radiusvektors.

Für Geschwindigkeitsprojektion:

Beschleunigung:

das heißt, die Beschleunigung ist eine Ableitung der Geschwindigkeit.

Für Beschleunigungsprojektion:

Wenn also das Bewegungsgesetz bekannt ist, können wir sowohl die Geschwindigkeit als auch die Beschleunigung des Körpers leicht bestimmen.

Jetzt verwenden wir den Begriff eines Integrals.

Geschwindigkeit:

das heißt, die Geschwindigkeit kann als Zeitintegral der Beschleunigung ermittelt werden.

Radiusvektor:

das heißt, der Radiusvektor kann durch das Integral der Geschwindigkeitsfunktion ermittelt werden.

Wenn die Funktion bekannt ist, können wir also leicht sowohl die Geschwindigkeit als auch das Bewegungsgesetz des Körpers bestimmen.

Konstanten in Formeln werden bestimmt aus Anfangsbedingungen- Werte und Zeit

3.6. Geschwindigkeitsdreieck und Wegdreieck

3.6.1. Geschwindigkeitsdreieck

In Vektorform für konstante Beschleunigung das Gesetz der Geschwindigkeitsvariation hat die Form (3.5):

Diese Formel bedeutet, dass der Vektor gleich der Vektorsumme der Vektoren ist und die Vektorsumme immer in der Abbildung dargestellt werden kann (siehe Abbildung).

In jeder Aufgabe hat das Geschwindigkeitsdreieck je nach den Bedingungen eine eigene Form. Diese Darstellung erlaubt die Verwendung geometrischer Überlegungen bei der Lösung, was die Lösung des Problems oft vereinfacht.

3.6.2. Verschiebungsdreieck

In Vektorform hat das Bewegungsgesetz bei konstanter Beschleunigung die Form:

Bei der Lösung des Problems können Sie auf bequemste Weise einen Bezugsrahmen auswählen. Daher können wir, ohne die Allgemeingültigkeit zu verlieren, einen Bezugsrahmen so wählen, dass der Ursprung des Koordinatensystems an dem Punkt liegt, an dem der Körper ist im ersten Moment. Dann

dh der Vektor ist gleich der Vektorsumme der Vektoren und wird in der Abbildung dargestellt (siehe Abbildung).

Wie im vorherigen Fall wird das Verschiebungsdreieck je nach den Bedingungen eine eigene Form haben. Diese Darstellung erlaubt die Verwendung geometrischer Überlegungen bei der Lösung, was die Lösung des Problems oft vereinfacht.

Graphen machen es möglich, die Abhängigkeit von Geschwindigkeit und Beschleunigung von der Zeit zu visualisieren, wenn sich ein Körper (Punkt) bewegt.
Modulplots und Beschleunigungsprojektionen
Wenn sich der Punkt mit konstanter Beschleunigung bewegt, sind die Kurven des Moduls und die Projektion der Beschleunigung gerade Linien parallel zur Zeitachse. Es ist zu beachten, dass der Modul ein nicht negativer Wert ist, sodass der Graph des Beschleunigungsmoduls nicht unterhalb der Zeitachse liegen kann (Abb. 1.50). Beschleunigungsprojektionen können positive und negative Werte haben (Abb. 1.51, a, b). Abbildung 1.51, b zeigt, dass die Beschleunigung konstant ist und der X-Achse entgegengerichtet ist.
Reis. 1,50

Ö
Auf der Grafik der Beschleunigungsprojektion finden Sie zusätzlich zu ah die Änderung der Geschwindigkeitsprojektion. Es ist numerisch gleich der Fläche des Rechtecks ​​OABS oder OKMN, da Avx = axt, und axt ist numerisch gleich der Fläche des Rechtecks ​​OABS oder OKMN.
Die Fläche wird mit Minuszeichen genommen, wenn sie unterhalb der Zeitachse liegt, was Abbildung 1.51, b entspricht, wobei Avx = axt
Ge(1.17.3) sind lineare Funktionen Zeit. Daher sind die Diagramme der Modul- und Geschwindigkeitsprojektionen gerade Linien. Abbildung 1.52 zeigt die Diagramme der Abhängigkeit des Geschwindigkeitsmoduls von der Zeit für drei Bewegungen mit konstanter Beschleunigung. Die Graphen 2 und 3 entsprechen Bewegungen, deren Module der Anfangsgeschwindigkeiten den Segmenten OA und OB entsprechen. Graph 1 entspricht einer Bewegung mit einem gleichmäßig ansteigenden Geschwindigkeitsmodul und einer Anfangsgeschwindigkeit gleich Null. Graph 3 entspricht einer Bewegung, wobei der Geschwindigkeitsmodul gleichförmig auf Null abfällt. Das OS-Segment ist numerisch gleich der Zeit der Bewegung des Punkts bis zum Stopp. Reis. 1,52
Ges
Geschwindigkeitsmodul-Graphen enthalten- / 1
Ö
Sammeln Sie weniger Informationen als die Geschwindigkeitsprojektionsdiagramme, da die ersten Diagramme nicht verwendet werden können, um die Bewegungsrichtung relativ zu zu beurteilen Koordinatenachsen.
Reis. 1,53
Abbildung 1.53 zeigt die Graphen 1, 2 der Projektionen der Geschwindigkeit von zwei Punkten. Beide haben eine Anfangsgeschwindigkeit von Null. Der erste Punkt rückt ein
positive Richtung der X-Achse, und da Avx> 0, dann a1x> 0. Der zweite Punkt bewegt sich entgegengesetzt zur X-Achse, da Avx Abbildung 1.54 zeigt auch die Graphen 1, 2 der Projektionen der Geschwindigkeit zweier Punkte. Sie haben beide den gleichen Anfangsgeschwindigkeitsprojektionswert, der dem Segment OA entspricht. Gemäß Graph 1 bewegt sich der Punkt in positiver Richtung der X-Achse, und der Modul und die Projektion der Geschwindigkeit nehmen gleichmäßig zu.
Gemäß Grafik 2 (siehe Abb. 1.54) bewegt sich der Punkt für eine bestimmte Zeit (Segment OB) in positiver Richtung der X-Achse (vx>0), wobei der Geschwindigkeitsprojektionswert gleichmäßig auf Null sinkt (Stopp). Danach wird die Projektion der Geschwindigkeit negativ; Dies bedeutet, dass der Punkt begann, sich in die entgegengesetzte Richtung der positiven Richtung der X-Achse zu bewegen.In diesem Fall nimmt die Projektion des Geschwindigkeitsmodulo und damit das Modul derGeschwindigkeit gleichmäßig zu. Die Projektion der Punktbeschleunigung ist negativ. Da die Projektion der Punktgeschwindigkeit gleichmäßig abnimmt, bleibt die Projektion der Beschleunigung konstant. Daher bewegt sich der Punkt mit konstanter Beschleunigung.
Die Diagramme von Geschwindigkeit und Beschleunigung gegen die Zeit bei konstanter Beschleunigung sind ziemlich einfach. Hier geht es vor allem darum, sich an das Bild von positiven und negativen Werten zu gewöhnen und die Diagramme von Modulen und Projektionen nicht zu verwechseln.
? 1. Zeigen Sie, dass der Neigungswinkel des Graphen der Projektion der Geschwindigkeit auf die Zeitachse umso größer ist, je größer der Modul der Projektion der Beschleunigung ist, dh die Projektion der Beschleunigung ist die Steigung der Geraden .
2. Abbildung 1.55 zeigt die Graphen 1, 2 der Projektionen der Geschwindigkeit von zwei Punkten. Beweisen Sie, dass die Graphen einer Bewegung mit Beschleunigung entsprechen, die sich sowohl im Absolutwert als auch in der Richtung nicht ändert.? Reis. 1.54 Abb. 1,55
Wie ändert sich die Geschwindigkeit eines Punktes, dessen Projektion als Funktion der Zeit durch die Gerade 1 dargestellt ist (siehe Abb. 1.55)? Was entsprechen die Segmente OC und OX>?
Wie hat sich die Geschwindigkeit des Punktes verändert (siehe Grafik 2 in Abbildung 1.55)? Was entspricht dem OS-Segment? Wo ist die Beschleunigung eines Punktes relativ zur XI-Achse?

Anweisungen

Ein gegebener Vektor allein sagt nichts über eine mathematische Beschreibung der Bewegung aus, daher wird er in Projektionen auf die Koordinatenachsen betrachtet. Es kann eine Koordinatenachse (Strahl), zwei (Ebene) oder drei (Raum) sein. Um die Projektionen zu finden, müssen Sie die Senkrechten von den Enden des Vektors auf der Achse ablegen.

Die Projektion ist wie ein "Schatten" des Vektors. Bewegt sich der Körper senkrecht zur betreffenden Achse, degeneriert die Projektion zu einem Punkt und hat den Wert Null. Bei paralleler Bewegung zur Koordinatenachse stimmt die Projektion mit dem Vektor überein. Und wenn sich der Körper so bewegt, dass sein Geschwindigkeitsvektor unter einem bestimmten Winkel φ zur x-Achse gerichtet ist, ist die Projektion auf die x-Achse ein Segment: V (x) = V cos (φ), wobei V die Modul. Die Projektion ist positiv, wenn die Richtung des Geschwindigkeitsvektors mit der positiven Richtung der Koordinatenachse übereinstimmt, und negativ im umgekehrten Fall.

Die Bewegung eines Punktes sei durch die Koordinatengleichungen gegeben: x = x (t), y = y (t), z = z (t). Dann haben die auf drei Achsen projizierten Geschwindigkeitsfunktionen die Form V (x) = dx / dt = x "(t), V (y) = dy / dt = y" (t), V (z) = dz / dt = z "(t), dh um die Geschwindigkeit zu finden, müssen Sie die Ableitungen nehmen. Der Geschwindigkeitsvektor selbst wird durch die Gleichung V = V (x) i + V (y) j + V . ausgedrückt (z) k, wobei i, j, k - Einheitsvektoren der Koordinatenachsen x, y, z.Der Geschwindigkeitsmodul kann nach der Formel berechnet werden V = √ (V (x) ^ 2 + V (y) ^ 2 + V (z) ^ 2).