Arten von Graphen und ihrer Formeln. Lineare Funktion

Die Länge des Segments auf der Koordinatenachse ist von der Formel:

Die Länge des Segments auf der Koordinatenebene wird von der Formel durchsucht:

Um die Länge des Segments im dreidimensionalen Koordinatensystem zu finden, wird die folgende Formel verwendet:

Die Koordinaten der Mitte des Segments (für die Koordinatenachse, nur die erste Formel wird für die Koordinatenebene verwendet - die ersten beiden Formeln für das dreidimensionale Koordinatensystem - alle drei Formeln) werden durch Formeln berechnet:

Funktion - Dies ist eine passende Form y.= f.(x.) Zwischen den Variablen, je nachdem, wodurch jeder Wert eines bestimmten variablen Werts betrachtet wird x. (Argument oder unabhängige Variable) entspricht einem bestimmten Wert eines anderen variablen Werts, y. (abhängige Variable, manchmal wird dieser Wert einfach als Wert der Funktion bezeichnet). Beachten Sie, dass die Funktion den Wert eines Arguments impliziert h. Nur ein Wert der abhängigen Variablen kann entsprechen. w.. In diesem Fall derselbe Wert w. kann mit verschiedenen erhalten werden h..

Funktionsdefinitionsbereich. - Dies sind alle Werte einer unabhängigen Variablen (normalerweise Funktionsargument) h.), in dem die Funktion bestimmt ist, d. H. Sein Wert existiert. Bezeichnet den Definitionsbereich D.(y.). Mit und groß sind Sie mit diesem Konzept bereits vertraut. Die Funktion der Bestimmung der Funktion wird als Bereich von zulässigen Werten oder dem OTZ bezeichnet, das Sie längst finden konnten.

Funktionswertebereich - Dies sind alle möglichen Werte der abhängigen Variablen dieser Funktion. Bezeichnet E.(w.).

Die Funktion nimmt zu In dem Intervall, auf dem der höhere Wert des Arguments dem höheren Wert der Funktion entspricht. Funktion nimmt ab In dem Intervall, auf dem der höhere Wert des Arguments dem geringeren Wert der Funktion entspricht.

Intervalle der Symbolfunktion - Dies sind die Intervalle einer unabhängigen Variablen, auf der die abhängige Variable sein positives oder negatives Zeichen behält.

Nullfunktion. - Dies sind die Werte des Arguments, in denen der Wert der Funktion Null ist. Zu diesen Punkten zeitplanfunktion Die Abszisse-Achse kreuzt (oh). Sehr oft bedeutet das Bedürfnis, Nullen von Funktionen zu finden, müssen die Bedürfnisse einfach die Gleichung lösen. Oft ist es oft notwendig, die Intervalle des allen Wahlens zu finden, bedeutet, dass die Ungleichheit einfach gelöst werden müssen.

Funktion y. = f.(x.) Anruf sogar h.

Dies bedeutet, dass für alle entgegengesetzten Werte des Arguments die Werte der gleichmäßigen Funktion gleich sind. Der Zeitplan einer ganzzahligen Funktion ist immer symmetrisch um die Achse der Ordinate OU.

Funktion y. = f.(x.) Anruf seltsamWenn es auf einem symmetrischen Satz und für jeden definiert ist h. Gleichheit wird aus dem Definitionsbereich ausgeführt:

Dies bedeutet, dass für alle entgegengesetzten Werte des Arguments die Werte der ungeraden Funktion auch entgegengesetzt sind. Der Graph der ungeraden Funktion ist am Anfang der Koordinaten immer symmetrisch.

Die Summe der Wurzeln intelligenter und ungerade Funktionen (Kreuzungspunkte der Abszisse-Achse OH) ist immer Null, weil Für jede positive Wurzel h. Es gibt eine negative Wurzel - h..

Es ist wichtig zu beachten: Eine Funktion sollte nicht unbedingt sogar ungerade sein. Es gibt viele Funktionen, die nicht einmal ungerade sind. Solche Funktionen werden aufgerufen funktionen allgemeine Ansicht , Und für sie werden keine der Gleichungen oder Eigenschaften der oben genannten durchgeführt.

Lineare Funktion Rufen Sie eine Funktion an, die von der Formel angegeben werden kann:

Der Graph der linearen Funktion ist direkt und im allgemeinen Fall ist wie folgt (ein Beispiel ist für den Fall gegeben, wann k. \u003e 0, in diesem Fall nimmt die Funktion zu; Für Fall k. < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Zeitplan einer quadratischen Funktion (Parabola)

Das Parabola-Diagramm wird von einer quadratischen Funktion eingestellt:

Die quadratische Funktion kreuzt wie jede andere Funktion die Achse oh an seinen Wurzeln: ( x. einer ; 0) und ( x. 2; 0). Wenn es keine Wurzeln gibt, bedeutet dies, dass die quadratische Funktion der Achse OH nicht kreuzt, wenn die Wurzel eins ist, dann an diesem Punkt ( x. 0; 0) Die quadratische Funktion gilt nur für die Achse oh, sondern überquert nicht. Die quadratische Funktion kreuzt immer die Oy-Achse an der Stelle mit Koordinaten: (0; c.). Zeitplan quadratische Funktion (Parabola) kann so aussehen (in den Beispielbeispielen, die weit davon entfernt sind, alle möglichen Arten von Parabola erschöpft):

Dabei:

wenn der Koeffizient. eIN. \u003e 0, in der Funktion y. = aXT. 2 + bx. + c., dann sind die Parabola-Zweige gerichtet;
wenn eIN. < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Die Koordinaten der Pearabol-Scheitelpunkte können gemäß den folgenden Formeln berechnet werden. Iks Verhaina. (p. - In den obigen Zahlen) der Parabola (oder der Punkt, in dem das Quadrat drei abnimmt, erreicht seinen größten oder kleinsten Wert):

Cheerververa. (q - in den obigen Zahlen) Parabola oder maximal, wenn die Parabola-Zweige nach unten gerichtet sind ( eIN. < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (eIN. \u003e 0), Wert quadratischer Dreischuh:

Zeitpläne anderer Funktionen

Stromfunktion

Hier einige Beispiele für Grafiken von Leistungsfunktionen:

Umgekehrt proportionale Abhängigkeit. Die von der Formel angegebene Funktion genannt:

Abhängig von der Anzahl der Zahlen k. Zeitplan zurück proportionale Abhängigkeit Kann zwei grundlegende Optionen haben:

Asymptote - Dies ist die Linie, auf die die Funktion des Funktionsgraphen unendlich schließen lässt, jedoch nicht kreuzt. Asymptotes für die Diagramme der inversen Verhältnismäßigkeit des oben genannten in der Figur sind die Achsen der Koordinaten, an denen der Funktionsgraph unendlich schließen, aber sie kreuzt sie nicht.

Anzeigefunktion. Mit der Basis aber Die von der Formel angegebene Funktion genannt:

eIN. Der Grafik der indikativen Funktion kann zwei grundlegende Optionen aufweisen (wir geben auch Beispiele an, siehe unten):

Logarithmische Funktion. Die von der Formel angegebene Funktion genannt:

Abhängig von der größeren oder weniger Einheitennummer eIN. Zeitplan logarithmische Funktion. Kann zwei grundlegende Optionen haben:

Zeitplanfunktion y. = |x.| wie folgt:

Periodische Grafiken (trigonometrische) Funktionen

Funktion w. = f.(x.) Namens periodischWenn es eine ungleiche Null gibt, ist die Anzahl T.Was. f.(x. + T.) = f.(x.), für jeden h. Aus der Funktion der Bestimmung der Funktion f.(x.). Wenn die Funktion f.(x.) ist periodisch mit einem Zeitraum T., funktionieren dann:

wo: EIN., k., b. - konstante Zahlen und k. nicht gleich Null, auch periodisch mit einer Periode T. 1, das von der Formel bestimmt wird:

Die meisten Beispiele für periodische Funktionen sind trigonometrische Funktionen. Wir geben Diagramme der wichtigsten trigonometrischen Funktionen an. Die folgende Abbildung zeigt einen Teil des Funktionszeitplans. y. \u003d Sünde x. (Der gesamte Zeitplan ist unbegrenzt nach links und rechts), der Grafik der Funktion y. \u003d Sünde x. Anruf sinusförmig:

Zeitplanfunktion y. \u003d Cos. x. namens kosinusoido.. Dieser Zeitplan ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Seit dem Sinus-Diagramm geht er kontinuierlich entlang der Achse oh links und rechts:

Zeitplanfunktion y. \u003d Tg. x. Anruf tangentooid. Dieser Zeitplan ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Wie Grafiken anderer periodischer Funktionen ist dieser Zeitplan weit entfernt entlang der Achse oh links und rechts.

Nun, endlich den Graph der Funktion y. \u003d CTG. x. namens kothanzoidoy. Dieser Zeitplan ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Wie Grafiken anderer periodischer und trigonometrischer Funktionen wird dieses Diagramm unbegrenzt entlang der Achse oh links und rechts wiederholt.

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Universität der nationalen Forschung

Abteilung angewandte Geologie.

Zusammenfassung von höherer Mathematik

Zum Thema: "Die wichtigsten Elementarfunktionen,

ihre Eigenschaften und Charts "

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Definition. Die von der Formel Y \u003d A x angegebene Funktion (wobei A\u003e 0, a ≠ 1) als indikative Funktion mit der Basis A bezeichnet wird.

Wir formulieren die wichtigsten Eigenschaften der Anzeigenfunktion:

1. Der Definitionsbereich ist ein Set (R) aller gültigen Nummern.

2. Der Wertebereich ist ein Set (R +) aller positiven gültigen Zahlen.

3. Wenn A\u003e 1 ist, nimmt die Funktion auf der gesamten numerischen Zeile zu; um 0.<а<1 функция убывает.

4. Es ist eine gemeinsame Funktion.

, auf dem Intervall xî [-3; 3], auf dem Intervall xî [-3; 3]

Die Funktion des Formulars in (X) \u003d X n, wobei n die Anzahl der ÎR ist, wird als Leistungsfunktion bezeichnet. Die Zahl n kann Rassenwerte erstellen: sowohl als auch Fraktion, sowohl als auch ungerade. Je nachdem hat die Leistungsfunktion ein anderes Erscheinungsbild. Berücksichtigen Sie private Fälle, die leistungsstarke Funktionen sind, und spiegeln die grundlegenden Eigenschaften dieser Kurvenart in der folgenden Reihenfolge wider: die Leistungsfunktion y \u003d X² (Funktion mit einem gleichmäßigen Grad-Rate - Parabola), der Leistungsfunktion y \u003d x³ (Funktion mit einem ungeraden Indikator für den Grad - Cubic Parabola) und die Funktion y \u003d √h (x bis zum Grad ½) (Funktion mit fraktionierter Anzeige), einer Funktion mit einer negativen Ganzzahl (Hyperbole).

Stromfunktion y \u003d x ²

1. D (X) \u003d R - Die Funktion ist auf einer numerischen Achse definiert;

2. E (y) \u003d und erhöht sich im Intervall

Stromfunktion y \u003d x³.

1. Der Graph der Funktion y \u003d x³ wird als kubischer Parabola bezeichnet. Die Leistungsfunktion y \u003d x³ hat die folgenden Eigenschaften:

2. D (X) \u003d R - Die Funktion ist auf einer numerischen Achse definiert;

3. E (y) \u003d (- ∞; ∞) - Die Funktion nimmt alle Werte in seinem Definitionsbereich an;

4. Bei x \u003d 0 y \u003d 0 - Die Funktion durchläuft den Ursprung der Koordinaten O (0; 0).

5. Die Funktion erhöht sich im gesamten Definitionsbereich.

6. Die Funktion ist ungerade (symmetrisch zum Start von Koordinaten).

, auf dem Intervall xî [-3; 3]

Je nach dem numerischen Faktor zugewandt x ³ kann die Funktion steil / Baldachin sein und erhöhen / abnehmen.

Stromfunktion mit einem ganzen negativen Indikator:

Wenn der Indikator des Grades n ein ungerade ist, wird der Graph einer solchen Leistungsfunktion Hyperbole bezeichnet. Die leistungsstarke Funktion mit einem ganzen negativen Grad-Indikator hat folgende Eigenschaften:

1. d (x) \u003d (- ∞; 0) u (0; ∞) für jeden n;

2. E (y) \u003d (- ∞; 0) u (0; ∞), wenn n eine ungerade Zahl ist; E (y) \u003d (0; ∞), wenn n eine gerade Zahl ist;

3. Die Funktion nimmt den gesamten Definitionsbereich ab, wenn n eine ungerade Zahl ist; Die Funktion erhöht sich auf dem Intervall (-∞; 0) und nimmt auf dem Intervall ab (0; ∞), wenn n eine gerade Zahl ist.

4. Die Funktion ist ein ungerade (symmetrisches Relativ zum Ursprung), wenn n eine ungerade Zahl ist; Die Funktion ist auch wenn n eine gerade Zahl ist.

5. Die Funktion übergibt Punkte (1; 1) und (-1; -1), wenn n eine ungerade Anzahl und durch Punkte (1; 1) und (-1; 1) ist, wenn n eine gerade Zahl ist.

, auf dem Intervall xî [-3; 3]

Stromfunktion mit fraktionierter Anzeige

Die leistungsstarke Funktion mit dem fraktionalen Indikator des Formulars (Bild) hat ein Diagramm der in der Figur dargestellten Funktion. Die leistungsstarke Funktion mit dem fraktionalen Indikator hat folgende Eigenschaften: (Bild)

1. d (x) îr, wenn n eine ungerade Anzahl und d (x) \u003d, auf dem xî-Intervall, auf dem X-Intervall [-3; 3] ist

Die logarithmische Funktion y \u003d log a x hat die folgenden Eigenschaften:

1. Der Definitionsbereich D (x) î (0; + ∞).

2. Der Bereich der Werte von E (y) î (- ∞; + ∞)

3. Die Funktion ist weder noch eine ungerade (allgemeine Form).

4. Die Funktion erhöht sich am Intervall (0; + ∞) an einem\u003e 1, nimmt auf (0; + ∞) bei 0 ab< а < 1.

Der Graph der Funktion y \u003d log A x kann aus dem Graph der Funktion Y \u003d A x mit der Symmetrieumwandlung relativ zum direkten y \u003d x erhalten werden. Fig. 9 ein Diagramm einer logarithmischen Funktion für A\u003e 1 und in Abbildung 10 erstellt - für 0< a < 1.

; auf dem XO-Intervall; Im Intervall xî

Die Funktionen y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x werden trigonometrische Funktionen bezeichnet.

Funktionen y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x ist ungerade, und die Funktion y \u003d Gelenke ist sogar.

Funktion y \u003d sin (x).

1. Der Definitionsbereich d (x) îr.

2. Der Bereich der Werte von E (y) Î [- 1; einer].

3. Funktion periodisch; Die Hauptperiode ist 2π.

4. Die Funktionen sind ungerade.

5. Die Funktion erhöht sich in Intervallen [-π / 2 + 2πn; π / 2 + 2πn] und verringert sich in Intervallen [π / 2 + 2πn; 3π / 2 + 2πn], n î z.

Der Graph der Funktion y \u003d sin (x) ist in Fig. 11 dargestellt.

Die Untersuchung der Eigenschaften der Funktionen und ihrer Grafiken belegt einen wichtigen Ort wie in schulmathematik.und nachfolgende Kurse. Darüber hinaus nicht nur in Kursen der mathematischen und funktionalen Analyse und nicht nur in anderen Abschnitten höherer Mathematik, sondern auch in den meisten engen professionellen Gegenständen. Beispielsweise in der Wirtschaft - die Funktionen des Versorgungsunternehmens, der Kosten, der Nachfragefunktionen, des Angebots und des Verbrauchs ..., in Funktechnik - Steuerungsfunktionen und Antwortfunktionen in Statistiken - Verteilungsfunktionen ... Um das weitere Studium der Sonderfunktionen zu erleichtern, Sie müssen lernen, die Elementargraphenfunktionen frei zu bedienen. Dazu werden wir nach dem Studieren der nächsten Tabelle empfohlen, die "Konformation von Funktionsdiagramms" -Link übergeben.

IM schulkurs Mathematik werden durch das Folgende untersucht
elementare Funktionen.

Funktionsname	Formelfunktion.	Grafischer Name	Kommentar
Linear	y \u003d kx.	Gerade	Der einfachste private Fall der linearen Abhängigkeit ist die direkte Verhältnismäßigkeit. y \u003d kx.wo k. ≠ 0 - Proportionalitätskoeffizient. Auf dem Bild ein Beispiel für k. \u003d 1, d. H. In der Tat veranschaulicht das gegebene Graph eine funktionale Abhängigkeit, die die Gleichheit des Werts des Funktionswerts des Arguments angibt.
Linear	y. = kx. + b.	Gerade	Allgemeine lineare Abhängigkeit: Koeffizienten k. und b. - beliebige gültige Zahlen. Hier k. = 0.5, b. = -1.
Quadratisch	y \u003d x. 2	Parabel	Der einfachste Fall einer quadratischen Abhängigkeit ist ein symmetrischer Parabola mit einem Scheitelpunkt zu Beginn der Koordinaten.
Quadratisch	y \u003d Axt. 2 + bx. + c.	Parabel	Allgemeiner Fall der quadratischen Abhängigkeit: Koeffizient eIN. - Eine beliebige gültige Zahl ist nicht Null ( eIN. gehört r, eIN. ≠ 0), b., c. - beliebige gültige Zahlen.
Leistung	y \u003d x. 3	Kubische Parabola	Der einfachste Fall für einen ungeraden Grad. Fälle mit Koeffizienten werden in der "Bewegung von Funktionsgraphen" untersucht.
Leistung	y \u003d x. 1/2	Zeitplanfunktion y. = √x.	Der einfachste Fall für den fraktionalen Grad ( x. 1/2 = √x.). Fälle mit Koeffizienten werden in der "Bewegung von Funktionsgraphen" untersucht.
Leistung	y \u003d k / x	Hyperbel	Der einfachste Fall für einen kurzen Grad ( 1 / x \u003d x -1) - Back-proportionale Abhängigkeit. Hier k. = 1.

Indikativ	y. = eX.	Aussteller	Eine exponentielle Abhängigkeit wird als indikative Funktion für die Stiftung bezeichnet. e. - Irrationale Anzahl von ungefähr gleich 2.7182818284590 ...
Indikativ	y \u003d A x	Diagrammanzeigefunktion.	eIN. \u003e 0 I. eIN. eIN.. Hier ist ein Beispiel für y \u003d 2 x (eIN. = 2 > 1).
Indikativ	y \u003d A x	Diagrammanzeigefunktion.	Exponentialfunktion Definiert für eIN. \u003e 0 I. eIN. ≠ 1. Fun-Grafiken hängen wesentlich vom Wert des Parameters ab eIN.. Hier ist ein Beispiel für y \u003d 0,5 x (eIN. = 1/2 < 1).
Logarithmisch	y. \u003d ln. x.		Graph-Logo-Funktion für Basis e. (natürlicher Logarithmus.) Manchmal als Logarithmics genannt.
Logarithmisch	y. \u003d Log. Ein x	Zeitplan logarithmische Funktion.	Logarithmen sind für definiert für eIN. \u003e 0 I. eIN. ≠ 1. Fun-Grafiken hängen wesentlich vom Wert des Parameters ab eIN.. Hier ist ein Beispiel für y. \u003d log 2. x. (eIN. = 2 > 1).
Logarithmisch	y \u003d log. Ein x	Zeitplan logarithmische Funktion.	Logarithmen sind für definiert für eIN. \u003e 0 I. eIN. ≠ 1. Fun-Grafiken hängen wesentlich vom Wert des Parameters ab eIN.. Hier ist ein Beispiel für y. \u003d log 0,5 x. (eIN. = 1/2 < 1).
Sinus	y. \u003d Sünde x.	Sinusförmig	Trigonometrische Funktionshöhlen. Fälle mit Koeffizienten werden in der "Bewegung von Funktionsgraphen" untersucht.
Kosinus	y. \u003d Cos. x.	Kosinusoid	Trigonometrische Cosinus-Funktion. Fälle mit Koeffizienten werden in der "Bewegung von Funktionsgraphen" untersucht.
Tangente	y. \u003d Tg. x.	Tangentooid	Trigonometrische Funktion Tangente. Fälle mit Koeffizienten werden in der "Bewegung von Funktionsgraphen" untersucht.
Kotangens	y. \u003d CTG. x.	Kotänsoid	Trigonometrische Cotangen-Funktion. Fälle mit Koeffizienten werden in der "Bewegung von Funktionsgraphen" untersucht.

Inverse trigonometrische Funktionen.

Funktionsname	Formelfunktion.	Zeitplanfunktion	Grafischer Name

Mit der Aufgabe, einen Zeitplan zu bauen, ist das Schulkind von Schulkinder zu Beginn des Studiums von Algebra und bauen sie weiterhin von Jahr zu Jahr auf. Ausgehend von der Grafiken einer linearen Funktion, um aufzubauen, mit denen Sie nur zwei Punkte erfahren müssen, in Parabola, für die Sie bereits 6 Punkte, Hyperbola und Sinus benötigen. Funktionen werden jedes Jahr zunehmend schwieriger und der Aufbau ihrer Diagramme ist nicht mehr durch die Vorlage möglich, es ist notwendig, komplexere Studien unter Verwendung von Derivaten und Grenzen auszuführen.

Lassen Sie uns herausfinden, wie Sie ein Diagramm einer Funktion finden? Beginnen wir damit mit den einfachsten Funktionen, deren Diagramme von Punkten gebaut werden und den Plan für das Bauen mehr in Betracht ziehen komplexe Funktionen.

Erstellen einer linearen Funktionsgrafik

Verwenden Sie zum Erstellen einfacher Diagramme die Tabellenwerte Tabelle. Der Graph der linearen Funktion ist gerade. Versuchen wir, die Zeitplanpunkte der Funktion y \u003d 4x + 5 zu finden.

Dafür nehmen wir zwei willkürliche Werte der Variablen X, wir ersetzen sie abwechselnd in die Funktion, wir finden den Wert der Variablen Y und bringen alles in den Tisch.
Nehmen Sie den Wert x \u003d 0 und wir ersetzen anstelle von x - 0. Wir erhalten: y \u003d 4 * 0 + 5, das heißt, y \u003d 5 diesen Wert in einen Tisch unter 0. In ähnlicher Weise nehmen wir x \u003d 0 Holen Sie sich y \u003d 4 * 1 + 5, y \u003d 9.
Um ein Diagramm einer Funktion aufzubauen, müssen Sie sich auf die Koordinatenebene dieser Punkte anwenden. Dann müssen Sie direkt verbringen.

Bau eines Diagramms einer quadratischen Funktion

Die quadratische Funktion ist die Funktion des Formulars Y \u003d AX 2 + BX + C, wo die X-Variable, A, B, C - die Zahlen (A nicht 0 ist). Zum Beispiel: y \u003d x 2, y \u003d x 2 +5, y \u003d (x-3) 2, y \u003d 2x 2 + 3x + 5.

So konstruieren Sie die einfache quadratische Funktion y \u003d x 2, 5-7 Punkte werden in der Regel genommen. Nehmen Sie die Werte für die Variable X: -2, -1, 0, 1, 2 ein und finden Sie die Werte von Y sowie beim Erstellen einer ersten Grafik.

Der Graph der quadratischen Funktion heißt Parabola. Nach dem Bau von Diagrammen haben die Schüler neue Herausforderungen, die mit dem Zeitplan verbunden sind.

Beispiel 1: Finden Sie die Abszündung der Funktion der Funktion der Funktion y \u003d x 2, wenn die Ordinate 9 ist. Um das Problem zu lösen, müssen Sie ihn in der Funktion anstelle von Y ersetzen, um seinen Wert zu ersetzen. Wir erhalten Sie 9 \u003d x 2 und lösen Sie diese Gleichung. x \u003d 3 und x \u003d -3. Dies ist in der Grafik der Funktion zu sehen.

Forschungsfunktion und den Bau seines Zeitplans

Um Diagramme komplexerer Funktionen zu erstellen, müssen Sie mehrere Schritte ausführen, die darauf abzielen, sie zu studieren. Dafür brauchen Sie:

Finden Sie den Bereich Funktionsdefinitionsbereich. Der Definitionsbereich ist alle Werte, die die Variable x annehmen können. Aus dem Definitionsbereich sollten Sie die Punkte ausschließen, in denen sich der Nenner auf 0 verweist, oder der Fütterungsausdruck wird negativ.
Parität oder ungerade Funktion einstellen. Erinnern Sie sich, dass das auch die Funktion ist, die der Bedingung f (-x) \u003d f (x) erfüllt. Sein Diagramm ist symmetrisch über OU. Die Funktion ist ungerade, wenn es auf den Zustand f (-x) \u003d - f (x) erfüllt. In diesem Fall ist der Graphen am Beginn der Koordinaten symmetrisch.
Finden Sie die Kreuzungspunkte mit den Koordinatenachsen. Um die Abszisse der Kreuzungspunkte mit der Achse oh zu finden, ist es notwendig, die Gleichung F (x) \u003d 0 zu lösen (die Ordinate ist gleich 0). Um die Zählpunktordinate mit der OU-Achse zu finden, ist es notwendig, 0 (die Abszisse 0) in der Funktion anstelle der Variablen x zu ersetzen.
Finden Sie Asymptotes-Funktionen. Asipstota ist gerade, zu dem der Zeitplan unendlich nähert, aber niemals überqueren. Lassen Sie uns herausfinden, wie Sie Asymptotes-Graph-Grafiken finden.
- Vertikale Asymptota-Direkte Spezies x \u003d a
- Horizontale asymptota - direkte Arten y \u003d a
- Geneigt asymptota - Direktansicht y \u003d kx + b
Finden Sie die Punkte der Extremumfunktionen, Lücken der zunehmenden und absteigenden Funktion. Finden Sie die Punkte der Extremum-Funktion. Dazu ist es notwendig, das erste Derivat zu finden und um 0 zu gleichsetzen. Es ist an diesen Punkten, dass sich die Funktion mit zunehmendem Abnehmen ändern kann. Bestimmen Sie das Vorzeichen des Derivats in jedem Intervall. Wenn das Derivat positiv ist, steigt der Funktionszeitraum, wenn negativ - abnimmt.
Finden Sie Punkte bei der Fieberung der Grafik der Funktion, die Intervalle der Wölbung auf und ab.

Die Suche nach den Wendepunkten ist jetzt einfacher als einfacher. Es ist nur notwendig, das zweite Derivat zu finden, und gleichsetzen Sie es dann auf Null. Nach dem Zeichen des zweiten Derivats in jedem Intervall. Wenn positiv, dann ist der Graph der Funktion konvex, wenn negativ ist.

Die lineare Funktion wird als Funktion des Formulars Y \u003d KX + B bezeichnet, wobei die x-unabhängige Variable, K und B-beliebige Zahlen.
Der Graph der linearen Funktion ist gerade.

1. So fügen Sie einen Funktionszeitplan hinzu, Wir brauchen die Koordinaten von zwei Punkten, die zu den Grafiken der Funktion gehören. Um sie zu finden, müssen Sie zwei Werte x nehmen, sie der Funktionsgleichung ersetzen und die entsprechenden Werte von Y berechnen.

Um beispielsweise ein Diagramm der Funktion Y \u003d X + 2 aufzubauen, ist es zweckmäßig, x \u003d 0 und x \u003d 3 zu nehmen, dann sind die Ordner dieser Punkte gleich y \u003d 2 und y \u003d 3. Wir erhalten Punkte A (0; 2) und in (3; 3). Verbinden Sie sie mit und erhalten Sie den Graph der Funktion y \u003d x + 2:

2. In der Formel y \u003d kx + b wird die Zahl K als Verhältnismäßigkeitskoeffizient bezeichnet:
Wenn k\u003e 0, dann die Funktion y \u003d kx + b erhöht
Wenn K.
Der Koeffizient B zeigt die Verschiebung des Funktionsplans entlang der OY-Achse:
Wenn b\u003e 0, dann wird die Funktion der Funktion y \u003d kx + b aus dem Graphen der Funktion \u003d KX-Verschiebung in B-Einheiten entlang der OY-Achse erhalten
Wenn B.
Abbildung unten zeigt die Diagramme der Funktionen y \u003d 2x + 3; y \u003d ½ x + 3; y \u003d x + 3

Beachten Sie, dass in all diesen Funktionen der Koeffizient K Über Null, und Funktionen sind zunehmen. Darüber hinaus ist der Wert der Wert K, desto größer der Neigungswinkel direkt auf die positive Richtung der Ochsenachse.

In allen Funktionen B \u003d 3 - und wir sehen, dass alle Grafiken die Oy-Achse an der Stelle (0; 3) überqueren

Betrachten Sie nun Diagramme der Funktionen y \u003d -2x + 3; y \u003d - ½ x + 3; y \u003d -x + 3

Diesmal in allen Funktionen des K-Koeffizienten weniger als Null und Funktionen verringern. Der Koeffizient B \u003d 3 und Grafiken sowie im vorherigen Fall schneiden die Oy-Achse an der Stelle (0; 3) an.

Betrachten Sie Grafiken der Funktionen y \u003d 2x + 3; y \u003d 2x; Y \u003d 2x-3

Nun in allen Funktionengleichungen sind die Koeffizienten K gleich 2. und wir haben drei parallel gerade.

Aber B-Koeffizienten sind unterschiedlich, und diese Graphen überqueren die Oy-Achse an verschiedenen Punkten:
Der Graph der Funktion y \u003d 2x + 3 (B \u003d 3) kreuzt die Oy-Achse an der Stelle (0; 3)
Der Graph der Funktion y \u003d 2x (B \u003d 0) kreuzt die Oy-Achse an der Stelle (0; 0) - der Beginn der Koordinaten.
Der Graph der Funktion Y \u003d 2X-3 (B \u003d -3) kreuzt die Oy-Achse an der Stelle (0;--3).

Wenn wir also die Anzeichen der K- und B-Koeffizienten kennen, können wir uns sofort vorstellen, wie sich der Graph der Funktion y \u003d kx + b aussieht.
Wenn ein k 0.

Wenn ein k\u003e 0 und b\u003e 0 , dann ist der Graph der Funktion y \u003d kx + b:

Wenn ein k\u003e 0 und b , dann ist der Graph der Funktion y \u003d kx + b:

Wenn ein k, dann hat die Funktion der Funktion y \u003d kx + b das Formular:

Wenn ein k \u003d 0. Die Funktion y \u003d kX + b verwandelt sich in die y \u003d b-Funktion und ihre Grafik ist:

Die Ordner aller Punkte der Graph-Funktion y \u003d B sind gleich B, wenn b \u003d 0. , dann führt der Diagramm der Funktion y \u003d kx (direkte Proportionalität) durch den Ursprung der Koordinate:

3. Separat notieren wir den Graphen der Gleichung x \u003d a. Der Graph dieser Gleichung ist eine gerade Linie, parallele Achse, die alle Punkte die Abszisse x \u003d a haben.

Zum Beispiel sieht der Graph der Gleichung x \u003d 3 so aus:
Beachtung! Gleichung X \u003d A ist keine Funktion, sodass ein Wert des Arguments erfüllt wird verschiedene Werte Funktionen, die nicht der Definition der Funktion entsprechen.

4. Der Zustand der Parallelität von zwei geraden Linien:

Zeitplan der Funktion Y \u003d K 1 x + B 1 Parallelgrafik der Funktion y \u003d k 2 x + b 2, wenn k 1 \u003d k 2

5. Der Zustand des Wiederaufbaus der beiden geraden Linien:

Der Graph der Funktion y \u003d k 1 x + b 1 wird die Grafik der Funktion y \u003d k 2 x + b 2 umgebaut, wenn k 1 * k 2 \u003d -1 oder k 1 \u003d -1 / k 2

6. Kreuzungspunkte der Graph-Funktion y \u003d kx + b mit Koordinatenachsen.

Mit OY-Achse. Die Abszisse eines beliebigen Punkts, der zur Oy-Achse gehört, ist Null. Um den Kreuzungspunkt mit der OY-Achse zu finden, ist es daher erforderlich, Null in der Gleichung zu ersetzen. Wir bekommen y \u003d b. Das heißt, der Schnittpunkt mit der Oy-Achse hat Koordinaten (0; B).

Mit der Achse oh: Die Ordinate eines beliebigen Punkts, der zur Achse oh gehört, ist gleich Null. Um den Kreuzungspunkt mit der Achse OH zu finden, ist es daher notwendig, Null in der Gleichung der Funktion anstelle von y zu ersetzen. Wir erhalten 0 \u003d kx + b. Daher x \u003d -b / k. Das heißt, der Schnittpunkt mit der Oxisachse hat Koordinaten (-B / K; 0):