Gleichungen mit Klammern lösen. Einfache lineare Gleichungen lösen
Eine Gleichung mit einer Unbekannten, die nach Öffnen der Klammern und Kürzen gleicher Terme die Form annimmt
ax + b = 0, wobei a und b beliebige Zahlen sind, heißt lineare Gleichung mit einem Unbekannten. Heute werden wir herausfinden, wie man diese linearen Gleichungen löst.
Zum Beispiel alle Gleichungen:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - linear.
Der Wert der Unbekannten, der die Gleichung in eine wahre Gleichheit verwandelt, wird genannt Entscheidung oder die Wurzel der Gleichung .
Wenn wir beispielsweise in der Gleichung 3x + 7 \u003d 13 die Zahl 2 anstelle des unbekannten x ersetzen, erhalten wir die richtige Gleichheit 3 2 + 7 \u003d 13. Dies bedeutet, dass der Wert x \u003d 2 die Lösung ist oder die Wurzel der Gleichung.
Und der Wert x \u003d 3 verwandelt die Gleichung 3x + 7 \u003d 13 nicht in eine wahre Gleichheit, da 3 2 + 7 ≠ 13. Daher ist der Wert x \u003d 3 keine Lösung oder Wurzel der Gleichung.
Die Lösung beliebiger linearer Gleichungen wird auf die Lösung von Gleichungen der Form reduziert
ax + b = 0.
Wir übertragen den freien Term von der linken Seite der Gleichung auf die rechte, indem wir das Vorzeichen vor b in das Gegenteil ändern, erhalten wir
Wenn a ≠ 0, dann x = – b/a .
Beispiel 1 Lösen Sie die Gleichung 3x + 2 = 11.
Wir übertragen 2 von der linken Seite der Gleichung auf die rechte, während wir das Vorzeichen vor 2 in das Gegenteil ändern, erhalten wir
3x \u003d 11 - 2.
Dann machen wir die Subtraktion
3x = 9.
Um x zu finden, müssen Sie das Produkt durch einen bekannten Faktor dividieren, d. h.
x = 9:3.
Der Wert x = 3 ist also die Lösung oder die Wurzel der Gleichung.
Antwort: x = 3.
Wenn a = 0 und b = 0, dann erhalten wir die Gleichung 0x \u003d 0. Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen, denn wenn wir eine beliebige Zahl mit 0 multiplizieren, erhalten wir 0, aber b ist auch 0. Die Lösung dieser Gleichung ist eine beliebige Zahl.
Beispiel 2 Lösen Sie die Gleichung 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.
Erweitern wir die Klammern:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Hier sind ähnliche Mitglieder:
0x = 0.
Antwort: x ist eine beliebige Zahl.
Wenn a = 0 und b ≠ 0, dann erhalten wir die Gleichung 0x = - b. Diese Gleichung hat keine Lösungen, denn wenn wir eine beliebige Zahl mit 0 multiplizieren, erhalten wir 0, aber b ≠ 0.
Beispiel 3 Lösen Sie die Gleichung x + 8 = x + 5.
Gruppieren wir die Terme mit Unbekannten auf der linken Seite und die freien Terme auf der rechten Seite:
x - x \u003d 5 - 8.
Hier sind ähnliche Mitglieder:
0x = - 3.
Antwort: keine Lösungen.
Auf der Abbildung 1 das Schema zur Lösung der linearen Gleichung ist gezeigt
Lassen Sie uns ein allgemeines Schema zum Lösen von Gleichungen mit einer Variablen erstellen. Betrachten Sie die Lösung von Beispiel 4.
Beispiel 4 Lösen wir die Gleichung
1) Multiplizieren Sie alle Terme der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, gleich 12.
2) Nach Abzug erhalten wir
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Um Mitglieder mit unbekannten und freien Mitgliedern zu trennen, öffnen Sie die Klammern:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Wir gruppieren in einem Teil die Begriffe, die Unbekannte enthalten, und im anderen - freie Begriffe:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Hier sind ähnliche Mitglieder:
- 22x = - 154.
6) Teile durch - 22 , Wir bekommen
x = 7.
Wie Sie sehen können, ist die Wurzel der Gleichung sieben.
Im Allgemeinen sind solche Gleichungen können wie folgt gelöst werden:
a) Bringe die Gleichung in eine ganzzahlige Form;
b) offene Klammern;
c) gruppiere die Terme, die die Unbekannte enthalten, in einem Teil der Gleichung und die freien Terme im anderen;
d) ähnliche Mitglieder mitbringen;
e) Lösen Sie eine Gleichung der Form aх = b, die nach dem Bringen gleicher Terme erhalten wurde.
Dieses Schema ist jedoch nicht für jede Gleichung erforderlich. Beim Lösen vieler einfacherer Gleichungen muss man nicht bei der ersten, sondern bei der zweiten beginnen ( Beispiel. 2), dritte ( Beispiel. 13) und sogar ab der fünften Stufe, wie in Beispiel 5.
Beispiel 5 Lösen Sie die Gleichung 2x = 1/4.
Wir finden das Unbekannte x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .
Betrachten Sie die Lösung einiger linearer Gleichungen, denen Sie im Hauptexamen begegnen.
Beispiel 6 Lösen Sie Gleichung 2 (x + 3) = 5 - 6x.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5 - 6
Antwort: - 0,125
Beispiel 7 Lösen Sie die Gleichung - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x - 8x = - 7 +30
Antwort: 2.3
Beispiel 8 Löse die Gleichung
3(3x - 4) = 4 7x + 24
9x - 12 = 28x + 24
9x - 28x = 24 + 12
Beispiel 9 Finde f(6), wenn f (x + 2) = 3 7er
Lösung
Da wir f(6) finden müssen und f(x + 2) kennen,
dann x + 2 = 6.
Wir lösen die lineare Gleichung x + 2 = 6,
wir bekommen x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.
Wenn x = 4 dann
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Antwort: 27.
Wenn Sie noch Fragen haben, der Wunsch besteht, sich eingehender mit dem Lösen von Gleichungen zu beschäftigen, melden Sie sich für meine Lektionen im TERMINPLAN an. Ich helfe Ihnen gerne weiter!
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Site, mit vollständigem oder teilweisem Kopieren des Materials, ist ein Link zur Quelle erforderlich.
Eine Gleichung mit einer Unbekannten, die nach Öffnen der Klammern und Kürzen gleicher Terme die Form annimmt
ax + b = 0, wobei a und b beliebige Zahlen sind, heißt lineare Gleichung mit einem Unbekannten. Heute werden wir herausfinden, wie man diese linearen Gleichungen löst.
Zum Beispiel alle Gleichungen:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - linear.
Der Wert der Unbekannten, der die Gleichung in eine wahre Gleichheit verwandelt, wird genannt Entscheidung oder die Wurzel der Gleichung .
Wenn wir beispielsweise in der Gleichung 3x + 7 \u003d 13 die Zahl 2 anstelle des unbekannten x ersetzen, erhalten wir die richtige Gleichheit 3 2 + 7 \u003d 13. Dies bedeutet, dass der Wert x \u003d 2 die Lösung ist oder die Wurzel der Gleichung.
Und der Wert x \u003d 3 verwandelt die Gleichung 3x + 7 \u003d 13 nicht in eine wahre Gleichheit, da 3 2 + 7 ≠ 13. Daher ist der Wert x \u003d 3 keine Lösung oder Wurzel der Gleichung.
Die Lösung beliebiger linearer Gleichungen wird auf die Lösung von Gleichungen der Form reduziert
ax + b = 0.
Wir übertragen den freien Term von der linken Seite der Gleichung auf die rechte, indem wir das Vorzeichen vor b in das Gegenteil ändern, erhalten wir
Wenn a ≠ 0, dann x = – b/a .
Beispiel 1 Lösen Sie die Gleichung 3x + 2 = 11.
Wir übertragen 2 von der linken Seite der Gleichung auf die rechte, während wir das Vorzeichen vor 2 in das Gegenteil ändern, erhalten wir
3x \u003d 11 - 2.
Dann machen wir die Subtraktion
3x = 9.
Um x zu finden, müssen Sie das Produkt durch einen bekannten Faktor dividieren, d. h.
x = 9:3.
Der Wert x = 3 ist also die Lösung oder die Wurzel der Gleichung.
Antwort: x = 3.
Wenn a = 0 und b = 0, dann erhalten wir die Gleichung 0x \u003d 0. Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen, denn wenn wir eine beliebige Zahl mit 0 multiplizieren, erhalten wir 0, aber b ist auch 0. Die Lösung dieser Gleichung ist eine beliebige Zahl.
Beispiel 2 Lösen Sie die Gleichung 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.
Erweitern wir die Klammern:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Hier sind ähnliche Mitglieder:
0x = 0.
Antwort: x ist eine beliebige Zahl.
Wenn a = 0 und b ≠ 0, dann erhalten wir die Gleichung 0x = - b. Diese Gleichung hat keine Lösungen, denn wenn wir eine beliebige Zahl mit 0 multiplizieren, erhalten wir 0, aber b ≠ 0.
Beispiel 3 Lösen Sie die Gleichung x + 8 = x + 5.
Gruppieren wir die Terme mit Unbekannten auf der linken Seite und die freien Terme auf der rechten Seite:
x - x \u003d 5 - 8.
Hier sind ähnliche Mitglieder:
0x = - 3.
Antwort: keine Lösungen.
Auf der Abbildung 1 das Schema zur Lösung der linearen Gleichung ist gezeigt
Lassen Sie uns ein allgemeines Schema zum Lösen von Gleichungen mit einer Variablen erstellen. Betrachten Sie die Lösung von Beispiel 4.
Beispiel 4 Lösen wir die Gleichung
1) Multiplizieren Sie alle Terme der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, gleich 12.
2) Nach Abzug erhalten wir
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Um Mitglieder mit unbekannten und freien Mitgliedern zu trennen, öffnen Sie die Klammern:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Wir gruppieren in einem Teil die Begriffe, die Unbekannte enthalten, und im anderen - freie Begriffe:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Hier sind ähnliche Mitglieder:
- 22x = - 154.
6) Teile durch - 22 , Wir bekommen
x = 7.
Wie Sie sehen können, ist die Wurzel der Gleichung sieben.
Im Allgemeinen sind solche Gleichungen können wie folgt gelöst werden:
a) Bringe die Gleichung in eine ganzzahlige Form;
b) offene Klammern;
c) gruppiere die Terme, die die Unbekannte enthalten, in einem Teil der Gleichung und die freien Terme im anderen;
d) ähnliche Mitglieder mitbringen;
e) Lösen Sie eine Gleichung der Form aх = b, die nach dem Bringen gleicher Terme erhalten wurde.
Dieses Schema ist jedoch nicht für jede Gleichung erforderlich. Beim Lösen vieler einfacherer Gleichungen muss man nicht bei der ersten, sondern bei der zweiten beginnen ( Beispiel. 2), dritte ( Beispiel. 13) und sogar ab der fünften Stufe, wie in Beispiel 5.
Beispiel 5 Lösen Sie die Gleichung 2x = 1/4.
Wir finden das Unbekannte x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .
Betrachten Sie die Lösung einiger linearer Gleichungen, denen Sie im Hauptexamen begegnen.
Beispiel 6 Lösen Sie Gleichung 2 (x + 3) = 5 - 6x.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5 - 6
Antwort: - 0,125
Beispiel 7 Lösen Sie die Gleichung - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x - 8x = - 7 +30
Antwort: 2.3
Beispiel 8 Löse die Gleichung
3(3x - 4) = 4 7x + 24
9x - 12 = 28x + 24
9x - 28x = 24 + 12
Beispiel 9 Finde f(6), wenn f (x + 2) = 3 7er
Lösung
Da wir f(6) finden müssen und f(x + 2) kennen,
dann x + 2 = 6.
Wir lösen die lineare Gleichung x + 2 = 6,
wir bekommen x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.
Wenn x = 4 dann
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Antwort: 27.
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Klammern werden verwendet, um die Reihenfolge anzugeben, in der Aktionen in numerischen und alphabetischen Ausdrücken sowie in Ausdrücken mit Variablen ausgeführt werden. Es ist praktisch, von einem Ausdruck mit Klammern zu einem identisch gleichen Ausdruck ohne Klammern überzugehen. Diese Technik wird Klammeröffnung genannt.
Klammern zu erweitern bedeutet, den Ausdruck von diesen Klammern zu befreien.
Besondere Aufmerksamkeit verdient ein weiterer Punkt, der die Besonderheiten von Schreiblösungen beim Öffnen von Klammern betrifft. Wir können den Anfangsausdruck mit Klammern schreiben und das Ergebnis nach dem Öffnen der Klammern als Gleichheit. Beispielsweise nach dem Öffnen der Klammern anstelle des Ausdrucks
3−(5−7) erhalten wir den Ausdruck 3−5+7. Wir können diese beiden Ausdrücke als die Gleichheit 3−(5−7)=3−5+7 schreiben.
Und noch ein wichtiger Punkt. In der Mathematik ist es zur Reduzierung von Einträgen üblich, kein Pluszeichen zu schreiben, wenn es das erste in einem Ausdruck oder in Klammern ist. Wenn wir zum Beispiel zwei positive Zahlen addieren, zum Beispiel sieben und drei, dann schreiben wir nicht +7 + 3, sondern einfach 7 + 3, obwohl sieben auch eine positive Zahl ist. Wenn Sie beispielsweise den Ausdruck (5 + x) sehen, wissen Sie, dass vor der nicht geschriebenen Klammer ein Plus und vor dem ein Plus + (+5 + x) steht fünf.
Klammererweiterungsregel für die Addition
Wenn beim Öffnen von Klammern ein Plus vor den Klammern steht, wird dieses Plus zusammen mit den Klammern weggelassen.
Beispiel. Öffnen Sie die Klammern im Ausdruck 2 + (7 + 3) Vor den Klammern plus, dann ändern sich die Zeichen vor den Zahlen in den Klammern nicht.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Die Regel zum Erweitern von Klammern beim Subtrahieren
Wenn vor den Klammern ein Minus steht, wird dieses Minus mit den Klammern weggelassen, aber die Begriffe, die in den Klammern standen, ändern ihr Vorzeichen in das Gegenteil. Das Fehlen eines Zeichens vor dem ersten Begriff in Klammern impliziert ein +-Zeichen.
Beispiel. Öffnende Klammern in Ausdruck 2 − (7 + 3)
Vor den Klammern steht ein Minus, daher müssen Sie die Zeichen vor den Zahlen aus den Klammern ändern. Vor der Zahl 7 steht kein Zeichen in Klammern, was bedeutet, dass die Sieben positiv ist, es wird davon ausgegangen, dass das +-Zeichen davor steht.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Beim Öffnen der Klammern entfernen wir das Minus aus dem Beispiel, das vor den Klammern stand, und die Klammern selbst 2 − (+ 7 + 3) und ändern die Zeichen in den Klammern in die entgegengesetzten.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Erweiternde Klammern beim Multiplizieren
Wenn vor den Klammern ein Multiplikationszeichen steht, wird jede Zahl innerhalb der Klammern mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert. Gleichzeitig ergibt die Multiplikation eines Minus mit einem Minus ein Plus, und die Multiplikation eines Minus mit einem Plus, wie die Multiplikation eines Plus mit einem Minus, ergibt ein Minus.
Daher werden Klammern in Produkten gemäß dem Verteilungsgesetz der Multiplikation erweitert.
Beispiel. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Beim Multiplizieren von Klammer mit Klammer wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer multipliziert.
(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
Tatsächlich ist es nicht nötig, sich alle Regeln zu merken, es reicht aus, sich nur eine zu merken, diese hier: c(a−b)=ca−cb. Wieso den? Denn wenn wir statt c eins einsetzen, erhalten wir die Regel (a−b)=a−b. Und wenn wir minus eins einsetzen, erhalten wir die Regel −(a−b)=−a+b. Nun, wenn Sie anstelle von c eine andere Klammer einsetzen, erhalten Sie die letzte Regel.
Erweitern Sie Klammern beim Teilen
Wenn nach den Klammern ein Divisionszeichen steht, dann ist jede Zahl innerhalb der Klammern durch den Divisor nach der Klammer teilbar und umgekehrt.
Beispiel. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
So erweitern Sie verschachtelte Klammern
Wenn der Ausdruck verschachtelte Klammern enthält, werden sie der Reihe nach erweitert, beginnend mit extern oder intern.
Gleichzeitig ist es beim Öffnen einer der Klammern wichtig, die anderen Klammern nicht zu berühren, sondern sie einfach so umzuschreiben, wie sie sind.
Beispiel. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
Haben Sie schon einmal gesucht, wie man eine Gleichung mit Klammern löst? . Eine detaillierte Lösung mit Beschreibung und Erklärungen hilft Ihnen, selbst die schwierigste Aufgabe zu bewältigen, und das Lösen von Gleichungen in Klammern ist keine Ausnahme. Wir helfen Ihnen bei der Vorbereitung auf Hausaufgaben, Tests, Olympiaden sowie auf die Zulassung an einer Universität. Und egal welches Beispiel, egal welche mathematische Frage Sie eingeben, wir haben bereits eine Lösung. Zum Beispiel "wie man eine Gleichung mit Klammern löst".
Die Verwendung verschiedener mathematischer Probleme, Taschenrechner, Gleichungen und Funktionen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, Konstruktionen und sogar im Sport verwendet. Mathematik wird seit der Antike vom Menschen verwendet, und seitdem hat ihre Verwendung nur zugenommen. Jetzt steht die Wissenschaft jedoch nicht still und wir können die Früchte ihrer Aktivitäten genießen, wie zum Beispiel einen Online-Rechner, der Probleme lösen kann, z. B. wie man eine Gleichung mit Klammern löst, wie man Gleichungen in Klammern löst, wie man Lösung einer Gleichung mit Klammern, Lösung einer Gleichung mit Klammern Lösung einer Gleichung mit Klammern Auf dieser Seite finden Sie einen Taschenrechner, der Ihnen bei der Lösung jeder Frage hilft, einschließlich der Lösung einer Gleichung mit Klammern. (z. B. wie man eine Gleichung mit Klammern löst).
Wo kann ich Probleme in Mathematik lösen und wie kann ich eine Gleichung mit Klammern online lösen?
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Lineare Gleichungen. Lösung, Beispiele.
Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")
Lineare Gleichungen.
Lineare Gleichungen sind nicht das schwierigste Thema in der Schulmathematik. Aber es gibt einige Tricks, die selbst einen geübten Schüler verwirren können. Sollen wir es herausfinden?)
Eine lineare Gleichung wird normalerweise als eine Gleichung der Form definiert:
Axt + b = 0 wo A und B- beliebige Zahlen.
2x + 7 = 0. Hier a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 hier a=0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Hier a=12, b=1/2
Nichts kompliziertes, oder? Vor allem, wenn Sie die Worte nicht bemerken: "wobei a und b beliebige Zahlen sind"... Und wenn Sie es bemerken, aber unachtsam darüber nachdenken?) Immerhin, wenn a=0, b=0(beliebige Zahlen möglich?), dann bekommen wir einen komischen Ausdruck:
Aber das ist nicht alles! Wenn, sagen wir, a=0, a b=5, es stellt sich etwas ganz Absurdes heraus:
Was das Vertrauen in Mathematik strapaziert und untergräbt, ja ...) Vor allem in Klausuren. Aber von diesen seltsamen Ausdrücken müssen Sie auch X finden! Was es gar nicht gibt. Und überraschenderweise ist dieses X sehr leicht zu finden. Wir werden lernen, wie es geht. In dieser Lektion.
Wie erkennt man eine lineare Gleichung im Aussehen? Es kommt darauf an, welches Aussehen.) Der Trick ist, dass lineare Gleichungen nicht nur Gleichungen der Form genannt werden Axt + b = 0 , sondern auch beliebige Gleichungen, die durch Transformationen und Vereinfachungen auf diese Form gebracht werden. Und wer weiß, ob es reduziert ist oder nicht?)
In manchen Fällen ist eine lineare Gleichung deutlich zu erkennen. Sprich, wenn wir eine Gleichung haben, in der es nur Unbekannte ersten Grades gibt, ja Zahlen. Und die Gleichung nicht Brüche dividiert durch Unbekannt , es ist wichtig! Und Division durch Nummer, oder ein numerischer Bruch - das war's! Zum Beispiel:
Dies ist eine lineare Gleichung. Hier gibt es Brüche, aber es gibt keine Quadrate, Würfel usw. von x, und es gibt keine x in den Nennern, d. h. Nein Division durch x. Und hier ist die Gleichung
kann nicht als linear bezeichnet werden. Hier sind x alle im ersten Grad, aber es gibt Division durch Ausdruck mit x. Nach Vereinfachungen und Transformationen können Sie eine lineare Gleichung und eine quadratische Gleichung und alles, was Sie möchten, erhalten.
Es stellt sich heraus, dass es unmöglich ist, eine lineare Gleichung in einem komplizierten Beispiel zu finden, bis Sie sie fast gelöst haben. Es ist ärgerlich. Aber bei Aufgaben wird in der Regel nicht nach der Form der Gleichung gefragt, oder? In Aufgaben werden Gleichungen geordnet sich entscheiden. Es gefällt.)
Lösung linearer Gleichungen. Beispiele.
Die gesamte Lösung linearer Gleichungen besteht aus identischen Transformationen von Gleichungen. Diese Transformationen (bis zu zwei!) liegen übrigens den Lösungen zugrunde alle Gleichungen der Mathematik. Mit anderen Worten, die Entscheidung irgendein Die Gleichung beginnt mit denselben Transformationen. Im Fall von linearen Gleichungen endet es (die Lösung) dieser Transformationen mit einer vollwertigen Antwort. Es ist sinnvoll, dem Link zu folgen, oder?) Außerdem gibt es auch Beispiele zum Lösen linearer Gleichungen.
Beginnen wir mit dem einfachsten Beispiel. Ohne Fallstricke. Nehmen wir an, wir müssen die folgende Gleichung lösen.
x - 3 = 2 - 4x
Dies ist eine lineare Gleichung. Xs stehen alle in der ersten Potenz, es gibt keine Division durch X. Aber eigentlich ist es uns egal, wie die Gleichung lautet. Wir müssen es lösen. Das Schema hier ist einfach. Sammle alles mit x auf der linken Seite der Gleichung, alles ohne x (Zahlen) auf der rechten Seite.
Dazu müssen Sie umbuchen - 4x nach links, natürlich mit Vorzeichenwechsel, aber - 3 - Nach rechts. Das ist übrigens erste identische Transformation von Gleichungen.Überrascht? Also sind sie dem Link nicht gefolgt, aber vergebens ...) Wir bekommen:
x + 4x = 2 + 3
Wir geben ähnlich, wir betrachten:
Was brauchen wir, um vollkommen glücklich zu sein? Ja, damit links ein sauberes X steht! Fünf steht im Weg. Befreien Sie sich von den fünf mit zweite identische Transformation von Gleichungen. Wir teilen nämlich beide Teile der Gleichung durch 5. Wir erhalten eine fertige Antwort:
Natürlich ein elementares Beispiel. Dies ist zum Aufwärmen.) Es ist nicht ganz klar, warum ich mich hier an identische Transformationen erinnerte? Okay. Wir packen den Stier bei den Hörnern.) Entscheiden wir uns für etwas Beeindruckenderes.
Hier ist zum Beispiel diese Gleichung:
Mit was fangen wir an? Mit X - nach links, ohne X - nach rechts? Könnte so sein. Kleine Schritte entlang der langen Straße. Und das können Sie sofort, auf universelle und kraftvolle Weise. Es sei denn natürlich, in Ihrem Arsenal gibt es identische Transformationen von Gleichungen.
Ich stelle Ihnen eine zentrale Frage: Was missfällt dir an dieser Gleichung am meisten?
95 von 100 Personen werden antworten: Brüche ! Die Antwort ist richtig. Also lasst uns sie loswerden. Also fangen wir gleich an zweite identische Transformation. Womit multiplizierst du den Bruch auf der linken Seite, sodass der Nenner vollständig gekürzt wird? Richtig, 3. Und rechts? Mit 4. Aber Mathe erlaubt uns, beide Seiten mit zu multiplizieren die gleiche Nummer. Wie kommen wir raus? Lass uns beide Seiten mit 12 multiplizieren! Diese. auf einen gemeinsamen Nenner. Dann werden die drei reduziert und die vier. Vergessen Sie nicht, dass Sie jeden Teil multiplizieren müssen völlig. So sieht der erste Schritt aus:
Erweitern der Klammern:
Beachten Sie! Zähler (x+2) Ich habe Klammern genommen! Denn beim Multiplizieren von Brüchen wird der Zähler komplett mit dem Ganzen multipliziert! Und jetzt können Sie Brüche kürzen und kürzen:
Öffnen der restlichen Klammern:
Kein Beispiel, sondern reines Vergnügen!) Jetzt erinnern wir uns an den Spruch aus den unteren Klassen: mit x - nach links, ohne x - nach rechts! Und wenden Sie diese Transformation an:
Hier sind einige wie:
Und wir teilen beide Teile durch 25, d.h. wenden Sie die zweite Transformation erneut an:
Das ist alles. Antworten: X=0,16
Achtung: Um die ursprünglich verwirrende Gleichung in eine angenehme Form zu bringen, haben wir zwei (nur zwei!) identische Transformationen- Übersetzung von links nach rechts mit Vorzeichenwechsel und Multiplikationsdivision der Gleichung durch dieselbe Zahl. Das ist der universelle Weg! Wir werden auf diese Weise arbeiten irgendein Gleichungen! Absolut beliebig. Deshalb wiederhole ich diese identischen Transformationen ständig.)
Wie Sie sehen können, ist das Prinzip der Lösung linearer Gleichungen einfach. Wir nehmen die Gleichung und vereinfachen sie mit Hilfe identischer Transformationen, bis wir die Antwort erhalten. Die Hauptprobleme liegen hier in den Berechnungen und nicht im Prinzip der Lösung.
Aber ... Es gibt solche Überraschungen beim Lösen der elementarsten linearen Gleichungen, die sie in eine starke Benommenheit treiben können ...) Glücklicherweise kann es nur zwei solcher Überraschungen geben. Nennen wir sie Sonderfälle.
Spezialfälle beim Lösen linearer Gleichungen.
Erstmal überraschen.
Angenommen, Sie stoßen auf eine elementare Gleichung, etwa wie folgt:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Etwas gelangweilt wechseln wir mit X nach links, ohne X - nach rechts ... Mit einem Vorzeichenwechsel ist alles Chin-Chinar ... Wir bekommen:
2x-5x+3x=5-2-3
Wir glauben, und ... oh mein Gott! Wir bekommen:
An sich ist diese Gleichheit nicht zu beanstanden. Null ist wirklich Null. Aber X ist weg! Und wir müssen in die Antwort schreiben, was x gleich ist. Sonst zählt die Lösung nicht, ja...) Eine Sackgasse?
Ruhig! In solchen Zweifelsfällen gelten die allgemeinsten Regeln. Wie löst man Gleichungen? Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Das heisst, Finden Sie alle Werte von x, die uns, wenn sie in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden, die richtige Gleichheit geben.
Aber wir haben die richtige Gleichheit schon passiert! 0=0, wo eigentlich?! Es bleibt herauszufinden, bei welchen x dies erreicht wird. In welche Werte von x können sie eingesetzt werden Original Gleichung, wenn diese x's immer noch auf null schrumpfen? Komm schon?)
Ja!!! Xs können ersetzt werden irgendein! Was willst du. Mindestens 5, mindestens 0,05, mindestens -220. Sie werden trotzdem schrumpfen. Wenn Sie mir nicht glauben, können Sie es überprüfen.) Ersetzen Sie beliebige x-Werte in Original gleichsetzen und berechnen. Die ganze Zeit wird die reine Wahrheit erhalten: 0 = 0, 2 = 2, -7,1 = -7,1 und so weiter.
Hier ist Ihre Antwort: x ist eine beliebige Zahl.
Die Antwort kann in verschiedenen mathematischen Symbolen geschrieben werden, die Essenz ändert sich nicht. Dies ist eine völlig korrekte und vollständige Antwort.
Überraschung an zweiter Stelle.
Nehmen wir dieselbe elementare lineare Gleichung und ändern nur eine Zahl darin. So werden wir entscheiden:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Nach denselben identischen Transformationen erhalten wir etwas Faszinierendes:
So. Eine lineare Gleichung gelöst, eine seltsame Gleichheit erhalten. Mathematisch gesehen haben wir falsche Gleichheit. Und in einfachen Worten, das ist nicht wahr. Rave. Aber trotzdem ist dieser Unsinn ein ziemlich guter Grund für die richtige Lösung der Gleichung.)
Auch hier denken wir nach allgemeinen Regeln. Was x, wenn es in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt wird, uns geben wird Korrekt Gleichberechtigung? Ja, keine! Es gibt keine solchen xes. Was auch immer Sie ersetzen, alles wird reduziert, Unsinn bleibt.)
Hier ist Ihre Antwort: es gibt keine lösungen.
Dies ist auch eine vollkommen gültige Antwort. In der Mathematik kommen solche Antworten häufig vor.
So. Nun, ich hoffe, der Verlust von x beim Lösen einer (nicht nur linearen) Gleichung wird Sie überhaupt nicht stören. Die Sache ist bekannt.)
Nachdem wir uns nun mit allen Fallstricken in linearen Gleichungen befasst haben, ist es sinnvoll, sie zu lösen.
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