Darstellung proportionaler Liniensegmente, um ähnliche Dreiecke zu definieren. Präsentation zu "Identifizieren ähnlicher Dreiecke"

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Proportionale Liniensegmente. Definition ähnlicher Dreiecke Flächenverhältnis ähnlicher Dreiecke Erster Test auf Ähnlichkeit von Dreiecken (Beweis) Zweiter Test auf Ähnlichkeit von Dreiecken (Beweis) Dritter Test auf Ähnlichkeit von Dreiecken (Beweis) Praktische Anwendung

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Fortsetzung

Grundlegende Informationen Messarbeiten am Boden Ermittlung der Objekthöhe Ermittlung der Entfernung zu einer unzugänglichen Stelle Ermittlung der Entfernung durch Bau ähnlicher Dreiecke (1) (2) (5) (4) (3)

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Proportionale Liniensegmente

Das Verhältnis der Segmente AB und CD ist das Verhältnis ihrer Längen, also AB / CD. Man sagt, dass die Segmente AB und CD proportional zu den Segmenten A1 B1 und C1 D1 sind, wenn AB / A1B1 = CD / C1D1 ist. Das Konzept der Verhältnismäßigkeit wird auch für eine Vielzahl von Segmenten eingeführt

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Definition ähnlicher Dreiecke.

Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn ihre Winkel jeweils gleich sind und die Seiten eines Dreiecks proportional zu den ähnlichen Seiten des anderen sind

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Das Verhältnis der Flächen ähnlicher Dreiecke

Theorem Das Verhältnis der Flächen zweier ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten

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Nachweisen.

Seien die Dreiecke ABC und A1B1C1 ähnlich und der Ähnlichkeitskoeffizient gleich r. Bezeichnen wir mit den Buchstaben S und S1 die Flächen dieser Dreiecke. Da der Winkel A = Winkel A1, dann ist S / S1 = AB * AC / A1B1 * A1C1 (nach dem Satz über das Flächenverhältnis des Ähnlichkeitsverhältnisses von Dreiecken mit gleichem Winkel). Nach Formeln (2) gilt: AB / A1B1 = R, AC / A1C1 = R, also S / S = R 2

14 . schieben

Das erste Zeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken

Wenn zwei Winkel eines Dreiecks jeweils gleich zwei Winkeln eines anderen sind, dann sind solche Dreiecke gleich A B C

15 . schieben

Das zweite Zeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken

Wenn die beiden Seiten eines anderen Dreiecks proportional zu den beiden Seiten des anderen Dreiecks sind und die Winkel zwischen diesen Seiten gleich sind, dann sind solche Dreiecke ähnlich.

16 . schieben

Das dritte Ähnlichkeitszeichen von Dreiecken

Wenn die drei Seiten eines Dreiecks proportional zu den drei Seiten des anderen sind, sind solche Dreiecke ähnlich. A B C

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Beweis (1)

Gegeben: ABC und A1B1C1 sind zwei Dreiecke mit Winkel A = Winkel A1, Winkel B = Winkel B1 Wir beweisen, dass Dreieck ABC Dreieck A ist B1C1

Rutsche 18

Nachweisen.

Nach dem Satz über die Summe der Winkel eines Dreiecks ist der Winkel C = 180 Grad-Winkel A-Winkel B, der Winkel C = 180 Grad-Winkel A der Winkel B, also der Winkel C = der Winkel C. Somit sind die Winkel des Dreiecks ABC sind jeweils gleich den Winkeln des Dreiecks ABC 1 1 1 1 1 1 1

19 . schieben

Zeigen wir, dass die Seiten des Dreiecks ABC proportional zu den ähnlichen Seiten des Dreiecks AB C sind. Da der Winkel A = der Winkel A und der Winkel C = der Winkel C ist, dann ist S abc / Sa c = AB * AC / AB * ACS abc / Sa b c = CA * SV / C A * C B. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

20 . schieben

Aus diesen Gleichungen folgt AB / AB = BC / BC In ähnlicher Weise erhalten wir mit den Gleichungen Winkel A = Winkel A Winkel B = Winkel B BC / BC = CA / C A. Die Seiten des Dreiecks ABC sind also proportional zu ähnliche Seiten des Dreiecks A In C. Der Satz ist bewiesen. 1 1 1 1 1 1 1 1

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Beweis (2)

Gegeben: zwei Dreiecke ABC und ABC, für die AB / AB = AC / AC, Winkel A = Winkel A. B = Ecke B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Schieben Sie 22

Betrachten Sie ein Dreieck ABC, in dem Winkel1 = WinkelA, Winkel2 = Winkel B. Dreiecke ABC ABC sind im ersten Ähnlichkeitszeichen ähnlich, also AB / AB = AC / AC C. Andererseits gilt nach der Bedingung AB / AB = AC / A C. Aus diesen beiden Gleichungen erhalten wir AC = AC. 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2

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Die Dreiecke ABC und ABC sind auf zwei Seiten gleich (AB ist die gemeinsame Seite, AC = AC und Winkel A = Winkel 1, da Winkel A = Winkel A und Winkel 1 = Winkel A). Daraus folgt Winkel B = Winkel 2, und da Winkel 2 = Winkel B, dann Winkel B = Winkel B. Der Satz ist bewiesen. 2 2 1 1 1 1

24 . schieben

Beweis (3)

Gegeben: Seiten der Dreiecke ABC und ABC sind proportional. Zeigen wir, dass Dreieck ABC zu Dreieck ABC 1 1 1

25 . schieben

Nachweisen

Dazu genügt es unter Berücksichtigung des zweiten Zeichens der Ähnlichkeit von Dreiecken zu beweisen, dass Winkel A = Winkel A. Betrachten Sie ein Dreieck ABC, in dem Winkel 1 = Winkel A, Winkel 2 = Winkel B. Dreiecke ABC und ABC im ersten Ähnlichkeitszeichen von Dreiecken ähnlich sind, also AB / А В = ВС / В С = С А / С A.

26 . schieben

Vergleicht man diese Gleichungen mit den Gleichungen (1), so erhalten wir: BC = BC, CA = C A. Die Dreiecke ABC und ABC sind auf drei Seiten gleich. Daraus folgt Winkel A = Winkel 1 und da Winkel 1 = Winkel A, dann Winkel A = Winkel A. Der Satz ist bewiesen. 2 2 2 1 1

27 . schieben

Praktische Anwendungen der Ähnlichkeit von Dreiecken

Bei der Lösung vieler Probleme bei der Konstruktion von Dreiecken wird die sogenannte Ähnlichkeitsmethode verwendet. Es besteht darin, dass zunächst anhand einiger Daten ein dem gewünschten Dreieck ähnliches Dreieck entsteht und dann aus den restlichen Daten das gewünschte Dreieck konstruiert wird

28 . schieben

Problem Nummer 1

Konstruiere ein Dreieck mit zwei Winkeln und einer Winkelhalbierenden am Scheitelpunkt des dritten Winkels

29 . schieben

Lösung

Zuerst bauen wir eine Art Dreieck ähnlich dem, nach dem wir suchen. Zeichnen Sie dazu ein beliebiges Segment A B und stellen Sie ein Dreieck A B C auf, in dem die Winkel A bzw. B gleich den angegebenen Winkeln sind

30 . schieben

Fortsetzung

Als nächstes konstruieren wir die Winkelhalbierende des Winkels C und legen darauf das Segment CD, das diesem Segment entspricht. Zeichne eine Gerade durch Punkt D parallel zu A B. Sie schneidet die Seiten des Winkels C in einigen Punkten A und B. Dreieck ABC ist das gesuchte

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Da AB parallel zu AB ist, ist Winkel A = Winkel A, Winkel B = Winkel B, und daher sind die beiden Winkel des Dreiecks ABC jeweils gleich diesen Winkeln. Nach Konstruktion ist die Winkelhalbierende CD des Dreiecks ABC gleich diesem Segment, daher erfüllt das Dreieck ABC alle Bedingungen des Problems.

32 . schieben

Grundlagen (1)

1. Das Dreieck ABC ist dem Dreieck ABC genau dann ähnlich, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist. 1 1 1

33 . schieben

Bedingungen

A) AB: BC: CA = AB: BC: C A; B) AB: BC = AB: BC und Winkel ABC = Winkel ABC; B) Winkel ABC = Winkel A B C und Winkel BAC = Winkel B A C. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

34 . schieben

Grundlagen (2)

2) schneiden parallele Geraden Dreiecke AB C und AB C von der Ecke mit Scheitelpunkt A ab, dann sind diese Dreiecke ähnlich und AB: AB = AC: AC (Punkte B und B liegen auf einer Seite der Ecke, C und C auf dem anderen). 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

35 . schieben

Grundlagen (3)

3) Die Mittellinie des Dreiecks ist das Segment, das die Mittelpunkte der seitlichen Seiten verbindet. Dieses Segment ist parallel zur dritten Seite und hat die Hälfte seiner Länge. Die Mittellinie eines Trapezes ist das Segment, das die Mittelpunkte der Seiten des Trapezes verbindet. Dieses Segment ist parallel zu den Basen und entspricht der Hälfte der Summe ihrer Längen

Rutsche 36

Grundlagen (4)

4) das Flächenverhältnis ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten, d. h. dem Quadrat des Verhältnisses der Längen der entsprechenden Seiten. Dies folgt beispielsweise aus der Formel Savs = 0,5 * AB * ACsinA.

37 . schieben

Eckdaten (5)

Polygone А А ... А und В В ... В heißen ähnlich, wenn А А: А А: ...: А А = В В: В В: ... В В und die Winkel an den Ecken A . .., A. sind gleich den Winkeln an den Ecken А, …., A sind gleich Das Verhältnis der entsprechenden Diagonalen ähnlicher Polygone ist gleich dem Ähnlichkeitskoeffizienten; für die beschriebenen ähnlichen Polygone ist auch das Verhältnis der Radien der eingeschriebenen Kreise gleich dem Ähnlichkeitskoeffizienten 1 2 n 1 2 n 1 2 2 3 n 1 1 2 2 3 n 1 1 n 1 n

38 . gleiten

Messarbeiten am Boden

Die Eigenschaften solcher Dreiecke können genutzt werden, um verschiedene Messungen am Boden durchzuführen. Wir betrachten zwei Aufgaben: die Bestimmung der Höhe eines Objekts auf dem Boden und die Entfernung zu einem unzugänglichen Punkt.

Rutsche 39

Problem Nummer 1

Bestimmen der Höhe eines Objekts

40 . schieben

Fortsetzung

Angenommen, wir müssen die Höhe eines Objekts bestimmen, zum Beispiel die Höhe eines Telegrafenmastes AC, dazu stellen wir einen Mast AC mit einer rotierenden Stange in einen bestimmten Abstand vom Pfosten und richten die Stange auf den obersten Punkt A der Säule und A schneidet sich mit der Erdoberfläche. 1 1 1 1

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Rechteckige Dreiecke A C B und ACB sind im ersten Vorzeichen von Dreiecken ähnlich (Winkel C = Winkel C = 90 Grad, Winkel B - gemeinsam). Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke folgt А С / АС = ВС / ВС, woraus А С = АС * ВС / Nachdem wir den Abstand zwischen ВС und gemessen haben und die Länge des АС-Pols nach der erhaltenen Formel kennen, bestimmen wir die Höhe А С des Telegrafenmastes 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

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Herausforderung (2)

Bestimmung der Entfernung zu einem unzugänglichen Punkt

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Fortsetzung

Angenommen, wir müssen die Entfernung von Punkt A zu einem unzugänglichen Punkt B finden. Wählen Sie dazu Punkt C auf dem Boden, fixieren Sie das AC-Segment und messen Sie es. Dann messen wir mit dem Astrolabium die Winkel A und C. Auf einem Blatt Papier bauen wir eine Art Dreieck ABC, in dem der Winkel A = Winkel A, Winkel C = Winkel C ist, und messen die Längen der Seiten AB und AC dieses Dreiecks. 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Rutsche 44

Da die Dreiecke ABC und ABC ähnlich sind (durch das erste Zeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken), gilt AB / AB = AC AC, woraus wir AB = AC * AB / AC C erhalten. Diese Formel berücksichtigt die bekannten Abstände AC, AC und A B, finde den Abstand AB. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

45 . schieben

Um die Berechnungen zu vereinfachen, ist es praktisch, ein Dreieck ABC so zu konstruieren, dass AC: AC = 1: 1000. wenn beispielsweise АС = 130 m ist, dann wird der Abstand АС gleich 130 mm angenommen. In diesem Fall AB = AC / A C * A B = 1000 * A B, also nachdem wir den Abstand AB in Millimetern gemessen haben, erhalten wir sofort den Abstand AB in Metern 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

46 . schieben

Beispiel

Sei AC = 130m, Winkel A = 73 Grad, Winkel C = 58 Grad.Auf dem Papier bilden wir ein Dreieck ABC mit Winkel A = 73 Grad, Winkel C = 58 Grad, AC = 130mm und messen das Segment A B. It ist gleich 153 mm, daher beträgt die erforderliche Entfernung frühe 153 m. 1 1 1 1 1

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Bestimmung des Abstands durch Konstruktion ähnlicher Dreiecke

Beim Bestimmen der Entfernung zu entfernten oder unzugänglichen Objekten können Sie die folgende Technik verwenden. Bei einem normalen Spiel müssen Zwei-Millimeter-Unterteilungen mit Tinte oder einem Bleistift aufgetragen werden. Außerdem müssen Sie die ungefähre Höhe des Objekts kennen, zu dem die Entfernung bestimmt wird. Die Körpergröße einer Person beträgt 1,7-1,8 m, ein Autorad 0,5 m, ein Fahrer 2,2 m, ein Telegrafenmast 6 m, ein einstöckiges Haus ohne Dach 2,5-4 m.

48 . schieben

Fortsetzung

Nehmen wir an, Sie müssen den Abstand zum Pfosten bestimmen. Wir richten ein Streichholz auf ihn mit ausgestrecktem Arm, dessen Länge ungefähr 60 cm beträgt, angenommen, die Höhe der Säule sieht aus wie zwei Abteilungen des Streichholzes, d.h. 4mm. Mit diesen Daten bilden wir das Verhältnis: 0,6 / x = 0,004 / 6,0 x = (0,6 * 6) / 0y004 = 900. Somit beträgt die Höhe bis zur Säule 900 m.

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ÄHNLICHE DREIECKE

MBOU-Gymnasium 14

Mathematiklehrer: E.D. Lazareva

Proportionale Liniensegmente

Attitüde der Segmente AB und CD heißt das Verhältnis ihrer Längen, d.h.

Abschnitte AB und CD proportional Segmente A 1 B 1 und C 1 D 1, wenn

Definieren ähnlicher Dreiecke

Die beiden Dreiecke heißen mögen, wenn ihre Winkel jeweils gleich sind und die Seiten eines Dreiecks proportional zu den ähnlichen Seiten des anderen sind.

Die Zahl k, gleich dem Verhältnis der ähnlichen Seiten der Dreiecke, heißt Ähnlichkeitskoeffizient

B 1

EIN 1

C 1

Das Verhältnis der Flächen ähnlicher Dreiecke

Das Flächenverhältnis zweier ähnlicher Dreiecke ist quadrierter Ähnlichkeitskoeffizient

Die Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite in Segmente proportional zu den benachbarten Seiten des Dreiecks.

B 1

EIN 1

C 1

ich

Wenn zwei Winkel eines Dreiecks jeweils gleich zwei Winkeln eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke ähnlich

 ABC,  A 1 B 1 C 1,

A =  A 1,  B =  B 1

Unter Beweis stellen:

 ABC  A 1 B 1 C 1

B 1

EIN 1

C 1

Zeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken

II Ähnlichkeit von Dreiecken

Wenn die beiden Seiten eines Dreiecks proportional zu den beiden Seiten des anderen Dreiecks sind und die Winkel zwischen diesen Seiten gleich sind, dann sind solche Dreiecke ähnlich

 ABC,  A 1 B 1 C 1,

Unter Beweis stellen:

 ABC  A 1 B 1 C 1

B 1

EIN 1

C 1

Zeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken

III Ähnlichkeit von Dreiecken

Wenn drei Seiten eines Dreiecks proportional zu drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke ähnlich

 ABC,  A 1 B 1 C 1,

Unter Beweis stellen:

 ABC  A 1 B 1 C 1

B 1

EIN 1

C 1

Mittellinie eines Dreiecks

Die Mittellinie eines Dreiecks ist das Segment, das die Mittelpunkte zweier Seiten verbindet.

Mittellinie eines Dreiecks

parallel zu einer seiner Seiten

und ist gleich der Hälfte dieser Seite

 ABC, MN - Mittellinie

Unter Beweis stellen:

MN  AC, MN = AC

Die Mediane des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der jeden Median durch ein Verhältnis von 2:1 teilt, ausgehend vom Scheitelpunkt

EIN 1

C 1

B 1

Anwenden von Ähnlichkeit auf die Problemlösung

Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, ausgehend von der Spitze des rechten Winkels, teilt das Dreieck in zwei ähnliche rechtwinklige Dreiecke, von denen jedes diesem Dreieck ähnlich ist.

 ABC  ACD,

Anwenden von Ähnlichkeit auf Theorembeweise

1. Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, ausgehend vom Scheitel des rechten Winkels, ist der proportionale Durchschnitt zwischen den Segmenten, in die die Hypotenuse durch diese Höhe geteilt wird

Anwenden von Ähnlichkeit auf Theorembeweise

2. Der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist das durchschnittliche Verhältnis zwischen der Hypotenuse und dem zwischen dem Schenkel eingeschlossenen Abschnitt der Hypotenuse und der Höhe vom Scheitelpunkt des rechten Winkels.

1.1. Proportionale Liniensegmente Definition ähnlicher Dreiecke 1.2. Definition ähnlicher Dreiecke 1.3. Das Flächenverhältnis ähnlicher Dreiecke Das Flächenverhältnis ähnlicher Dreiecke Ähnlichkeitseigenschaften.

1.1 Proportionale Liniensegmente. Das Verhältnis der Segmente AB und CD ist das Verhältnis ihrer Längen, das heißt, dass die Segmente AB und CD proportional zu den Segmenten A 1 B 1 und C 1 D 1 sind, wenn BEISPIEL 1. Abschnitte AB und CD, die Längen von die 2 cm und 1 cm betragen, proportional zu den Segmenten A 1 B 1 und C 1 D 1, deren Segmente gleich 3 cm und 1,5 cm sind. Tatsächlich,

1.2. Definition ähnlicher Dreiecke. Im Alltag gibt es Gegenstände gleicher Form, aber unterschiedlicher Größe, wie Fußball- und Tennisbälle, ein runder Teller und eine große runde Schüssel. In der Geometrie werden Figuren gleicher Form normalerweise als ähnlich bezeichnet. Also, zwei beliebige Quadrate, zwei beliebige Kreise sind ähnlich. Lassen Sie uns das Konzept ähnlicher Dreiecke einführen.

1.2. Definition ähnlicher Dreiecke. LIKE, ein geometrisches Konzept, das das Vorhandensein derselben Form in geometrischen Figuren unabhängig von ihrer Größe kennzeichnet. Zwei Figuren F1 und F2 heißen ähnlich, wenn zwischen ihren Punkten eine Eins-zu-Eins-Entsprechung hergestellt werden kann, bei der das Verhältnis der Abstände zwischen beliebigen Paaren korrespondierender Punkte der Figuren F1 und F2 gleich der gleichen Konstanten k ist, als Ähnlichkeitskoeffizient bezeichnet. Die Winkel zwischen den entsprechenden Linien ähnlicher Figuren sind gleich. Ähnliche Formen F1 und F2.

Definition. Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn ihre Winkel jeweils gleich sind und die Seiten eines Dreiecks proportional zu den ähnlichen Seiten des anderen Dreiecks sind. Mit anderen Worten, zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie mit den Buchstaben ABC und A 1 B 1 C 1 bezeichnet werden können, so dass A = A 1, B = B 1, C = C 1, Die Zahl k gleich dem Verhältnis der ähnliche Seiten der Dreiecke nennt man Ähnlichkeitskoeffizient ...

1.3. Das Verhältnis der Flächen ähnlicher Dreiecke. Satz. Das Flächenverhältnis zweier ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten. Nachweisen. Seien die Dreiecke ABC und A1B1C1 ähnlich und der Ähnlichkeitskoeffizient ist k. Bezeichnen wir mit den Buchstaben S und S1 die Flächen dieser Dreiecke. Da A = A1, dann

Ähnlichkeitseigenschaften. Aufgabe 2. Beweisen Sie, dass die Winkelhalbierende eines Dreiecks die gegenüberliegende Seite in Segmente teilt, die proportional zu den benachbarten Seiten des Dreiecks sind. Lösung. Sei AD die Winkelhalbierende des Dreiecks ABC. Zeigen wir, dass die Dreiecke ABD und ACD eine gemeinsame Höhe AH haben, also 12 A H B D C

Beweis: Nach dem Winkelsummensatz: C = A - B und C 1 = A 1 - B 1, dann C = C 1. Da A = A 1 und C = C 1 ist, folgt daraus: Es stellt sich heraus, dass die Ähnlichkeiten proportional sind. Gegeben: ABC und A 1 B 1 C 1 A = A 1 B = B 1 Beweisen Sie: ABC A 1 B 1 C 1 A C B A1A1 B1B1 C1C1

ABC 2 A 1 B 1 C 1 (nach dem ersten Kriterium), d. h. aus diesen Gleichheiten AC = = AC 2. ABC = ABC 2 - auf zwei Seiten und der Winkel zwischen gemeinsame Seite, AC = AC 2 und, weil i) So und, dann ABC A1B1C1 Gegeben: ABC und A 1 B 1 C 1 D-th: Beweis: Betrachte ABC 2, wobei und

Beweis: A 1 B 1 ist die Mittellinie, und A 1 B 1 // AB also und bedeutet AOB A 1 OV 1 (in zwei Ecken), dann Aber AB = A 1 B 1, also AO = 2A 1 O und BO = 2B 1 O. Der Punkt O- der Schnittpunkt der Mediane AA 1 und BB 1 teilt also jeden von ihnen im Verhältnis 2: 1, von oben gezählt. In ähnlicher Weise wird bewiesen, dass der Punkt O - der Schnittpunkt der Mediane BB 1 und CC 1 jeden von ihnen im Verhältnis 2: 1 teilt, von oben gezählt. Punkt O - der Schnittpunkt der Mediane AA 1, BB 1 und CC 1 teilt sie also im Verhältnis 2: 1, von oben gezählt.

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Folienbeschriftungen:

Ähnliche Dreiecke

Ähnliche Figuren Es ist üblich, ähnliche Figuren zu nennen, wenn sie die gleiche Form haben (ähnliches Aussehen).

Ähnlichkeit im Leben (Karten der Umgebung)

Proportionale Linien Definition: Linien werden als proportional bezeichnet, wenn sie proportional zu ihrer Länge sind. 12 6 8 4 A 1 B 1 AB C 1 K 1 SC Man sagt, dass die Segmente A 1 B 1 und C 1 K 1 proportional zu den Segmenten AB und SK sind. Sind die Segmente AB und SK proportional zu den Segmenten EP und NT, wenn: a) AB = 15 cm, SK = 2,5 cm, EP = 3 cm, NT = 0,5 cm? b) AB = 12 cm, SK = 2,5 cm, EP = 36 cm, NT = 5 cm? c) AB = 24 cm, SK = 2,5 cm, EP = 12 cm, NT = 5 cm? ja nein nein А В 6 cm С К 4 cm А 1 В 1 12 cm С 1 8 cm К 1

b Proportionale Segmente Test 1. Geben Sie die richtige Aussage an: a) Segmente AB und PH sind proportional zu Segmenten CK und ME; b) die ME- und AB-Segmente sind proportional zu den PH- und SK-Segmenten; c) die Segmente AB und ME sind proportional zu den Segmenten PH und SK. А В 3 cm С К 2cm М Е 9 cm Р Н 6 cm Anhang: Die Gleichheit ME AB PH SK kann in drei weiteren Gleichheiten geschrieben werden: PH SK ME AB; ME RN AB SK; AV SK ME RN.

Proportionallinien 2. Test F Y Z R L S N 1 cm 2 cm 4 cm 2 cm 3 cm Welches Segment muss eingegeben werden, damit die Aussage wahr ist: Segmente FY und YZ sind proportional zu Segmenten LS und ……. a) RL; b) RS; c) SN a) RL

Proportionale Liniensegmente (gewünschte Eigenschaft) Die Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite in Segmente proportional zu den angrenzenden Seiten des Dreiecks. N Gegeben: ABC, AK - Halbierende. Beweis: 1 A B K C 2 Da AK eine Winkelhalbierende ist, ist 1 = 2, was bedeutet, dass AVK und ASK einen gleichen Winkel haben, also Beweise: VK AV KS AS S AVK S ASK AV ∙ AK AS ∙ AK AB AC AVK und ASK haben eine gemeinsame Höhe AH, was bedeutet, dass S ABK S ASK VK KC AB AC BK KC VK AV KS AS Daher führen wir AN VS aus.

Ähnliche Dreiecke Definition: Dreiecke werden als ähnlich bezeichnet, wenn die Winkel eines Dreiecks gleich den Winkeln des anderen Dreiecks sind und die Seiten eines Dreiecks proportional zu den ähnlichen Seiten des anderen sind. A 1 B 1 C 1 A B C Ähnliche Seiten in ähnlichen Dreiecken sind die Seiten, die gleichen Winkeln gegenüberliegen. А 1 = А, В 1 = В, С 1 = С А 1 В 1 В 1 С 1 А 1 С 1 AB ВС АС k A 1 B 1 C 1 ABC K - Ähnlichkeitskoeffizient ~

Ähnliche Dreiecke A 1 B 1 C 1 A B C Gewünschte Eigenschaft: A 1 = A, B 1 = B, C 1 = C, AB BC AC A 1 B 1 B 1 C 1 A 1 C 1 1 k ABC ~ A 1 B 1 C 1, - Ähnlichkeitskoeffizient 1 k A 1 B 1 C 1 ABC, K - Ähnlichkeitskoeffizient ~

Lösen Sie die Aufgaben 3. Finden Sie anhand der Daten in der Zeichnung die Seiten AB und B 1 C 1 ähnlicher Dreiecke ABC und A 1 B 1 C 1: A B C A 1 C 1 B 1 6 3 4 2.5? ? Finden Sie die Seiten А 1 В 1 С 1, ähnlich ABC, wenn AB = 6, BC = 12. AC = 9 und k = 3. 2. Bestimme die Seiten А 1 В 1 С 1, ähnlich ABC, wenn AB = 6, BC = 12. AC = 9 und k = 1/3.

Satz 1. Das Verhältnis der Umfänge ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Ähnlichkeitskoeffizienten. M K E A B C Gegeben: MKE ~ ABC, K - Ähnlichkeitskoeffizient. Beweisen Sie: P MKE: P ABC = k Beweis: K, MK AB KE VS ME AS Also MK = k ∙ AB, KE = k ∙ VS, ME = k ∙ AS. Da nach der Bedingung MKE ~ ABC k der Ähnlichkeitskoeffizient ist, ist P MKE = MK + KE + ME = k ∙ AB + k ∙ BC + k ∙ AC = k ∙ (AB + BC + AC) = k ∙ R ABC. Daher gilt P MKE: P ABC = k.

Satz 2. Das Flächenverhältnis ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten a. M K E A B C Gegeben: MKE ~ ABC, K - Ähnlichkeitskoeffizient. Beweisen Sie: S MKE: S ABC = k 2 Beweis: Da nach der Bedingung MKE ~ ABC k der Ähnlichkeitskoeffizient ist, dann bedeutet M = A, k, MK AB ME AC MK = k ∙ AB, ME = k ∙ AC . S MKE S ABC MK ∙ ME AB ∙ AC k ∙ AB ∙ k ∙ АС AB ∙ АС k 2

Lösen Sie die Aufgaben Zwei ähnliche Seiten von ähnlichen Dreiecken sind 8 cm und 4 cm Der Umfang des zweiten Dreiecks beträgt 12 cm Wie ist der Umfang des ersten Dreiecks? 24 cm 2. Zwei ähnliche Seiten ähnlicher Dreiecke sind 9 cm und 3 cm groß. Die Fläche des zweiten Dreiecks beträgt 9 cm 2. Wie groß ist die Fläche des ersten Dreiecks? 81 cm 2 3. Zwei ähnliche Seiten ähnlicher Dreiecke sind 5 cm und 10 cm groß. Die Fläche des zweiten Dreiecks beträgt 32 cm 2. Wie groß ist die Fläche des ersten Dreiecks? 8 cm 2 4. Die Flächen zweier ähnlicher Dreiecke betragen 12 cm 2 und 48 cm 2. Eine der Seiten des ersten Dreiecks ist 4 cm lang, was ist die ähnliche Seite des zweiten Dreiecks? 8 cm

Lösung des Problems Die Flächen zweier ähnlicher Dreiecke sind 50 dm 2 und 32 dm 2, die Summe ihrer Umfangsflächen beträgt 117 dm 2. Finden Sie den Umfang jedes Dreiecks. Gesucht: P ABC, P REC Lösung: Da nach Bedingung die Dreiecke ABC und REC ähnlich sind, gilt: Gegeben: ABC, REC sind ähnlich, S ABC = 50 dm 2, S REK = 32 dm 2, P ABC + P REC = 117dm. S ABC S REK 50 32 25 16 K 2. Also ist k = 5 4 K, P ABC P REC P ABC P REC 5 4 1.25 Also, P ABC = 1.25 R REC Sei P ABC = x dm, dann ist P ABC = 1.25 x dm T. k nach der Bedingung P ABC + P REK = 117 dm, dann 1,25 x + x = 117, x = 52. Also, P REK = 52 dm, P ABC = 117 – 52 = 65 (dm). Antwort: 65 dm, 52 dm.

„Mathematik sollte erst danach unterrichtet werden, damit der Geist in Ordnung kommt“ MV Lomonosov Ich wünsche Ihnen viel Erfolg im Studium! Mikhailova L. P. GOU TsO Nr. 173.