جدول مقادیر توابع مثلثاتی زوایا. درجه اندازه گیری زاویه

مثلثات به عنوان یک علم در شرق باستان سرچشمه گرفته است. اولین نسبت های مثلثاتی توسط اخترشناسان برای ایجاد یک تقویم و جهت گیری دقیق توسط ستاره ها استخراج شد. این محاسبات مربوط به مثلثات کروی است، در حالی که در دوره مدرسه نسبت اضلاع و زوایای یک مثلث مسطح را مطالعه می کنند.

مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که به ویژگی های توابع مثلثاتی و روابط بین اضلاع و زوایای مثلث ها می پردازد.

در دوران اوج فرهنگ و علم در هزاره اول پس از میلاد، دانش از شرق باستان به یونان گسترش یافت. اما اکتشافات اصلی مثلثات، شایستگی مردان خلافت عرب است. به ویژه دانشمند ترکمن المرازوی توابعی مانند مماس و کوتانژانت را معرفی کرد و اولین جداول مقادیر سینوس ها، مماس ها و کتانژانت ها را جمع آوری کرد. مفاهیم سینوس و کسینوس توسط دانشمندان هندی معرفی شد. مثلثات در آثار شخصیت های بزرگ دوران باستان مانند اقلیدس، ارشمیدس و اراتوستن مورد توجه بسیاری قرار گرفت.

کمیت های اصلی مثلثات

توابع مثلثاتی اصلی یک آرگومان عددی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت هستند. هر کدام از آنها نمودار مخصوص به خود را دارند: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت.

فرمول های محاسبه مقادیر این مقادیر بر اساس قضیه فیثاغورث است. برای دانش آموزان مدرسه در فرمول بهتر شناخته شده است: "شلوار فیثاغورثی، در همه جهات برابر است"، زیرا اثبات با استفاده از مثال مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین ارائه شده است.

سینوس، کسینوس و سایر روابط رابطه بین زوایای تند و اضلاع هر مثلث قائم الزاویه را برقرار می کنند. اجازه دهید فرمول هایی را برای محاسبه این مقادیر برای زاویه A ارائه کنیم و روابط بین توابع مثلثاتی را ردیابی کنیم:

همانطور که می بینید، tg و ctg توابع معکوس هستند. اگر پایه a را حاصل ضرب گناه A و هیپوتنوز c و پایه b را cos A * c تصور کنیم، فرمول های زیر را برای مماس و کوتانژانت به دست می آوریم:

دایره مثلثاتی

از نظر گرافیکی، رابطه بین مقادیر ذکر شده را می توان به صورت زیر نشان داد:

دایره، در این مورد، تمام مقادیر ممکن زاویه α - از 0 درجه تا 360 درجه را نشان می دهد. همانطور که از شکل مشخص است، هر تابع بسته به زاویه یک مقدار منفی یا مثبت می گیرد. به عنوان مثال، اگر α به ربع 1 و 2 دایره تعلق داشته باشد، یعنی در محدوده 0 تا 180 درجه باشد، sin α علامت "+" خواهد داشت. برای α از 180 درجه تا 360 درجه (ربع III و IV)، sin α فقط می تواند یک مقدار منفی باشد.

بیایید سعی کنیم جداول مثلثاتی را برای زوایای خاص بسازیم و معنای کمیت ها را دریابیم.

مقادیر α برابر با 30 درجه، 45 درجه، 60 درجه، 90 درجه، 180 درجه و غیره را موارد خاص می نامند. مقادیر توابع مثلثاتی برای آنها محاسبه و در قالب جداول ویژه ارائه می شود.

این زوایا به طور تصادفی انتخاب نشده اند. نام π در جداول برای رادیان است. راد زاویه ای است که طول کمان دایره با شعاع آن مطابقت دارد. این مقدار به منظور ایجاد یک وابستگی جهانی معرفی شد؛ هنگام محاسبه بر حسب رادیان، طول واقعی شعاع بر حسب سانتی متر اهمیتی ندارد.

زوایای جداول برای توابع مثلثاتی با مقادیر رادیان مطابقت دارد:

بنابراین، حدس زدن اینکه 2π یک دایره کامل یا 360 درجه است دشوار نیست.

ویژگی های توابع مثلثاتی: سینوس و کسینوس

برای در نظر گرفتن و مقایسه خصوصیات اساسی سینوس و کسینوس، مماس و کوتانژانت، لازم است توابع آنها ترسیم شود. این را می توان به صورت یک منحنی واقع در یک سیستم مختصات دو بعدی انجام داد.

جدول مقایسه ای خواص سینوس و کسینوس را در نظر بگیرید:

موج سینوسی	کسینوس
y = sinx	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0، برای x = πk، که در آن k ε Z	cos x = 0، برای x = π/2 + πk، که در آن k ε Z
sin x = 1، برای x = π/2 + 2πk، که در آن k ε Z	cos x = 1، در x = 2πk، که در آن k ε Z
sin x = - 1، در x = 3π/2 + 2πk، که در آن k ε Z	cos x = - 1، برای x = π + 2πk، که در آن k ε Z
sin (-x) = - sin x، یعنی تابع فرد است	cos (-x) = cos x، یعنی تابع زوج است
	تابع تناوبی است، کوچکترین دوره 2π است
sin x › 0، با x متعلق به ربع اول و دوم یا از 0 درجه تا 180 درجه (2πk، π + 2πk)	cos x › 0، با x متعلق به ربع I و IV یا از 270 درجه تا 90 درجه (- π/2 + 2πk، π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0، با x متعلق به ربع سوم و چهارم یا از 180 درجه تا 360 درجه (π + 2πk، 2π + 2πk)	cos x ‹ 0، با x متعلق به ربع دوم و سوم یا از 90 درجه تا 270 درجه (π/2 + 2πk، 3π/2 + 2πk)
در فاصله [- π/2 + 2πk، π/2 + 2πk] افزایش می یابد	در بازه [-π + 2πk، 2πk] افزایش می یابد
در فواصل زمانی [π/2 + 2πk، 3π/2 + 2πk] کاهش می یابد	در فواصل زمانی کاهش می یابد
مشتق (sin x)’ = cos x	مشتق (cos x)’ = - sin x

تعیین زوج بودن یا نبودن یک تابع بسیار ساده است. کافی است یک دایره مثلثاتی با علائم مقادیر مثلثاتی تصور کنید و نمودار را نسبت به محور OX به صورت ذهنی "تا" کنید. اگر نشانه ها منطبق باشند، تابع زوج است و در غیر این صورت فرد است.

معرفی رادیان‌ها و فهرست‌بندی ویژگی‌های اساسی امواج سینوسی و کسینوسی به ما امکان می‌دهد الگوی زیر را ارائه دهیم:

تأیید صحت فرمول بسیار آسان است. به عنوان مثال، برای x = π/2، سینوس 1 است، همانطور که کسینوس x = 0 است. بررسی را می توان با مراجعه به جداول یا با ردیابی منحنی های تابع برای مقادیر داده شده انجام داد.

خواص مماس‌سوئیدها و کوتانژانتزوئیدها

نمودار توابع مماس و کتانژانت به طور قابل توجهی با توابع سینوسی و کسینوس متفاوت است. مقادیر tg و ctg متقابل یکدیگر هستند.

1. Y = tan x.
2. مماس به مقادیر y در x = π/2 + πk تمایل دارد، اما هرگز به آنها نمی رسد.
3. کوچکترین دوره مثبت مماس، π است.
4. Tg (- x) = - tg x، یعنی تابع فرد است.
5. Tg x = 0، برای x = πk.
6. عملکرد در حال افزایش است.
7. Tg x › 0، برای x ε (πk، π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0، برای x ε (- π/2 + πk، πk).
9. مشتق (tg x) = 1/cos 2⁡x.

تصویر گرافیکی کوتانژانتوئید زیر را در متن در نظر بگیرید.

خواص اصلی کوتانژانتوئیدها:

1. Y = تخت x.
2. برخلاف توابع سینوس و کسینوس، در مماس Y می تواند مقادیر مجموعه تمام اعداد حقیقی را بگیرد.
3. کوتانژانتوئید به مقادیر y در x = πk تمایل دارد، اما هرگز به آنها نمی رسد.
4. کوچکترین دوره مثبت کوتانژانتوئید π است.
5. Ctg (- x) = - ctg x، یعنی تابع فرد است.
6. Ctg x = 0، برای x = π/2 + πk.
7. عملکرد در حال کاهش است.
8. Ctg x › 0، برای x ε (πk، π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0، برای x ε (π/2 + πk، πk).
10. مشتق (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x درست است

در مقاله، ما به طور کامل متوجه خواهیم شد که چگونه به نظر می رسد جدول مقادیر مثلثاتی، سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت. بیایید معنای اصلی توابع مثلثاتی را از زاویه 0,30,45,60,90,...,360 درجه در نظر بگیریم. و بیایید ببینیم که چگونه از این جداول در محاسبه مقادیر توابع مثلثاتی استفاده کنیم.
ابتدا بیایید نگاه کنیم جدول کسینوس، سینوس، مماس و کوتانژانتاز زاویه 0، 30، 45، 60، 90، ... درجه. تعریف این مقادیر به ما امکان می دهد مقدار توابع زوایای 0 و 90 درجه را تعیین کنیم:

sin 0 0 = 0، cos 0 0 = 1. tg 00 = 0، کوتانژانت از 00 تعریف نشده خواهد بود
sin 90 0 = 1، cos 90 0 = 0، ctg90 0 = 0، مماس از 90 0 نامشخص خواهد بود

اگر مثلث های قائم الزاویه ای بگیرید که زوایای آنها از 30 تا 90 درجه است. ما گرفتیم:

sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tan 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tan 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, cot 60 0 = √3/3

اجازه دهید تمام مقادیر به دست آمده را در فرم نمایش دهیم جدول مثلثاتی:

جدول سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها!

اگر از فرمول کاهش استفاده کنیم، جدول ما افزایش می یابد و مقادیری برای زوایای تا 360 درجه اضافه می کند. به نظر خواهد رسید:

همچنین بر اساس خواص تناوب، جدول را می توان افزایش داد اگر زوایا را با 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z جایگزین کنیم که در آن z یک عدد صحیح است. در این جدول می توان مقدار تمام زوایای مربوط به نقاط یک دایره را محاسبه کرد.

بیایید نحوه استفاده از جدول را در یک راه حل بررسی کنیم.
همه چیز بسیار ساده است. از آنجایی که مقدار مورد نیاز ما در نقطه تقاطع سلول های مورد نیاز ما قرار دارد. به عنوان مثال، cos یک زاویه 60 درجه را در نظر بگیرید، در جدول به نظر می رسد:

در جدول نهایی مقادیر اصلی توابع مثلثاتی نیز به همین ترتیب پیش می رویم. اما در این جدول می توان فهمید که مماس از زاویه 1020 درجه چقدر است، = -√3 بیایید 1020 0 = 300 0 +360 0 *2 را بررسی کنیم. بیایید با استفاده از جدول آن را پیدا کنیم.

میز بردیس. برای سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت.

جداول بردیس به چند قسمت تقسیم می شوند که شامل جداول کسینوس و سینوس، مماس و کوتانژانت - که به دو قسمت (tg زوایای تا 90 درجه و ctg زوایای کوچک) تقسیم می شود.

سینوس و کسینوس

tg از زاویه شروع از 00 با پایان 760، ctg از زاویه شروع با 140 با پایان دادن به 900.

tg تا 900 و ctg زوایای کوچک.

بیایید نحوه استفاده از جداول Bradis را در حل مسائل بیابیم.

بیایید عنوان گناه را پیدا کنیم (تعریف در ستون در لبه سمت چپ) 42 دقیقه (تعریف در خط بالایی است). با تقاطع ما به دنبال تعیین می گردیم، آن = 0.3040.

مقادیر دقیقه با فاصله شش دقیقه نشان داده می شوند، اگر مقدار مورد نیاز دقیقاً در این بازه قرار گیرد چه باید کرد. بیایید 44 دقیقه در نظر بگیریم، اما فقط 42 در جدول وجود دارد. 42 را به عنوان پایه در نظر می گیریم و از ستون های اضافی سمت راست استفاده می کنیم، اصلاحیه 2 را می گیریم و به 0.3040 + 0.0006 اضافه می کنیم و 0.3046 می گیریم.

با sin 47 دقیقه، 48 دقیقه را مبنا قرار می دهیم و 1 تصحیح را از آن کم می کنیم، یعنی 0.3057 - 0.0003 = 0.3054

هنگام محاسبه cos، ما مشابه گناه کار می کنیم، فقط ردیف پایین جدول را به عنوان مبنا قرار می دهیم. به عنوان مثال cos 20 0 = 0.9397

مقادیر زاویه tg تا 90 0 و cot یک زاویه کوچک صحیح است و هیچ اصلاحی در آنها وجود ندارد. به عنوان مثال، tg 78 0 37min = 4.967 را پیدا کنید


و ctg 20 0 13min = 25.83

خوب، ما به جداول مثلثاتی اصلی نگاه کردیم. امیدواریم این اطلاعات برای شما بسیار مفید بوده باشد. اگر در مورد جداول سوالی دارید حتما در نظرات بنویسید!

توجه: ضربه گیرهای دیواری یک تخته سپر برای محافظت از دیوارها هستند. لینک ضربه گیرهای دیواری بدون قاب (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) را دنبال کنید و بیشتر بدانید.

در قرن پنجم قبل از میلاد، فیلسوف یونان باستان زنون از الئا، آپوریاهای معروف خود را تدوین کرد که معروف ترین آنها آپوریا "آخیل و لاک پشت" است. در اینجا به نظر می رسد:

فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل برای دویدن این مسافت طول می کشد، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم می دود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند تا بی نهایت ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این استدلال به یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی تبدیل شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، هیلبرت... همگی به نوعی به آپوریای زنون توجه داشتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث ها تا به امروز ادامه دارد؛ جامعه علمی هنوز نتوانسته است به یک نظر مشترک در مورد ماهیت پارادوکس ها برسد ... تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، رویکردهای جدید فیزیکی و فلسفی در بررسی موضوع دخیل بودند. ; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده برای مشکل تبدیل نشدند..."[ویکی‌پدیا، "Zeno's Aporia". همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب شامل چه چیزی است.

از نقطه نظر ریاضی، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از کمیت به . این انتقال به جای استفاده از موارد دائمی، کاربرد دارد. تا آنجا که من درک می کنم، دستگاه ریاضی برای استفاده از واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است، یا در آپوریای زنو اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما به دلیل اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را به مقدار متقابل اعمال می کنیم. از نقطه نظر فیزیکی، به نظر می رسد که زمان کند می شود تا زمانی که آشیل به لاک پشت می رسد، به طور کامل متوقف می شود. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت پیشی بگیرد.

اگر منطق همیشگی خود را برگردانیم، همه چیز سر جای خود قرار می گیرد. آشیل با سرعت ثابت می دود. هر بخش بعدی از مسیر او ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم «بی نهایت» را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم «آشیل بی نهایت سریع به لاک پشت می رسد».

چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای زمان ثابت بمانید و به واحدهای متقابل تغییر ندهید. در زبان زنو به این صورت است:

در مدت زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. در فاصله زمانی بعدی برابر با اول، آشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما این یک راه حل کامل برای مشکل نیست. بیانیه انیشتین در مورد مقاومت ناپذیری سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آخیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، تجدید نظر و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.

یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنو درباره یک فلش پرنده می گوید:

یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است و از آنجایی که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.

در این آپوریا، پارادوکس منطقی بسیار ساده غلبه می کند - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان یک فلش پرنده در نقاط مختلف فضا در حال استراحت است، که در واقع حرکت است. در اینجا لازم است به نکته دیگری توجه شود. از یک عکس از یک ماشین در جاده نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله تا آن را تعیین کرد. برای تعیین اینکه آیا یک ماشین در حال حرکت است یا خیر، نیاز به دو عکس دارید که از یک نقطه در نقاط مختلف زمان گرفته شده اند، اما نمی توانید فاصله آنها را تعیین کنید. برای تعیین فاصله تا یک ماشین، به دو عکس گرفته شده از نقاط مختلف فضا در یک نقطه از زمان نیاز دارید، اما از روی آنها نمی توانید واقعیت حرکت را تعیین کنید (البته، هنوز برای محاسبات به داده های اضافی نیاز دارید، مثلثات به شما کمک می کند. ). چیزی که می خواهم توجه ویژه ای را به آن جلب کنم این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در مکان چیزهای متفاوتی هستند که نباید با هم اشتباه گرفته شوند، زیرا فرصت های متفاوتی را برای تحقیق فراهم می کنند.

چهارشنبه 4 جولای 2018

تفاوت های بین مجموعه و چند مجموعه به خوبی در ویکی پدیا توضیح داده شده است. اجازه بدید ببینم.

همانطور که می بینید، "دو عنصر یکسان در یک مجموعه وجود ندارد"، اما اگر عناصر یکسان در یک مجموعه وجود داشته باشد، به چنین مجموعه ای "چند مجموعه" می گویند. موجودات معقول هرگز چنین منطق پوچ را درک نمی کنند. این سطح طوطی های سخنگو و میمون های تربیت شده است که از کلمه "کاملا" هوشی ندارند. ریاضیدانان مانند مربیان معمولی عمل می کنند و ایده های پوچ خود را به ما موعظه می کنند.

روزی روزگاری مهندسانی که این پل را ساخته بودند در قایق زیر پل بودند و پل را آزمایش می کردند. اگر پل فرو می ریزد، مهندس متوسط ​​زیر آوار ساخته خود می میرد. اگر پل می توانست بار را تحمل کند، مهندس با استعداد پل های دیگری می ساخت.

مهم نیست که چقدر ریاضیدانان پشت عبارت «به من فکر کن، من در خانه هستم» یا بهتر است بگوییم «ریاضی مفاهیم انتزاعی را مطالعه می‌کند» پنهان می‌شوند، یک بند ناف وجود دارد که آنها را به طور جدایی ناپذیری با واقعیت مرتبط می‌کند. این بند ناف پول است. اجازه دهید نظریه مجموعه های ریاضی را برای خود ریاضیدانان به کار ببریم.

ما ریاضی را خیلی خوب خواندیم و الان پشت صندوق نشسته ایم و حقوق می دهیم. بنابراین یک ریاضیدان برای پولش نزد ما می آید. کل مبلغ را برای او می شمریم و آن را روی میز خود در انبوه های مختلف می گذاریم، که اسکناس های یک فرقه را در آن می گذاریم. سپس از هر انبوه یک اسکناس می گیریم و "مجموعه ریاضی دستمزد" را به ریاضیدان می دهیم. اجازه دهید به ریاضیدان توضیح دهیم که تنها زمانی اسکناس های باقی مانده را دریافت می کند که ثابت کند مجموعه ای بدون عناصر یکسان با مجموعه ای با عناصر یکسان برابر نیست. این جایی است که سرگرم کننده آغاز می شود.

اول از همه، منطق نمایندگان کار خواهد کرد: "این را می توان برای دیگران اعمال کرد، اما برای من نه!" سپس آنها شروع به اطمینان دادن به ما خواهند کرد که اسکناس‌های یک فرقه دارای شماره اسکناس‌های متفاوتی هستند، به این معنی که نمی‌توان آنها را عناصر یکسانی در نظر گرفت. خوب، بیایید حقوق ها را به سکه حساب کنیم - هیچ عددی روی سکه ها وجود ندارد. در اینجا ریاضیدان دیوانه وار شروع به یادآوری فیزیک می کند: سکه های مختلف مقادیر مختلفی از خاک دارند، ساختار کریستالی و آرایش اتم ها برای هر سکه منحصر به فرد است...

و اکنون من جالب ترین سوال را دارم: خطی که فراتر از آن عناصر یک مولتی مجموعه به عناصر یک مجموعه تبدیل می شوند کجاست و بالعکس؟ چنین خطی وجود ندارد - همه چیز توسط شمن ها تصمیم می گیرد، علم حتی به دروغ گفتن در اینجا نزدیک نیست.

اینجا را نگاه کن. ما استادیوم های فوتبال را با همان زمین انتخاب می کنیم. مناطق فیلدها یکسان است - به این معنی که ما یک چند مجموعه داریم. اما اگر به اسامی همین استادیوم ها نگاه کنیم، به تعداد زیادی می رسیم، زیرا نام ها متفاوت است. همانطور که می بینید، همان مجموعه عناصر هم یک مجموعه و هم چند مجموعه است. کدام درسته؟ و در اینجا، ریاضیدان-شمن-شارپیست یک خال از آستین خود بیرون می‌آورد و شروع می‌کند به ما درباره یک مجموعه یا چند مجموعه بگوید. در هر صورت او ما را متقاعد خواهد کرد که حق با اوست.

برای درک اینکه چگونه شمن های مدرن با تئوری مجموعه ها عمل می کنند و آن را به واقعیت گره می زنند، کافی است به یک سوال پاسخ دهیم: عناصر یک مجموعه با عناصر مجموعه دیگر چه تفاوتی دارند؟ من به شما نشان خواهم داد، بدون هیچ گونه "مفهوم به عنوان یک کل واحد" یا "مصالح به عنوان یک کل واحد".

یکشنبه 18 مارس 2018

مجموع ارقام یک عدد رقص شمن ها با تنبور است که ربطی به ریاضیات ندارد. بله، در درس های ریاضی به ما یاد می دهند که مجموع ارقام یک عدد را پیدا کرده و از آن استفاده کنیم، اما به همین دلیل است که آنها شمن هستند تا مهارت ها و خرد خود را به فرزندان خود بیاموزند، در غیر این صورت شمن ها به سادگی از بین می روند.

آیا نیاز به مدرک دارید؟ ویکی پدیا را باز کنید و سعی کنید صفحه «مجموع ارقام یک عدد» را پیدا کنید. او وجود ندارد هیچ فرمولی در ریاضیات وجود ندارد که بتوان از آن برای یافتن مجموع ارقام هر عددی استفاده کرد. از این گذشته ، اعداد نمادهای گرافیکی هستند که با آنها اعداد را می نویسیم ، و در زبان ریاضیات این کار به این صورت است: "مجموع نمادهای گرافیکی را پیدا کنید که نشان دهنده هر عددی است." ریاضیدانان نمی توانند این مشکل را حل کنند، اما شمن ها می توانند آن را به راحتی انجام دهند.

بیایید بفهمیم که چه کاری و چگونه انجام می دهیم تا مجموع ارقام یک عدد معین را پیدا کنیم. و بنابراین، اجازه دهید عدد 12345 را داشته باشیم. برای یافتن مجموع ارقام این عدد چه باید کرد؟ بیایید تمام مراحل را به ترتیب در نظر بگیریم.

1. عدد را روی یک تکه کاغذ یادداشت کنید. ما چه کرده ایم؟ ما عدد را به نماد عدد گرافیکی تبدیل کرده ایم. این یک عملیات ریاضی نیست.

2. یک تصویر حاصل را به چندین عکس که حاوی اعداد جداگانه هستند برش می دهیم. برش عکس یک عملیات ریاضی نیست.

3. نمادهای گرافیکی فردی را به اعداد تبدیل کنید. این یک عملیات ریاضی نیست.

4. اعداد به دست آمده را اضافه کنید. حالا این ریاضی است.

مجموع ارقام عدد 12345 برابر با 15 است. اینها "دوره های برش و دوخت" هستند که توسط شمن ها تدریس می شود و ریاضیدانان از آنها استفاده می کنند. اما این همه ماجرا نیست.

از نظر ریاضی فرقی نمی کند که در کدام سیستم عددی عدد بنویسیم. بنابراین، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت خواهد بود. در ریاضیات، سیستم اعداد به عنوان زیرنویس در سمت راست عدد نشان داده می شود. با عدد بزرگ 12345، نمی خواهم سرم را گول بزنم، بیایید عدد 26 را از مقاله در مورد آن در نظر بگیریم. بیایید این عدد را در سیستم های اعداد باینری، اکتال، اعشاری و هگزادسیمال بنویسیم. ما هر مرحله را زیر میکروسکوپ نخواهیم دید، ما قبلاً این کار را انجام داده ایم. بیایید به نتیجه نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت است. این نتیجه ربطی به ریاضیات ندارد. مثل این است که اگر مساحت یک مستطیل را بر حسب متر و سانتی متر تعیین کنید، نتایج کاملاً متفاوتی می گیرید.

صفر در همه سیستم های اعداد یکسان به نظر می رسد و مجموع ارقام ندارد. این یکی دیگر از استدلال ها به نفع این واقعیت است که. سوال برای ریاضیدانان: چگونه چیزی که عدد نیست در ریاضیات تعیین می شود؟ چه، برای ریاضیدانان چیزی جز اعداد وجود ندارد؟ من می توانم این را برای شمن ها مجاز کنم، اما برای دانشمندان نه. واقعیت فقط اعداد نیست.

نتیجه به‌دست‌آمده باید به عنوان دلیلی در نظر گرفته شود که سیستم‌های عددی واحدهای اندازه‌گیری اعداد هستند. از این گذشته، ما نمی توانیم اعداد را با واحدهای اندازه گیری مختلف مقایسه کنیم. اگر اقدامات یکسان با واحدهای اندازه گیری متفاوت از یک کمیت پس از مقایسه آنها به نتایج متفاوتی منجر شود، پس این ربطی به ریاضیات ندارد.

ریاضیات واقعی چیست؟ این زمانی است که نتیجه یک عملیات ریاضی به اندازه عدد، واحد اندازه گیری استفاده شده و اینکه چه کسی این عمل را انجام می دهد بستگی ندارد.

روی درب امضا کنید در را باز می کند و می گوید:

اوه! اینجا دستشویی زنانه نیست؟
- زن جوان! این آزمایشگاهی است برای مطالعه قدوسیت بی عیب ارواح در هنگام عروج آنها به بهشت! هاله در بالا و فلش به بالا. چه توالت دیگری؟

ماده ... هاله بالا و فلش پایین نر هستند.

اگر چنین اثر هنری طراحی چندین بار در روز از جلوی چشمان شما چشمک بزند،

پس تعجب آور نیست که شما به طور ناگهانی نماد عجیبی را در ماشین خود پیدا کنید:

من شخصاً تلاش می‌کنم تا منهای چهار درجه را در یک فرد مدفوع ببینم (یک تصویر) (ترکیبی از چندین تصویر: علامت منفی، عدد چهار، تعیین درجه). و من فکر نمی کنم این دختر احمقی باشد که فیزیک نمی داند. او فقط یک کلیشه قوی از درک تصاویر گرافیکی دارد. و ریاضیدانان همیشه این را به ما می آموزند. در اینجا یک مثال است.

1A "منهای چهار درجه" یا "یک a" نیست. این "مرد مدفوع" یا عدد "بیست و شش" در نماد هگزا دسیمال است. افرادی که دائماً در این سیستم اعداد کار می کنند به طور خودکار یک عدد و یک حرف را به عنوان یک نماد گرافیکی درک می کنند.

انتخاب دسته کتاب ریاضیات فیزیک کنترل دسترسی و مدیریت ایمنی در برابر آتش تامین کنندگان تجهیزات مفید ابزارهای اندازه گیری اندازه گیری رطوبت - تامین کنندگان در فدراسیون روسیه. اندازه گیری فشار اندازه گیری هزینه ها جریان سنج. اندازه گیری دما اندازه گیری سطح. سطح سنج ها فناوری های بدون ترانشه سیستم های فاضلاب. تامین کنندگان پمپ در فدراسیون روسیه. تعمیر پمپ. لوازم جانبی خط لوله شیرهای پروانه ای (شیرهای پروانه ای). شیرهای چک شیرهای کنترل فیلترهای مشبک، فیلترهای گلی، فیلترهای مغناطیسی-مکانیکی. شیرهای توپی لوله ها و عناصر خط لوله. مهر و موم برای نخ ها، فلنج ها و غیره موتورهای الکتریکی، درایوهای الکتریکی ... دستی حروف الفبا، اسم، واحد، کدهای ... حروف الفبا، شامل. یونانی و لاتین. نمادها کدها آلفا، بتا، گاما، دلتا، اپسیلون ... رتبه بندی شبکه های برق. تبدیل واحدهای اندازه گیری دسی بل. رویا. زمینه. واحدهای اندازه گیری برای چه؟ واحدهای اندازه گیری فشار و خلاء تبدیل واحدهای فشار و خلاء. واحدهای طول تبدیل واحدهای طول (ابعاد خطی، فواصل). واحدهای حجمی تبدیل واحدهای حجمی واحدهای چگالی تبدیل واحدهای چگالی واحدهای منطقه تبدیل واحدهای مساحت واحدهای اندازه گیری سختی تبدیل واحدهای سختی واحدهای دما تبدیل واحدهای دما بر حسب کلوین / سلسیوس / فارنهایت / رانکین / Delisle / نیوتن / Reamur واحدهای اندازه گیری زاویه ("ابعاد زاویه ای"). تبدیل واحدهای اندازه گیری سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ای. خطاهای استاندارد اندازه گیری گازها به عنوان محیط کار متفاوت هستند. نیتروژن N2 (مبرد R728) آمونیاک (مبرد R717). ضد یخ. هیدروژن H^2 (مبرد R702) بخار آب. هوا (اتمسفر) گاز طبیعی - گاز طبیعی. بیوگاز گاز فاضلاب است. گاز مایع. NGL. LNG. پروپان بوتان. اکسیژن O2 (مبرد R732) روغن ها و روان کننده ها متان CH4 (مبرد R50) خواص آب. مونوکسید کربن CO. مونوکسید کربن. دی اکسید کربن CO2. (مبرد R744). کلر Cl2 هیدروژن کلرید HCl، همچنین به عنوان اسید هیدروکلریک شناخته می شود. مبردها (مبردها). مبرد (مبرد) R11 - فلوروتریکلرومتان (CFCI3) مبرد (مبرد) R12 - دی فلورودی کلرومتان (CF2CCl2) مبرد (مبرد) R125 - پنتا فلورواتان (CF2HCF3). مبرد (مبرد) R134a - 1،1،1،2-Tetrafluoroethane (CF3CFH2). مبرد (مبرد) R22 - دی فلوئوروکلرومتان (CF2ClH) مبرد (مبرد) R32 - دی فلورومتان (CH2F2). مبرد (مبرد) R407C - R-32 (23%) / R-125 (25%) / R-134a (52%) / درصد وزنی. سایر مواد - خواص حرارتی ساینده ها - سنگ ریزه، ظرافت، تجهیزات سنگ زنی. خاک، خاک، ماسه و سنگ های دیگر. شاخص های سست شدن، جمع شدگی و تراکم خاک ها و سنگ ها. انقباض و شل شدن، بارها. زوایای شیب، تیغه. ارتفاعات تاقچه ها، زباله ها. چوب. الوار. الوار. سیاههها. هیزم ... سرامیک. چسب و اتصالات چسب یخ و برف (آب یخ) فلزات آلومینیوم و آلیاژهای آلومینیوم مس، برنز و برنج برنز برنج مس (و طبقه بندی آلیاژهای مس) نیکل و آلیاژها مطابقت درجات آلیاژی فولادها و آلیاژها جداول مرجع وزن لوله های نورد شده . +/-5٪ وزن لوله. وزن فلز. خواص مکانیکی فولادها مواد معدنی چدن. آزبست محصولات غذایی و مواد اولیه غذایی. خواص و غیره به بخش دیگری از پروژه پیوند دهید. لاستیک، پلاستیک، الاستومر، پلیمر. شرح مفصل الاستومرهای PU، TPU، X-PU، H-PU، XH-PU، S-PU، XS-PU، T-PU، G-PU (CPU)، NBR، H-NBR، FPM، EPDM، MVQ ، TFE/P، POM، PA-6، TPFE-1، TPFE-2، TPFE-3، TPFE-4، TPFE-5 (PTFE اصلاح شده)، استحکام مواد. سوپرومات. مصالح و مواد ساختمانی. خواص فیزیکی، مکانیکی و حرارتی. بتن. محلول بتنی. راه حل. اتصالات ساختمانی. فولاد و دیگران. جداول کاربرد مواد مقاومت شیمیایی. قابلیت کاربرد دما مقاومت در برابر خوردگی. مواد آب بندی - درزگیرهای مشترک. PTFE (fluoroplastic-4) و مواد مشتق شده. نوار FUM. چسب های بی هوازی درزگیرهای غیر خشک کننده (غیر سخت شونده). درزگیرهای سیلیکونی (اورگانوسیلیکن). گرافیت، آزبست، پارونیت و مواد مشتق شده پارونیت. گرافیت منبسط شده حرارتی (TEG، TMG)، ترکیبات. خواص. کاربرد. تولید. کتان لوله کشی مهر و موم الاستومر لاستیکی مواد عایق حرارتی و عایق حرارتی. (لینک به بخش پروژه) تکنیک ها و مفاهیم مهندسی حفاظت در برابر انفجار. محافظت در برابر تأثیرات محیطی. خوردگی. نسخه های آب و هوایی (جدول سازگاری مواد) کلاس های فشار، دما، سفتی افت (از دست دادن) فشار. - مفهوم مهندسی حفاظت در مقابل آتش. آتش سوزی ها تئوری کنترل خودکار (تنظیم). کتاب مرجع ریاضی TAU حساب، پیشرفت هندسی و مجموع چند سری اعداد. اشکال هندسی خواص، فرمول ها: محیط ها، مساحت ها، حجم ها، طول ها. مثلث، مستطیل و غیره درجه به رادیان. فیگورهای تخت ویژگی ها، اضلاع، زوایا، صفات، محیط ها، برابری ها، شباهت ها، وترها، بخش ها، مساحت ها و غیره. مناطق ارقام نامنظم، حجم اجسام نامنظم. میانگین بزرگی سیگنال فرمول ها و روش های محاسبه مساحت نمودار. ساختن نمودارها خواندن نمودارها حساب انتگرال و دیفرانسیل. مشتقات و انتگرال های جدولی. جدول مشتقات. جدول انتگرال ها جدول آنتی مشتقات مشتق را بیابید. انتگرال را پیدا کنید. دیفوراها اعداد مختلط. واحد خیالی جبر خطی. (بردار، ماتریس) ریاضیات برای کوچولوها. مهد کودک - کلاس هفتم. منطق ریاضی. حل معادلات. معادلات درجه دوم و دو درجه دوم. فرمول ها. مواد و روش ها. حل معادلات دیفرانسیل نمونه هایی از حل معادلات دیفرانسیل معمولی با مرتبه بالاتر از اولی. نمونه هایی از راه حل های ساده ترین = معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول قابل حل تحلیلی. دستگاه های مختصات. دکارتی مستطیلی، قطبی، استوانه ای و کروی. دو بعدی و سه بعدی. سیستم های اعداد اعداد و ارقام (واقعی، مختلط، ....). جداول سیستم اعداد سری های قدرت تیلور، مکلارین (= مک لارن) و سری های دوره ای فوریه. گسترش توابع به سری جداول لگاریتم و فرمول های پایه جداول مقادیر عددی جداول برادیس. تئوری احتمال و آمار توابع مثلثاتی، فرمول ها و نمودارها. sin, cos, tg, ctg….مقادیر توابع مثلثاتی. فرمول های کاهش توابع مثلثاتی هویت های مثلثاتی روش های عددی تجهیزات - استانداردها، اندازه ها لوازم خانگی، تجهیزات خانگی. سیستم های زهکشی و زهکشی. کانتینرها، مخازن، مخازن، مخازن. ابزار دقیق و اتوماسیون ابزار دقیق و اتوماسیون. اندازه گیری دما. نوار نقاله، نوار نقاله. ظروف (لینک) اتصال دهنده ها. تجهیزات آزمایشگاهی. پمپ ها و ایستگاه های پمپاژ پمپ های مایعات و خمیر کاغذ. اصطلاحات تخصصی مهندسی فرهنگ لغت. غربالگری. فیلتراسیون. جداسازی ذرات از طریق مش و الک. استحکام تقریبی طناب ها، کابل ها، طناب ها، طناب های ساخته شده از پلاستیک های مختلف. محصولات لاستیکی. مفاصل و اتصالات. قطرها معمولی، اسمی، DN، DN، NPS و NB هستند. قطر متریک و اینچ. SDR کلیدها و کلیدها. استانداردهای ارتباطی سیگنال ها در سیستم های اتوماسیون (سیستم های ابزار دقیق و کنترل) سیگنال های ورودی و خروجی آنالوگ ابزارها، سنسورها، دبی متر و دستگاه های اتوماسیون. رابط های اتصال پروتکل های ارتباطی (ارتباطات) ارتباطات تلفنی. لوازم جانبی خط لوله شیرآلات، شیرآلات، شیرآلات... طول ساخت و ساز فلنج و رزوه. استانداردها ابعاد اتصال موضوعات. نامگذاری، اندازه، کاربرد، انواع ... (لینک مرجع) اتصالات («بهداشتی»، «اسپتیک») خطوط لوله در صنایع غذایی، لبنیات و داروسازی. لوله ها، خطوط لوله. قطر لوله و سایر مشخصات انتخاب قطر خط لوله نرخ های جریان. مخارج. استحکام - قدرت. جداول انتخاب، افت فشار. لوله های مسی. قطر لوله و سایر مشخصات لوله های پلی وینیل کلراید (PVC). قطر لوله و سایر مشخصات لوله های پلی اتیلن. قطر لوله و سایر مشخصات لوله پلی اتیلن HDPE. قطر لوله و سایر مشخصات لوله های فولادی (از جمله فولاد ضد زنگ). قطر لوله و سایر مشخصات لوله فولادی. لوله ضد زنگ است. لوله های فولادی ضد زنگ. قطر لوله و سایر مشخصات لوله ضد زنگ است. لوله های کربن استیل. قطر لوله و سایر مشخصات لوله فولادی. مناسب. فلنج بر اساس GOST، DIN (EN 1092-1) و ANSI (ASME). اتصال فلنجی. اتصالات فلنجی اتصال فلنجی. عناصر خط لوله لامپ برق اتصالات و سیم (کابل) برق موتورهای الکتریکی. موتورهای الکتریکی. دستگاه های سوئیچینگ برق. (لینک به بخش) استانداردهای زندگی شخصی مهندسان جغرافیا برای مهندسان. فاصله ها، مسیرها، نقشه ها….. مهندسان در زندگی روزمره. خانواده، کودکان، تفریحات، پوشاک و مسکن. فرزندان مهندسان مهندسان در ادارات مهندسان و افراد دیگر اجتماعی شدن مهندسان کنجکاوی ها مهندسان در حال استراحت این ما را شوکه کرد. مهندسان و مواد غذایی دستور غذاها، چیزهای مفید. ترفندهایی برای رستوران ها تجارت بین المللی برای مهندسان بیایید یاد بگیریم مثل یک هاکستر فکر کنیم. حمل و نقل و سفر. ماشین های شخصی، دوچرخه... فیزیک و شیمی انسان. اقتصاد برای مهندسان بورموتولوژی سرمایه داران - به زبان انسانی. مفاهیم و نقشه های فن آوری نوشتن، طراحی، کاغذ اداری و پاکت نامه. اندازه های استاندارد عکس تهویه و تهویه مطبوع. تامین آب و فاضلاب تامین آب گرم (DHW). تامین آب آشامیدنی فاضلاب. تامین آب سرد صنعت آبکاری خطوط/سیستم های بخار تبرید. خطوط/سیستم های میعان. خطوط بخار خطوط لوله میعانات گازی صنایع غذایی تامین گاز طبیعی جوشکاری فلزات نمادها و نامگذاری تجهیزات در نقشه ها و نمودارها. نمایش های گرافیکی متعارف در پروژه های گرمایش، تهویه، تهویه مطبوع و گرمایش و سرمایش، مطابق با استاندارد ANSI/ASHRAE 134-2005. استریلیزاسیون تجهیزات و مواد تامین حرارت صنایع الکترونیک تامین برق منبع فیزیکی کتاب حروف الفبا. نمادهای پذیرفته شده ثابت های فیزیکی پایه رطوبت مطلق، نسبی و خاص است. رطوبت هوا. جداول سایکرومتریک نمودارهای رمزین ویسکوزیته زمانی، عدد رینولدز (Re). واحدهای ویسکوزیته گازها خواص گازها ثابت های مجزای گاز فشار و خلاء خلاء طول، فاصله، ابعاد خطی صدا. سونوگرافی. ضرایب جذب صدا (پیوند به بخش دیگر) آب و هوا. داده های آب و هوا داده های طبیعی SNiP 01/23/99. اقلیم شناسی ساختمانی. (آمار داده های آب و هوا) SNIP 01/23/99 جدول 3 - میانگین دمای هوا ماهانه و سالانه، درجه سانتی گراد. اتحاد جماهیر شوروی سابق SNIP 01/23/99 جدول 1. پارامترهای اقلیمی دوره سرد سال. RF. SNIP 01/23/99 جدول 2. پارامترهای اقلیمی دوره گرم سال. اتحاد جماهیر شوروی سابق SNIP 01/23/99 جدول 2. پارامترهای اقلیمی دوره گرم سال. RF. SNIP 23-01-99 جدول 3. میانگین دمای ماهانه و سالانه هوا، درجه سانتیگراد. RF. SNiP 01/23/99. جدول 5a* - میانگین فشار جزئی ماهانه و سالانه بخار آب، hPa = 10^2 Pa. RF. SNiP 01/23/99. جدول 1. پارامترهای اقلیمی فصل سرد. اتحاد جماهیر شوروی سابق تراکم ها وزن ها وزن مخصوص. چگالی ظاهری. کشش سطحی. انحلال پذیری. حلالیت گازها و جامدات. نور و رنگ. ضرایب انعکاس، جذب و شکست الفبای رنگ:) - نام گذاری (کدگذاری) رنگ (رنگ ها). خواص مواد و محیط های برودتی. جداول. ضرایب اصطکاک برای مواد مختلف مقادیر حرارتی شامل جوش، ذوب، شعله و .... برای اطلاعات بیشتر به: ضرایب آدیاباتیک (نشانگرها) مراجعه کنید. همرفت و تبادل حرارت کل. ضرایب انبساط خطی حرارتی، انبساط حجمی حرارتی. دما، جوش، ذوب، سایر ... تبدیل واحدهای دما. اشتعال پذیری دمای نرم شدن نقاط جوش نقطه ذوب هدایت حرارتی. ضرایب هدایت حرارتی ترمودینامیک. گرمای ویژه تبخیر (تراکم). آنتالپی تبخیر گرمای ویژه احتراق (ارزش حرارتی). نیاز به اکسیژن کمیت های الکتریکی و مغناطیسی گشتاورهای دوقطبی الکتریکی. ثابت دی الکتریک ثابت الکتریکی طول موج های الکترومغناطیسی (کتاب مرجع یک بخش دیگر) قدرت میدان مغناطیسی مفاهیم و فرمول های الکتریسیته و مغناطیس. الکترواستاتیک. ماژول های پیزوالکتریک مقاومت الکتریکی مواد جریان الکتریکی مقاومت و رسانایی الکتریکی. پتانسیل های الکترونیکی کتاب مرجع شیمیایی "الفبای شیمیایی (لغت نامه)" - نام ها، اختصارات، پیشوندها، نامگذاری مواد و ترکیبات. محلول ها و مخلوط های آبی برای پردازش فلز. محلول های آبی برای اعمال و حذف پوشش های فلزی محلول های آبی برای تمیز کردن رسوبات کربن (رسوبات آسفالت-رزین، رسوبات کربن از موتورهای احتراق داخلی...) محلول های آبی برای غیرفعال کردن. محلول های آبی برای اچ کردن - حذف اکسیدها از سطح محلول های آبی برای فسفاته کردن محلول ها و مخلوط های آبی برای اکسیداسیون شیمیایی و رنگ آمیزی فلزات. محلول ها و مخلوط های آبی برای پرداخت شیمیایی محلول های آبی و حلال های آلی چربی زدایی مقدار pH. جداول pH احتراق و انفجار. اکسیداسیون و احیا. طبقات، دسته ها، تعیین خطر (سمیت) مواد شیمیایی جدول تناوبی عناصر شیمیایی توسط D.I. مندلیف. جدول مندلیف چگالی حلال های آلی (g/cm3) بسته به دما. 0-100 درجه سانتی گراد خواص راه حل ها ثابت تفکیک، اسیدیته، بازی. انحلال پذیری. مخلوط ها ثابت حرارتی مواد. آنتالپی ها آنتروپی. انرژی های گیبس ... (لینک به دایرکتوری شیمی پروژه) رگولاتورهای مهندسی برق سیستم های تامین برق تضمینی و بدون وقفه. سیستم های توزیع و کنترل سیستم های کابل کشی ساخت یافته مراکز داده

مفاهیم سینوس ()، کسینوس ()، مماس ()، کوتانژانت () با مفهوم زاویه پیوند ناگسستنی دارند. برای اینکه درک درستی از این مفاهیم پیچیده در نگاه اول داشته باشیم (که باعث ایجاد حالت وحشت در بسیاری از دانش‌آموزان مدرسه می‌شود) و مطمئن شویم که «شیطان به اندازه‌ای که ترسیم می‌شود وحشتناک نیست»، اجازه دهید از اینجا شروع کنیم. در ابتدا و درک مفهوم زاویه.

مفهوم زاویه: رادیان، درجه

بیایید به تصویر نگاه کنیم. بردار نسبت به نقطه به مقدار معینی "چرخش" شده است. بنابراین اندازه گیری این چرخش نسبت به موقعیت اولیه خواهد بود گوشه.

چه چیز دیگری باید در مورد مفهوم زاویه بدانید؟ خوب، البته، واحدهای زاویه!

زاویه را هم در هندسه و هم در مثلثات می توان بر حسب درجه و رادیان اندازه گیری کرد.

زاویه (یک درجه) زاویه مرکزی در یک دایره است که توسط یک قوس دایره ای برابر با بخشی از دایره فرو رفته است. بنابراین، کل دایره از "قطعات" کمان های دایره ای تشکیل شده است، یا زاویه توصیف شده توسط دایره برابر است.

یعنی شکل بالا زاویه ای برابر را نشان می دهد، یعنی این زاویه بر روی یک قوس دایره ای به اندازه محیط قرار دارد.

زاویه بر حسب رادیان، زاویه مرکزی در دایره ای است که توسط قوس دایره ای که طول آن برابر با شعاع دایره است، فرو رفته است. خوب متوجه شدی؟ اگر نه، پس بیایید آن را از نقاشی بفهمیم.

بنابراین، شکل زاویه ای برابر با رادیان را نشان می دهد، یعنی این زاویه بر روی یک کمان دایره ای قرار دارد که طول آن برابر با شعاع دایره است (طول برابر طول یا شعاع برابر با طول قوس). بنابراین، طول قوس با فرمول محاسبه می شود:

زاویه مرکزی بر حسب رادیان کجاست.

خوب، با دانستن این، می توانید پاسخ دهید که در زاویه توصیف شده توسط دایره چند رادیان وجود دارد؟ بله، برای این شما باید فرمول دور را به خاطر بسپارید. او اینجاست:

خوب، حالا بیایید این دو فرمول را به هم مرتبط کنیم و دریابیم که زاویه توصیف شده توسط دایره برابر است. یعنی با همبستگی مقدار بر حسب درجه و رادیان به آن می رسیم. به ترتیب، . همانطور که می بینید، بر خلاف "درجه"، کلمه "رادیان" حذف شده است، زیرا واحد اندازه گیری معمولاً از متن مشخص است.

چند رادیان وجود دارد؟ درست است!

فهمیدم؟ سپس ادامه دهید و آن را اصلاح کنید:

داشتن مشکلات؟ سپس نگاه کنید پاسخ می دهد:

مثلث قائم الزاویه: سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت زاویه

بنابراین، ما مفهوم زاویه را کشف کردیم. اما سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه چیست؟ بیایید آن را بفهمیم. برای انجام این کار، یک مثلث قائم الزاویه به ما کمک می کند.

اضلاع مثلث قائم الزاویه چه نام دارند؟ درست است، هیپوتنوز و پاها: هیپوتنوز سمتی است که در مقابل زاویه راست قرار دارد (در مثال ما این سمت است). پاها دو ضلع باقیمانده و (آنهایی که مجاور زاویه قائمه هستند) هستند و اگر پاها را نسبت به زاویه در نظر بگیریم، ساق پای مجاور است و ساق برعکس. خب حالا بیایید به این سوال پاسخ دهیم: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه چیست؟

سینوس زاویه- این نسبت پای مخالف (دور) به هیپوتنوز است.

در مثلث ما

کسینوس زاویه- این نسبت پای مجاور (نزدیک) به هیپوتنوز است.

در مثلث ما

مماس زاویه- این نسبت طرف مقابل (دور) به مجاور (نزدیک) است.

در مثلث ما

کتانژانت زاویه- این نسبت پای مجاور (نزدیک) به مخالف (دور) است.

در مثلث ما

این تعاریف لازم است یاد آوردن! برای اینکه راحت‌تر به خاطر بیاورید که کدام پا را باید به چه چیزی تقسیم کنید، باید آن را به وضوح درک کنید مماسو کتانژانتفقط پاها می نشینند و هیپوتنوز فقط در داخل ظاهر می شود سینوسیو کسینوس. و سپس می توانید با زنجیره ای از انجمن ها بیایید. مثلا این یکی:

کسینوس← لمس← لمس← مجاور;

کوتانژانت← لمس← لمس← مجاور.

اول از همه، باید به خاطر داشته باشید که سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به عنوان نسبت اضلاع یک مثلث به طول این ضلع ها (در یک زاویه) بستگی ندارد. باور نکن؟ سپس با مشاهده عکس مطمئن شوید:

برای مثال کسینوس یک زاویه را در نظر بگیرید. طبق تعریف، از مثلث: ، اما می توانیم کسینوس یک زاویه را از مثلث محاسبه کنیم: . ببینید طول اضلاع متفاوت است، اما مقدار کسینوس یک زاویه یکسان است. بنابراین، مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت تنها به بزرگی زاویه بستگی دارد.

اگر تعاریف را فهمیدید، پس بروید و آنها را تثبیت کنید!

برای مثلثی که در شکل زیر نشان داده شده است، پیدا می کنیم.

خوب متوجه شدی؟ سپس خودتان آن را امتحان کنید: همان را برای زاویه محاسبه کنید.

دایره واحد (مثلثی).

با درک مفاهیم درجه و رادیان دایره ای با شعاع برابر در نظر گرفتیم. چنین دایره ای نامیده می شود تنها. هنگام مطالعه مثلثات بسیار مفید خواهد بود. بنابراین، اجازه دهید به آن با کمی جزئیات بیشتر نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، این دایره در سیستم مختصات دکارتی ساخته شده است. شعاع دایره برابر با یک است، در حالی که مرکز دایره در مبدا مختصات قرار دارد، موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور ثابت است (در مثال ما، این شعاع است).

هر نقطه روی دایره مربوط به دو عدد است: مختصات محور و مختصات محور. این اعداد مختصات چیست؟ و در کل چه ربطی به موضوع مورد بحث دارن؟ برای انجام این کار، باید مثلث قائم الزاویه در نظر گرفته شده را به خاطر بسپاریم. در شکل بالا دو مثلث کامل قائم الزاویه را مشاهده می کنید. مثلثی را در نظر بگیرید. مستطیل است زیرا بر محور عمود است.

مثلث برابر چیست؟ درست است. علاوه بر این، می دانیم که شعاع دایره واحد است، که به معنای . بیایید این مقدار را با فرمول کسینوس جایگزین کنیم. این چیزی است که اتفاق می افتد:

مثلث برابر چیست؟ خوب البته، ! مقدار شعاع را در این فرمول جایگزین کنید و بدست آورید:

بنابراین، آیا می توانید بگویید یک نقطه متعلق به یک دایره چه مختصاتی دارد؟ خوب، هیچ راهی؟ اگر متوجه شوید که فقط اعداد هستند چه؟ با کدام مختصات مطابقت دارد؟ خب البته مختصات! و با چه مختصاتی مطابقت دارد؟ درست است، مختصات! بنابراین، دوره.

پس با چه چیزهایی برابری می کنند؟ درست است، بیایید از تعاریف متناظر مماس و کوتانژانت استفاده کنیم و دریافت کنیم که، a.

اگر زاویه بزرگتر باشد چه؟ برای مثال مانند این تصویر:

چه چیزی در این مثال تغییر کرده است؟ بیایید آن را بفهمیم. برای انجام این کار، اجازه دهید دوباره به یک مثلث قائم الزاویه بچرخیم. یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید: زاویه (در مجاورت یک زاویه). مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت برای یک زاویه چیست؟ درست است، ما به تعاریف مربوط به توابع مثلثاتی پایبند هستیم:

خوب، همانطور که می بینید، مقدار سینوس زاویه همچنان با مختصات مطابقت دارد. مقدار کسینوس زاویه - مختصات؛ و مقادیر مماس و کتانژانت به نسبت های مربوطه. بنابراین، این روابط برای هر چرخش بردار شعاع اعمال می شود.

قبلاً ذکر شد که موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور است. تاکنون این بردار را در خلاف جهت عقربه های ساعت چرخانده ایم، اما اگر آن را در جهت عقربه های ساعت بچرخانیم چه اتفاقی می افتد؟ هیچ چیز خارق العاده ای نیست، شما همچنین زاویه ای با مقدار مشخصی دریافت خواهید کرد، اما فقط آن منفی خواهد بود. بنابراین، هنگام چرخش بردار شعاع در خلاف جهت عقربه های ساعت، به دست می آوریم زوایای مثبتو هنگام چرخش در جهت عقربه های ساعت - منفی.

بنابراین، می دانیم که یک دور کامل بردار شعاع حول یک دایره یا است. آیا می توان بردار شعاع را به یا به چرخاند؟ خوب، البته که می توانید! بنابراین، در حالت اول، بردار شعاع یک دور کامل می‌کند و در موقعیت یا توقف می‌کند.

در حالت دوم، یعنی بردار شعاع سه دور کامل می‌کند و در موقعیت یا توقف می‌کند.

بنابراین، از مثال‌های بالا می‌توان نتیجه گرفت که زوایایی که با یا (جایی که هر عدد صحیحی است) متفاوت هستند، با موقعیت یکسان بردار شعاع مطابقت دارند.

شکل زیر یک زاویه را نشان می دهد. همان تصویر مربوط به گوشه و غیره است. این لیست را می توان به طور نامحدود ادامه داد. همه این زوایا را می توان با فرمول کلی یا (هر عدد صحیح کجاست) نوشت.

حال با دانستن تعاریف توابع مثلثاتی اساسی و با استفاده از دایره واحد سعی کنید به مقادیر زیر پاسخ دهید:

در اینجا یک حلقه واحد برای کمک به شما وجود دارد:

داشتن مشکلات؟ سپس بیایید آن را بفهمیم. پس می دانیم که:

از اینجا، مختصات نقاط مربوط به معیارهای زاویه خاص را تعیین می کنیم. خوب، بیایید به ترتیب شروع کنیم: زاویه در مربوط به یک نقطه با مختصات است، بنابراین:

وجود ندارد؛

علاوه بر این، با رعایت همان منطق، متوجه می شویم که گوشه ها به ترتیب با نقاط دارای مختصات مطابقت دارند. با دانستن این موضوع، تعیین مقادیر توابع مثلثاتی در نقاط مربوطه آسان است. ابتدا خودتان آن را امتحان کنید و سپس پاسخ ها را بررسی کنید.

پاسخ ها:

بنابراین می توانیم جدول زیر را تهیه کنیم:

نیازی به یادآوری تمام این ارزش ها نیست. کافی است مطابقت بین مختصات نقاط روی دایره واحد و مقادیر توابع مثلثاتی را به خاطر بسپارید:

اما مقادیر توابع مثلثاتی زوایا در و در جدول زیر آورده شده است. باید به یاد آورد:

نترسید، اکنون یک نمونه را به شما نشان می دهیم به خاطر سپردن مقادیر مربوطه بسیار ساده است:

برای استفاده از این روش، یادآوری مقادیر سینوس برای هر سه معیار زاویه () و همچنین مقدار مماس زاویه بسیار مهم است. با دانستن این مقادیر، بازیابی کل جدول بسیار ساده است - مقادیر کسینوس مطابق با فلش ها منتقل می شوند، یعنی:

با دانستن این موضوع، می توانید مقادیر را بازیابی کنید. صورت " " مطابقت دارد و مخرج " " مطابقت دارد. مقادیر کوتانژانت مطابق با فلش های نشان داده شده در شکل منتقل می شوند. اگر این را فهمیدید و نمودار را با فلش ها به خاطر بسپارید، کافی است تمام مقادیر جدول را به خاطر بسپارید.

مختصات یک نقطه روی یک دایره

آیا می توان نقطه ای (مختصات آن) را روی یک دایره پیدا کرد؟ دانستن مختصات مرکز دایره، شعاع و زاویه چرخش آن?

خوب، البته که می توانید! بیا بیرونش کنیم فرمول کلی برای یافتن مختصات یک نقطه.

برای مثال، یک دایره در مقابل ما قرار دارد:

به ما داده می شود که نقطه مرکز دایره است. شعاع دایره برابر است. لازم است مختصات نقطه ای را که با چرخش آن نقطه به درجه به دست می آید، پیدا کنیم.

همانطور که از شکل مشخص است، مختصات نقطه مطابق با طول قطعه است. طول پاره مطابق با مختصات مرکز دایره است، یعنی برابر است. طول یک قطعه را می توان با استفاده از تعریف کسینوس بیان کرد:

سپس آن را برای مختصات نقطه داریم.

با استفاده از همین منطق، مقدار مختصات y را برای نقطه پیدا می کنیم. بدین ترتیب،

بنابراین، به طور کلی، مختصات نقاط با فرمول تعیین می شود:

مختصات مرکز دایره،

شعاع دایره،

زاویه چرخش شعاع برداری.

همانطور که می بینید، برای دایره واحد مورد نظر ما، این فرمول ها به طور قابل توجهی کاهش می یابد، زیرا مختصات مرکز برابر با صفر و شعاع برابر با یک است:

خوب، بیایید این فرمول ها را با تمرین یافتن نقاط روی یک دایره امتحان کنیم؟

1. مختصات یک نقطه را در دایره واحد که با چرخاندن نقطه روی آن به دست می آید، بیابید.

2. مختصات یک نقطه را بر روی دایره واحد که با چرخاندن نقطه به دست می آید، پیدا کنید.

3. مختصات یک نقطه را در دایره واحد که با چرخاندن نقطه روی آن به دست می آید، بیابید.

4. نقطه مرکز دایره است. شعاع دایره برابر است. لازم است مختصات نقطه ای را که با چرخش بردار شعاع اولیه به دست می آید، پیدا کنیم.

5. نقطه مرکز دایره است. شعاع دایره برابر است. لازم است مختصات نقطه ای را که با چرخش بردار شعاع اولیه به دست می آید، پیدا کنیم.

آیا در یافتن مختصات یک نقطه روی یک دایره مشکل دارید؟

این پنج مثال را حل کنید (یا در حل آنها خوب شوید) و یاد خواهید گرفت که آنها را پیدا کنید!

خلاصه و فرمول های اساسی

سینوس یک زاویه نسبت پای مقابل (دور) به هیپوتنوز است.

کسینوس یک زاویه نسبت ساق مجاور (نزدیک) به هیپوتنوز است.

مماس یک زاویه نسبت ضلع مقابل (دور) به ضلع مجاور (نزدیک) است.

کتانژانت یک زاویه نسبت ضلع مجاور (نزدیک) به طرف مقابل (دور) است.

خب موضوع تموم شد اگر این خطوط را می خوانید، به این معنی است که شما بسیار باحال هستید.

زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا انتها بخوانید، در این 5 درصد هستید!

حالا مهمترین چیز.

شما نظریه این موضوع را درک کرده اید. و، تکرار می کنم، این ... این فقط فوق العاده است! شما در حال حاضر بهتر از اکثریت قریب به اتفاق همسالان خود هستید.

مشکل اینجاست که ممکن است این کافی نباشد...

برای چی؟

برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی یکپارچه، برای ورود به دانشگاه با بودجه و مهمتر از همه، مادام العمر.

من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز را می گویم ...

افرادی که تحصیلات خوبی دریافت کرده اند بسیار بیشتر از کسانی که آن را دریافت نکرده اند، درآمد دارند. این آمار است.

اما این موضوع اصلی نیست.

نکته اصلی این است که آنها خوشحال تر هستند (چنین مطالعاتی وجود دارد). شاید به این دلیل که فرصت های بیشتری پیش روی آنها باز می شود و زندگی روشن تر می شود؟ نمی دانم...

اما خودت فکر کن...

چه چیزی لازم است تا مطمئن شوید که در آزمون یکپارچه دولتی بهتر از دیگران باشید و در نهایت شادتر باشید؟

با حل مشکلات مربوط به این موضوع، دست خود را به دست آورید.

در طول امتحان از شما تئوری خواسته نمی شود.

شما نیاز خواهید داشت حل مشکلات در برابر زمان.

و اگر آنها را حل نکرده باشید (خیلی!)، قطعاً در جایی مرتکب اشتباه احمقانه ای خواهید شد یا به سادگی وقت نخواهید داشت.

مانند ورزش است - برای اینکه مطمئن شوید باید آن را چندین بار تکرار کنید.

مجموعه را در هر کجا که می خواهید پیدا کنید، لزوما با راه حل ها، تجزیه و تحلیل دقیقو تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید!

شما می توانید از وظایف ما (اختیاری) استفاده کنید و ما البته آنها را توصیه می کنیم.

برای اینکه در استفاده از وظایف ما بهتر شوید، باید به افزایش عمر کتاب درسی YouClever که در حال حاضر در حال خواندن آن هستید کمک کنید.

چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:

1. قفل تمام کارهای پنهان در این مقاله را باز کنید -
2. باز کردن قفل دسترسی به تمام وظایف پنهان در تمام 99 مقاله کتاب درسی - خرید کتاب درسی - 499 RUR

بله، ما 99 مقاله از این قبیل در کتاب درسی خود داریم و دسترسی به تمام وظایف و تمام متون پنهان در آنها بلافاصله باز می شود.

دسترسی به تمام کارهای پنهان برای کل عمر سایت فراهم شده است.

در نتیجه...

اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط در تئوری متوقف نشوید.

"فهمیده" و "من می توانم حل کنم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.

مشکلات را پیدا کنید و آنها را حل کنید!