مساحت مثلث قائم الزاویه چقدر است. چگونه مساحت یک مثلث را پیدا کنیم

در کلاس هندسه در دبیرستان به همه ما در مورد مثلث گفته می شد. با این حال، به عنوان بخشی از برنامه درسی مدرسه، ما فقط لازم ترین دانش را دریافت می کنیم و رایج ترین و استانداردترین روش های محاسبه را یاد می گیریم. آیا راه های غیرمعمولی برای یافتن این مقدار وجود دارد؟

به عنوان مقدمه، به یاد بیاوریم که کدام مثلث قائم الزاویه در نظر گرفته می شود و همچنین مفهوم مساحت را نشان می دهد.

مثلث قائم الزاویه یک شکل هندسی بسته است که یکی از زوایای آن برابر با 90 0 است. مفاهیم انتگرال در تعریف پاها و هیپوتونوس هستند. پاها به معنای دو ضلع است که در نقطه اتصال یک زاویه قائمه تشکیل می دهند. هیپوتنوز ضلعی است که در مقابل زاویه راست قرار دارد. یک مثلث قائم الزاویه می تواند متساوی الساقین باشد (اندازه دو ضلع آن یکسان خواهد بود)، اما هرگز متساوی الاضلاع نخواهد بود (طول همه ضلع ها یکسان خواهد بود). ما در مورد تعاریف ارتفاع، میانه، بردارها و سایر اصطلاحات ریاضی به تفصیل بحث نمی کنیم. یافتن آنها در کتاب های مرجع آسان است.

مساحت مثلث قائم الزاویه. بر خلاف مستطیل ها، قانون در مورد

کار طرفین در تعیین مصداق ندارد. اگر به صورت خشک صحبت کنیم، مساحت یک مثلث به عنوان خاصیت این شکل برای اشغال بخشی از هواپیما درک می شود که با عدد بیان می شود. درک آن بسیار دشوار است، شما موافق خواهید بود. بیایید سعی نکنیم عمیقاً در تعریف کاوش کنیم؛ هدف ما این نیست. بیایید به موضوع اصلی برویم - چگونه مساحت یک مثلث قائم الزاویه را پیدا کنیم؟ ما خود محاسبات را انجام نمی دهیم، فقط فرمول ها را نشان می دهیم. برای انجام این کار، بیایید نماد را تعریف کنیم: A، B، C - اضلاع مثلث، پاها - AB، BC. زاویه ACB مستقیم است. S مساحت مثلث است، h n n ارتفاع مثلث است، جایی که nn ضلعی است که در آن پایین آمده است.

روش 1. چگونه می توان مساحت یک مثلث قائم الزاویه را در صورتی که اندازه پاهای آن مشخص باشد، پیدا کرد.

روش 2. مساحت مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین را پیدا کنید

روش 3. محاسبه مساحت با استفاده از مستطیل

مثلث قائم الزاویه را به یک مربع کامل می کنیم (اگر مثلث باشد

متساوی الساقین) یا مستطیل. یک چهار ضلعی ساده بدست می آوریم که از 2 مثلث قائم الزاویه یکسان تشکیل شده است. در این صورت مساحت یکی از آنها برابر با نصف مساحت شکل حاصل خواهد بود. S یک مستطیل از حاصل ضرب اضلاع محاسبه می شود. بیایید این مقدار را M نشان دهیم. مقدار مساحت مورد نظر برابر با نصف M خواهد بود.

روش 4. "شلوار فیثاغورثی." قضیه معروف فیثاغورث

همه ما فرمول آن را به یاد داریم: "مجموع مربع های پاها ...". اما همه نمی توانند

بگو، برخی از "شلوارها" چه ربطی به آن دارند؟ واقعیت این است که فیثاغورث در ابتدا رابطه بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه را مطالعه کرد. او با شناسایی الگوهایی در نسبت اضلاع مربع ها، توانست فرمولی را استخراج کند که برای همه ما شناخته شده است. در مواردی که اندازه یکی از اضلاع مشخص نیست می توان از آن استفاده کرد.

روش 5. چگونه با استفاده از فرمول هرون مساحت مثلث قائم الزاویه را پیدا کنیم

این نیز یک روش نسبتاً ساده برای محاسبه است. این فرمول شامل بیان مساحت یک مثلث از طریق مقادیر عددی اضلاع آن است. برای محاسبات، باید اندازه تمام اضلاع مثلث را بدانید.

S = (p-AC)*(p-BC)، که در آن p = (AB+BC+AC)*0.5

علاوه بر موارد فوق، راه های زیادی برای یافتن اندازه چنین شکل مرموز مانند مثلث وجود دارد. از جمله: محاسبه به روش دایره محاطی یا محاطی، محاسبه با استفاده از مختصات رئوس، استفاده از بردارها، قدر مطلق، سینوس ها، مماس ها.

مثلث قائم الزاویه مثلثی است که یکی از زوایای آن 90 درجه باشد. مساحت آن را می توان در صورتی یافت که دو طرف آن مشخص باشد. البته می‌توانید مسیر طولانی را انتخاب کنید - هیپوتانوس را پیدا کنید و مساحت را با استفاده از . به همین دلیل است که فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه به شکل زیر است:

مساحت مثلث قائم الزاویه برابر با نصف حاصلضرب پاها است.

مثالی از محاسبه مساحت مثلث قائم الزاویه.
یک مثلث قائم الزاویه با پاها داده شده است آ= 8 سانتی متر، ب= 6 سانتی متر
ما مساحت را محاسبه می کنیم:
مساحت: 24 سانتی متر مربع

قضیه فیثاغورث برای مثلث قائم الزاویه نیز صدق می کند. – مجموع مجذور دو پایه برابر با مجذور هیپوتانوس است.
فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین به همان روشی که برای مثلث قائم الزاویه منظم محاسبه می شود.

مثالی از محاسبه مساحت مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین:
با توجه به یک مثلث با پاها آ= 4 سانتی متر، ب= 4 سانتی متر مساحت را محاسبه کنید:
مساحت را محاسبه کنید: = 8 سانتی متر مربع

فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه توسط هیپوتنوز را می توان در صورتی استفاده کرد که شرط یک پا داده شود. از قضیه فیثاغورث طول پای مجهول را پیدا می کنیم. به عنوان مثال، با توجه به هیپوتانوز جو پا آ، پا ببرابر خواهد بود با:
بعد، مساحت را با استفاده از فرمول معمول محاسبه کنید. مثالی از محاسبه فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه بر اساس هیپوتانوس با آنچه در بالا توضیح داده شد یکسان است.

بیایید یک مسئله جالب را در نظر بگیریم که به تثبیت دانش فرمول های حل مثلث کمک می کند.
وظیفه: مساحت مثلث قائم الزاویه 180 متر مربع است. ببینید، ساق کوچکتر مثلث را اگر 31 سانتی متر کمتر از دومی باشد، پیدا کنید.
راه حل: بیایید پاها را مشخص کنیم آو ب. حالا بیایید داده ها را با فرمول مساحت جایگزین کنیم: همچنین می دانیم که یک پا کوچکتر از دیگری است آ – ب= 31 سانتی متر
از شرط اول آن را به دست می آوریم
این شرط را با معادله دوم جایگزین می کنیم:

از آنجایی که اضلاع را پیدا کردیم، علامت منفی را حذف می کنیم.
معلوم می شود که پا آ= 40 سانتی متر، الف ب= 9 سانتی متر

یک مثلث قائم الزاویه در واقعیت تقریبا در هر گوشه ای یافت می شود. آگاهی از خواص یک شکل معین و همچنین توانایی محاسبه مساحت آن، بدون شک نه تنها برای حل مسائل هندسه، بلکه در موقعیت های زندگی نیز برای شما مفید خواهد بود.

هندسه مثلث

در هندسه ابتدایی، مثلث قائم الزاویه به شکلی گفته می شود که از سه قسمت متصل به هم تشکیل شده است که سه زاویه (دو زاویه حاد و یک راست) را تشکیل می دهند. مثلث قائم الزاویه یک شکل اصلی است که با تعدادی ویژگی مهم مشخص می شود که پایه و اساس مثلثات را تشکیل می دهد. بر خلاف مثلث معمولی، اضلاع یک شکل مستطیلی نام خود را دارند:

• هیپوتنوس طولانی ترین ضلع مثلث است که در مقابل زاویه قائمه قرار دارد.
• پاها قطعاتی هستند که یک زاویه قائمه تشکیل می دهند. بسته به زاویه مورد نظر، ساق می تواند در مجاورت آن باشد (این زاویه را با هیپوتنوز تشکیل می دهد) یا مخالف (در مقابل زاویه قرار گرفته است). هیچ پایه ای برای مثلث های غیر قائم الزاویه وجود ندارد.

این نسبت پاها و هیپوتنوس است که اساس مثلثات را تشکیل می دهد: سینوس ها، مماس ها و سکونت ها به عنوان نسبت اضلاع یک مثلث قائم الزاویه تعریف می شوند.

مثلث قائم الزاویه در واقعیت

این رقم در واقعیت گسترده شده است. از مثلث ها در طراحی و فناوری استفاده می شود، بنابراین محاسبه مساحت یک شکل باید توسط مهندسان، معماران و طراحان انجام شود. پایه های چهار وجهی یا منشورها - شکل های سه بعدی که در زندگی روزمره به راحتی می توان آنها را ملاقات کرد - شکل یک مثلث دارند. علاوه بر این، مربع ساده ترین نمایش یک مثلث قائم الزاویه "مسطح" در واقعیت است. مربع ابزار فلزکاری، نقشه کشی، ساخت و ساز و نجاری است که هم دانش آموزان و هم مهندسان از آن برای ساختن زاویه استفاده می کنند.

مساحت یک مثلث

مساحت یک شکل هندسی تخمین کمی است از اینکه چقدر صفحه توسط اضلاع مثلث محدود شده است. مساحت یک مثلث معمولی را می توان به پنج روش، با استفاده از فرمول هرون یا با استفاده از متغیرهایی مانند قاعده، ضلع، زاویه و شعاع دایره محاط شده یا محاط شده پیدا کرد. ساده ترین فرمول برای مساحت به صورت زیر بیان می شود:

در جایی که a ضلع مثلث است، h ارتفاع آن است.

فرمول محاسبه مساحت مثلث قائم الزاویه ساده تر است:

جایی که a و b پاها هستند.

با کار با ماشین حساب آنلاین ما، می توانید مساحت یک مثلث را با استفاده از سه جفت پارامتر محاسبه کنید:

• دو پا؛
• ساق و زاویه مجاور؛
• ساق و زاویه مخالف

در مشکلات یا موقعیت های روزمره ترکیب های مختلفی از متغیرها به شما داده می شود، بنابراین این فرم از ماشین حساب به شما امکان می دهد مساحت یک مثلث را به روش های مختلفی محاسبه کنید. بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

نمونه های زندگی واقعی

کاشی سرامیک

فرض کنید می خواهید دیوارهای آشپزخانه را با کاشی های سرامیکی که به شکل مثلث قائم الزاویه هستند، بپوشانید. برای تعیین میزان مصرف کاشی، باید مساحت یک عنصر روکش و کل سطح سطح تحت درمان را پیدا کنید. فرض کنید باید 7 متر مربع را پردازش کنید. طول پایه های یک عنصر 19 سانتی متر است، سپس مساحت کاشی برابر با:

این بدان معنی است که مساحت یک عنصر 24.5 سانتی متر مربع یا 0.01805 متر مربع است. با دانستن این پارامترها، می توانید محاسبه کنید که برای تکمیل 7 متر مربع دیوار به 7/0.01805 = 387 عنصر کاشی روبرو نیاز دارید.

تکلیف مدرسه

فرض کنید در یک مسئله هندسه مدرسه باید مساحت یک مثلث قائم الزاویه را بیابید، فقط می دانید که ضلع یک پا 5 سانتی متر و زاویه مخالف آن 30 درجه است. ماشین حساب آنلاین ما با تصویری ارائه می شود که اضلاع و زوایای یک مثلث قائم الزاویه را نشان می دهد. اگر ضلع a = 5 سانتی متر باشد، زاویه مقابل آن زاویه آلفا برابر با 30 درجه است. این داده ها را در فرم ماشین حساب وارد کنید و نتیجه را دریافت کنید:

بنابراین، ماشین حساب نه تنها مساحت یک مثلث معین را محاسبه می کند، بلکه طول پای مجاور و هیپوتنوز و همچنین مقدار زاویه دوم را نیز تعیین می کند.

نتیجه

مثلث های قائم الزاویه در زندگی ما به معنای واقعی کلمه در هر گوشه یافت می شوند. تعیین مساحت چنین ارقامی نه تنها هنگام حل تکالیف مدرسه در هندسه، بلکه در فعالیت های روزمره و حرفه ای برای شما مفید خواهد بود.

مثلث یک شکل هندسی مسطح با یک زاویه برابر 90 درجه است. علاوه بر این، در هندسه اغلب لازم است مساحت چنین شکلی محاسبه شود. ما به شما خواهیم گفت که چگونه این کار را بیشتر انجام دهید.

ساده ترین فرمول برای تعیین مساحت مثلث قائم الزاویه

داده های اولیه، که در آن: a و b اضلاع مثلث هستند که از زاویه قائم امتداد دارند.

یعنی مساحت برابر نصف حاصل ضرب دو ضلعی است که از زاویه قائم خارج می شوند. البته از فرمول هرون برای محاسبه مساحت مثلث منظم استفاده می شود، اما برای تعیین مقدار باید طول سه ضلع را بدانید. بر این اساس، شما باید هیپوتانوس را محاسبه کنید و این زمان اضافی است.

با استفاده از فرمول هرون مساحت مثلث قائم الزاویه را پیدا کنید

این یک فرمول شناخته شده و اصلی است، اما برای این کار باید با استفاده از قضیه فیثاغورث، هیپوتانوس را در دو پایه محاسبه کنید.

در این فرمول: a, b, c اضلاع مثلث و p نیمه محیط است.

مساحت مثلث قائم الزاویه را با استفاده از فرضیه و زاویه پیدا کنید

اگر هیچ یک از پاها در مشکل شما شناخته نشده است، نمی توانید از ساده ترین روش استفاده کنید. برای تعیین مقدار باید طول پاها را محاسبه کنید. این کار را می توان به سادگی با استفاده از هیپوتانوس و کسینوس زاویه مجاور انجام داد.

b=c×cos(α)

هنگامی که طول یکی از پاها را دانستید، با استفاده از قضیه فیثاغورث می توانید ضلع دوم را که از زاویه راست خارج می شود محاسبه کنید.

b 2 =c 2 -a 2

در این فرمول، c و a به ترتیب هیپوتونوس و پا هستند. اکنون می توانید مساحت را با استفاده از فرمول اول محاسبه کنید. به همین ترتیب، می توانید یکی از پایه ها را با توجه به دوم و زاویه محاسبه کنید. در این صورت یکی از اضلاع مورد نیاز برابر با حاصل ضرب ساق و مماس زاویه خواهد بود. روش های دیگری نیز برای محاسبه مساحت وجود دارد، اما با دانستن قضایا و قواعد اولیه می توانید مقدار مورد نظر را به راحتی پیدا کنید.

اگر هیچ یک از ضلع های مثلث را ندارید، بلکه فقط میانه و یکی از زاویه ها را دارید، می توانید طول اضلاع را محاسبه کنید. برای این کار از خواص میانه استفاده کنید تا یک مثلث قائم الزاویه را به دو قسمت تقسیم کنید. بر این اساس، اگر از زاویه حاد خارج شود، می تواند به عنوان هیپوتونوس عمل کند. از قضیه فیثاغورث استفاده کنید و طول اضلاع مثلثی را که از زاویه قائمه آمده است تعیین کنید.

همانطور که می بینید، با دانستن فرمول های پایه و قضیه فیثاغورث، می توانید مساحت یک مثلث قائم الزاویه را محاسبه کنید که تنها یکی از زوایا و طول یکی از اضلاع را دارد.

بسته به نوع مثلث، چندین گزینه برای یافتن مساحت آن وجود دارد. به عنوان مثال، برای محاسبه مساحت یک مثلث قائم الزاویه، از فرمول S= a * b / 2 استفاده کنید که a و b پاهای آن هستند. اگر می خواهید مساحت یک مثلث متساوی الساقین را پیدا کنید، باید حاصل ضرب قاعده و ارتفاع آن را بر دو تقسیم کنید. یعنی S= b*h / 2 که b قاعده مثلث و h ارتفاع آن است.

در مرحله بعد، ممکن است لازم باشد مساحت یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین را محاسبه کنید. در اینجا فرمول زیر به کمک می آید: S = a * a / 2، که در آن پاهای "a" و "a" لزوما باید مقادیر یکسانی داشته باشند.

همچنین، ما اغلب باید مساحت یک مثلث متساوی الاضلاع را محاسبه کنیم. با فرمول S= a * h/ 2 پیدا می شود که a ضلع مثلث و h ارتفاع آن است. یا طبق این فرمول: S= √3/ 4 *a^2، که در آن a ضلع است.

نحوه پیدا کردن مساحت مثلث قائم الزاویه

آیا باید مساحت یک مثلث قائم الزاویه را پیدا کنید، اما بیان مسئله ابعاد دو تا از پایه های آن را به طور همزمان نشان نمی دهد؟ سپس نمی توانیم مستقیماً از این فرمول (S= a * b / 2) استفاده کنیم.

بیایید چندین راه حل ممکن را در نظر بگیریم:

• اگر طول یک پا را نمی دانید، اما ابعاد هیپوتنوس و پای دوم داده شده است، به فیثاغورث بزرگ می پردازیم و با استفاده از قضیه او (a^2+b^2=c^2) طول پای مجهول را محاسبه می کنیم، سپس از آن برای محاسبه مساحت مثلث استفاده می کنیم.
• اگر طول یک پایه و درجه شیب زاویه مقابل آن داده شود: طول پایه دوم را با استفاده از فرمول - a=b*ctg(C) می یابیم.
• با توجه به: طول یک پایه و درجه شیب زاویه مجاور آن: برای یافتن طول پایه دوم از فرمول a=b*tg(C) استفاده می کنیم.
• و در آخر، با توجه به: زاویه و طول هیپوتانوس: طول هر دو پایه آن را با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می کنیم - b=c*sin(C) و a=c*cos(C).

نحوه پیدا کردن مساحت مثلث متساوی الساقین

مساحت یک مثلث متساوی الساقین را می توان با استفاده از فرمول S=b*h / 2 خیلی راحت و سریع پیدا کرد، اما اگر یکی از شاخص ها از دست رفته باشد، کار بسیار پیچیده تر می شود. پس از همه، انجام اقدامات اضافی ضروری است.

گزینه های کار ممکن:

• داده شده: طول یکی از اضلاع و طول پایه. با استفاده از قضیه فیثاغورث، ارتفاع، یعنی طول پایه دوم را پیدا می کنیم. مشروط بر اینکه طول قاعده تقسیم بر دو ساق باشد و ضلع شناخته شده اولیه هیپوتنوز باشد.
• داده شده: پایه و زاویه بین ضلع و پایه. ما ارتفاع را با استفاده از فرمول h=c*ctg(B)/2 محاسبه می کنیم (فراموش نکنید ضلع c را بر دو تقسیم کنید).
• با توجه به: ارتفاع و زاویه ای که از قاعده و ضلع تشکیل شده است: برای یافتن ارتفاع از فرمول c=h*tg(B)*2 استفاده می کنیم و حاصل را در دو ضرب می کنیم. بعد مساحت را محاسبه می کنیم.
• شناخته شده: طول ضلع و زاویه تشکیل شده بین آن و ارتفاع. راه حل: برای یافتن پایه و ارتفاع از فرمول های c=a*sin(C)*2 و h=a*cos(C) استفاده می کنیم و بعد از آن مساحت را محاسبه می کنیم.

نحوه پیدا کردن مساحت مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین

اگر همه داده ها شناخته شده باشند، با استفاده از فرمول استاندارد S= a* a / 2 مساحت یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین را محاسبه می کنیم، اما اگر برخی از شاخص ها در مشکل نشان داده نشده باشند، اقدامات اضافی انجام می شود.

به عنوان مثال: طول هر دو ضلع را نمی دانیم (به یاد می آوریم که در یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین آنها با هم برابر هستند) اما طول هیپوتانوس داده شده است. بیایید قضیه فیثاغورث را برای یافتن اضلاع یکسان "a" و "a" اعمال کنیم. فرمول فیثاغورث: a^2+b^2=c^2. در مورد مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین به این تبدیل می شود: 2a^2 = c^2. به نظر می رسد که برای یافتن پای "a"، باید طول هیپوتنوز را بر ریشه 2 تقسیم کنید. نتیجه حل، طول هر دو پایه یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین خواهد بود. بعد منطقه را پیدا می کنیم.

نحوه پیدا کردن مساحت مثلث متساوی الاضلاع

با استفاده از فرمول S= √3/ 4*a^2 می توانید مساحت یک مثلث متساوی الاضلاع را به راحتی محاسبه کنید. اگر شعاع دایره محصور مثلث مشخص باشد، آنگاه مساحت را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد: S= 3√3/ 4*R^2، که در آن R شعاع دایره است.