مشتقات پیچیده مشتق لگاریتمی
مشتق تابع نمایی

ما همچنان به بهبود تکنیک تمایز خود ادامه می دهیم. در این درس مطالب پوشش داده شده را ادغام می کنیم، مشتقات پیچیده تری را در نظر می گیریم و همچنین با ترفندها و ترفندهای جدید برای یافتن مشتق، به ویژه با مشتق لگاریتمی آشنا می شویم.

آن دسته از خوانندگانی که سطح آمادگی پایینی دارند به مقاله مراجعه کنند چگونه مشتق را پیدا کنم؟ نمونه هایی از راه حل هاکه به شما این امکان را می دهد تا مهارت های خود را تقریباً از ابتدا بالا ببرید. در مرحله بعد، باید صفحه را به دقت مطالعه کنید مشتق تابع مختلط، درک کنید و حل کنید همهمثال هایی که زدم این درس از نظر منطقی سومین درس متوالی است و پس از تسلط بر آن، با اطمینان توابع نسبتاً پیچیده را متمایز خواهید کرد. این نامطلوب است که به موقعیت "کجای دیگر؟" و بس است!"، زیرا همه مثال ها و راه حل ها از واقعی گرفته شده اند کنترل کار می کندو اغلب در عمل با آن مواجه می شوند.

بیایید با تکرار شروع کنیم. در درس مشتق تابع مختلطما تعدادی مثال را با نظرات دقیق در نظر گرفته ایم. در دوره مطالعه حساب دیفرانسیل و سایر بخش های آنالیز ریاضی، باید اغلب تمایز قائل شوید و ترسیم نمونه ها با جزئیات زیاد همیشه راحت نیست (و همیشه لازم نیست). بنابراین در یافتن شفاهی مشتقات تمرین خواهیم کرد. مناسب ترین "نامزدها" برای این، مشتقاتی از ساده ترین توابع پیچیده هستند، به عنوان مثال:

طبق قاعده تمایز یک تابع پیچیده :

هنگام مطالعه سایر موضوعات متان در آینده، چنین رکورد دقیقی اغلب مورد نیاز نیست، فرض بر این است که دانش آموز می تواند مشتقات مشابهی را در خلبان خودکار پیدا کند. بیایید تصور کنیم ساعت 3 صبح تلفن زنگ زد و صدای دلنشینی پرسید: مشتق مماس دو x چیست؟ این باید با یک پاسخ تقریباً آنی و مودبانه دنبال شود: .

اولین مثال بلافاصله برای آن در نظر گرفته می شود تصمیم مستقل.

مثال 1

مشتقات زیر را به صورت شفاهی در یک مرحله بیابید، به عنوان مثال: . برای تکمیل کار، فقط باید از آن استفاده کنید جدول مشتقات توابع ابتدایی(اگر قبلاً به خاطر نیاورده باشد). اگر مشکلی دارید، توصیه می کنم درس را دوباره بخوانید مشتق تابع مختلط.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

پاسخ در پایان درس

مشتقات پیچیده

پس از آماده سازی اولیه توپخانه، نمونه هایی با ضمیمه های 3-4-5 عملکرد کمتر ترسناک خواهند بود. شاید دو مثال زیر برای برخی پیچیده به نظر برسد، اما اگر درک شوند (کسی رنج می‌برد)، تقریباً همه چیزهای دیگر در حساب دیفرانسیل شبیه شوخی کودکانه به نظر می‌رسد.

مثال 2

مشتق تابع را بیابید

همانطور که قبلا ذکر شد، هنگام پیدا کردن مشتق یک تابع پیچیده، اول از همه، ضروری است درستسرمایه گذاری ها را درک کنید. در مواردی که شک دارید، یک ترفند مفید را به شما یادآوری می کنم: برای مثال، مقدار آزمایشی "x" را می گیریم و سعی می کنیم (به صورت ذهنی یا روی پیش نویس) جایگزین کنیم. ارزش داده شدهبه یک بیان وحشتناک

1) ابتدا باید عبارت را محاسبه کنیم، بنابراین مجموع عمیق ترین تودرتو است.

2) سپس باید لگاریتم را محاسبه کنید:

4) سپس کسینوس را مکعب کنید:

5) در مرحله پنجم، تفاوت:

6) و در نهایت بیرونی ترین تابع جذر است:

فرمول تمایز تابع پیچیده به ترتیب معکوس، از بیرونی ترین تابع به درونی ترین اعمال می شوند. ما تصمیم گرفتیم:

به نظر خطایی نیست...

(1) مشتق از ریشه دوم.

(2) ما مشتق تفاوت را با استفاده از قانون می گیریم

(3) مشتق ثلاث برابر با صفر است. در ترم دوم مشتق درجه (مکعب) را می گیریم.

(4) مشتق کسینوس را می گیریم.

(5) مشتق لگاریتم را می گیریم.

(6) در نهایت، مشتق عمیق ترین تودرتو را می گیریم.

شاید خیلی سخت به نظر برسد، اما این وحشیانه ترین مثال نیست. به عنوان مثال، مجموعه کوزنتسوف را در نظر بگیرید و از تمام جذابیت و سادگی مشتق تحلیل شده قدردانی خواهید کرد. متوجه شدم که آنها دوست دارند چیزی مشابه در امتحان بدهند تا بررسی کنند که آیا دانش آموز می داند چگونه مشتق یک تابع پیچیده را پیدا کند یا نمی فهمد.

مثال زیر برای یک راه حل مستقل است.

مثال 3

مشتق تابع را بیابید

نکته: ابتدا قواعد خطی بودن و قاعده تمایز محصول را اعمال می کنیم

راه حل کامل و پاسخ در پایان آموزش.

زمان آن فرا رسیده است که به سراغ چیزهایی جمع و جورتر و زیباتر بروید.
برای موقعیتی که حاصل ضرب نه دو، بلکه سه تابع در یک مثال آورده شده است، غیر معمول نیست. چگونه مشتق حاصلضرب سه عامل را پیدا کنیم؟

مثال 4

مشتق تابع را بیابید

ابتدا نگاه می کنیم، اما آیا می توان حاصل ضرب سه تابع را به حاصل ضرب دو تابع تبدیل کرد؟ به عنوان مثال، اگر دو چند جمله ای در حاصلضرب داشتیم، می توانیم براکت ها را باز کنیم. اما در این مثال، همه توابع متفاوت هستند: درجه، توان و لگاریتم.

در چنین مواردی لازم است به طور متوالیقانون تمایز محصول را اعمال کنید دو برابر

ترفند این است که برای "y" حاصل ضرب دو تابع را نشان می دهیم: و برای "ve" - ​​لگاریتم:. چرا می توان این کار را انجام داد؟ آیا آن است - این حاصل دو عامل نیست و قاعده کار نمی کند؟! هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد:

اکنون باقی مانده است که قانون را برای بار دوم اعمال کنیم به پرانتز:

شما هنوز هم می توانید منحرف کنید و چیزی را از پرانتز خارج کنید، اما در در این موردبهتر است پاسخ را در این فرم بگذارید - بررسی آن آسان تر خواهد بود.

مثال بالا به روش دوم قابل حل است:

هر دو راه حل کاملاً معادل هستند.

مثال 5

مشتق تابع را بیابید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است، در نمونه به روش اول حل می شود.

مثال های مشابه را با کسری در نظر بگیرید.

مثال 6

مشتق تابع را بیابید

در اینجا می توانید به چندین روش بروید:

یا مثل این:

اما اگر اول از همه از قانون تمایز ضریب استفاده کنیم، می توان راه حل را فشرده تر نوشت. ، گرفتن برای تمام شمارنده:

در اصل مثال حل می شود و اگر به این شکل رها شود اشتباه نمی شود. اما اگر وقت دارید، همیشه توصیه می شود پیش نویس را بررسی کنید، اما آیا می توان پاسخ را ساده کرد؟ ما عبارت عددی را به مخرج مشترکو از شر کسری سه طبقه خلاص شوید:

عیب ساده‌سازی‌های اضافی این است که نه هنگام یافتن مشتق، بلکه در هنگام تغییرات پیش پا افتاده مدرسه، خطر اشتباه وجود دارد. از سوی دیگر، معلمان اغلب تکلیف را رد می‌کنند و می‌خواهند مشتق را «به ذهن بیاورند».

یک مثال ساده تر برای راه حلی که خودتان انجام دهید:

مثال 7

مشتق تابع را بیابید

ما به تسلط بر تکنیک های یافتن مشتق ادامه می دهیم و اکنون یک مورد معمولی را در نظر می گیریم که یک لگاریتم "وحشتناک" برای تمایز پیشنهاد می شود.

مثال 8

مشتق تابع را بیابید

در اینجا می توانید با استفاده از قانون تمایز یک تابع پیچیده، راه طولانی را طی کنید:

اما اولین قدم بلافاصله شما را در ناامیدی فرو می برد - باید مشتق ناخوشایندی از درجه کسری و سپس از کسری بگیرید.

بنابراین قبل ازچگونه مشتق لگاریتم "فانتزی" را بگیریم، قبلاً با استفاده از ویژگی های مدرسه شناخته شده ساده شده است:

! اگر یک نوت بوک تمرینی دارید، این فرمول ها را همانجا کپی کنید. اگر دفتری ندارید، آنها را روی یک کاغذ بکشید، زیرا بقیه مثال های درس حول این فرمول ها می چرخند.

خود راه حل را می توان به صورت زیر فرموله کرد:

بیایید تابع را تبدیل کنیم:

مشتق را بیابید:

تبدیل اولیه تابع خود راه حل را بسیار ساده کرد. بنابراین، هنگامی که یک لگاریتم مشابه برای تمایز پیشنهاد می شود، همیشه توصیه می شود که آن را تجزیه کنید.

و اکنون چند مثال ساده برای یک راه حل مستقل:

مثال 9

مشتق تابع را بیابید

مثال 10

مشتق تابع را بیابید

تمام تحولات و پاسخ ها در پایان درس.

مشتق لگاریتمی

اگر مشتق لگاریتم ها به این موسیقی شیرین باشد، این سوال پیش می آید که آیا در برخی موارد می توان لگاریتم را به صورت مصنوعی سامان داد؟ می توان! و حتی ضروری است.

مثال 11

مشتق تابع را بیابید

نمونه های مشابهی که اخیراً در نظر گرفته ایم. چه باید کرد؟ می توان قاعده تمایز ضریب و سپس قاعده تمایز محصول را به طور متوالی اعمال کرد. عیب این روش این است که شما یک کسری بزرگ سه طبقه به دست می آورید که اصلاً نمی خواهید با آن مقابله کنید.

اما در تئوری و عمل چیز شگفت انگیزی به عنوان مشتق لگاریتمی وجود دارد. لگاریتم ها را می توان با آویزان کردن آنها در هر دو طرف به طور مصنوعی سازماندهی کرد:

اکنون باید لگاریتم سمت راست را تا آنجا که ممکن است (فرمول های جلوی چشمان خود) "شکن" کنید. من این فرآیند را با جزئیات کامل شرح خواهم داد:

بیایید با تمایز شروع کنیم.
هر دو بخش را با یک ضربه به پایان می‌رسانیم:

مشتق سمت راست کاملاً ساده است، من در مورد آن نظر نمی دهم، زیرا اگر در حال خواندن این متن هستید، باید بتوانید با اطمینان از آن استفاده کنید.

سمت چپ چطور؟

در سمت چپ ما داریم تابع پیچیده. من این سوال را پیش بینی می کنم: "چرا، یک حرف "y" زیر لگاریتم وجود دارد؟".

واقعیت این است که این "یک حرف y" - یک تابع به خودی خود است(اگر خیلی واضح نیست به مقاله مشتق تابعی که بطور ضمنی مشخص شده مراجعه کنید). بنابراین، لگاریتم یک تابع خارجی و "y" یک تابع داخلی است. و از قانون تمایز تابع مرکب استفاده می کنیم :

در سمت چپ، مثل یک موج عصای جادوییمشتق داریم . علاوه بر این، طبق قانون تناسب، "y" را از مخرج سمت چپ به بالای سمت راست می اندازیم:

و اکنون به یاد می آوریم که هنگام تمایز در مورد چه نوع عملکرد "بازی" صحبت کردیم؟ بیایید شرایط را بررسی کنیم:

جواب نهایی:

مثال 12

مشتق تابع را بیابید

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. نمونه طرح نمونه ای از این نوع در پایان درس.

با کمک مشتق لگاریتمی می‌توان هر یک از مثال‌های شماره 4-7 را حل کرد، نکته دیگر این است که توابع در آنجا ساده‌تر هستند و شاید استفاده از مشتق لگاریتمی چندان موجه نباشد.

مشتق تابع نمایی

ما هنوز این تابع را در نظر نگرفته ایم. تابع نمایی تابعی است که دارد و درجه و پایه به "x" بستگی دارد. نمونه کلاسیک، که در هر کتاب درسی یا در هر سخنرانی به شما داده می شود:

چگونه مشتق تابع نمایی را پیدا کنیم؟

لازم است از تکنیکی که به تازگی در نظر گرفته شده استفاده شود - مشتق لگاریتمی. لگاریتم ها را در دو طرف آویزان می کنیم:

به عنوان یک قاعده، درجه از زیر لگاریتم در سمت راست خارج می شود:

در نتیجه، در سمت راست، حاصلضرب دو تابع داریم که طبق فرمول استاندارد متمایز خواهند شد. .

ما مشتق را پیدا می کنیم، برای این ما هر دو قسمت را در زیر ضربه ها قرار می دهیم:

مراحل بعدی آسان است:

سرانجام:

اگر برخی از تغییرات کاملاً واضح نیستند، لطفاً توضیحات مثال شماره 11 را با دقت دوباره بخوانید.

در کارهای عملی، تابع نمایی همیشه پیچیده تر از مثال سخنرانی در نظر گرفته شده خواهد بود.

مثال 13

مشتق تابع را بیابید

ما از مشتق لگاریتمی استفاده می کنیم.

در سمت راست ما یک ثابت و حاصلضرب دو عامل داریم - "x" و "لگاریتم لگاریتم x" (لگاریتم دیگری زیر لگاریتم تودرتو است). هنگام افتراق یک ثابت، همانطور که به یاد داریم، بهتر است فوراً آن را از علامت مشتق خارج کنیم تا مانع از آن نشود. و البته قانون آشنا را اعمال کنید :

همانطور که می بینید، الگوریتم اعمال مشتق لگاریتمی حاوی هیچ ترفند یا ترفند خاصی نیست و یافتن مشتق تابع نمایی معمولاً با "عذاب" همراه نیست.

اشتقاق فرمول مشتق تابع توان(x به توان a). مشتقات ریشه از x در نظر گرفته می شود. فرمول مشتق تابع توان مرتبه بالاتر. نمونه هایی از محاسبه مشتقات

مشتق x به توان a ضربدر x به توان منهای یک است:
(1) .

مشتق n ام ریشه x به توان m ام است:
(2) .

استخراج فرمول مشتق تابع توان

مورد x > 0

تابع توان متغیر x را با توان a در نظر بگیرید:
(3) .
در اینجا a یک عدد واقعی دلخواه است. بیایید ابتدا قضیه را در نظر بگیریم.

برای یافتن مشتق تابع (3)، از ویژگی های تابع توان استفاده می کنیم و آن را به شکل زیر تبدیل می کنیم:
.

اکنون مشتق را با اعمال زیر می یابیم:
;
.
اینجا .

فرمول (1) ثابت شده است.

اشتقاق فرمول مشتق ریشه درجه n از x به درجه m

حالا تابعی را در نظر بگیرید که ریشه شکل زیر است:
(4) .

برای یافتن مشتق، ریشه را به تابع توان تبدیل می کنیم:
.
در مقایسه با فرمول (3)، می بینیم که
.
سپس
.

با فرمول (1) مشتق را پیدا می کنیم:
(1) ;
;
(2) .

در عمل نیازی به حفظ فرمول (2) نیست. خیلی راحت تر است که ابتدا ریشه ها را به توابع قدرت تبدیل کنید و سپس مشتقات آنها را با استفاده از فرمول (1) بیابید (به مثال ها در انتهای صفحه مراجعه کنید).

مورد x = 0

اگر، تابع نمایی نیز برای مقدار متغیر x = تعریف شده است 0 . اجازه دهید مشتق تابع (3) را برای x = پیدا کنیم 0 . برای این کار از تعریف مشتق استفاده می کنیم:
.

جایگزین x = 0 :
.
در این مورد منظور ما از مشتق حد سمت راست است که برای آن .

بنابراین ما دریافتیم:
.
از این می توان دریافت که در , .
در , .
در , .
این نتیجه نیز با فرمول (1) به دست می آید:
(1) .
بنابراین، فرمول (1) برای x = نیز معتبر است 0 .

مورد x< 0

دوباره تابع (3) را در نظر بگیرید:
(3) .
برای برخی از مقادیر ثابت a، برای مقادیر منفی متغیر x نیز تعریف شده است. یعنی یک عدد گویا باشد. سپس می توان آن را به عنوان یک کسر تقلیل ناپذیر نشان داد:
,
که در آن m و n اعداد صحیح بدون مقسوم علیه مشترک هستند.

اگر n فرد باشد، تابع نمایی نیز برای مقادیر منفی متغیر x تعریف می شود. به عنوان مثال، برای n = 3 و m = 1 ما ریشه مکعب x را داریم:
.
همچنین برای مقادیر منفی x تعریف شده است.

اجازه دهید مشتق تابع توان (3) را برای و برای مقادیر گویا ثابت a پیدا کنیم که برای آن تعریف شده است. برای انجام این کار، x را به شکل زیر نشان می دهیم:
.
سپس ،
.
ما مشتق را با خارج کردن ثابت از علامت مشتق و اعمال قانون تمایز یک تابع مختلط پیدا می کنیم:

.
اینجا . ولی
.
از آن به بعد
.
سپس
.
یعنی فرمول (1) برای موارد زیر نیز معتبر است:
(1) .

مشتقات سفارشات بالاتر

اکنون مشتقات مرتبه بالاتر تابع توان را پیدا می کنیم
(3) .
ما قبلا مشتق مرتبه اول را پیدا کرده ایم:
.

با برداشتن ثابت a از علامت مشتق، مشتق مرتبه دوم را پیدا می کنیم:
.
به طور مشابه، مشتقات مرتبه سوم و چهارم را می یابیم:
;

.

از اینجا معلوم است که مشتق از مرتبه n دلخواهبه نظر می رسد این است:
.

توجه کنید که اگر a یک عدد طبیعی باشد، پس مشتق nام ثابت است:
.
سپس تمام مشتقات بعدی برابر با صفر هستند:
,
در .

نمونه های مشتق

مثال

مشتق تابع را پیدا کنید:
.

راه حل

بیایید ریشه ها را به توان تبدیل کنیم:
;
.
سپس تابع اصلی به شکل زیر در می آید:
.

مشتقات درجات را پیدا می کنیم:
;
.
مشتق یک ثابت صفر است:
.

با این ویدیو، من یک سری درس طولانی در مورد مشتقات را شروع می کنم. این درس چندین بخش دارد.

اول از همه، من به شما خواهم گفت که مشتقات به طور کلی چیست و چگونه آنها را محاسبه کنید، اما نه به زبان دانشگاهی پیچیده، بلکه به روشی که خودم آن را درک می کنم و چگونه آن را برای دانش آموزان توضیح می دهم. ثانیاً، ساده‌ترین قانون را برای حل مسائل در نظر می‌گیریم که در آن مشتق‌های حاصل، مشتقات تفاوت و مشتقات تابع توان را جستجو می‌کنیم.

ما به مثال‌های ترکیبی پیچیده‌تر نگاه خواهیم کرد، که از آن‌ها، به‌ویژه، یاد خواهید گرفت که مشکلات مشابهی که شامل ریشه‌ها و حتی کسرها هستند را می‌توان با استفاده از فرمول مشتق تابع توان حل کرد. علاوه بر این، البته، وظایف و نمونه های زیادی از راه حل های سطوح مختلف پیچیدگی وجود خواهد داشت.

به طور کلی، در ابتدا قرار بود یک ویدیوی کوتاه 5 دقیقه ای ضبط کنم، اما خودتان می توانید ببینید که چه نتیجه ای حاصل شد. بنابراین به اندازه کافی از اشعار - بیایید به کار.

مشتق چیست؟

پس بیایید از راه دور شروع کنیم. سال‌ها پیش، زمانی که درختان سبزتر بودند و زندگی سرگرم‌کننده‌تر بود، ریاضی‌دانان به این فکر می‌کردند: تابع ساده‌ای را در نظر بگیرید که نمودار آن را نشان می‌دهد، بیایید آن را $y=f\left(x \right)$ بنامیم. البته گراف به خودی خود وجود ندارد، بنابراین باید محور x$ و همچنین محور $y$ را رسم کنید. و حالا بیایید هر نقطه ای را در این نمودار، کاملاً هر نقطه ای را انتخاب کنیم. بیایید ابسیسا را ​​$((x)_(1))$ بنامیم، همان طور که حدس می‌زنید، ترتیب، $f\left(((x)_(1)) \right)$ خواهد بود.

نکته دیگری را در همان نمودار در نظر بگیرید. فرقی نمی کند کدام یک، نکته اصلی این است که با اصلی متفاوت است. دوباره دارای یک ابسیسا است، اجازه دهید آن را $((x)_(2))$، و همچنین یک دستور - $f\left(((x)_(2)) \right)$ بنامیم.

بنابراین، ما دو نکته به دست آوردیم: آنها ابسیساهای متفاوتی دارند و بنابراین، معانی مختلفتوابع، اگرچه دومی اختیاری است. اما آنچه واقعاً مهم است این است که ما از درس پلان سنجی می دانیم که یک خط مستقیم را می توان از طریق دو نقطه و علاوه بر آن فقط یک نقطه رسم کرد. در اینجا، اجازه دهید آن را اجرا کنیم.

و حالا بیایید یک خط مستقیم از اولین آنها، به موازات محور x رسم کنیم. گرفتن راست گوشه. اجازه دهید آن را $ABC$، زاویه راست $C$ بنامیم. این مثلث یک ویژگی بسیار جالب دارد: واقعیت این است که زاویه $\alpha $ در واقع برابر با زاویه ای است که تحت آن خط مستقیم $AB$ با ادامه محور آبسیسا قطع می شود. خودتان قضاوت کنید:

1. خط $AC$ با ساخت موازی با محور $Ox$ است،
2. خط $AB$ $AC$ را زیر $\alpha $ قطع می کند،
3. بنابراین $AB$ $Ox$ را در همان $\alpha $ قطع می کند.

در مورد $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ چه می توانیم بگوییم؟ هیچ چیز مشخصی نیست، به جز اینکه در مثلث $ABC$ نسبت پایه $BC$ به پایه $AC$ برابر با مماس همین زاویه است. پس می نویسیم:

البته $AC$ در این مورد به راحتی در نظر گرفته می شود:

به طور مشابه برای $BC$:

به عبارت دیگر می توانیم موارد زیر را بنویسیم:

\[\name(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \راست))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

اکنون که همه اینها را از سر راه برداشتیم، بیایید به نمودار خود برگردیم و به نقطه $B$ جدید نگاه کنیم. مقادیر قدیمی را پاک کنید و $B$ را بردارید و از جایی نزدیکتر به $((x)_(1))$ ببرید. بیایید دوباره آبسیسه آن را به عنوان $((x)_(2))$، و مختصات آن را به صورت $f\left(((x)_(2)) \right)$ نشان دهیم.

دوباره مثلث کوچک $ABC$ و $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ را در داخل آن در نظر بگیرید. کاملاً واضح است که این یک زاویه کاملاً متفاوت خواهد بود، مماس نیز متفاوت خواهد بود زیرا طول بخش های $AC$ و $BC$ به طور قابل توجهی تغییر کرده است و فرمول مماس زاویه اصلاً تغییر نکرده است. - این هنوز هم نسبت بین تغییر تابع و تغییر آرگومان است.

در نهایت، ما به حرکت $B$ نزدیک و نزدیکتر به نقطه اولیه $A$ ادامه می دهیم، در نتیجه، مثلث حتی بیشتر کاهش می یابد، و خط حاوی بخش $AB$ بیشتر و بیشتر شبیه مماس به نقطه می شود. نمودار تابع

در نتیجه، اگر به نزدیک شدن به نقاط ادامه دهیم، یعنی فاصله را به صفر کاهش دهیم، آنگاه خط مستقیم $AB$ در این نقطه واقعاً به مماس نمودار تبدیل می شود و $\text( )\!\! \alpha\!\ !\text( )$ از یک عنصر مثلث منظم به زاویه ای بین مماس به نمودار و جهت مثبت محور $Ox$ تغییر می کند.

و در اینجا به راحتی به تعریف $f$ می رویم، یعنی مشتق تابع در نقطه $((x)_(1))$ مماس زاویه $\alpha $ بین مماس بر نمودار در نقطه $((x)_(1))$ و جهت مثبت محور $Ox$:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\نام اپراتور(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

در بازگشت به نمودار ما، لازم به ذکر است که به عنوان $((x)_(1))$، می توانید هر نقطه از نمودار را انتخاب کنید. به عنوان مثال، با همین موفقیت، می توانیم در نقطه نشان داده شده در شکل، استروک را حذف کنیم.

بیایید زاویه بین مماس و جهت مثبت محور $\beta $ را نام ببریم. بر این اساس، $f$ در $((x)_(2))$ برابر با مماس این زاویه $\beta $ خواهد بود.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

هر نقطه از نمودار مماس خاص خود را خواهد داشت، و در نتیجه، مقدار تابع خود را دارد. در هر یک از این موارد علاوه بر نقطه ای که به دنبال مشتق تفاضل یا مجموع یا مشتق تابع توان هستیم، لازم است نقطه دیگری را که در فاصله ای از آن قرار دارد گرفته و سپس این نقطه را به نقطه اصلی هدایت کنید و البته دریابید که چگونه در این روند چنین حرکتی مماس زاویه تمایل را تغییر می دهد.

مشتق تابع قدرت

متأسفانه این تعریف اصلاً مناسب ما نیست. همه این فرمول ها، تصاویر، زوایا کوچکترین ایده ای به ما نمی دهند که چگونه مشتق واقعی را محاسبه کنیم. وظایف واقعی. بنابراین، بیایید کمی از تعریف رسمی فاصله بگیریم و فرمول ها و تکنیک های موثرتری را در نظر بگیریم که با آنها می توانید مشکلات واقعی را حل کنید.

بیایید با ساده ترین ساختارها، یعنی توابع به شکل $y=((x)^(n))$ شروع کنیم، یعنی. توابع قدرت در این حالت می توانیم موارد زیر را بنویسیم: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$ به عبارت دیگر، درجه ای که در توان بود در ضریب مقابل نشان داده می شود. و خود توان به واحد کاهش می یابد، برای مثال:

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end (تراز کردن) \]

و در اینجا گزینه دیگری وجود دارد:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \راست))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\چپ(x \راست))^(\prim ))=1 \\\پایان (تراز کردن)\]

با استفاده از این قوانین ساده، بیایید سعی کنیم از مثال های زیر استفاده کنیم:

بنابراین دریافت می کنیم:

\[((\left(((x)^(6)) \راست))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

حال بیایید عبارت دوم را حل کنیم:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \راست))^(\ اول ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\پایان(تراز)\]

البته اینها خیلی بودند کارهای ساده. با این حال، مشکلات واقعی پیچیده تر هستند و به قدرت یک تابع محدود نمی شوند.

بنابراین، قانون شماره 1 - اگر تابع به عنوان دو مورد دیگر نشان داده شود، مشتق این مجموع برابر است با مجموع مشتقات:

\[((\left(f+g \راست))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

به همین ترتیب، مشتق تفاوت دو تابع برابر است با اختلاف مشتقات:

\[((\left(f-g \راست))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \راست))^(\prime ))=((\left((((x)^(2)) \راست))^(\ اول ))+((\چپ(x \راست))^(\prime ))=2x+1\]

علاوه بر این، یک قانون مهم دیگر وجود دارد: اگر قبل از مقداری $f$ یک $c$ ثابت باشد که این تابع در آن ضرب شود، آنگاه $f$ کل این ساختار به صورت زیر در نظر گرفته می‌شود:

\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \راست))^(\prime ))=3((\left((((x)^(3)) \راست))^(\ اول ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

در نهایت، یک قانون بسیار مهم دیگر: مشکلات اغلب شامل یک عبارت جداگانه هستند که اصلاً حاوی $x$ نیست. به عنوان مثال، ما می توانیم این را در عبارات امروزی خود مشاهده کنیم. مشتق یک ثابت، یعنی عددی که به هیچ وجه به $x$ وابسته نیست، همیشه برابر با صفر است، و اصلاً مهم نیست که ثابت $c$ برابر با چه چیزی باشد:

\[((\left(c \راست))^(\prime ))=0\]

مثال راه حل:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

بار دیگر نکات کلیدی:

1. مشتق مجموع دو تابع همیشه برابر با مجموع مشتقات است: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. به دلایل مشابه، مشتق تفاوت دو تابع برابر با تفاوت دو مشتق است: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. اگر تابع یک ثابت عامل داشته باشد، آنگاه می توان این ثابت را از علامت مشتق خارج کرد: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)" $;
4. اگر کل تابع یک ثابت باشد، مشتق آن همیشه صفر است: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

بیایید ببینیم که چگونه همه اینها با مثال های واقعی کار می کند. بنابراین:

می نویسیم:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \راست))^(\prime ))=((\چپ (((x)^(5)) \راست))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \راست))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\چپ(((x)^(2)) \راست))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\پایان(تراز)\]

در این مثال، هم مشتق جمع و هم مشتق تفاوت را می بینیم. بنابراین مشتق $5((x)^(4))-6x$ است.

بریم سراغ تابع دوم:

راه حل را یادداشت کنید:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \راست))^(\prime ))-((\left(2x \راست))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x) ^(2)) \راست))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

در اینجا ما پاسخ را پیدا کرده ایم.

بیایید به عملکرد سوم برویم - در حال حاضر جدی تر است:

\[\begin(تراز کردن)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \راست)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \راست))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \راست ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \راست))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \راست))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end (تراز کردن)\]

ما جواب را پیدا کرده ایم.

بیایید به آخرین عبارت برویم - پیچیده ترین و طولانی ترین:

بنابراین، ما در نظر می گیریم:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \راست))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \راست))^(\prime )) +((\left(4x \راست))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\پایان(تراز)\]

اما راه حل به اینجا ختم نمی شود، زیرا از ما خواسته می شود نه تنها stroke را حذف کنیم، بلکه مقدار آن را در یک نقطه خاص محاسبه کنیم، بنابراین به جای $x$، −1 را در عبارت جایگزین می کنیم:

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

ما جلوتر می رویم و به نمونه های پیچیده تر و جالب تر می رویم. نکته این است که فرمول حل مشتق توان $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ دامنه وسیع تری از آنچه معمولاً تصور می شود دارد. با کمک آن می توانید مثال هایی را با کسری، ریشه و غیره حل کنید. این کاری است که اکنون انجام خواهیم داد.

برای شروع، اجازه دهید یک بار دیگر فرمول را یادداشت کنیم، که به ما کمک می کند مشتق تابع توان را پیدا کنیم:

و اکنون توجه کنید: تا کنون فقط $n$ را در نظر گرفته ایم اعداد صحیحاما در در نظر گرفتن کسرها و اعداد حتی منفی دخالتی نداریم. برای مثال می توانیم موارد زیر را بنویسیم:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ اول ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \راست))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\پایان (تراز کردن)\]

هیچ چیز پیچیده ای نیست، بنابراین بیایید ببینیم که چگونه این فرمول به ما در حل مسائل پیچیده تر کمک می کند. بنابراین یک مثال:

راه حل را یادداشت کنید:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \راست))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \راست))^(\prime )) \\& ((\ چپ(\sqrt(x) \راست))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \راست))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \راست))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \راست))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3))) \\\ پایان (تراز کردن)\]

بیایید به مثال خود برگردیم و بنویسیم:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

این چنین تصمیم دشواری است.

بیایید به مثال دوم برویم - فقط دو اصطلاح وجود دارد، اما هر یک از آنها دارای درجه کلاسیک و ریشه است.

اکنون می آموزیم که چگونه مشتق تابع توان را پیدا کنیم، که علاوه بر این، یک ریشه نیز دارد:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \راست))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \راست))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \راست))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3 ))) \راست))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7 ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \راست))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3 ))) \راست))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end (تراز کردن)\]

هر دو عبارت محاسبه می شوند، باقی مانده است که پاسخ نهایی را بنویسیم:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

ما جواب را پیدا کرده ایم.

مشتق کسری بر حسب تابع توان

اما امکانات فرمول برای حل مشتق تابع توان به همین جا ختم نمی شود. واقعیت این است که با کمک آن می توانید نه تنها نمونه هایی را با ریشه، بلکه با کسری نیز بشمارید. این فقط آن فرصت نادری است که راه حل چنین مثال هایی را بسیار ساده می کند، اما اغلب نه تنها توسط دانش آموزان، بلکه توسط معلمان نیز نادیده گرفته می شود.

بنابراین، اکنون سعی خواهیم کرد دو فرمول را به طور همزمان ترکیب کنیم. از یک طرف، مشتق کلاسیک یک تابع توان

\[((\left(((x)^(n)) \راست))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

از سوی دیگر، می دانیم که عبارتی به شکل $\frac(1)((x)^(n)))$ می تواند به صورت $((x)^(-n))$ نمایش داده شود. از این رو،

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \راست))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \راست))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

بنابراین، مشتقات کسرهای ساده، که در آن صورت یک عدد ثابت و مخرج یک درجه است، نیز با استفاده از فرمول کلاسیک محاسبه می شوند. بیایید ببینیم در عمل چگونه کار می کند.

بنابراین اولین تابع:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \راست))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ راست))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

مثال اول حل شد، بیایید به دومی برویم:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \راست))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \راست))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \راست))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \راست))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \راست))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \راست))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \راست))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \راست) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^ (3))) \راست))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \راست) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \راست))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \راست))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\چپ(2) ((x)^(3)) \راست))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ چپ(3((x)^(4)) \راست))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^ (3))=12((x)^(3)) \\\پایان(تراز)\]...

اکنون همه این اصطلاحات را در یک فرمول جمع آوری می کنیم:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

جواب گرفتیم

با این حال، قبل از ادامه، می خواهم توجه شما را به شکل نوشتن خود عبارات اصلی جلب کنم: در عبارت اول $f\left(x \right)=...$ و در دومی: $y نوشتیم. =...$ بسیاری از دانش آموزان با دیدن اشکال مختلف علامت گذاری گم می شوند. تفاوت بین $f\left(x \right)$ و $y$ چیست؟ در واقع هیچی آنها فقط ورودی های متفاوتی هستند که معنی یکسان دارند. فقط وقتی می گوییم $f\left(x \right)$ می آید، اول از همه، در مورد تابع، و زمانی که به $y$ می رسد، اغلب نمودار تابع منظور می شود. در غیر این صورت یکسان است یعنی مشتق در هر دو صورت یکسان محسوب می شود.

مشکلات پیچیده با مشتقات

در پایان، من می خواهم چند مشکل ترکیبی پیچیده را در نظر بگیرم که از همه چیزهایی که امروز در نظر گرفته ایم به یکباره استفاده می کنند. در آنها ما منتظر ریشه ها و کسرها و مجموع هستیم. با این حال، این نمونه ها تنها در چارچوب آموزش ویدیویی امروز پیچیده خواهند بود، زیرا توابع مشتق شده واقعاً پیچیده در انتظار شما خواهند بود.

بنابراین، قسمت پایانی آموزش تصویری امروز، شامل دو کار ترکیبی است. بیایید با اولی شروع کنیم:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \راست))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \راست))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3)) )) \راست))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \راست))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \راست))^(\prime ))=((\ چپ(((x)^(-3)) \راست))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \راست))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3)))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\پایان(تراز)\]

مشتق تابع عبارت است از:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

مثال اول حل شد. مشکل دوم را در نظر بگیرید:

در مثال دوم، ما به طور مشابه عمل می کنیم:

\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \راست))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \راست))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \راست))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \راست))^ (\prime))\]

بیایید هر عبارت را جداگانه محاسبه کنیم:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \راست))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \راست))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \راست))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \راست))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))) \\& ((\ left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \راست))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))) \راست))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3) )(4))) \راست))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \راست))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4)))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt ((x)^(3))) \\\پایان(تراز کردن)\]

همه شرایط شمرده می شود. حالا به فرمول اصلی برمی گردیم و هر سه عبارت را با هم جمع می کنیم. دریافتیم که پاسخ نهایی این خواهد بود:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

و این همه است. این اولین درس ما بود. در درس‌های بعدی، ساختارهای پیچیده‌تری را بررسی می‌کنیم و همچنین خواهیم فهمید که چرا اصلاً به مشتقات نیاز است.

اثبات و مشتق فرمول های مشتق توان (e به توان x) و تابع نمایی (a به توان x). نمونه هایی از محاسبه مشتقات e ^ 2x، e ^ 3x و e ^ nx. فرمول های مشتق مرتبه بالاتر

مشتق توان برابر با خود توان است (مشتق e به توان x برابر است با e به توان x):
(1) (e x) ′ = e x.

مشتق تابع نمایی با پایه درجه a برابر است با خود تابع ضربدر لگاریتم طبیعیاز :
(2) .

اشتقاق فرمول مشتق توان، e به توان x

توان یک تابع نمایی است که در آن پایه توان برابر با عدد e است که حد زیر است:
.
در اینجا می تواند یک عدد طبیعی یا واقعی باشد. سپس، فرمول (1) را برای مشتق توان استخراج می کنیم.

اشتقاق فرمول توان مشتق

توان e به توان x را در نظر بگیرید:
y = e x.
این تابع برای همه تعریف شده است. اجازه دهید مشتق آن را با توجه به متغیر x پیدا کنیم. طبق تعریف، مشتق حد زیر است:
(3) .

بیایید این عبارت را تبدیل کنیم تا آن را به خواص و قوانین ریاضی شناخته شده تقلیل دهیم. برای این ما به حقایق زیر نیاز داریم:
آ)ویژگی توان:
(4) ;
ب)ویژگی لگاریتمی:
(5) ;
V)پیوستگی لگاریتم و خاصیت حدود برای یک تابع پیوسته:
(6) .
در اینجا تابعی وجود دارد که محدودیت دارد و این حد مثبت است.
ز)معنای محدودیت قابل توجه دوم:
(7) .

ما این حقایق را تا حد خود اعمال می کنیم (3). ما از اموال (4) استفاده می کنیم:
;
.

بیایید یک تعویض انجام دهیم. سپس ؛ .
با توجه به تداوم توان،
.
بنابراین، برای،. در نتیجه، دریافت می کنیم:
.

بیایید یک تعویض انجام دهیم. سپس . در , . و داریم:
.

بیایید خاصیت لگاریتم (5) را اعمال کنیم:
. سپس
.

اجازه دهید ویژگی (6) را اعمال کنیم. از آنجایی که یک حد مثبت وجود دارد و لگاریتم پیوسته است، پس:
.
در اینجا از دومین حد قابل توجه (7) نیز استفاده کردیم. سپس
.

بنابراین، ما فرمول (1) را برای مشتق نمایی به دست آورده ایم.

استخراج فرمول مشتق تابع نمایی

اکنون فرمول (2) را برای مشتق تابع نمایی با پایه درجه a استخراج می کنیم. ما معتقدیم که و. سپس تابع نمایی
(8)
برای همه تعریف شده است.

اجازه دهید فرمول (8) را تبدیل کنیم. برای این ما استفاده خواهیم کرد خواص نماییو لگاریتم
;
.
بنابراین، فرمول (8) را به شکل زیر تبدیل می کنیم:
.

مشتقات مرتبه بالاتر e به توان x

اکنون مشتقات سفارشات بالاتر را خواهیم یافت. بیایید ابتدا به توان نگاه کنیم:
(14) .
(1) .

می بینیم که مشتق تابع (14) با خود تابع (14) برابر است. با تمایز (1)، مشتقات مرتبه دوم و سوم را به دست می آوریم:
;
.

از این رو، می توان دید که مشتق مرتبه n با تابع اصلی نیز برابر است:
.

مشتقات مرتبه بالاتر تابع نمایی

حالا یک تابع نمایی با پایه درجه a در نظر بگیرید:
.
مشتق مرتبه اول آن را پیدا کردیم:
(15) .

با تمایز (15)، مشتقات مرتبه دوم و سوم را به دست می آوریم:
;
.

می بینیم که هر تمایز منجر به ضرب تابع اصلی در می شود. بنابراین، مشتق مرتبه n به شکل زیر است:
.

عملیات یافتن مشتق را تمایز می گویند.

در نتیجه حل مشکلات یافتن مشتقات ساده ترین (و نه خیلی ساده) توابع با تعریف مشتق به عنوان حد نسبت افزایش به افزایش استدلال، جدولی از مشتقات و قوانین دقیقاً تعریف شده تمایز ظاهر شد. . اسحاق نیوتن (1643-1727) و گوتفرید ویلهلم لایب نیتس (1646-1716) اولین کسانی بودند که در زمینه یافتن مشتقات کار کردند.

بنابراین، در زمان ما، برای یافتن مشتق هر تابع، نیازی به محاسبه حد فوق الذکر نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان نیست، بلکه فقط باید از جدول استفاده کرد. مشتقات و قواعد تمایز. الگوریتم زیر برای یافتن مشتق مناسب است.

برای یافتن مشتق، به یک عبارت زیر علامت سکته مغزی نیاز دارید توابع ساده را تجزیه کنیدو تعیین کنید چه اقداماتی را انجام دهید (محصول، جمع، ضریب)این توابع مرتبط هستند. علاوه بر این، مشتقات توابع ابتدایی را در جدول مشتقات، و فرمول های مشتقات حاصل، مجموع و ضریب را در قوانین تمایز پیدا می کنیم. جدول مشتقات و قوانین تمایز پس از دو مثال اول آورده شده است.

مثال 1.مشتق تابع را بیابید

راه حل. از قواعد تمایز در می یابیم که مشتق مجموع توابع، مجموع مشتقات توابع است، یعنی.

از جدول مشتقات در می یابیم که مشتق «X» برابر یک و مشتق سینوس کسینوس است. ما این مقادیر را در مجموع مشتقات جایگزین می کنیم و مشتق مورد نیاز شرط مسئله را پیدا می کنیم:

مثال 2.مشتق تابع را بیابید

راه حل. به عنوان مشتق حاصل از مجموع متمایز کنید که در آن جمله دوم با یک عامل ثابت می توان آن را از علامت مشتق خارج کرد:

اگر هنوز سؤالاتی در مورد اینکه چیزی از کجا آمده است وجود دارد، آنها، به عنوان یک قاعده، پس از خواندن جدول مشتقات و ساده ترین قوانین تمایز روشن می شوند. همین الان به سراغ آنها می رویم.

جدول مشتقات توابع ساده

1. مشتق ثابت (عدد). هر عدد (1، 2، 5، 200...) که در عبارت تابع باشد. همیشه صفر یادآوری این نکته بسیار مهم است، زیرا اغلب اوقات لازم است
2. مشتق متغیر مستقل. اغلب "x". همیشه برابر با یک. این نیز مهم است که به یاد داشته باشید
3. مشتق درجه. هنگام حل مسائل، باید ریشه های غیر مربع را به توان تبدیل کنید.
4. مشتق یک متغیر به توان -1
5. مشتق از جذر
6. مشتق سینوسی
7. مشتق کسینوس
8. مشتق مماس
9. مشتق کوتانژانت
10. مشتق آرکسین
11. مشتق کسینوس قوس
12. مشتق مماس قوس
13. مشتق مماس معکوس
14. مشتق لگاریتم طبیعی
15. مشتق تابع لگاریتمی
16. مشتق از توان
17. مشتق تابع نمایی

قوانین تمایز

1. مشتق حاصل از جمع یا تفاوت
2. مشتق از یک محصول
2a. مشتق یک عبارت ضرب شده در یک عامل ثابت
3. مشتق از ضریب
4. مشتق تابع مختلط

قانون 1اگر توابع

در یک نقطه قابل تمایز هستند، سپس در همان نقطه توابع

و

آن ها مشتق مجموع جبری توابع برابر است با مجموع جبری مشتقات این توابع.

نتیجه. اگر دو تابع متمایز با یک ثابت تفاوت داشته باشند، مشتقات آنها هستند، یعنی

قانون 2.اگر توابع

در یک نقطه قابل تمایز هستند، سپس محصول آنها نیز در همان نقطه قابل تمایز است

و

آن ها مشتق حاصل ضرب دو تابع برابر است با مجموع حاصلضرب هر یک از این توابع و مشتق دیگری.

نتیجه 1. عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد:

نتیجه 2. مشتق حاصلضرب چندین تابع متمایز برابر با مجموع حاصلضرب مشتق هر یک از عوامل و بقیه است.

به عنوان مثال، برای سه ضریب:

قانون 3.اگر توابع

قابل تمایز در یک نقطه و , سپس در این مرحله ضریب آنها نیز قابل تفکیک است.u/v و

آن ها مشتق ضریبی از دو تابع برابر کسری است که صورت آن تفاضل حاصلضرب مخرج و مشتق صورت و ممیز و مشتق مخرج است و مخرج آن مجذور کسر سابق است. .

کجا در صفحات دیگر جستجو کنیم

هنگام یافتن مشتق محصول و ضریب در مسائل واقعی، همیشه لازم است چندین قانون تمایز را به طور همزمان اعمال کنید، بنابراین مثال های بیشتری در مورد این مشتقات در مقاله آمده است."مشتق یک محصول و یک ضریب".

اظهار نظر.نباید ثابت (یعنی عدد) را به عنوان یک جمله در جمع و به عنوان یک عامل ثابت اشتباه بگیرید! در مورد جمله مشتق آن برابر با صفر و در مورد عامل ثابت از علامت مشتقات خارج می شود. این اشتباه معمولیکه روی می دهد مرحله اولیهدر حال مطالعه مشتقات، اما همانطور که چندین مثال یک دو بخشی را حل می کنید دانش آموز متوسطدیگر این اشتباه را نمی کند

و اگر، هنگام متمایز کردن یک محصول یا یک ضریب، یک اصطلاح دارید تو"v، که در آن تو- یک عدد، به عنوان مثال، 2 یا 5، یعنی یک ثابت، سپس مشتق این عدد برابر با صفر خواهد بود و بنابراین، کل عبارت برابر با صفر خواهد بود (چنین موردی در مثال 10 تحلیل شده است). .

یکی دیگر از اشتباهات رایج حل مکانیکی مشتق یک تابع پیچیده به عنوان مشتق یک تابع ساده است. بنابراین مشتق یک تابع پیچیدهبه یک مقاله جداگانه اختصاص داده شده است. اما ابتدا یاد خواهیم گرفت که مشتقات توابع ساده را پیدا کنیم.

در طول راه، شما نمی توانید بدون تبدیل عبارات انجام دهید. برای انجام این کار، ممکن است لازم باشد که دفترچه راهنمای ویندوز جدید را باز کنید اقدامات با قدرت و ریشهو اعمال با کسر .

اگر به دنبال راه حلی برای مشتقات با قدرت و ریشه هستید، یعنی زمانی که تابع به نظر می رسد ، سپس درس " مشتق از مجموع کسرهای دارای توان و ریشه " را دنبال کنید.

اگر شما یک وظیفه مانند ، سپس در درس «مشتقات توابع مثلثاتی ساده» هستید.

مثال های گام به گام - چگونه مشتق را پیدا کنیم

مثال 3.مشتق تابع را بیابید

راه حل. ما بخش های عبارت تابع را تعیین می کنیم: کل عبارت محصول را نشان می دهد و عوامل آن مجموع هستند که در دومی یکی از عبارت ها حاوی یک عامل ثابت است. ما قانون تمایز حاصل را اعمال می کنیم: مشتق حاصلضرب دو تابع برابر است با مجموع محصولات هر یک از این توابع و مشتق دیگر:

بعد، قاعده تمایز مجموع را اعمال می کنیم: مشتق مجموع جبری توابع برابر است با مجموع جبری مشتقات این توابع. در مورد ما، در هر جمع، جمله دوم با علامت منفی است. در هر جمع هم متغیر مستقلی را می بینیم که مشتق آن برابر با یک است و هم یک عدد ثابت (عددی) که مشتق آن برابر با صفر است. بنابراین، "x" به یک، و منهای 5 - به صفر تبدیل می شود. در عبارت دوم، "x" در 2 ضرب می شود، بنابراین ما دو را در همان واحد مشتق "x" ضرب می کنیم. ما مقادیر زیر را از مشتقات دریافت می کنیم:

مشتقات یافت شده را با مجموع محصولات جایگزین می کنیم و مشتق کل تابع مورد نیاز شرط مسئله را به دست می آوریم:

مثال 4مشتق تابع را بیابید

راه حل. ما باید مشتق ضریب را پیدا کنیم. ما فرمول تمایز یک ضریب را اعمال می کنیم: مشتق یک ضریب دو تابع برابر با کسری است که صورت آن تفاوت بین حاصلضرب های مخرج و مشتق صورت و مشتق و مشتق مخرج است. مخرج مربع عدد قبلی است. ما گرفتیم:

ما قبلاً مشتق فاکتورهای صورت‌گر را در مثال 2 پیدا کرده‌ایم. همچنین فراموش نکنیم که حاصلضرب که دومین عامل در صورت‌گر در مثال فعلی است، با علامت منفی گرفته می‌شود:

اگر به دنبال راه حل هایی برای چنین مسائلی هستید که در آنها باید مشتق یک تابع را پیدا کنید، جایی که توده ای از ریشه ها و درجات پیوسته وجود دارد، مانند، برای مثال، سپس به کلاس خوش آمدید "مشتق مجموع کسری با توان و ریشه" .

اگر نیاز دارید درباره مشتقات سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و سایر توابع مثلثاتی بیشتر بدانید، یعنی زمانی که تابع به نظر می رسد ، پس شما یک درس دارید "مشتقات توابع مثلثاتی ساده" .

مثال 5.مشتق تابع را بیابید

راه حل. در این تابع محصولی را می بینیم که یکی از عوامل آن جذر متغیر مستقل است که در جدول مشتقات با مشتق آن آشنا شدیم. با توجه به قانون تمایز محصول و مقدار جدولی مشتق جذر، به دست می‌آییم:

مثال 6.مشتق تابع را بیابید

راه حل. در این تابع ضریبی را می بینیم که سود تقسیمی آن جذر متغیر مستقل است. با توجه به قاعده تمایز ضریب، که در مثال 4 تکرار و اعمال کردیم و مقدار جدولی مشتق جذر، به دست می آید:

برای خلاص شدن از شر کسر در صورت، صورت و مخرج را در ضرب کنید.