محاسبه مشتق شده - یکی از مهمترین عملیات در محاسبات دیفرانسیل. در زیر یک جدول از یافتن مشتقات توابع ساده است. قوانین تمایز پیچیده تر، درس های دیگر را ببینید:

• جدول مشتقات توابع نمایشی و لگاریتمی

فرمول های محدود به عنوان مقادیر مرجع استفاده می شود. آنها در حل معادلات دیفرانسیل و وظایف کمک خواهند کرد. در تصویر، در جدول مشتقات توابع ساده، "ورق تقلب" از موارد اولیه مشتق از مشتق از مشتق شده در فرموما برای استفاده، توضیحات برای هر مورد در کنار آن وجود دارد.

مشتقات توابع ساده

1. مشتق از شماره صفر است
c '\u003d 0.
مثال:
5 '\u003d 0.

توضیح:
مشتق شده نشان می دهد سرعت تغییر مقدار عملکرد زمانی که استدلال تغییر می کند. از آنجا که شماره در هیچ شرایطی تغییر نمی کند - سرعت تغییر آن همیشه صفر است.

2. مشتق از متغیر برابر با وحدت
x '\u003d 1.

توضیح:
با هر گونه افزایش استدلال (x) در هر واحد، مقدار تابع (نتیجه محاسبات) در همان اندازه افزایش می یابد. بنابراین، میزان تغییر ارزش تابع y \u003d x دقیقا برابر با میزان تغییر ارزش استدلال است.

3. مشتق متغیر و ضریب برابر با این عامل برابر است
cx '\u003d S.
مثال:
(3x) '\u003d 3
(2x) '\u003d 2
توضیح:
در این مورد، با هر تغییر از استدلال تابع ( h.) ارزش آن (Y) در حال رشد است از جانب زمان. بنابراین، میزان تغییر ارزش عملکرد با توجه به میزان تغییر استدلال دقیقا برابر است از جانب.

از جایی که آن را دنبال می کند
(cx + b) "\u003d c
به عبارت دیگر، دیفرانسیل تابع خطی Y \u003d KX + B برابر با ضریب زاویه ای شیب (K) است.

4. مشتقات ماژول برابر با یک متغیر خصوصی به ماژول آن
| x | "\u003d x / | x | ارائه شده است که X ≠ 0
توضیح:
از آنجا که مشتق متغیر (به فرمول 2 مراجعه کنید) برابر با واحد است، مشتق شده از ماژول تنها با این واقعیت متمایز است که مقدار عملکرد تابع تغییرات عملکرد تغییر می کند زمانی که نقطه منشا مبدأ منشاء عبور می کند (سعی کنید یک تابع از y \u003d | x | و مطمئن شوید که آن را خودتان. ارزش و بازگشتی بیان x / | x |. هنگامی که x< 0 оно равно (-1), а когда x > 0 - وحدت به عبارت دیگر، با مقادیر منفی متغیر x هر بار یک تغییر استدلال، مقدار عملکرد به همان مقدار کاهش می یابد، و با مثبت - برعکس، آن را افزایش می دهد، اما دقیقا همان معنی است.

5. مشتقات درجه برابر با محصول تعداد این درجه و متغیر به درجه کاهش یافته توسط یکی
(x c) "\u003d cx c-1، با توجه به اینکه X C و CX C-1 تعریف شده اند و C ≠ 0
مثال:
(x 2) "\u003d 2x
(x 3) "\u003d 3x2
برای حفظ فرمول:
درجه ای از متغیر "پایین" را به عنوان یک ضریب تقسیم کنید و سپس درجه درجه را در هر واحد کاهش دهید. به عنوان مثال، برای X 2 - دو نفر به جلوتر از ICA شد، و سپس کاهش درجه (2-1 \u003d 1) به سادگی به ما 2x داد. همین اتفاق برای X 3 اتفاق افتاد - سه "فرود آمدن"، ما آن را در هر واحد کاهش می دهیم و به جای مکعب ما یک مربع داریم، یعنی 3x2. کمی "علمی نیست"، اما بسیار آسان به یاد داشته باشید.

6. نشات گرفته 1 / x.
(1 / x) "\u003d - 1 / x 2
مثال:
از آنجا که کسری می تواند به عنوان ساخت یک درجه منفی نشان داده شود
(1 / x) "\u003d (x -1)"، سپس شما می توانید فرمول را از قانون 5 از جدول مشتق شده استفاده کنید
(x -1) "\u003d -1x -2 \u003d - 1 / x 2

7. نشات گرفته با درجه متغیر در نام خانوادگی
(1 / x c) "\u003d - C / X C + 1
مثال:
(1 / x 2) "\u003d - 2 / x 3

8. مشتق ریشه (مشتق متغیر تحت ریشه مربع)
(√x) "\u003d 1 / (2√x) یا 1/2 x -1/2
مثال:
(√x) "\u003d (x 1/2)" بنابراین شما می توانید فرمول را از قانون 5 اعمال کنید
(x 1/2) "\u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. متغیر مشتق شده تحت درجه تصادفی
(n √x) "\u003d 1 / (n n √x n-1)

عملیات پیدا کردن مشتق شده، تمایز نامیده می شود.

به عنوان یک نتیجه از حل مشکلات یافتن مشتقات از ساده ترین (و نه بسیار ساده) توابع برای تعیین مشتق به عنوان محدودیت نگرش نسبت به یک استدلال، یک جدول از مشتقات و قوانین تمایز دقیق تعریف شده است. اسحاق نیوتن (1643-1727) و گوتفرید ویلهلم لایبنیتس (1646-1716) برای اولین بار در زمینه یافته های مشتقات بود.

بنابراین، در زمان ما، برای پیدا کردن یک مشتق از هر تابع، لازم نیست محاسبه حد بالا نسبت افزایش عملکرد برای افزایش استدلال، و شما فقط نیاز به استفاده از جدول از مشتقات و قوانین تمایز . برای پیدا کردن مشتق، الگوریتم زیر مناسب است.

برای پیدا کردن مشتق، لازم است برای بیان تحت نشانه ای از سکته مغزی اجزای عملکردهای ساده را جدا کنید و تعیین اقدامات (کار، مقدار، خصوصی) این توابع متصل هستند بعد، مشتقات توابع ابتدایی در جدول مشتقات، و فرمول های مشتقات، مقادیر و خصوصی - در قوانین تمایز یافت می شود. جدول مشتقات و قوانین تمایز پس از دو نمونه اول داده می شود.

مثال 1 یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

تصمیم گیری از قوانین تمایز، ما متوجه می شویم که مشتق عملکرد توابع، مقدار مشتقات، I.E.

از جدول مشتقات، ما متوجه می شویم که مشتق از "ICCA" برابر با یک است، و مشتق سینوسی کوزین است. ما این مقادیر را در مقدار مشتقات جایگزین می کنیم و شرایط مورد نیاز مشتق شده را پیدا می کنیم:

مثال 2 یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

تصمیم گیری تمایز به عنوان یک مبلغ مشتق شده که در آن دومین دوره با یک عامل ثابت می تواند توسط یک علامت مشتق شده به دست آید:

اگر هنوز سوالاتی وجود دارد، از جایی که آن را گرفته است، آنها معمولا پس از آشنایی با مشتقات جدول و ساده ترین قوانین تمایز تعریف می شوند. ما اکنون به آنها می رویم

جدول توابع ساده مشتق شده

1. ثابت مشتق شده (اعداد). هر شماره (1، 2، 5، 200 ...)، که در بیان عملکرد است. همیشه برابر صفر است بسیار مهم است که به یاد داشته باشید، زیرا اغلب ضروری است
2. مشتق از یک متغیر مستقل. اغلب "Iksa". همیشه برابر با یک. همچنین مهم است که برای مدت طولانی به یاد داشته باشید.
3. درجه مشتق شده. درجه ای در حل وظایف شما نیاز به تبدیل ریشه های ناگوار.
4. متغیر مشتق به درجه -1
5. مشتقات ریشه مربع
6. مشتق سینوسی
7. مشتق کوزین
8. مماس مشتق شده
9. مشتق از kotangens
10. مشتق Arksinus
11. مشتق Arckosinus
12. مشتقات Arctangen
13. مشتقات Arkkotangen
14. مشتق از لگاریتم طبیعی
15. عملکرد لگاریتمی مشتق شده
16. نمایشگر نشانگر
17. تابع نشانگر مشتق شده

قوانین تمایز

1. مقدار مشتق یا تفاوت
2. کار مشتق شده
2a مشتق از بیان ضرب شده توسط ضریب ثابت
3. مشتق خصوصی
4. تابع پیچیده مشتق شده

قانون 1 اگر توابع

به طور متفاوتی در برخی موارد، سپس در همان نقطه تمایز و توابع

و

کسانی که. مشتق از مقدار جبری توابع برابر با مقدار جبری مشتقات این توابع است.

نتیجه گیری اگر دو توابع انحصاری در یک دوره دائمی متفاوت باشند، مشتقات آنها برابر هستند.

قانون 2اگر توابع

به طور متفاوتی در برخی موارد، سپس در همان نقطه متفاوت و کار آنها

و

کسانی که. مشتق شده از دو توابع برابر با مقدار آثار هر یک از این توابع در مشتقات مختلف است.

نتیجه 1 ضریب دائمی می تواند برای علامت مشتق شده ساخته شود:

CUROLLARY 2. مشتق از کار چندین توابع انحصاری برابر با مقدار محصولات مشتق شده از هر یک از عوامل به همه دیگر است.

به عنوان مثال، برای سه ضرب کننده:

قانون 3اگر توابع

دیفرانسیل در برخی موارد و , سپس در این نقطه به طور متفاوتی و خصوصی آنهاu / V، و

کسانی که. مشتق از دو توابع خصوصی برابر با کسری است، عددی که از آن تفاوت در محصولات معیوب بر روی مشتق از عددی و عددی در مشتقات مخرب است، و نام دهنده مربع از عددی قبلی است .

جایی که چه چیزی را در صفحات دیگر جستجو کنید

هنگام پیدا کردن یک مشتق از کار و خصوصی در وظایف واقعی، چندین قانون تمایز همیشه می تواند اعمال شود، بنابراین نمونه های بیشتری برای این مشتقات - در مقاله"کار مشتق شده و توابع خصوصی".

اظهار نظر.این نباید با یک ثابت (یعنی شماره) به عنوان اصطلاح در مقدار و به عنوان یک ضریب ثابت اشتباه گرفته شود! در مورد بنیاد، مشتق آن صفر است و در مورد یک ضریب ثابت، برای نشانه مشتقات ارائه شده است. این یک خطای معمول است که مطابق است مرحله اولیه مطالعه مشتقات، اما به عنوان چند نمونه تک حجم قبلا حل شده است دانش آموز متوسط این خطا دیگر نمی کند

و اگر، با تمایز کار یا خصوصی، شما یک اصطلاح ظاهر شد تو"v. ، که در آن تو - یک عدد، به عنوان مثال، 2 یا 5، یعنی یک ثابت، مشتق از این تعداد صفر خواهد بود و بنابراین کل اصطلاح صفر خواهد بود (چنین موردی در مثال 10 جدا شده است).

یکی دیگر از خطای مکرر یک راه حل مکانیکی یک تابع پیچیده مشتق شده به عنوان مشتق از یک تابع ساده است. از این رو تابع پیچیده مشتق شده مقاله جداگانه اختصاصی اما ابتدا ما یاد می گیریم که مشتقات توابع ساده را پیدا کنیم.

در این دوره، بدون تحول عبارات انجام نمی شود. برای انجام این کار، ممکن است لازم باشد مزایای را در پنجره های جدید باز کنید. اقدامات با درجه و ریشه و اقدامات با فراکسیون .

اگر شما به دنبال راه حل های مشتقات با درجه ها و ریشه ها هستید، یعنی زمانی که این تابع مانند یک نوع است ، شغل "مشتق شده از کسرها را با درجه و ریشه" دنبال کنید.

اگر شما یک کار دارید ، سپس شما در "مشتقات توابع مثلثاتی ساده" هستید.

نمونه های گام به گام - چگونه برای پیدا کردن یک مشتق شده

مثال 3 یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

تصمیم گیری ما بخشی از بیان تابع را تعیین می کنیم: کل بیان نشان دهنده کار است و عوامل آن مبالغ است، در مرحله دوم که یکی از اصطلاحات حاوی ضریب دائمی است. ما از مشتق از محصول استفاده می کنیم: مشتق از کار دو توابع برابر با مقدار آثار هر یک از این توابع در مشتقات مختلف است:

بعد، مقدار مقدار تمایز را اعمال کنید: مشتق از مقدار جبری توابع برابر با مقدار جبری مشتقات این توابع است. در مورد ما، هر مبلغ دوم با علامت منفی است. در هر مبلغ، ما می بینیم و یک متغیر مستقل، مشتق از آن برابر با یک، و ثابت (تعداد)، مشتق از آن صفر است. بنابراین، "X" ما به یک، و منهای 5 - در صفر تبدیل شده است. در بیان دوم "X" با 2 برابر می شود، بنابراین این دو برابر همان واحد به عنوان مشتق از "Iksa" ضرب می شود. ما مقادیر زیر مشتقات را به دست می آوریم:

ما مشتقات یافت شده را در مقدار آثار جایگزین می کنیم و شرایط مورد نیاز را برای مشکل مشتق شده از کل تابع به دست می آوریم:

مثال 4 یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

تصمیم گیری ما باید یک مشتق خصوصی را پیدا کنیم. با استفاده از فرمول برای تمایز خصوصی: مشتق از دو توابع خصوصی، برابر با کسری است، عددی که تفاوت آن است که تفاوت محصولات معیوب بر روی مشتق از عددی و عددی در مشتقات مخرب، و جانباز مربع از عددی قبلی است. ما گرفتیم:

ما قبلا یک مشتق از عوامل در Numertel را در مثال 2 پیدا کرده ایم. من حتی فراموش نخواهم کرد که کار دومین کارخانه در عددی در مثال فعلی با علامت منفی گرفته شده است:

اگر شما به دنبال راهکارهایی برای چنین وظایفی هستید که لازم است یک تابع مشتق شده را پیدا کنید، جایی که نژادهای جامد ریشه ها و درجه ها مانند، به عنوان مثال، ، سپس به اشغال خوش آمدید "مشتق از کسری با درجه و ریشه" .

اگر شما نیاز به یادگیری بیشتر در مورد مشتقات سینوس ها، کوزین، مماس و سایر توابع مثلثاتی، یعنی زمانی که عملکرد به نظر می رسد سپس شما در درس هستید "مشتقات توابع مثلثاتی ساده" .

مثال 5 یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

تصمیم گیری در این ویژگی، ما این کار را می بینیم، یکی از عواملی که - ریشه دوم از یک متغیر مستقل، با مشتق شده که ما در جدول مشتقات آشنا شدیم. با توجه به مشتق محصول و مقدار جدول مشتق ریشه مربع، ما دریافت می کنیم:

مثال 6 یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

تصمیم گیری در این ویژگی، ما خصوصی را می بینیم، که یک ریشه مربع از یک متغیر مستقل است. با توجه به قاعده تمایز خصوصی، که ما در مثال 4 تکرار و اعمال می شود، ما مقدار قابل انعطاف پروتئین مربع را به دست می آوریم:

برای خلاص شدن از کسر در عددی، ضرب کننده عددی و نامزدی را بردارید.

سطح اول

تابع مشتق شده راهنمای جامع (2019)

یک جاده مستقیم را از طریق یک منطقه تپه ای تصور کنید. یعنی، آن را بالا می برد، پس از آن، اما درست یا چپ به نوبه خود تبدیل نمی شود. اگر محور در امتداد جاده به صورت افقی هدایت شود، و - عمودی، سپس خط جاده بسیار شبیه به یک برنامه برخی از عملکرد مداوم خواهد بود:

محور یک سطح مشخصی از ارتفاع صفر است، ما از سطح دریا استفاده می کنیم.

حرکت به جلو در چنین جاده ای، ما نیز حرکت می کنیم بالا یا پایین. ما همچنین می توانیم بگوییم: هنگامی که استدلال تغییر می کند (پیشرفته در امتداد محور Abscissa) ارزش تغییرات عملکرد (حرکت در امتداد محور واحد). و اکنون اجازه دهید در مورد چگونگی تعیین "اشتیاق" جاده ما فکر کنیم؟ چه چیزی می تواند برای اندازه گیری باشد؟ بسیار ساده: هنگامی که حرکت به جلو برای یک فاصله مشخص، ارتفاع را تغییر دهید. پس از همه، در قسمت های مختلف جاده، حرکت به جلو (در کنار محور Abscissa) برای یک کیلومتر، ما افزایش یا کاهش تعداد متفاوتی از متر نسبت به سطح دریا (در امتداد محور واحد).

ارتقاء به جلو (به عنوان خوانده شده "Delta X").

نامه یونانی (دلتا) در ریاضیات معمولا به عنوان پیشوند به معنای "تغییر" استفاده می شود. این است - این تغییر در ارزش است - تغییر؛ پس چه چیزی است؟ درست است، ارزش تغییر.

مهم: بیان یک عدد صحیح تک، یک متغیر است. شما هرگز نمی توانید از "Delta" از "Iksa" یا هر نامه دیگری از بین ببرید! به عنوان مثال، این است.

بنابراین، ما پیش رو به جلو، به صورت افقی، در. اگر خط جاده ما عملکرد را با یک نمودار مقایسه کنیم، پس چگونه افزایش می دهیم؟ مطمئن، . به این ترتیب، هنگامی که حرکت به جلو بر روی ما افزایش می یابد بالا.

محاسبه مقدار آسان است: اگر در ابتدا ما در ارتفاع قرار داشتیم، و پس از حرکت در ارتفاع بود، سپس. اگر نقطه انتهایی معلوم شود پایین تر از ابتدایی باشد، منفی خواهد بود - این به این معنی است که ما نمی رویم، اما پایین بیایید.

بیایید به "steepness" بازگردیم: این مقدار است که نشان می دهد چقدر قوی (Cool) ارتفاع را افزایش می دهد هنگام حرکت به جلو در هر واحد فاصله:

فرض کنید که در یک سایت از مسیر حرکت در KM، جاده به سمت بالا در کیلومتر افزایش می یابد. سپس تندرستی در این مکان برابر است. و اگر جاده در هنگام ترویج در M به KM غرق شود؟ سپس شیب برابر است.

حالا بالای تپه ها را در نظر بگیرید. اگر شما شروع به نیم کیلومتر به بالای صفحه، و پایان - پس از نیم کیلومتر پس از آن، می توان دید که ارتفاع تقریبا یکسان است.

به این معناست که در منطق ما معلوم می شود که شیب دار در اینجا تقریبا برابر با صفر است، که به وضوح درست نیست. فقط در فاصله ای در کیلومتر می تواند مقدار زیادی تغییر کند. لازم است بخش های کوچکتر را برای ارزیابی دقیق تر و دقیق تر از شیب در نظر بگیریم. به عنوان مثال، اگر تغییر در ارتفاع را در هنگام حرکت به یک متر اندازه گیری کنید، نتیجه بسیار دقیق تر خواهد بود. اما این دقت ممکن است برای ما کافی نباشد - زیرا اگر یک ستون در وسط جاده وجود داشته باشد، می توانیم به سادگی آن را لغزش کنیم. چه فاصله ای را انتخاب کنید؟ سانتی متر؟ میلی متر؟ کمتر بهتر است!

که در زندگی واقعی فاصله را با دقت به میلیمتر اندازه گیری کنید - بیش از اندازه کافی است. اما ریاضیدانان همیشه برای برتری تلاش می کنند. بنابراین، این مفهوم اختراع شد بی نهایت کوچک استبه عبارت دیگر، مقدار ماژول کمتر از هر عدد است که تنها می تواند نامیده شود. به عنوان مثال، شما می گویید: یک تریلیون! کمتر کجاست؟ و شما این شماره را وارد کردید - و حتی کمتر خواهد بود. و غیره. اگر ما می خواهیم بنویسیم که مقدار بی نهایت کوچک است، ما مانند این می نویسیم: (من خواندن "X در حال تلاش برای صفر است"). بسیار مهم است که درک کنیم که این شماره صفر نیست! اما خیلی نزدیک به او. این به این معنی است که می توان آن را به آن تقسیم کرد.

مفهوم مخالف بی نهایت کوچک است - بی نهایت بزرگ (). شما قبلا احتمالا با او در هنگام نابرابری مشغول به کار هستید: این تعداد ماژول بیش از هر عدد است که می تواند اختراع شود. اگر شما بزرگترین تعداد ممکن را به دست آوردید، فقط آن را به دو برابر کنید، و حتی بیشتر خواهد شد. و بی نهایت حتی بیشتر از آنچه اتفاق می افتد. در حقیقت، بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک یکدیگر را عوض می کنند، یعنی زمانی که، زمانی، و برعکس: زمانی که.

حالا به جاده ما برگشتم شیب کاملا شمارش شده یک بنیون است، محاسبه شده برای یک بخش بی نهایت کوچک از مسیر، یعنی:

من توجه دارم که با یک حرکت بی نهایت کوچک، تغییر در ارتفاع نیز بی نهایت کوچک خواهد بود. اما من به شما یادآوری می کنم، بی نهایت کوچک - به معنای برابر صفر نیست. اگر تعداد افراد بی نهایت کوچک را به اشتراک بگذارید، ممکن است به عنوان مثال ممکن است یک عدد معمول باشد. به عبارت دیگر، یک مقدار کم می تواند دقیقا بیش از یک بار دیگر باشد.

این همه چی هست؟ جاده، شیب ... ما نمی خواهیم به این تظاهرات برویم، و ما ریاضیات را یاد می گیریم. و در ریاضیات همه چیز درست است، تنها به نام متفاوت است.

مفهوم مشتق شده

مشتق عملکرد، نسبت افزایش عملکرد به افزایش استدلال با افزایش بی نهایت کوچک استدلال است.

افزایش در ریاضیات تغییر تماس. چقدر استدلال تغییر کرد () هنگام حرکت در امتداد محور نامیده می شود افزایش استدلال و اشاره به اینکه چقدر عملکرد تغییر (ارتفاع) هنگام حرکت به جلو در امتداد محور نامیده می شود، نامیده می شود افزایش عملکرد و نشان داده شده است

بنابراین، عملکرد مشتق شده نگرش به زمانی است. ما مشتق از یک نامه مشابه را به عنوان تابع نشان می دهیم، فقط با سکته مغزی در سمت راست: یا به سادگی. بنابراین، ما فرمول مشتق شده را با استفاده از این نماد بنویسیم:

همانطور که در مقایسه با گران قیمت در اینجا، با افزایش عملکرد، مشتق شده مثبت است، و زمانی که کاهش منفی است.

آیا مشتق به صفر می رسد؟ مطمئن. به عنوان مثال، اگر ما در امتداد یک جاده افقی صاف قرار می گیریم، صفر صفر است. و حقیقت این است که ارتفاع به طور کامل در حال تغییر نیست. بنابراین با مشتق شده: مشتق از عملکرد ثابت (ثابت) صفر است:

از آنجا که افزایش چنین عملکرد صفر است.

بیایید مثال از تپه را به یاد داشته باشیم. معلوم شد که ممکن بود که شما می توانید انتهای بخش را در امتداد جهات مختلف از رأس قرار دهید که ارتفاع در انتهای آن به همان اندازه تبدیل می شود، یعنی بخش در محور موازی قرار دارد:

اما بخش های بزرگی نشانه ای از اندازه گیری نادرست هستند. ما برش ما را به موازات خود برسانیم، سپس طول آن کاهش می یابد.

در نهایت، زمانی که ما بی نهایت نزدیک به بالا هستیم، طول بخش به طور غیرمستقیم کوچک خواهد شد. اما در عین حال، موازی با محور باقی مانده بود، یعنی تفاوت ارتفاع در انتهای آن صفر است (به دنبال آن نیست، یعنی برابر شدن). بنابراین مشتق شده

این امکان وجود دارد که این را درک کنید: زمانی که ما در بالای صفحه قرار داریم، جابجایی کوچکی به تغییر چپ یا راست ارتفاع ما ناچیز است.

یک توضیح صرفا جبری وجود دارد: چپ بالای بالا، عملکرد افزایش می یابد و به سمت راست کاهش می یابد. همانطور که قبلا قبلا متوجه شده ایم، با افزایش عملکرد، مشتق مثبت است، و به عنوان نزولی، منفی است. اما آن را به طور صاف، بدون جهش تغییر می کند (زیرا جاده شیب را تغییر نمی دهد). بنابراین، بین مقادیر منفی و مثبت باید باشد. او جایی خواهد بود که عملکرد نه افزایش نمی یابد، و نه کاهش می یابد - در نقطه ای از رأس.

همین امر برای افسردگی درست است (منطقه ای که در آن عملکرد در سمت چپ کاهش می یابد و در سمت راست افزایش می یابد):

کمی بیشتر در مورد افزایش.

بنابراین، ما این استدلال را به اندازه ای تغییر می دهیم. تغییر از چه مقدار؟ او اکنون (استدلال) چیست؟ ما می توانیم هر نقطه را انتخاب کنیم، و اکنون از آن رقص خواهیم شد.

یک نقطه را با مختصات در نظر بگیرید. ارزش عملکرد در آن برابر است. سپس چیزی را افزایش دهید: هماهنگی را افزایش دهید. در حال حاضر استدلال چیست؟ بسیار آسان: . و ارزش عملکرد در حال حاضر چیست؟ جایی که استدلال، وجود دارد و عملکرد :. و در مورد افزایش عملکرد چیست؟ هیچ چیز جدیدی نیست: هنوز هم میزان عملکرد آن تغییر کرده است:

تمرین برای پیدا کردن افزایش:

1. هنگامی که استدلال افزایش می یابد، افزایش عملکرد را در نقطه ای پیدا کنید.
2. همان برای عملکرد در نقطه.

راه حل ها:

در نقاط مختلف در یک و همان افزایش استدلال، افزایش عملکرد متفاوت خواهد بود. این بدان معنی است که مشتق شده در هر نقطه، خودش است (ما در ابتدا بحث کردیم - شیب جاده در نقاط مختلف متفاوت است). بنابراین، هنگامی که یک مشتق را بنویسیم، باید در چه نقطه ای مشخص کنید:

تابع توان.

قدرت عملکردی است که در آن استدلال تا حدودی (منطقی، بله؟) نامیده می شود.

علاوه بر این، به هر دو :.

ساده ترین مورد زمانی است که شاخص درجه:

ما مشتق خود را در نقطه پیدا می کنیم. ما تعریف مشتق را به یاد می آوریم:

بنابراین، استدلال از قبل تغییر می کند. افزایش عملکرد چیست؟

افزایش است. اما عملکرد در هر نقطه برابر با استدلال آن است. از این رو:

مشتق شده برابر است:

مشتق شده از برابر:

ب) اکنون در نظر بگیرید تابع درجه دوم (): .

و حالا این را به یاد داشته باشید. این بدان معنی است که ارزش افزایش را می توان نادیده گرفت، زیرا آن را بی نهایت کوچک است، و بنابراین ناچیز در برابر پس زمینه یک اصطلاح دیگر:

بنابراین، ما به دنیا آمدیم.

ج) ما محدوده منطقی را ادامه می دهیم :.

این عبارت را می توان به روش های مختلف ساده سازی کرد: برای نشان دادن اولین براکت با فرمول ضریب ضریب ضریب مکعب، یا تجزیه کل بیان بر عوامل با فرمول تفاوت مکعب را تجزیه کنید. سعی کنید آن را با هر یک از راه های پیشنهادی انجام دهید.

بنابراین، من زیر را دریافت کردم:

و دوباره آن را به یاد داشته باشید. این به این معنی است که شما می توانید تمام شرایط حاوی شرایط را نادیده بگیرید:

ما گرفتیم :.

د) قوانین مشابه را می توان برای درجه های بزرگ به دست آورد:

الف) معلوم می شود که این قانون می تواند به طور کلی تعمیم داده شود تابع توان با یک شاخص دلخواه، حتی:

(2)

شما می توانید قانون را با کلمات فرموله کنید: "درجه به عنوان یک ضریب به جلو منتقل می شود و سپس توسط" کاهش می یابد ".

بگذارید این قانون را بعدا ثابت کنیم (تقریبا در پایان). و حالا چند نمونه را در نظر بگیرید. پیدا کردن توابع مشتق شده:

1. (به دو روش: توسط فرمول و استفاده از تعیین مشتق شده - با توجه به افزایش عملکرد)؛

1. . شما باور نخواهید کرد، اما این یک عملکرد قدرت است. اگر سوالی دارید مانند "چطور است؟ و کجا درجه است؟ "، موضوع را به یاد داشته باشید" "!
   بله، ریشه نیز درجه، تنها کسری است :.
   بنابراین ریشه مربع ما فقط یک درجه با یک شاخص است:
   .
   ما به دنبال یک فرمول اخیرا آموخته شده هستیم:

   اگر در این مکان دوباره غیر قابل درک بود، موضوع را تکرار کنید "" !!! (در مورد درجه با شاخص منفی)

2. . در حال حاضر شاخص درجه:

   و اکنون از طریق تعریف (هنوز فراموش نشده ام؟):
   ;
   .
   در حال حاضر، به طور معمول، نادیده گرفتن شرایط حاوی:
   .

3. . ترکیبی از موارد قبلی :.

توابع مثلثاتی

در اینجا ما از یک واقعیت از بالاترین ریاضیات استفاده خواهیم کرد:

هنگام بیان

اثبات شما را در سال اول موسسه (و باید وجود دارد، شما باید آن را به خوبی منتقل کنید). در حال حاضر فقط آن را به صورت گرافیکی نشان می دهد:

ما می بینیم که زمانی که عملکرد وجود ندارد - نقطه بر روی نمودار جمعیت. اما نزدیک به ارزش، عملکرد نزدیک تر به این بیشتر "تلاش" است.

شما علاوه بر این می توانید این قانون را با استفاده از ماشین حساب بررسی کنید. بله، بله، خجالت نکشید، ماشین حساب را مصرف کنید، هنوز در امتحان نیستیم.

بنابراین سعی کنید :؛

فراموش نکنید که ماشین حساب را به حالت رادیان انتقال دهید!

و غیره. ما می بینیم که کوچکتر، ارزش نسبت به رابطه را نزدیک تر می کند.

الف) عملکرد را در نظر بگیرید. به طور معمول، ما افزایش خواهیم یافت:

تفاوت در سینسین را به کار تبدیل کنید. برای انجام این کار، ما از فرمول استفاده می کنیم (به یاد داشته باشید موضوع ") :.

در حال حاضر مشتق شده است:

ما جایگزین خواهیم کرد :. سپس، با بی نهایت کوچک، آن را نیز بی نهایت کوچک است :. بیان برای فرم طول می کشد:

و حالا شما به یاد می آورید که هنگام بیان. و همچنین اگر ارزش بی نهایت کم را می توان در مقدار (یعنی زمانی که) نادیده گرفته شود.

بنابراین، ما قانون زیر را دریافت می کنیم: مشتق سینوسی برابر با کسیستانی است:

این مشتقات اساسی ("جدولی") است. در اینجا آنها یک لیست هستند:

بعدا چند مورد دیگر به آنها اضافه می کنیم، اما این ها مهمترین هستند، زیرا اغلب آنها استفاده می شود.

تمرین:

1. پیدا کردن تابع مشتق شده در نقطه؛
2. تابع مشتق شده را پیدا کنید

راه حل ها:

1. در ابتدا ما مشتق را به صورت عمومی پیدا خواهیم کرد و سپس به جای ارزش آن جایگزین می شود:
   ;
   .
2. در اینجا ما چیزی شبیه به عملکرد قدرت داریم. بیایید سعی کنیم آن را به
   فرم عادی:
   .
   عالی، حالا شما می توانید از فرمول استفاده کنید:
   .
   .
3. . eeeeee ... .. چه چیزی است ؟؟؟؟

خوب، شما درست است، ما هنوز نمی دانیم چگونه چنین مشتقات را پیدا کنیم. در اینجا ما ترکیبی از چندین نوع توابع داریم. برای کار با آنها، شما باید چند قانون دیگر را یاد بگیرید:

غرفه دار و لگاریتم طبیعی.

چنین عملکرد در ریاضیات وجود دارد، مشتق از آن با هر مقدار برابر از عملکرد خود را به همان شیوه. این "غرفه" نامیده می شود، و یک تابع نشانگر است

اساس این تابع ثابت است - این یک بی نهایت است دهدهیبه عبارت دیگر، تعداد غیر منطقی است (مانند). این "تعداد اویلر" نامیده می شود، بنابراین نامه را نشان می دهد.

بنابراین، قانون:

به یاد داشته باشید بسیار آسان است

خوب، بیایید به دور برویم، بلافاصله در نظر بگیریم تابع معکوس. چه تابع معکوس برای یک تابع نشانگر است؟ لگاریتم:

در مورد ما، مبنای شماره است:

چنین لگاریتم (یعنی یک لگاریتم با پایه) "طبیعی" نامیده می شود، و برای آن ما از یک نام خاص استفاده می کنیم: به جای نوشتن.

چه چیزی برابر است؟ البته، .

مشتق از لگاریتم طبیعی نیز بسیار ساده است:

مثال ها:

1. تابع مشتق شده را پیدا کنید
2. عملکرد مشتق شده برابر است؟

پاسخ ها: نمایشگاه I. لگاریتم طبیعی - توابع منحصر به فرد ساده از نقطه نظر مشتق شده است. تبادل و توابع لگاریتمی با هر پایه دیگری، مشتقات دیگری را دارند، که بعد از گذراندن قوانین تمایز، بعدا با شما تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

قوانین تمایز

قوانین چیست؟ دوباره اصطلاح جدید، دوباره؟! ...

تفکیک - این فرآیند یافتن مشتق شده است.

فقط و همه چیز. و چطور دیگر این فرآیند را در یک کلمه نامگذاری کنید؟ نه تولید ... دیفرانسیل ریاضیات بیشتر افزایش یافته است. این اصطلاح از Latin Difiesia اتفاق می افتد - تفاوت. اینجا.

هنگام نمایش تمام این قوانین، ما از دو توابع استفاده خواهیم کرد، به عنوان مثال، و. ما همچنین نیاز به فرمول برای افزایش آنها خواهیم داشت:

مجموع 5 قانون وجود دارد.

ثابت از نشانه مشتق شده است.

اگر - نوعی تعداد ثابت (ثابت)، سپس.

بدیهی است، این قانون برای تفاوت کار می کند :.

ما ثابت میکنیم اجازه دهید یا ساده تر شود

مثال ها.

پیدا کردن توابع مشتق شده:

1. در نقطه؛
2. در نقطه؛
3. در نقطه؛
4. در نقطه

راه حل ها:

1. (مشتق شده در تمام نقاط مشابه است، همانطور که هست تابع خطی، یاد آوردن؟)؛

کار مشتق شده

در اینجا همه چیز مشابه است: ما یک تابع جدید را معرفی می کنیم و افزایش آن را پیدا می کنیم:

مشتق:

مثال ها:

1. مشتقات توابع را پیدا کنید و؛
2. مشتق عملکرد را در نقطه پیدا کنید.

راه حل ها:

تابع نشانگر مشتق شده

در حال حاضر دانش شما به اندازه کافی برای یادگیری نحوه پیدا کردن یک مشتق از هر تابع نشانگر، و نه فقط غرفه داران (فراموش نکنید که آن چیست؟).

بنابراین، چند عدد است.

ما قبلا تابع مشتق شده را می دانیم، بنابراین سعی کنید عملکرد ما را به یک پایگاه جدید برسانید:

برای انجام این کار، ما از یک قانون ساده استفاده می کنیم :. سپس:

خوب، معلوم شد حالا سعی کنید یک مشتق را پیدا کنید و فراموش نکنید که این ویژگی پیچیده است.

اتفاق افتاد؟

اینجا، خودتان را بررسی کنید:

فرمول معلوم شد که بسیار شبیه به نمایشگاه مشتق شده است: همانطور که بود، باقی مانده بود، تنها چند ضلعی ظاهر شد، که فقط یک عدد است، اما یک متغیر نیست.

مثال ها:
پیدا کردن توابع مشتق شده:

پاسخ ها:

این فقط یک عدد است که نمی تواند بدون یک ماشین حساب شمارش شود، یعنی نه، نه به یک فرم ساده تر ضبط شود. بنابراین، در پاسخ به این شکل و ترک.

تابع لگاریتمی مشتق شده

در اینجا مشابه است: شما قبلا مشتق از لگاریتم طبیعی را می دانید:

بنابراین، برای پیدا کردن یک دلخواه از لگاریتم با یک دلیل دیگر، به عنوان مثال:

شما باید این لگاریتم را به پایه برسانید. و چگونه مبنای لگاریتم را تغییر دهید؟ امیدوارم این فرمول را به یاد داشته باشید:

فقط در حال حاضر به جای ما نوشتیم:

در نامزدی، این فقط یک ثابت ثابت (ثابت ثابت، بدون متغیر) معلوم شد. مشتق شده بسیار ساده است:

مشتقات نشان دهنده I. توابع لگاریتمی تقریبا در امتحان یافت نشد، اما برای شناختن آنها ضروری نیست.

تابع پیچیده مشتق شده.

"عملکرد پیچیده" چیست؟ نه، این یک لگاریتم نیست، و نه archthangence. این توابع را می توان برای درک پیچیده (اگر چه اگر لگاریتم به نظر شما دشوار است، موضوع "LogaRithms" را بخوانید و همه چیز عبور کند)، اما از نظر ریاضیات کلمه "پیچیده" به معنای "مشکل" نیست.

تصور کنید یک نوار نقاله کوچک: دو نفر نشسته اند و برخی از اقدامات را با برخی از اشیاء دارند. به عنوان مثال، اولین شکلات را در بسته بندی بسته بندی می کند، و دوم آن را با یک روبان نشان می دهد. این یک شیء انتگرال را به نمایش می گذارد: شکلات، پیچیده شده و با روبان پوشانده شده است. برای خوردن شکلات، باید انجام دهید اقدام معکوس در جهت معکوس

بیایید یک نوار نقاله ریاضی مشابه ایجاد کنیم: ابتدا ماوسئین را پیدا خواهیم کرد، و سپس تعداد حاصل از آن به یک مربع تنظیم می شود. بنابراین، ما یک عدد (شکلات) را می دهیم، من کسی را پیدا می کنم (بسته بندی)، و سپس شما را با آنچه که من انجام دادم، در یک مربع (کراوات به روبان) انجام می شود. چی شد؟ تابع. این یک نمونه از یک تابع پیچیده است: هنگامی که برای پیدا کردن معانی آن، ما اولین اقدام را به طور مستقیم با متغیر انجام می دهیم، و سپس یک اقدام دیگر با آنچه که به عنوان یک نتیجه از اول اتفاق افتاد.

ما می توانیم به طور کامل اقدامات مشابه و در جهت معکوس انجام دهیم: اول شما به یک مربع نصب می شوید، و سپس من به دنبال یک کوزین از شماره نتیجه هستم :. آسان است حدس بزنید که نتیجه تقریبا همیشه متفاوت خواهد بود. ویژگی مهم توابع پیچیده: هنگامی که روش تغییر، عملکرد تغییر می کند.

به عبارت دیگر، یک تابع پیچیده یک تابع است، استدلال که یکی دیگر از ویژگی های آن است.: .

برای مثال اول،

مثال دوم: (همان). .

اقداماتی که ما آن را انجام می دهیم تماس می گیریم عملکرد "خارجی"، و عمل انجام شد به ترتیب "عملکرد داخلی" (اینها نام های غیر رسمی هستند، من فقط از آنها برای توضیح مواد در زبان ساده استفاده می کنم).

سعی کنید خودتان را تعیین کنید چه تابع خارجی است و داخلی است:

پاسخ ها:جداسازی توابع داخلی و خارجی بسیار شبیه به جایگزینی متغیرها است: به عنوان مثال، در عملکرد

1. اول ما چه اقداماتی را انجام خواهیم داد؟ اول، سینوس را در نظر بگیرید، اما تنها پس از آن به مکعب احداث شد. بنابراین، عملکرد داخلی و خارجی.
   و عملکرد اولیه ترکیب آنهاست :.
2. داخلی:؛ خارجی :.
   بررسی :.
3. داخلی:؛ خارجی :.
   بررسی :.
4. داخلی:؛ خارجی :.
   بررسی :.
5. داخلی:؛ خارجی :.
   بررسی :.

ما جایگزینی متغیرها را تولید می کنیم و یک تابع را دریافت می کنیم.

خوب، اکنون شکلات شکلات ما را استخراج می کنیم - جستجو برای مشتق شده. این روش همیشه معکوس است: ابتدا ما به دنبال یک مشتق عملکرد خارجی هستیم، سپس نتیجه را بر روی مشتق عملکرد داخلی ضرب کنید. با توجه به مثال اصلی، به نظر می رسد این است:

مثالی دیگر:

بنابراین، ما سرانجام قانون رسمی را تشکیل می دهیم:

الگوریتم برای پیدا کردن یک تابع پیچیده مشتق شده:

به نظر می رسد ساده است، بله؟

چک کردن نمونه ها:

راه حل ها:

1) داخلی:؛

خارجی:؛

2) داخلی:؛

(فقط در حال حاضر فکر نمی کنم برش! از زیر کوزین، هیچ چیز انجام نمی شود، به یاد داشته باشید؟)

3) داخلی:؛

خارجی:؛

بلافاصله دیده می شود که در اینجا یک تابع پیچیده سه سطح است: پس از همه، آن را در حال حاضر یک عملکرد پیچیده خود را، و هنوز هم از بین بردن ریشه از آن، یعنی، ما عمل سوم (شکلات در بسته بندی و با یک روبان به نمونه کارها وارد می شود). اما هیچ دلیلی برای ترساندن وجود ندارد: همه "باز کردن" این تابع به طور معمول به طور معمول: از پایان.

یعنی، ابتدا از ریشه، سپس کوزین استفاده کنید، و تنها سپس در براکت ها بیان کنید. و سپس تمام این متغیرها.

در چنین مواردی، اقدامات مناسب را مناسب می داند. یعنی تصور کنید که ما شناخته شده هستیم. چه نظم را انجام می دهیم تا اقدامات را برای محاسبه ارزش این بیان انجام دهیم؟ ما بر روی مثال بررسی خواهیم کرد:

بعد عمل انجام می شود، بیشتر "خارجی" عملکرد مربوطه خواهد بود. دنباله ای از اقدامات - همانطور که قبلا:

در اینجا لانه سازی به طور کلی 4 سطح است. بیایید این روش را تعیین کنیم.

1. بیان اجباری .

2. ریشه .

3. سینوس .

4. میدان .

5. ما همه چیز را در یک دسته جمع آوری می کنیم:

مشتق. به طور خلاصه در مورد چیز اصلی

تابع مشتق شده - نسبت افزایش عملکرد به افزایش استدلال با افزایش بی نهایت کوچک استدلال:

مشتقات پایه:

قوانین تمایز:

ثابت برای علامت مشتق شده است:

مقدار مشتق شده:

کار تولید:

مشتق خصوصی:

تابع پیچیده مشتق شده:

الگوریتم برای پیدا کردن یک مشتق از عملکرد پیچیده:

1. ما تابع "داخلی" را تعریف می کنیم، مشتق شده ما را پیدا می کنیم.
2. ما عملکرد "خارجی" را تعریف می کنیم، ما مشتق شده را پیدا می کنیم.
3. نتایج حاصل از اقلام اول و دوم را چند برابر کنید.

این ویدیو، من یک سری طولانی از درس های اختصاص داده شده به مشتق را شروع می کنم. این درس شامل چندین بخش است.

اول از همه، به شما می گویم که به طور کلی چنین مشتقات و نحوه شمارش آنها، اما نه یک زبان علمی حکمت، بلکه من خودم را درک می کنم و به عنوان دانشجویانم توضیح می دهم. ثانیا، ما ساده ترین قاعده را برای حل مشکلات در نظر خواهیم گرفت که ما به دنبال مبالغ مشتق شده، تفاوت های مشتق شده و مشتقات عملکرد قدرت خواهیم بود.

ما به نمونه های پیچیده پیچیده تر نگاه خواهیم کرد، به ویژه، به ویژه یاد می گیرید که چنین مشکلاتی حاوی ریشه ها و حتی کسرها را می توان با استفاده از فرمول مشتق از عملکرد قدرت حل کرد. علاوه بر این، البته، بسیاری از وظایف و نمونه هایی از راه حل های مختلف سطح پیچیدگی وجود خواهد داشت.

به طور کلی، ابتدا قصد داشتم یک غلتک کوتاه 5 دقیقه ای بنویسم، اما ببینم چه اتفاقی افتاده است. بنابراین، اشعار کافی است - به کسب و کار بروید.

مشتق چیست؟

بنابراین بیایید از دور شروع کنیم. چند سال پیش، زمانی که درختان گوسفند بودند، و زندگی بیشتر سرگرم کننده بود، ریاضیات در مورد آنچه: یک تابع ساده مشخص شده توسط برنامه خود را در نظر بگیرید، ما آن را $ y \u003d f \\ سمت چپ (x \\ right) $. البته، برنامه به خودی خود وجود دارد، بنابراین شما باید محور $ x $، و همچنین محور $ Y $ را صرف کنید. و اکنون بیایید هر نقطه ای را در این نمودار انتخاب کنیم، کاملا هر کدام. Abscissa $ ((x) _ (1)) $ ((x) _ (1)) نامیده می شود، به عنوان حدس زدن دشوار نیست، $ f \\ سمت چپ (((x) _ (1)) \\ right $ وجود دارد.

در همان برنامه یک نقطه دیگر را در نظر بگیرید. مهم نیست، مهمتر از همه، از ابتدا متفاوت است. در او، دوباره، Abscissa وجود دارد، ما آن را $ ((x) _ (2)) $، و همچنین ordinate - $ f \\ سمت چپ ((x) _ (2)) \\ right) $.

بنابراین، ما دو امتیاز دریافت کردیم: آنها دارای Abscissa متفاوت هستند و بنابراین مقادیر مختلف توابع، اگر چه دومی اختیاری است. اما آنچه واقعا مهم است، بنابراین این است که از دوره Planimeria ما می دانیم: شما می توانید به طور مستقیم در دو نقطه و تنها و تنها یک. اینجا اجازه دهید آن را صرف کنیم و خرج کنیم.

و اکنون من از طریق اولین آنها از آنها مستقیم، محور موازی Abscissa صرف می کنم. دريافت كردن راست گوشه. بیایید آن را $ ABC $، یک زاویه مستقیم $ c $ بدهیم. این مثلث دارای یک ملک بسیار جالب است: واقعیت این است که زاویه $ \\ alpha $ در واقع برابر با گوشه ای است که به طور مستقیم $ AB $ با ادامه محور Abscissa تقسیم شده است. برای خودتان قضاوت کنید:

1. مستقیم $ AC $ موازی با محور $ OX $ توسط ساخت و ساز،
2. direct $ ab $ crosses $ ac $ under $ \\ alpha $
3. در نتیجه، $ AB $ از $ OX $ تحت همان $ \\ alpha $ عبور می کند.

آنچه ما می توانیم در مورد $ \\ text () \\! \\! \\ \\ \\! \\! \\ text () $ هیچ چیز مشخص نیست، به جز اینکه در نسبت قیمت مثلث $ ABC $ BC $ bc $ rattu به Cathel $ AC $ برابر با مماس از این گوشه است. بنابراین نوشتن:

البته، $ AC $ در این مورد به راحتی در نظر گرفته می شود:

به طور مشابه، $ BC $:

به عبارت دیگر، ما می توانیم موارد زیر را ثبت کنیم:

\\ [\\ operatorname (TG) \\ text () \\! \\! \\! \\ \\! \\! \\ text () \u003d \\ frac (f \\ frac ((x) _ (2)) \\ right) -f \\ left ( ((x) _ (1)) \\ right) (((x) _ (2)) - ((x) _ (1))) \\]

حالا که همه ما متوجه شدیم، بیایید به برنامه ما بازگردیم و نقطه جدید $ B $ را در نظر بگیریم. کشش ارزش های قدیمی و گرفتن و گرفتن $ b $ در جایی نزدیک به $ ((x) _ (1)) $. باز هم، ما آن را به abscissue برای $ ((x) _ (2)) $، و Ordinate $ f \\ سمت چپ ((x) _ (2)) \\ right $.

ما مثلث کوچک ما $ ABC $ و $ \\ text () \\! \\! \\ \\ \\! \\ text () $ در داخل آن هستیم. کاملا واضح خواهد بود که زاویه کاملا متفاوت خواهد بود، مماس نیز متفاوت خواهد بود، زیرا طول تقسیم $ AC $ و $ BC $ به طور قابل توجهی تغییر کرده است، و فرمول مماس زاویه تغییر نکرده است در مجموع - این هنوز هم نسبت بین تغییر عملکرد و تغییر استدلال است.

در نهایت، ما همچنان به حرکت $ B $ ادامه می دهیم که به نقطه اصلی $ A $ A $ نزدیک می شود، به عنوان یک نتیجه، مثلث هنوز کاهش می یابد و مستقیما حاوی بخش $ AB به طور فزاینده ای مانند یک تابع مماس خواهد بود.

به عنوان یک نتیجه، اگر شما همچنان به نزدیک شدن از نقاط، به عنوان مثال، کاهش فاصله تا صفر، و سپس مستقیم $ AB $، در واقع، به یک مماسی به برنامه در این نقطه تبدیل خواهد شد، و $ \\ text () \\! ! \\ alpha \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\ text () $ از عنصر معمولی مثلث به زاویه بین ممارگی به گرافیک و جهت مثبت محور $ OX $ تبدیل می شود.

و در اینجا ما به طور هموار به تعریف $ f $ بروید، یعنی تابع مشتق شده در $ (((x) _ (1)) $ $ \\ alpha $ tement بین مماس به نمودار به $ ((x ) _ ((x) _ (1)) $ و جهت مثبت محور $ ox $:

\\ [(f) "\\ left (((x) _ (1)) \\ right) \u003d \\ operatorname (tg) \\ text () \\! \\! \\ alpha \\! \\! \\ text () \\]

بازگشت به برنامه ما، باید توجه داشت که به عنوان $ ((X) _ (1)) $ شما می توانید هر نقطه در نمودار را انتخاب کنید. به عنوان مثال، با موفقیت همان، ما می توانیم نوار را در نقطه ای که در تصویر نشان داده شده حذف کنیم.

زاویه بین مماسی و جهت مثبت محور، $ \\ beta $ تماس خواهد گرفت. بر این اساس، $ f $ per $ ((x) _ (2)) $ برابر با مماس این زاویه $ \\ beta $ خواهد بود.

\\ [(F) \\ left (((x) _ (2)) \\ right) \u003d tg \\ text () \\! \\! \\ beta \\! \\! \\ text () \\]

در هر نقطه از گراف، مماس خود خواهد بود و بنابراین ارزش آن از عملکرد آن است. در هر یک از این موارد، علاوه بر نقطه ای که ما به دنبال مشتقات یا مقدار دیفرانسیل دیفرانسیل یا مشتق از یک تابع قدرت هستیم، باید نقطه دیگری را که در فاصله ای از آن قرار دارد، بپردازید و سپس این نقطه را بکشید به اصل و البته، برای پیدا کردن این که چگونه در روند این جنبش زاویه مماس از تمایل را تغییر می دهد.

مشتق عملکرد قدرت

متأسفانه این تعریف به ما مناسب نیست. همه این فرمول ها، تصاویر، گوشه ها به ما کوچکترین ایده را نمیدهند که چگونه یک مشتق واقعی را در وظایف واقعی در نظر بگیریم. بنابراین، بیایید کمی از تعریف رسمی بپردازیم و فرمول ها و تکنیک های کارآمدتر را در نظر بگیریم که این وظایف را قبلا حل می کند.

بیایید با ساختارهای ساده ای شروع کنیم، یعنی توابع فرم $ y \u003d ((x) ^ (n)) $، I.E. توابع قدرت در این مورد، ما می توانیم موارد زیر را بنویسیم: $ (y) "\u003d n \\ cdot ((x) ^ (n-1)) $. به عبارت دیگر، درجه ای که در این شاخص ایستاده است، در عرض چند برابر نشان داده شده است ، و شاخص خود را کاهش می دهد واحد. به عنوان مثال:

\\ [\\ align) & y \u003d ((x) ^ (2)) \\\\ & y) "\u003d 2 \\ cdot ((x) ^ (2-1)) \u003d 2x \\\\\\ end (align) \\]

اما گزینه دیگری:

\\ [\\ align) & y \u003d ((x) ^ (1)) \\\\ & y) "\u003d (\\ left (x \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 1 \\ cdot ((x ) ^ (0)) \u003d 1 \\ CDOT 1 \u003d 1 \\\\ \\ (\\ left (x \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 1 \\\\\\ end (align) \\]

با استفاده از این قوانین ساده، سعی کنید بارکد نمونه های زیر را حذف کنید:

بنابراین ما دریافت می کنیم:

\\ [((((((((((((((((((x) ^ (6)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 6 \\ cdot ((x) ^ (5)) \u003d 6 ((x) ^ (5)) \\]

اکنون بیان دوم را حل می کنیم:

\\ [\\ align) & f \\ left (x \\ right) \u003d ((x) ^ (100)) \\\\ \\ (\\ (((((((((((x) ^ (100)) \\ right)) ^ (\\ \\ PRIME)) \u003d 100 \\ cdot ((x) ^ (99)) \u003d 100 ((x) ^ (99)) \\\\\\ end (align) \\]

البته، خیلی زیاد بود وظایف ساده. ولی وظایف واقعی پیچیده تر و آنها به تنها درجه عملکرد محدود نمی شود.

بنابراین، قانون شماره 1 - اگر تابع به عنوان دو نفر دیگر نشان داده شود، مشتق از این مقدار برابر با مجموع مشتقات است:

\\ [((\\ left (f + g \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (f) "+ (g)" \\]

به طور مشابه، مشتق از تفاوت دو توابع برابر با تفاوت مشتقات است:

\\ [((\\ left (f-g \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (f) "- (g)" \\]

\\ [((((((((((((((((((x) ^ (2)) + x \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (\\ left ((((x) ^ (2)) \\ right)) ^ (\\ PRIME)) + ((\\ left (x \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 2x + 1 \\]

علاوه بر این، یک قانون مهم دیگر وجود دارد: اگر یک $ ثابت $ ثابت قبل از حدود $ f $ وجود داشته باشد، که این تابع ضرب شده است، پس از آن $ f $ تمام این طراحی به عنوان:

\\ [(((\\ left)) ^ (\\ prime)) \u003d c \\ cdot (f) "\\]

\\ [(\\ left (3 (3 (x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 3 (\\ left ((((x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ PRIME)) \u003d 3 \\ CDOT 3 (((x) ^ (2)) \u003d 9 ((x) ^ (2)) \\]

در نهایت، یک قانون بسیار مهم دیگر: در وظایف، یک اصطلاح جداگانه اغلب یافت می شود، که حاوی $ x $ نیست. به عنوان مثال، ما می توانیم آن را در عبارات فعلی ما مشاهده کنیم. ثابت مشتق شده، به عنوان مثال، اعداد، به هیچ وجه وابسته به $ x $، همیشه برابر با صفر است، و به طور کامل مهم نیست که ثابت C ثابت برابر با:

\\ [(((\\ left (c \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 0 \\]

مثال مثال:

\\ [((\\ left (1001 \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (\\ left (\\ left (\\ frac (1) (1000) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 0 \\]

یک بار دیگر نکات کلیدی:

1. مشتق از دو توابع همیشه برابر با مجموع مشتقات است: $ (\\ left (f + g \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (f) "+ (g)" $؛
2. به دلایل مشابه، مشتق از تفاوت دو توابع برابر با تفاوت دو مشتق شده است: $ ((\\ left (f-g \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (f) "- (g)" $؛
3. اگر تابع یک ضریب ثابت داشته باشد، این ثابت را می توان برای علامت مشتق شده انجام داد: $ ((\\ left (c / cdot f \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d c \\ cdot (f) "$؛
4. اگر کل تابع ثابت باشد، مشتق آن همیشه صفر است: $ ((\\ left (c \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 0 $.

بیایید ببینیم چگونه همه چیز بر روی نمونه های واقعی کار می کند. بنابراین:

ما نوشتیم:

\\ [\\ align) & (\\ left ((left (((((((x) ^ (5)) - 3 ((x) ^ (2)) + 7 \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (\\ left (((x) ^ (5)) \\ right)) ^ (\\ left (left (3 (3 (x) ^ (2)) \\ rime)) ^ (\\ prime)) + (7) "\u003d \\\\ \\ \u003d 5 ((x) ^ (4)) - 3 ((\\ left (((((x) ^ (2)) \\ right)) ^ (\\ prime)) + 0 \u003d 5 ((x) ^ (4)) - 6X \\\\\\ end (align) \\]

در این مثال، ما مجموع مشتق شده را می بینیم، و تفاوت مشتق شده. مجموع، مشتق شده 5 دلار ((x) ^ (4)) - 6x $.

به تابع دوم بروید:

ما راه حل را بنویسیم:

\\ [\\ begin (align) & (\\ left (3 (3 ((x) ^ (2)) - 2x + 2 \\ right)) ^ (\\ \\ left)) \u003d (\\ left (3 (3 (x) ^ ( 2) \\ right)) ^ (\\ prime)) - (\\ left (2x \\ right)) ^ (\\ prime)) + (2) "\u003d \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ^ (2)) \\ right)) ^ (\\ prime)) - 2 (x) "+ 0 \u003d 3 \\ cdot 2x-2 \\ cdot 1 \u003d 6x-2 \\\\\\ end (align) \\]

بنابراین ما پاسخ را پیدا کردیم.

به عملکرد سوم بروید - در حال حاضر تلاش می کند:

\\ [\\ jagn (align) & (\\ left (2 (2 ((x) ^ (3)) - 3 ((((x) ^ (2)) + \\ frac (1) (2) x-5 \\ right) ) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (2 (((x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ left (3 (3 (x) ^ (2)) \\ راست)) ^ (\\ prime)) + ((\\ left (\\ frac (1) (2) x \\ right)) ^ (\\ prime)) - (5) "\u003d \\\\ & \u003d 2 (\\ left (x) ^ (3)) ^ right)) ^ (\\ \\ prime)) - 3 (left (((((((((((x) ^ (2)) \\ rime)) ^ (\\ prime)) + \\ frac (1 ) (2) \\ cdot (x) "\u003d 2 \\ cdot 3 ((x) ^ (2)) - 3 \\ cdot 2x + \\ frac (1) (2) \\ cdot 1 \u003d 6 ((x) ^ (2 )) -6x + \\ frac (1) (2) \\\\\\ end (align) \\]

ما پاسخ را پیدا کردیم.

برو به آخرین عبارت - پیچیده ترین و طولانی ترین:

بنابراین، ما معتقدیم:

\\ [\\ align) & (\\ left (\\ left (6 (6 (x) ^ (7)) - 14 (((x) ^ (3)) + 4x + 5 \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (6 ((x) ^ (7)) \\ right)) ^ (\\ left (left (14 ((x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) ) + (\\ left (4x \\ right)) ^ (\\ prime)) + (5) "\u003d \\\\ \\\\ \u003d 6 \\ cdot 7 \\ cdot ((x) ^ (6)) - 14 \\ cdot 3 (( x) ^ (2)) + 4 \\ cdot 1 + 0 \u003d 42 ((x) ^ (6)) - 42 ((x) ^ (2)) + 4 \\\\\\ end (align) \\]

اما این تصمیم به پایان نمی رسد، زیرا از ما خواسته می شود که فقط لمس را حذف نکنیم، بلکه برای محاسبه مقدار آن در یک نقطه خاص، بنابراین ما در عبارت -1 جایگزین $ x $ می شود:

\\ [Y) "\\ left (-1 \\ \\ right) \u003d 42 \\ cdot 1-42 \\ cdot 1 + 4 \u003d 4 \\]

ما دنبال می کنیم و به نمونه های پیچیده تر و جالب تر می رویم. واقعیت این است که فرمول برای حل یک مشتق قدرتمند $ ((\\ (((((((((((((x) ^ (n)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d n \\ cdot ((x) ^ (n-1) ) $ آن دارای یک منطقه حتی گسترده تر از کاربرد از آن است که معمولا معمول است. با آن، ممکن است نمونه هایی را با کسرها، ریشه ها و غیره حل کنیم. این است که ما اکنون خواهیم رفت.

برای شروع، یک بار دیگر بنویسید، که به ما کمک خواهد کرد که مشتق از عملکرد قدرت را پیدا کنیم:

و در حال حاضر توجه: تا کنون تنها به عنوان $ n $ در نظر گرفته شده است عدد صحیحبا این حال، با توجه به کسرها و حتی اعداد منفی دخالت نکنید. به عنوان مثال، ما می توانیم موارد زیر را ثبت کنیم:

\\ [\\ align) \\ sqrt (x) \u003d ((x) ^ (\\ frac (1) (1) (2))) \\\\ & \\ left (\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ ) \u003d ((\\ left (((x) ^ (\\ frac (1) (2))) \\ rim)) ^ \\ frac (1) (2) \\ cdot ((x) ^ (- \\ frac (1) (2)) \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ frac (1) (\\ sqrt (x)) \u003d \\ frac (1) (2 \\ sqrt (x)) \\ \\\\ end (align) \\]

هیچ چیز پیچیده نیست، بنابراین بیایید ببینیم که چگونه این فرمول در هنگام حل وظایف پیچیده تر به ما کمک خواهد کرد. بنابراین مثال:

ما راه حل را بنویسیم:

\\ [\\ align) \\ left (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x) + \\ sqrt (x) \\ right) \u003d (\\ left (\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ reft) ) + (\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ \\ left)) + ((\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ \\ prime)) \\\\ & (\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (1) (2 \\ sqrt (x)) \\\\ \\ (\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ \\ PRIME) \u003d ((((((((((((x) ^ (\\ frac (1) (3))) \\ rime)) \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot ((x) ^ (- \\ frac (2) (3)) \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ frac (1) (\\ sqrt ((((x) ^ (2))) \\\\ & (\\ سمت چپ (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ ((((((((((x) ^ (\\ frac (1) (4)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (1) (4) ((x) ^ (- \\ frac (3) (4))) \u003d \\ frac (1) (4) \\ cdot \\ frac (1) (\\ sqrt ((x) ^ (3)))) \\\\\\ پایان (align) \\]

بازگشت به مثال ما و نوشتن:

\\ [(y) "\u003d \\ frac (1) (2 \\ sqrt (x)) + \\ frac (1) (3 \\ sqrt (((x) ^ (2))) + \\ frac (1) (4 \\ sqrt (((x) ^ (3))) \\]

در اینجا یک تصمیم دشوار است.

به عنوان مثال دوم بروید، تنها دو اصطلاح وجود دارد، اما هر یک از آنها شامل هر دو درجه کلاسیک و ریشه هستند.

در حال حاضر ما یاد می گیریم که چگونه یک مشتق از یک تابع قدرت را پیدا کنیم، که علاوه بر این، حاوی ریشه است:

\\ [\\ begin (align) & (\\ left ((((((x) ^ (3)) \\ sqrt (((((x) ^ (2)) + ((x) ^ (7)) \\ sqrt (x ) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ ((((((x) ^ (3)) \\ cdot \\ sqrt ((x) ^ (2))) \\ right))) ^ (\\ prime) ) \u003d (((((((((((((x) ^ (3)) \\ cdot ((x) ^ (\\ frac (2) (3)) \\ rime)) ^ (\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ (\\ left (((x) ^ (3+ / frac (2) (3))) \\ right)) ^ (\\ left (((((((x) ^ (\\ frac (11) 3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (11) (3) \\ cdot ((x) ^ (\\ frac (8))) \u003d \\ frac (11) (3) (3) (3) \\ CDOT ((X) ^ (2 \\ frac (2) (3)) \u003d \\ frac (11) (3) \\ cdot ((x) ^ (2)) \\ cdot \\ sqrt (((x) ^ (2)) \\\\ \\ (((((((((((((((((((((((x) ^ (7)) \\ cdot \\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (\\ left ((x) ^ (7)) \\ cdot ((x) ^ (\\ frac (1) (3))) \\ right)) ^ (\\ reft)) \u003d (\\ left ((x) ^ (7 \\ frac (1) (3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 7 \\ frac (1) (3) \\ cdot ((x) ^ (6 \\ frac (1) (3)) \u003d \\ frac (22) 3) \\ cdot ((x) ^ (6)) \\ cdot \\ sqrt (x) \\\\\\ end (align) \\]

هر دو اتهام در نظر گرفته شده است، آن را باقی مانده است برای نوشتن پاسخ نهایی:

\\ [Y) "\u003d \\ frac (11) (3) \\ CDOT ((x) ^ (2)) \\ cdot \\ sqrt (((x) ^ (2))) + \\ frac (22) (3) \\ cdot ((x) ^ (6)) \\ cdot \\ sqrt (x) \\]

ما پاسخ را پیدا کردیم.

مشتق کسری از طریق عملکرد قدرت

اما در این امکان فرمول برای راه حل مشتق از عملکرد قدرت پایان نمی یابد. واقعیت این است که با کمک آن، نه تنها نمونه هایی از ریشه ها را می توان در نظر گرفت، بلکه با کسری نیز می شود. این فقط یک احتمال نادرست است که به طور قابل توجهی راه حل چنین نمونه هایی را ساده می کند، اما در عین حال اغلب توسط دانش آموزان، بلکه توسط معلمان نیز نادیده گرفته می شود.

بنابراین، اکنون سعی خواهیم کرد دو فرمول را در یک بار ترکیب کنیم. از یک طرف، مشتق کلاسیک از عملکرد قدرت

\\ [((((((((((((x) ^ (n)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d n \\ cdot ((x) ^ (n-1)) \\]

از سوی دیگر، ما می دانیم که بیان نوع $ \\ frac (1) (((x) ^ (n))) $ به عنوان $ ((x) ^ (- n)) $ نمایش داده می شود. از این رو،

\\ [\\ left (\\ frac (1) ((x) ^ (n))) \\ right) "\u003d (\\ ((((((((x) ^ (- n)) \\ right)) ^ (\\ prime) ) \u003d - n \\ cdot ((x) ^ (- n - 1)) \u003d - \\ frac (n) ((x) ^ (n + 1))) \\]

\\ [(\\ left (\\ frac (1) (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ left ((x) ^ (- 1)) \\ right) \u003d - 1 \\ cdot (x ) ^ (- 2)) \u003d - \\ frac (1) ((x) ^ (2))) \\]

بنابراین، مشتقات فراکسیون های ساده، جایی که ثابت در Numener وجود دارد، و در نامزدی - درجه نیز با استفاده از فرمول کلاسیک مورد توجه قرار گرفته است. بیایید ببینیم که چگونه در عمل کار می کند.

بنابراین اولین تابع:

\\ [(\\ left (\\ left (\\ frac (1) ((x) ^ (2))) \\ rim)) ^ (\\ left ((x) ^ (- 2)) \\ راست)) ^ (\\ prime)) \u003d - 2 \\ cdot ((x) ^ (- 3)) \u003d - \\ frac (2) ((x) ^ (3))) \\]

مثال اول حل شده است، به دوم بروید:

\\ [\\ align) & (\\ left (\\ left (\\ frac (7) (4 (((4) ^ (4))) - \\ frac (2) (3 ((x) ^ (3)) + \\ Frac (5) (2) ((x) ^ (2)) + 2 (((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (4)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ \\ & \u003d (\\ left (\\ left (\\ frac (7) (4 (x) ^ (4))) \\ rime)) ^ (\\ left)) - (\\ left (\\ left (\\ left)) - (\\ left (x) ^ (3))) \\ right)) ^ (\\ left)) + ((\\ left (2 ((x) ^ (3)) \\ rime)) ^ (\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ left (3 (x) ^ (4)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \\\\ \\ (\\ left (\\ left (\\ frac (7) (4 ((4) ^ (4))) \\ right)) ^ \\ PRIME) \u003d \\ frac (7) (4) (\\ left (\\ frac (1) (((x) ^ (4))) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac ( 7) (4) \\ cdot ((\\ left ((((((x) ^ (- 4)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (7) (4) \\ cdot \\ left (-4 \\ right ) \\ cdot ((x) ^ (- 5)) \u003d \\ frac (-7) ((x) ^ (5))) \\\\ & (\\ left (\\ frac (2) (3 ((x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (2) (3) \\ cdot ((\\ left (\\ frac (1) (((x) ^ (3))) \\ right )) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (2) (3) \\ cdot ((\\ left (((((x) ^ (- 3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (2) (3) \\ CDOT \\ left (-3 \\ right) \\ cdot ((x) ^ (- 4)) \u003d \\ frac (-2) (((x) ^ (4))) \\\\ & (\\ left (\\ frac (5) (2) ((x) ^ (2)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (5) (2) \\ cdot 2x \u003d 5x \\\\ ≤ (\\ left (2) (x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 2 \\ cdot 3 ((x) ^ (2)) \u003d 6 ((x) ^ (2)) \\\\ & (\\ سمت چپ (3 ((x) ^ (4)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 3 \\ cdot 4 ((x) ^ (3)) \u003d 12 ((x) ^ (3)) \\\\\\ پایان (align) \\] ...

در حال حاضر ما تمام این اجزا را در فرمول تک جمع آوری می کنیم:

\\ [(y) "\u003d - \\ frac (7) ((x) ^ (5)) + \\ frac (2) ((x) ^ (4))) + 5x + 6 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (3)) \\]

ما جواب دادیم

با این حال، قبل از حرکت، من می خواهم توجه شما را به شکل سوابق عبارات اصلی جلب کنم: در اولین عبارت، ما $ f \\ left را ثبت کردیم (x \\ right) \u003d ... $، در ثانیه: $ y \u003d ... $ بسیاری از دانش آموزان از دست می دهند زمانی که آنها فرم های مختلف ضبط را می بینند. تفاوت بین $ f \\ left (x \\ right) $ و $ y $ چیست؟ در واقع، هیچ چیز. این فقط سوابق مختلف با معنای مشابه است. فقط زمانی که ما $ f \\ left (x \\ right) را بررسی می کنیم، سپس ما داریم صحبت می کنیماول از همه، در مورد عملکرد، و زمانی که آن را به $ y $ می آید، اغلب به معنای یک برنامه عملکرد است. در غیر این صورت، این همان است، یعنی مشتق شده در هر دو مورد یکسان است.

وظایف دشوار با مشتقات

در نتیجه، من می خواهم یک جفت وظایف ترکیبی پیچیده را که در آن زمان مورد استفاده قرار گرفته اند، در نظر بگیرم. آنها منتظر هر دو ریشه، و کسرها و مقادیر هستند. با این حال، این نمونه ها فقط در چارچوب آموزش تصویری امروز پیچیده خواهد شد، زیرا توابع واقعا پیچیده مشتقات منتظر شما خواهند بود.

بنابراین، بخش نهایی آموزش ویدئویی امروز شامل دو وظیفه ترکیبی است. بیایید با اول شروع کنیم:

\\ [\\ align) & (\\ left ((((((((((x) ^ (3)) - \\ frac (1) ((x) ^ (3))) + \\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (\\ left ((((x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ left)) - (\\ left (\\ left (\\ frac (1) (((x) ^ (3 )) \\ right)) ^ (\\ prime)) + \\ left (\\ sqrt (x) \\ right) \\\\ \\ (\\ ((((((((((((((((((((x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ ) \u003d 3 ((x) ^ (2)) \\\\ Δ (\\ left (\\ frac (((((((((((((((x) ^ (3))) \\ right)) ^ (\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ ((x) ^ (- 3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d - 3 \\ cdot ((x) ^ (- 4)) \u003d - \\ frac (3) ((x) ^ ( 4)) \\\\ \\ (\\ left (\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ \\ left ((left (((((1) ^ (\\ frac (3))) \\ راست)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ frac (1) (((x) ^ (\\ frac (2) (3))) \u003d \\ frac (1) 3 \\ sqrt (((x) ^ (2))) \\\\\\ پایان (align) \\]

تابع مشتق شده است:

\\ [(y) "\u003d 3 ((x) ^ (2)) - \\ frac (3) ((x) ^ (4))) + \\ frac (1) (3 \\ sqrt ((x) ^ (2))) \\]

مثال اول حل شده است. وظیفه دوم را در نظر بگیرید:

در مثال دوم، به همان شیوه عمل کنید:

\\ [((\\ left (- \\ frac (2) ((x) ^ (4))) + \\ sqrt (x) + \\ frac (4) (x \\ sqrt ((x) ^ (3)) ) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((left (- \\ - \\ frac (2) ((x) ^ (4))) \\ right)) ^ (\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ lev (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) + ((\\ left (\\ frac (4) (x \\ cdot \\ sqrt (((x) ^ (3))) \\ right))) ^ ^ (\\ prime)) \\]

هر اصطلاح را به طور جداگانه محاسبه کنید:

\\ [\\ begin (align) & (\\ left (- \\ - \\ frac (2) ((x) ^ (4))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d - 2 \\ cdot (\\ left ((x) ^ (- 4)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d - 2 \\ cdot \\ left (-4 \\ right) \\ cdot ((x) ^ (- 5)) \u003d \\ frac (8 ) (((x) ^ (5))) \\\\ & (\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ \\ left)) \u003d (\\ left ((x) ^ (\\ frac) 1) (4)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (1) (4) \\ cdot ((x) ^ (- \\ frac (3) (4))) \u003d \\ frac (1 ) (4 \\ cdot ((x) ^ (\\ frac (3) (4))) \u003d \\ frac (1) (4 \\ sqrt (((x) ^ (3))) \\\\ & (\\ چپ (\\ frac (4) (x \\ cdot \\ sqrt ((x) ^ (3))) \\ right))) ^ (\\ left (\\ left (\\ left)) \u003d (\\ left (\\ left) (x) ^ (\\ frac (3) (4))) \\ right)) ^ (\\ \\ left)) \u003d (\\ left (\\ frac (4) ((x) ^ (1 \\ frac (3 ))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 4 \\ CDOT ((\\ left ((x) ^ (- 1 \\ frac (3) (4)) \\ right)) ^ ( \\ PRIME) \u003d \\\\ & \u003d 4 \\ cdot \\ left (-1 \\ frac (3) (4) \\ right) \\ cdot ((x) ^ (- 2 \\ frac (3) (4)) \u003d 4 \\ cdot \\ left (- \\ frac (7) (4) \\ right) \\ cdot \\ frac (1) ((x) ^ (2 \\ frac (3) (4))) \u003d \\ frac (-7) (x) ^ (2)) \\ cdot ((x) ^ (\\ frac (3) (4))) \u003d - \\ frac (7) ((x) ^ (2)) \\ cdot \\ sqrt ( ((x) ^ (3))) \\\\\\ end (align) \\]

تمام اصطلاحات شمارش می شوند. حالا ما به فرمول اولیه بازگردیم و هر سه اصطلاح را کنار بگذاریم. ما دریافت می کنیم که پاسخ نهایی اینگونه خواهد بود:

\\ [(y) "\u003d \\ frac (8) (((x) ^ (5))) + \\ frac (1) (4 \\ sqrt (((x) ^ (3))) - \\ frac ( 7) (((x) ^ (2)) \\ cdot \\ sqrt ((((x) ^ (3))) \\]

و این همه است. این اولین درس ما بود. در درس های زیر، ما به طرح های پیچیده تر نگاه خواهیم کرد، و همچنین متوجه شدیم که چرا مشتقات به طور کلی مورد نیاز است.

که ما ساده ترین مشتقات را از بین می بریم و همچنین با قوانین تمایز و برخی آشنا شد تکنیک های فنی پیدا کردن مشتقات بنابراین، اگر شما با مشتقات توابع بسیار روشن نیستید، کاملا روشن نخواهید شد، سپس ابتدا درس فوق را بخوانید. لطفا به یک راه جدی تنظیم کنید - مواد ساده نیست، اما من هنوز سعی می کنم آن را به سادگی و در دسترس قرار دهم.

در عمل، مشتق از یک تابع پیچیده باید بسیار مواجه شود، من حتی می توانم بگویم، تقریبا همیشه زمانی که شما وظایف برای پیدا کردن مشتقات.

ما به جدول یک قاعده (شماره 5) تمایز یک تابع پیچیده نگاه می کنیم:

متوجه هستیم. اول از همه، توجه به رکورد. در اینجا ما دو توابع داریم - و علاوه بر این، عملکرد، به صورت تصویری، در عملکرد سرمایه گذاری می شود. تابع این نوع (زمانی که یک تابع در یک دیگر تعبیه شده است) و یک تابع پیچیده نامیده می شود.

من تابع را فراخوانی خواهم کرد تابع خارجیو عملکرد - عملکرد داخلی (یا توزیع شده).

! این تعاریف نظری نیستند و نباید در طراحی پیستون وظایف ظاهر شوند. من از عبارات غیر رسمی "تابع خارجی" استفاده می کنم، عملکرد "داخلی" را فقط برای اینکه شما را به درک مواد آسان تر کند، استفاده می کنم.

به منظور روشن شدن وضعیت، در نظر بگیرید:

مثال 1

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

تحت سینوس، ما فقط نامه "X" نیستیم، بلکه یک بیان عدد صحیح نیست، بنابراین ممکن نیست که بلافاصله بر روی میز پیدا شود. ما همچنین متوجه شدیم که در اینجا غیرممکن است که چهار قانون اول را اعمال کنیم، به نظر می رسد تفاوت وجود دارد، اما واقعیت این است که سینوس "به قطعات جدا شده" نیست:

در این مثال، از توضیحات من، بصری است که عملکرد یک تابع پیچیده است و چندجملهای یک تابع داخلی (پیوست) است و یک تابع خارجی است.

گام اولبرای انجام یافتن یک تابع پیچیده مشتق شده، انجام می شود کشف کنید چه تابع داخلی است و خارجی است.

در مورد نمونه های ساده، به نظر می رسد به نظر می رسد که چند جملهای تحت سینتی سرمایه گذاری می شود. اما اگر همه چیز واضح نیست؟ چگونگی تعیین دقیقا چه کارکردی خارجی است و درونی چیست؟ برای انجام این کار، من پیشنهاد می کنم از پذیرش بعدی استفاده کنم، که می تواند به صورت ذهنی یا پیش نویس انجام شود.

تصور کنید که ما باید مقدار مقدار بیان را در ماشین حساب محاسبه کنیم (به جای یک واحد ممکن است هر عدد وجود داشته باشد).

ما برای اولین بار محاسبه می کنیم؟ اول از همه شما باید موارد زیر را انجام دهید:، بنابراین، چندجمله ای و عملکرد داخلی خواهد بود:

دوم برای پیدا کردن ضروری است، بنابراین سینوس - این یک تابع خارجی خواهد بود:

بعد از ما فهمیدم با توابع داخلی و خارجی، وقت آن است که قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال کنیم .

ما شروع به حل می کنیم. از درس چگونه یک مشتق را پیدا کنیم؟ ما به یاد می آوریم که دکوراسیون راه حل هر مشتق همیشه همیشه شروع می شود - ما بیان می کنیم در براکت ها و قرار دادن در سمت راست در بالای بارکد:

اولین ما مشتق عملکرد خارجی (سینوس) را پیدا می کنیم، ما به جدول توابع ابتدایی مشتق شده نگاه می کنیم و متوجه می شویم. تمام فرمول های جدولی قابل استفاده هستند و در صورتی که "X" با یک عبارت پیچیده جایگزین شود، در این مورد:

توجه داشته باشید که عملکرد داخلی تغییر نکرد، ما او را لمس نمی کنیم.

خوب، کاملا واضح است

نتیجه استفاده از فرمول در طراحی پیستون به نظر می رسد این است:

چند ضلعی دائمی معمولا عبارات را تحمل می کند:

اگر هر گونه سوء تفاهم باقی بماند، تصمیم را بر روی کاغذ بازنویسی کنید و دوباره توضیحات را بخوانید.

مثال 2

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

مثال 3

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

همانطور که همیشه، نوشتن:

ما درک می کنیم که در آن ما یک تابع خارجی داریم و کجا درونی است. برای انجام این کار، سعی کنید (ذهنی یا بر روی پیش نویس) برای محاسبه مقدار بیان در. چه چیزی باید برای اولین بار انجام شود؟ اول از همه، لازم است که آنچه را که با پایه برابر است، مورد توجه قرار گیرد: به این معنی که چندجملهای عملکرد داخلی است:

و تنها پس از آن ورزش به اندازه ای انجام می شود، بنابراین عملکرد قدرت یک تابع خارجی است:

با توجه به فرمول ابتدا شما باید مشتق از عملکرد خارجی را پیدا کنید، در این مورد، در این مورد. ما فرمول لازم را در جدول می خواستیم :. ما دوباره تکرار میکنیم: هر فرمول جدولی نه تنها برای "x" معتبر است، بلکه برای بیان پیچیده نیز معتبر است. بنابراین، نتیجه استفاده از طیف تمایز یک تابع پیچیده ذیل:

من تاکید می کنم که وقتی مشتق از یک تابع خارجی را انجام می دهیم، عملکرد داخلی با ما تغییر نمی کند:

در حال حاضر آن را باقی می ماند برای پیدا کردن یک مشتق کامل ساده از عملکرد داخلی و کمی "combing" نتیجه:

مثال 4

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

این یک مثال برای خود تصمیم گیری (پاسخ در پایان درس).

برای تضمین درک تابع پیچیده مشتق، من یک نمونه را بدون نظر ارائه خواهم کرد، سعی کنید آن را خودتان، رنگ، جایی که خارجی و عملکرد داخلی کجاست، بفهمید، چرا وظایف این راه را حل می کند؟

مثال 5

الف) یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

ب) یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

مثال 6

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

در اینجا ما یک ریشه داریم و به منظور تغییر ریشه، باید به شکل یک درجه نشان داده شود. بنابراین، ابتدا تابع را به فرم مناسب ارائه دهید:

تجزیه و تحلیل عملکرد، ما نتیجه می گیریم که مجموع سه اصطلاح یک تابع داخلی است و عملکرد خارجی عملکرد خارجی است. قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال کنید :

درجه دوباره به شکل رادیکال (ریشه)، و برای مشتق عملکرد داخلی، از یک قاعده ساده از مقدار تمایز استفاده می شود:

آماده. شما همچنین می توانید بیان را به مخرج مشترک و همه چیز را با یک کسر بنویسید. البته، البته، اما زمانی که مشتقات طولانی بزرگ به دست می آیند - بهتر است این کار را انجام ندهید (آسان است که اشتباه گرفته شود، به یک خطای غیر ضروری اجازه دهید و معلم به طور ناخودآگاه بررسی شود).

مثال 7

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است (پاسخ در پایان درس).

جالب است که توجه داشته باشید که گاهی اوقات به جای روش تمایز یک تابع پیچیده، می توانید از قانون تمایز نسبت استفاده کنید اما این تصمیم به نظر می رسد غیر معمول است. در اینجا یک مثال مشخص است:

مثال 8

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

در اینجا شما می توانید از قانون تمایز نسبت استفاده کنید اما برای پیدا کردن یک مشتق از طریق یک قانون تمایز یک تابع پیچیده بسیار سودآور است:

ما تابع را برای تمایز آماده می کنیم - ما منفی را در هر نشانه ای از مشتق می کنیم، و Cosine به شمارش می پردازیم:

Cosine یک تابع داخلی است، عملکرد خارجی یک عملکرد خارجی است.
ما از قانون ما استفاده می کنیم :

ما مشتق عملکرد داخلی را پیدا می کنیم، کوزین از بین می رود:

آماده. در مثال مورد بررسی، مهم نیست که در نشانه ها اشتباه گرفته شود. به هر حال، سعی کنید آن را با استفاده از قانون حل کنید. پاسخ ها باید مطابقت داشته باشند

مثال 9

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است (پاسخ در پایان درس).

تا کنون، مواردی را در نظر گرفته ایم که تنها یک سرمایه گذاری در عملکرد پیچیده ما بود. در وظایف عملی، اغلب ممکن است برای دیدار با مشتقات، جایی که، به عنوان Matryoshki، یکی به دیگری، در یک بار 3 یا حتی 4-5 توابع جاسازی شده است.

مثال 10

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

ما در سرمایه گذاری های این تابع درک می کنیم. ما سعی می کنیم بیان را با استفاده از مقدار تجربی محاسبه کنیم. چگونه ما به ماشین حساب اعتقاد داریم؟

ابتدا باید پیدا کنید، به این معنی است که Arksinus عمیق ترین سرمایه گذاری است:

سپس این واحد Arxinus باید به مربع ساخته شود:

و در نهایت، هفت به درجه ای تنظیم می شود:

این، در این مثال، ما سه توابع مختلف و دو فایل پیوست داریم، در حالی که عملکرد درونی Arxinus است و عملکرد خارجی خود یک تابع نشانگر است.

ما شروع به تصمیم گیری

با توجه به قانون ابتدا باید از تابع خارجی مشتق کنید. ما به جدول مشتقات نگاه می کنیم و مشتق شده از تابع نشانگر را پیدا می کنیم: تنها تفاوت به جای "X" ما یک عبارت دشوار داریم که اعتبار این فرمول را لغو نمی کند. بنابراین، نتیجه اعمال تمایز از یک تابع پیچیده ذیل.