مشتقات پیچیده مشتق لگاریتمی
مشتق از تابع نشانگر گام به گام

ما همچنان به افزایش تکنیک تمایز خود ادامه می دهیم. در این درس، ما مواد تکمیل شده را تحکیم می کنیم، مشتقات پیچیده تر را در نظر می گیریم و همچنین با تکنیک های جدید و ترفندهای جدیدی از یافتن مشتقات، به ویژه با یک مشتق لگاریتمی آشنا می شود.

خوانندگان که دارای سطح پایین آمادگی هستند، باید با این مقاله تماس بگیرند چگونه یک مشتق را پیدا کنیم؟ نمونه هایی از راه حل هاکه مهارت های خود را تقریبا از ابتدا افزایش می دهد. بعد شما باید به دقت صفحه را یاد بگیرید تابع پیچیده مشتق شده، درک و شکستن همه چيز نمونه هایی که من داده شده است. این درس منطقی سوم در حساب، و پس از توسعه آن شما با اطمینان به اندازه کافی متفاوت است توابع پیچیده. لازم است که به موقعیت پایبند باشیم "جایی که دیگر؟ بله، و به اندازه کافی! "، از آنجا که تمام نمونه ها و تکنیک ها از واقعی گرفته شده است کار تست و اغلب در عمل رخ می دهد.

بیایید با تکرار شروع کنیم. در درس تابع پیچیده مشتق شدهما تعدادی از نمونه ها را با نظرات دقیق بررسی کردیم. در طی مطالعه محاسبات دیفرانسیل و سایر بخش های تجزیه و تحلیل ریاضی، لازم است که اغلب متفاوت باشد، و همیشه راحت نیست (و همیشه لازم نیست) برای اندازه گیری نمونه های بسیار دقیق. بنابراین، ما در پایه ی خوراکی مشتقات تمرین می کنیم. مناسب ترین "نامزدها" برای این، مشتقات ساده ترین توابع پیچیده است، به عنوان مثال:

با توجه به حکومت تمایز یک تابع پیچیده :

هنگام مطالعه موضوعات دیگر ماتان در آینده، چنین ورودی دقیق اغلب مورد نیاز نیست، فرض بر این است که دانش آموز می تواند مشتقات مشابه را در دستگاه Autopilot پیدا کند. تصور کنید که در ساعت 3 شب یک تماس تلفنی وجود داشت و یک صدای خوب پرسید: "مشتق مماس دو X چیست؟" پاسخ تقریبا لحظه ای و مودبانه باید دنبال شود. .

مثال اول بلافاصله در نظر گرفته خواهد شد خود تصمیم گیری.

مثال 1

به عنوان مثال، مشتقات زیر را به صورت خوراکی پیدا کنید، به عنوان مثال: برای انجام وظیفه ای که فقط باید استفاده کنید جدول مشتقات توابع ابتدایی (اگر او هنوز به یاد نمی آورد). اگر دشوار است، توصیه می کنم درس را رد کنید تابع پیچیده مشتق شده.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

پاسخ در پایان درس

مشتقات پیچیده

پس از آماده سازی هنر اولیه، نمونه ها کمتر وحشتناک خواهند بود، با پیوست های 3-4-5 توابع. شاید دو نمونه بعدی به نظر می رسد برخی از پیچیده، اما اگر آنها آنها را درک (کسی و پوست)،، تقریبا هر چیز دیگری در محاسبات دیفرانسیل به نظر می رسد شوخی کودکان است.

مثال 2

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

همانطور که اشاره شد، هنگام پیدا کردن یک تابع پیچیده مشتق شده، اول از همه، لازم است درستدرک سرمایه گذاری در مواردی که شک و تردید وجود دارد، من یک پذیرش مفید را یادآوری می کنم: به عنوان مثال، معنای تجربی "X" را به عنوان مثال، و سعی می کنیم (ذهنی یا بر روی پیش نویس) را امتحان کنیم تا این مقدار را در "بیان وحشتناک" جایگزین کنیم.

1) اول، ما باید بیان را محاسبه کنیم، به این معنی است که مقدار عمیق ترین سرمایه گذاری است.

2) سپس لازم است که لگاریتم محاسبه شود:

4) سپس Cosine برای ساخت یک مکعب:

5) در مرحله پنجم، تفاوت:

6) و در نهایت، بیشترین عملکرد خارجی یک ریشه مربع است:

تابع تمایز فرمول تمایز این در جهت معکوس، از عملکرد خارجی خود، به درونی، اعمال خواهد شد. ما تصمیم گرفتیم:

به نظر می رسد هیچ خطا ....

(1) مشتق شده از یک ریشه مربع.

(2) مشتق از تفاوت را با استفاده از قانون انجام دهید

(3) مشتق TROIKA صفر است. در دوره دوم، ما مشتق شده در درجه (کوبا).

(4) مشتق کوزین را بیابید.

(5) مشتقات لگاریتم را انجام دهید.

(6) و در نهایت، ما مشتق از عمیق ترین سرمایه گذاری را می گیریم.

ممکن است خیلی سخت به نظر برسد، اما این مثال بی رحمانه نیست. به عنوان مثال، مجموعه Kuznetsov را انتخاب کنید و از زیبایی و سادگی مشتقات جدا شده قدردانی خواهید کرد. من متوجه شدم که من دوست دارم یک چیز مشابهی را برای امتحان دادن به امتحان بپردازم، دانش آموز را درک می کند که چگونه یک مشتق از یک تابع پیچیده پیدا کند یا درک نمی کند.

مثال زیر برای یک راه حل مستقل است.

مثال 3

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

نکته: ابتدا قوانین خطی را اعمال کنید و یک مشتق کار را انجام دهید

راه حل کامل و پاسخ در پایان درس.

وقت آن است که به هر چیزی که جمع و جور تر و زیبا تر حرکت می کند.
وضعیت زمانی نادر نیست زمانی که مثال محصول نه دو، اما سه توابع است. چگونه یک مشتق از کار سه ضریب را پیدا کنیم؟

مثال 4

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

اول، نگاه کنید، و آیا کار سه توابع را به کار دو توابع تبدیل نمی کند؟ به عنوان مثال، اگر ما دو چند جمله ای در کار داشته باشیم، ممکن است براکت ها را نشان دهیم. اما در این مثال، تمام توابع متفاوت هستند: درجه، غرفه دار و لگاریتم.

در چنین مواردی لازم است توالیدرخواست تولید تمایز قاعده دو برابر

تمرکز این است که برای "Y" ما محصول دو توابع را نشان می دهیم :،، برای "ve" - \u200b\u200bلگاریتم :. چرا این کار می تواند انجام شود؟ و نه - این کار دو ضرر نیست و قانون کار نمی کند؟! هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد:

اکنون زمان دوم برای اعمال قانون باقی مانده است به براکت:

شما هنوز هم می توانید بازی کنید و چیزی را پشت سر گذاشت، اما در این مورد پاسخ بهتر است که در این فرم ترک کنید - آن را آسان تر بررسی کنید.

مثال مورد نظر را می توان در راه دوم حل کرد:

هر دو راه حل کاملا برابر هستند.

مثال 5

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است، در نمونه ای که در راه اول حل شده است.

مثالهای مشابه را با کسرها در نظر بگیرید.

مثال 6

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

در اینجا شما می توانید چند راه را انجام دهید:

یا به همین ترتیب:

اما اگر اولین بار از یک قانون تمایز خصوصی استفاده شود، این راه حل خواهد شد ، پذیرش برای کل عددی:

در اصل، یک مثال حل شده است، و اگر شما آن را در این فرم ترک کنید، خطا نخواهد بود. اما در حضور زمان، همیشه توصیه می شود که پیش نویس را بررسی کنید، آیا این امکان را می دهد که پاسخ را ساده کنید؟ ما بیانگر عددی را ارائه می دهیم مخرج مشترک و خلاص شدن از شر قطعات سه طبقه:

منفی از ساده سازی های اضافی این است که خطر وجود دارد که یک خطا دیگر زمانی که مشتق شده در حال تاسیس است، وجود دارد، اما زمانی که تحولات مدرسه بنیادی است. از سوی دیگر، معلمان اغلب این کار را به یاد می آورند و از مشتقات "به ذهن" می دهند.

مثال ساده برای راه حل های خود:

مثال 7

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

ما همچنان به یادگیری پذیرش مشتقات ادامه می دهیم، و در حال حاضر ما یک مورد معمول را در نظر می گیریم که لگاریتم "ترسناک" برای تمایز پیشنهاد شده است

مثال 8

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

در اینجا شما می توانید با استفاده از قانون تمایز یک تابع پیچیده طول بکشید:

اما اولین گام بلافاصله به یک نافرمانی تبدیل می شود - برای انجام یک مشتق ناخوشایند از درجه کسری، و سپس از کسری نیز.

از این رو قبل از چگونه می توان مشتق از لگاریتم "روی حیله و تزویر"، آن را با استفاده از خواص مدرسه معروف ساده ساده شده است:

! اگر دست شما یک نوت بوک با عمل داشته باشد، این فرمول ها را دوباره بازنویسی کنید. اگر نوت بوک وجود نداشته باشد، آنها را بر روی جزوه قرار دهید، زیرا نمونه های باقی مانده از درس در اطراف این فرمول ها چرخانده می شوند.

تصمیم خود را می توان چیزی شبیه به این صادر کرد:

ما تابع را تبدیل می کنیم:

یک مشتق را پیدا کنید:

تحول اولیه عملکرد خود را به طور قابل توجهی ساده راه حل را ساده کرده است. بنابراین، هنگامی که یک لگاریتم مشابه برای تمایز پیشنهاد شده است، همیشه توصیه می شود که "نابود" شود.

و در حال حاضر یک جفت نمونه ساده برای یک راه حل مستقل:

مثال 9

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

مثال 10

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

تمام تحولات و پاسخ ها در پایان درس.

مشتق لگاریتمی

اگر مشتق از لگاریتم ها، چنین موسیقی شیرین باشد، سپس این سوال مطرح می شود و این که آیا در بعضی موارد لگاریتم را سازماندهی می کند، غیرممکن است؟ می توان! و حتی نیاز دارد

مثال 11

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

نمونه های مرتبط ما اخیرا در نظر گرفته شده است. چه باید بکنید؟ ممکن است به طور مداوم قانون تمایز نسبت را اعمال کنید، و سپس قاعده مشتق محصول. ضرر این روش این است که یک عکس بزرگ سه طبقه، که من نمی خواهم به طور کامل برخورد کنم.

اما در تئوری و عمل، چنین چیزی شگفت انگیز به عنوان یک مشتق لگاریتمی وجود دارد. لگاریتم ها می توانند به صورت مصنوعی سازماندهی شوند، "حرکت کردن" آنها را در هر دو بخش:

حالا شما باید لگاریتم سمت راست را از بین ببرید (فرمول قبل از چشمان شما؟). من این فرآیند را بسیار دقیق می بندم:

در واقع به تمایز ادامه می دهد.
ما هر دو قسمت زیر بارکد را نتیجه می گیریم:

مشتق از سمت راست دست بسیار ساده است، من در مورد آن نظر نخواهم داد، زیرا اگر شما این متن را بخوانید، باید مدیریت کنید.

چگونه با سمت چپ باشیم؟

در قسمت چپ ما تابع پیچیده. من این سوال را پیش بینی می کنم: "چرا، یکی از Bukova" Igark "تحت لگاریتم وجود دارد؟"

واقعیت این است که این "یک بوچ از بازی" - به خودی خود یک تابع است (اگر نه خیلی روشن نیست، به مقاله ای که از تابع مشخص شده به صورت ضمنی مشخص شده است مراجعه کنید. بنابراین، لگاریتم یک تابع خارجی است و "Igrek" یک تابع داخلی است. و ما از قانون تمایز یک تابع پیچیده استفاده می کنیم :

در سمت چپ به عنوان یک کتابچه راهنمای کاربر سحر و جادو ما "مشتاق" را گرفتیم. علاوه بر این، با توجه به حاکمیت نسبت، ما "IGAREK" را از جانب طرف چپ به سمت راست سمت راست پرتاب می کنیم:

و در حال حاضر من به یاد داشته باشید که چنین "IGREK" -F عملکرد ما با تمایز استدلال کرد؟ ما به شرایط نگاه می کنیم:

جواب نهایی:

مثال 12

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است. طراحی نمونه نمونه ای از این نوع در پایان درس.

با کمک یک مشتق لگاریتمی، شما می توانید هر یک از نمونه های شماره 4-7 را حل کنید، یکی دیگر از چیزهایی که توابع ساده تر است، و شاید استفاده از یک مشتق لگاریتمی بیش از حد تبرئه نیست.

مشتق از تابع نشانگر گام به گام

ما هنوز این عملکرد را در نظر نگرفته ایم. تابع نشانگر گام به گام یک تابع است و درجه و پایه بستگی به "X". مثال کلاسیککه شما را در هر کتاب درسی یا هر سخنرانی هدایت می کند:

چگونه یک مشتق از یک تابع نشانگر گام به گام پیدا کنیم؟

لازم است که فقط توسط پذیرش مورد استفاده قرار گیرد - مشتق لگاریتمی. قرار دادن لگاریتم در هر دو بخش:

به عنوان یک قاعده، در قسمت راست لگاریتم درجه:

در نتیجه، در سمت راست، ما محصول دو توابع را داشتیم، که توسط فرمول استاندارد متفاوت خواهد بود .

ما یک مشتق را پیدا می کنیم، زیرا ما هر دو بخش را برای لمس می کنیم:

مراحل بعدی آسان است:

سرانجام:

اگر برخی از تحول ها کاملا روشن نیست، لطفا توضیحات مثال مثال شماره 11 را بخوانید.

در وظایف عملی، عملکرد نشانگر گام به گام همیشه دشوارتر از مثال سخنرانی در نظر گرفته شده است.

مثال 13

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

از مشتقات لگاریتمی استفاده کنید.

در بخش راست، ما ثابت و کار دو عامل - "Iksa" و "لگاریتم لگاریتم" (برای یک لگاریتم یک لگاریتم دیگر) وجود دارد. هنگامی که تمایز ثابت، همانطور که ما به یاد می آوریم، بهتر است که بلافاصله علامت مشتق شده را بیرون بیاورید تا با پاها تداخل ندهد؛ و البته، ما یک قانون آشنا را اعمال می کنیم :

همانطور که می بینید، الگوریتم استفاده از مشتقات لگاریتمی حاوی برخی از ترفندهای خاص یا ترفندهای خاص نیست و یافته های مشتق شده از تابع نشانگر گام به گام معمولا با "عذاب" ارتباط ندارد.

محاسبه مشتق شده - یکی از مهمترین عملیات در محاسبات دیفرانسیل. در زیر یک جدول از یافتن مشتقات توابع ساده است. قوانین تمایز پیچیده تر، درس های دیگر را ببینید:

• جدول مشتقات توابع نمایشی و لگاریتمی

فرمول های محدود به عنوان مقادیر مرجع استفاده می شود. آنها در حل معادلات دیفرانسیل و وظایف کمک خواهند کرد. در تصویر، در جدول مشتقات توابع ساده، "ورق تقلب" از موارد اولیه مشتق از مشتق از مشتق شده در فرموما برای استفاده، توضیحات برای هر مورد در کنار آن وجود دارد.

مشتقات توابع ساده

1. مشتق از شماره صفر است
c '\u003d 0.
مثال:
5 '\u003d 0.

توضیح:
مشتق شده نشان می دهد سرعت تغییر مقدار عملکرد زمانی که استدلال تغییر می کند. از آنجا که شماره در هیچ شرایطی تغییر نمی کند - سرعت تغییر آن همیشه صفر است.

2. مشتق از متغیر برابر با وحدت
x '\u003d 1.

توضیح:
با هر گونه افزایش استدلال (x) در هر واحد، مقدار تابع (نتیجه محاسبات) در همان اندازه افزایش می یابد. بنابراین، میزان تغییر ارزش تابع y \u003d x دقیقا برابر با میزان تغییر ارزش استدلال است.

3. مشتق متغیر و ضریب برابر با این عامل برابر است
cx '\u003d S.
مثال:
(3x) '\u003d 3
(2x) '\u003d 2
توضیح:
در این مورد، با هر تغییر از استدلال تابع ( h.) ارزش آن (Y) در حال رشد است از جانب زمان. بنابراین، میزان تغییر ارزش عملکرد با توجه به میزان تغییر استدلال دقیقا برابر است از جانب.

از جایی که آن را دنبال می کند
(cx + b) "\u003d c
یعنی دیفرانسیل تابع خطی Y \u003d KX + B برابر با ضریب زاویه ای شیب (K) است.

4. مشتقات ماژول برابر با یک متغیر خصوصی به ماژول آن
| x | "\u003d x / | x | ارائه شده است که X ≠ 0
توضیح:
از آنجا که مشتق متغیر (به فرمول 2 مراجعه کنید) برابر با واحد است، مشتق شده از ماژول تنها با این واقعیت متمایز است که مقدار عملکرد تابع تغییرات عملکرد تغییر می کند زمانی که نقطه منشا مبدأ منشاء عبور می کند (سعی کنید یک تابع از y \u003d | x | و مطمئن شوید که آن را خودتان. ارزش و بازگشتی بیان x / | x |. هنگامی که x< 0 оно равно (-1), а когда x > 0 - وحدت به عبارت دیگر، با مقادیر منفی متغیر x هر بار یک تغییر استدلال، مقدار عملکرد به همان مقدار کاهش می یابد، و با مثبت - برعکس، آن را افزایش می دهد، اما دقیقا همان معنی است.

5. مشتقات درجه برابر با محصول تعداد این درجه و متغیر به درجه کاهش یافته توسط یکی
(x c) "\u003d cx c-1، با توجه به اینکه X C و CX C-1 تعریف شده اند و C ≠ 0
مثال:
(x 2) "\u003d 2x
(x 3) "\u003d 3x2
برای حفظ فرمول:
درجه ای از متغیر "پایین" را به عنوان یک ضریب تقسیم کنید و سپس درجه درجه را در هر واحد کاهش دهید. به عنوان مثال، برای X 2 - دو نفر به جلوتر از ICA شد، و سپس کاهش درجه (2-1 \u003d 1) به سادگی به ما 2x داد. همین اتفاق برای X 3 اتفاق افتاد - سه "فرود آمدن"، ما آن را در هر واحد کاهش می دهیم و به جای مکعب ما یک مربع داریم، یعنی 3x2. کمی "علمی نیست"، اما بسیار آسان به یاد داشته باشید.

6. نشات گرفته 1 / h.
(1 / x) "\u003d - 1 / x 2
مثال:
از آنجا که کسری می تواند به عنوان ساخت یک درجه منفی نشان داده شود
(1 / x) "\u003d (x -1)"، سپس شما می توانید فرمول را از قانون 5 از جدول مشتق شده استفاده کنید
(x -1) "\u003d -1x -2 \u003d - 1 / x 2

7. نشات گرفته با درجه متغیر در نام خانوادگی
(1 / x c) "\u003d - C / X C + 1
مثال:
(1 / x 2) "\u003d - 2 / x 3

8. مشتق ریشه (متغیر مشتق شده زیر ریشه دوم)
(√x) "\u003d 1 / (2√x) یا 1/2 x -1/2
مثال:
(√x) "\u003d (x 1/2)" بنابراین شما می توانید فرمول را از قانون 5 اعمال کنید
(x 1/2) "\u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. متغیر مشتق شده تحت درجه تصادفی
(n √x) "\u003d 1 / (n n √x n-1)

تعریف یک تابع گام به گام. خروجی فرمول برای محاسبه مشتق آن. نمونه هایی از محاسبه مشتقات توابع نشانگر قدرت، به طور دقیق جدا شده اند.

تابع stepto-indicative - این یک تابع است که دارای یک نوع عملکرد قدرت است
y \u003d u v،
در آن پایه U و درجه V نشانگر V برخی از توابع از متغیر X هستند:
u \u003d U. (ایکس)؛ v \u003d v. (ایکس).
این ویژگی نیز نامیده می شود اطمینان از قدرت یا .

توجه داشته باشید که قدرت تابع نشانگر می تواند در فرم نشان دهنده نشان داده شود:
.
بنابراین، آن را نیز نامیده می شود تابع نشانگر پیچیده.

محاسبه با استفاده از مشتق لگاریتمی

یک مشتق از تابع نشانگر گام به گام پیدا کنید
(2) ,
کجا و توابع از متغیر وجود دارد.
برای این، معادله (2) لگاریتمی با استفاده از ویژگی لگاریتم:
.
تمایز توسط متغیر X:
(3) .
درخواست دادن قوانین تمایز عملکرد پیچیده و کار می کند:
;
.

ما جایگزین (3):
.
از اینجا
.

بنابراین، ما یک مشتق از تابع نشانگر گام به گام پیدا کردیم:
(1) .
اگر شاخص ثابت باشد، سپس. سپس مشتق شده برابر مشتق شده از یک تابع قدرت پیچیده است:
.
اگر پایه و اساس درجه ثابت باشد، سپس. سپس مشتق شده برابر با تابع مشتق شده است:
.
هنگامی که و توابع از x هستند، مشتق از تابع نشانگر گام به گام برابر با مجموع مشتقات قدرت پیچیده و توابع نشانگر است.

محاسبه مشتق شده با آوردن یک تابع نشانگر پیچیده

در حال حاضر یک مشتق از یک تابع گام به گام پیدا کنید
(2) ,
نمایندگی آن به عنوان یک تابع نشانگر پیچیده:
(4) .

تمایز کار:
.
اعمال قانون پیدا کردن یک تابع پیچیده مشتق شده:

.
و ما دوباره فرمول (1) را دریافت کردیم.

مثال 1

مشتق از تابع زیر را پیدا کنید:
.

تصمیم

محاسبه با استفاده از مشتق لگاریتمی. تابع منبع لگاریتم:
(P1.1) .

از جدول مشتقات ما پیدا کنیم:
;
.
توسط فرمول مشتق شده، ما داریم:
.
تکیه ها (P1.1):
.
تا آنجا که
,
که
.

پاسخ

مثال 2

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید
.

تصمیم

تابع منبع لگاریتم:
(P2.1) .

اثبات و خروجی مشتقات مشتق شده فرمول (E به درجه X) و یک تابع نشانگر (a به درجه X). نمونه هایی از محاسبه مشتقات از E ^ 2X، E ^ 3X و E ^ NX. مشتقات فرمول از سفارشات بالاتر.

مشتق از نمایشگاه برابر با غرفه خود است (مشتق شده E به درجه X برابر با E به درجه X):
(1) (e x) '\u003d e x.

مشتق عملکرد نشانگر با پایه درجه A برابر با عملکرد خود را ضرب شده توسط لگاریتم طبیعی از:
(2) .

خروجی فرمول مشتق از نماینده، E به درجه X

نمایشگاه یک تابع نشانگر است که در آن درجه پایه برابر با تعداد E است، که محدودیت زیر است:
.
در اینجا می تواند هر دو عدد طبیعی و واقعی باشد. بعد، فرمول (1) مشتق از نمایشگاه را به دست می آوریم.

خروجی نمایشگاه مشتق فرمول

نمایشگاه را در نظر بگیرید، E به درجه X:
y \u003d e x.
این ویژگی برای همه تعریف شده است. مشتق خود را در متغیر x پیدا کنید. با تعریف، مشتق محدودیت زیر است:
(3) .

ما این عبارت را تغییر می دهیم تا آن را به خواص و قوانین ریاضی شناخته شده شناخته شود. برای این، ما به حقایق زیر نیاز داریم:
ولی) نمایشگاه های املاک:
(4) ;
ب) مالکیت لگاریتم:
(5) ;
که در) تداوم لگاریتم و اموال محدودیت برای عملکرد مداوم:
(6) .
در اینجا برخی از کارهایی است که محدودیت دارد و این محدودیت مثبت است.
د) مقدار محدودیت دوم قابل توجه:
(7) .

ما از این حقایق به محدودیت ما استفاده می کنیم (3). ما از اموال استفاده می کنیم (4):
;
.

جایگزینی کنید سپس؛ .
با توجه به تداوم غرفه داران،
.
بنابراین، هنگامی که در نتیجه، ما دریافت می کنیم:
.

جایگزینی کنید سپس. با ،. و ما داریم:
.

لوازم جانبی لگاریتم کاربردی (5):
. سپس
.

اموال را اعمال کنید (6). از آنجا که یک حد مثبت و لگاریتم به طور مداوم وجود دارد، سپس:
.
در اینجا ما نیز از حد فوق العاده فوق العاده استفاده کردیم (7). سپس
.

بنابراین، ما فرمول (1) مشتق از نمایشگاه را به دست آوردیم.

خروجی فرمول مشتق از تابع نشانگر

در حال حاضر ما فرمول (2) مشتق عملکرد نشانگر را با مبنای درجه A به دست خواهیم آورد. ما این را باور داریم سپس تابع نشانگر
(8)
تعریف شده برای همه.

ما فرمول را تبدیل می کنیم (8). برای انجام این کار، ما استفاده می کنیم خواص یک تابع نشانگر و لگاریتم.
;
.
بنابراین، ما فرمول (8) را به فرم زیر تبدیل کردیم:
.

مشتقات سفارشات بالاتر از E به درجه X

در حال حاضر ما مشتقات سفارشات بالاتر را پیدا می کنیم. ابتدا نمایشگاه را در نظر بگیرید:
(14) .
(1) .

ما می بینیم که مشتق عملکرد (14) برابر عملکرد خود است (14). تمایز (1)، ما مشتقات سفارش دوم و سوم را به دست می آوریم:
;
.

می توان دید که مشتق از دستور n-th نیز برابر با تابع منبع است:
.

مشتقات سفارشات بالاتر از عملکرد نشانگر

در حال حاضر یک تابع نشانگر را با مبنای درجه A در نظر بگیرید:
.
ما اولین سفارش خود را پیدا کردیم:
(15) .

تمایز (15)، ما مشتقات سفارش دوم و سوم را به دست می آوریم:
;
.

ما می بینیم که هر تمایز منجر به ضرب عملکرد اصلی می شود. بنابراین، مشتق از دستور n-th فرم زیر را دارد:
.

این ویدیو، من یک سری طولانی از درس های اختصاص داده شده به مشتق را شروع می کنم. این درس شامل چندین بخش است.

اول از همه، به شما می گویم که به طور کلی چنین مشتقات و نحوه شمارش آنها، اما نه یک زبان علمی حکمت، بلکه من خودم را درک می کنم و به عنوان دانشجویانم توضیح می دهم. ثانیا، ما ساده ترین قاعده را برای حل مشکلات در نظر خواهیم گرفت که ما به دنبال مبالغ مشتق شده، تفاوت های مشتق شده و مشتقات عملکرد قدرت خواهیم بود.

ما به نمونه های پیچیده پیچیده تر نگاه خواهیم کرد، به ویژه، به ویژه یاد می گیرید که چنین مشکلاتی حاوی ریشه ها و حتی کسرها را می توان با استفاده از فرمول مشتق از عملکرد قدرت حل کرد. علاوه بر این، البته، بسیاری از وظایف و نمونه هایی از راه حل های مختلف سطح پیچیدگی وجود خواهد داشت.

به طور کلی، ابتدا قصد داشتم یک غلتک کوتاه 5 دقیقه ای بنویسم، اما ببینم چه اتفاقی افتاده است. بنابراین، اشعار کافی است - به کسب و کار بروید.

مشتق چیست؟

بنابراین بیایید از دور شروع کنیم. چند سال پیش، زمانی که درختان گوسفند بودند، و زندگی بیشتر سرگرم کننده بود، ریاضیات در مورد آنچه: یک تابع ساده مشخص شده توسط برنامه خود را در نظر بگیرید، ما آن را $ y \u003d f \\ سمت چپ (x \\ right) $. البته، برنامه به خودی خود وجود دارد، بنابراین شما باید محور $ x $، و همچنین محور $ Y $ را صرف کنید. و اکنون بیایید هر نقطه ای را در این نمودار انتخاب کنیم، کاملا هر کدام. Abscissa $ ((x) _ (1)) $ ((x) _ (1)) نامیده می شود، به عنوان حدس زدن دشوار نیست، $ f \\ سمت چپ (((x) _ (1)) \\ right $ وجود دارد.

در همان برنامه یک نقطه دیگر را در نظر بگیرید. مهم نیست، مهمتر از همه، از ابتدا متفاوت است. در او، دوباره، Abscissa وجود دارد، ما آن را $ ((x) _ (2)) $، و همچنین ordinate - $ f \\ سمت چپ ((x) _ (2)) \\ right) $.

بنابراین، ما دو امتیاز دریافت کردیم: آنها دارای Abscissa متفاوت هستند و بنابراین مقادیر مختلف توابع، اگر چه دومی اختیاری است. اما آنچه واقعا مهم است، بنابراین این است که از دوره Planimeria ما می دانیم: شما می توانید به طور مستقیم در دو نقطه و تنها و تنها یک. اینجا اجازه دهید آن را صرف کنیم و خرج کنیم.

و اکنون من از طریق اولین آنها از آنها مستقیم، محور موازی Abscissa صرف می کنم. دريافت كردن راست گوشه. بیایید آن را $ ABC $، یک زاویه مستقیم $ c $ بدهیم. این مثلث دارای یک ملک بسیار جالب است: واقعیت این است که زاویه $ \\ alpha $ در واقع برابر با گوشه ای است که به طور مستقیم $ AB $ با ادامه محور Abscissa تقسیم شده است. برای خودتان قضاوت کنید:

1. مستقیم $ AC $ موازی با محور $ OX $ توسط ساخت و ساز،
2. direct $ ab $ crosses $ ac $ under $ \\ alpha $
3. در نتیجه، $ AB $ از $ OX $ تحت همان $ \\ alpha $ عبور می کند.

آنچه ما می توانیم در مورد $ \\ text () \\! \\! \\ \\ \\! \\! \\ text () $ هیچ چیز مشخص نیست، به جز اینکه در نسبت قیمت مثلث $ ABC $ BC $ bc $ rattu به Cathel $ AC $ برابر با مماس از این گوشه است. بنابراین نوشتن:

البته، $ AC $ در این مورد به راحتی در نظر گرفته شده است:

به طور مشابه، $ BC $:

به عبارت دیگر، ما می توانیم موارد زیر را ثبت کنیم:

\\ [\\ operatorname (TG) \\ text () \\! \\! \\! \\ \\! \\! \\ text () \u003d \\ frac (f \\ frac ((x) _ (2)) \\ right) -f \\ left ( ((x) _ (1)) \\ right) (((x) _ (2)) - ((x) _ (1))) \\]

حالا که همه ما متوجه شدیم، بیایید به برنامه ما بازگردیم و نقطه جدید $ B $ را در نظر بگیریم. کشش ارزش های قدیمی و گرفتن و گرفتن $ b $ در جایی نزدیک به $ ((x) _ (1)) $. باز هم، ما آن را به abscissue برای $ ((x) _ (2)) $، و Ordinate $ f \\ سمت چپ ((x) _ (2)) \\ right $.

ما مثلث کوچک ما $ ABC $ و $ \\ text () \\! \\! \\ \\ \\! \\ text () $ در داخل آن هستیم. کاملا واضح خواهد بود که زاویه کاملا متفاوت خواهد بود، مماس نیز متفاوت خواهد بود، زیرا طول تقسیم $ AC $ و $ BC $ به طور قابل توجهی تغییر کرده است، و فرمول مماس زاویه تغییر نکرده است در مجموع - این هنوز هم نسبت بین تغییر عملکرد و تغییر استدلال است.

در نهایت، ما همچنان به حرکت $ B $ ادامه می دهیم که به نقطه اصلی $ A $ A $ نزدیک می شود، به عنوان یک نتیجه، مثلث هنوز کاهش می یابد و مستقیما حاوی بخش $ AB به طور فزاینده ای مانند یک تابع مماس خواهد بود.

به عنوان یک نتیجه، اگر شما همچنان به نزدیک شدن از نقاط، به عنوان مثال، کاهش فاصله تا صفر، و سپس مستقیم $ AB $، در واقع، به یک مماسی به برنامه در این نقطه تبدیل خواهد شد، و $ \\ text () \\! ! \\ alpha \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\! \\ text () $ از عنصر معمولی مثلث به زاویه بین ممارگی به گرافیک و جهت مثبت محور $ OX $ تبدیل می شود.

و در اینجا ما به طور هموار به تعریف $ f $ بروید، یعنی تابع مشتق شده در $ (((x) _ (1)) $ $ \\ alpha $ tement بین مماس به نمودار به $ ((x ) _ ((x) _ (1)) $ و جهت مثبت محور $ ox $:

\\ [(f) "\\ left (((x) _ (1)) \\ right) \u003d \\ operatorname (tg) \\ text () \\! \\! \\ alpha \\! \\! \\ text () \\]

بازگشت به برنامه ما، باید توجه داشت که به عنوان $ ((X) _ (1)) $ شما می توانید هر نقطه در نمودار را انتخاب کنید. به عنوان مثال، با موفقیت همان، ما می توانیم نوار را در نقطه ای که در تصویر نشان داده شده حذف کنیم.

زاویه بین مماسی و جهت مثبت محور، $ \\ beta $ تماس خواهد گرفت. بر این اساس، $ f $ per $ ((x) _ (2)) $ برابر با مماس این زاویه $ \\ beta $ خواهد بود.

\\ [(F) \\ left (((x) _ (2)) \\ right) \u003d tg \\ text () \\! \\! \\ beta \\! \\! \\ text () \\]

در هر نقطه از گراف، مماس خود خواهد بود و بنابراین ارزش آن از عملکرد آن است. در هر یک از این موارد، علاوه بر نقطه ای که ما به دنبال مشتقات یا مقدار دیفرانسیل دیفرانسیل یا مشتق از یک تابع قدرت هستیم، باید نقطه دیگری را که در فاصله ای از آن قرار دارد، بپردازید و سپس این نقطه را بکشید به اصل و البته، برای پیدا کردن این که چگونه در روند این جنبش زاویه مماس از تمایل را تغییر می دهد.

مشتق عملکرد قدرت

متأسفانه این تعریف به ما مناسب نیست. همه این فرمول ها، تصاویر، گوشه ها به ما کوچکترین ایده را نمیدهند که چگونه یک مشتق واقعی را در وظایف واقعی در نظر بگیریم. بنابراین، بیایید کمی از تعریف رسمی بپردازیم و فرمول ها و تکنیک های کارآمدتر را در نظر بگیریم که این وظایف را قبلا حل می کند.

بیایید با ساختارهای ساده ای شروع کنیم، یعنی توابع فرم $ y \u003d ((x) ^ (n)) $، I.E. توابع قدرت در این مورد، ما می توانیم موارد زیر را بنویسیم: $ (y) "\u003d n \\ cdot ((x) ^ (n-1)) $. به عبارت دیگر، درجه ای که در این شاخص ایستاده است، در عرض چند برابر نشان داده شده است ، و شاخص خود را کاهش می دهد واحد. به عنوان مثال:

\\ [\\ align) & y \u003d ((x) ^ (2)) \\\\ & y) "\u003d 2 \\ cdot ((x) ^ (2-1)) \u003d 2x \\\\\\ end (align) \\]

اما گزینه دیگری:

\\ [\\ align) & y \u003d ((x) ^ (1)) \\\\ & y) "\u003d (\\ left (x \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 1 \\ cdot ((x ) ^ (0)) \u003d 1 \\ CDOT 1 \u003d 1 \\\\ \\ (\\ left (x \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 1 \\\\\\ end (align) \\]

با استفاده از این قوانین ساده، سعی کنید بارکد نمونه های زیر را حذف کنید:

بنابراین ما دریافت می کنیم:

\\ [((((((((((((((((((x) ^ (6)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 6 \\ cdot ((x) ^ (5)) \u003d 6 ((x) ^ (5)) \\]

اکنون بیان دوم را حل می کنیم:

\\ [\\ align) & f \\ left (x \\ right) \u003d ((x) ^ (100)) \\\\ \\ (\\ (((((((((((x) ^ (100)) \\ right)) ^ (\\ \\ PRIME)) \u003d 100 \\ cdot ((x) ^ (99)) \u003d 100 ((x) ^ (99)) \\\\\\ end (align) \\]

البته، خیلی زیاد بود وظایف ساده. ولی وظایف واقعی پیچیده تر و آنها به تنها درجه عملکرد محدود نمی شود.

بنابراین، قانون شماره 1 - اگر تابع به عنوان دو نفر دیگر نشان داده شود، مشتق از این مقدار برابر با مجموع مشتقات است:

\\ [((\\ left (f + g \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (f) "+ (g)" \\]

به طور مشابه، مشتق از تفاوت دو توابع برابر با تفاوت مشتقات است:

\\ [((\\ left (f-g \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (f) "- (g)" \\]

\\ [((((((((((((((((((x) ^ (2)) + x \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (\\ left ((((x) ^ (2)) \\ right)) ^ (\\ PRIME)) + ((\\ left (x \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 2x + 1 \\]

علاوه بر این، یک قانون مهم دیگر وجود دارد: اگر یک $ ثابت $ ثابت قبل از حدود $ f $ وجود داشته باشد، که این تابع ضرب شده است، پس از آن $ f $ تمام این طراحی به عنوان:

\\ [(((\\ left)) ^ (\\ prime)) \u003d c \\ cdot (f) "\\]

\\ [(\\ left (3 (3 (x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 3 (\\ left ((((x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ PRIME)) \u003d 3 \\ CDOT 3 (((x) ^ (2)) \u003d 9 ((x) ^ (2)) \\]

در نهایت، یک قانون بسیار مهم دیگر: در وظایف، یک اصطلاح جداگانه اغلب یافت می شود، که حاوی $ x $ نیست. به عنوان مثال، ما می توانیم آن را در عبارات فعلی ما مشاهده کنیم. ثابت مشتق شده، به عنوان مثال، اعداد، به هیچ وجه وابسته به $ x $، همیشه برابر با صفر است، و به طور کامل مهم نیست که ثابت C ثابت برابر با:

\\ [(((\\ left (c \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 0 \\]

مثال مثال:

\\ [((\\ left (1001 \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (\\ left (\\ left (\\ frac (1) (1000) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 0 \\]

یک بار دیگر نکات کلیدی:

1. مشتق از دو توابع همیشه برابر با مجموع مشتقات است: $ (\\ left (f + g \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (f) "+ (g)" $؛
2. به دلایل مشابه، مشتق از تفاوت دو توابع برابر با تفاوت دو مشتق شده است: $ ((\\ left (f-g \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (f) "- (g)" $؛
3. اگر تابع یک ضریب ثابت داشته باشد، این ثابت را می توان برای علامت مشتق شده انجام داد: $ ((\\ left (c / cdot f \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d c \\ cdot (f) "$؛
4. اگر کل تابع ثابت باشد، مشتق آن همیشه صفر است: $ ((\\ left (c \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 0 $.

بیایید ببینیم چگونه همه چیز بر روی نمونه های واقعی کار می کند. بنابراین:

ما نوشتیم:

\\ [\\ align) & (\\ left ((left (((((((x) ^ (5)) - 3 ((x) ^ (2)) + 7 \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (\\ left (((x) ^ (5)) \\ right)) ^ (\\ left (left (3 (3 (x) ^ (2)) \\ rime)) ^ (\\ prime)) + (7) "\u003d \\\\ \\ \u003d 5 ((x) ^ (4)) - 3 ((\\ left (((((x) ^ (2)) \\ right)) ^ (\\ prime)) + 0 \u003d 5 ((x) ^ (4)) - 6X \\\\\\ end (align) \\]

در این مثال، ما مجموع مشتق شده را می بینیم، و تفاوت مشتق شده. مجموع، مشتق شده 5 دلار ((x) ^ (4)) - 6x $.

به تابع دوم بروید:

ما راه حل را بنویسیم:

\\ [\\ begin (align) & (\\ left (3 (3 ((x) ^ (2)) - 2x + 2 \\ right)) ^ (\\ \\ left)) \u003d (\\ left (3 (3 (x) ^ ( 2) \\ right)) ^ (\\ prime)) - (\\ left (2x \\ right)) ^ (\\ prime)) + (2) "\u003d \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ^ (2)) \\ right)) ^ (\\ prime)) - 2 (x) "+ 0 \u003d 3 \\ cdot 2x-2 \\ cdot 1 \u003d 6x-2 \\\\\\ end (align) \\]

بنابراین ما پاسخ را پیدا کردیم.

به عملکرد سوم بروید - در حال حاضر تلاش می کند:

\\ [\\ jagn (align) & (\\ left (2 (2 ((x) ^ (3)) - 3 ((((x) ^ (2)) + \\ frac (1) (2) x-5 \\ right) ) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (2 (((x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ left (3 (3 (x) ^ (2)) \\ راست)) ^ (\\ prime)) + ((\\ left (\\ frac (1) (2) x \\ right)) ^ (\\ prime)) - (5) "\u003d \\\\ & \u003d 2 (\\ left (x) ^ (3)) ^ right)) ^ (\\ \\ prime)) - 3 (left (((((((((((x) ^ (2)) \\ rime)) ^ (\\ prime)) + \\ frac (1 ) (2) \\ cdot (x) "\u003d 2 \\ cdot 3 ((x) ^ (2)) - 3 \\ cdot 2x + \\ frac (1) (2) \\ cdot 1 \u003d 6 ((x) ^ (2 )) -6x + \\ frac (1) (2) \\\\\\ end (align) \\]

ما پاسخ را پیدا کردیم.

برو به آخرین عبارت - پیچیده ترین و طولانی ترین:

بنابراین، ما معتقدیم:

\\ [\\ align) & (\\ left (\\ left (6 (6 (x) ^ (7)) - 14 (((x) ^ (3)) + 4x + 5 \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (6 ((x) ^ (7)) \\ right)) ^ (\\ left (left (14 ((x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) ) + (\\ left (4x \\ right)) ^ (\\ prime)) + (5) "\u003d \\\\ \\\\ \u003d 6 \\ cdot 7 \\ cdot ((x) ^ (6)) - 14 \\ cdot 3 (( x) ^ (2)) + 4 \\ cdot 1 + 0 \u003d 42 ((x) ^ (6)) - 42 ((x) ^ (2)) + 4 \\\\\\ end (align) \\]

اما این تصمیم به پایان نمی رسد، زیرا از ما خواسته می شود که فقط لمس را حذف نکنیم، بلکه برای محاسبه مقدار آن در یک نقطه خاص، بنابراین ما در عبارت -1 جایگزین $ x $ می شود:

\\ [Y) "\\ left (-1 \\ \\ right) \u003d 42 \\ cdot 1-42 \\ cdot 1 + 4 \u003d 4 \\]

ما دنبال می کنیم و به نمونه های پیچیده تر و جالب تر می رویم. واقعیت این است که فرمول برای حل یک مشتق قدرتمند $ ((\\ (((((((((((((x) ^ (n)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d n \\ cdot ((x) ^ (n-1) ) $ آن دارای یک منطقه حتی گسترده تر از کاربرد از آن است که معمولا معمول است. با آن، ممکن است نمونه هایی را با کسرها، ریشه ها و غیره حل کنیم. این است که ما اکنون خواهیم رفت.

برای شروع، یک بار دیگر بنویسید، که به ما کمک خواهد کرد که مشتق از عملکرد قدرت را پیدا کنیم:

و در حال حاضر توجه: تا کنون تنها به عنوان $ n $ در نظر گرفته شده است عدد صحیحبا این حال، با توجه به کسرها و حتی اعداد منفی دخالت نکنید. به عنوان مثال، ما می توانیم موارد زیر را ثبت کنیم:

\\ [\\ align) \\ sqrt (x) \u003d ((x) ^ (\\ frac (1) (1) (2))) \\\\ & \\ left (\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ ) \u003d ((\\ left (((x) ^ (\\ frac (1) (2))) \\ rim)) ^ \\ frac (1) (2) \\ cdot ((x) ^ (- \\ frac (1) (2)) \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ frac (1) (\\ sqrt (x)) \u003d \\ frac (1) (2 \\ sqrt (x)) \\ \\\\ end (align) \\]

هیچ چیز پیچیده نیست، بنابراین بیایید ببینیم که چگونه این فرمول در هنگام حل وظایف پیچیده تر به ما کمک خواهد کرد. بنابراین مثال:

ما راه حل را بنویسیم:

\\ [\\ align) \\ left (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x) + \\ sqrt (x) \\ right) \u003d (\\ left (\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ reft) ) + (\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ \\ left)) + ((\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ \\ prime)) \\\\ & (\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (1) (2 \\ sqrt (x)) \\\\ \\ (\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ \\ PRIME) \u003d ((((((((((((x) ^ (\\ frac (1) (3))) \\ rime)) \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot ((x) ^ (- \\ frac (2) (3)) \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ frac (1) (\\ sqrt ((((x) ^ (2))) \\\\ & (\\ سمت چپ (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ ((((((((((x) ^ (\\ frac (1) (4)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (1) (4) ((x) ^ (- \\ frac (3) (4))) \u003d \\ frac (1) (4) \\ cdot \\ frac (1) (\\ sqrt ((x) ^ (3)))) \\\\\\ پایان (align) \\]

بازگشت به مثال ما و نوشتن:

\\ [(y) "\u003d \\ frac (1) (2 \\ sqrt (x)) + \\ frac (1) (3 \\ sqrt (((x) ^ (2))) + \\ frac (1) (4 \\ sqrt (((x) ^ (3))) \\]

در اینجا یک تصمیم دشوار است.

به عنوان مثال دوم بروید، تنها دو اصطلاح وجود دارد، اما هر یک از آنها شامل هر دو درجه کلاسیک و ریشه هستند.

در حال حاضر ما یاد می گیریم که چگونه یک مشتق از یک تابع قدرت را پیدا کنیم، که علاوه بر این، حاوی ریشه است:

\\ [\\ begin (align) & (\\ left ((((((x) ^ (3)) \\ sqrt (((((x) ^ (2)) + ((x) ^ (7)) \\ sqrt (x ) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ ((((((x) ^ (3)) \\ cdot \\ sqrt ((x) ^ (2))) \\ right))) ^ (\\ prime) ) \u003d (((((((((((((x) ^ (3)) \\ cdot ((x) ^ (\\ frac (2) (3)) \\ rime)) ^ (\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ (\\ left (((x) ^ (3+ / frac (2) (3))) \\ right)) ^ (\\ left (((((((x) ^ (\\ frac (11) 3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (11) (3) \\ cdot ((x) ^ (\\ frac (8))) \u003d \\ frac (11) (3) (3) (3) \\ CDOT ((X) ^ (2 \\ frac (2) (3)) \u003d \\ frac (11) (3) \\ cdot ((x) ^ (2)) \\ cdot \\ sqrt (((x) ^ (2)) \\\\ \\ (((((((((((((((((((((((x) ^ (7)) \\ cdot \\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (\\ left ((x) ^ (7)) \\ cdot ((x) ^ (\\ frac (1) (3))) \\ right)) ^ (\\ reft)) \u003d (\\ left ((x) ^ (7 \\ frac (1) (3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 7 \\ frac (1) (3) \\ cdot ((x) ^ (6 \\ frac (1) (3)) \u003d \\ frac (22) 3) \\ cdot ((x) ^ (6)) \\ cdot \\ sqrt (x) \\\\\\ end (align) \\]

هر دو اتهام در نظر گرفته شده است، آن را باقی مانده است برای نوشتن پاسخ نهایی:

\\ [Y) "\u003d \\ frac (11) (3) \\ CDOT ((x) ^ (2)) \\ cdot \\ sqrt (((x) ^ (2))) + \\ frac (22) (3) \\ cdot ((x) ^ (6)) \\ cdot \\ sqrt (x) \\]

ما پاسخ را پیدا کردیم.

مشتق کسری از طریق عملکرد قدرت

اما در این امکان فرمول برای راه حل مشتق از عملکرد قدرت پایان نمی یابد. واقعیت این است که با کمک آن، نه تنها نمونه هایی از ریشه ها را می توان در نظر گرفت، بلکه با کسری نیز می شود. این فقط یک احتمال نادرست است که به طور قابل توجهی راه حل چنین نمونه هایی را ساده می کند، اما در عین حال اغلب توسط دانش آموزان، بلکه توسط معلمان نیز نادیده گرفته می شود.

بنابراین، اکنون سعی خواهیم کرد دو فرمول را در یک بار ترکیب کنیم. از یک طرف، مشتق کلاسیک از عملکرد قدرت

\\ [((((((((((((x) ^ (n)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d n \\ cdot ((x) ^ (n-1)) \\]

از سوی دیگر، ما می دانیم که بیان نوع $ \\ frac (1) (((x) ^ (n))) $ به عنوان $ ((x) ^ (- n)) $ نمایش داده می شود. از این رو،

\\ [\\ left (\\ frac (1) ((x) ^ (n))) \\ right) "\u003d (\\ ((((((((x) ^ (- n)) \\ right)) ^ (\\ prime) ) \u003d - n \\ cdot ((x) ^ (- n - 1)) \u003d - \\ frac (n) ((x) ^ (n + 1))) \\]

\\ [(\\ left (\\ frac (1) (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ left ((x) ^ (- 1)) \\ right) \u003d - 1 \\ cdot (x ) ^ (- 2)) \u003d - \\ frac (1) ((x) ^ (2))) \\]

بنابراین، مشتقات فراکسیون های ساده، جایی که ثابت در Numener وجود دارد، و در نامزدی - درجه نیز با استفاده از فرمول کلاسیک مورد توجه قرار گرفته است. بیایید ببینیم که چگونه در عمل کار می کند.

بنابراین اولین تابع:

\\ [(\\ left (\\ left (\\ frac (1) ((x) ^ (2))) \\ rim)) ^ (\\ left ((x) ^ (- 2)) \\ راست)) ^ (\\ prime)) \u003d - 2 \\ cdot ((x) ^ (- 3)) \u003d - \\ frac (2) ((x) ^ (3))) \\]

مثال اول حل شده است، به دوم بروید:

\\ [\\ align) & (\\ left (\\ left (\\ frac (7) (4 (((4) ^ (4))) - \\ frac (2) (3 ((x) ^ (3)) + \\ Frac (5) (2) ((x) ^ (2)) + 2 (((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (4)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ \\ & \u003d (\\ left (\\ left (\\ frac (7) (4 (x) ^ (4))) \\ rime)) ^ (\\ left)) - (\\ left (\\ left (\\ left)) - (\\ left (x) ^ (3))) \\ right)) ^ (\\ left)) + ((\\ left (2 ((x) ^ (3)) \\ rime)) ^ (\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ left (3 (x) ^ (4)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \\\\ \\ (\\ left (\\ left (\\ frac (7) (4 ((4) ^ (4))) \\ right)) ^ \\ PRIME) \u003d \\ frac (7) (4) (\\ left (\\ frac (1) (((x) ^ (4))) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac ( 7) (4) \\ cdot ((\\ left ((((((x) ^ (- 4)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (7) (4) \\ cdot \\ left (-4 \\ right ) \\ cdot ((x) ^ (- 5)) \u003d \\ frac (-7) ((x) ^ (5))) \\\\ & (\\ left (\\ frac (2) (3 ((x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (2) (3) \\ cdot ((\\ left (\\ frac (1) (((x) ^ (3))) \\ right )) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (2) (3) \\ cdot ((\\ left (((((x) ^ (- 3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (2) (3) \\ CDOT \\ left (-3 \\ right) \\ cdot ((x) ^ (- 4)) \u003d \\ frac (-2) (((x) ^ (4))) \\\\ & (\\ left (\\ frac (5) (2) ((x) ^ (2)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (5) (2) \\ cdot 2x \u003d 5x \\\\ ≤ (\\ left (2) (x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 2 \\ cdot 3 ((x) ^ (2)) \u003d 6 ((x) ^ (2)) \\\\ & (\\ سمت چپ (3 ((x) ^ (4)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 3 \\ cdot 4 ((x) ^ (3)) \u003d 12 ((x) ^ (3)) \\\\\\ پایان (align) \\] ...

در حال حاضر ما تمام این اجزا را در فرمول تک جمع آوری می کنیم:

\\ [(y) "\u003d - \\ frac (7) ((x) ^ (5)) + \\ frac (2) ((x) ^ (4))) + 5x + 6 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (3)) \\]

ما جواب دادیم

با این حال، قبل از حرکت، من می خواهم توجه شما را به شکل سوابق عبارات اصلی جلب کنم: در اولین عبارت، ما $ f \\ left را ثبت کردیم (x \\ right) \u003d ... $، در ثانیه: $ y \u003d ... $ بسیاری از دانش آموزان از دست می دهند زمانی که آنها فرم های مختلف ضبط را می بینند. تفاوت بین $ f \\ left (x \\ right) $ و $ y $ چیست؟ در واقع، هیچ چیز. این فقط سوابق مختلف با معنای مشابه است. فقط زمانی که ما $ f \\ left (x \\ right) را بررسی می کنیم، سپس ما داریم صحبت می کنیماول از همه، در مورد عملکرد، و زمانی که آن را به $ y $ می آید، اغلب به معنای یک برنامه عملکرد است. در غیر این صورت، این همان است، یعنی مشتق شده در هر دو مورد یکسان است.

وظایف دشوار با مشتقات

در نتیجه، من می خواهم یک جفت وظایف ترکیبی پیچیده را که در آن زمان مورد استفاده قرار گرفته اند، در نظر بگیرم. آنها منتظر هر دو ریشه، و کسرها و مقادیر هستند. با این حال، این نمونه ها فقط در چارچوب آموزش تصویری امروز پیچیده خواهد شد، زیرا توابع واقعا پیچیده مشتقات منتظر شما خواهند بود.

بنابراین، بخش نهایی آموزش ویدئویی امروز شامل دو وظیفه ترکیبی است. بیایید با اول شروع کنیم:

\\ [\\ align) & (\\ left ((((((((((x) ^ (3)) - \\ frac (1) ((x) ^ (3))) + \\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (\\ left ((((x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ left)) - (\\ left (\\ left (\\ frac (1) (((x) ^ (3 )) \\ right)) ^ (\\ prime)) + \\ left (\\ sqrt (x) \\ right) \\\\ \\ (\\ ((((((((((((((((((((x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ ) \u003d 3 ((x) ^ (2)) \\\\ Δ (\\ left (\\ frac (((((((((((((((x) ^ (3))) \\ right)) ^ (\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ ((x) ^ (- 3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d - 3 \\ cdot ((x) ^ (- 4)) \u003d - \\ frac (3) ((x) ^ ( 4)) \\\\ \\ (\\ left (\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ \\ left ((left (((((1) ^ (\\ frac (3))) \\ راست)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ frac (1) (((x) ^ (\\ frac (2) (3))) \u003d \\ frac (1) 3 \\ sqrt (((x) ^ (2))) \\\\\\ پایان (align) \\]

تابع مشتق شده است:

\\ [(y) "\u003d 3 ((x) ^ (2)) - \\ frac (3) ((x) ^ (4))) + \\ frac (1) (3 \\ sqrt ((x) ^ (2))) \\]

مثال اول حل شده است. وظیفه دوم را در نظر بگیرید:

در مثال دوم، به همان شیوه عمل کنید:

\\ [((\\ left (- \\ frac (2) ((x) ^ (4))) + \\ sqrt (x) + \\ frac (4) (x \\ sqrt ((x) ^ (3)) ) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((left (- \\ - \\ frac (2) ((x) ^ (4))) \\ right)) ^ (\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ lev (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) + ((\\ left (\\ frac (4) (x \\ cdot \\ sqrt (((x) ^ (3))) \\ right))) ^ ^ (\\ prime)) \\]

هر اصطلاح را به طور جداگانه محاسبه کنید:

\\ [\\ begin (align) & (\\ left (- \\ - \\ frac (2) ((x) ^ (4))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d - 2 \\ cdot (\\ left ((x) ^ (- 4)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d - 2 \\ cdot \\ left (-4 \\ right) \\ cdot ((x) ^ (- 5)) \u003d \\ frac (8 ) (((x) ^ (5))) \\\\ & (\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ \\ left)) \u003d (\\ left ((x) ^ (\\ frac) 1) (4)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (1) (4) \\ cdot ((x) ^ (- \\ frac (3) (4))) \u003d \\ frac (1 ) (4 \\ cdot ((x) ^ (\\ frac (3) (4))) \u003d \\ frac (1) (4 \\ sqrt (((x) ^ (3))) \\\\ & (\\ چپ (\\ frac (4) (x \\ cdot \\ sqrt ((x) ^ (3))) \\ right))) ^ (\\ left (\\ left (\\ left)) \u003d (\\ left (\\ left) (x) ^ (\\ frac (3) (4))) \\ right)) ^ (\\ \\ left)) \u003d (\\ left (\\ frac (4) ((x) ^ (1 \\ frac (3 ))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 4 \\ CDOT ((\\ left ((x) ^ (- 1 \\ frac (3) (4)) \\ right)) ^ ( \\ PRIME) \u003d \\\\ & \u003d 4 \\ cdot \\ left (-1 \\ frac (3) (4) \\ right) \\ cdot ((x) ^ (- 2 \\ frac (3) (4)) \u003d 4 \\ cdot \\ left (- \\ frac (7) (4) \\ right) \\ cdot \\ frac (1) ((x) ^ (2 \\ frac (3) (4))) \u003d \\ frac (-7) (x) ^ (2)) \\ cdot ((x) ^ (\\ frac (3) (4))) \u003d - \\ frac (7) ((x) ^ (2)) \\ cdot \\ sqrt ( ((x) ^ (3))) \\\\\\ end (align) \\]

تمام اصطلاحات شمارش می شوند. حالا ما به فرمول اولیه بازگردیم و هر سه اصطلاح را کنار بگذاریم. ما دریافت می کنیم که پاسخ نهایی اینگونه خواهد بود:

\\ [(y) "\u003d \\ frac (8) (((x) ^ (5))) + \\ frac (1) (4 \\ sqrt (((x) ^ (3))) - \\ frac ( 7) (((x) ^ (2)) \\ cdot \\ sqrt ((((x) ^ (3))) \\]

و این همه است. این اولین درس ما بود. در درس های زیر، ما به طرح های پیچیده تر نگاه خواهیم کرد، و همچنین متوجه شدیم که چرا مشتقات به طور کلی مورد نیاز است.