زاویه بین خطوط مستقیم. ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما

در جولای 2020، ناسا یک سفر به مریخ راه اندازی کرد. این فضاپیما یک رسانه الکترونیکی با نام تمام شرکت کنندگان ثبت نام شده در سفر به مریخ تحویل خواهد داد.

اگر این پست مشکل شما را حل کرد یا فقط آن را دوست داشتید، لینک آن را با دوستان خود در شبکه های اجتماعی به اشتراک بگذارید.

یکی از این گزینه های کد باید کپی و در کد صفحه وب شما جایگذاری شود، ترجیحاً بین برچسب ها و یا بلافاصله بعد از برچسب. طبق گزینه اول MathJax سریعتر بارگذاری می شود و سرعت صفحه را کمتر می کند. اما گزینه دوم به طور خودکار آخرین نسخه های MathJax را نظارت و بارگذاری می کند. اگر اولین کد را وارد کنید، باید به صورت دوره ای به روز شود. اگر کد دوم را وارد کنید، صفحات کندتر بارگذاری می شوند، اما نیازی به نظارت مداوم به روز رسانی های MathJax ندارید.

ساده ترین راه برای اتصال MathJax در بلاگر یا وردپرس است: در کنترل پنل سایت، ویجتی را اضافه کنید که برای درج کد جاوا اسکریپت شخص ثالث طراحی شده است، نسخه اول یا دوم کد دانلود ارائه شده در بالا را در آن کپی کنید و ویجت را نزدیکتر قرار دهید. به ابتدای الگو (به هر حال، این اصلا ضروری نیست، زیرا اسکریپت MathJax به صورت ناهمزمان بارگیری می شود). همین. اکنون نحو نشانه گذاری MathML، LaTeX و ASCIIMathML را یاد بگیرید و آماده هستید تا فرمول های ریاضی را در صفحات وب سایت خود وارد کنید.

یک شب سال نو دیگر... هوای یخبندان و دانه های برف روی شیشه پنجره... همه اینها باعث شد دوباره درباره... فراکتال ها و آنچه ولفرام آلفا درباره آن می داند بنویسم. مقاله جالبی در این زمینه وجود دارد که شامل نمونه هایی از ساختارهای فراکتالی دو بعدی است. در اینجا به نمونه های پیچیده تری از فراکتال های سه بعدی خواهیم پرداخت.

یک فراکتال را می توان به صورت بصری به عنوان یک شکل یا بدن هندسی نشان داد (به این معنی که هر دو مجموعه ای هستند، در این مورد، مجموعه ای از نقاط)، که جزئیات آن شکلی مشابه خود شکل اصلی دارند. یعنی این یک ساختار خود مشابه است که با بررسی جزئیات آن با بزرگنمایی، همان شکل بدون بزرگنمایی را خواهیم دید. در حالی که در مورد یک شکل هندسی معمولی (نه فراکتال)، با بزرگنمایی جزئیاتی را خواهیم دید که شکل ساده تری نسبت به خود شکل اصلی دارند. به عنوان مثال، در بزرگنمایی به اندازه کافی بالا، بخشی از یک بیضی مانند یک بخش خط مستقیم به نظر می رسد. در مورد فراکتال ها این اتفاق نمی افتد: با هر افزایشی در آنها، دوباره همان شکل پیچیده را خواهیم دید که با هر افزایش بارها و بارها تکرار می شود.

بنوا ماندلبروت، بنیان‌گذار علم فراکتال‌ها، در مقاله‌اش فراکتال‌ها و هنر به نام علم می‌نویسد: «فرکتال‌ها اشکال هندسی هستند که در جزئیات خود به همان اندازه پیچیده هستند، یعنی اگر بخشی از فراکتال باشند به اندازه کل بزرگ می شود، به عنوان یک کل ظاهر می شود، یا دقیقاً یا شاید با تغییر شکل جزئی.

یک خط مستقیم در فضا همیشه می تواند به عنوان خط تقاطع دو صفحه غیر موازی تعریف شود. اگر معادله یک صفحه معادله صفحه دوم باشد، معادله خط به صورت داده می شود.

اینجا غیر خطی
. این معادلات نامیده می شوند معادلات کلیمستقیم در فضا

معادلات متعارف خط

هر بردار غیر صفر که روی یک خط معین یا موازی با آن قرار گیرد، بردار جهت این خط نامیده می شود.

اگر نکته مشخص باشد
خط مستقیم و بردار جهت آن
، سپس معادلات متعارف خط به شکل زیر است:

. (9)

معادلات پارامتریک یک خط

اجازه دهید معادلات متعارف خط داده شود

.

از اینجا معادلات پارامتری خط را بدست می آوریم:

(10)

این معادلات برای یافتن نقطه تقاطع یک خط و یک صفحه مفید است.

معادله خطی که از دو نقطه می گذرد
و
دارای فرم:

.

زاویه بین خطوط مستقیم

زاویه بین خطوط مستقیم

و

برابر زاویه بین بردارهای جهت آنها. بنابراین می توان با استفاده از فرمول (4) محاسبه کرد:

شرایط خطوط موازی:

.

شرایط عمود بودن صفحات:

فاصله یک نقطه از یک خط

پ فرض کنید نکته داده شده است
و مستقیم

.

از معادلات متعارف خط مستقیم نقطه را می دانیم
، متعلق به یک خط و بردار جهت آن است
. سپس فاصله نقطه
از یک خط مستقیم برابر است با ارتفاع متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها و
. از این رو،

.

شرایط تقاطع خطوط

دو خط غیر موازی

,

اگر و فقط اگر را قطع کنند

.

موقعیت نسبی یک خط مستقیم و یک صفحه.

بگذارید خط مستقیم داده شود
و هواپیما گوشه بین آنها را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد

.

مسئله 73. معادلات متعارف خط را بنویسید

(11)

راه حل. برای نوشتن معادلات متعارف خط (9) باید هر نقطه متعلق به خط و بردار جهت خط را دانست.

بیایید بردار را پیدا کنیم ، به موازات این خط. از آنجایی که باید بر بردارهای عادی این صفحات عمود باشد، یعنی.

,
، آن

.

از معادلات کلی خط مستقیم داریم که
,
. سپس

.

از آنجا که نقطه
هر نقطه از یک خط، پس مختصات آن باید معادلات خط را برآورده کند و می توان یکی از آنها را مشخص کرد، برای مثال،
، دو مختصات دیگر را از سیستم (11) پیدا می کنیم:

از اینجا،
.

بنابراین، معادلات متعارف خط مورد نظر به شکل زیر است:

یا
.

مسئله 74.

و
.

راه حل.از معادلات متعارف خط اول، مختصات نقطه مشخص است
متعلق به خط، و مختصات بردار جهت
. از معادلات متعارف خط دوم مختصات نقطه نیز مشخص است
و مختصات بردار جهت
.

فاصله بین خطوط موازی برابر با فاصله نقطه است
از خط مستقیم دوم این فاصله با فرمول محاسبه می شود

.

بیایید مختصات بردار را پیدا کنیم
.

بیایید حاصل ضرب برداری را محاسبه کنیم
:

.

مسئله 75. یک نقطه پیدا کنید نقطه متقارن
نسبتا مستقیم

.

راه حل. اجازه دهید معادله صفحه عمود بر خط داده شده و عبور از نقطه را بنویسیم . به عنوان بردار معمولی آن شما می توانید بردار جهت دهنده یک خط مستقیم را بگیرید. سپس
. از این رو،

بیایید یک نقطه پیدا کنیم
نقطه تلاقی این خط و صفحه P. برای این کار با استفاده از معادلات (10) معادلات پارامتریک خط را می نویسیم و به دست می آوریم.

از این رو،
.

اجازه دهید
نقطه متقارن به نقطه
نسبت به این خط سپس اشاره کنید
نقطه میانی
. برای یافتن مختصات یک نقطه ما از فرمول های مختصات نقطه میانی قطعه استفاده می کنیم:

,
,
.

بنابراین،
.

مسئله 76. معادله صفحه ای که از یک خط می گذرد را بنویسید
و

الف) از طریق یک نقطه
;

ب) عمود بر صفحه.

راه حل.اجازه دهید معادلات کلی این خط را بنویسیم. برای انجام این کار، دو برابری را در نظر بگیرید:

به این معنی که صفحه مورد نظر متعلق به دسته ای از صفحات با ژنراتور است و معادله آن را می توان به شکل (8) نوشت:

الف) بیایید پیدا کنیم
و از شرایطی که هواپیما از نقطه عبور کند
بنابراین، مختصات آن باید معادله هواپیما را برآورده کند. بیایید مختصات نقطه را جایگزین کنیم
به معادله یک دسته از هواپیماها:

ارزش یافت شده
بیایید آن را با معادله (12) جایگزین کنیم. معادله صفحه مورد نظر را بدست می آوریم:

ب) بیایید پیدا کنیم
و از شرایطی که صفحه مورد نظر عمود بر صفحه باشد. بردار نرمال یک صفحه معین
، بردار نرمال صفحه مورد نظر (به معادله دسته ای از صفحات (12) مراجعه کنید.

دو بردار عمود بر هم هستند اگر و فقط اگر حاصل ضرب نقطه آنها صفر باشد. از این رو،

بیایید مقدار پیدا شده را جایگزین کنیم
به معادله یک دسته از صفحات (12). معادله صفحه مورد نظر را بدست می آوریم:

مشکلاتی که باید به طور مستقل حل شوند

مسئله 77. معادله خطوط را به شکل متعارف کاهش دهید:

1)
2)

مسئله 78. معادلات پارامتری خط را بنویسید
، اگر:

1)
,
; 2)
,
.

مسئله 79. معادله صفحه ای که از نقطه عبور می کند را بنویسید
عمود بر یک خط مستقیم

مسئله 80. معادلات خطی را که از نقطه ای عبور می کند بنویسید
عمود بر صفحه

مسئله 81. زاویه بین خطوط را پیدا کنید:

1)
و
;

2)
و

مسئله 82. موازی بودن خطوط را ثابت کنید:

و
.

مسئله 83. عمود بودن خطوط را ثابت کنید:

و

مسئله 84. فاصله یک نقطه را محاسبه کنید
از خط مستقیم:

1)
; 2)
.

مسئله 85. فاصله بین خطوط موازی را محاسبه کنید:

و
.

مسئله 86. در معادلات خط
پارامتر را تعریف کنید به طوری که این خط با خط قطع می شود و نقطه تقاطع آنها را پیدا می کند.

مسئله 87. نشان دهید که مستقیم است
موازی با هواپیما
، و خط مستقیم
در این هواپیما نهفته است

مسئله 88. یک نقطه پیدا کن نقطه متقارن نسبت به هواپیما
، اگر:

1)
, ;

2)
, ;.

مسئله 89. معادله عمودی که از یک نقطه افتاده است را بنویسید
به طور مستقیم
.

مسئله 90. یک نقطه پیدا کن نقطه متقارن
نسبتا مستقیم
.

اوه-او-او-او-اوه... خوب، سخت است، انگار که داشت یک جمله را برای خودش می خواند =) با این حال، آرامش بعدا کمک خواهد کرد، به خصوص که امروز لوازم جانبی مناسب را خریدم. بنابراین، بیایید به بخش اول برویم، امیدوارم تا پایان مقاله روحیه شادی را حفظ کنم.

موقعیت نسبی دو خط مستقیم

این مورد زمانی است که مخاطب به صورت کر همراهی می کند. دو خط مستقیم می توانند:

1) مطابقت؛

2) موازی باشد: ;

3) یا در یک نقطه قطع شوند: .

کمک برای Dummies : لطفا علامت ریاضی را به خاطر بسپارید تقاطع ها، اغلب اتفاق خواهد افتاد. علامت گذاری به این معنی است که خط با خط در نقطه قطع می شود.

چگونه موقعیت نسبی دو خط را تعیین کنیم؟

بیایید با مورد اول شروع کنیم:

دو خط منطبق هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب متناظر آنها متناسب باشد، یعنی یک عدد "لامبدا" وجود داشته باشد که برابری ها برقرار باشد.

بیایید خطوط مستقیم را در نظر بگیریم و از ضرایب مربوطه سه معادله ایجاد کنیم: . از هر معادله نتیجه می شود که بنابراین، این خطوط بر هم منطبق هستند.

در واقع، اگر تمام ضرایب معادله ضرب در -1 (علائم تغییر)، و تمام ضرایب معادله برش 2، معادله یکسان را بدست می آورید: .

حالت دوم، زمانی که خطوط موازی هستند:

دو خط موازی هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب آنها از متغیرها متناسب باشد: ، ولی .

به عنوان مثال، دو خط مستقیم را در نظر بگیرید. تناسب ضرایب مربوطه را برای متغیرها بررسی می کنیم:

با این حال، کاملاً بدیهی است که.

و مورد سوم، هنگامی که خطوط قطع می شوند:

دو خط قطع می شوند اگر و تنها در صورتی که ضرایب آنها برای متغیرها متناسب نباشد، یعنی مقدار "لامبدا" وجود ندارد که برابری ها حفظ شوند.

بنابراین، برای خطوط مستقیم، ما یک سیستم ایجاد خواهیم کرد:

از معادله اول نتیجه می شود که , و از معادله دوم: , که به معنی سیستم ناسازگار است(بدون راه حل). بنابراین، ضرایب متغیرها متناسب نیستند.

نتیجه: خطوط همدیگر را قطع می کنند

در مسائل عملی، می توانید از طرح راه حلی که قبلاً در مورد آن بحث شد استفاده کنید. به هر حال، بسیار یادآور الگوریتم بررسی بردارها برای همخطی بودن است که در کلاس به آن نگاه کردیم. مفهوم وابستگی خطی (نا)بردارها. اساس بردارها. اما بسته بندی متمدن تری وجود دارد:

مثال 1

موقعیت نسبی خطوط را پیدا کنید:

راه حل مبتنی بر مطالعه بردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم است:

الف) از معادلات بردارهای جهت خطوط را پیدا می کنیم: .

یعنی بردارها خطی نیستند و خطوط همدیگر را قطع می کنند.

در هر صورت، سنگی با علائم سر چهارراه می گذارم:

بقیه از روی سنگ می پرند و ادامه می دهند، مستقیم به کشچه ای جاودانه =)

ب) بردارهای جهت خطوط را بیابید:

خطوط بردار جهت یکسانی دارند، به این معنی که آنها یا موازی هستند یا همزمان. در اینجا نیازی به شمارش تعیین کننده نیست.

بدیهی است که ضرایب مجهولات متناسب هستند و .

بیایید دریابیم که آیا برابری درست است یا خیر:

بدین ترتیب،

ج) بردارهای جهت خطوط را بیابید:

بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات این بردارها را محاسبه کنیم:
بنابراین، بردارهای جهت هم خط هستند. خطوط یا موازی هستند یا همزمان.

ضریب تناسب "لامبدا" مستقیماً از رابطه بردارهای جهت خطی قابل مشاهده است. با این حال، می توان آن را از طریق ضرایب خود معادلات نیز یافت: .

حال بیایید دریابیم که آیا برابری درست است یا خیر. هر دو عبارت رایگان صفر هستند، بنابراین:

مقدار حاصل این معادله را برآورده می کند (به طور کلی هر عددی آن را برآورده می کند).

بنابراین، خطوط منطبق هستند.

پاسخ :

خیلی زود یاد خواهید گرفت (یا حتی قبلاً یاد گرفته اید) مشکلی را که به صورت شفاهی مورد بحث قرار گرفته است را در عرض چند ثانیه حل کنید. در این زمینه، من هیچ فایده ای برای ارائه یک راه حل مستقل نمی بینم، بهتر است یک آجر مهم دیگر در زیربنای هندسی قرار دهیم:

چگونه یک خط موازی با یک خط داده شده بسازیم؟

به دلیل ناآگاهی از این ساده ترین کار، بلبل دزد به شدت مجازات می کند.

مثال 2

خط مستقیم با معادله به دست می آید. برای خط موازی که از نقطه عبور می کند معادله بنویسید.

راه حل: بیایید خط مجهول را با حرف نشان دهیم. شرایط در مورد او چه می گوید؟ خط مستقیم از نقطه عبور می کند. و اگر خطوط موازی باشند، بدیهی است که بردار جهت خط مستقیم "tse" برای ساخت خط مستقیم "de" نیز مناسب است.

بردار جهت را از معادله خارج می کنیم:

پاسخ :

هندسه مثال ساده به نظر می رسد:

تست تحلیلی شامل مراحل زیر است:

1) بررسی می کنیم که خطوط بردار جهت یکسانی داشته باشند (اگر معادله خط به درستی ساده نشده باشد، بردارها هم خط خواهند بود).

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله حاصل را برآورده می کند یا خیر.

در بیشتر موارد، تست تحلیلی را می توان به راحتی به صورت شفاهی انجام داد. به دو معادله نگاه کنید، بسیاری از شما به سرعت موازی خطوط را بدون هیچ ترسیمی تعیین خواهید کرد.

نمونه هایی برای راه حل های مستقل امروز خلاقانه خواهد بود. زیرا شما همچنان باید با بابا یاگا رقابت کنید و او، می دانید، عاشق انواع معماها است.

مثال 3

برای خطی که از نقطه ای موازی با خط if می گذرد معادله بنویسید

یک راه منطقی و نه چندان منطقی برای حل آن وجود دارد. کوتاه ترین راه در پایان درس است.

ما کمی با خطوط موازی کار کردیم و بعداً به آنها باز خواهیم گشت. مورد خطوط منطبق چندان جالب نیست، بنابراین بیایید مشکلی را در نظر بگیریم که از برنامه درسی مدرسه برای شما بسیار آشناست:

چگونه نقطه تلاقی دو خط را پیدا کنیم؟

اگر مستقیم در نقطه ای قطع می شود، سپس مختصات آن راه حل است سیستم های معادلات خطی

چگونه نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنیم؟ سیستم را حل کنید.

در اینجا معنای هندسی یک سیستم از دو معادله خطی با دو مجهول است - این دو خط متقاطع (اغلب) در یک هواپیما هستند.

مثال 4

نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید

راه حل: دو راه برای حل وجود دارد - گرافیکی و تحلیلی.

روش گرافیکی این است که به سادگی خطوط داده شده را رسم کنید و نقطه تقاطع را مستقیماً از نقاشی پیدا کنید:

نکته ما اینجاست: . برای بررسی، باید مختصات آن را در هر معادله خط جایگزین کنید. به عبارت دیگر مختصات یک نقطه راه حلی برای سیستم است. در اصل، ما به یک راه حل گرافیکی نگاه کردیم سیستم های معادلات خطیبا دو معادله، دو مجهول.

روش گرافیکی البته بد نیست، اما معایب قابل توجهی دارد. نه، نکته این نیست که دانش آموزان کلاس هفتم اینگونه تصمیم می گیرند، نکته این است که ایجاد یک نقاشی صحیح و دقیق زمان می برد. علاوه بر این، ساختن برخی از خطوط مستقیم چندان آسان نیست و خود نقطه تقاطع ممکن است جایی در سی ام پادشاهی خارج از برگه دفترچه یادداشت قرار داشته باشد.

بنابراین، جستجوی نقطه تقاطع با استفاده از روش تحلیلی به مصلحت‌تر است. بیایید سیستم را حل کنیم:

برای حل سیستم از روش جمع ترم به ترم معادلات استفاده شد. برای توسعه مهارت های مرتبط، یک درس بخوانید چگونه یک سیستم معادلات را حل کنیم؟

پاسخ :

بررسی بی اهمیت است - مختصات نقطه تقاطع باید هر معادله سیستم را برآورده کند.

مثال 5

نقطه تلاقی خطوط را در صورت قطع آنها پیدا کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. تقسیم کار به چند مرحله راحت است. تجزیه و تحلیل وضعیت نشان می دهد که لازم است:
1) معادله خط مستقیم را بنویسید.
2) معادله یک خط مستقیم ایجاد کنید.
3) موقعیت نسبی خطوط را پیدا کنید.
4) اگر خطوط همدیگر را قطع کنند، نقطه تلاقی را پیدا کنید.

توسعه یک الگوریتم عمل برای بسیاری از مسائل هندسی معمولی است، و من بارها بر این موضوع تمرکز خواهم کرد.

حل کامل و پاسخ در پایان درس:

قبل از اینکه به بخش دوم درس برسیم، حتی یک جفت کفش کهنه نشده بود:

خطوط عمود بر هم. فاصله از یک نقطه تا یک خط.
زاویه بین خطوط مستقیم

بیایید با یک کار معمولی و بسیار مهم شروع کنیم. در قسمت اول یاد گرفتیم که چگونه یک خط مستقیم به موازات این یکی بسازیم و اکنون کلبه روی پای مرغ 90 درجه خواهد چرخید:

چگونه یک خط عمود بر یک معین بسازیم؟

مثال 6

خط مستقیم با معادله به دست می آید. معادله ای عمود بر خطی که از نقطه عبور می کند بنویسید.

راه حل: با شرط معلوم است که . خوب است که بردار هدایت خط را پیدا کنید. از آنجایی که خطوط عمود هستند، ترفند ساده است:

از معادله، بردار نرمال: را حذف می کنیم که بردار جهت دهنده خط مستقیم خواهد بود.

بیایید با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت، معادله یک خط مستقیم را بسازیم:

پاسخ :

بیایید طرح هندسی را گسترش دهیم:

هوم... آسمان نارنجی، دریای نارنجی، شتر نارنجی.

بررسی تحلیلی راه حل:

1) بردارهای جهت را از معادلات خارج می کنیم و با کمک حاصل ضرب اسکالر بردارهاما به این نتیجه می رسیم که خطوط در واقع عمود هستند: .

به هر حال، می توانید از بردارهای معمولی استفاده کنید، حتی ساده تر است.

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله حاصل را برآورده می کند یا خیر .

آزمایش، دوباره، به راحتی به صورت شفاهی انجام می شود.

مثال 7

اگر معادله مشخص باشد، نقطه تلاقی خطوط عمود بر هم را پیدا کنید و دوره

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. چندین عمل در مسئله وجود دارد، بنابراین فرموله کردن راه حل نقطه به نقطه راحت است.

سفر هیجان انگیز ما ادامه دارد:

فاصله از نقطه به خط

روبروی ما یک نوار مستقیم از رودخانه است و وظیفه ما این است که از کوتاه ترین مسیر به آن برسیم. هیچ مانعی وجود ندارد و بهینه ترین مسیر حرکت در امتداد عمود خواهد بود. یعنی فاصله یک نقطه تا یک خط طول پاره عمود بر هم است.

فاصله در هندسه به طور سنتی با حرف یونانی "rho" نشان داده می شود، به عنوان مثال: - فاصله از نقطه "em" تا خط مستقیم "de".

فاصله از نقطه به خط با فرمول بیان می شود

مثال 8

فاصله یک نقطه تا یک خط را پیدا کنید

راه حل: تنها کاری که باید انجام دهید این است که اعداد را با دقت در فرمول جایگزین کرده و محاسبات را انجام دهید:

پاسخ :

بیایید نقاشی را انجام دهیم:

فاصله یافت شده از نقطه تا خط دقیقاً به اندازه طول قطعه قرمز است. اگر نقاشی را روی کاغذ شطرنجی در مقیاس 1 واحد بکشید. = 1 سانتی متر (2 سلول)، سپس فاصله را می توان با یک خط کش معمولی اندازه گیری کرد.

بیایید کار دیگری را بر اساس همان نقاشی در نظر بگیریم:

وظیفه یافتن مختصات نقطه ای است که با نقطه نسبت به خط مستقیم متقارن است . من پیشنهاد می‌کنم مراحل را خودتان انجام دهید، اما یک الگوریتم راه‌حل با نتایج متوسط ​​را شرح می‌دهم:

1) خطی را پیدا کنید که عمود بر خط باشد.

2) نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید: .

هر دو عمل به تفصیل در این درس مورد بحث قرار می گیرند.

3) نقطه نقطه وسط قطعه است. مختصات وسط و یکی از انتها را می دانیم. توسط فرمول مختصات نقطه میانی یک قطعهما پیدا می کنیم .

بهتر است بررسی کنید که فاصله نیز 2.2 واحد باشد.

در اینجا ممکن است مشکلاتی در محاسبات ایجاد شود، اما یک ریز محاسبه گر کمک بزرگی در برج است و به شما امکان می دهد کسرهای معمولی را محاسبه کنید. من بارها به شما توصیه کرده ام و دوباره به شما توصیه می کنم.

چگونه فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنیم؟

مثال 9

فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنید

این مثال دیگری برای تصمیم گیری شماست. من به شما یک اشاره کوچک می کنم: راه های بی نهایت زیادی برای حل این مشکل وجود دارد. خلاصه در پایان درس، اما بهتر است سعی کنید خودتان حدس بزنید، فکر می کنم نبوغ شما به خوبی توسعه یافته است.

زاویه بین دو خط مستقیم

هر گوشه ای یک گیره است:


در هندسه، زاویه بین دو خط مستقیم، زاویه کوچکتر در نظر گرفته می شود، که از آن به طور خودکار نتیجه می شود که نمی تواند مبهم باشد. در شکل، زاویه نشان داده شده با قوس قرمز، زاویه بین خطوط متقاطع در نظر گرفته نمی شود. و همسایه "سبز" او یا مخالف جهت گیریگوشه "تمشک".

اگر خطوط عمود باشند، هر یک از 4 زاویه را می توان به عنوان زاویه بین آنها در نظر گرفت.

زاویه ها چگونه متفاوت است؟ گرایش. اولاً، جهتی که در آن زاویه "پیمایش" می شود اساساً مهم است. ثانیا، یک زاویه جهت منفی با علامت منفی نوشته می شود، برای مثال اگر .

چرا این را به شما گفتم؟ به نظر می رسد که می توانیم با مفهوم معمول زاویه کنار بیاییم. واقعیت این است که فرمول هایی که با آنها زاویه پیدا می کنیم به راحتی می توانند نتیجه منفی داشته باشند و این نباید شما را غافلگیر کند. زاویه ای با علامت منفی بدتر نیست و معنای هندسی بسیار خاصی دارد. در طراحی، برای زاویه منفی، حتما جهت آن را با یک فلش (در جهت عقربه های ساعت) نشان دهید.

چگونه زاویه بین دو خط مستقیم را پیدا کنیم؟ دو فرمول کار وجود دارد:

مثال 10

زاویه بین خطوط را پیدا کنید

راه حل و روش اول

بیایید دو خط مستقیم را در نظر بگیریم که با معادلات به صورت کلی تعریف شده اند:

اگر خطوط عمود نباشند، پس جهت دارزاویه بین آنها را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

بیایید به مخرج بسیار توجه کنیم - این دقیقاً همین است حاصلضرب عددیبردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم:

اگر، مخرج فرمول صفر می شود و بردارها متعامد و خطوط عمود می شوند. به همین دلیل است که در مورد عمود نبودن خطوط مستقیم در فرمول بندی قید شد.

بر اساس موارد فوق، رسمی کردن راه حل در دو مرحله راحت است:

1) بیایید حاصل ضرب اسکالر بردارهای جهت خطوط را محاسبه کنیم:
یعنی خطوط عمود نیستند.

2) زاویه بین خطوط مستقیم را با استفاده از فرمول پیدا کنید:

با استفاده از تابع معکوس، به راحتی می توان خود زاویه را پیدا کرد. در این مورد، ما از عجیب و غریب بودن مماس قوس استفاده می کنیم (نگاه کنید به. نمودارها و خواص توابع ابتدایی ):

پاسخ :

در پاسخ شما، مقدار دقیق و همچنین مقدار تقریبی (ترجیحاً در هر دو درجه و رادیان) را که با استفاده از ماشین حساب محاسبه می شود، نشان می دهیم.

خوب، منهای، منهای، چیز مهمی نیست. در اینجا یک تصویر هندسی است:

تعجب آور نیست که زاویه دارای جهت منفی است، زیرا در بیان مسئله، عدد اول یک خط مستقیم است و "باز کردن" زاویه دقیقاً با آن آغاز شد.

اگر واقعاً می خواهید زاویه مثبت بگیرید، باید خطوط را عوض کنید، یعنی ضرایب را از معادله دوم بگیرید. ، و ضرایب را از معادله اول بگیرید. به طور خلاصه، شما باید با یک مستقیم شروع کنید .