Limita la sequenza degli esempi di soluzione. Limite di sequenza - teoremi e proprietà di base
Xn elementi o membri della sequenza, n - membri della sequenza. Se la funzione f (n) è data analiticamente, cioè da una formula, allora xn = f (n) è chiamata la formula di un membro della successione.
Il numero a si dice limite della successione (xn) se per ogni ε> 0 esiste un numero n = n (ε) a partire dal quale la disuguaglianza |xn-a |
Esempio 2. Dimostrare che nelle condizioni dell'Esempio 1 il numero a = 1 non è il limite della sequenza dell'esempio precedente. Soluzione. Semplifica nuovamente il termine comune. Prendi ε = 1 (qualsiasi numero>
I compiti di calcolare direttamente il limite di una sequenza sono piuttosto monotoni. Contengono tutti rapporti di polinomi rispetto a n o espressioni irrazionali rispetto a questi polinomi. Quando si inizia a risolvere, posizionare la componente in grado più alto fuori dalle parentesi (il segno del radicale). Sia per il numeratore dell'espressione originale questo porterà alla comparsa del fattore a ^ p, e per il denominatore b ^ q. Ovviamente tutti i restanti termini hanno la forma С / (n-k) e tendono a zero per n>
Il primo modo per calcolare il limite di una sequenza si basa sulla sua definizione. È vero, va ricordato che non dà vie di ricerca diretta del limite, ma permette solo di provare che un certo numero a è (o non è) un limite Esempio 1. Dimostrare che la sequenza (xn) = ( (3n ^ 2-2n -1) / (n ^ 2-n-2)) ha un limite di a = 3. Soluzione. Eseguire la dimostrazione applicando la definizione in ordine inverso. Cioè, da destra a sinistra. Controlla prima se non c'è modo di semplificare la formula per xn.хn = (3n ^ 2 + 4n + 2) / (n ^ 2 + 3n22) = ((3n + 1) (n + 1)) / ((n + 2) (n + 1)) =) = (3n + 1) / (n + 2) Considera la disuguaglianza | (3n + 1) / (n + 2) -3 | 0 puoi trovare qualsiasi numero naturale nε maggiore di -2+ 5 / .
Esempio 2. Dimostrare che nelle condizioni dell'Esempio 1 il numero a = 1 non è il limite della sequenza dell'esempio precedente. Soluzione. Semplifica nuovamente il termine comune. Prendi ε = 1 (qualsiasi numero > 0) Scrivi la disuguaglianza conclusiva della definizione generale | (3n + 1) / (n + 2) -1 |
I compiti di calcolare direttamente il limite di una sequenza sono piuttosto monotoni. Contengono tutti rapporti di polinomi rispetto a n o espressioni irrazionali rispetto a questi polinomi. Quando si inizia a risolvere, posizionare la componente in grado più alto fuori dalle parentesi (il segno del radicale). Sia per il numeratore dell'espressione originale questo porterà alla comparsa del fattore a ^ p, e per il denominatore b ^ q. Ovviamente tutti i restanti termini hanno la forma С / (n-k) e tendono a zero per n> k (n tende all'infinito). Quindi scrivi la risposta: 0 se pq.
Indichiamo un modo non tradizionale di trovare il limite di una successione e di somme infinite. Useremo sequenze funzionali (i loro membri della funzione sono definiti su un certo intervallo (a, b)) Esempio 3. Trova una somma della forma 1 + 1/2! +1/3! +… + 1 / n! +… = S. Soluzione. Qualsiasi numero a ^ 0 = 1. Metti 1 = exp (0) e considera la sequenza di funzioni (1 + x + x ^ 2/2! + X ^ 3/3! +… + X ^ / n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}
Vengono fornite le formulazioni dei principali teoremi e proprietà delle successioni numeriche aventi un limite. Contiene la definizione della sequenza e il suo limite. Si considerano operazioni aritmetiche con successioni, proprietà relative alle disequazioni, criteri di convergenza, proprietà di successioni infinitesimali e infinitamente grandi.
ContenutoProprietà ai limiti finiti delle sequenze
Proprietà di base
Il punto a è il limite della successione se e solo se al di fuori di qualsiasi intorno di questo punto è numero finito di elementi sequenze o insieme vuoto.
Se il numero a non è il limite della successione, allora esiste un intorno del punto a, al di fuori del quale esiste numero infinito di elementi in una sequenza.
Teorema di unicità per il limite di una sequenza numerica... Se la sequenza ha un limite, allora è l'unica.
Se la successione ha un limite finito, allora limitato.
Se ogni elemento della sequenza è uguale allo stesso numero C: allora questa sequenza ha un limite pari al numero C.
Se la sequenza aggiungi, scarta o cambia i primi m elementi, allora questo non influenzerà la sua convergenza.
Prove delle principali proprietà sono riportati sulla pagina
Proprietà fondamentali dei limiti finiti di successioni >>>.
Operazioni aritmetiche con limiti
Ci siano limiti finiti e successioni e. E sia C una costante, cioè un numero dato. Quindi
;
;
;
, Se .
Nel caso del quoziente si assume che per tutti i n.
Se poi.
Dimostrazioni di proprietà aritmetiche sono riportati sulla pagina
Proprietà aritmetiche dei limiti finiti di successioni >>>.
Proprietà di disuguaglianza
Se gli elementi della successione, a partire da un numero, soddisfano la disuguaglianza, allora anche il limite a di questa successione soddisfa la disuguaglianza.
Se gli elementi della sequenza, a partire da un numero, appartengono ad un intervallo chiuso (segmento), allora anche il limite a appartiene a questo intervallo:.
Se e e gli elementi delle successioni, a partire da un numero, soddisfano la disuguaglianza, allora.
Se e, a partire da un numero, allora.
In particolare, se, partendo da un numero, allora
se poi;
se poi.
Se e, allora.
Lascia e. Se un < b , allora esiste un numero naturale N tale che per ogni n > N la disuguaglianza vale.
Prove di proprietà relative alle disuguaglianze sono riportati sulla pagina
Proprietà dei limiti di sequenza relative alle disuguaglianze >>>.
Sequenze infinitamente grandi e infinitamente piccole
Sequenza infinitamente piccola
Una successione infinitesimale è una successione il cui limite è zero:.
Somma e differenza di un numero finito di successioni infinitesimali è una successione infinitesimale.
Prodotto a sequenza limitata per infinitesimale è una successione infinitamente piccola.
Prodotto finito una successione infinitesimale è una successione infinitesimale.
Perché una successione abbia un limite a, è necessario e sufficiente che, dove è una successione infinitamente piccola.
Dimostrazioni di proprietà di successioni infinitesimali sono riportati sulla pagina
Successioni infinitesime - Definizione e proprietà >>>.
Sequenza infinitamente grande
Una sequenza infinitamente grande è una sequenza che ha un limite infinitamente grande. Cioè, se per ogni numero positivo esiste un numero naturale N dipendente da tale che per tutti i numeri naturali la disuguaglianza.
In questo caso, scrivi
.
O a.
Dicono che tenda all'infinito.
Se, partendo da un numero N, allora
.
Se poi
.
Se le successioni sono infinitamente grandi, allora, partendo da un numero N, si definisce una successione infinitamente piccola. Se sono una sequenza infinitamente piccola con elementi diversi da zero, allora la sequenza è infinitamente grande.
Se la successione è infinitamente grande e la successione è limitata, allora
.
Se i valori assoluti degli elementi della sequenza sono delimitati dal basso da un numero positivo () ed è infinitesimo con elementi non uguali a zero, allora
.
Nei dettagli definizione di una sequenza infinitamente grande con esempiè dato sulla pagina
Definizione di una successione infinitamente grande >>>.
Dimostrazioni di proprietà di successioni infinitamente grandi sono riportati sulla pagina
Proprietà delle sequenze infinitamente grandi >>>.
Criteri di convergenza per le sequenze
Sequenze monotone
Una sequenza strettamente crescente è una sequenza per tutti gli elementi di cui valgono le seguenti disuguaglianze:.
Altre sequenze monotone sono definite da disuguaglianze simili.
Sequenza strettamente discendente:
.
Sequenza non decrescente:
.
Sequenza non crescente:
.
Ne segue che una sequenza strettamente crescente è anche non decrescente. Una sequenza strettamente decrescente è anche non crescente.
Una sequenza monotona è una sequenza non decrescente o non crescente.
Una sequenza monotona è limitata, almeno da un lato, da un valore. La sequenza non decrescente è limitata dal basso:. La sequenza non crescente è limitata dall'alto:.
Teorema di Weierstrass... Perché una successione non decrescente (non crescente) abbia un limite finito, è necessario e sufficiente che sia limitata dall'alto (dal basso). Qui M è un numero.
Poiché qualsiasi sequenza non decrescente (non crescente) è limitata dal basso (dall'alto), il teorema di Weierstrass può essere riformulato come segue:
Perché una successione monotona abbia un limite finito, è necessario e sufficiente che sia limitata:.
Sequenza illimitata monotona ha un limite infinito, uguale per una sequenza non decrescente e non crescente.
Dimostrazione del teorema di Weierstrass dato sulla pagina
Teorema di Weierstrass sul limite di una successione monotona >>>.
Il criterio di Cauchy per la convergenza di una successione
Condizione cauchyLa sequenza soddisfa la condizione di Cauchy se per qualsiasi esiste un numero naturale tale che per tutti i numeri naturali n e m che soddisfano la condizione, la disuguaglianza
.
Una sequenza fondamentale è una sequenza che soddisfa la condizione di Cauchy.
Il criterio di Cauchy per la convergenza di una successione... Perché una successione abbia un limite finito, è necessario e sufficiente che soddisfi la condizione di Cauchy.
Dimostrazione del criterio di convergenza di Cauchy dato sulla pagina
Criterio di Cauchy per la convergenza di una successione >>>.
sottosequenze
Bolzano - Teorema di Weierstrass... Una sottosequenza convergente può essere selezionata da qualsiasi successione limitata. E da qualsiasi sequenza illimitata - una sottosequenza infinitamente grande che converge a o a.
Dimostrazione del teorema di Bolzano - Weierstrass dato sulla pagina
Bolzano - Teorema di Weierstrass >>>.
Per definizioni, teoremi e proprietà di sottosuccessioni e limiti parziali, vedere pagina
Sottosuccessioni e limiti parziali di successioni >>>.
Riferimenti:
CM. Nikolsky. Il corso di analisi matematica. Volume 1.Mosca, 1983.
l.d. Kudryavtsev. Il corso di analisi matematica. Volume 1.Mosca, 2003.
V.A. Zorico. Analisi matematica. Parte 1. Mosca, 1997.
V.A. Ilyin, E.G. Poznyak. Fondamenti di analisi matematica. Parte 1. Mosca, 2005.
Limite di sequenza numerica- il limite della sequenza di elementi dello spazio numerico. Lo spazio dei numeri è uno spazio metrico, la cui distanza è definita come il modulo della differenza tra gli elementi. Pertanto, il numero è chiamato limite di sequenza se per qualsiasi esiste un numero dipendente da tale che per qualsiasi vale la disuguaglianza.
Il concetto di limite di una sequenza di numeri reali è abbastanza semplice e, nel caso di numeri complessi, l'esistenza di un limite di una sequenza equivale all'esistenza di limiti delle corrispondenti sequenze di parti reali e immaginarie di numeri complessi .
Il limite (sequenza numerica) è uno dei concetti base dell'analisi matematica. Ogni numero reale può essere rappresentato come il limite della sequenza di approssimazioni al valore desiderato. Il sistema numerico fornisce questa sequenza di qualifiche. Gli interi irrazionali sono descritti da sequenze periodiche di approssimazioni, mentre i numeri irrazionali sono descritti da sequenze di approssimazioni non periodiche.
Nei metodi numerici, dove viene utilizzata la rappresentazione di numeri con un numero finito di segni, la scelta del sistema di approssimazione gioca un ruolo speciale. Il criterio per la qualità del sistema di approssimazioni è il tasso di convergenza. A questo proposito, le frazioni continue sono efficaci.
Definizione
Il numero si chiama il limite della sequenza numerica se la successione è infinitesima, cioè tutti i suoi elementi, a partire da alcuni, sono in valore assoluto inferiori a qualsiasi numero positivo preso a priori.
Se una sequenza numerica ha un limite sotto forma di numero reale, si chiama convergente a questo numero. In caso contrario, la sequenza è chiamata divergente ... Se, inoltre, è illimitato, allora si assume che il suo limite sia uguale all'infinito.
Inoltre, se tutti gli elementi di una successione illimitata, a partire da un numero, hanno segno positivo, allora si dice che il limite di tale successione è più infinito .
Se gli elementi di una sequenza illimitata, che iniziano con un certo numero, hanno segno negativo, allora dicono che il limite di tale sequenza è meno infinito .
Questa definizione ha un difetto fatale: spiega cos'è un limite, ma non fornisce un modo per calcolarlo, né informazioni sulla sua esistenza. Tutto questo si deduce dalle proprietà del limite di seguito dimostrate.
Oggi nella lezione analizzeremo sequenza rigorosa e definizione rigorosa del limite di una funzione, e anche imparare a risolvere i corrispondenti problemi di natura teorica. L'articolo è destinato, prima di tutto, agli studenti del 1° anno di scienze naturali e specialità ingegneristiche e tecniche, che hanno iniziato a studiare la teoria dell'analisi matematica e hanno incontrato difficoltà nella comprensione di questa sezione della matematica superiore. Inoltre, il materiale è abbastanza accessibile agli studenti delle scuole superiori.
Nel corso degli anni di esistenza del sito, ho ricevuto una dozzina di lettere di circa il seguente contenuto: "Non capisco l'analisi matematica, cosa dovrei fare?", "Non capisco affatto matan, penso che lasciare gli studi”, ecc. Infatti, è il matan che spesso dirada il gruppo studentesco dopo la primissima sessione. Perché questo è il caso? Perché l'argomento è incredibilmente difficile? Affatto! La teoria dell'analisi matematica non è tanto difficile quanto peculiare... E devi accettarla e amarla per quello che è =)
Cominciamo dal caso peggiore. Prima di tutto, non c'è bisogno di lasciare la scuola. Comprendi correttamente, smettere, sarà sempre in tempo ;-) Certo, se dopo un anno o due ti senti male per la specialità scelta, allora sì, dovresti pensarci (e non frustare la febbre!) circa un cambio di attività. Ma per ora vale la pena continuare. E, per favore, dimentica la frase "Non capisco niente" - non succede che tu non capisca AFFATTO niente.
E se la teoria fosse sbagliata? Per inciso, questo vale non solo per l'analisi matematica. Se la teoria è sbagliata, prima devi mettere SERIAMENTE in pratica. Allo stesso tempo, due compiti strategici vengono risolti contemporaneamente:
- In primo luogo, una parte significativa delle conoscenze teoriche derivava dalla pratica. E quindi, molte persone capiscono la teoria attraverso ... - Esatto! No, no, non ci stavi pensando =)
- E, in secondo luogo, è probabile che le abilità pratiche ti "allungano" durante l'esame, anche se ..., ma non sintonizziamoci così! Tutto è reale e tutto può essere davvero "sollevato" in un tempo abbastanza breve. L'analisi matematica è la mia branca preferita della matematica superiore, e quindi semplicemente non ho potuto fare a meno di darti una mano:
All'inizio del 1° semestre vengono generalmente superati i limiti di sequenza e di funzione. Non capisci cosa sono e non sai come risolverli? Inizia con un articolo Limiti di funzione, in cui "sulle dita" viene considerato il concetto stesso e vengono analizzati gli esempi più semplici. Quindi lavora su altre lezioni sull'argomento, inclusa una lezione su all'interno di sequenze su cui ho infatti già formulato una definizione rigorosa.
Quali icone conosci oltre alle disuguaglianze e al modulo?
- un lungo bastone verticale recita così: "Tale quello", "tale quello", "tale quello" o "tale quello", nel nostro caso, ovviamente, si tratta di un numero - quindi "tale che";
- per tutti "en", maggiore di;
– segno modulo significa distanza, cioè. questa voce ci dice che la distanza tra i valori è inferiore a epsilon.
È mortalmente difficile? =)
Dopo aver imparato la pratica, ti aspetto nel prossimo paragrafo:
E infatti, pensiamo un po': come formulare una definizione rigorosa di una sequenza? ...La prima cosa che mi viene in mente al mondo formazione pratica: "Il limite di una sequenza è il numero a cui i membri della sequenza sono infinitamente vicini."
Ok, firmiamo sotto sequenza :
Non è difficile capirlo sotto sequenza 
sono infinitamente vicini a -1 e i termini pari 
- a "uno".
O forse ci sono due limiti? Ma allora perché una sequenza non può avere dieci o venti? Questo può andare lontano. A questo proposito, è logico supporre che se la sequenza ha un limite, allora è l'unica.
Nota : la sequenza non ha limite, ma da essa si possono distinguere due sottosequenze (vedi sopra), ognuna delle quali ha un proprio limite.
Pertanto, la definizione di cui sopra risulta insostenibile. Sì, funziona per casi come (che non ho usato correttamente nelle spiegazioni semplificate di esempi pratici), ma ora dobbiamo trovare una definizione rigorosa.
Secondo tentativo: “il limite della sequenza è il numero al quale TUTTI i membri della sequenza si avvicinano, tranne forse il loro il finale quantità”. Questo è più vicino alla verità, ma ancora non del tutto accurato. Quindi, per esempio, la sequenza 
la metà dei membri non si avvicina affatto allo zero - sono semplicemente uguali ad esso =) A proposito, il "lampeggiatore" generalmente prende due valori fissi.
La formulazione non è difficile da chiarire, ma poi sorge un'altra domanda: come scrivere la definizione in segni matematici? Il mondo scientifico ha combattuto a lungo su questo problema fino a quando la situazione non si è risolta famoso maestro, che, in sostanza, formalizzava il calcolo classico in tutto il suo rigore. Cauchy si è offerto di operare dintorni , che ha notevolmente avanzato la teoria.
Considera un certo punto e il suo arbitrario-quartiere:
Il significato di "epsilon" è sempre positivo e, inoltre, abbiamo il diritto di sceglierlo noi stessi... Supponiamo che in un dato intorno ci siano un insieme di termini (non necessariamente tutti) una certa sequenza. Come annotare il fatto che, ad esempio, il decimo membro è entrato nel quartiere? Lascia che sia sul lato destro di esso. Quindi la distanza tra i punti dovrebbe essere inferiore a "epsilon":. Tuttavia, se "x decimo" si trova a sinistra del punto "a", la differenza sarà negativa e quindi è necessario aggiungere un segno modulo: .
Definizione: il numero si chiama limite della sequenza se per ogni i suoi dintorni (preselezionato) esiste un numero naturale - TALE che TUTTI i membri della sequenza con i numeri più alti saranno all'interno del quartiere:
O in breve: se
In altre parole, non importa quanto piccolo sia il valore di "epsilon" che prendiamo, prima o poi la "coda infinita" della sequenza sarà COMPLETAMENTE in questo quartiere.
Quindi, per esempio, la "coda infinita" della sequenza COMPLETAMENTE entra in qualsiasi quartiere arbitrariamente piccolo del punto. Quindi, questo valore è il limite della sequenza per definizione. Come promemoria, viene chiamata una sequenza il cui limite è zero infinitesimale.
Da notare che per la sequenza non è più possibile dire “coda infinita verrà"- i membri con numeri dispari sono infatti uguali a zero e" non vanno da nessuna parte "=) Ecco perché il verbo" apparirà "è usato nella definizione. E, naturalmente, i membri di una tale sequenza come anche "non vanno da nessuna parte". A proposito, controlla se il numero è il limite.
Ora mostreremo che la sequenza non ha limiti. Consideriamo, ad esempio, un intorno di un punto. È abbastanza chiaro che non esiste un tale numero dopo il quale TUTTI i membri saranno in un dato quartiere - i membri dispari "saltano sempre" a "meno uno". Per un motivo simile, non c'è limite al punto.
Fissiamo il materiale con la pratica:
Esempio 1
Dimostrare che il limite della sequenza è zero. Specificare il numero dopo il quale è garantito che tutti i membri della sequenza si trovino all'interno di qualsiasi -vicinato arbitrariamente piccolo del punto.
Nota : per molte sequenze, il numero naturale desiderato dipende dal valore - da qui la notazione.
Soluzione: tener conto di arbitrario è lì numero - in modo tale che TUTTI i membri con numeri più alti si trovino all'interno di questo quartiere:
Per mostrare l'esistenza del numero desiderato, esprimiamo attraverso.
Poiché per qualsiasi valore di "en", il segno del modulo può essere rimosso:
Usiamo le azioni "scuola" con le disuguaglianze, che ho ripetuto nelle lezioni Disuguaglianze lineari e Ambito della funzione... In questo caso, una circostanza importante è che "epsilon" e "en" sono positivi:
Poiché a sinistra stiamo parlando di numeri naturali e il lato destro è generalmente frazionario, allora deve essere arrotondato:
Nota : a volte un'unità viene aggiunta a destra per essere al sicuro, ma questo è in realtà un eccesso. Relativamente parlando, se indeboliamo anche il risultato arrotondando per difetto, il numero adatto più vicino ("tre") soddisferà comunque la disuguaglianza originale.
Ora guardiamo alla disuguaglianza e ricordiamo che inizialmente abbiamo considerato arbitrario-quartiere, ad es. Epsilon può essere uguale a qualunque un numero positivo.
Produzione: per ogni -vicinato arbitrariamente piccolo del punto, il valore 
... Quindi, il numero è il limite della sequenza per definizione. Q.E.D.
A proposito, dal risultato ottenuto 
una regolarità naturale è chiaramente visibile: più piccolo è il quartiere, maggiore è il numero, dopodiché TUTTI i membri della sequenza saranno nel dato quartiere. Ma non importa quanto piccola sia la "epsilon", ci sarà sempre una "coda infinita" all'interno e all'esterno - anche se è grande, comunque il finale numero di membri.
Come sono le tue impressioni? =) Sono d'accordo che è strano. Ma rigorosamente! Si prega di rileggere e comprendere di nuovo tutto.
Diamo un'occhiata a un esempio simile ed esploriamo altre tecniche:
Esempio 2
Soluzione: per la definizione della sequenza, è necessario dimostrare che (lo diciamo ad alta voce!!!).
Tener conto di arbitrario-l'intorno del punto e verificare se esiste? numero naturale - tale che per tutti i grandi numeri è soddisfatta la seguente disuguaglianza: 
Per mostrare l'esistenza di tale, è necessario esprimere "en" attraverso "epsilon". Semplifichiamo l'espressione sotto il segno del modulo: 
Il modulo distrugge il segno meno: 
Il denominatore è positivo per qualsiasi "en", quindi i bastoncini possono essere rimossi:
Riordino: 
Ora dobbiamo estrarre la radice quadrata, ma il problema è che per alcuni epsilon il lato destro sarà negativo. Per evitare questo problema rafforzerà disuguaglianza del modulo: 
Perché questo può essere fatto? Se, condizionatamente parlando, si scopre che, allora ancora di più la condizione sarà soddisfatta. Il modulo può solo aumentare numero ricercato, e anche questo andrà bene per noi! In parole povere, se il centesimo è adatto, allora il 200 lo farà! Secondo la definizione, è necessario mostrare il fatto stesso dell'esistenza del numero(almeno alcuni), dopo di che tutti i membri della sequenza saranno nel -vicinato. A proposito, questo è il motivo per cui non abbiamo paura dell'arrotondamento finale del lato destro.
Estrai la radice: 
E completa il risultato: 
Produzione: da il valore "epsilon" è stato scelto arbitrariamente, quindi per qualsiasi intorno arbitrariamente piccolo del punto, è stato trovato il valore 
, tale che per tutti i grandi numeri la disuguaglianza 
... Così, 
un priorato. Q.E.D.
Avvisare specialmente per comprendere il rafforzamento e l'indebolimento delle disuguaglianze - questi sono metodi tipici e molto comuni di analisi matematica. L'unica cosa che devi monitorare è la correttezza di questa o quell'azione. Quindi, per esempio, la disuguaglianza 
in nessuna circostanza allentare sottraendo, diciamo, uno: 
Ancora una volta, in modo condizionale: se il numero si adatta esattamente, il precedente potrebbe non adattarsi più.
L'esempio seguente è per una soluzione fai-da-te:
Esempio 3
Usando la definizione di successione, prova che 
Una breve soluzione e risposta alla fine del tutorial.
Se la sequenza infinitamente grande, allora la definizione del limite è formulata in modo simile: un punto è chiamato limite della successione, se esiste, grande quanto vuoi numero, c'è un numero tale che per tutti i numeri più grandi, la disuguaglianza sarà valida. Il numero si chiama la vicinanza del punto "più infinito":
In altre parole, non importa quanto grande sia il valore che assumiamo, la "coda infinita" della sequenza andrà necessariamente alla -vicinanza del punto, lasciando solo un numero finito di membri a sinistra.
Esempio di dovere:
E la stenografia: se
Per l'occasione, scrivi tu stesso la definizione. La versione corretta è alla fine della lezione.
Dopo aver messo le mani su esempi pratici e aver capito come definire il limite di una sequenza, puoi fare riferimento alla letteratura sull'analisi matematica e/o al tuo libro di lezioni. Consiglio di scaricare il 1° volume di Bohan (più semplice - per studenti extramurali) e Fichtengolts (più in dettaglio e in dettaglio)... Tra gli altri autori, consiglio Piskunov, il cui corso è focalizzato sulle università tecniche.
Cerca di studiare coscienziosamente i teoremi che riguardano il limite della successione, la loro dimostrazione, il corollario. La teoria può sembrare "nebulosa" all'inizio, ma va bene così - ci vuole solo un po' di tempo per abituarsi. E molti avranno anche un assaggio!
Definizione rigorosa del limite di una funzione
Cominciamo con la stessa cosa: come formulare questo concetto? La definizione verbale del limite di una funzione è formulata in modo molto più semplice: “un numero è il limite di una funzione, se con“ x ”che tende a (sia a sinistra che a destra), i corrispondenti valori della funzione tendono a " (vedi disegno)... Tutto sembra essere normale, ma le parole sono parole, il significato è significato, un'icona è un'icona e non ci sono notazioni matematiche abbastanza rigide. E nel secondo paragrafo faremo conoscenza con due approcci per risolvere questo problema.
Sia la funzione definita su un intervallo eccetto, possibilmente, un punto. Nella letteratura educativa, è generalmente accettato che la funzione sia presente non definito: 
Questa scelta sottolinea essenza limite funzione: "X" infinitamente vicino si avvicina a, e i valori della funzione corrispondente sono - infinitamente vicino Per . In altre parole, il concetto di limite non implica "l'approccio esatto" ai punti, vale a dire approssimazione infinitamente vicina, non importa se la funzione è definita nel punto o meno.
La prima definizione del limite di una funzione, ovviamente, è formulata utilizzando due sequenze. In primo luogo, i concetti sono correlati e, in secondo luogo, i limiti delle funzioni sono generalmente studiati dopo i limiti delle sequenze.
Considera la sequenza 
punti (non mostrato nel disegno) appartenente all'intervallo e altro che quale converge Per . Quindi i valori corrispondenti della funzione formano anche una sequenza numerica, i cui membri si trovano sull'asse delle ordinate.
Limite di funzione Heine per ogni sequenze di punti 
(appartenente e diverso da) che converge in un punto, converge la corrispondente sequenza di valori della funzione.
Eduard Heine è un matematico tedesco. ... E non devi pensare a niente del genere, c'è solo un gay in Europa - questo è Gay Lussac =)
La seconda definizione del limite è stata costruita... sì, hai ragione. Ma prima, diamo un'occhiata al suo design. Considera un arbitrario -vicinato del punto (quartiere "nero")... Sulla base del paragrafo precedente, la notazione significa che qualche significato la funzione è all'interno del quartiere epsilon.
Ora troviamo il -quartiere che corrisponde al -quartiere dato (disegna mentalmente linee tratteggiate nere da sinistra a destra e poi dall'alto verso il basso)... Nota che il valore viene recuperato lungo la lunghezza del segmento più piccolo, in questo caso - lungo la lunghezza del segmento sinistro più corto. Inoltre, i dintorni "cremisi" del punto possono anche essere ridotti, poiché nella seguente definizione il fatto stesso dell'esistenza è importante questo quartiere. E, allo stesso modo, la notazione significa che un certo valore è all'interno del quartiere "delta".
Il limite di Cauchy di una funzione: un numero si dice limite di una funzione in un punto se per ogni preselezionato quartiere (per quanto piccolo), esiste-l'intorno del punto, TALE che: COME SOLO valori (posseduto da) incluso in questo quartiere: (frecce rosse)- QUINDI IMMEDIATAMENTE i valori corrispondenti della funzione sono garantiti per andare nel -quartiere: (frecce blu).
Devo avvertirti che per maggiore chiarezza ho improvvisato un po', quindi non abusarne =)
Voce breve: se
Qual è l'essenza della definizione? In senso figurato, diminuendo all'infinito il -vicinato, "accompagniamo" i valori della funzione al suo limite, non lasciando loro alcuna alternativa per avvicinarsi da qualche altra parte. Abbastanza insolito, ma ancora una volta rigoroso! Per rendere l'idea giusta, rileggi di nuovo il testo.
! Attenzione: se hai solo bisogno di formulare Heine definizione o solo Definizione di Cauchy per favore non dimenticartene essenziale commento preliminare: "Considera una funzione definita ad un certo intervallo, con la possibile eccezione di un punto."... L'ho indicato una volta all'inizio e non l'ho ripetuto ogni volta.
Secondo il corrispondente teorema dell'analisi matematica, le definizioni secondo Heine e secondo Cauchy sono equivalenti, ma la più famosa è la seconda versione (lo farebbe ancora!), che è anche chiamato il "limite della lingua":
Esempio 4
Usando la definizione del limite, dimostrare che 
Soluzione: la funzione è definita su tutta la retta numerica ad eccezione del punto. Usando la definizione, dimostriamo l'esistenza di un limite in un dato punto.
Nota : il valore del "delta" -vicinato dipende da "epsilon", da cui la notazione
Tener conto di arbitrario-quartiere. Il compito è controllare da questo valore, esiste?-quartiere, TALE, che dalla disuguaglianza 
segue la disuguaglianza 
.
Assumendo ciò, trasformiamo l'ultima disuguaglianza: 
(scomposto un trinomio quadrato)
La matematica è la scienza che costruisce il mondo. Sia uno scienziato che una persona normale: nessuno può fare a meno di lei. Per prima cosa, ai bambini piccoli viene insegnato a contare, poi addizionare, sottrarre, moltiplicare e dividere, le designazioni delle lettere entrano in gioco dalla scuola media, e in quella più grande non puoi farne a meno.
Ma oggi parleremo di ciò su cui si basa tutta la matematica conosciuta. Sulla comunità di numeri chiamata "limiti di sequenza".
Cosa sono le sequenze e dov'è il loro limite?
Il significato della parola "sequenza" non è difficile da interpretare. Questa è una tale costruzione di cose, in cui qualcuno o qualcosa è disposto in un certo ordine o coda. Ad esempio, la coda per i biglietti per lo zoo è una sequenza. Inoltre, può essercene solo uno! Se, ad esempio, guardi la coda nel negozio, questa è una sequenza. E se una persona lascia improvvisamente questa coda, allora questa è una coda diversa, un ordine diverso.
Anche la parola "limite" è facilmente interpretabile: è la fine di qualcosa. Tuttavia, in matematica, i limiti delle sequenze sono quei valori sulla retta dei numeri a cui tende una sequenza di numeri. Perché sforzarsi e non finire? È semplice, la linea dei numeri non ha fine e la maggior parte delle sequenze, come i raggi, hanno solo un inizio e hanno questo aspetto:
x 1, x 2, x 3, ... x n ...
Quindi la definizione di una sequenza è una funzione di un argomento naturale. In parole più semplici, è una serie di membri di un insieme.
Come è costruita la sequenza numerica?
L'esempio più semplice di una sequenza numerica potrebbe assomigliare a questo: 1, 2, 3, 4, ... n ...
Nella maggior parte dei casi, per scopi pratici, le sequenze sono costituite da numeri e ogni membro successivo della serie, indichiamolo con X, ha il suo nome. Per esempio:
x 1 - il primo membro della sequenza;
x 2 - il secondo membro della sequenza;
x 3 - terzo mandato;
x n è l'ennesimo termine.
Nei metodi pratici, la sequenza è data da una formula generale in cui è presente qualche variabile. Per esempio:
X n = 3n, allora la serie di numeri stessa avrà questo aspetto:
Vale la pena non dimenticare che nella registrazione generale delle sequenze è possibile utilizzare qualsiasi lettera latina, non solo X. Ad esempio: y, z, k, ecc.
Progressione aritmetica come parte di sequenze
Prima di cercare i limiti delle sequenze, è opportuno approfondire il concetto stesso di serie numerica simile, che tutti incontravano nelle classi medie. Una progressione aritmetica è una serie di numeri in cui la differenza tra termini adiacenti è costante.
Problema: “Sia a 1 = 15, e il passo della progressione della serie numerica d = 4. Costruisci i primi 4 membri di questa riga "
Soluzione: a 1 = 15 (per condizione) - il primo membro della progressione (serie numerica).
e 2 = 15 + 4 = 19 è il secondo termine della progressione.
e 3 = 19 + 4 = 23 è il terzo termine.
e 4 = 23 + 4 = 27 è il quarto termine.
Tuttavia, utilizzando questo metodo è difficile arrivare a valori grandi, ad esempio a 125.. Soprattutto per tali casi, è stata derivata una formula conveniente: a n = a 1 + d (n-1). In questo caso, a 125 = 15 + 4 (125-1) = 511.
Tipi di sequenza
La maggior parte delle sequenze sono infinite e vale la pena ricordarle per tutta la vita. Ci sono due tipi interessanti di serie di numeri. Il primo è dato dalla formula а n = (- 1) n. I matematici si riferiscono spesso a questa sequenza come luce lampeggiante. Come mai? Controlliamo la sua serie numerica.
1, 1, -1, 1, -1, 1, ecc. Con questo esempio diventa chiaro che i numeri nelle sequenze possono essere facilmente ripetuti.
Sequenza fattoriale. È facile da indovinare: c'è un fattoriale nella formula che definisce la sequenza. Ad esempio: e n = (n + 1)!
Quindi la sequenza sarà simile a questa:
a 2 = 1x2x3 = 6;
a 3 = 1x2x3x4 = 24, ecc.
Una successione data da una progressione aritmetica si dice infinitamente decrescente se la disuguaglianza -1 a 3 = - 1/8, ecc. C'è anche una sequenza dello stesso numero. Quindi, e n = 6 consiste in un insieme infinito di sei. I limiti di sequenza esistono da molto tempo in matematica. Ovviamente meritano il loro design intelligente. Quindi è il momento di scoprire la definizione dei limiti di sequenza. Per cominciare, considera in dettaglio il limite per una funzione lineare: È facile intuire che la definizione del limite di una successione può essere formulata come segue: è un certo numero, al quale tutti i membri della successione si avvicinano all'infinito. Un semplice esempio: a x = 4x + 1. Quindi la sequenza stessa sarà simile a questa. 5, 9, 13, 17, 21 ... x ... Quindi, questa sequenza aumenterà all'infinito e, quindi, il suo limite è uguale all'infinito come x → ∞, e questo dovrebbe essere scritto come segue: Se prendiamo una sequenza simile, ma x tende a 1, allora otteniamo: E la serie di numeri sarà così: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, ecc. Ogni volta che devi sostituire il numero più vicino a uno (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Si può vedere da questa serie che il limite della funzione è cinque. Da questa parte vale la pena ricordare qual è il limite di una sequenza numerica, la definizione e il metodo per risolvere problemi semplici. Dopo aver smontato il limite di una sequenza numerica, la sua definizione e gli esempi, puoi passare a un argomento più complesso. Assolutamente tutti i limiti delle sequenze possono essere formulati con una formula, che di solito viene analizzata nel primo semestre. Quindi cosa significa questo insieme di lettere, moduli e segni di disuguaglianza? ∀ è un quantificatore universale che sostituisce le frasi "per tutti", "per tutto", ecc. è un quantificatore esistenziale, in questo caso significa che esiste un valore N appartenente all'insieme dei numeri naturali. Un lungo bastone verticale che segue N significa che l'insieme N è "tale che". In pratica, può significare "tale quello", "tale quello", ecc. Per consolidare il materiale, leggi la formula ad alta voce. Il metodo per trovare il limite delle sequenze, che è stato considerato sopra, è semplice da usare, ma non così razionale nella pratica. Prova a trovare il limite per una funzione come questa: Se sostituiamo diversi valori di "x" (ogni volta crescente: 10, 100, 1000, ecc.), allora otteniamo ∞ al numeratore, ma anche ∞ al denominatore. Si scopre una frazione piuttosto strana: Ma è davvero così? Calcolare il limite di una sequenza numerica in questo caso sembra abbastanza facile. Si potrebbe lasciare tutto così com'è, perché la risposta è pronta ed è stata ricevuta a condizioni ragionevoli, ma c'è un altro modo specifico per tali casi. Innanzitutto, troviamo il grado più alto nel numeratore della frazione: questo è 1, poiché x può essere rappresentato come x 1. Ora troviamo il grado più alto al denominatore. Anche 1. Dividi sia il numeratore che il denominatore per la variabile al massimo grado. In questo caso, dividiamo la frazione per x 1. Successivamente, troviamo il valore a cui tende ogni termine contenente la variabile. In questo caso si considerano le frazioni. Poiché x → ∞, il valore di ciascuna delle frazioni tende a zero. Quando si registra un'opera per iscritto, vale la pena fare le seguenti note: Si ottiene la seguente espressione: Ovviamente le frazioni contenenti x non diventano zeri! Ma il loro valore è così piccolo che è abbastanza consentito non tenerne conto nei calcoli. In effetti, x non sarà mai uguale a 0 in questo caso, perché non puoi dividere per zero. Supponiamo che il professore abbia a disposizione una sequenza complessa, data, ovviamente, da una formula altrettanto complessa. Il professore ha trovato la risposta, ma è giusta? Dopotutto, tutte le persone hanno torto. Auguste Cauchy una volta ha escogitato un ottimo modo per dimostrare i limiti delle sequenze. Il suo metodo si chiamava operare nell'ambiente circostante. Supponiamo che ci sia un punto a, il suo intorno in entrambe le direzioni sulla linea dei numeri è ε ("epsilon"). Poiché l'ultima variabile è la distanza, il suo valore è sempre positivo. Definiamo ora una successione x n e supponiamo che il decimo termine della successione (x 10) entri nell'intorno di a. Come scrivere questo fatto in linguaggio matematico? Diciamo che x 10 è a destra del punto a, quindi la distanza x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Ora è il momento di spiegare in pratica la formula di cui sopra. È corretto chiamare un numero a il punto finale della sequenza se la disuguaglianza ε> 0 vale per uno qualsiasi dei suoi limiti e l'intero intorno ha il suo numero naturale N tale che tutti i membri della sequenza con numeri più significativi saranno all'interno la successione | xn - a |< ε. Con tale conoscenza, è facile implementare la soluzione dei limiti della sequenza, per dimostrare o confutare la risposta pronta. I teoremi del limite di sequenza sono una componente importante della teoria, senza la quale la pratica è impossibile. Ci sono solo quattro teoremi principali, ricordando quali, puoi facilitare in modo significativo il corso della soluzione o della dimostrazione: A volte è necessario risolvere un problema inverso, dimostrare un dato limite di una sequenza numerica. Diamo un'occhiata a un esempio. Dimostrare che il limite della successione data dalla formula è uguale a zero. Secondo la regola considerata sopra, per ogni successione la disuguaglianza | x n - a |<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Esprimiamo n in termini di epsilon per dimostrare l'esistenza di un numero e per dimostrare che esiste un limite alla successione. In questa fase è importante ricordare che "epsilon" e "en" sono numeri positivi e non uguali a zero. La trasformazione può ora essere continuata utilizzando la conoscenza delle disuguaglianze apprese al liceo. Da cui risulta che n> -3 + 1 / . Poiché vale la pena ricordare che si tratta di numeri naturali, il risultato può essere arrotondato mettendolo tra parentesi quadre. Così, è stato dimostrato che per ogni valore dell'intorno "epsilon" del punto a = 0, esiste un valore tale che vale la disuguaglianza iniziale. Quindi, possiamo affermare con sicurezza che il numero a è il limite di una data sequenza. Q.E.D. Con un metodo così conveniente, puoi dimostrare il limite di una sequenza numerica, non importa quanto possa essere complicata a prima vista. La cosa principale è non farsi prendere dal panico alla vista dell'incarico. L'esistenza di un limite di sequenza non è necessaria nella pratica. È facile trovare una tale serie di numeri che in realtà non hanno una fine. Ad esempio, lo stesso "lampeggiatore" x n = (-1) n. è ovvio che una sequenza composta da due sole cifre, che si ripetono ciclicamente, non può avere un limite. La stessa storia si ripete con sequenze composte da un numero, frazionarie, aventi un'incertezza di qualsiasi ordine (0/0, ∞ / ∞, ∞ / 0, ecc.) nel corso dei calcoli. Tuttavia, va ricordato che si verifica anche un calcolo errato. A volte ti aiuterà a trovare il limite delle sequenze ricontrollando la tua soluzione. Sopra abbiamo considerato diversi esempi di sequenze, metodi per risolverli, e ora proveremo a prendere un caso più specifico e chiamarlo "sequenza monotona". Definizione: è giusto chiamare qualsiasi successione monotonicamente crescente se la disuguaglianza stretta x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >xn+1. Insieme a queste due condizioni, ci sono anche disuguaglianze deboli simili. Di conseguenza, x n ≤ x n +1 (sequenza non decrescente) e x n ≥ x n +1 (sequenza non crescente). Ma è più facile capirlo con gli esempi. La sequenza data dalla formula x n = 2 + n forma la seguente riga di numeri: 4, 5, 6, ecc. Questa è una sequenza monotona crescente. E se prendiamo x n = 1 / n, otteniamo una serie: 1/3, ¼, 1/5, ecc. Questa è una sequenza monotona decrescente. Una sequenza limitata è una sequenza che ha un limite. Una successione convergente è una serie di numeri con limite infinitesimale. Quindi, il limite di una successione limitata è un qualsiasi numero reale o complesso. Ricorda che può esserci un solo limite. Il limite di una successione convergente è un valore infinitesimale (reale o complesso). Se disegni un diagramma di sequenza, a un certo punto, per così dire, convergerà, si sforzerà di trasformarsi in un certo valore. Da qui il nome - sequenza convergente. Tale sequenza può o non può avere un limite. All'inizio è utile capire quando lo è, da qui si può partire per dimostrare l'assenza di un limite. Tra le sequenze monotone si distinguono convergenti e divergenti. Convergente è una sequenza che è formata da un insieme x e ha un limite reale o complesso in questo insieme. Divergente - una sequenza che non ha limiti nel suo insieme (né reale né complesso). Inoltre, la successione converge se, in un'immagine geometrica, i suoi limiti superiore e inferiore convergono. Il limite di una successione convergente può essere zero in molti casi, poiché ogni successione infinitesimale ha un limite noto (zero). Qualunque sequenza convergente prendi, sono tutte limitate, ma non tutte le sequenze limitate convergono. La somma, la differenza, il prodotto di due successioni convergenti è anch'essa una successione convergente. Tuttavia, il quoziente può anche essere convergente se è definito! I limiti delle sequenze sono la stessa quantità essenziale (nella maggior parte dei casi), così come i numeri ei numeri: 1, 2, 15, 24, 362, ecc. Risulta che alcune operazioni possono essere eseguite con i limiti. Primo, come numeri e numeri, i limiti di qualsiasi sequenza possono essere aggiunti e sottratti. In base al terzo teorema sui limiti delle successioni vale la seguente uguaglianza: il limite della somma delle successioni è uguale alla somma dei loro limiti. In secondo luogo, in base al quarto teorema sui limiti delle successioni, vale la seguente uguaglianza: il limite del prodotto dell'n-esimo numero di successioni è uguale al prodotto dei loro limiti. Lo stesso vale per la divisione: il quoziente limite di due successioni è uguale al quoziente dei loro limiti, purché il limite non sia zero. Dopotutto, se il limite delle sequenze è uguale a zero, risulterà la divisione per zero, il che è impossibile. Sembrerebbe che il limite della sequenza numerica sia già stato analizzato in dettaglio, ma frasi come numeri "infinitamente piccoli" e "infinitamente grandi" sono menzionati più di una volta. Ovviamente, se esiste una sequenza 1 / x, dove x → ∞, allora tale frazione è infinitamente piccola e se la stessa sequenza, ma il limite tende a zero (x → 0), allora la frazione diventa infinitamente grande. E queste quantità hanno le loro caratteristiche. Le proprietà del limite di una sequenza con valori piccoli o grandi sono le seguenti: In effetti, calcolare il limite di una sequenza non è un compito così difficile se conosci un algoritmo semplice. Ma i limiti delle sequenze sono un argomento che richiede massima attenzione e costanza. Naturalmente, è sufficiente cogliere l'essenza della soluzione a tali espressioni. Partendo in piccolo, puoi raggiungere grandi picchi nel tempo.Determinazione del limite di una sequenza
Notazione generale per le sequenze limite
Incertezza e certezza del limite
Che cos'è un quartiere?
teoremi
Dimostrazione di sequenze
O forse non lo è?
Sequenza monotona
Limite di sequenza convergente e limitata
Limite di sequenza monotona
Varie azioni con limiti
Proprietà della quantità di sequenza
