Vettore normale al piano, coordinate del vettore normale al piano. Il vettore normale della linea (vettore normale) Il vettore normale della linea x 3 ha coordinate

Quando studiamo le equazioni di una retta su un piano e nello spazio tridimensionale, ci affidiamo all'algebra dei vettori. In questo caso sono di particolare importanza il vettore direzionale della retta e il vettore normale della retta. In questo articolo, daremo un'occhiata più da vicino al vettore normale di una linea. Iniziamo definendo il vettore normale di una retta, diamo esempi e illustrazioni grafiche. Successivamente, passiamo a trovare le coordinate del vettore normale di una retta usando le ben note equazioni di una retta, mentre mostriamo soluzioni dettagliate ai problemi.

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Vettore normale di una retta - definizione, esempi, illustrazioni.

Per comprendere il materiale, è necessario avere una chiara comprensione di una linea retta, un piano e conoscere anche le definizioni di base associate ai vettori. Pertanto, ti consigliamo di rinfrescare prima la memoria sul materiale degli articoli, una linea retta in un piano, una linea retta nello spazio, l'idea di un piano, ecc.

Diamo la definizione del vettore normale di una retta.

Definizione.

Vettore di linea normaleè un qualsiasi vettore diverso da zero che giace su una qualsiasi retta perpendicolare a quella data.

Dalla definizione di vettore normale di una retta risulta chiaro che esiste un insieme infinito di vettori normali di una retta data.

La determinazione del vettore normale di una retta e la determinazione del vettore di direzione di una retta ci permettono di concludere che ogni vettore normale di una data retta è perpendicolare a qualsiasi vettore di direzione di questa retta.

Facciamo un esempio di vettore normale di una retta.

Sia dato Oxy sull'aereo. Uno degli insiemi dei vettori normali della linea di coordinate Ox è il vettore di coordinate. Infatti, il vettore è diverso da zero e giace sulla linea di coordinate Oy, che è perpendicolare all'asse Ox. L'insieme di tutti i vettori normali della linea di coordinate Ox nel sistema di coordinate rettangolari Oxy può essere specificato come .

Nel sistema di coordinate rettangolari Oxyz nello spazio tridimensionale, il vettore normale della retta Oz è un vettore. Il vettore delle coordinate è anche il vettore normale della retta Oz. Ovviamente, qualsiasi vettore diverso da zero che giace in un piano perpendicolare all'asse di Oz sarà il vettore normale della linea di Oz.

Coordinate del vettore normale di una retta - trovare le coordinate del vettore normale di una retta secondo le equazioni note di questa retta.

Se consideriamo una linea retta in un sistema di coordinate rettangolari Oxy, allora l'equazione di una linea retta su un piano di qualche tipo corrisponderà ad essa e i vettori normali della linea retta saranno determinati dalle loro coordinate (vedi l'articolo) . Ciò solleva la domanda: "come trovare le coordinate del vettore normale di una retta quando conosciamo l'equazione di questa retta"?

Troviamo la risposta alla domanda posta per le rette date sul piano da equazioni di vario tipo.

Se una retta su un piano è determinata dall'equazione generale di una retta della forma , allora i coefficienti A e B rappresentano le coordinate corrispondenti del vettore normale di questa retta.

Esempio.

Trova le coordinate di un vettore normale di una retta .

Soluzione.

Poiché la retta è data dall'equazione generale, possiamo immediatamente scrivere le coordinate del suo vettore normale: sono i coefficienti corrispondenti davanti alle variabili x e y. Cioè, il vettore normale di una retta ha coordinate.

Risposta:

Uno dei numeri A o B nell'equazione generale della linea può essere zero. Questo non dovrebbe confonderti. Diamo un'occhiata a un esempio.

Esempio.

Scegli un qualsiasi vettore di linea normale.

Soluzione.

Ci viene data un'equazione generale incompleta della retta. Può essere riscritto come , da cui sono immediatamente visibili le coordinate del vettore normale di questa retta:.

Risposta:

L'equazione di una retta in segmenti della forma o l'equazione di una retta con pendenza si riduce facilmente all'equazione generale di una retta, da cui si ricavano le coordinate del vettore normale di questa retta.

Esempio.

Trova le coordinate del vettore normale di una retta.

Soluzione.

È molto facile passare dall'equazione di una retta in segmenti all'equazione generale di una retta: ... Pertanto, il vettore normale di questa linea ha coordinate.

Risposta:

Se la retta è definita dall'equazione canonica della retta sul piano della forma o dalle equazioni parametriche della retta sul piano della forma , allora le coordinate del vettore normale sono un po' più difficili da ottenere. Da queste equazioni sono immediatamente visibili le coordinate del vettore direzionale della retta -. Trova le coordinate del vettore normale di questa retta e permette.

Puoi anche ottenere le coordinate del vettore normale di una retta, se porti l'equazione canonica di una retta o le equazioni parametriche di una retta all'equazione generale. Per questo, vengono eseguite le seguenti trasformazioni:

Come preferire dipende da te.

Mostriamo soluzioni di esempi.

Esempio.

Trova un vettore normale di una linea retta .

Soluzione.

Il vettore di direzione della retta è un vettore. Vettore di linea normale è perpendicolare al vettore, allora è uguale a zero: ... Da questa uguaglianza, assegnando a n x un valore reale arbitrario diverso da zero, troviamo n y. Sia n x = 1, allora , quindi, il vettore normale della linea originale ha coordinate.

Seconda soluzione.

Passiamo dall'equazione canonica della retta all'equazione generale:. Ora sono visibili le coordinate del vettore normale di questa linea.

Risposta:

Per studiare le equazioni di una retta, devi avere una buona conoscenza dell'algebra vettoriale. È importante trovare il vettore di direzione e il vettore normale di una retta. Questo articolo considererà il vettore normale di una retta con esempi e figure, trovandone le coordinate, se si conoscono le equazioni delle rette. Verrà presa in considerazione una soluzione dettagliata.

Per rendere il materiale più facile da assimilare, è necessario comprendere i concetti di linea, piano e definizioni associati ai vettori. Per prima cosa, conosciamo il concetto di vettore di linea retta.

Definizione 1

Il vettore normale della retta viene chiamato qualsiasi vettore diverso da zero che giace su una qualsiasi retta perpendicolare a quella data.

È chiaro che esiste un insieme infinito di vettori normali situati su una data retta. Considera la figura sottostante.

Otteniamo che la retta è perpendicolare a una delle due rette parallele date, quindi la sua perpendicolarità si estende alla seconda retta parallela. Quindi, troviamo che gli insiemi dei vettori normali di queste rette parallele coincidono. Quando le rette a e a 1 sono parallele, e n → è considerato il vettore normale della retta a, è considerato anche il vettore normale della retta a 1. Quando la linea a ha un vettore diretto, allora il vettore t · n → è diverso da zero per qualsiasi valore del parametro t, ed è anche normale per la linea a.

Usando la definizione di vettore normale e direzione, puoi concludere che il vettore normale è perpendicolare alla direzione. Diamo un'occhiata a un esempio.

Se il piano O x y è dato, allora l'insieme dei vettori per O x è il vettore coordinate j →. È considerato diverso da zero e appartiene all'asse delle coordinate O y, perpendicolare a O x. L'intero insieme dei vettori normali rispetto a O x può essere scritto come t j →, t ∈ R, t ≠ 0.

Il sistema rettangolare O x y z ha un vettore normale i → relativo alla retta O z. Anche il vettore j → è considerato normale. Quindi si vede che qualsiasi vettore diverso da zero situato in qualsiasi piano e perpendicolare a O z è considerato normale per O z.

Coordinate del vettore normale di una retta - trovare le coordinate del vettore normale di una retta usando le equazioni note di una retta

Quando si considera un sistema di coordinate rettangolare O x y, troviamo che l'equazione di una linea retta su un piano corrisponde ad essa e la determinazione dei vettori normali è fatta dalle coordinate. Se l'equazione di una retta è nota, ma è necessario trovare le coordinate del vettore normale, è necessario dall'equazione A x + B y + C = 0 identificare i coefficienti che corrispondono alle coordinate del vettore normale della retta data.

Esempio 1

Viene data una linea retta della forma 2 x + 7 y - 4 = 0 _, trova le coordinate del vettore normale.

Soluzione

Per condizione, abbiamo che la retta è data dall'equazione generale, il che significa che è necessario scrivere i coefficienti, che sono le coordinate del vettore normale. Ciò significa che le coordinate del vettore sono 2, 7.

Risposta: 2 , 7 .

Ci sono momenti in cui A o B dell'equazione è uguale a zero. Consideriamo la soluzione di un tale compito usando un esempio.

Esempio 2

Specificare il vettore normale per la linea data y - 3 = 0.

Soluzione

Per ipotesi, ci viene data l'equazione generale della retta, quindi la scriviamo in questo modo 0 x + 1 y - 3 = 0. Ora possiamo vedere chiaramente i coefficienti, che sono le coordinate del vettore normale. Quindi, otteniamo che le coordinate del vettore normale sono 0, 1.

Risposta: 0, 1.

Se un'equazione è data in segmenti della forma xa + yb = 1 o un'equazione con una pendenza y = kx + b, allora è necessario ridurre all'equazione generale di una retta, dove puoi trovare le coordinate della vettore normale di una retta data.

Esempio 3

Trova le coordinate del vettore normale, data l'equazione della retta x 1 3 - y = 1.

Soluzione

Innanzitutto, devi passare dall'equazione nei segmenti x 1 3 - y = 1 all'equazione generale. Allora otteniamo che x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0.

Da qui si vede che le coordinate del vettore normale hanno valore 3, - 1.

Risposta: 3 , - 1 .

Se la retta è definita dall'equazione canonica della retta sul piano x - x 1 ax = y - y 1 ay o dalla parametrica x = x 1 + ax · λ y = y 1 + ay · λ, ottenendo le coordinate diventa più complicato. Secondo queste equazioni, si può vedere che le coordinate del vettore di direzione saranno a → = (a x, a y). La possibilità di trovare le coordinate del vettore normale n → è possibile grazie alla condizione di perpendicolarità dei vettori n → e a →.

È possibile ottenere le coordinate di un vettore normale riducendo le equazioni canoniche o parametriche di una retta a quella generale. Quindi otteniamo:

x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 = 0

Per la soluzione, puoi scegliere qualsiasi metodo conveniente.

Esempio 4

Trova il vettore normale di una data linea x - 2 7 = y + 3 - 2.

Soluzione

Dalla retta x - 2 7 = y + 3 - 2, è chiaro che il vettore di direzione avrà coordinate a → = (7, - 2). Il vettore normale n → = (n x, n y) di una data retta è perpendicolare a a → = (7, - 2).

Scopriamo a cosa è uguale il prodotto scalare. Per trovare il prodotto scalare dei vettori a → = (7, - 2) e n → = (n x, n y), scriviamo a →, n → = 7 n x - 2 n y = 0.

Il valore di n x è arbitrario, dovresti trovare n y. Se n x = 1, da questo si ricava che 7 1 - 2 n y = 0 ⇔ n y = 7 2.

Quindi, il vettore normale ha coordinate 1, 7 2.

Il secondo modo di risolvere si riduce al fatto che è necessario venire alla forma generale dell'equazione da quella canonica. Per questo ci trasformiamo

x - 2 7 = y + 3 - 2 7 (y + 3) = - 2 (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

Il risultato risultante delle coordinate del vettore normale è 2, 7.

Risposta: 2, 7 o 1 , 7 2 .

Esempio 5

Specificare le coordinate del vettore normale della retta x = 1 y = 2 - 3 · λ.

Soluzione

Innanzitutto, è necessario eseguire una trasformazione per passare alla forma generale di una linea retta. Eseguiamo:

x = 1 y = 2 - 3 ⇔ x = 1 + 0 λ y = 2 - 3 λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 (x - 1) = 0 (y - 2) - 3 x + 0 y + 3 = 0

Da qui si può vedere che le coordinate del vettore normale sono - 3, 0.

Risposta: - 3 , 0 .

Considera i modi per trovare le coordinate del vettore normale per l'equazione di una linea retta nello spazio, data da un sistema di coordinate rettangolare O x y z.

Quando una linea è definita usando le equazioni dei piani intersecanti A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, allora il vettore normale di il piano si riferisce a A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, quindi si ottengono i vettori nella forma n 1 → = (A 1, B 1, C 1) e n 2 → = (A 2, B 2, C 2).

Quando la retta è definita utilizzando l'equazione canonica dello spazio, che ha la forma x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az o parametrica, che ha la forma x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + az · λ, quindi ax, ay e az sono considerati le coordinate del vettore di direzione della retta data. Qualsiasi vettore diverso da zero può essere normale per una data retta ed essere perpendicolare al vettore a → = (a x, a y, a z). Ne segue che le coordinate della normale con equazioni parametriche e canoniche si trovano utilizzando le coordinate di un vettore perpendicolare a un dato vettore a → = (a x, a y, a z).

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Vettore normale

Superficie piana con due normali

Nella geometria differenziale, normaleè una linea retta ortogonale (perpendicolare) a una linea tangente a una curva o un piano tangente a una superficie. Parla anche di direzione normale.

Vettore normale ad una superficie in un dato punto è un vettore unitario applicato a un dato punto e parallelo alla direzione normale. Per ogni punto su una superficie liscia, puoi specificare due vettori normali che differiscono nella direzione. Se un campo continuo di vettori normali può essere specificato su una superficie, allora si dice che questo campo definisce orientamento superficie (cioè mette in evidenza uno dei lati). Se ciò non è possibile, viene chiamata la superficie non orientato.

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Per utilizzare il metodo delle coordinate, è necessario conoscere bene le formule. Ce ne sono tre:

A prima vista, sembra minaccioso, ma basta un po' di pratica e tutto funzionerà alla grande.

Compito. Trova il coseno dell'angolo tra i vettori a = (4; 3; 0) e b = (0; 12; 5).

Soluzione. Poiché le coordinate dei vettori ci sono date, le sostituiamo nella prima formula:

Compito. Fare un'equazione per il piano passante per i punti M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) e K = (2; 1; 0), se si sa che non passa per l'origine.

Soluzione. L'equazione generale del piano: Ax + By + Cz + D = 0, ma poiché il piano desiderato non passa attraverso l'origine delle coordinate - il punto (0; 0; 0) - allora mettiamo D = 1. Poiché questo il piano passa attraverso i punti M, N e K, quindi le coordinate di questi punti dovrebbero trasformare l'equazione nella corretta uguaglianza numerica.

Sostituire al posto delle coordinate x, yez del punto M = (2; 0; 1). Abbiamo:
LA 2 + LA 0 + LA 1 + 1 = 0 ⇒ 2 LA + LA + 1 = 0;

Analogamente, per i punti N = (0; 1; 1) e K = (2; 1; 0) si ottengono le equazioni:
LA 0 + LA 1 + LA 1 + 1 = 0 LA + LA + 1 = 0;
LA 2 + LA 1 + LA 0 + 1 = 0 ⇒ 2 LA + LA + 1 = 0;

Quindi abbiamo tre equazioni e tre incognite. Componiamo e risolviamo il sistema di equazioni:

Abbiamo ottenuto che l'equazione del piano ha la forma: - 0,25x - 0,5y - 0,5z + 1 = 0.

Compito. Il piano è dato dall'equazione 7x - 2y + 4z + 1 = 0. Trova le coordinate del vettore perpendicolare al piano dato.

Soluzione. Usando la terza formula, otteniamo n = (7; - 2; 4) - tutto qui!

Calcolo delle coordinate dei vettori

Ma cosa succede se non ci sono vettori nel problema: ci sono solo punti che giacciono su linee rette e devi calcolare l'angolo tra queste linee rette? È semplice: conoscendo le coordinate dei punti - l'inizio e la fine del vettore - puoi calcolare le coordinate del vettore stesso.

Per trovare le coordinate di un vettore, sottrarre le coordinate dell'inizio dalle coordinate della sua fine.

Questo teorema funziona allo stesso modo sia nel piano che nello spazio. L'espressione "sottrarre coordinate" significa che la coordinata x di un altro viene sottratta dalla coordinata x di un punto, quindi lo stesso deve essere fatto con le coordinate yez. Ecco alcuni esempi:

Compito. Ci sono tre punti nello spazio, dati dalle loro coordinate: A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) e C = (- 4; 3; - 2). Trova le coordinate dei vettori AB, AC e BC.

Consideriamo un vettore AB: la sua origine è nel punto A, e la sua fine è nel punto B. Pertanto, per trovare le sue coordinate, è necessario sottrarre le coordinate del punto A dalle coordinate del punto B:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Allo stesso modo, l'inizio del vettore AC è sempre lo stesso punto A, ma la fine è il punto C. Pertanto, abbiamo:
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

Infine, per trovare le coordinate del vettore BC, devi sottrarre le coordinate del punto B dalle coordinate del punto C:
BC = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9).

Risposta: AB = (2; - 7; 4); AC = (- 5; - 3; - 5); BC = (- 7; 4; - 9)

Prestare attenzione al calcolo delle coordinate dell'ultimo vettore BC: molte persone commettono errori quando lavorano con numeri negativi. Questo riguarda la variabile y: il punto B ha y = - 1, e il punto C y = 3. Otteniamo esattamente 3 - (- 1) = 4, e non 3 - 1, come molti credono. Non commettere errori così stupidi!

Calcolo dei vettori di direzione per le rette

Se leggi attentamente il problema C2, sarai sorpreso di scoprire che non ci sono vettori lì. Ci sono solo linee rette e piani.

Cominciamo con le linee rette. Qui tutto è semplice: su ogni retta ci sono almeno due punti diversi e, viceversa, due punti diversi qualsiasi definiscono un'unica retta...

Qualcuno ha capito cosa c'è scritto nel paragrafo precedente? Non l'ho capito io stesso, quindi lo spiego più facilmente: nel problema C2, le rette sono sempre date da una coppia di punti. Se introduciamo un sistema di coordinate e consideriamo un vettore con un inizio e una fine in questi punti, otteniamo il cosiddetto vettore di direzione per una retta:

Perché è necessario questo vettore? Il punto è che l'angolo tra due rette è l'angolo tra i loro vettori di direzione. Quindi, si passa da linee rette incomprensibili a vettori specifici, le cui coordinate sono facili da calcolare. Quanto è facile? Dai un'occhiata agli esempi:

Compito. Nel cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 si tracciano le linee AC e BD 1. Trova le coordinate dei vettori di direzione di queste linee.

Poiché la lunghezza degli spigoli del cubo non è specificata nella condizione, poniamo AB = 1. Introduciamo un sistema di coordinate con l'origine nel punto A e gli assi x, y, z diretti lungo le linee AB, AD e AA 1, rispettivamente. Il segmento unitario è uguale a AB = 1.

Ora troveremo le coordinate del vettore di direzione per la linea AC. Abbiamo bisogno di due punti: A = (0; 0; 0) e C = (1; 1; 0). Da qui otteniamo le coordinate del vettore AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - questo è il vettore di direzione.

Passiamo ora alla retta BD 1. Ha anche due punti: B = (1; 0; 0) e D 1 = (0; 1; 1). Otteniamo il vettore di direzione BD 1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (- 1; 1; 1).

Risposta: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (- 1; 1; 1)

Compito. In un prisma triangolare regolare ABCA 1 B 1 C 1, i cui bordi sono tutti uguali a 1, vengono tracciate le linee AB 1 e AC 1. Trova le coordinate dei vettori di direzione di queste linee.

Introduciamo il sistema di coordinate: l'origine è nel punto A, l'asse x coincide con AB, l'asse z coincide con AA 1, l'asse y forma il piano OXY con l'asse x, che coincide con il piano ABC .

Per prima cosa, trattiamo la retta AB 1. Qui tutto è semplice: abbiamo i punti A = (0; 0; 0) e B 1 = (1; 0; 1). Otteniamo il vettore di direzione AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1).

Ora troveremo il vettore di direzione per AC 1. Tuttavia, l'unica differenza è che il punto C 1 ha coordinate irrazionali. Quindi, A = (0; 0; 0), quindi abbiamo:

Risposta: AB 1 = (1; 0; 1);

Una piccola ma importantissima nota sull'ultimo esempio. Se l'origine del vettore coincide con l'origine, i calcoli sono notevolmente semplificati: le coordinate del vettore sono semplicemente uguali alle coordinate della fine. Sfortunatamente, questo è vero solo per i vettori. Ad esempio, quando si lavora con i piani, la presenza dell'origine su di essi complica solo i calcoli.

Calcolo dei vettori normali per gli aerei

I vettori normali non sono vettori che funzionano o funzionano bene. Per definizione, un vettore normale (normale) a un piano è un vettore perpendicolare a quel piano.

In altre parole, una normale è un vettore perpendicolare a qualsiasi vettore in un dato piano. Sicuramente hai incontrato una tale definizione - tuttavia, invece di vettori, stavamo parlando di linee rette. Tuttavia, appena sopra è stato mostrato che nel problema C2 puoi operare con qualsiasi oggetto conveniente - anche una linea retta, anche un vettore.

Lascia che ti ricordi ancora una volta che qualsiasi piano è definito nello spazio dall'equazione Ax + By + Cz + D = 0, dove A, B, C e D sono alcuni coefficienti. Senza perdita di generalità della soluzione, possiamo assumere D = 1 se il piano non passa per l'origine, o D = 0 se lo passa. In ogni caso le coordinate del vettore normale a questo piano sono n = (A; B; C).

Quindi, l'aereo può anche essere sostituito con successo da un vettore - la stessa normale. Ogni piano è definito nello spazio da tre punti. Come trovare l'equazione del piano (e quindi la normale), abbiamo già discusso all'inizio dell'articolo. Tuttavia, questo processo causa problemi a molti, quindi darò un altro paio di esempi:

Compito. La sezione A 1 BC 1 è disegnata nel cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Trova il vettore normale per il piano di questa sezione se l'origine è nel punto A e gli assi x, yez coincidono rispettivamente con i bordi AB, AD e AA 1.

Poiché il piano non passa per l'origine, la sua equazione è simile a questa: Ax + By + Cz + 1 = 0, cioè coefficiente D = 1. Poiché questo piano passa per i punti A 1, B e C 1, le coordinate di questi punti trasformano l'equazione del piano nella corretta uguaglianza numerica.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

Analogamente, per i punti B = (1; 0; 0) e C 1 = (1; 1; 1) si ottengono le equazioni:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
LA 1 + LA 1 + LA 1 + 1 = 0 LA + LA + LA + 1 = 0;

Ma conosciamo già i coefficienti A = - 1 e C = - 1, quindi resta da trovare il coefficiente B:
B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

Otteniamo l'equazione del piano: - A + B - C + 1 = 0, Pertanto, le coordinate del vettore normale sono uguali a n = (- 1; 1; - 1).

Compito. La sezione AA 1 C 1 C è disegnata nel cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Trova il vettore normale per il piano di questa sezione se l'origine è nel punto A e gli assi x, yez coincidono con i bordi AB, AD e AA 1 rispettivamente.

In questo caso, il piano passa per l'origine, quindi il coefficiente D = 0, e l'equazione del piano si presenta così: Ax + By + Cz = 0. Poiché il piano passa per i punti A1 e C, le coordinate di questi punti trasforma l'equazione del piano nella corretta uguaglianza numerica.

Sostituire al posto delle coordinate x, yez del punto A 1 = (0; 0; 1). Abbiamo:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Analogamente, per il punto C = (1; 1; 0) otteniamo l'equazione:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 A + B = 0 ⇒ A = - B;

Mettiamo B = 1. Quindi A = - B = - 1, e l'equazione dell'intero piano ha la forma: - A + B = 0, Pertanto, le coordinate del vettore normale sono uguali a n = (- 1; 1; 0).

In generale, nei problemi di cui sopra è necessario comporre un sistema di equazioni e risolverlo. Ci saranno tre equazioni e tre variabili, ma nel secondo caso una di esse sarà libera, es. assumere valori arbitrari. Ecco perché abbiamo il diritto di porre B = 1 - fatta salva la generalità della soluzione e la correttezza della risposta.

Molto spesso nel problema C2 è necessario lavorare con punti che dividono il segmento a metà. Le coordinate di tali punti sono facilmente calcolabili se si conoscono le coordinate delle estremità del segmento.

Quindi, lascia che il segmento sia definito dalle sue estremità - i punti A = (x a; y a; z a) e B = (x b; y b; z b). Quindi le coordinate del punto medio del segmento - lo denotiamo con il punto H - possono essere trovate con la formula:

In altre parole, le coordinate del punto medio di un segmento sono la media aritmetica delle coordinate dei suoi estremi.

Compito. Il cubo unitario ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 è posto nel sistema di coordinate in modo che gli assi x, yez siano diretti lungo i bordi AB, AD e AA 1, rispettivamente, e l'origine coincida con il punto A. Punto K è il punto medio del bordo A 1 B 1 . Trova le coordinate di questo punto.

Poiché il punto K è il punto medio del segmento A 1 B 1, le sue coordinate sono uguali alla media aritmetica delle coordinate degli estremi. Annotiamo le coordinate degli estremi: A 1 = (0; 0; 1) e B 1 = (1; 0; 1). Troviamo ora le coordinate del punto K:

Compito. Il cubo unitario ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 è posto nel sistema di coordinate in modo che gli assi x, yez siano diretti lungo i bordi AB, AD e AA 1, rispettivamente, e l'origine coincida con il punto A. Trova il coordinate del punto L dove si intersecano diagonali del quadrato A 1 B 1 C 1 D 1.

Dall'andamento planimetrico si sa che il punto di intersezione delle diagonali di un quadrato è equidistante da tutti i suoi vertici. In particolare, A 1 L = C 1 L, cioè il punto L è il punto medio del segmento A 1 C 1. Ma A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), quindi abbiamo:

Risposta: L = (0,5; 0,5; 1)

Un vettore normale al piano è un vettore perpendicolare a un dato piano. Ovviamente, ogni piano ha infiniti vettori normali. Ma ne basterà uno per risolvere i problemi.

Se il piano è dato dall'equazione generale , quindi il vettore è il vettore normale del piano dato... Solo scandaloso. Tutto quello che devi fare è "rimuovere" i coefficienti dall'equazione del piano.

Le tre schermate promesse aspettano, torniamo all'Esempio n. 1 e diamo un'occhiata. Lascia che ti ricordi che lì era necessario costruire l'equazione del piano usando un punto e due vettori. Come risultato della soluzione, abbiamo ottenuto l'equazione. Controlliamo:

Innanzitutto, sostituiamo le coordinate del punto nell'equazione risultante:

Si ottiene l'uguaglianza corretta, il che significa che il punto si trova realmente in questo piano.

In secondo luogo, rimuoviamo il vettore normale dall'equazione del piano:. Poiché i vettori sono paralleli al piano e il vettore è perpendicolare al piano, dovrebbero verificarsi i seguenti fatti: ... La perpendicolarità dei vettori è facile da controllare con prodotto scalare:

Conclusione: l'equazione del piano è stata trovata correttamente.

Durante la mia verifica, ho effettivamente citato la seguente affermazione della teoria: vettore parallela al piano se e solo se .

Risolviamo un problema importante correlato alla lezione:

Esempio 5

Trova il vettore normale unitario del piano .

Soluzione: Un vettore unitario è un vettore la cui lunghezza è uno. Indichiamo questo vettore con. Fondamentalmente, il paesaggio si presenta così:

È abbastanza chiaro che i vettori sono collineari.

Innanzitutto, rimuoviamo il vettore normale dall'equazione del piano:.

Come trovo il vettore unitario? Per trovare il vettore unitario , necessario ogni coordinata vettoriale dividere per la lunghezza del vettore .

Riscriviamo il vettore normale nella forma e troviamo la sua lunghezza:

Secondo quanto sopra:

Risposta:

Verifica: che è ciò che volevamo verificare.

Lettori che hanno studiato con attenzione l'ultimo paragrafo della lezione Prodotto scalare di vettori probabilmente l'avrai notato coordinate del vettore unitario Sono esattamente i coseni di direzione del vettore :

Divaghiamo dal problema analizzato: quando ti viene dato un vettore arbitrario diverso da zero, e per condizione è necessario trovare la sua direzione coseni (gli ultimi compiti della lezione Prodotto scalare di vettori), allora in effetti trovi un vettore unitario collineare a quello dato.

In effetti, due compiti in una bottiglia.

La necessità di trovare il vettore normale unitario sorge in alcuni problemi di analisi matematica.

Abbiamo capito come ripescare il vettore normale, ora risponderemo alla domanda opposta.