솔루션 예제의 순서를 제한하십시오. 시퀀스 제한 - 기본 정리 및 속성
Xn 요소 또는 시퀀스의 멤버, n - 시퀀스의 멤버. 함수 f (n)이 분석적으로, 즉 공식으로 주어지면 xn = f (n)을 시퀀스 구성원의 공식이라고합니다.
숫자 a는 임의의 ε> 0에 대해 숫자 n = n(ε)이 존재하는 경우 시퀀스의 극한(xn)이라고 합니다.
예 2. 예 1의 조건에서 숫자 a = 1이 이전 예의 순서의 극한이 아님을 증명하십시오. 해결책. 일반 용어를 다시 단순화하십시오. ε = 1(임의의 숫자>)
시퀀스의 극한을 직접 계산하는 작업은 다소 단조롭습니다. 그것들은 모두 n에 대한 다항식의 비율 또는 이러한 다항식에 대한 비합리적인 표현을 포함합니다. 풀기 시작할 때 괄호(근수 부호) 밖에 있는 가장 높은 차수에 구성요소를 배치합니다. 원래 표현식의 분자에 대해 이렇게 하면 인수 a ^ p가 나타나고 분모 b ^ q에 대해 나타납니다. 분명히, 나머지 모든 항은 С / (n-k) 형식을 가지며 n>에 대해 0이 되는 경향이 있습니다.
시퀀스의 극한을 계산하는 첫 번째 방법은 해당 정의를 기반으로 합니다. 사실, 그것은 극한에 대한 직접적인 탐색의 방법을 제공하지 않고 단지 어떤 숫자 a가 극한인지(또는 그렇지 않은지) 증명할 수 있다는 것을 기억해야 합니다. 예 1. 수열 (xn) = ( (3n ^ 2-2n -1) / (n ^ 2-n-2)) a = 3의 한계가 있습니다. 솔루션. 정의를 역순으로 적용하여 증명을 수행하십시오. 즉, 오른쪽에서 왼쪽으로. xn.хn = (3n ^ 2 + 4n + 2) / (n ^ 2 + 3n22) = ((3n + 1) (n + 1)) / ((n)에 대한 공식을 단순화할 방법이 없는지 먼저 확인하십시오. + 2) (n + 1)) =) = (3n + 1) / (n + 2) 부등식을 고려하십시오 | (3n + 1) / (n + 2) -3 | 0 nε보다 큰 자연수를 찾을 수 있습니다 -2+ 5 / ε보다.
예 2. 예 1의 조건에서 숫자 a = 1이 이전 예의 순서의 극한이 아님을 증명하십시오. 해결책. 일반 용어를 다시 단순화하십시오. ε = 1(임의의 수> 0) 일반 정의 | (3n + 1) / (n + 2) -1 |
시퀀스의 극한을 직접 계산하는 작업은 다소 단조롭습니다. 그것들은 모두 n에 대한 다항식의 비율 또는 이러한 다항식에 대한 비합리적인 표현을 포함합니다. 풀기 시작할 때 괄호(근수 부호) 밖에 있는 가장 높은 차수에 구성 요소를 배치합니다. 원래 표현식의 분자에 대해 이렇게 하면 인수 a ^ p가 나타나고 분모 b ^ q에 대해 나타납니다. 분명히 나머지 모든 항은 С / (n-k) 형식을 가지며 n> k에 대해 0이 되는 경향이 있습니다(n은 무한대가 됨). 그런 다음 답을 적어 둡니다. pq이면 0입니다.
수열과 무한 합의 극한을 찾는 비전통적인 방법을 표시해 보겠습니다. 우리는 함수 시퀀스를 사용할 것입니다(함수의 멤버는 특정 간격 (a, b)에 정의되어 있습니다). 예제 3. 1 + 1/2 형식의 합을 찾으세요! +1/3! +… + 1 / n! +… = 에스 솔루션. 임의의 숫자 a ^ 0 = 1. 1 = exp(0)를 입력하고 함수 시퀀스를 고려하십시오(1 + x + x ^ 2/2! + X ^ 3/3! +… + X ^ / n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}
극한을 갖는 수열의 주요 정리와 성질의 공식화를 제시한다. 시퀀스의 정의와 그 한계를 포함합니다. 수열을 사용한 산술 연산, 부등식과 관련된 속성, 수렴 기준, 극소수열 및 무한대 수열의 속성이 고려됩니다.
콘텐츠시퀀스의 유한 극한 속성
기본 속성
점은 이 점의 이웃 외부에 있는 경우에만 시퀀스의 극한입니다. 유한한 수의 요소시퀀스 또는 빈 집합입니다.
숫자가 수열의 극한이 아니면 점의 이웃이 있고 외부에는 다음이 있습니다. 시퀀스의 무한한 수의 요소.
수열의 극한에 대한 고유성 정리... 시퀀스에 제한이 있는 경우 유일한 제한입니다.
시퀀스에 유한한 한계가 있는 경우 제한된.
시퀀스의 모든 요소가 같은 수와 같다 C: 이 수열은 숫자 C와 동일한 한계를 갖습니다.
만약 순서가 처음 m개 요소 추가, 삭제 또는 변경, 그러면 수렴에 영향을 미치지 않습니다.
주요 속성의 증거페이지에 주어진다
시퀀스의 유한한 한계의 기본 속성 >>>.
한계가 있는 산술 연산
유한한 극한과 수열이 있다고 하자. 그리고 C를 상수, 즉 주어진 숫자라고 하자. 그 다음에
;
;
;
, 만약 .
몫의 경우 모든 n에 대해 가정합니다.
그렇다면.
산술 속성 증명페이지에 주어진다
시퀀스의 유한한 한계의 산술 속성 >>>.
부등식 속성
어떤 수에서 시작하는 수열의 요소가 부등식을 충족하면 이 수열의 극한도 부등식을 충족합니다.
어떤 숫자에서 시작하는 시퀀스의 요소가 닫힌 간격(세그먼트)에 속하면 한계도 이 간격에 속합니다.
If and and and and and and and and and and and and and and and and and and the elements of the sequences, which start from some number, then the 부등식, then.
If and, 어떤 숫자부터 시작합니다.
특히, 어떤 숫자에서 시작하는 경우,
그렇다면;
그렇다면.
만약 그리고, 그렇다면.
하자 그리고. 만약 < b , 모든 n에 대해 다음과 같은 자연수 N이 있습니다. > 엔불평등이 성립한다.
부등식과 관련된 속성 증명페이지에 주어진다
부등식 관련 시퀀스 제한 속성 >>>.
무한히 크고 무한히 작은 시퀀스
무한히 작은 시퀀스
극소수열은 극한이 0인 수열입니다..
합과 차유한한 수의 극소 수열 중 는 극소 수열입니다.
리미티드 시퀀스 상품무한소수열은 무한히 작은 수열입니다.
유한 곱극소수열은 극소수열이다.
수열이 극한을 가지려면 가 무한히 작은 수열이면 충분하고 필요합니다.
극소수열의 성질 증명페이지에 주어진다
무한 수열 - 정의 및 속성 >>>.
무한히 큰 시퀀스
무한히 큰 수열은 무한히 큰 극한을 가진 수열입니다. 즉, 임의의 양수에 대해 자연수 N이 존재하는 경우 모든 자연수에 대해 부등식.
이 경우 작성
.
또는.
그들은 그것이 무한한 경향이 있다고 말합니다.
만약, 어떤 숫자 N부터 시작한다면,
.
그렇다면
.
시퀀스가 무한히 크면 어떤 숫자 N부터 시작하여 무한히 작은 시퀀스가 정의됩니다. 0이 아닌 요소가 있는 무한히 작은 시퀀스인 경우 시퀀스는 무한히 큽니다.
시퀀스가 무한히 크고 시퀀스가 제한되어 있는 경우
.
시퀀스 요소의 절대 값이 아래에서 양수()로 경계가 지정되고 0이 아닌 요소로 극소인 경우
.
자세히 예제가 있는 무한히 큰 시퀀스의 정의페이지에 주어진다
무한히 큰 시퀀스의 정의 >>>.
무한히 큰 시퀀스의 속성 증명페이지에 주어진다
무한히 큰 시퀀스의 속성 >>>.
시퀀스에 대한 수렴 기준
모노톤 시퀀스
엄격하게 증가하는 수열은 다음 부등식이 성립하는 모든 요소에 대한 수열입니다..
다른 모노톤 시퀀스는 유사한 부등식으로 정의됩니다.
엄밀히 내림차순:
.
비감소 시퀀스:
.
증가하지 않는 순서:
.
엄격하게 증가하는 시퀀스도 감소하지 않습니다. 엄격하게 감소하는 시퀀스도 증가하지 않습니다.
단조 시퀀스는 감소하지 않거나 증가하지 않는 시퀀스입니다.
단조 시퀀스는 적어도 한 쪽에서 값에 의해 제한됩니다. 비감소 시퀀스는 아래에서 경계가 지정됩니다. 증가하지 않는 시퀀스는 위에서부터 경계가 지정됩니다.
바이어슈트라스 정리... 비감소(비증가) 수열이 유한한 극한을 가지려면 위에서(아래에서) 경계를 이루는 것이 필요하고 충분합니다. 여기서 M은 어떤 숫자입니다.
감소하지 않는(증가하지 않는) 시퀀스는 아래에서(위에서) 경계가 지정되므로 Weierstrass 정리는 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.
단조 시퀀스가 유한한 한계를 가지려면 다음과 같이 제한되는 것이 필요하고 충분합니다.
모노톤 무제한 시퀀스비감소 및 비증가 시퀀스에 대해 동일한 무한한 제한이 있습니다.
Weierstrass' 정리의 증명페이지에 주어진
단조 시퀀스의 극한에 대한 Weierstrass의 정리 >>>.
수열의 수렴에 대한 Cauchy의 기준
코시 상태시퀀스는 다음을 충족합니다. 코시 조건조건을 만족하는 모든 자연수 n과 m에 대해 부등식이 성립하는 자연수가 존재하는 경우
.
기본 수열은 다음을 만족하는 수열입니다. 코시 상태.
수열의 수렴에 대한 Cauchy의 기준... 수열이 유한한 극한을 가지려면 코시 조건을 만족하는 것이 필요하고 충분합니다.
코시 수렴 기준의 증명페이지에 주어진
수열의 수렴에 대한 Cauchy의 기준 >>>.
하위 시퀀스
볼차노 - 바이어슈트라스 정리... 수렴 부분 수열은 경계 수열에서 선택할 수 있습니다. 그리고 무한한 수열에서 - 또는 수렴하는 무한히 큰 부분 수열.
볼차노의 증명 - 바이어슈트라스 정리페이지에 주어진
Bolzano - Weierstrass 정리 >>>.
부분 수열 및 부분 극한의 정의, 정리 및 속성에 대해서는 페이지를 참조하십시오.
하위 시퀀스 및 시퀀스의 부분 제한 >>>.
참조:
센티미터. 니콜스키. 수학적 분석 과정. 1983년 모스크바 1권.
엘디 Kudryavtsev. 수학적 분석 과정. 1권. 모스크바, 2003.
V.A. 취리히. 수학적 분석. 1부. 모스크바, 1997.
V.A. 일린, E.G. 포즈냐크. 수학적 분석의 기초. 1부. 모스크바, 2005.
번호 시퀀스 제한- 숫자 공간의 요소 시퀀스의 제한. 숫자 공간은 요소 간의 차이의 계수로 정의되는 메트릭 공간입니다. 따라서 번호라고합니다. 순서의 한계어떤 경우에도 불평등이 유지되는 것과 같은 숫자가 있습니다.
실수열의 극한의 개념은 매우 간단하며, 복소수의 경우 수열의 극한의 존재는 복소수의 실수부와 허수부의 대응열의 극한의 존재와 같다. .
극한(수열)은 수학적 분석의 기본 개념 중 하나입니다. 각 실수는 원하는 값에 대한 근사 시퀀스의 극한으로 나타낼 수 있습니다. 번호 시스템은 이러한 자격 시퀀스를 제공합니다. 무리수는 주기적인 근사 시퀀스로 설명되는 반면 무리수는 비주기적 시퀀스 시퀀스로 설명됩니다.
유한한 수의 부호가 있는 숫자 표현이 사용되는 수치적 방법에서는 근사 시스템의 선택이 특별한 역할을 합니다. 근사 시스템의 품질에 대한 기준은 수렴 속도입니다. 이러한 점에서 연속 분수가 효과적입니다.
정의
번호가 호출됩니다 숫자 시퀀스의 한계시퀀스가 극소인 경우, 즉 일부에서 시작하는 모든 요소가 미리 취한 양수보다 작은 절대값에 있습니다.
숫자 시퀀스에 실수 형태의 극한이 있는 경우 이를 수렴 이 번호로. 그렇지 않으면 시퀀스가 호출됩니다. 발산 ... 게다가 그것이 무한하다면 그 극한은 무한대와 같다고 가정된다.
또한, 어떤 수에서 시작하여 무한 수열의 모든 요소가 양수 부호를 가진다면 그러한 수열의 극한은 다음과 같습니다. 플러스 무한대 .
특정 숫자로 시작하는 무한 수열의 요소가 음수 부호를 가지면 그러한 수열의 한계는 다음과 같습니다. 마이너스 무한대 .
이 정의에는 치명적인 결함이 있습니다. 한계가 무엇인지 설명하지만 계산 방법이나 존재에 대한 정보를 제공하지 않습니다. 이 모든 것은 아래에 증명된 극한의 속성에서 추론됩니다.
오늘 수업에서 우리는 분석 할 것입니다 엄격한 시퀀싱그리고 함수의 한계에 대한 엄격한 정의, 또한 이론적 성격의 해당 문제를 해결하는 방법을 배웁니다. 이 글은 우선 수학적 분석이론을 공부하기 시작하여 고등수학의 이 부분을 이해하는데 어려움을 겪는 자연과학 및 공학 및 기술 전공 1학년 학생들을 대상으로 한다. 또한, 이 자료는 고등학생이 충분히 접근할 수 있습니다.
사이트가 존재하는 몇 년 동안 나는 대략 다음과 같은 내용의 수십 통의 편지를 받았습니다. "수학적 분석을 이해하지 못합니다. 어떻게 해야 합니까?", 공부 그만둬" 등 실제로 첫 번째 세션 이후에 종종 학생 그룹을 가늘게 만드는 것은 마탄입니다. 왜 이런 일이 발생합니까? 주제가 엄청나게 어렵기 때문에? 별말씀을 요! 수학적 분석의 이론은 독특한만큼 어렵지 않습니다... 그리고 그녀를 있는 그대로 받아들이고 사랑해야 합니다 =)
최악의 경우부터 시작합시다. 우선 학교를 그만둘 필요가 없습니다. 올바르게 이해하십시오. 끊으려면 항상 제 시간에 맞춰야합니다 ;-) 물론 1-2 년 후에 선택한 전문 분야에서 아프면 예 - 그것에 대해 생각해야합니다 (그리고 열을 내리지 마십시오!)활동의 변화에 대해. 그러나 지금은 계속할 가치가 있습니다. 그리고 "나는 아무것도 이해하지 못합니다"라는 문구를 잊어 버리십시오. 전혀 이해하지 못하는 것은 아닙니다.
이론이 나쁘다면? 덧붙여서, 이것은 수학적 분석에만 적용되는 것은 아닙니다. 이론이 나쁘면 먼저 진지하게 실천해야 합니다. 동시에 두 가지 전략적 과제가 동시에 해결되고 있습니다.
- 첫째, 이론 지식의 상당 부분이 실습에서 나왔습니다. 따라서 많은 사람들이 이론을 통해 이해합니다 ... - 맞습니다! 아니요, 아니요, 당신은 그것에 대해 생각하고 있지 않았습니다 =)
- 그리고 둘째, 실기 능력은 시험에서 당신을 "스트레칭"할 가능성이 큽니다. 모든 것이 현실적이며 모든 것이 현실적입니다. 수학적 분석은 고등 수학에서 제가 가장 좋아하는 분야이므로 귀하에게 도움의 손길을 내밀지 않을 수 없습니다.
1학기 초에는 일반적으로 시퀀스 제한과 기능 제한을 통과합니다. 이것들이 무엇인지 이해하지 못하고 해결 방법을 모르십니까? 기사로 시작 기능 제한, "손가락에"라는 개념 자체를 고려하고 가장 간단한 예를 분석합니다. 그런 다음 에 대한 수업을 포함하여 해당 주제에 대한 다른 수업을 진행합니다. 시퀀스 내에서나는 사실 이미 엄격한 정의를 공식화했습니다.
부등식과 계수 외에 어떤 아이콘을 알고 있습니까?
- 긴 세로 막대는 다음과 같습니다. "그런 것", "그런 것", "그런 것" 또는 "그런 것", 우리의 경우 분명히 숫자에 대해 이야기하고 있습니다. 따라서 "그러한 것"입니다.
- 모든 "en"에 대해, 보다 큼;
– 계수 기호는 거리를 의미합니다, 즉. 이 항목은 값 사이의 거리가 엡실론보다 작다는 것을 알려줍니다.
치명적으로 어렵나요? =)
연습을 마스터 한 후 다음 단락에서 당신을 기다리고 있습니다.
그리고 사실, 시퀀스의 엄격한 정의를 공식화하는 방법을 조금 생각해 봅시다. ... 세상에서 가장 먼저 떠오르는 것은 실습: "수열의 극한은 수열의 구성원이 무한히 가까운 수입니다."
좋아, 서명하자 하위 시퀀스 :
그것을 파악하는 것은 어렵지 않다. 하위 시퀀스 
-1에 무한히 가깝고 짝수 항 
- "하나"에.
아니면 두 가지 제한이 있습니까? 그런데 왜 어떤 시퀀스는 10이나 20을 가질 수 없습니까? 이것은 멀리 갈 수 있습니다. 이와 관련하여 다음과 같이 가정하는 것이 논리적입니다. 시퀀스에 제한이 있는 경우 유일한 제한입니다..
메모 : 시퀀스에는 제한이 없지만 두 하위 시퀀스를 구별할 수 있습니다(위 참조). 각 하위 시퀀스에는 고유한 제한이 있습니다.
따라서 위의 정의는 지지할 수 없는 것으로 판명됩니다. 예, 다음과 같은 경우에 작동합니다. (실제 예제에 대한 단순화된 설명에서 제대로 사용하지 않았습니다), 하지만 이제 우리는 엄격한 정의를 찾아야 합니다.
두 번째 시도: "시퀀스의 한계는 시퀀스의 모든 구성원이 접근하는 수입니다. 마지막수량 ". 이것은 진실에 더 가깝지만 여전히 완전히 정확하지는 않습니다. 예를 들어, 시퀀스 
구성원의 절반은 전혀 0에 접근하지 않습니다 - 그들은 단순히 그것과 같습니다 =) 그런데 "flasher"는 일반적으로 두 개의 고정 값을 취합니다.
공식을 명확히 하는 것은 어렵지 않지만 또 다른 질문이 생깁니다. 수학 기호로 정의를 작성하는 방법은 무엇입니까? 과학계는 이 문제를 놓고 상황이 해결될 때까지 오랫동안 싸웠습니다. 유명한 거장, 본질적으로 모든 엄격함에서 고전 미적분학을 공식화했습니다. 운영을 제안한 코시 주위 , 이론을 크게 발전시킨 것보다.
특정 지점을 고려하고 임의의-이웃:
"엡실론"의 의미는 항상 긍정적이며, 또한, 우리는 그것을 스스로 선택할 권리가 있습니다... 주어진 이웃에 일련의 용어가 있다고 가정합니다. (반드시 전부는 아님)어떤 순서. 예를 들어 열 번째 회원이 이웃에 들어갔다는 사실을 어떻게 기록합니까? 오른쪽에 두십시오. 그런 다음 점 사이의 거리는 "엡실론"보다 작아야 합니다. 그러나 "x 십분의 일"이 점 "a"의 왼쪽에 있으면 차이가 음수가 되므로 기호를 추가해야 합니다. 기준 치수: .
정의: 다음과 같은 경우 수를 시퀀스의 극한이라고 합니다. 어떠한 것도그 주변 (미리 선택됨)자연수가 있습니다 - 그러한 모두숫자가 더 높은 시퀀스의 구성원은 이웃 내부에 있습니다.
또는 간단히 말해서: 만약
다시 말해, "엡실론"의 값이 아무리 작더라도 조만간 시퀀스의 "무한 꼬리"가 이 이웃에 완전히 포함될 것입니다.
예를 들어, 시퀀스의 "무한 꼬리" FULLY는 임의의 작은 -이웃으로 이동합니다. 따라서 이 값은 정의에 따른 시퀀스의 한계입니다. 극한이 0인 시퀀스가 호출됨을 상기시킵니다. 극소.
시퀀스에 대해 더 이상 "무한 꼬리 올 것이다"- 홀수 번호를 가진 구성원은 실제로 0과 같으며" 아무데도 가지 않습니다. "=) 그렇기 때문에 동사"가 나타납니다"가 정의에 사용됩니다. 그리고 물론 "어디에도 가지 마세요"와 같은 시퀀스의 구성원. 그건 그렇고, 숫자가 한계인지 확인하십시오.
이제 시퀀스에 제한이 없음을 보여줍니다. 예를 들어, 점의 이웃을 고려하십시오. 모든 구성원이 주어진 이웃에 있게 되는 그런 숫자는 없다는 것이 매우 분명합니다. 홀수 구성원은 항상 "빼기 1"로 "뛰어나갑니다". 비슷한 이유로 지점에는 제한이 없습니다.
실습을 통해 자료를 수정해 보겠습니다.
실시예 1
시퀀스의 극한이 0임을 증명하십시오. 시퀀스의 모든 구성원이 임의의 작은 점의 이웃 내부에 있도록 보장되는 숫자를 지정하십시오.
메모 : 많은 시퀀스에서 원하는 자연수는 값에 따라 달라집니다. 따라서 표기법입니다.
해결책: 고려하다 임의의 거기있다 number - 더 높은 숫자를 가진 모든 구성원이 이 이웃 안에 있도록 합니다.
원하는 수의 존재를 나타내기 위해 를 통해 표현합니다.
"en" 값에 대해 모듈러스 기호를 제거할 수 있으므로 다음과 같이 하십시오.
우리는 수업에서 반복했던 불평등과 함께 "학교"행동을 사용합니다. 선형 부등식그리고 기능 범위... 이 경우 중요한 상황은 "epsilon"과 "en"이 양수라는 것입니다.
왼쪽에서 우리는 자연수에 대해 이야기하고 있고 오른쪽은 일반적으로 분수이므로 반올림해야 합니다.
메모 : 때로는 안전을 위해 오른쪽에 유닛이 추가되지만, 이는 사실 과잉입니다. 상대적으로 말하자면, 반올림하여 결과를 약화시키면 가장 가까운 적절한 숫자("3")가 여전히 원래의 부등식을 충족합니다.
이제 우리는 불평등을 살펴보고 우리가 원래 고려했던 것을 기억합니다. 임의의-이웃, 즉 엡실론은 다음과 같을 수 있습니다. 어느양수.
산출: 점의 임의의 작은 -이웃에 대해 값 
... 따라서 숫자는 정의에 따른 시퀀스의 극한입니다. Q.E.D.
그건 그렇고, 얻은 결과에서 
자연적인 규칙성은 분명히 볼 수 있습니다. 이웃이 작을수록 숫자가 커지며, 그 후에 시퀀스의 모든 구성원이 주어진 이웃에 있게 됩니다. 그러나 "엡실론"이 아무리 작아도 내부와 외부에는 항상 "끝없는 꼬리"가 있습니다. 그러나 그것이 크더라도 마지막회원 수.
당신의 인상은 어떻습니까? =) 이상하다는 데 동의합니다. 그러나 엄격하게!모든 것을 다시 읽고 이해하십시오.
비슷한 예를 보고 다른 기술을 살펴보겠습니다.
실시예 2
해결책: 시퀀스의 정의에 의해 다음을 증명할 필요가 있습니다. (우리는 그것을 큰 소리로 말합니다 !!!).
고려하다 임의의- 포인트의 이웃과 여부 확인 그것은 존재합니까자연수 - 모든 큰 수에 대해 다음 부등식이 충족되도록 합니다. 
이러한 존재를 나타내기 위해서는 "en"을 "epsilon"으로 표현해야 합니다. 모듈 기호 아래의 표현식을 단순화해 보겠습니다. 
모듈은 빼기 기호를 제거합니다. 
분모는 "en"에 대해 양수이므로 막대기를 제거할 수 있습니다.
혼합: 
이제 우리는 제곱근을 추출해야 하지만 일부 엡실론의 경우 오른쪽이 음수가 될 것이라는 점을 주의해야 합니다. 이 문제를 피하기 위해 강화할 것이다계수 부등식: 
왜 이것이 가능합니까? 조건부로 말하면 조건이 훨씬 더 많이 충족됩니다. 모듈은 증가만원하는 번호, 그리고 그것은 우리에게도 맞을 것입니다! 대략적으로 말하자면, 100번째가 적합하면 200번째가 적합합니다! 정의에 따르면 다음을 표시해야 합니다. 숫자의 존재 그 자체(적어도 일부), 그 후 시퀀스의 모든 구성원은 -이웃에 있습니다. 그건 그렇고, 그래서 우리는 오른쪽의 마지막 반올림을 두려워하지 않습니다.
루트 추출: 
결과를 반올림합니다. 
산출: 부터 값 "epsilon"이 임의로 선택되고 임의의 작은 이웃에 대해 값이 발견되었습니다. 
, 모든 큰 숫자에 대해 불평등 
... 따라서, 
우선. Q.E.D.
권하다 특히불평등의 강화와 약화를 이해하는 것 - 이것은 수학적 분석의 일반적이고 매우 일반적인 방법입니다. 모니터링해야 하는 유일한 것은 이 작업 또는 그 작업의 정확성입니다. 예를 들어, 불평등 
어떤 상황에서도 늦추다하나를 빼서 다음과 같이 말합니다. 
다시 조건부로: 숫자가 정확히 맞으면 이전 숫자가 더 이상 맞지 않을 수 있습니다.
다음 예는 DIY 솔루션에 대한 것입니다.
실시예 3
시퀀스의 정의를 사용하여 다음을 증명하십시오. 
튜토리얼 끝에 짧은 솔루션과 답변이 있습니다.
만약 순서가 무한히 위대하다, 그러면 극한의 정의가 비슷한 방식으로 공식화됩니다. 한 점을 시퀀스의 극한이라고 합니다. 당신이 좋아하는만큼 큰숫자, 모든 더 큰 숫자에 대해 불평등이 유지되는 숫자가 있습니다. 번호가 호출됩니다 "더하기 무한대" 점 부근:
다시 말해, 우리가 아무리 큰 값을 취하더라도 시퀀스의 "무한 꼬리"는 필연적으로 점의 -이웃으로 이동하여 왼쪽에 유한한 수의 멤버만 남게 됩니다.
의무 예:
그리고 속기: 만약
경우에 따라 정의를 직접 작성하십시오. 올바른 버전은 강의 끝에 있습니다.
실제 예제를 손에 넣고 시퀀스의 극한을 정의하는 방법을 파악한 후에는 수학 분석 문헌 및/또는 강의 책을 참조할 수 있습니다. 보한 1권 다운을 추천합니다 (간단한 - 교외 학생용)그리고 피히텐골트 (좀 더 자세히 그리고 자세히)... 다른 저자들 중에서 저는 기술 대학에 초점을 맞춘 코스를 제공하는 Piskunov에게 조언합니다.
수열의 극한, 증명, 결론과 관련된 정리를 성실하게 연구하십시오. 이론은 처음에는 "흐릿한" 것처럼 보일 수 있지만 괜찮습니다. 익숙해지는 데 시간이 걸립니다. 그리고 많은 사람들이 맛을 보게 될 것입니다!
함수의 한계에 대한 엄격한 정의
같은 것부터 시작하겠습니다. 이 개념을 공식화하는 방법은 무엇입니까? 함수의 극한에 대한 구두 정의는 훨씬 간단하게 공식화됩니다. (왼쪽과 오른쪽 모두), 함수의 해당 값은 " (그림 참조)... 모든 것이 정상인 것 같지만 단어는 말, 의미는 의미, 아이콘은 아이콘, 엄격한 수학적 표기법이 부족합니다. 그리고 두 번째 단락에서 우리는 이 문제를 해결하기 위한 두 가지 접근 방식에 대해 알게 될 것입니다.
가능한 한 점을 제외한 일부 간격으로 함수를 정의합니다. 교육 문헌에서는 일반적으로 기능이 ~ 아니다한정된: 
이 선택은 강조 기능 제한 에센스: "NS" 끝없이 가까운접근 방식 및 해당 기능 값은 - 끝없이 가까운 NS . 즉, 극한의 개념은 점에 대한 "정확한 접근"을 의미하지 않습니다. 무한히 가까운 근사, 함수가 해당 지점에서 정의되었는지 여부는 중요하지 않습니다.
함수의 극한에 대한 첫 번째 정의는 당연히 두 개의 시퀀스를 사용하여 공식화됩니다. 첫째, 개념들이 연관되어 있고, 둘째, 함수의 극한은 일반적으로 수열의 극한 이후에 연구된다.
순서를 고려하십시오 
포인트들 (도면에는 표시되지 않음)간격에 속하는 이것 말고도어느 수렴 NS . 그런 다음 함수의 해당 값도 숫자 시퀀스를 형성하며 그 구성원은 세로축에 있습니다.
하이네 기능 한계 어떠한 것도포인트 시퀀스 
(~에 속하는 및 이외의)점으로 수렴하는 함수의 해당 값 시퀀스는 수렴합니다.
Eduard Heine은 독일의 수학자입니다. ... 그리고 당신은 그런 것에 대해 생각할 필요가 없습니다. 유럽에는 단 하나의 게이가 있습니다 - 이것은 Gay Lussac입니다 =)
한계의 두 번째 정의가 구축되었습니다 ... 예, 맞습니다. 하지만 먼저 디자인을 살펴보겠습니다. 점의 임의의 이웃을 고려하십시오. ("검은" 동네)... 이전 단락에 따라 표기법은 다음을 의미합니다. 어떤 의미함수는 엡실론 이웃 안에 있습니다.
이제 우리는 주어진 -neighborhood와 일치하는 -neighborhood를 찾습니다. (정신적으로 왼쪽에서 오른쪽으로 검은색 점선을 그린 다음 위에서 아래로)... 값을 가져오는 중입니다. 더 작은 세그먼트의 길이를 따라, 이 경우에는 더 짧은 왼쪽 세그먼트의 길이를 따라. 또한 다음 정의에서 "진홍색"-점 주변을 줄일 수도 있습니다. 존재 자체가 중요하다이 동네. 그리고 유사하게 표기법은 일부 값이 "델타" 이웃 안에 있음을 의미합니다.
함수의 코시 극한: 숫자는 다음과 같은 경우 한 점에서 함수의 극한이라고 합니다. 어떠한 것도 미리 선택된이웃 (그러나 작음), 존재- 포인트의 이웃, 그런 that: AS ONLY 값 (에게 소유 된)이 이웃에 포함: (빨간색 화살표)- 따라서 즉시 해당 함수의 값이 -이웃으로 이동하도록 보장됩니다. (파란색 화살표).
더 명확하게하기 위해 약간 즉흥적으로 만들었으므로 남용하지 마십시오 =)
짧은 항목: 만약
정의의 본질은 무엇입니까? 비유적으로 말해서 -이웃을 무한히 감소시키면서 우리는 함수의 값을 한계까지 "동반"하여 다른 곳으로 접근할 수 있는 대안을 남기지 않습니다. 아주 이례적이지만 다시 엄격합니다! 아이디어를 올바르게 얻으려면 문구를 다시 읽으십시오.
! 주목: 공식화만 하면 되는 경우 하이네 정의또는 만 코시 정의잊지 말아주세요 필수적인예비 논평: "가능한 한 점을 제외하고 특정 간격으로 정의되는 함수를 고려하십시오."... 나는 이것을 처음에 한 번 표시하고 매번 반복하지 않았습니다.
해당 수학적 분석의 정리에 따르면 Heine에 따른 정의와 Cauchy에 따른 정의는 동일하지만 가장 유명한 것은 두 번째 버전입니다. (그래도 그럴거야!), "혀 제한"이라고도 합니다.
실시예 4
극한의 정의를 사용하여 다음을 증명하십시오. 
해결책: 함수는 점을 제외한 정수 라인에 정의됩니다. 정의를 사용하여 주어진 점에서 극한의 존재를 증명합니다.
메모 : "delta" -neighborhood의 값은 "epsilon"에 따라 다르므로 표기법
고려하다 임의의-이웃. 작업은 이 값으로 확인하는 것입니다. 그것은 존재합니까-이웃, 그런, 이는 불평등으로부터 
불평등은 다음과 같다 
.
이를 가정하면 마지막 부등식을 다음과 같이 변환합니다. 
(분해된 제곱 삼항식)
수학은 세상을 만드는 과학입니다. 과학자와 평범한 사람 모두 - 아무도 그녀 없이는 할 수 없습니다. 첫째, 어린 아이들은 세고, 그 다음에는 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기를 배운 다음 문자 지정이 중학교에서 시작되며, 나이가 많은 아이들은 그들 없이는 할 수 없습니다.
그러나 오늘 우리는 알려진 모든 수학이 무엇을 기반으로 하는지에 대해 이야기할 것입니다. "시퀀스 제한"이라고 하는 숫자 커뮤니티에 대해.
시퀀스란 무엇이며 그 한계는 어디입니까?
"순서"라는 단어의 의미는 해석하기 어렵지 않습니다. 이것은 누군가 또는 무언가가 특정 순서 또는 대기열로 배열되는 사물의 구성입니다. 예를 들어 동물원 티켓 대기열은 시퀀스입니다. 게다가 하나만 있을 수 있어요! 예를 들어 상점의 대기열을 보면 이것은 하나의 시퀀스입니다. 그리고 한 사람이 갑자기 이 대기열을 떠나면 이것은 다른 대기열, 다른 순서입니다.
"한계"라는 단어도 쉽게 해석됩니다. 그것은 무언가의 끝입니다. 그러나 수학에서 수열의 한계는 수열이 경향이 있는 수열의 값입니다. 왜 노력하고 끝나지 않는가? 간단하고 숫자 줄에는 끝이 없으며 광선과 같은 대부분의 시퀀스는 시작만 있고 다음과 같습니다.
x 1, x 2, x 3, ... x n ...
따라서 시퀀스의 정의는 자연 인수의 함수입니다. 간단히 말해서 집합의 일련의 구성원입니다.
숫자 시퀀스는 어떻게 만들어집니까?
숫자 시퀀스의 가장 간단한 예는 다음과 같습니다. 1, 2, 3, 4, ... n ...
대부분의 경우 실용적인 목적을 위해 시퀀스는 숫자로 구성되며 시리즈의 다음 각 구성원(X로 표시)에는 고유한 이름이 있습니다. 예를 들어:
x 1 - 시퀀스의 첫 번째 멤버.
x 2 - 시퀀스의 두 번째 멤버.
x 3 - 세 번째 기간;
x n은 n번째 항입니다.
실제 방법에서 시퀀스는 일부 변수가 있는 일반 공식으로 제공됩니다. 예를 들어:
X n = 3n인 경우 일련의 숫자 자체는 다음과 같습니다.
시퀀스의 일반적인 기록에서 X뿐만 아니라 모든 라틴 문자를 사용할 수 있다는 것을 잊지 말아야 합니다. 예: y, z, k 등.
시퀀스의 일부인 산술 진행
수열의 한계를 찾기 전에 중산층에서 누구나 접하게 되는 유사수열의 개념에 대해 더 깊이 파고드는 것이 좋습니다. 산술 진행은 인접한 항 간의 차이가 일정한 일련의 숫자입니다.
문제: “a 1 = 15, 수열 진행 단계 d = 4라고 하자. 이 행의 처음 4개 멤버 빌드 "
솔루션: a 1 = 15(조건별) - 진행의 첫 번째 구성원(숫자 계열).
2 = 15 + 4 = 19는 진행의 두 번째 항입니다.
3 = 19 + 4 = 23은 세 번째 항입니다.
4 = 23 + 4 = 27은 네 번째 항입니다.
그러나 이 방법을 사용하면 예를 들어 125.. 특히 이러한 경우에 편리한 공식이 도출되었습니다. a n = a 1 + d(n-1). 이 경우 a 125 = 15 + 4 (125-1) = 511입니다.
시퀀스 유형
대부분의 시퀀스는 끝이 없고 평생 기억할 가치가 있습니다. 두 가지 흥미로운 유형의 숫자 시리즈가 있습니다. 첫 번째는 공식 а n = (- 1) n으로 제공됩니다. 수학자들은 종종 이 수열을 번쩍이는 빛이라고 부릅니다. 왜요? 숫자 시리즈를 확인합시다.
1, 1, -1, 1, -1, 1 등 이 예를 통해 시퀀스의 숫자를 쉽게 반복할 수 있음이 분명해졌습니다.
팩토리얼 시퀀스. 추측하기 쉽습니다. 수식에 순서를 정의하는 계승이 있습니다. 예: 그리고 n = (n + 1)!
그러면 시퀀스는 다음과 같이 보일 것입니다.
2 = 1x2x3 = 6;
a 3 = 1x2x3x4 = 24 등
산술 진행에 의해 주어진 수열은 부등식 -1인 경우 무한 감소라고 합니다. a 3 = - 1/8 등 같은 번호의 시퀀스도 있습니다. 따라서 n = 6은 6의 무한 집합으로 구성됩니다. 수열 제한은 수학에서 오랫동안 사용되어 왔습니다. 물론 그들은 자신의 영리한 디자인을 받을 자격이 있습니다. 이제 시퀀스 제한의 정의를 알아볼 차례입니다. 우선 선형 함수의 한계를 자세히 고려하십시오. 수열의 극한에 대한 정의는 다음과 같이 공식화될 수 있다는 것을 이해하기 쉽습니다. 수열의 모든 구성원이 무한히 접근하는 특정 수입니다. 간단한 예: a x = 4x + 1. 그러면 시퀀스 자체가 다음과 같이 보일 것입니다. 5, 9, 13, 17, 21 ... x ... 따라서 이 수열은 무한히 증가하므로 그 극한은 x → ∞로 무한대와 같으며 다음과 같이 작성해야 합니다. 유사한 시퀀스를 취하지만 x가 1인 경향이 있으면 다음을 얻습니다. 그리고 일련의 숫자는 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 등입니다. 매번 1에 가까운 숫자로 대체해야 합니다(0.1, 0.2, 0.9, 0.986). 이 시리즈에서 기능의 한계가 5임을 알 수 있습니다. 이 부분에서 수열의 한계가 무엇인지, 간단한 문제를 해결하기 위한 정의와 방법을 기억할 가치가 있습니다. 숫자 시퀀스의 한계, 정의 및 예를 분해하면 더 복잡한 주제로 진행할 수 있습니다. 절대적으로 시퀀스의 모든 한계는 일반적으로 첫 학기에 분석되는 하나의 공식으로 공식화될 수 있습니다. 그렇다면 이 일련의 문자, 계수 및 부등호 기호는 무엇을 의미합니까? ∀은 "for all", "for everything" 등의 문구를 대체하는 보편적인 수량사입니다. ∃는 실존 수량사이며, 이 경우 자연수 집합에 속하는 값 N이 있음을 의미합니다. N 다음에 오는 긴 수직 막대기는 주어진 집합 N이 "그러한 것"임을 의미합니다. 실제로는 "그런 것", "그런 것" 등을 의미할 수 있습니다. 자료를 통합하려면 공식을 큰 소리로 읽으십시오. 위에서 살펴본 시퀀스의 극한을 찾는 방법은 사용하기 쉽지만 실제로는 그렇게 합리적이지 않다. 다음과 같은 함수의 한계를 찾아보십시오. "x"의 다른 값을 대입하면(매번 증가: 10, 100, 1000 등) 분자에서 ∞를 얻지만 분모에서도 ∞를 얻습니다. 그것은 다소 이상한 분수로 밝혀졌습니다. 하지만 정말 그렇습니까? 이 경우 수열의 극한을 계산하는 것은 충분히 쉬워 보입니다. 답변이 준비되어 있고 합리적인 조건으로 접수되었으므로 모든 것을 그대로 둘 수 있지만 그러한 경우에는 특별히 다른 방법이 있습니다. 먼저 분수의 분자에서 가장 높은 차수를 찾자. x는 x 1로 표시될 수 있기 때문에 이것은 1입니다. 이제 분모에서 가장 높은 차수를 찾아봅시다. 또한 1. 분자와 분모를 변수로 가장 높은 차수로 나눕니다. 이 경우 분수를 x 1로 나눕니다. 다음으로, 변수를 포함하는 각 항이 경향이 있는 값을 찾습니다. 이 경우 분수가 고려됩니다. x → ∞이므로 각 분수의 값은 0이 되는 경향이 있습니다. 저작물을 서면으로 등록할 때 다음 각주를 작성하는 것이 좋습니다. 다음 식이 얻어진다: 물론 x를 포함하는 분수는 0이 되지 않습니다! 그러나 그 가치는 너무 작아서 계산에서 고려하지 않는 것이 허용됩니다. 사실 이 경우 x는 0과 같지 않을 것입니다. 왜냐하면 0으로 나눌 수 없기 때문입니다. 교수가 자신이 마음대로 사용할 수 있는 복잡한 수열을 가지고 있다고 가정해 봅시다. 분명히 똑같이 복잡한 공식이 주어집니다. 교수님이 답을 찾았는데 맞나요? 결국 사람은 다 틀립니다. 오귀스트 코시(Auguste Cauchy)는 수열의 한계를 증명하는 훌륭한 방법을 한 번 생각해 냈습니다. 그의 방법은 주변을 조작하는 것입니다. 어떤 점이 있다고 가정하고 숫자 라인의 양방향 이웃은 ε("엡실론")입니다. 마지막 변수는 거리이므로 그 값은 항상 양수입니다. 이제 어떤 시퀀스 x n을 정의하고 시퀀스의 10번째 항(x 10)이 a의 이웃에 들어간다고 가정합니다. 이 사실을 수학적 언어로 어떻게 쓰나요? x 10이 점 a의 오른쪽에 있다고 가정하고 거리 x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. 이제 위에서 언급한 공식을 실제로 설명할 때입니다. 부등식 ε> 0이 한계 중 하나에 대해 유지되고 전체 이웃이 자연수 N을 가지므로 더 중요한 숫자를 가진 시퀀스의 모든 구성원이 시퀀스 | xn - a |< ε. 이러한 지식이 있으면 수열의 극한의 솔루션을 구현하여 준비된 답을 증명하거나 반증하는 것이 쉽습니다. 시퀀스 극한 정리는 이론의 중요한 구성 요소로, 이론 없이는 실습이 불가능합니다. 해결 또는 증명 과정을 크게 촉진할 수 있는 것을 기억하면 다음과 같은 네 가지 주요 정리만 있습니다. 때때로 숫자 시퀀스의 주어진 한계를 증명하기 위해 역 문제를 해결해야 합니다. 예를 들어 보겠습니다. 공식으로 주어진 수열의 극한이 0임을 증명하십시오. 위에서 고려한 규칙에 따르면 모든 시퀀스에 대해 부등식 | x n - a |<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: 수의 존재를 보여주고 수열에 극한이 있음을 증명하기 위해 n을 엡실론으로 표현해보자. 이 단계에서 "epsilon"과 "en"은 양수이며 0이 아님을 기억하는 것이 중요합니다. 이제 고등학교에서 배운 불평등에 대한 지식을 사용하여 변환을 계속할 수 있습니다. n> -3 + 1 / ε임을 알 수 있습니다. 우리가 자연수에 대해 이야기하고 있다는 것을 기억할 가치가 있기 때문에 결과를 대괄호 안에 넣어 반올림할 수 있습니다. 따라서 점 a = 0의 이웃 "엡실론"의 값에 대해 초기 부등식이 성립하는 값이 있음이 증명되었습니다. 따라서 우리는 숫자가 주어진 시퀀스의 극한이라고 안전하게 주장할 수 있습니다. Q.E.D. 이러한 편리한 방법을 사용하면 얼핏 보기에는 아무리 복잡해도 수열의 극한을 증명할 수 있습니다. 가장 중요한 것은 과제를 보고 당황하지 않는 것입니다. 시퀀스 제한의 존재는 실제로 필요하지 않습니다. 정말 끝이없는 일련의 숫자를 찾는 것은 쉽습니다. 예를 들어, 동일한 "플래시" x n = (-1) n. 순환적으로 반복되는 두 자리 숫자로만 구성된 시퀀스는 제한을 가질 수 없음이 분명합니다. 계산 과정에서 임의의 차수(0/0, ∞/∞, ∞/0 등)의 불확실성을 갖는 하나의 숫자, 분수 1로 구성된 시퀀스로 동일한 이야기가 반복됩니다. 그러나 잘못된 계산도 발생한다는 점을 기억해야 합니다. 때로는 자신의 솔루션을 다시 확인하여 시퀀스의 한계를 찾는 데 도움이 될 것입니다. 위에서 우리는 시퀀스의 몇 가지 예와 해결 방법을 고려했으며 이제 더 구체적인 경우를 "단조 시퀀스"라고 부르려고 합니다. 정의: 엄격한 부등식 x n인 경우 단조 증가하는 시퀀스를 호출하는 것이 공정합니다.< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. 이 두 가지 조건과 함께 유사한 약한 불평등도 있습니다. 따라서 x n ≤ x n +1(비감소 시퀀스) 및 x n ≥ x n +1(비증가 시퀀스)입니다. 그러나 예를 들어 이것을 이해하는 것이 더 쉽습니다. 공식 x n = 2 + n으로 주어진 수열은 4, 5, 6 등의 숫자 행을 형성합니다. 이것은 단조 증가하는 수열입니다. 그리고 x n = 1 / n을 취하면 1/3, ¼, 1/5 등의 시리즈를 얻습니다. 이것은 단조 감소하는 시퀀스입니다. 제한된 시퀀스는 제한이 있는 시퀀스입니다. 수렴 시퀀스는 극한의 극한을 가진 일련의 숫자입니다. 따라서 유계 수열의 극한은 실수 또는 복소수입니다. 제한은 하나만 있을 수 있음을 기억하십시오. 수렴 시퀀스의 한계는 극소값(실수 또는 복소수)입니다. 시퀀스 다이어그램을 그리면 특정 지점에서 수렴하여 특정 값으로 바꾸려고 노력합니다. 따라서 이름 - 수렴 시퀀스입니다. 이러한 시퀀스에는 제한이 있을 수도 있고 없을 수도 있습니다. 처음에는 그것이 언제인지 이해하는 것이 유용합니다. 여기에서 한계가 없음을 증명할 때 시작할 수 있습니다. 단조로운 시퀀스 중에서 수렴과 발산이 구별됩니다. 수렴은 집합 x에 의해 형성되고 이 집합에서 실수 또는 복소수 극한을 갖는 시퀀스입니다. 발산 - 집합에 제한이 없는 시퀀스(실제 또는 복소수가 아님). 또한, 기하학적 이미지에서 상한과 하한이 수렴하면 시퀀스가 수렴됩니다. 수렴 시퀀스의 한계는 대부분의 경우 0이 될 수 있습니다. 왜냐하면 모든 극소 시퀀스에는 알려진 한계(0)가 있기 때문입니다. 어떤 수렴 시퀀스를 취하든 모두 제한적이지만 모든 제한된 시퀀스가 수렴되는 것은 아닙니다. 두 수렴 시퀀스의 합, 차, 곱도 수렴 시퀀스입니다. 그러나 몫은 정의된 경우에도 수렴할 수 있습니다! 시퀀스의 한계는 1, 2, 15, 24, 362 등의 숫자와 숫자와 같이 필수(대부분의 경우) 수량과 동일합니다. 일부 작업은 한계로 수행할 수 있습니다. 첫째, 숫자와 숫자처럼 모든 시퀀스의 한계는 더하고 뺄 수 있습니다. 수열의 극한에 대한 세 번째 정리에 따라 다음과 같은 평등이 성립합니다. 수열 합의 극한은 극한의 합과 같습니다. 둘째, 시퀀스의 극한에 대한 네 번째 정리에 따라 다음 같음이 참입니다. n번째 시퀀스 수의 곱의 극한은 극한의 곱과 같습니다. 나눗셈에서도 마찬가지입니다. 두 시퀀스의 몫 한계는 한계가 0이 아닌 경우 해당 한계의 몫과 같습니다. 결국 시퀀스의 한계가 0과 같으면 0으로 나누는 결과가 발생하며 이는 불가능합니다. 수열의 한계는 이미 어느 정도 자세하게 분석된 것 같지만, '무한하게 작다', '무한하게 크다' 등의 표현이 한 번 이상 언급된다. 분명히, x → ∞인 수열 1/x가 있으면 그러한 분수는 무한히 작고, 동일한 수열이지만 극한이 0(x → 0)이 되는 경향이 있으면 분수는 무한히 커집니다. 그리고 이러한 양에는 고유한 특성이 있습니다. 작거나 큰 값을 갖는 시퀀스의 극한 속성은 다음과 같습니다. 사실, 시퀀스의 극한을 계산하는 것은 간단한 알고리즘을 알고 있다면 그렇게 어려운 작업이 아닙니다. 그러나 시퀀스의 한계는 최대한의 관심과 인내가 필요한 주제입니다. 물론 그러한 표현들에 대한 해법의 본질을 파악하는 것만으로도 충분하다. 작게 시작하여 시간이 지남에 따라 큰 봉우리에 도달할 수 있습니다.시퀀스의 한계 결정
극한 시퀀스에 대한 일반 표기법
극한의 불확실성과 확실성
이웃이란 무엇입니까?
정리
시퀀스 증명
아니면 그가 아닌 것일까요?
단조 시퀀스
수렴 및 경계 시퀀스 제한
단조 시퀀스 제한
한계가 있는 다양한 행동
시퀀스 수량 속성
