»제 12과. 행렬의 순위. 행렬의 순위 계산. 매트릭스 표준

수업 번호 12. 행렬의 순위입니다. 행렬의 순위 계산. 행렬의 규범.

행렬의 모든 소수가NS주문하다케이0과 같으면 k + 1 차수의 모든 미성년자(존재하는 경우)도 0과 같습니다.
행렬의 순위에 따라 NS 행렬의 소수 차수 중 가장 큰 차수 NS 0이 아닌
최대 순위는 행렬의 행 또는 열 수의 최소 수와 같을 수 있습니다. 행렬이 4x5이면 최대 순위는 4입니다.
순위가 항상 0인 0 행렬을 다루지 않는 한 행렬의 최소 순위는 1입니다.

n차의 비축퇴행렬의 순위는 n과 같습니다. 그 행렬식의 행렬식은 n차의 소수이고 비축퇴행렬은 0이 아니기 때문입니다.
행렬이 전치되면 순위가 변경되지 않습니다.

행렬의 순위를 다음과 같이 둡니다. 그런 다음 모든 0이 아닌 차수가 호출됩니다. 베이스 마이너.
예시.주어진 행렬 A.

행렬의 행렬식은 0입니다.
두 번째 주문의 마이너 ... 따라서 r(A) = 2 및 기본 단조.
기본 마이너는 마이너이기도 하다 .
미성년자 ~부터 = 0이므로 기본이 아닙니다.
연습: 다른 2차 미성년자가 기본이 될 것인지 아닌지를 독립적으로 확인합니다.

모든 소수를 계산하여 행렬의 순위를 찾는 것은 너무 많은 계산 작업이 필요합니다. (독자는 4차 정방 행렬에 36개의 2차 소수가 있음을 확인할 수 있습니다.) 따라서 순위를 찾는 데 다른 알고리즘이 사용됩니다. 이를 설명하려면 많은 추가 정보가 필요합니다.

행렬의 기본 변환에 대해 다음 작업을 호출해 보겠습니다.
1) 행 또는 열의 순열
2) 행이나 열에 0이 아닌 숫자를 곱하는 것
3) 행 중 하나에 숫자를 곱한 다른 행을 더하거나 숫자를 곱한 다른 열의 열 중 하나를 더합니다.

기본 변환은 행렬의 순위를 변경하지 않습니다.
행렬의 순위를 계산하는 알고리즘행렬식을 계산하는 알고리즘과 유사하며 기본 변환을 사용하여 행렬이 순위를 찾는 것이 어렵지 않은 단순한 형태로 축소된다는 사실로 구성됩니다. 각 변환마다 순위가 변경되지 않으므로 변환된 행렬의 순위를 계산하여 원래 행렬의 순위를 찾습니다.

크기 행렬의 순위를 계산해야 합니다. 미디엄NSN.

계산 결과 행렬 A1은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

세 번째 줄부터 시작하는 모든 줄이 0이면 사소한 것부터 ... 그렇지 않으면 행과 열을 2보다 큰 숫자로 재배열하여 세 번째 행의 세 번째 요소가 0이 아닌 값을 얻습니다. 또한 해당 숫자를 곱한 세 번째 행을 큰 숫자가 있는 행에 추가하면 네 번째 요소부터 시작하여 세 번째 열에서 0을 얻는 식입니다.
어떤 단계에서 우리는 (r + 1) 번째부터 시작하여 모든 행이 0과 같고(또는 존재하지 않음) 첫 번째 행과 첫 번째 열의 소수가 행렬의 행렬식에 도달합니다. 대각선에 0이 아닌 요소가 있는 삼각 행렬 ... 이러한 행렬의 순위는 다음과 같습니다. 따라서 Rang(A) = r입니다.

제안하는 행렬의 순위를 구하는 알고리즘에서 모든 계산은 반올림 없이 수행되어야 한다. 중간 행렬의 요소 중 적어도 하나의 임의의 작은 변화는 얻은 답이 원래 행렬의 순위와 몇 단위 차이가 있다는 사실로 이어질 수 있습니다.
원래 행렬의 요소가 정수인 경우 분수를 사용하지 않고 계산을 수행하는 것이 편리합니다. 따라서 각 단계에서 분수가 계산에 나타나지 않도록 문자열에 숫자를 곱하는 것이 좋습니다.

실제 실험실 작업에서 행렬의 순위를 찾는 예를 고려하십시오.

위치 알고리즘 매트릭스 표준 .
매트릭스 규범은 세 가지뿐입니다.
행렬의 첫 번째 노름= 모듈로 취한 각 열의 모든 요소를 ​​더하여 얻은 숫자의 최대값.
예: 3x2 행렬 A가 주어졌다고 하자(그림 10). 첫 번째 열에는 8, 3, 8과 같은 요소가 포함됩니다. 모든 요소는 양수입니다. 그들의 합을 구합시다: 8 + 3 + 8 = 19. 두 번째 열에는 8, -2, -8 요소가 있습니다. 두 요소는 음수이므로 이 숫자를 더할 때 이 숫자의 계수를 대체해야 합니다(즉, "빼기" 기호 없음). 그들의 합을 구합시다: 8 + 2 + 8 = 18. 이 두 숫자의 최대값은 19입니다. 따라서 행렬의 첫 번째 노름은 19입니다.

그림 10.

행렬의 두 번째 노름행렬의 모든 요소 제곱합의 제곱근입니다. 이것은 행렬의 모든 요소를 ​​제곱한 다음 결과 값을 더하고 결과에서 제곱근을 추출한다는 것을 의미합니다.
우리의 경우 행렬의 2 노름은 269의 제곱근과 같습니다. 다이어그램에서 대략 269의 제곱근을 추출한 결과 약 16.401을 얻었습니다. 뿌리를 뽑지 않는 것이 더 정확하지만.

행렬의 세 번째 노름모듈로 각 행의 모든 ​​요소를 ​​더하여 얻은 숫자의 최대값입니다.
이 예에서 첫 번째 줄에는 8, 8과 같은 요소가 포함되어 있습니다. 모든 요소는 양수입니다. 그들의 합을 구합시다: 8 + 8 = 16. 두 번째 줄에는 3, -2 요소가 있습니다. 요소 중 하나는 음수이므로 이러한 숫자를 추가할 때 이 숫자의 계수를 대체해야 합니다. 그들의 합을 구합시다: 3 + 2 = 5. 세 번째 줄에는 요소 8과 -8이 있습니다. 요소 중 하나는 음수이므로 이러한 숫자를 추가할 때 이 숫자의 계수를 대체해야 합니다. 그들의 합을 구합시다: 8 + 8 = 16. 이 세 숫자의 최대값은 16입니다. 따라서 행렬의 세 번째 노름은 16입니다.

편집자: Saliy N.A.

대학 유튜브

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✪ 벡터 표준. 4부.

자막

정의

K를 접지 필드(일반적으로 케이 = NS 또는 케이 = 씨 ) 요소 K로 구성된 m개의 행과 n개의 열이 있는 모든 행렬의 선형 공간입니다. 행렬 공간에서 각 행렬이 음이 아닌 실수와 연결된 경우 규범이 제공됩니다. ‖ A ‖ (\ displaystyle \ | A \ |), 그것의 규범을 불렀다, 그래서

정사각형 행렬의 경우(즉, 미디엄 = N), 행렬은 공간을 떠나지 않고 곱할 수 있으므로 이러한 공간의 규범은 일반적으로 속성도 만족합니다. 부분 곱셈성 :

부분 곱셈은 정사각형이 아닌 행렬의 노름에 대해서도 수행할 수 있지만 한 번에 필요한 여러 크기에 대해 정의됩니다. 즉, A가 행렬인 경우 ℓ  ×  미디엄, 그리고 B는 행렬 미디엄 ×  N, 그 다음에 에이비- 행렬 ℓ  ×  N .

운영자 규범

행렬 규범의 중요한 클래스는 다음과 같습니다. 운영자 규범, 라고도 함 부하직원 또는 유도 ... 연산자 노름은 및에 정의된 두 가지 노름에 따라 고유하게 구성되며, 모든 행렬이 미디엄 ×  N는 선형 연산자로 표현됩니다. K n (\ 표시 스타일 K ^ (n)) V K m (\ 표시 스타일 K ^ (m))... 구체적으로 특별히,

‖ A ‖ = sup (‖ A x ‖: x ∈ K n, ‖ x ‖ = 1) = sup (‖ A x ‖ ‖ x ‖: x ∈ K n, x ≠ 0). (\ displaystyle (\ 시작(정렬) \ | A \ | & = \ sup \ (\ | Ax \ |: x \ in K ^ (n), \ \ | x \ | = 1 \) \\ & = \ sup \ 왼쪽 \ ((\ frac (\ | Ax \ |) (\ | x \ |)): x \ in K ^ (n), \ x \ neq 0 \ 오른쪽 \). \ 끝(정렬)))

벡터 공간에 대한 규범의 일관된 사양 조건에서 그러한 규범은 곱셈입니다(참조).

운영자 규범의 예

스펙트럼 표준 속성:

1. 연산자의 스펙트럼 노름은 이 연산자의 최대 특이 수와 같습니다.
2. 일반 연산자의 스펙트럼 노름은 이 연산자의 최대 모듈로 고유값의 절대값과 같습니다.
3. 스펙트럼 노름은 행렬에 직교(단일) 행렬을 곱할 때 변경되지 않습니다.

비 연산자 매트릭스 규범

연산자 규범이 아닌 행렬 규범이 있습니다. 행렬의 비연산자 규범 개념은 Yu. I. Lyubich에 의해 소개되었고 G.R.Belitskii에 의해 조사되었습니다.

비 운영자 규범의 예

예를 들어, 두 가지 다른 연산자 규범을 고려하십시오. ‖ A ‖ 1 (\ displaystyle \ | A \ | _ (1))그리고 ‖ A ‖ 2 (\ displaystyle \ | A \ | _ (2)), 행 및 열 규범과 같은. 새로운 규범을 형성하다 ‖ A ‖ = m x (‖ A ‖ 1, ‖ A ‖ 2) (\ displaystyle \ | A \ | = 최대 (\ | A \ | _ (1), \ | A \ | _ (2)))... 새로운 규범에는 링 속성이 있습니다. ‖ A B ‖ ≤ ‖ A ‖ ‖ B ‖ (\ displaystyle \ | AB \ | \ leq \ | A \ | \ | B \ |), 통일성을 유지 ‖ 나 ‖ = 1 (\ displaystyle \ | 나는 \ | = 1)그리고 연산자가 아닙니다.

규범의 예

벡터 p (\ 표시 스타일 p)-표준

고려될 수 있다 m × n (\ displaystyle m \ 곱하기 n)크기의 벡터로서의 행렬 m n (\ 디스플레이 스타일 mn)표준 벡터 규범을 사용합니다.

‖ A ‖ p = ‖ vec (A) ‖ p = (∑ i = 1m ∑ j = 1n | aij | p) 1 / p (\ displaystyle \ | A \ | _ (p) = \ | \ mathrm ( vec) (A) \ | _ (p) = \ 왼쪽 (\ sum _ (i = 1) ^ (m) \ sum _ (j = 1) ^ (n) | a_ (ij) | ^ (p) \ 오른쪽) ^ (1 / p))

프로베니우스 규범

프로베니우스 규범, 또는 유클리드 규범에 대한 p-노름의 특별한 경우입니다. NS = 2 : ‖ A ‖ F = ∑ i = 1m ∑ j = 1 naij 2 (\ displaystyle \ | A \ | _ (F) = (\ sqrt (\ sum _ (i = 1) ^ (m) \ sum _ (j = 1) ^ (n) a_ (ij) ^ (2)))).

Frobenius 노름은 계산하기 쉽습니다(예: 스펙트럼 노름과 비교). 다음 속성을 보유합니다.

‖ A x ‖ 2 2 = ∑ i = 1m | ∑ j = 1 n ai j x j | 2 ≤ ∑ i = 1 m (∑ j = 1 n | ai j | 2 ∑ j = 1 n | x j | 2) = ∑ j = 1 n | x j | 2 ‖ A ‖ F 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ x ‖ 2 2. (\ displaystyle \ | Ax \ | _ (2) ^ (2) = \ sum _ (i = 1) ^ (m) \ 왼쪽 | \ sum _ (j = 1) ^ (n) a_ (ij) x_ ( j) \ 오른쪽 | ^ (2) \ leq \ sum _ (i = 1) ^ (m) \ 왼쪽 (\ sum _ (j = 1) ^ (n) | a_ (ij) | ^ (2) \ sum _ (j = 1) ^ (n) | x_ (j) | ^ (2) \ 오른쪽) = \ 합 _ (j = 1) ^ (n) | x_ (j) | ^ (2) \ | A \ | _ (F) ^ (2) = \ | A \ | _ (F) ^ (2) \ | x \ | _ (2) ^ (2).)

• 부분 곱셈성: ‖ A B ‖ F ≤ ‖ A ‖ F ‖ B ‖ F (\ displaystyle \ | AB \ | _ (F) \ leq \ | A \ | _ (F) \ | B \ | _ (F)), 왜냐하면 ‖ A B ‖ F 2 = ∑ i, j | ∑ k a i k b k j | 2 ≤ ∑ i, j (∑ k | a i k | | b k j |) 2 ≤ ∑ i, j (∑ k | a i k | 2 ∑ k | b k j | 2) = ∑ i, k | 아이케이 | 2 ∑ k, j | b k j | 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ B ‖ F 2 (\ displaystyle \ | AB \ | _ (F) ^ (2) = \ sum _ (i, j) \ 왼쪽 | \ sum _ (k) a_ (ik) b_ (kj) \ 오른쪽 | ^ (2) \ leq \ sum _ (i, j) \ 왼쪽 (\ sum _ (k) | a_ (ik) || b_ (kj) | \ 오른쪽) ^ (2) \ leq \ 합 _ (i, j) \ 왼쪽 (\ 합 _ (k) | a_ (ik) | ^ (2) \ 합 _ (k) | b_ (kj) | ^ (2) \ 오른쪽) = \ 합 _ (i, k) | a_ (ik) | ^ (2) \ sum _ (k, j) | b_ (kj) | ^ (2) = \ | A \ | _ (F) ^ (2) \ | B \ | _ (F) ^ (2)).
• ‖ A ‖ F 2 = tr ⁡ A * A = tr ⁡ AA * (\ displaystyle \ | A \ | _ (F) ^ (2) = \ mathop (\ rm (tr)) A ^ (*) A = \ Mathop (\ rm (tr)) AA ^ (*)), 어디 t r ⁡ A (\ displaystyle \ mathop (\ rm (tr)) A)- 매트릭스 트레이스 A(\ 표시 스타일 A), A * (\ 표시 스타일 A ^ (*))에르미트 켤레 행렬입니다.
• ‖ A ‖ F 2 = ρ 1 2 + ρ 2 2 + ⋯ + ρ n 2 (\ displaystyle \ | A \ | _ (F) ^ (2) = \ rho _ (1) ^ (2) + \ rho _ (2) ^ (2) + \ 점 + \ rho _ (n) ^ (2)), 어디 ρ 1, ρ 2,…- 행렬의 특이값 A(\ 표시 스타일 A).
• ‖ A ‖ F (\ 디스플레이 스타일 \ | A \ | _ (F))행렬 곱셈에서 변경되지 않음 A(\ 표시 스타일 A)왼쪽 또는 오른쪽을 직교(단일) 행렬로 변환합니다.

모듈 최대

모듈러스 최대 노름은 p-노름의 또 다른 특별한 경우입니다. NS = ∞ .

‖ A ‖ 최대 = 최대(| a i j |). (\ displaystyle \ | A \ | _ (\ text (max)) = \ max \ (| a_ (ij) | \).)

샤텐의 규범

행렬 및 벡터 규범의 일관성

매트릭스 표준 ‖ ⋅ ‖ a b (\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ (ab))~에 K m × n (\ displaystyle K ^ (m \ 곱하기 n))~라고 불리는 동의규범으로 ‖ ⋅ ‖ a (\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ (a))~에 K n (\ 표시 스타일 K ^ (n))그리고 ‖ ⋅ ‖ b (\ 디스플레이 스타일 \ | \ cdot \ | _ (b))~에 K m (\ 표시 스타일 K ^ (m)), 만약:

‖ A x ‖ b ≤ ‖ A ‖ a b ‖ x ‖ a (\ displaystyle \ | Ax \ | _ (b) \ leq \ | A \ | _ (ab) \ | x \ | _ (a))

어떠한 것도 A ∈ K m × n, x ∈ K n (\ displaystyle A \ in K ^ (m \ x n), x \ in K ^ (n))... 구성에 의한 연산자 노름은 원래 벡터 노름과 일치합니다.

합의되었지만 종속되지 않은 매트릭스 규범의 예:

규범의 동등성

우주의 모든 규범 K m × n (\ displaystyle K ^ (m \ 곱하기 n))즉, 두 규범에 대해 동일합니다. ‖. ‖ Α (\ 디스플레이 스타일 \ |. \ | _ (\ 알파))그리고 ‖. ‖ Β (\ 디스플레이 스타일 \ |. \ | _ (\ 베타))모든 매트릭스에 대해 A ∈ K m × n (\ displaystyle A \ in K ^ (m \ 곱하기 n))이중 부등식은 사실이다.

매트릭스 표준우리는 이 행렬에 할당된 실수를 호출할 것입니다 || A || n차원 공간에서 각 행렬에 실수로 할당되고 4가지 공리를 충족하도록 합니다.

1. || A || ³0 및 || A || = A가 0 행렬인 경우에만 0입니다.

2. || αA || = | α | · || A ||, 여기서 a R;

3. || A + B || £ || A || + || B ||;

4. || A · ​​B || £ || A || · || B ||. (승법 속성)

행렬의 노름은 다양한 방법으로 입력할 수 있습니다. 행렬 A는 다음과 같이 볼 수 있습니다. n 2 -차원 벡터.

이 노름을 행렬의 유클리드 노름이라고 합니다.

정방 행렬 A와 벡터 x에 대해 차원이 행렬의 차수와 같으면 부등식 || Ax || £ || A || · || x ||

그러면 행렬 A의 노름은 벡터의 노름과 일치한다고 합니다. 마지막 조건의 왼쪽에는 벡터의 노름이 있습니다(Ax는 벡터임).

다양한 행렬 놈이 주어진 벡터 놈으로 조정됩니다. 그 중에서 가장 작은 것을 선택합시다. 이것은 ~이 될 것이다

이 행렬 노름은 주어진 벡터 노름에 종속됩니다. 이 식에서 최대값의 존재는 항상 벡터 x -> || x || = 1 및 || Ax || = || A ||가 존재하기 때문에 규범의 연속성에서 따릅니다.

노름 N(A)이 벡터 노름의 대상이 아님을 보여줍시다. 이전에 도입된 벡터 규범에 따라 행렬의 규범은 다음과 같이 표현됩니다.

1. || 아 || ¥ = | (표준-최대)

2. || 아 || 1 = | (정규합)

3. || 아 || 2 =, (스펙트럼 표준)

여기서 s 1은 대칭 행렬 A ¢ A의 가장 큰 고유값으로, 전치 행렬과 원래 행렬의 곱입니다. T k 행렬 A ¢ A는 대칭이고 모든 고유 값은 실수이고 양수입니다. l - 속성의 수는 값이고 0이 아닌 벡터 x는 행렬 A의 고유 벡터입니다(Ax = lx 관계로 관련되어 있는 경우). 행렬 A 자체가 대칭이면 A ¢ = A, A ¢ A = A 2, s 1 =, 여기서 는 행렬 A의 최대 모듈러스 고유값입니다. 따라서 이 경우 =입니다.

행렬의 고유값은 합의된 규범을 초과하지 않습니다. 고유값을 정의하는 관계를 정규화하면 || λx || = || Ax ||, | λ | · || x || = || Ax || £ || A || · || x ||, | λ | £ || A ||

|| 이후로 || 2 파운드 || A || e, 추정에서 유클리드 노름이 계산하기 쉬운 경우 스펙트럼 노름 대신 행렬의 유클리드 노름을 사용할 수 있습니다.

30. 연립방정식의 조건부. 조건 요인 .

조건부- 초기 데이터에 대한 결정의 영향. 도끼 = b: 벡터 NS결정에 해당 NS... 하자 NS값으로 변경됩니다. 그러면 벡터 ㄴ +새로운 솔루션이 일치합니다 x + : 에이(x + ) = b +... 시스템이 선형이므로 도끼 + 에이 = b +, 그 다음에 NS = ; = ; = ; b = 도끼; = 그럼; *, 여기서 솔루션 섭동의 상대 오차는, - 조건 요인조건 (A) (해의 오차가 몇 배나 증가할 수 있는지)는 벡터의 상대적 섭동입니다. NS. 조건 (A) = ; 조건 (A) *계수 속성: 행렬 표준의 선택에 따라 다릅니다. 조건( = 조건(A); 행렬에 숫자를 곱해도 조건 요인에 영향을 주지 않습니다. 계수가 클수록 초기 데이터의 오류가 SLAE의 솔루션에 더 많은 영향을 미칩니다. 조건 번호는 1보다 작을 수 없습니다.

31. 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 스윕 방법.

행렬이 약하게 채워진 시스템을 푸는 것이 종종 필요합니다. 많은 0이 아닌 요소를 포함합니다. 이러한 시스템의 매트릭스는 일반적으로 특정 구조를 가지며 그 중 스트립 구조의 매트릭스가 있는 시스템이 있습니다. 그들에서 0이 아닌 요소는 주 대각선과 여러 측면 대각선에 있습니다. 스트립 행렬이 있는 시스템을 풀기 위해 가우스 방법을 보다 효율적인 방법으로 변환할 수 있습니다. 나중에 볼 수 있듯이 유한 차분, 유한 요소 등의 방법으로 미분 방정식에 대한 경계 값 문제에 대한 이산화 문제의 솔루션이 축소되는 가장 간단한 대역 시스템의 경우를 고려해 보겠습니다.

세 개의 대각 행렬에는 0이 아닌 항목만 (3n-2) 있습니다.

행렬 계수의 이름을 바꾸겠습니다.

그런 다음 구성 요소 표기법에서 시스템은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

A i * x i-1 + b i * x i + c i * x i + 1 = d i , 나는 = 1, 2, ..., n; (7)

a 1 = 0, c n = 0. (여덟)

시스템 구조는 인접 미지수 사이의 관계만 가정합니다.

x i = x i * x i +1 + h i (9)

x i -1 = x i -1 * x i + h i -1 및 (7)에서 대체:

A i (x i-1 * x i + h i-1) + b i * x i + c i * x i + 1 = d i

(a i * x i-1 + b i) x i = –c i * x i + 1 + d i –a i * h i-1

결과 표현식을 표현 (7)과 비교하면 다음을 얻습니다.

식 (10)은 스윕 계수를 계산하기 위한 반복 관계를 나타냅니다. 초기 값을 설정해야 합니다. i = 1에 대한 첫 번째 조건 (8)에 따라 우리는 1 = 0을 가지며 따라서

또한 나머지 스윕 계수는 i = 2,3, ..., n에 대한 공식 (10)에 의해 계산 및 저장되고 i = n에 대해 두 번째 조건 (8)을 고려하여 x n = 0을 얻습니다. 따라서 공식 (9) x n = h n에 따라.

그 후, 식 (9)에 따라 미지수 x n -1, x n -2, ..., x 1 을 순차적으로 구한다. 이 계산 단계를 역방향 실행이라고 하는 반면 스위프 계수의 계산은 순방향 스위프라고 합니다.

스윕 방법을 성공적으로 적용하려면 계산 과정에서 0으로 나누는 상황이 없고 시스템의 큰 차원에서 반올림 오류가 급격히 증가하지 않아야 합니다. 우리는 실행을 호출합니다 옳은스윕 계수(10)의 분모가 사라지지 않고, 지속 가능한½x i ½이면<1 при всех i=1,2,…, n. Достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях выполняются, определяются теоремой.

정리. i = 2,3, ..., n-1에 대한 방정식 (7)의 계수 a i 및 c i를 0과 다르게 하고 하자

½b i ½> ½a i ½ + ½c i ½ for i = 1, 2, ..., n. (열하나)

그러면 공식 (10), (9)로 정의된 스윕이 정확하고 안정적입니다.