평면 법선 벡터, 평면 법선 벡터의 좌표. 선의 법선 벡터(법선 벡터) 선의 법선 벡터 x 3에는 좌표가 있습니다.

평면과 3차원 공간에서 직선의 방정식을 연구할 때 우리는 벡터의 대수학에 의존합니다. 이 경우 직선의 방향 벡터와 직선의 법선 벡터가 특히 중요합니다. 이 기사에서는 선의 법선 벡터에 대해 자세히 살펴보겠습니다. 직선의 법선 벡터를 정의하고 예제와 그래픽 일러스트레이션을 제공하는 것으로 시작하겠습니다. 다음으로 잘 알려진 직선 방정식을 사용하여 직선의 법선 벡터의 좌표를 찾고 문제에 대한 자세한 솔루션을 보여줍니다.

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직선의 법선 벡터 - 정의, 예, 일러스트레이션.

재료를 이해하려면 직선, 평면에 대한 명확한 이해가 필요하고 벡터와 관련된 기본 정의도 알아야 합니다. 따라서 먼저 기사의 소재, 평면의 직선, 공간의 직선, 평면에 대한 아이디어 등으로 기억을 새로 고침하는 것이 좋습니다.

직선의 법선 벡터를 정의합시다.

정의.

법선 벡터주어진 선에 수직인 선에 있는 0이 아닌 벡터입니다.

직선의 법선 벡터의 정의에서, 주어진 직선의 법선 벡터의 무한 집합이 있음이 분명합니다.

직선의 법선 벡터의 결정과 직선의 방향 벡터의 결정을 통해 우리는 주어진 직선의 법선 벡터가 이 직선의 방향 벡터에 수직이라는 결론을 내릴 수 있습니다.

직선의 법선 벡터의 예를 들어보겠습니다.

비행기에 옥시를 주자. 좌표선 Ox의 법선 벡터 세트 중 하나는 좌표 벡터입니다. 실제로 벡터는 0이 아니며 Ox 축에 수직인 좌표선 Oy에 있습니다. 직교 좌표계 Oxy에서 좌표선 Ox의 모든 법선 벡터 집합은 다음과 같이 지정할 수 있습니다. .

3차원 공간의 직교 좌표계 Oxyz에서 직선 Oz의 법선 벡터는 벡터입니다. 좌표 벡터는 직선 Oz의 법선 벡터이기도 합니다. 분명히, Oz 축에 수직인 평면에 있는 0이 아닌 벡터는 Oz 선의 법선 벡터가 됩니다.

직선의 법선 벡터의 좌표 -이 직선의 알려진 방정식에 따라 직선의 법선 벡터의 좌표를 찾습니다.

직교 좌표계 Oxy에서 직선을 고려하면 어떤 종류의 평면에서 직선의 방정식이 이에 해당하고 직선의 법선 벡터는 좌표에 의해 결정됩니다(기사 참조) . 이것은 "이 직선의 방정식을 알 때 직선의 법선 벡터의 좌표를 찾는 방법"에 대한 질문을 제기합니다.

평면에 주어진 직선에 대한 질문에 대한 답을 다양한 유형의 방정식으로 찾아봅시다.

평면 위의 직선이 다음과 같은 직선의 일반방정식에 의해 결정되면 , 그러면 계수 A와 B는 이 직선의 법선 벡터의 해당 좌표를 나타냅니다.

예시.

직선의 법선 벡터의 좌표 찾기 .

해결책.

직선은 일반 방정식으로 주어지기 때문에 법선 벡터의 좌표를 즉시 기록할 수 있습니다. 이는 변수 x와 y 앞에 해당하는 계수입니다. 즉, 직선의 법선 벡터에는 좌표가 있습니다.

답변:

선의 일반 방정식에서 숫자 A 또는 B 중 하나는 0일 수 있습니다. 이것은 당신을 혼동해서는 안됩니다. 예를 들어 보겠습니다.

예시.

법선 벡터를 선택합니다.

해결책.

선형의 불완전한 일반 방정식이 주어집니다. 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. , 이 직선의 법선 벡터의 좌표가 즉시 보이는 곳:.

답변:

형태의 세그먼트에 있는 직선의 방정식 또는 기울기가 있는 직선의 방정식은 이 직선의 법선 벡터의 좌표가 발견되는 직선의 일반 방정식으로 쉽게 축소됩니다.

예시.

직선의 법선 벡터의 좌표를 찾습니다.

해결책.

세그먼트의 직선 방정식에서 직선의 일반 방정식으로 전달하는 것은 매우 쉽습니다. ... 따라서 이 선의 법선 벡터에는 좌표가 있습니다.

답변:

직선이 형태의 평면 위의 직선의 정준 방정식 또는 형태의 평면 위의 직선의 매개변수 방정식으로 정의되는 경우 , 그러면 법선 벡터의 좌표를 얻기가 조금 더 어렵습니다. 이 방정식에서 직선의 방향 벡터의 좌표를 즉시 볼 수 있습니다. 이 직선의 법선 벡터의 좌표를 구하고 허용합니다.

직선의 정준 방정식이나 직선의 매개 방정식을 일반 방정식에 대입하면 직선의 법선 벡터의 좌표도 구할 수 있습니다. 이를 위해 다음 변환이 수행됩니다.

선호하는 방법은 귀하에게 달려 있습니다.

예제의 솔루션을 보여 드리겠습니다.

예시.

직선의 법선 벡터 찾기 .

해결책.

직선의 방향 벡터 벡터입니다. 법선 벡터 벡터에 수직이면 0과 같습니다. ... 이 등식에서 n x에 0이 아닌 임의의 실수 값을 제공하면 n y를 찾습니다. n x = 1이라고 하면 따라서 원래 선의 법선 벡터에는 좌표가 있습니다.

두 번째 솔루션.

직선의 정준 방정식에서 일반 방정식으로 전달합시다. 이제 이 선의 법선 벡터의 좌표가 표시됩니다.

답변:

직선의 방정식을 공부하려면 벡터 대수학을 잘 이해해야 합니다. 직선의 방향 벡터와 법선 벡터를 찾는 것이 중요합니다. 이 기사에서는 직선의 방정식이 알려진 경우 좌표를 찾는 예제와 그림과 함께 직선의 법선 벡터를 고려합니다. 자세한 해결책이 고려됩니다.

재료를 더 쉽게 동화시키려면 벡터와 관련된 선, 평면 및 정의의 개념을 이해해야 합니다. 먼저 직선 벡터의 개념에 대해 알아봅시다.

정의 1

선의 법선 벡터주어진 선에 수직인 선에 있는 0이 아닌 벡터가 호출됩니다.

주어진 직선에 무한한 법선 벡터 집합이 있다는 것은 분명합니다. 아래 그림을 고려하십시오.

우리는 선이 주어진 두 평행선 중 하나에 수직임을 알게 되고, 그 직각도는 두 번째 평행선까지 확장됩니다. 따라서 우리는 이러한 평행선의 법선 벡터 세트가 일치한다는 것을 발견했습니다. 직선 a와 a 1이 평행하고 n →가 직선 a의 법선 벡터로 간주되면 직선 a 1에 대한 법선 벡터로도 간주됩니다. 선 a가 직접 벡터를 가질 때 벡터 t · n →은 매개변수 t의 값에 대해 0이 아니고 선 a에 대해서도 법선입니다.

법선 및 방향 벡터의 정의를 사용하여 법선 벡터가 방향에 수직이라는 결론을 내릴 수 있습니다. 예를 들어 보겠습니다.

평면 O x y가 주어지면 O x에 대한 벡터 세트는 좌표 벡터 j →입니다. 0이 아닌 것으로 간주되고 O x에 수직인 좌표축 O y에 속합니다. O x 에 대한 법선 벡터의 전체 집합은 t j →, t ∈ R, t ≠ 0으로 쓸 수 있습니다.

직사각형 시스템 O x y z는 선 O z와 관련된 법선 벡터 i →를 갖습니다. 벡터 j → 또한 정상으로 간주됩니다. 따라서 어떤 평면에 있고 Oz에 수직인 모든 0이 아닌 벡터는 Oz에 대해 법선으로 간주됩니다.

직선의 법선 벡터의 좌표 - 알려진 직선의 방정식을 사용하여 직선의 법선 벡터의 좌표 찾기

직교 좌표계 O x y를 고려할 때 평면상의 직선의 방정식이 이에 해당한다는 것을 알 수 있으며 법선 벡터의 결정은 좌표에 의해 이루어집니다. 직선의 방정식을 알고 있지만 법선 벡터의 좌표를 찾아야 하는 경우 방정식 A x + B y + C = 0에서 방정식의 좌표에 해당하는 계수를 식별해야 합니다. 주어진 직선의 법선 벡터.

실시예 1

2 x + 7 y - 4 = 0 _ 형식의 직선이 주어지면 법선 벡터의 좌표를 찾습니다.

해결책

조건에 따라 일반 방정식에 의해 직선이 주어졌으므로 법선 벡터의 좌표인 계수를 적어야 합니다. 이것은 벡터의 좌표가 2, 7임을 의미합니다.

답변: 2 , 7 .

방정식의 A 또는 B가 0인 경우가 있습니다. 예제를 사용하여 이러한 작업의 솔루션을 고려해 보겠습니다.

실시예 2

주어진 선 y - 3 = 0에 대한 법선 벡터를 지정합니다.

해결책

가설에 따르면 직선의 일반 방정식이 주어지므로 0 x + 1 y - 3 = 0과 같이 작성합니다. 이제 법선 벡터의 좌표인 계수를 명확하게 볼 수 있습니다. 따라서 법선 벡터의 좌표는 0, 1입니다.

답: 0, 1.

방정식이 xa + yb = 1 형식의 세그먼트 또는 기울기가 y = kx + b인 방정식으로 주어지면 직선의 일반 방정식으로 줄여야 합니다. 여기서 좌표를 찾을 수 있습니다. 주어진 직선의 법선 벡터.

실시예 3

직선 x 1 3 - y = 1의 방정식이 주어졌을 때 법선 벡터의 좌표를 찾습니다.

해결책

먼저 세그먼트 x 1 3 - y = 1의 방정식에서 일반 방정식으로 이동해야 합니다. 그러면 x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0이 됩니다.

여기에서 법선 벡터의 좌표 값이 3, - 1임을 알 수 있습니다.

답변: 3 , - 1 .

직선이 평면 x - x 1 ax = y - y 1 ay 또는 매개변수 x = x 1 + ax · λ y = y 1 + ay · λ에 있는 직선의 정준 방정식으로 정의되면 좌표를 구합니다. 더 복잡해집니다. 이 방정식에 따르면 방향 벡터의 좌표는 a → = (a x, a y)가 됩니다. 법선 벡터 n →의 좌표를 찾을 가능성은 벡터 n → 및 a →의 직각도 조건으로 인해 가능합니다.

직선의 정준 방정식이나 모수 방정식을 일반 방정식으로 줄이면 법선 벡터의 좌표를 얻을 수 있습니다. 그런 다음 우리는 다음을 얻습니다.

x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 x = x 1 + ax λ y = y 1 + y λ ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 y ⇔ y x - ax y + ax y 1 - y x 1 = 0

솔루션의 경우 편리한 방법을 선택할 수 있습니다.

실시예 4

주어진 선 x - 2 7 = y + 3 - 2의 법선 벡터를 찾습니다.

해결책

직선 x - 2 7 = y + 3 - 2에서 방향 벡터의 좌표는 a → = (7, - 2)임이 분명합니다. 주어진 선의 법선 벡터 n → = (n x, n y)는 a → = (7, - 2)에 수직입니다.

내적이 무엇인지 알아봅시다. 벡터 a → = (7, - 2) 및 n → = (n x, n y)의 스칼라 곱을 찾기 위해 a →, n → = 7 n x - 2 n y = 0을 작성합니다.

n x의 값은 임의적이므로 n y를 찾아야 합니다. n x = 1이면 7 1 - 2 n y = 0 ⇔ n y = 7 2를 얻습니다.

따라서 법선 벡터의 좌표는 1, 7 2입니다.

해결의 두 번째 방법은 정규식에서 방정식의 일반적인 형태로 올 필요가 있다는 사실로 축소됩니다. 이를 위해 우리는 변환합니다

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 (y + 3) = - 2 (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

법선 벡터 좌표의 결과 결과는 2, 7입니다.

답: 2, 7또는 1 , 7 2 .

실시예 5

직선 x = 1 y = 2 - 3 · λ의 법선 벡터의 좌표를 지정합니다.

해결책

먼저 일반 형태의 직선으로 가기 위해서는 변환을 수행해야 합니다. 실행해보자:

x = 1 y = 2 - 3 λ ⇔ x = 1 + 0 λ y = 2 - 3 λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3(x - 1) = 0(y - 2) ⇔ - 3 x + 0 y + 3 = 0

여기에서 법선 벡터의 좌표가 -3, 0임을 알 수 있습니다.

답변: - 3 , 0 .

직교 좌표계 O x y z로 주어진 공간에서 직선의 방정식에 대한 법선 벡터의 좌표를 찾는 방법을 고려하십시오.

교차 평면 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 및 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0의 방정식을 사용하여 선을 정의하면 다음의 법선 벡터 평면은 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 및 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0을 참조하면 n 1 → = 형식의 벡터를 얻습니다. (A 1, B 1, C 1) 및 n 2 → = (A 2, B 2, C 2).

x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az 형식을 갖는 공간의 표준 방정식을 사용하여 선을 정의하거나 x = x 1 + ax λ y = 형식을 갖는 매개변수 y 1 + y λ z = z 1 + az · λ, 따라서 ax, y 및 az는 주어진 직선의 방향 벡터의 좌표로 간주됩니다. 0이 아닌 벡터는 주어진 직선에 대해 법선이 될 수 있으며 벡터 a → = (a x, a y, a z)에 수직일 수 있습니다. 주어진 벡터 a → = (a x, a y, a z)에 수직인 벡터의 좌표를 사용하여 매개변수 및 정준 방정식이 있는 법선의 좌표를 찾습니다.

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법선 벡터

두 개의 법선이 있는 평평한 표면

미분 기하학에서, 정상어떤 곡선에 대한 접선 또는 어떤 표면에 대한 접면에 직교(수직)하는 직선입니다. 또한 이야기 법선 방향.

법선 벡터주어진 점에서 표면에 대한 는 주어진 점에 적용되고 법선 방향에 평행한 단위 벡터입니다. 매끄러운 표면의 각 점에 대해 방향이 다른 두 개의 법선 벡터를 지정할 수 있습니다. 법선 벡터의 연속 필드가 표면에 지정될 수 있는 경우 이 필드는 다음을 정의한다고 합니다. 정위표면(즉, 측면 중 하나를 강조 표시함). 이것이 수행될 수 없는 경우 표면을 호출합니다. 방향이 없는.

위키미디어 재단. 2010.

다른 사전에 "법선 벡터"가 무엇인지 확인하십시오.

법선 벡터- normalės vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: Angl. 노멀 벡터 vok. Normalenvektor, m rus. 법선 벡터, m 프랑. 벡터 드 라 노멀, m; vecteur normal, m ... Fizikos terminų žodynas

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좌표법을 사용하기 위해서는 공식을 잘 알아야 합니다. 세 가지가 있습니다.

언뜻보기에는 위협적으로 보이지만 조금만 연습하면 모든 것이 잘 작동합니다.

일. 벡터 a = (4, 3, 0)과 b = (0, 12, 5) 사이의 각도 코사인을 구합니다.

해결책. 벡터의 좌표가 우리에게 주어졌기 때문에 우리는 그것들을 첫 번째 공식으로 대체합니다:

일. 점 M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) 및 K = (2; 1; 0)을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성하십시오. 기원.

해결책. 평면의 일반 방정식: Ax + By + Cz + D = 0, 그러나 원하는 평면이 좌표의 원점(점 (0; 0; 0))을 통과하지 않기 때문에 D = 1을 넣습니다. 평면이 점 M, N 및 K를 통과하면 이 점의 좌표가 방정식을 정확한 수치 평등으로 바꾸어야 합니다.

점 M = (2, 0, 1)의 x, y 및 z 좌표 대신 대체합니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

유사하게, 점 N = (0; 1; 1) 및 K = (2; 1; 0)에 대해 다음 방정식을 얻습니다.
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

따라서 3개의 방정식과 3개의 미지수가 있습니다. 연립방정식을 작성하고 풀자:

우리는 평면의 방정식이 - 0.25x - 0.5y - 0.5z + 1 = 0과 같은 형식을 갖는다는 것을 알았습니다.

일. 평면은 방정식 7x - 2y + 4z + 1 = 0으로 주어집니다. 주어진 평면에 수직인 벡터의 좌표를 찾으십시오.

해결책. 세 번째 공식을 사용하여 n = (7; - 2; 4) - 그게 다야!

벡터 좌표 계산

그러나 문제에 벡터가 없는 경우 - 직선 위에 있는 점만 있고 이 직선 사이의 각도를 계산해야 합니까? 간단합니다. 점의 좌표(벡터의 시작과 끝)를 알면 벡터 자체의 좌표를 계산할 수 있습니다.

벡터의 좌표를 찾으려면 끝 좌표에서 시작 좌표를 빼십시오.

이 정리는 평면과 공간 모두에서 같은 방식으로 작동합니다. "좌표 빼기"라는 표현은 한 점의 x 좌표에서 다른 점의 x 좌표를 뺀 다음 y 및 z 좌표에 대해서도 동일하게 수행해야 함을 의미합니다. 여기 몇 가지 예가 있어요.

일. 공간에는 A = (1, 6, 3), B = (3, - 1, 7) 및 C = (- 4, 3, - 2) 좌표로 주어진 세 개의 점이 있습니다. 벡터 AB, AC 및 BC의 좌표를 찾으십시오.

벡터 AB를 고려하십시오. 원점이 점 A에 있고 끝이 점 B에 있습니다. 따라서 좌표를 찾으려면 점 B의 좌표에서 점 A의 좌표를 빼야 합니다.
AB = (3 - 1, - 1 - 6, 7 - 3) = (2, - 7, 4).

유사하게, 벡터 AC의 시작은 여전히 ​​동일한 점 A이지만 끝은 점 C입니다. 따라서 다음을 얻습니다.
AC = (- 4 - 1, 3 - 6, - 2 - 3) = (- 5, - 3, - 5).

마지막으로 벡터 BC의 좌표를 찾으려면 점 C의 좌표에서 점 B의 좌표를 빼야 합니다.
BC = (- 4 - 3, 3 - (- 1), - 2 - 7) = (- 7, 4, - 9).

답: AB = (2; - 7; 4); AC = (- 5, - 3, - 5); BC = (- 7, 4, - 9)

마지막 BC 벡터의 좌표 계산에 주의하십시오. 많은 사람들이 음수로 작업할 때 실수를 합니다. 이것은 변수 y와 관련이 있습니다. 점 B는 y = - 1이고 점 C y = 3입니다. 많은 사람들이 믿는 것처럼 3 - 1이 아니라 정확히 3 - (- 1) = 4를 얻습니다. 그런 어리석은 실수를하지 마십시오!

직선에 대한 방향 벡터 계산

문제 C2를 주의 깊게 읽으면 거기에 벡터가 없다는 사실에 놀랄 것입니다. 직선과 평면만 있을 뿐입니다.

직선부터 시작합시다. 여기에서는 모든 것이 간단합니다. 모든 직선에는 최소한 두 개의 서로 다른 점이 있고, 반대로 두 개의 서로 다른 점이 단일 직선을 정의합니다.

이전 단락에 쓰여진 내용을 이해하는 사람이 있습니까? 나는 그것을 스스로 이해하지 못했기 때문에 더 쉽게 설명하겠습니다. 문제 C2에서 직선은 항상 한 쌍의 점으로 표시됩니다. 좌표계를 도입하고 이 점에서 시작과 끝이 있는 벡터를 고려하면 직선에 대한 소위 방향 벡터를 얻습니다.

이 벡터가 필요한 이유는 무엇입니까? 요점은 두 직선 사이의 각도가 방향 벡터 사이의 각도라는 것입니다. 따라서 이해할 수없는 직선에서 좌표를 계산하기 쉬운 특정 벡터로 전달합니다. 얼마나 쉬운가요? 예를 살펴보십시오.

일. 정육면체 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 선 AC와 BD 1이 그려집니다. 이 선의 방향 벡터의 좌표를 찾으십시오.

정육면체 모서리의 길이가 조건에 지정되지 않았기 때문에 AB = 1로 설정했습니다. 점 A에서 원점과 축 x, y, z가 선 AB, AD 및 AA 1을 따라 향하는 좌표계를 도입합니다. 각기. 단위 세그먼트는 AB = 1과 같습니다.

이제 우리는 선 AC에 대한 방향 벡터의 좌표를 찾을 것입니다. A = (0; 0; 0) 및 C = (1; 1; 0)의 두 점이 필요합니다. 여기에서 벡터 AC = (1 - 0, 1 - 0, 0 - 0) = (1, 1, 0)의 좌표를 얻습니다. 이것은 방향 벡터입니다.

이제 직선 BD 1을 다루겠습니다. 또한 B = (1; 0; 0) 및 D 1 = (0; 1; 1)의 두 점이 있습니다. 방향 벡터 BD 1 = (0 - 1, 1 - 0, 1 - 0) = (- 1, 1, 1)을 얻습니다.

답: AC = (1, 1, 0); BD 1 = (- 1, 1, 1)

일. 모든 모서리가 1인 정삼각기둥 ABCA 1 B 1 C 1에서 선 AB 1과 AC 1이 그려집니다. 이 선의 방향 벡터의 좌표를 찾으십시오.

좌표계를 소개하겠습니다. 원점은 A에 있고, x축은 AB와 일치하고, z축은 AA 1과 일치하고, y축은 ABC 평면과 일치하는 x축과 함께 OXY 평면을 형성합니다. .

먼저 직선 AB 1을 다루겠습니다. 여기에서는 모든 것이 간단합니다. 점 A = (0; 0; 0) 및 B 1 = (1; 0; 1)이 있습니다. 방향 벡터 AB 1 = (1 - 0, 0 - 0, 1 - 0) = (1, 0, 1)을 얻습니다.

이제 우리는 AC 1에 대한 방향 벡터를 찾을 것입니다. 모두 동일합니다. 유일한 차이점은 점 C 1에 비합리적인 좌표가 있다는 것입니다. 따라서 A = (0; 0; 0)이므로 다음이 있습니다.

답: AB 1 = (1; 0; 1);

마지막 예제에 대한 작지만 매우 중요한 참고 사항입니다. 벡터의 원점이 원점과 일치하면 계산이 크게 단순화됩니다. 벡터의 좌표는 단순히 끝의 좌표와 같습니다. 불행히도 이것은 벡터에만 해당됩니다. 예를 들어, 평면으로 작업할 때 평면에 원점이 있으면 계산이 복잡해집니다.

평면에 대한 법선 벡터 계산

법선 벡터는 잘하거나 잘하는 벡터가 아닙니다. 정의에 따르면 평면에 대한 법선 벡터(법선)는 해당 평면에 수직인 벡터입니다.

즉, 법선은 주어진 평면의 모든 벡터에 수직인 벡터입니다. 분명히 당신은 그러한 정의를 만났습니다. 그러나 벡터 대신에 우리는 직선에 대해 이야기하고 있었습니다. 그러나 바로 위에 문제 C2에서 직선, 벡터를 포함한 모든 편리한 개체로 작업할 수 있음이 표시되었습니다.

모든 평면은 공간에서 Ax + By + Cz + D = 0 방정식으로 정의된다는 점을 다시 한 번 상기시켜 드리겠습니다. 여기서 A, B, C 및 D는 일부 계수입니다. 해의 일반성을 잃지 않고 평면이 원점을 통과하지 않으면 D = 1, 통과하면 D = 0이라고 가정할 수 있습니다. 어쨌든 이 평면에 대한 법선 벡터의 좌표는 n = (A, B, C)입니다.

따라서 평면은 동일한 법선인 벡터로 성공적으로 대체될 수도 있습니다. 모든 평면은 공간에서 세 점으로 정의됩니다. 평면(따라서 법선)의 방정식을 찾는 방법에 대해서는 기사의 맨 처음에서 이미 논의했습니다. 그러나 이 과정은 많은 사람들에게 문제를 일으키므로 몇 가지 예를 더 들겠습니다.

일. 단면 A 1 BC 1은 정육면체 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1에 그려집니다. 원점이 점 A에 있고 x, y 및 z 축이 각각 모서리 AB, AD 및 AA 1과 일치하는 경우 이 단면의 평면에 대한 법선 벡터를 찾습니다.

평면은 원점을 통과하지 않기 때문에 방정식은 다음과 같습니다. Ax + By + Cz + 1 = 0, 즉 계수 D = 1. 이 평면은 점 A 1, B 및 C 1을 통과하기 때문에 이 점의 좌표는 평면의 방정식을 정확한 수치 평등으로 바꿉니다.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

유사하게, 점 B = (1; 0; 0) 및 C 1 = (1; 1; 1)에 대해 다음 방정식을 얻습니다.
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

그러나 우리는 이미 계수 A = - 1 및 C = - 1을 알고 있으므로 계수 B를 찾는 것이 남아 있습니다.
B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

우리는 평면의 방정식을 얻습니다. - A + B - C + 1 = 0 따라서 법선 벡터의 좌표는 n = (- 1, 1, - 1)과 같습니다.

일. 단면 AA 1 C 1 C는 입방체 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1에 그려집니다. 원점이 점 A에 있고 x, y, z 축이 모서리와 일치하는 경우 이 단면의 평면에 대한 법선 벡터를 찾습니다. AB, AD 및 AA 1 각각.

이 경우 평면은 원점을 통과하므로 계수 D = 0이고 평면 방정식은 Ax + By + Cz = 0과 같습니다. 평면이 점 A1과 C를 통과하기 때문에 이 점들의 좌표 평면 방정식을 정확한 수치 평등으로 바꾸십시오.

점 A 1 = (0, 0, 1)의 x, y 및 z 좌표 대신 대체합니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

마찬가지로 점 C = (1; 1; 0)에 대해 다음 방정식을 얻습니다.
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

우리는 B = 1을 넣습니다. 그런 다음 A = - B = - 1이고 전체 평면의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. - A + B = 0 따라서 법선 벡터의 좌표는 n = (- 1; 1; 0).

일반적으로 위의 문제에서는 연립방정식을 구성하여 풀어야 합니다. 3개의 방정식과 3개의 변수가 있지만 두 번째 경우에는 그 중 하나가 자유입니다. 임의의 값을 취합니다. 그렇기 때문에 솔루션의 일반성과 답변의 정확성을 침해하지 않고 B = 1을 넣을 권리가 있습니다.

매우 자주 C2 문제에서 세그먼트를 반으로 나누는 점으로 작업해야 합니다. 세그먼트 끝의 좌표를 알고 있으면 이러한 점의 좌표를 쉽게 계산할 수 있습니다.

따라서 세그먼트를 끝으로 정의하십시오 - 점 A = (x a, y a, z a) 및 B = (x b, y b, z b). 그런 다음 세그먼트의 중간점 좌표 - 점 H로 표시 - 공식으로 찾을 수 있습니다.

즉, 세그먼트의 중점 좌표는 끝 좌표의 산술 평균입니다.

일. 단위 큐브 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1은 x, y 및 z 축이 각각 모서리 AB, AD 및 AA 1을 따라 향하고 원점이 점 A와 일치하도록 좌표계에 배치됩니다. 점 K 는 모서리 A 1 B 1 의 중점입니다. 이 점의 좌표를 찾으십시오.

점 K는 세그먼트 A 1 B 1의 중점이므로 좌표는 끝 좌표의 산술 평균과 같습니다. 끝의 좌표를 적어 봅시다: A 1 = (0; 0; 1) 및 B 1 = (1; 0; 1). 이제 점 K의 좌표를 찾으십시오.

일. 단위 큐브 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1은 x, y 및 z 축이 각각 모서리 AB, AD 및 AA 1을 따라 향하고 원점이 점 A와 일치하도록 좌표계에 배치됩니다. 정사각형 A 1 B 1 C 1 D 1의 대각선과 교차하는 점 L의 좌표.

평면 측정 과정에서 정사각형 대각선의 교차점이 모든 꼭짓점에서 등거리에 있음을 알 수 있습니다. 특히, A 1 L = C 1 L, 즉 점 L은 세그먼트 A 1 C 1의 중점입니다. 그러나 A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1)이므로 다음을 얻습니다.

답: L = (0.5, 0.5, 1)

평면 법선 벡터는 주어진 평면에 수직인 벡터입니다. 분명히 모든 평면에는 무한히 많은 법선 벡터가 있습니다. 그러나 우리가 문제를 해결하기에 충분할 것입니다.

평면이 일반 방정식으로 주어지면 , 벡터 주어진 평면의 법선 벡터... 그냥 터무니없는. 평면 방정식에서 계수를 "제거"하기만 하면 됩니다.

약속된 3개의 화면이 기다리고 있으니 예제 #1로 돌아가서 확인해보자. 점과 두 개의 벡터를 사용하여 평면의 방정식을 구성해야 한다는 것을 상기시켜 드리겠습니다. 솔루션의 결과로 방정식을 얻었습니다. 우리는 다음을 확인합니다:

먼저 점의 좌표를 결과 방정식에 대입합니다.

정확한 평등이 얻어지며 이는 점이 실제로 이 평면에 있음을 의미합니다.

둘째, 평면 방정식에서 법선 벡터를 제거합니다. 벡터는 평면에 평행하고 벡터는 평면에 수직이므로 다음 사실이 발생해야 합니다. ... 벡터의 직각도는 확인하기 쉽습니다. 내적:

결론: 평면의 방정식이 올바르게 발견되었습니다.

검증하는 동안 나는 실제로 다음과 같은 이론 진술을 인용했습니다. 벡터 평면에 평행 만약 그리고 만 .

수업과 관련된 중요한 문제를 해결해 봅시다.

실시예 5

평면의 단위 법선 벡터 찾기 .

해결책: 단위 벡터는 길이가 1인 벡터입니다. 이 벡터를 로 표시합시다. 기본적으로 풍경은 다음과 같습니다.

벡터가 동일선상에 있다는 것은 분명합니다.

먼저 평면 방정식에서 법선 벡터를 제거합니다.

단위 벡터는 어떻게 찾나요? 단위 벡터를 찾으려면 , 필요한 모든벡터 좌표 벡터의 길이로 나누기 .

형식의 법선 벡터를 다시 작성하고 길이를 구해 보겠습니다.

위에 따르면:

답변:

검증: 검증하고자 하는 것입니다.

수업의 마지막 단락을 주의 깊게 공부한 독자 벡터의 내적아마 그것을 눈치 챘을 것입니다 단위 벡터 좌표 벡터의 방향 코사인이 정확히 일치합니다. :

분석된 문제에서 벗어나자: 임의의 0이 아닌 벡터가 주어졌을 때, 그리고 조건에 따라 방향 코사인을 찾아야 합니다(수업의 마지막 작업 벡터의 내적), 그러면 실제로 주어진 것과 동일선상에 있는 단위 벡터를 찾습니다.

사실 한 병에 두 가지 작업이 있습니다.

단위 법선 벡터를 찾아야 할 필요성은 수학적 분석의 일부 문제에서 발생합니다.

법선 벡터를 찾는 방법을 알아냈으니 이제 반대 질문에 답하겠습니다.