삼각형과 사다리꼴의 평행 사고등 영역의 단락 2. 평행 사변형, 삼각형, 사다리꼴의 영역을 찾는 방법

다각형 - 폐쇄 된 파선으로 묶인 비행기의 일부. 다각형의 모서리는 파손의 봉우리의 점으로 표시됩니다. 다각형의 모서리와 다각형의 모서리의 정점은 일치점입니다.

정의. 평행 사변형은 사각형이며 반대 파티가 병렬로 있습니다.

평행 사변형의 특성

1. 반대 당사자는 동일합니다.
도 1의 열한 AB = CD; 기원전. = 기원 후.

2. 반대 각도는 동일합니다 (두 개의 날카 롭고 두 개의 어리석은 각도).
도 1의 11 ∠ ㅏ. = ∠씨.; ∠비. = ∠디..

3 대각선 (두 개의 반대쪽 정점을 연결) 교차점과 교차점은 절반으로 나뉩니다.

도 1의 11 세그먼트 아오. = oc.; 악. = od..

정의. 사다리꼴은 2 개의 반대 당의 파티가있는 사각형이며, 두 명의 다른 두 명은 없습니다.

병렬 측면 를 호출 분지및 다른 두 당사자 - 샛길.

사다리꼴의 종류

1. 공중 그네측면이 동일하지 않은 경우,
불리창 변하기 쉬운 (그림 12).

2. 측면이 동일한 사다리꼴은 동일합니다. 같이 (그림 13).

3. 한면이 기지가있는 똑바로 모서리 인 사다리꼴이 불린다. 직사각형 (그림 14).

사다리꼴의 중간 측면을 연결하는 세그먼트 (그림 15)를 사다리꼴의 중간 라인이라고합니다 ( 엠.짐마자 사다리꼴의 중간 선은 근거와 평행하며 반은 반으로 같습니다.

사다리꼴은 잘린 삼각형 (그림 17)이라고 불릴 수 있으므로 사다리꼴의 이름은 삼각형의 이름과 유사합니다 (삼각형은 다용도적이고 동등한 직사각형).

사각 평행 사고형 및 사다리꼴

규칙. 사각형 폴 그램 이 측면에서 수행 된 높이까지의쪽에있는 제품과 같습니다.

지역 기하학적 그림 -이 그림의 크기를 보여주는 기하학적 모양의 수치 특성 (이 그림의 폐쇄 루프에 의해 제한된 표면의 부분). 영역의 크기는 그것으로 이루어진 제곱 단위의 수로 표현됩니다.

삼각형 사각형 공식

측면과 높이의 삼각형 영역의 공식
삼각형 영역 높이의 길이를 위해 삼각형의 측면의 절반과 같습니다.
삼각형 영역의 3면과 서클의 반경에 대한 수식
삼각형 영역의 제 3면과 새끼가없는 원의 반경
삼각형 영역 그것은 새끼가없는 원의 반지름에 삼각형의 반 버전 버전의 제품과 같습니다.

수식 스퀘어 스퀘어

포뮬러 광장 스퀘어 쪽
정사각형 지역 그의 옆의 길이의 제곱과 같습니다.
수식 광장 광장 대각선
정사각형 지역 그 길이의 길이의 절반과 같습니다.
s \u003d. 1 2
2

직사각형의 제곱의 공식

사각형 사각형

파라릴 그램 영역 공식

포뮬러 스퀘어 폴로 그램 쪽과 높이
사각형 폴 그램
평행 사변형의 공식과 그 사이의 모서리
사각형 폴 그램 이는 그 길이의 제품의 제품과 동일합니다.
a · B · SIN α.

Romba의 수식

포뮬러 스퀘어 마름모 측면과 높이
Romba 광장 그것은 옆의 길이와 높이의 높이의 길이와 같습니다.
포뮬러 스퀘어 로마 사이드와 코너
Romba 광장 그것은 그 옆의 광장과 마름모의 측면 사이의 코너 부비동의 제품과 같습니다.
수식 광장 Roma 그의 대각선의 길이에
Romba 광장 대각선의 길이의 절반과 같습니다.

수식 광장 사다리아

Trapezium을위한 Geonon 공식
S는 사수의 정사각형입니다
- 기초의 길이,
- 저울의 측면의 길이,

1) 인사말

2) 교훈의 동기 부여 선생님은 수업의 준비를 수업에 검사합니다. 학생들이 주제를 공식화하도록 동기를 부여합니다.

보드 (주제 시트)의 정의를 읽고 질문의 개념을 삽입하십시오.

다각형이 차지하는 비행기의 부분의 크기 - ... (지역)

반대편에 평행 한 사변형은 .... (평행선)

1 개의 직선에 누워 있지 않은 세 가지 점과이를 연결하는 세 개의 세그먼트로 구성된 그림은 ... (삼각형)

양측이 평행 한 그림이고 다른 하나는 병렬이 아닙니다. (사다리꼴)

결과적인 단어에서 현재의 수업의 주제를 시도하십시오.

그래서, 교훈의 주제는 평행 사변형, 삼각형, 사다리꼴을 사용합니다.

사각형, 우리는 어떤 수치를 찾는지 알고있는 방법과 방법을 알고 있습니까?

도 2의 도면 영역을 계산한다.

다른 솔루션이 있습니까?

어떻게 된 거예요?

광장을 찾는 시도는 무엇입니까?

누가 평행 보좌관의 제곱을 찾으려고 노력 했습니까? 우리에게 말해줘.

평행 사변형 영역의 공식의 출력.

작업.

같은 영역으로 사각형을 얻기 위해 평행 사변형을 "블록"하는 방법은 무엇입니까?

평행 사변형이 직사각형으로 차단되었습니다. 이는 그 영역이 직사각형의 제곱과 동일하다는 것을 의미합니다.

그리고 평행 사변형의 길이와 넓은 중식은 무엇입니까?

평행 사변형 영역은베이스의 제품과 동일합니다.

평행 사변형에서베이스는 어떤면이 될 수 있습니다. 그리고 그 지역의 위치에 대한 공식을 적용하기 위해서는 높이가베이스로 수행되어야합니다.

이 평행 사변형의 영역을 계산합시다.

삼각형 영역의 공식의 출력.

삼각형을 굴리거나 완성하려면 어떻게해야합니까?

삼각형의 영역은베이스의 작업의 절반이 높이까지 같습니다.

삼각형이 직사각형 인 경우?

도 2를 참조한다.

직사각형으로 "파쇄 된"일 수 있습니다.

그리고 그 지역은 공식에 의해 찾을 것입니다

s \u003d a * b. 직사각형의 길이는 카테고리의 절반이고 너비는 다른 catat입니다.

지역 직사각형 삼각형 그것은 사슴의 절반의 일입니다.

사다리꼴 면적의 공식의 결론.

triangle에서 "spacked"trepepection - 어떻게 된지보십시오. 우리는 수식으로 삼각형의 영역을 찾을 것입니다 :

삼각형의베이스는 상부 및 하부의 길이의 합이며 삼각형의 높이는 사다리꼴의 배출입니다.

사다리꼴의 면적은 높이의 절반의 작업과 같습니다.

1) S. 찾기 평가 ...에 , 만약 그러나=5, 하류 =4.

2) STREJ를 찾으십시오. , 만약 그러나=3,5; 하류 =2.

3) D 드랩을 찾습니다. , 만약 그러나=4,5; 비. = 2,5; 하류 =3.

테스트 작업 수행 (poposition 참조)

운동 독립적 인 일.

작업을 해결합니다 새로운 주제:

№ 675 (A, D), 676 (A, B), 677 (A, B)

약하고 가난 학생들에게는 샘플 솔루션 기록이있는 작업을 포함하는 카드의 개별 작업이 준비되었습니다.

교사는 새로운 주제에 대한 질문에 답하기 위해 제안합니다.

남자들, 요약합시다!

오늘은 오늘 무엇을 알았습니까?

당신은 무엇을 배웠습니까?

해결하기가 어려웠습니까?

교사가 댓글을 달았습니다 숙제.

p.23 No. 675 (B, B), 676 (B, D), 677 (B, D)

모두 잘 해 왔어!

수업은 끝났습니다. 안녕!

평행 사변형의 측면 중 하나를 고려하여 전화하십시오. 베이스반대쪽의 어느 지점에서 기지를 포함하는 직선으로 수행 된 수직선 - 폴로 그램 높이.

정리

증거

S. S. S. S. ABCD 평행 사변형을 고려하십시오. 우리는베이스 용 광고 측면을 취하여 VN 및 SC의 높이를 수행합니다 (그림 182). 우리는 S \u003d AD HR을 증명합니다.

무화과. 182.

우리는 처음에는 NVC 사각형 영역이 ABCD 평행 사변형과 DCK 삼각형으로 구성된 S. AVSK 사다리안과 동일하다는 것을 증명합니다. 반면에, 그것은 NVC 직사각형과 삼각형 AVN으로 구성됩니다. 그러나 직사각형 DCK와 AVN 삼각형은 hypotenuze와 급성 각 (그들의 AB 및 CD 방음이 평행 사변형의 대향 측면과 동일하며 각도 1과 2가 병렬 직접 AV 및 CD를 교차 할 때 해당 각도와 동일합니다. 단일 광고의), 그래서 그 지역과 동일합니다.

따라서 ABCD 평행 사변함과 NVC 사각형의 면적은 동일합니다. 즉, NVCK의 사각형 영역은 Rectangle S \u003d Sun의 영역의 정리에 의해 S.에 의해 S.에 의해 S.와 같습니다. vn, 그리고 sun \u003d ad 이후로, 그 다음에 s \u003d ad h. 정리가 증명됩니다.

삼각형 영역

삼각형의 측면 중 하나는 종종 베이스...에 베이스가 선택되면 "높이"라는 단어 아래에서 기본으로 수행 된 삼각형의 높이를 의미합니다. 정리

증거

abc 삼각형의 영역을 가라 앉히십시오 (그림 183). 삼각형의 바닥을 위해 AV 측면을 가져 가서 CH의 높이를 씁니다. 우리는 그것을 증명합니다 .

무화과. 183.

그림 183과 같이 ABDC 평행계에 대한 ABC의 삼각형입니다. ABC 및 DCB 삼각형은 세 파티 (태양)와 같습니다. 일반 쪽ABDC는 ABDC 평행 사변형의 반대쪽면과 반대므로 동일합니다. 결과적으로 ABC 삼각형의 영역 S는 ABDC 평행 보좌관의 영역의 절반과 동일합니다. . 정리가 증명됩니다.

corollary 1.

corollary 2.

우리는 수사 2를 사용하여 정리를 동등한 구석으로 삼각형 영역의 태도에 증명합니다.

정리

증거

S 및 S1이 ABC의 제곱과 1 B1C1 (그림 184, A). 우리는 그것을 증명합니다 .

무화과. 184.

삼각형 ABC 당 삼각형 A ABC 당 삼각형 A ABC를두고 정점 A 1이 정점 A와 호환되도록하고 A 1 in 1 및 A 1 C 1은 AV 및 AC의 광선 상에 제안되었다 (그림 2) 184, b). ABC와 AV 1 C 삼각형은 총 높이가 있습니다. .

삼각형 AB 1 C와 AB 1 C 1은 또한 총 높이가 1 시간 이어 지므로 ...에 획득 한 평등을 곱하면서 : 우리는 다음과 같습니다.

정리가 증명됩니다.

사각형 사다리꼴

임의의 다각형의 영역을 계산하려면 일반적으로 다각형을 삼각형으로 끊고 각 삼각형의 영역을 찾으십시오. 이 삼각형의 영역의 합은이 다각형의 영역과 동일합니다 (그림 185, a). 이 기술을 사용하여 사다리꼴의 면적을 계산하기위한 수식을 유도합니다. 우리는 근거리 중 어느 곳에서든 다른 염기를 포함하는 직접적인 지점에서 수행 된 사다리꼴 수직의 높이를 호출하는 것에 동의합니다. 그림 185에서는 B VN 세그먼트 (DH 1뿐만 아니라 섹션 DH 1)가 ABCD 사다리꼴의 높이입니다.

무화과. 185.

정리

증거

ABCD 사다리아가 광고 및 항공기의베이스, VN 및 S의 높이를 고려하십시오 (그림 185, B 참조).

우리는 그것을 증명합니다

BD 대각선은 사다리꼴을 2 개의 ABD 및 BCD 삼각형으로 나누어 S \u003d S ABD + S BCD로 나눕니다.

우리는 ABD 삼각형의베이스와 높이 및 BCD 삼각형의베이스와 높이에 대한 태양 및 DH 1의 세그먼트에 대해 AD 및 VV의 세그먼트를 받아들입니다. 그때

정리가 증명됩니다.

작업

459. 평행 사변형의 영역을 기초, h - 높이, s - 찾기 : a) s가 a \u003d 15cm, h \u003d 12cm; b) a, s \u003d 34 cm 2, h \u003d 8.5cm; c) a, s \u003d 162 cm 2, h \u003d 1 / 2a; d) h, h \u003d 3a, s \u003d 27.

460. 평행 사변형의 대각선은 평행 보좌의 측면에 수직 인 13cm와 동일합니다. 평행 사변형 영역을 찾습니다.

461. 평행 사변형의 관련 측면은 12cm 및 14cm이며, 그 날카로운 각은 30 °입니다. 폴로그램 영역을 찾으십시오.

462. 마름모비 측은 6cm이고 모서리 중 하나는 150 °입니다. Roma 지역을 찾으십시오.

463. 평행 사변형의 측면은 8.1cm이고, 14cm와 같은 대각선은 30 °의 각도를 형성합니다. 폴로그램 영역을 찾으십시오.

464. 평행 사변형, S - 면적, A H 1 및 H 2의 인접한 측면을 A 및 B - 인접하여 높이. 찾기 : a) h 2, a \u003d 18 cm, b \u003d 30 cm, h1 \u003d 6 cm, h 2\u003e h 1; b) H 1, A \u003d 10 cm, 6 \u003d 15 cm, H2 \u003d 6 cm, H2\u003e H1 c) H1 및 H2, S \u003d 54 cm2, a \u003d 4.5 cm, b \u003d 6 센티미터.

465. 날카로운 구석 평행 사변형은 30 °와 같고 어리석은 각도의 상단에서 수행 된 높이는 2cm 및 3cm입니다. 평행 사변형 영역을 찾습니다.

466. 평행 사변형의 대각선은 그 편과 같습니다. 큰면이 15.2cm이면 평행 사변형 영역을 찾고 모서리 중 하나가 45 °입니다.

467. 사각형과 사각 마름모는 동일한 둘레를 가지고 있습니다. 이 수치의 영역을 비교하십시오.

468. 기초가되도록 H, H는 높이, 삼각형 영역입니다. 찾기 : a) s, a \u003d 7 cm, h \u003d 11cm; b) s, a \u003d 2 ℃ 3 cm, h \u003d 5cm; c) h, s \u003d 37.8 cm 2, a - 14 cm; d) a, s \u003d 12 cm 2, h \u003d 3 \u003d 2 cm 인 경우.

469. AB 및 ABS 삼각형의 당사자는 각각 16cm 및 22cm이고 AB 측면까지 수행 된 높이는 11cm입니다. 태양 측면에서 보낸 높이를 찾으십시오.

470. 삼각형의 양면은 7.5cm 및 3.2cm이다. 더 큰면으로 수행 된 높이는 2.4cm입니다. 당사자가 수행 한 높이를 찾아냅니다.

471. d 카 테넷이 동일하다면 직사각형 삼각형의 영역을 찾으십시오. a) 4cm 및 11cm; b) 1.2 dm 및 3 dm.

472. 직사각형 삼각형의 면적은 168cm 2입니다. 그들의 길이가 7/12 인 경우 카트릿을 찾으십시오.

473. ABC 삼각형의 상단을 통해, 똑바로 m, 병렬 측면 Av. 직선 M과 AV 기반의 정점이있는 모든 삼각형이 동일한 영역을 가지고 있다는 것을 증명하십시오.

474.이 삼각형이 중앙값으로 나뉘는 두 개의 삼각형의 영역을 비교하십시오.

475. ABC 삼각형에 지시하십시오. 상단을 통해 두 가지 직접을 보내서이 삼각형을 동등한 영역을 가진 3 개의 삼각형으로 나눕니다.

476. Roma Square가 해당 대각선의 절반과 동일하다는 것을 증명하십시오. 마름모의 영역을 대각선으로 동일하게 계산하십시오. a) 3.2 dm 및 14cm; b) 4.6 dm 및 2 dm.

477. 그들 중 하나가 다른 것보다 1.5 배 이상 1.5 배 더 있으면, Roma 지역이 27cm 2 인 경우 마름모의 대각선을 찾으십시오.

478. 4 형의 볼록한, 대각선은 서로 수직이다. 퀴얼리 영역이 대각선의 절반의 일인 것임을 증명하십시오.

479. 포인트 D와 E는 AV와 ABS 삼각형의 측면에 있습니다. AV \u003d 5cm, AC \u003d 6cm, AD \u003d ЗСМ, AE \u003d 2cm, s abc \u003d 10cm2; b) AV \u003d 8cm, AC \u003d 3cm, AE \u003d 2 cm, S abc \u003d 10cm2, s ade \u003d 2 cm 2.

480. ABCD Trapezium 지역을 AB 및 CD 기반으로 찾으십시오 :

a) AV \u003d 21 cm, cd \u003d 17cm, VN의 높이는 7cm이고;
b) ∂d \u003d 30 °, AV \u003d 2cm, cd \u003d 10cm, da \u003d 8cm;
c) Sun ⊥ AB, AB \u003d 5cm, sun \u003d 8cm, cd \u003d 13cm.

481. 두 개의 작은 측면이 6cm이고, 더 큰 각도는 135 ° 인 직사각형 사다리꼴의 면적을 찾습니다.

482. 상승 된 사다리꼴의 어리석은 각도는 135 °이며,이 각도의 상단에서 수행 된 높이는 1.4cm 및 3.4cm의 세그먼트에 대해 더 큰베이스를 분할합니다. 사다리꼴의 면적을 찾습니다.

작업에 대한 답변

a) 180cm 2; b) 4cm; c) 18cm; d) 9.

460. 156 cm 2.

461. 84 cm 2.

462. 18 cm 2.

463. 56.7 cm 2.

464. a) 10cm; b) 4cm; c) 12cm 및 9cm.

465. 12 cm 2.

466. 115.52 cm 2.

467. 사각형 영역이 더 큽니다.

468. a) 38.5 cm 2; b) 5 ~ 3 cm 2; c) d) 4 \u003d 2 cm.

470. 5,625 cm.

471. a) 22cm 2; b) 1.8 dm 2.

472. 14cm 및 24cm.

473. 참고. 정리 p. 38을 이용하십시오.

474. 삼각형의 사각형은 동일합니다.

475. 주. 먼저 태양의 측면을 3 개의 동등한 부분으로 나눕니다.

476. a) 224 cm 2; b) 4.6 dm 2. 표시. 대각선으로 마름모가 서로 수직 인 것을 고려하십시오.

477. 6cm 및 9cm.

479. a) 2 cm 2; b) 2.4cm. 주. 두 번째 정리를 이용하십시오. 53.

480. a) 133cm 2; b) 24 cm 2; c) 72cm 2.

481. 54 cm 2.

사각형 폴 그램

정리 1.

평행 사변형 영역은 그 측면의 생성물로 정의되며 높이가 수행됩니다.

$ A $ 측은 평행 사변형 인 경우, $ H $ - 높이는 이쪽으로 수행됩니다.

증거.

$ ABCD $의 평행 사변형을주고 $ AD \u003d BC \u003d A $가 있습니다. 우리는 $ DF $ 및 $ AE $ (그림 1)의 높이를 수행합니다.

그림 1.

분명히 $ FDAE $ 그림은 사각형입니다.

\\ [\\ angle bae \u003d (90) ^ 0- \\ angle a, \\ \\ \\ \\ angle cdf \u003d \\ angle d- (90) ^ 0 \u003d (180) ^ 0- 각도 A- (90) ^ 0 \u003d (90) ^ 0- \\ 각 A \u003d \\ Angle Bae \\ \\

따라서 $ CD \u003d ab, \\ df \u003d ae \u003d h $, $ i $ on $ \\ triangle bae \u003d \\ triangle cdf $의 평등 기호. 그때

그래서 사각형 영역의 정리에 :

정리가 증명됩니다.

정리 2.

평행 사변형 영역은이면 사이의 각도의 사인에서 인접한면의 길이의 생성물로 정의됩니다.

수학적으로 이것은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

$ A, \\ B $ 사이의 평행 사변형, $ \\ alpha $는 그 사이의 각도입니다.

증거.

$ bc \u003d a, \\ cd \u003d b, \\ \\ 각 C \u003d \\ alpha $의 $ abcd $의 평행 사변형을 주어주십시오. 우리는 $ df \u003d h $의 높이를 수행합니다 (그림 2).

그림 2.

부비동의 정의에 의해 우리는 얻는다

그 후

그래서, 정리 $ 1 $ :

정리가 증명됩니다.

삼각형 영역

정리 3.

삼각형의 영역은 그 측면의 측면의 절반으로 수행되는 높이로 정의됩니다.

수학적으로 이것은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

$ A $는 삼각형 측면이며 $ H $는이 측면에 수행 된 높이입니다.

증거.

그림 3.

그래서 Theorem $ 1 $ :

정리가 증명됩니다.

정리 4.

삼각형 영역은 인접한면의 길이의 절반으로 정의되며,이면의 모서리가 정의됩니다.

수학적으로 이것은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

여기서 $ a, \\ b 삼각형의 \\ b $ side, $ \\ alpha $--angle.

증거.

$ ab \u003d a $가있는 삼각형 $ abc $를 제공합시다. 우리는 $ ch \u003d h $의 높이를 수행합니다. $ ABCD $의 평행 사변형에 가치가 있습니다 (그림 3).

분명히 $ i $ \\ triangle acb \u003d \\ triangle cdb $의 삼각형의 평등의 징후. 그때

그래서 Theorem $ 1 $ :

정리가 증명됩니다.

사각형 사다리꼴

정리 5.

사다리꼴의 면적은 높이에서 그 기지의 길이의 합계의 반액으로 정의됩니다.

수학적으로 이것은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

증거.

Trapezium $ ABCK $를 받게하십시오. 여기서 $ ak \u003d a, \\ bc \u003d b $. 우리는 $ bm \u003d h $ and $ kp \u003d h $의 높이와 $ bk $의 대각선을 수행합니다 (그림 4).

그림 4.

Theorem $ 3 $에 의해, 우리는 얻는다

정리가 증명됩니다.

작업의 예

예제 1.

그것의 길이가 측면이 $ a. $ 인 경우 정삼각 영역을 찾으십시오. $

결정.

삼각형이 등심이므로 모든 모서리는 $ (60) ^ 0 $와 같습니다.

그런 다음 $ 4 $ 정리로 우리는 가지고 있습니다.

대답: $ \\ frac (a ^ 2 \\ sqrt (3)) (4) $.

이 작업의 결과는이면의 정삼각형 영역이 발견 될 때 사용할 수 있습니다.

s \u003d.	1	2
	2