정삼각형. 완전한 일러스트 가이드(2019)

평균 수준

정삼각형. 완전한 일러스트 가이드(2019)

정삼각형. 첫 번째 수준.

작업에서 직각은 전혀 필요하지 않습니다. 왼쪽 하단이므로이 형태로 직각 삼각형을 인식하는 방법을 배워야합니다.

그리고 이와 같이,

그리고 그러한

직각삼각형에 무슨 소용이 있겠습니까? 음 ... 첫째, 파티에 대한 특별한 좋은 이름이 있습니다.

도면 주의!

기억하고 혼동하지 마십시오: 다리 - 두 개, 빗변 - 하나만(유일하고 가장 긴)!

글쎄, 이름이 논의되었습니다. 이제 가장 중요한 것은 피타고라스 정리입니다.

피타고라스의 정리.

이 정리는 직각 삼각형과 관련된 많은 문제를 푸는 열쇠입니다. 그것은 피타고라스에 의해 완전히 증명되었습니다. 태고의 시간그 이후로 그녀는 그녀를 아는 사람들에게 큰 도움이 되었습니다. 그리고 그녀의 가장 좋은 점은 그녀가 단순하다는 것입니다.

그래서, 피타고라스의 정리:

"피타고라스식 바지는 모든면에서 평등합니다!"라는 농담을 기억합니까?

같은 피타고라스식 바지를 그려서 살펴봅시다.

뭔가 반바지 같지 않나요? 글쎄, 어느 쪽과 어디에서 동등합니까? 농담은 왜 그리고 어디에서 왔습니까? 그리고 이 농담은 피타고라스의 정리, 더 정확하게는 피타고라스 자신이 자신의 정리를 공식화한 방식과 정확하게 연결됩니다. 그리고 그는 그것을 다음과 같이 공식화했습니다.

"합집합 사각형다리에 내장은 같음 정사각형 영역빗변에 구축 ".

소리가 좀 다르지 않나요? 그래서 피타고라스가 그의 정리의 진술을 그렸을 때, 바로 그런 그림이 나타났습니다.

이 그림에서 작은 정사각형의 면적의 합은 큰 정사각형의 면적과 같습니다. 그리고 아이들이 다리의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같다는 것을 더 잘 기억할 수 있도록 재치 있고 피타고라스 바지에 대한이 농담을 발명 한 사람이 있습니다.

왜 우리는 지금 피타고라스 정리를 공식화하고 있습니까?

피타고라스는 고통을 겪고 사각형에 대해 이야기 했습니까?

고대에는 ... 대수학이 없었습니다! 지정 등이 없었습니다. 비문이 없었습니다. 가엾은 고대 제자들이 말로 다 암기하는 것이 얼마나 끔찍했을지 상상이 가시나요??! 그리고 우리는 피타고라스 정리의 간단한 공식을 가지고 있어서 기쁠 수 있습니다. 더 잘 기억하기 위해 다시 반복해 보겠습니다.

이제 쉬워야 합니다.

빗변의 제곱은 다리의 제곱의 합과 같습니다.

자, 직각 삼각형에 대한 가장 중요한 정리가 논의되었습니다. 그것이 증명되는 방법에 관심이 있다면 다음 수준의 이론을 읽고 이제 삼각법의 어두운 숲으로 ... 더 가 봅시다! 끔찍한 단어 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트.

직각 삼각형의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트.

사실 그렇게 무섭지는 않습니다. 물론 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 "실제" 정의는 기사에서 찾아야 합니다. 하지만 난 정말 그러고 싶지 않아, 그렇지? 우리는 기뻐할 수 있습니다. 직각 삼각형에 대한 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 간단한 사항을 간단히 채울 수 있습니다.

왜 모든 것이 코너에 관한 것입니까? 모퉁이는 어디입니까? 이것을 이해하기 위해서는 문장 1-4가 단어로 어떻게 쓰여지는지를 알아야 합니다. 보고, 이해하고, 기억하십시오!

1.
실제로 다음과 같이 들립니다.

그리고 코너는? 모서리 반대편에 있는 다리, 즉 반대쪽(모서리용) 다리가 있습니까? 물론 가지고! 이것은 다리다!

그러나 각도는 어떻습니까? 잘 봐봐. 어느 다리가 모서리에 인접합니까? 물론, 다리. 따라서 각도에 대해 다리는 인접하고,

자, 주목! 우리가 무엇을 얻었는지 보십시오:

얼마나 대단한지 알 수 있습니다.

이제 탄젠트와 코탄젠트에 대해 알아보겠습니다.

이제 어떻게 글로 적을까요? 모서리와 관련하여 다리는 무엇입니까? 물론 반대편에 있습니다. 모퉁이 반대편에 "거짓말"이 있습니다. 그리고 다리? 모퉁이에 인접해 있습니다. 그래서 우리는 무엇을 했습니까?

분자와 분모가 뒤바뀐거 보이시죠?

그리고 이제 다시 모서리와 교환을 만들었습니다.

요약

우리가 배운 모든 것을 간단히 적어 봅시다.

피타고라스의 정리:

직각 삼각형에 대한 주요 정리는 피타고라스 정리입니다.

피타고라스의 정리

그건 그렇고, 다리와 빗변이 무엇인지 잘 기억하십니까? 그렇지 않은 경우 그림을보십시오 - 지식을 새로 고칩니다.

이미 피타고라스 정리를 여러 번 사용했을 가능성이 있지만 그러한 정리가 왜 사실인지 궁금해 한 적이 있습니까? 어떻게 증명할 수 있습니까? 고대 그리스처럼 합시다. 한 변이 있는 정사각형을 그려봅시다.

얼마나 교묘하게 측면을 길이로 나누었는지 알 수 있습니다!

이제 표시된 점을 연결해 보겠습니다.

그러나 여기에서 우리는 다른 것을 언급했지만, 당신 자신이 그림을 보고 이것이 왜 그런지 생각해 보십시오.

더 큰 정사각형의 면적은 얼마입니까? 오른쪽, . 더 작은 지역? 틀림없이, . 네 모서리의 전체 면적이 남습니다. 우리가 한 번에 두 개를 가져 와서 빗변으로 서로 기대어 있다고 상상해보십시오. 무슨 일이에요? 두 개의 직사각형입니다. 이것은 "스크랩"의 면적이 같음을 의미합니다.

이제 모두 함께 넣어 봅시다.

변환해 보겠습니다.

그래서 우리는 피타고라스를 방문했습니다. 우리는 고대 방식으로 그의 정리를 증명했습니다.

직각 삼각형과 삼각법

직각 삼각형의 경우 다음 관계가 성립합니다.

공동 예각빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율과 동일

예각의 코사인은 빗변에 대한 인접한 다리의 비율과 같습니다.

예각의 접선은 반대쪽 다리와 인접한 다리의 비율과 같습니다.

예각의 코탄젠트는 인접한 다리와 반대쪽 다리의 비율과 같습니다.

그리고 다시 한 번, 이 모든 것은 접시 형태입니다.

그것은 매우 편안합니다!

직각 삼각형에 대한 등식 테스트

I. 두 다리로

Ⅱ. 다리와 빗변에

III. 빗변과 예각으로

IV. 다리와 날카로운 모서리에

ㅏ)

비)

주목! 여기서 다리가 "적절"하다는 것이 매우 중요합니다. 예를 들어 다음과 같은 경우:

삼각형은 같지 않습니다, 그들은 동일한 예각 중 하나를 가지고 있음에도 불구하고.

필요하다 두 삼각형 모두에서 다리가 인접하거나 두 삼각형 모두에서 반대.

직각 삼각형의 평등 기호가 삼각형의 평등 기호와 어떻게 다른지 눈치 챘습니까? "주제를 살펴보고"일반 "삼각형의 평등을 위해서는 세 요소의 평등이 필요하다는 사실에주의하십시오. 두 변과 그 사이의 각, 두 개의 각과 그 사이 또는 세 변. 그러나 직각 삼각형의 평등을 위해서는 두 개의 해당 요소 만 있으면 충분합니다. 훌륭하지 않습니까?

상황은 직각 삼각형의 유사성 기호와 거의 동일합니다.

직각 삼각형의 유사성의 징후

I. 날카로운 모서리에서

Ⅱ. 두 다리에

III. 다리와 빗변에

직각 삼각형의 중앙값

왜 그런가요?

직각 삼각형 대신 전체 직사각형을 고려하십시오.

대각선을 그리고 대각선의 교차점인 점을 고려합시다. 직사각형의 대각선에 대해 알려진 것은 무엇입니까?

그리고 이것으로부터 무엇이 뒤따릅니까?

그래서 밝혀졌다.

- 중앙값:

이 사실을 기억하십시오! 많은 도움이 됩니다!

더욱 놀라운 것은 그 반대도 사실이라는 것입니다.

빗변에 그려진 중앙값이 빗변의 절반과 같다는 사실에서 무슨 소용이 있습니까? 사진을 봅시다

잘 봐봐. 즉, 점에서 삼각형의 세 꼭지점까지의 거리는 동일한 것으로 판명되었습니다. 그러나 삼각형에는 삼각형의 세 꼭짓점에 대한 거리가 모두 같은 한 점이 있으며 이것이 DESCRIBED CIRCLE의 CENTER입니다. 그래서 무슨 일이?

"게다가 ..."부터 시작합시다.

와 살펴보겠습니다.

하지만 가지고 비슷한 삼각형모든 각도는 동일합니다!

에 대해서도 마찬가지라고 할 수 있습니다.

이제 함께 그려 봅시다.

이 "삼중" 유사성에서 어떤 이점을 얻을 수 있습니까?

글쎄, 예를 들어 - 직각 삼각형의 높이에 대한 두 가지 공식.

각 당사자의 관계를 적어 보겠습니다.

높이를 찾기 위해 비율을 풀고 다음을 얻습니다. 첫 번째 공식 "직각 삼각형의 높이":

유사도를 적용해 보겠습니다.

지금 무슨 일이 일어나는거야?

다시 비율을 풀고 두 번째 공식을 얻습니다.

이 두 공식은 모두 잘 기억해야 하고 둘 중 더 편리한 것이 적용되어야 합니다. 다시 적어보자

피타고라스의 정리:

직각 삼각형에서 빗변의 제곱은 다리의 제곱의 합과 같습니다.

직각 삼각형의 평등 표시:

두 다리에:
다리와 빗변에: 또는
다리와 인접한 예각을 따라: 또는
다리와 반대 예각을 따라: 또는
빗변과 예각으로: 또는.

직각 삼각형의 유사성 징후 :

하나의 날카로운 모서리: 또는
두 다리의 비례로부터:
다리와 빗변의 비례에서 : 또는.

사인, 코사인, 탄젠트, 직각 삼각형의 코탄젠트

직각 삼각형의 예각의 사인은 빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율입니다.
직각 삼각형의 예각의 코사인은 빗변에 대한 인접한 다리의 비율입니다.
직각 삼각형의 예각의 접선은 반대쪽 다리와 인접한 다리의 비율입니다.
직각 삼각형의 예각의 코탄젠트는 인접한 다리와 반대쪽 다리의 비율입니다.

직각 삼각형의 높이: 또는.

직각 삼각형에서 꼭짓점에서 그린 중앙값 직각, 빗변의 절반과 같습니다.

직각 삼각형의 면적:

다리를 통해:

학생들이 가장 큰 어려움에 대처하는 수학 분야 중 하나는 삼각법입니다. 놀라운 일이 아닙니다. 이 지식 영역을 자유롭게 마스터하려면 공간적 사고, 사인, 코사인, 탄젠트, 공식으로 코탄젠트를 찾고, 표현식을 단순화하고, 계산에 파이를 사용할 수 있어야 합니다. 또한, 정리를 증명할 때 삼각법을 적용할 수 있어야 하며, 이를 위해서는 개발된 수학적 메모리나 복잡한 논리 사슬을 추론하는 능력이 필요합니다.

삼각법의 기원

이 과학에 대한 지식은 각도의 사인, 코사인 및 탄젠트를 결정하는 것으로 시작해야 하지만 먼저 삼각법이 일반적으로 수행하는 작업을 파악해야 합니다.

역사적으로 직각 삼각형은 이 수학 과학 분야의 주요 연구 대상이었습니다. 90도 각도가 있으면 양면과 한 모서리 또는 두 각도와 한면에서 해당 그림의 모든 매개 변수 값을 결정할 수있는 다양한 작업을 수행 할 수 있습니다. 과거에는 사람들이 이 패턴을 알아차리고 건물 건설, 내비게이션, 천문학 및 예술 분야에서도 적극적으로 사용하기 시작했습니다.

첫 단계

처음에 사람들은 직각 삼각형의 예에서만 각도와 변의 관계에 대해 이야기했습니다. 그런 다음 사용 범위를 확장할 수 있는 특별한 공식이 발견되었습니다. 일상 생활수학의 이 섹션의.

오늘날 학교에서 삼각법에 대한 연구는 직각 삼각형으로 시작하며, 그 후 얻은 지식은 물리학 및 풀이 추상화 학생들이 사용합니다. 삼각 방정식, 고등학교에서 시작되는 작업.

구면 삼각법

나중에 과학이 발전의 다음 단계에 도달했을 때 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트가 있는 공식이 다른 규칙이 적용되고 삼각형의 각의 합이 항상 180도 이상인 구형 기하학에 사용되기 시작했습니다. 이 섹션은 학교에서 공부하지 않지만 최소한 그 존재에 대해 알 필요가 있습니다. 지표면, 그리고 다른 행성의 표면은 볼록합니다. 즉, 표면의 모든 표시가 3차원 공간"아치형".

지구와 끈을 가져 가라. 끈을 지구상의 두 점에 연결하여 팽팽하게 만듭니다. 주의하십시오 - 그것은 호 모양을 취했습니다. 측지학, 천문학 및 기타 이론 및 응용 분야에서 사용되는 구형 기하학은 이러한 형태를 다룹니다.

정삼각형

삼각법을 사용하는 방법에 대해 조금 배웠다면 사인, 코사인, 탄젠트가 무엇인지, 도움을 받아 수행할 수 있는 계산과 이 경우에 어떤 공식을 사용해야 하는지 더 자세히 이해하기 위해 기본 삼각법으로 돌아가 보겠습니다.

첫 번째 단계는 직각 삼각형과 관련된 개념을 이해하는 것입니다. 먼저 빗변은 90도 각도의 반대쪽입니다. 가장 길다. 우리는 피타고라스 정리에 따르면 그 수치가 다른 두 변의 제곱합의 근과 같다는 것을 기억합니다.

예를 들어, 두 변이 각각 3센티미터와 4센티미터인 경우 빗변의 길이는 5센티미터입니다. 그건 그렇고, 고대 이집트인들은 약 4500년 전에 그것에 대해 알고 있었습니다.

직각을 이루는 나머지 두 변을 다리라고 합니다. 또한 삼각형의 각의 합은 다음과 같다는 것을 기억해야 합니다. 직사각형 시스템좌표는 180도와 같습니다.

정의

마지막으로 기하학적 베이스에 대한 확고한 이해와 함께 사인, 코사인 및 각도 탄젠트의 정의로 전환할 수 있습니다.

각도의 사인은 빗변에 대한 반대쪽 다리(즉, 원하는 각도의 반대쪽)의 비율입니다. 각도의 코사인은 빗변에 대한 인접한 다리의 비율입니다.

사인도 코사인도 1보다 클 수 없음을 기억하십시오! 왜요? 기본적으로 빗변이 가장 길기 때문에 다리의 길이에 상관없이 빗변보다 길이가 짧으므로 비율은 항상 1보다 작습니다. 따라서 문제에 대한 답에 사인 또는 코사인 값이 1보다 큰 경우 계산이나 추론에서 오류를 찾으십시오. 이 대답은 확실히 틀렸습니다.

마지막으로 각도의 접선은 반대쪽 변과 인접한 변의 비율입니다. 사인을 코사인으로 나누어도 같은 결과가 나옵니다. 봐: 공식에 따라 변의 길이를 빗변으로 나눈 다음 두 번째 변의 길이로 나누고 빗변을 곱합니다. 따라서 접선의 정의와 동일한 관계를 얻습니다.

코탄젠트는 각각 모서리에 인접한 변과 반대쪽 변의 비율입니다. 단위를 접선으로 나누어도 동일한 결과를 얻습니다.

따라서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트가 무엇인지 정의를 고려했으며 공식을 수행할 수 있습니다.

가장 간단한 공식

삼각법에서는 공식 없이는 할 수 없습니다. 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 없이는 어떻게 찾을 수 있습니까? 그러나 이것은 문제를 해결할 때 정확히 필요한 것입니다.

삼각법을 배우기 시작할 때 알아야 할 첫 번째 공식은 사인의 제곱과 각도의 코사인의 합이 1과 같다는 것입니다. 이 공식은 피타고라스 정리의 직접적인 결과이지만 측면이 아닌 각도를 알고 싶다면 시간을 절약할 수 있습니다.

많은 학생들이 학교 문제를 푸는 데 매우 인기 있는 두 번째 공식을 기억하지 못합니다. 1과 각도의 탄젠트 제곱의 합은 1을 각도의 코사인 제곱으로 나눈 값과 같습니다. 자세히 살펴보십시오. 결국 이것은 첫 번째 공식과 동일한 진술입니다. 항등식의 양쪽만 코사인의 제곱으로 나눴습니다. 간단한 수학 연산으로 삼각 공식을 완전히 인식할 수 없다는 것이 밝혀졌습니다. 기억하십시오: 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트가 무엇인지 알고 변환 규칙 및 몇 가지 기본 공식언제든지 필요한 추가 정보를 표시할 수 있습니다. 복잡한 공식종이에.

이중 각도 및 인수 추가 공식

당신이 배워야 할 두 가지 공식은 각도의 합과 차에 대한 사인과 코사인 값과 관련이 있습니다. 아래 그림에 나와 있습니다. 첫 번째 경우에는 사인과 코사인이 두 번 곱해지고 두 번째 경우에는 사인과 코사인의 쌍별 곱이 추가됩니다.

이중 각도 인수와 관련된 공식도 있습니다. 그것들은 이전 것들에서 완전히 파생되었습니다. 훈련으로 알파 각도를 베타 각도와 동일하게 취하여 직접 얻으십시오.

마지막으로 이중 각 공식은 사인, 코사인 및 탄젠트 알파의 차수를 낮추기 위해 변환될 수 있습니다.

정리

기본 삼각법의 두 가지 주요 정리는 사인 정리와 코사인 정리입니다. 이 정리의 도움으로 사인, 코사인 및 탄젠트를 찾는 방법, 따라서 그림의 면적, 각 변의 크기 등을 쉽게 이해할 수 있습니다.

사인 정리에 따르면 삼각형의 각 변의 길이를 반대 각도의 값으로 나누면 같은 수가 됩니다. 또한이 숫자는 외접 원의 두 반지름, 즉 주어진 삼각형의 모든 점을 포함하는 원과 같습니다.

코사인 정리는 피타고라스 정리를 삼각형에 투영하여 일반화합니다. 두 변의 제곱의 합에서 곱을 빼고 인접한 각도의 이중 코사인을 곱한 결과 값은 세 번째 변의 제곱과 같습니다. 따라서 피타고라스 정리는 코사인 정리의 특수한 경우임이 밝혀졌습니다.

부주의한 오류

사인, 코사인, 탄젠트가 무엇인지 알고 있어도 가장 간단한 계산의 산만이나 오류로 인해 실수하기 쉽습니다. 이러한 실수를 피하기 위해 가장 인기있는 실수를 살펴 보겠습니다.

첫째, 최종 결과를 얻을 때까지 일반 분수를 소수로 변환해서는 안 됩니다. 공통 분수조건에 달리 명시되지 않는 한. 이러한 변형을 오류라고 할 수는 없지만 작업의 각 단계에서 새로운 뿌리가 나타날 수 있으며 저자의 아이디어에 따라 단축되어야 함을 기억해야 합니다. 이 경우 불필요한 수학 연산에 시간을 낭비하게 됩니다. 이것은 모든 단계의 문제에서 발견되기 때문에 3 또는 2의 루트와 같은 값에 특히 해당됩니다. "못생긴" 숫자를 반올림할 때도 마찬가지입니다.

또한 코사인 정리는 모든 삼각형에 적용되지만 피타고라스 정리에는 적용되지 않습니다! 실수로 측면의 이중 곱에 그 사이 각도의 코사인을 곱한 값을 빼는 것을 잊어버리면 완전히 잘못된 결과를 얻을 뿐만 아니라 주제에 대한 완전한 이해가 부족함을 나타냅니다. 이것은 부주의한 실수보다 더 나쁘다.

셋째, 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트에 대해 30도 및 60도 각도 값을 혼동하지 마십시오. 사인 값이 30도이므로 이 값을 기억하십시오. 코사인과 동일 60 그리고 그 반대도 마찬가지입니다. 혼동하기 쉽기 때문에 필연적으로 잘못된 결과를 얻게 됩니다.

애플리케이션

많은 학생들이 삼각법의 적용 의미를 이해하지 못하기 때문에 삼각법을 배우기 시작하는 데 서두르지 않습니다. 엔지니어나 천문학자에게 사인, 코사인, 탄젠트란 무엇입니까? 이것은 먼 별까지의 거리를 계산하고, 운석의 낙하를 예측하고, 연구 탐사선을 다른 행성으로 보낼 수 있는 덕분에 개념입니다. 그것들이 없으면 건물을 짓고, 자동차를 설계하고, 표면의 하중이나 물체의 궤적을 계산하는 것이 불가능합니다. 그리고 이것들은 가장 명백한 예일 뿐입니다! 결국, 어떤 형태의 삼각법은 음악에서 의학에 이르기까지 모든 곳에서 사용됩니다.

드디어

그래서 당신은 사인, 코사인, 탄젠트입니다. 계산에 사용하고 학교 문제를 성공적으로 해결할 수 있습니다.

삼각법의 요점은 삼각형의 알려지지 않은 매개변수를 알려진 매개변수를 사용하여 계산해야 한다는 사실로 요약됩니다. 이러한 매개변수에는 6가지가 있습니다. 세 변의 길이와 세 각의 크기입니다. 작업의 모든 차이점은 다른 입력이 제공된다는 것입니다.

이제 다리 또는 빗변의 알려진 길이를 기반으로 사인, 코사인, 탄젠트를 찾는 방법을 알게 되었습니다. 이 용어는 비에 불과하고 비는 분수이기 때문에 삼각법 문제의 주요 목표는 일반 방정식이나 연립방정식의 근을 찾는 것입니다. 그리고 여기에서 일반 학교 수학이 도움이 될 것입니다.

사인, 코사인, 탄젠트, 각도 코탄젠트는 직각 삼각형을 이해하는 데 도움이 됩니다.

직각 삼각형의 변을 무엇이라고 합니까? 맞습니다. 빗변과 다리: 빗변은 직각 반대편에 있는 변입니다(이 예에서는 \ (AC \) 변입니다). 다리는 나머지 두 변 \ (AB \) 및 \ (BC \) (직각에 인접한 것)이고 각도 \ (BC \)에 대한 다리를 고려하면 다리 \ (AB \) 이다 인접한 다리, 다리 \(BC \)는 반대입니다. 자, 이제 질문에 답해 보겠습니다. 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트는 각도의 무엇입니까?

사인각빗변에 대한 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.

우리의 삼각형에서:

\ [\ sin \ 베타 = \ dfrac (BC) (AC) \]

각도의 코사인빗변에 대한 인접한(가까운) 다리의 비율입니다.

우리의 삼각형에서:

\ [\ cos \ 베타 = \ dfrac (AB) (AC) \]

각도의 탄젠트반대쪽(먼) 다리와 인접한(가까운) 다리의 비율입니다.

우리의 삼각형에서:

\ [tg \ 베타 = \ dfrac (BC) (AB) \]

각도 코탄젠트인접한(가까운) 다리와 반대쪽(먼) 다리의 비율입니다.

우리의 삼각형에서:

\ [ctg \ 베타 = \ dfrac (AB) (BC) \]

이러한 정의가 필요합니다 기억하다! 어떤 다리를 무엇으로 나눌지 기억하기 쉽도록 하려면 접선그리고 코탄젠스다리만 앉고 빗변은 사인그리고 코사인... 그런 다음 일련의 연결을 생각해낼 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

코사인 → 터치 → 터치 → 인접

코탄젠트 → 터치 → 터치 → 인접.

우선, 삼각형의 변의 비율인 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트는 이러한 변의 길이(한 각도에서)에 의존하지 않는다는 것을 기억할 필요가 있습니다. 믿을 수 없어? 그런 다음 그림을 보고 확인하십시오.

예를 들어 각도 \ (\ 베타 \)의 코사인을 고려하십시오. 정의에 따라 삼각형 \(ABC \): \ (\ cos \ 베타 = \ dfrac (AB) (AC) = \ dfrac (4) (6) = \ dfrac (2) (3) \), 그러나 각도 \ (\ 베타 \)와 삼각형 \ (AHI \)의 코사인을 계산할 수 있습니다. \ (\ cos \ 베타 = \ dfrac (AH) (AI) = \ dfrac (6) (9) = \ dfrac (2) (3) \)... 변의 길이는 다르지만 한 각도의 코사인 값은 같습니다. 따라서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값은 각도의 크기에만 의존합니다.

정의를 파악했다면 계속해서 수정하십시오!

아래 그림에 표시된 삼각형 \(ABC \)에 대해 다음을 찾습니다. \ (\ sin \ \ 알파, \ cos \ \ 알파, \ tg \ \ 알파, \ ctg \ \ 알파 \).

\ (\ 시작 (배열) (l) \ sin \ \ alpha = \ dfrac (4) (5) = 0.8 \\ cos \ \ alpha = \ dfrac (3) (5) = 0.6 \\ tg \ \ alpha = \ dfrac (4) (3) \\ ctg \ \ 알파 = \ dfrac (3) (4) = 0.75 \ 끝(배열) \)

글쎄, 알았어? 그런 다음 직접 시도하십시오. 각도 \ (\ 베타 \)에 대해 동일하게 계산하십시오.

답변: \ (\ sin \ \ beta = 0.6; \ cos \ \ beta = 0.8; \ tg \ \ beta = 0.75; \ ctg \ \ beta = \ dfrac (4) (3) \).

단위(삼각) 원

도와 라디안의 개념을 이해하면서 반경이 \ (1 \)인 원을 고려했습니다. 이러한 원을 하나의... 삼각법을 배울 때 매우 유용합니다. 따라서 조금 더 자세히 살펴 보겠습니다.

보시다시피 이 원은 데카르트 좌표계로 작성되었습니다. 원의 반지름은 1이고 원의 중심이 원점에 있는 동안 반지름 벡터의 초기 위치는 \(x \) 축의 양의 방향을 따라 고정됩니다(이 예에서는 반경 \ (AB \)).

원의 각 점은 \(x \) 축을 따른 좌표와 \(y \) 축을 따른 좌표의 두 숫자에 해당합니다. 그리고이 숫자 좌표는 무엇입니까? 그리고 일반적으로 고려 중인 주제와 어떤 관련이 있습니까? 이렇게하려면 고려 된 직각 삼각형에 대해 기억해야합니다. 위의 그림에서 두 개의 전체 직각 삼각형을 볼 수 있습니다. 삼각형 \(ACG \)를 고려하십시오. \ (CG \)가 \ (x \) 축에 수직이므로 직사각형입니다.

삼각형 \ (ACG \)에서 \ (\ cos \ \ alpha \)는 무엇입니까? 괜찮은 \ (\ 코스 \ \ 알파 = \ dfrac (AG) (AC) \)... 또한, 우리는 \(AC \)가 반경이라는 것을 알고 있습니다. 단위 원, 따라서 \ (AC = 1 \). 이 값을 코사인 공식에 대입합니다. 다음은 발생합니다.

\ (\ cos \ \ 알파 = \ dfrac (AG) (AC) = \ dfrac (AG) (1) = AG \).

삼각형 \ (ACG \)에서 \ (\ sin \ \ alpha \)는 무엇입니까? 음, 물론, \ (\ sin \ 알파 = \ dfrac (CG) (AC) \)! 반경 값 \ (AC \)을 이 공식에 대입하고 다음을 얻습니다.

\ (\ sin \ 알파 = \ dfrac (CG) (AC) = \ dfrac (CG) (1) = CG \)

그러면 원에 속하는 점 \(C \)의 좌표가 무엇인지 알려주실 수 있습니까? 글쎄, 안 돼? 그리고 \ (\ cos \ \ alpha \)와 \ (\ sin \ alpha \)가 단지 숫자라는 것을 깨닫는다면? \ (\ cos \ alpha \)는 어떤 좌표에 해당합니까? 음, 물론 \ (x \) 좌표! 그리고 \ (\ sin \ alpha \)는 어떤 좌표에 해당합니까? 맞습니다, 좌표 \(y \)! 그래서 요점 \ (C (x; y) = C (\ cos \ 알파; \ sin \ 알파) \).

그러면 \ (tg \ alpha \) 및 \ (ctg \ alpha \)는 무엇입니까? 맞습니다, 우리는 탄젠트와 코탄젠트의 해당 정의를 사용하고 \ (tg \ alpha = \ dfrac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha) = \ dfrac (y) (x) \), ㅏ \ (ctg \ alpha = \ dfrac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha) = \ dfrac (x) (y) \).

각도가 더 크면? 예를 들어 다음 그림과 같이 다음과 같습니다.

에서 변경된 사항 이 예? 알아봅시다. 이렇게하려면 다시 직각 삼각형으로 돌리십시오. 직각 삼각형 \ (((A) _ (1)) ((C) _ (1)) G \): 각 (각 \ (\ 베타 \)에 인접)을 고려하십시오. 각도에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값은 얼마입니까? \ (((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = 180 () ^ \ 원형 - \ 베타 \ \)? 맞습니다. 우리는 삼각 함수의 해당 정의를 따릅니다.

\ (\ 시작 (배열) (l) \ sin \ 각도 ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((C) _ (1)) G) (( (A) _ (1)) ((C) _ (1))) = \ dfrac (((C) _ (1)) G) (1) = ((C) _ (1)) G = y; \\\ cos \ 각도 ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((A) _ (1)) G) (((A) _ (1)) ((C) _ (1))) = \ dfrac (((A) _ (1)) G) (1) = ((A) _ (1)) G = x; \\ tg \ 각도 ((C ) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((C) _ (1)) G) (((A) _ (1)) G) = \ dfrac (y) ( x), \\ ctg \ 각도 ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((A) _ (1)) G) (((C) _ (1 )) G) = \ dfrac (x) (y) \ 끝(배열) \)

음, 보시다시피 각도의 사인 값은 여전히 \ (y \) 좌표에 해당합니다. 각도의 코사인 값 - 좌표 \ (x \); 해당 비율에 대한 탄젠트 및 코탄젠트 값. 따라서 이러한 관계는 반경 벡터의 모든 회전에 적용됩니다.

반경 벡터의 초기 위치가 \(x \) 축의 양의 방향을 따른다는 것은 이미 언급했습니다. 지금까지 이 벡터를 시계 반대 방향으로 회전했지만 시계 방향으로 회전하면 어떻게 될까요? 특별한 것은 없으며 특정 크기의 각도도 밝혀 지지만 음수 일뿐입니다. 따라서 반지름 벡터를 시계 반대 방향으로 회전하면 다음을 얻습니다. 양의 각도, 그리고 시계 방향으로 회전할 때 - 부정적인.

따라서 원에서 반경 벡터의 전체 회전은 \ (360 () ^ \ circ \) 또는 \ (2 \ pi \)입니다. 반경 벡터를 \ (390 () ^ \ circ \) 또는 \ (- 1140 () ^ \ circ \)만큼 회전할 수 있습니까? 물론 당신은 할 수! 첫 번째 경우, \ (390 () ^ \ 원 = 360 () ^ \ 원 +30 () ^ \ 원 \)따라서 반경 벡터는 한 바퀴를 완전히 회전하고 \ (30 () ^ \ circ \) 또는 \ (\ dfrac (\ pi) (6) \) 위치에서 멈춥니다.

두 번째 경우에는, \ (- 1140 () ^ \ 원 = -360 () ^ \ 원 \ cdot 3-60 () ^ \ 원 \)즉, 반경 벡터는 세 번 완전히 회전하고 \ (- 60 () ^ \ circ \) 또는 \ (- \ dfrac (\ pi) (3) \) 위치에서 멈춥니다.

따라서 위의 예에서 \ (360 () ^ \ circ \ cdot m \) 또는 \ (2 \ pi \ cdot m \) (여기서 \ (m \)는 정수임 )만큼 다른 각도가 해당한다는 결론을 내릴 수 있습니다. 반경 벡터의 동일한 위치에

아래 그림은 각도 \ (\ beta = -60 () ^ \ circ \)를 보여줍니다. 동일한 이미지가 모서리에 해당합니다. \ (-420 () ^ \ 원, -780 () ^ \ 원, \ 300 () ^ \ 원, 660 () ^ \ 원 \)등. 목록은 계속됩니다. 이 모든 각도는 일반 공식으로 쓸 수 있습니다. \ (\ 베타 +360 () ^ \ circ \ cdot m \)또는 \ (\ beta +2 \ pi \ cdot m \) (여기서 \ (m \)는 임의의 정수임)

\ (\ 시작 (배열) (l) -420 () ^ \ circ = -60 + 360 \ cdot (-1); \\ - 780 () ^ \ circ = -60 + 360 \ cdot (-2); \\ 300 () ^ \ circ = -60 + 360 \ cdot 1; \\ 660 () ^ \ circ = -60 + 360 \ cdot 2. \ end(배열) \)

이제 기본 삼각 함수의 정의를 알고 단위 원을 사용하여 값이 무엇인지 답해보십시오.

\ (\ 시작 (배열) (l) \ sin \ 90 () ^ \ circ =? \\ cos \ 90 () ^ \ circ =? \\ text (tg) \ 90 () ^ \ circ =? \\ 텍스트 (ctg) \ 90 () ^ \ circ =? \\\ sin \ 180 () ^ \ circ = \ sin \ \ pi =? \\\ cos \ 180 () ^ \ circ = \ cos \ \ 파이 =? \\\ 텍스트 (tg) \ 180 () ^ \ 원 = \ 텍스트 (tg) \ \ 파이 =? \\\ 텍스트 (ctg) \ 180 () ^ \ 원 = \ 텍스트 (ctg) \ \ 파이 =? \\\ sin \ 270 () ^ \ circ =? \\\ cos \ 270 () ^ \ circ =? \\ text (tg) \ 270 () ^ \ circ =? \\ text (ctg) \ 270 () ^ \ circ =? \\\ sin \ 360 () ^ \ circ =? \\\ cos \ 360 () ^ \ circ =? \\\ text (tg) \ 360 () ^ \ circ =? \\ text (ctg) \ 360 () ^ \ circ =? \\ sin \ 450 () ^ \ circ =? \\ cos \ 450 () ^ \ circ =? \\ text (tg) \ 450 () ^ \ circ =? \\\ text(ctg) \ 450 () ^ \ circ =? \ end(배열) \)

다음은 도움이 되는 단위 원입니다.

어려움이 있습니까? 그럼 알아보도록 하겠습니다. 따라서 우리는 다음을 알고 있습니다.

\ (\ 시작 (배열) (l) \ sin \ alpha = y; \\ cos \ alpha = x; \\ tg \ alpha = \ dfrac (y) (x); \\ ctg \ alpha = \ dfrac (x ) (y). \ 끝 (배열) \)

여기에서 특정 각도 측정값에 해당하는 점의 좌표를 결정합니다. 글쎄, 순서대로 시작합시다 : 코너 \ (90 () ^ \ circ = \ dfrac (\ 파이) (2) \)좌표가 \ (\ left (0; 1 \ right) \)인 점과 일치하므로:

\ (\ 죄 90 () ^ \ circ = y = 1 \);

\ (\ cos 90 () ^ \ circ = x = 0 \);

\ (\ text (tg) \ 90 () ^ \ circ = \ dfrac (y) (x) = \ dfrac (1) (0) \ Rightarrow \ text (tg) \ 90 () ^ \ circ \)- 존재하지 않는다;

\ (\ 텍스트 (ctg) \ 90 () ^ \ circ = \ dfrac (x) (y) = \ dfrac (0) (1) = 0 \).

또한 동일한 논리에 따라 모서리가 \ (180 () ^ \ 원, \ 270 () ^ \ 원, \ 360 () ^ \ 원, \ 450 () ^ \ 원 (= 360 () ^ \ 원 +90 () ^ \ 원) \ \ )좌표가 있는 점에 해당 \ (\ 왼쪽 (-1; 0 \ 오른쪽), \ 텍스트 () \ 왼쪽 (0; -1 \ 오른쪽), \ 텍스트 () \ 왼쪽 (1; 0 \ 오른쪽), \ 텍스트 () \ 왼쪽 (0 ; 1 \ 오른쪽) \), 각각. 이를 알면 해당 지점에서 삼각 함수의 값을 쉽게 결정할 수 있습니다. 먼저 직접 시도한 다음 답을 확인하십시오.

답변:

\ (\ displaystyle \ sin \ 180 () ^ \ circ = \ sin \ \ 파이 = 0 \)

\ (\ displaystyle \ cos \ 180 () ^ \ circ = \ cos \ \ 파이 = -1 \)

\ (\ text (tg) \ 180 () ^ \ circ = \ text (tg) \ \ pi = \ dfrac (0) (- 1) = 0 \)

\ (\ text (ctg) \ 180 () ^ \ circ = \ text (ctg) \ \ pi = \ dfrac (-1) (0) \ Rightarrow \ text (ctg) \ \ pi \)- 존재하지 않는다

\ (\ 죄 \ 270 () ^ \ 원 = -1 \)

\ (\ cos \ 270 () ^ \ 원 = 0 \)

\ (\ text (tg) \ 270 () ^ \ circ = \ dfrac (-1) (0) \ 오른쪽 화살표 \ text (tg) \ 270 () ^ \ circ \)- 존재하지 않는다

\ (\ 텍스트 (ctg) \ 270 () ^ \ circ = \ dfrac (0) (- 1) = 0 \)

\ (\ 죄 \ 360 () ^ \ 원 = 0 \)

\ (\ cos \ 360 () ^ \ 원 = 1 \)

\ (\ 텍스트 (tg) \ 360 () ^ \ circ = \ dfrac (0) (1) = 0 \)

\ (\ text (ctg) \ 360 () ^ \ circ = \ dfrac (1) (0) \ Rightarrow \ text (ctg) \ 2 \ pi \)- 존재하지 않는다

\ (\ 죄 \ 450 () ^ \ 원 = \ 죄 \ \ 왼쪽 (360 () ^ \ 원 +90 () ^ \ 원 \ 오른쪽) = \ 죄 \ 90 () ^ \ 원 = 1 \)

\ (\ cos \ 450 () ^ \ circ = \ cos \ \ 왼쪽 (360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ \ 오른쪽) = \ cos \ 90 () ^ \ circ = 0 \)

\ (\ text (tg) \ 450 () ^ \ circ = \ text (tg) \ \ left (360 () ^ \ circ +90 () ^ \ circ \ right) = \ text (tg) \ 90 () ^ \ circ = \ dfrac (1) (0) \ 오른쪽 화살표 \ text (tg) \ 450 () ^ \ circ \)- 존재하지 않는다

\ (\ 텍스트 (ctg) \ 450 () ^ \ 원 = \ 텍스트 (ctg) \ 왼쪽 (360 () ^ \ 원 +90 () ^ \ 원 \ 오른쪽) = \ 텍스트 (ctg) \ 90 () ^ \ circ = \ dfrac (0) (1) = 0 \).

따라서 다음 표를 그릴 수 있습니다.

이 모든 의미를 기억할 필요는 없습니다. 단위 원의 점 좌표와 삼각 함수 값 간의 일치를 기억하는 것으로 충분합니다.

\ (\ 왼쪽. \ 시작 (배열) (l) \ sin \ alpha = y; \\ cos \ alpha = x; \\ tg \ alpha = \ dfrac (y) (x); \\ ctg \ alpha = \ dfrac (x) (y).\ end (array) \ right \) \ \ text (기억하거나 출력할 수 있어야 합니다!! \) !}

그러나 각도의 삼각 함수 값은 다음과 같습니다. \ (30 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (6), \ 45 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (4) \)아래 표에 나와 있는 것처럼 다음을 기억해야 합니다.

두려워하지 마십시오. 이제 해당 값을 매우 간단하게 암기하는 예 중 하나를 보여줍니다.

이 방법을 사용하려면 각도( \ (30 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (6), \ 45 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) (4), \ 60 () ^ \ circ = \ dfrac (\ pi) ) (삼) \))뿐만 아니라 각도의 접선 값 \ (30 () ^ \ circ \). 이 \ (4 \) 값을 알면 전체 테이블을 전체적으로 복원하는 것이 매우 쉽습니다. 코사인 값은 화살표에 따라 전송됩니다. 즉,

\ (\ 시작 (배열) (l) \ sin 30 () ^ \ circ = \ cos \ 60 () ^ \ circ = \ dfrac (1) (2) \ \ \\\ sin 45 () ^ \ circ = \ cos \ 45 () ^ \ circ = \ dfrac (\ sqrt (2)) (2) \\\ sin 60 () ^ \ circ = \ cos \ 30 () ^ \ circ = \ dfrac (\ sqrt (3) )) (2) \ \ 끝(배열) \)

\ (\ text (tg) \ 30 () ^ \ circ \ = \ dfrac (1) (\ sqrt (3)) \), 이것을 알면 다음 값을 복원할 수 있습니다. \ (\ 텍스트 (tg) \ 45 () ^ \ 원, \ 텍스트 (tg) \ 60 () ^ \ 원 \)... 분자 "\ (1 \)"는 \ (\ text (tg) \ 45 () ^ \ circ \ \)와 일치하고 분모 "\ (\ sqrt (\ text (3)) \)"는 \와 일치합니다. (\ 텍스트 (tg) \ 60 () ^ \ 원 \ \). 코탄젠트 값은 그림의 화살표에 따라 이월됩니다. 이것을 이해하고 화살표가있는 다이어그램을 기억하면 표에서 \ (4 \) 값만 기억하면 충분합니다.

원의 점 좌표

원의 중심 좌표, 반지름 및 회전 각도를 알고 원에서 점(좌표)을 찾을 수 있습니까? 물론 할 수 있습니다! 점의 좌표를 구하는 일반 공식을 도출해 봅시다. 예를 들어 다음과 같은 원이 있습니다.

우리는 그 점을 \ (K (((x) _ (0)); ((y) _ (0))) = K (3; 2) \)원의 중심입니다. 원의 반지름은 \(1.5 \)입니다. 점 \ (O \)를 \ (\ delta \) 도만큼 회전시켜 얻은 점 \ (P \)의 좌표를 찾아야합니다.

그림에서 알 수 있듯이 점 ＼(P＼)의 좌표＼(x＼)는 세그먼트 ＼(TP = UQ = UK + KQ ＼)의 길이에 해당한다. 세그먼트의 길이 \ (UK \)는 원 중심의 좌표 \ (x \)에 해당합니다. 즉, \ (3 \)와 같습니다. 세그먼트의 길이 \(KQ \)는 코사인 정의를 사용하여 표현할 수 있습니다.

\ (\ cos \ \ delta = \ dfrac (KQ) (KP) = \ dfrac (KQ) (r) \ 오른쪽 화살표 KQ = r \ cdot \ cos \ \ delta \).

그런 다음 우리는 점 \ (P \) 좌표에 대해 \ (x = ((x) _ (0)) + r \ cdot \ cos \ delta = 3 + 1,5 \ cdot \ cos \ \ delta \).

동일한 논리를 사용하여 점 \(P \)에 대한 y 좌표 값을 찾습니다. 이런 식으로,

\ (y = ((y) _ (0)) + r \ cdot \ sin \ \ delta = 2 + 1,5 \ cdot \ sin \ delta \).

그래서 에 일반보기점의 좌표는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

\ (\ 시작 (배열) (l) x = ((x) _ (0)) + r \ cdot \ cos \ \ delta \\ y = ((y) _ (0)) + r \ cdot \ sin \ \ 델타 \ 끝(배열) \), 어디

\ (((x) _ (0)), ((y) _ (0)) \) - 원의 중심 좌표,

\ (r \) - 원의 반지름,

\ (\ delta \) - 벡터 반경의 회전 각도.

보시다시피, 우리가 고려하고 있는 단위 원의 경우 중심 좌표가 0이고 반지름이 1이기 때문에 이러한 공식이 크게 줄어듭니다.

\ (\ 시작 (배열) (l) x = ((x) _ (0)) + r \ cdot \ cos \ \ delta = 0 + 1 \ cdot \ cos \ \ delta = \ cos \ \ delta \\ y = ((y) _ (0)) + r \ cdot \ sin \ \ delta = 0 + 1 \ cdot \ sin \ \ delta = \ sin \ \ delta \ end(배열) \)

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계산을 하려면 ActiveX 컨트롤을 활성화해야 합니다!

빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율을 부비동 예각정삼각형.

\ sin \ alpha = \ frac (a) (c)

직각 삼각형의 예각의 코사인

가까운 다리와 빗변의 비율을 예각의 코사인정삼각형.

\ cos \ 알파 = \ frac (b) (c)

직각 삼각형의 예각 접선

반대쪽 다리와 인접한 다리의 비율을 예각의 접선정삼각형.

tg \ 알파 = \ frac (a) (b)

직각 삼각형의 예각의 코탄젠트

인접한 다리와 반대쪽 다리의 비율을 예각 코탄젠트정삼각형.

ctg \ 알파 = \ frac (b) (a)

임의 각도의 사인

각도 α가 대응하는 단위원 상의 한 점의 세로좌표 임의 각도의 사인회전 \ 알파.

\ 죄 \ 알파 = y

임의 각도의 코사인

각도 \ α가 해당하는 단위 원의 점의 가로 좌표를 호출합니다. 임의 각도의 코사인회전 \ 알파.

\ 코스 \ 알파 = x

임의 각도 탄젠트

임의의 회전 각도 \ alpha의 사인과 코사인의 비율을 임의 각도의 탄젠트회전 \ 알파.

tg \ 알파 = y_ (A)

tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha)

임의 각도의 코탄젠트

임의의 회전 각도 \α의 코사인 대 사인의 비율을 임의 각도의 코탄젠트회전 \ 알파.

ctg \ 알파 = x_ (A)

ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha)

임의의 각도를 찾는 예

α가 어떤 각도 AOM이라면, 여기서 M은 단위원의 한 점이다.

\ sin \ 알파 = y_ (M), \ cos \ 알파 = x_ (M), tg \ 알파 = \ frac (y_ (M)) (x_ (M)), ctg \ 알파 = \ frac (x_ (M)) (y_ (M)).

예를 들어 \ 각도 AOM = - \ frac(\ 파이) (4), 다음: 점 M의 세로 좌표는 다음과 같습니다. - \ frac (\ sqrt (2)) (2), 가로 좌표는 \ frac (\ sqrt (2)) (2)그래서

\ sin \ 왼쪽 (- \ frac (\ pi) (4) \ 오른쪽) = - \ frac (\ sqrt (2)) (2);

\ cos \ 왼쪽 (\ frac (\ pi) (4) \ 오른쪽) = \ frac (\ sqrt (2)) (2);

tg;

CTG \ 왼쪽 (- \ frac (\ 파이) (4) \ 오른쪽) = - 1.

코탄젠트 탄젠트의 코사인 값 표

주요 공통 각도의 값은 표에 나와 있습니다.

	0 ^ (\ 동그라미) (0)	30 ^ (\ 원) \ 왼쪽 (\ frac (\ 파이) (6) \ 오른쪽)	45 ^ (\ 원) \ 왼쪽 (\ frac (\ 파이) (4) \ 오른쪽)	60 ^ (\ 원) \ 왼쪽 (\ frac (\ 파이) (3) \ 오른쪽)	90 ^ (\ 원) \ 왼쪽 (\ frac (\ 파이) (2) \ 오른쪽)	180 ^ (\ 원) \ 왼쪽 (\ 파이 \ 오른쪽)	270 ^ (\ 원) \ 왼쪽 (\ frac (3 \ 파이) (2) \ 오른쪽)	360 ^ (\ 원형) \ 왼쪽 (2 \ 파이 \ 오른쪽)
\ 죄 \ 알파	0	\ frac12	\ frac (\ sqrt 2) (2)	\ frac (\ 제곱 3) (2)	1	0	−1	0
\ 코스 \ 알파	1	\ frac (\ 제곱 3) (2)	\ frac (\ sqrt 2) (2)	\ frac12	0	−1	0	1
tg \ 알파	0	\ frac (\ 제곱 3) (3)	1	\ 평방 3	—	0	—	0
ctg \ 알파	—	\ 평방 3	1	\ frac (\ 제곱 3) (3)	0	—	0	—

지침