평행 사변형 정의 기본 속성 요소 그리기. 병렬 및 그 특성의 정의

예, 예 : 산술 진행은 장난감이 아닙니다 :)

글쎄, 친구,이 텍스트를 읽으면 내면의 모자가 분명히 산술 진행이 무엇인지 알지 못한다는 것을 알려줍니다. 그러나 매우 (oooooo!) 알고 싶습니다. 따라서 나는 당신에게 장기간 가입하고 즉시 사건에가는 것을 고통시키지 않을 것입니다.

몇 가지 예를 시작합니다. 여러 숫자 세트를 고려하십시오.

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$ \\ sqrt (2); \\ 2 \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $

이 모든 세트에는 공통점이 무엇입니까? 처음에는 아무것도 아닙니다. 그러나 실제로 뭔가가 있습니다. 즉: 각 요소는 이전 하나와 동일한 번호와 다릅니다..

자신을 위해 판단하십시오. 첫 번째 세트는 단순히 숫자의 행으로 가고, 각각 다른 하나는 이전 하나보다 큽니다. 두 번째 경우에 가까운 숫자의 차이는 이미 다섯과 같지만이 차이는 여전히 일정합니다. 세 번째 경우에는 일반적으로 뿌리가 있습니다. 그러나 $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $ 및 $ 3 \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, 즉. 그리고이 경우, 각각의 다음 요소는 $ \\ sqrt (2) $를 단순히 증가시킵니다 (이 숫자가 비합리적임을 두려워하지 않음).

그래서 : 그러한 모든 시퀀스는 산술 진행이라고 불리우므로 있습니다. 엄격한 정의를 주자.

정의. 각각의 다음 기능이 이전 하나와 다른 동일한 값과 다른 동일한 값과 다른 수로 산술 진행...에 숫자의 크기는 다르며, 진행의 차이가 있고 가장 자주 $ D $로 표시됩니다.

지정 : $ \\ left ((((a) _ ((n) \\ right) $ - 진행 자체, $ d $는 그 차이입니다.

그리고 즉시 몇 가지 중요한 의견. 첫째, 진행 상황은 단지 고려됩니다 질서 있는 숫자의 순서 : 이들은 기록 된 순서대로 엄격하게 읽을 수 있습니다. 숫자의 수를 재정렬하고 변경하는 것은 불가능합니다.

둘째, 시퀀스 자체는 유한하고 끝이 없을 수 있습니다. 예를 들어, 세트 (1; 2; 3)는 분명히 최종 산술 진행이다. 그러나 성령으로 무언가를 쓸 경우 (1, 2, 3, 4; ...) - 이것은 무한한 진행입니다. 네 번째 후에, 네 번째 후에, 그것이 힌트가 있듯이, 여전히 몇 가지 숫자가 있습니다. 예를 들어, 무한히 많은 것. :)

나는 또한 진행이 증가하고 감소하는 것이 좋습니다. 우리는 이미 증가하는 것과 동일한 세트 (1; 2, 3, 4; ...)를 보았습니다. 그러나 내림차순 진행의 예 :

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$ \\ sqrt (5); \\ \\ sqrt (5) -1; \\ \\ sqrt (5) -2; \\ \\ sqrt (5) -3; ... $

그래 그래: 마지막 예제 그것은 너무 복잡해 보일 수 있습니다. 그러나 나머지는 당신이 이해할 수있는 것 같습니다. 따라서 우리는 새로운 정의를 소개합니다.

정의. 산술 진행은 다음과 같습니다.

모든 다음 요소가 이전 요소보다 큰 경우 증가합니다.

반대로 각 후속 요소가 이전 요소보다 작 으면 내림차순으로.

또한 소위 "고정식"시퀀스가 있습니다. 이는 동일한 반복 숫자로 구성됩니다. 예를 들어, (3, 3, 3; ...).

하나의 질문이 있습니다 : 증가하는 진행을 감소시키지 않도록 구별하는 방법은 무엇입니까? 다행히도, 모든 것은 $ D $ D $의 표시가 무엇인지에 달려 있습니다. 진행 차이 :

$ d \\ gt 0 $ 인 경우 진행이 증가합니다.
$ d \\ lt 0 $이면 진행은 분명히 감소합니다.
마지막으로 $ d \u003d 0 $의 경우가 있습니다.이 경우 전체 진행이 같은 숫자의 고정 된 순서로 축소됩니다 : (1; 1; 1; 1; ...) 등.

위에 주어진 3 개의 감소 진행을 위해 $ D $의 차이를 계산하려고 노력해 봅시다. 이렇게하려면 두 개의 인접한 요소 (예 : 첫 번째 및 두 번째)를 취하고 오른쪽에서 숫자 항목을 빼는 것만으로 충분합니다. 그것은 다음과 같습니다.

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$ \\ sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.

보시다시피 세 가지 경우 모두에서 차이가 정말로 부정적으로 밝혀졌습니다. 그리고 이제는 우리가 더 많거나 덜 정의 된 정의를 알아 냈을 때, 진행이 묘사 된 방식과 그들이 가지고있는 속성을 다룰 때입니다.

진행 및 재발 성식

우리 시퀀스의 요소는 장소에서 변경할 수 없으므로 번호가 매겨집니다.

\\ [\\ left (((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ (((a) _ (1)), \\ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \\ 권리 \\) \\]

이 세트의 분리 된 요소를 진행 멤버라고합니다. 그들은 숫자의 도움을 받아야합니다. 첫 번째 거시기, 두 번째 용어 등

또한, 우리가 이미 알고 있듯이, 진행의 이웃 구성원은 공식과 관련이 있습니다.

\\ [(a) _ (n)) - ((a) _ (n - 1)) \u003d D \\ Nowarlarw ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n - 1)) + D \\]

즉, $ n $ -d 진행 위원을 찾으려면 $ N-1 $-t-thb 회원과 차이 $ D $를 알아야합니다. 이러한 공식은 재발 성이라고 불리며, 이전에 모든 번호 (사실 - 모든 이전의 것)를 알 수 있기 때문에 사용할 수 있기 때문입니다. 그것은 매우 불편하므로 첫 번째 구성원과 차이점에 대한 계산을 줄이는 더 많은 교구식이 있습니다.

\\ [((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d \\ h &

확실히 당신은 이미이 공식으로 만났습니다. 그녀는 모든 디렉토리와 reshebnikh에주는 것을 좋아합니다. 예, 수학의 설명 교과서에서 그녀는 첫 번째 중 하나가됩니다.

그럼에도 불구하고 나는 약간의 변형을 제안한다.

작업 번호 1. $ \\ 왼쪽 (((a) _ (n) \\ right) $ ((a) _ (1) \u003d 8, d \u003d -5 $)의 산술 진행의 처음 세 멤버를 $.

결정. 그래서 우리는 첫 번째 용어 ((a) _ (1)) \u003d $ 8이고 $ d \u003d -5 $의 진행의 차이를 알고 있습니다. 우리는 결과 공식만을 사용하고 $ n \u003d 1 $, $ n \u003d $ 2 및 $ n \u003d $ 3을 대체합니다.

\\ [\\ begin (정렬) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ 오른쪽) d; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d ((a) _ (1)) + 왼쪽 (1-1 \\ 오른쪽) d \u003d ((a) _ (1) \u003d 8; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + 왼쪽 (2-1 \\ 오른쪽) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 삼; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + 왼쪽 (3-1 \\ 오른쪽) d \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ end (정렬) \\]

답변 : (8, 3; -2)

그게 다야! 참고 : 우리의 진행은 내림차순입니다.

물론 $ n \u003d 1 $는 대체 할 수 없습니다 - 첫 번째 구성원도 알려져 있습니다. 그러나 장치를 대체하면 우리는 첫 번째 구성원이 심지어 우리의 공식이 작동하는 것으로 확신했습니다. 다른 경우, 모든 것이 산술을 보관하게되었습니다.

작업 번호 2. 일곱 번째 구성원이 -40이고 17 멤버가 -50 인 경우 산술 진행의 첫 번째 세 멤버를 씁니다.

결정. 우리는 일반적인 조건에서 작업의 상태를 작성합니다.

\\ [((a) _ (7)) \u003d - 40; \\ quad ((a) _ (17)) \u003d - 50. \\]

\\ [\\ left \\ (\\ begin (정렬) & ((a) _ (7)) \u003d ((a) _ (1)) + 6d \\\\ & ((a) _ (17)) \u003d ((a) _ (1)) + 16d \\\\\\ end (정렬) \\ 오른쪽. \\]

\\ [\\ left \\ (\\ begin (정렬) & ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40 \\\\ \\ ((a) _ (1)) + 16d \u003d -50 \\\\ \\ end (정렬) \\ 권리. \\]

이러한 요구 사항을 동시에 수행해야하기 때문에 시스템 기호를 설정합니다. 이제 우리는 첫 번째 방정식을 처음으로 공제 한 경우 (우리가 시스템을 가지고 있기 때문에 할 권리가 있습니다), 우리는 이것을 얻습니다.

\\ [\\ begin (정렬) & ((a) _ (1)) + 16D- \\ 왼쪽 (((a) _ (1)) + 6d \\ 오른쪽) \u003d - 50- \\ 왼쪽 (-40 \\ 오른쪽); \\\\ & ((a) _ (1)) + 16D - ((a) _ (1) - 6d \u003d -50 + 40; \\\\ & 10d \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ end (정렬) \\]

그건 너무 간단 해 우리는 진행의 차이를 발견했습니다! 발견 된 번호를 시스템 방정식에 대체하는 것이 남아 있습니다. 예를 들어, 첫 번째 :

\\ [\\ begin (매트릭스) ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40; \\ quad d \u003d -1 \\\\ \\ downarl \\\\ ((a) _ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ ((a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ end (매트릭스) \\]

이제 첫 번째 회원과 차이를 알면 두 번째와 세 번째 거시기를 찾는 것이 남아 있습니다.

\\ [\\ begin (정렬) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + D \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + 2D \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\ \\ end (정렬) \\]

준비된! 작업이 해결됩니다.

답변 : (-34; -35, -36)

우리가 발견 한 진행의 호기심 재산에주의를 기울이십시오 : $ n $와 $ m $ -y 회원을 가져 와서 서로를 빼고, 우리는 $ n-m $를 곱한 진행의 차이를 얻을 것입니다.

\\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ left (n-m \\ right) \\]

단순하지만 매우 유용한 재산당신이 알아야 할 필요가있는 것 - 당신은 진행중인 많은 문제의 해결책을 크게 향상시킬 수 있습니다. 다음은 밝은 예입니다.

작업 번호 3. 산술 진행의 다섯 번째 기간은 8.4이며, 그 10 번째 구성원은 14.4입니다. 이 진행의 열 다섯 번째 구성원을 찾습니다.

결정. $ (a) _ (5)) \u003d $ 8.4, $ ((a) _ (10)) \u003d $ 14.4, $ ((a) _ (15)) $를 찾아야합니다.

\\ [\\ begin (정렬) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) \u003d 5D; \\\\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 5d. \\\\ \\ end (정렬) \\]

그러나 조건 $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d $ 6, $ 5d \u003d $ 6, 우리가 가지고있는 곳에서

\\ [\\ begin (정렬) & ((a) _ (15)) - 14,4 \u003d 6; \\\\ & ((a) _ (15)) \u003d 6 + 14,4 \u003d 20.4. \\\\ \\ end (정렬) \\]

답변 : 20.4.

그게 다야! 우리는 방정식의 어떤 종류의 시스템 일 필요는 없으며 첫 번째 회원과 차이점을 고려해야합니다. 즉, 말 그대로 말 그대로 두 개의 줄로 결정했습니다.

이제 또 다른 유형의 작업을 고려하십시오 - 진행의 부정적이고 긍정적 인 구성원을 찾으십시오. 진행이 증가하면 그녀의 첫 번째 구성원이 곧 또는 나중에 긍정적 인 회원이 될 것이라는 것은 비밀이 아닙니다. 거의 : 더 빨리 또는 나중에 진행되는 멤버가 부정적이 될 것입니다.

동시에 항상 이런 순간을 추가 할 수있는 것은 아니며 요소를 순차적으로 선회합니다. 종종 수식을 알지 못하지 않고 여러 장이있을 수 있도록 작업이 종종 있습니다. 우리는 잠들기 만하면 해당 답변을 발견했습니다. 따라서 이러한 작업을 더 빠르게 해결하려고 노력해 봅시다.

작업 번호 4. 산술 진행에서 몇 개의 음수 부재가 -38.5인가? -35.8; ...?

결정. SO $ ((a) _ (1)) \u003d - $ 38.5, $ ((a) _ (2)) \u003d - $ 35.8, 우리는 즉시 차이를 즉시 찾는다.

그 차이는 긍정적이므로 진행이 증가합니다. 첫 번째 구성원은 음수이므로 정말로 우리가 양수를 막을 것입니다. 유일한 질문은 그것이 일어날 때입니다.

우리가 알아 봅시다 : 얼마나 오래 (즉, 어떤 종류의 자연 번호 $ n $), 회원의 부정성은 보존된다.

\\ [\\ begin (정렬) & ((a) _ (n)) \\ lt 0 \\ Nowarrow ((a) _ (1)) + \\ 왼쪽 (n-1 \\ 오른쪽) d \\ lt 0; \\\\ & -38,5 + \\ left (n-1 \\ 오른쪽) \\ CDOT 2.7 \\ lt 0; \\ quad \\ left | \\ cdot 10 \\ right. \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ left (n-1 \\ 오른쪽) 암; \\\\ & -385 + 27N-27 \\ LT 0; \\\\ & 27n \\ lt 412; \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ 권한 ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\ \\ end (정렬) \\]

마지막 줄에는 설명이 필요합니다. 그래서, 우리는 $ n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) $를 알고 있습니다. 반면에, 우리는 숫자의 정수 값 만 시뮬레이션 ($ n \\ mathbb (n) $ 이상)이므로 가장 큰 허용 숫자는 $ n \u003d $ 15이며 경우에 없습니다. 16.

작업 번호 5. $ (() _ (5)) \u003d - 150, (() _ (6) \u003d - $ 147)의 산술 진행에서 이 진행의 첫 번째 긍정적 인 구성원을 찾습니다.

이전 과정과 정확히 동일한 작업이 될 것입니다. 그러나 우리는 $ ((a) _ (1)) $를 알지 못합니다. 그러나 이웃 회원들은 $ (((a) _ (5)) $ 및 $ ((a) _ (6)) $를 쉽게 찾을 수 있도록 우리는 진행의 차이를 쉽게 찾을 것입니다 :

또한 표준 공식에 따라 첫 번째와 차이를 통해 다섯 번째 거시기를 표현하려고 노력해 보겠습니다.

\\ [\\ begin (정렬) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + 왼쪽 (n-1 \\ 오른쪽) \\ cdot d; \\\\ & (a) _ (5)) \u003d ((a) _ (1)) + 4D; \\\\ &150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ CDOT 3; \\\\ & (a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ end (정렬) \\]

이제 우리는 이전 작업과 비슷한 것입니다. 우리는 시퀀스의 어떤 지점에서 긍정적 인 숫자를 가지고있을 것입니다.

\\ [\\ begin (정렬) & ((a) _ (n)) \u003d - 162 + 왼쪽 (n-1 \\ 오른쪽) \\ CDOT 3 \\ gt 0; \\\\ & -162 + 3N-3 \\ gt 0; \\\\ & 3n \\ gt 165; \\\\ & n \\ gt 55 \\ 권한 ((n) _ (\\ min)) \u003d 56. \\\\ \\ end (정렬) \\]

이 불평등의 최소 정수 솔루션은 56 호입니다.

참고 사항 : 마지막 작업에서는 엄격한 불평등으로 모든 것이 밝아 졌으므로 $ n \u003d $ 55가 우리에게 적합하지 않습니다.

자, 우리가 간단한 작업을 해결하는 방법을 배웠을 때, 우리는 더 복잡하게 변합니다. 그러나 먼저 산술 진행의 또 다른 유용한 재산을 연구합시다. 미래에는 우리에게 많은 시간과 불평등 한 세포를 구할 것입니다.

평균 산술 및 동일한 들여 쓰기

$ \\ 왼쪽의 산술 진행을 증가시키는 몇 가지 연속 된 구성원을 고려하십시오 ((((a) _ (n) \\ right) $. 숫자 똑바로 숫자로 표시하려고 노력해 봅시다.

수치 적 직접에 대한 산술 진행의 구성원

나는 특히 임의의 멤버 $ ((a) _ ((n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $ ((a) _ (1)), \\ ((a) _ (2)), \\ ((a) _ (3)) $ 등 내가 지금 알려주는 규칙은 "세그먼트"에 대해 동일하게 작동합니다.

규칙은 매우 간단합니다. 재발 수식을 기억하고 표시된 모든 구성원에게 글을 씁니다.

\\ [\\ begin (정렬) & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n-3)) + d; \\\\ & ((a) _ (n - 1)) \u003d ((a) _ (n-2)) + d; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n - 1) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n + 1) + d; \\\\ \\ end (정렬) \\]

그러나 이러한 평면을 다르게 재기록 할 수 있습니다.

\\ [\\ begin (정렬) & ((a) _ (n - 1)) \u003d ((a) _ (n)) - d; \\\\ & (a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2D; \\\\ & ((a) _ (n-3)) \u003d ((a) _ (n)) - 3D; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2D; \\\\ & ((a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3D; \\\\ \\ end (정렬) \\]

글쎄, 그래서? 그리고 $ ((a) _ (n-1)) $와 $ ((a) _ (n + 1)) $ ((a) _ (n + 1)) $ ((a) _ (n)) $와 같은 거리에 있다는 사실. 그리고이 거리는 $ d $입니다. $ (a) _ ((n - 2)) $ 및 $ ((a) _ (n + 2)) $ ((a) _ ((a) _ ((a) _ (n) _ ((a) _ (n)의 멤버에 대해서도 동일 할 수있다. )) $ 2D $와 같은 거리의 $. 당신은 지속적으로 무한대로 이어질 수 있지만 그 요점은 그림으로 잘 알려져 있습니다.

진행 회원은 중심에서 같은 거리에 있습니다.

이게 우리에게 무엇을 의미합니까? 즉, 이웃들이 알고있는 경우 $ ((a) _ (n)) $를 찾을 수 있습니다.

\\ [((a) _ (n)) \u003d \\ FRAC ((((a) _ (n - 1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \\

우리는 큰 승인을 가져 왔습니다 : 산술 진행의 모든 \u200b\u200b구성원은 평균 산술 인접 멤버와 동일합니다! 더욱이 : 우리는 $ (a) _ (n)) $ 왼쪽과 오른쪽에서 한 단계가 아닌 $ ((a) _ (n))에서 퇴각 할 수 있으며, 여전히 수식이 올바른 것입니다.

\\ [((a) _ (n)) \u003d \\ FRAC ((((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k)))))) (2) \\]

그. $ ((a) _ (100)) $ ((a) _ (200)) $를 알고 있다면 $ ((a) _ (150)) $를 안전하게 찾을 수 있습니다. 왜냐하면 $ ((a) _ (150)) \u003d \\ FRAC (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. 처음에는이 사실이 우리에게 유용한 것을주지 않는 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나 실제로 많은 작업은 평균 산술을 사용하기 위해 특별히 "예리 해"입니다. 구경하다:

작업 번호 6. $ x $의 모든 값을 찾아 숫자 $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ 및 $ 14 + 4 (((((2)) $ 산술 진행의 일관된 구성원입니다 (지정된 경우).

결정. 이 숫자는 진행의 구성원이기 때문에 평균 산술의 상태가 수행됩니다. 중앙 요소 $ x + 1 $는 인접한 요소를 통해 표현 될 수 있습니다.

\\ [\\ begin (정렬) & x + 1 \u003d \\ fRAC (-6 ((-6 ((-6 ((-6) ^ (2) + 14 + 4 ((x) ^ (2)))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d \\ fRAC (14-2 (((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ end (정렬) \\]

그것은 고전적인 사각형 방정식을 밝혀 냈습니다. 그의 뿌리 : $ x \u003d $ 2 및 $ x \u003d -3 $ - 이것은 답변입니다.

답변 : -3; 2.

작업 번호 7. $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $가 산술 진행을 구성합니다 (지정된 순서로).

결정. 우리는 이웃 회원의 산술 평균을 통해 평균 회원을 표현합니다.

\\ [\\ begin (정렬) & 4x-3 \u003d \\ fRAC (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ FRAC (((x) ^ (2)) + x) (2); \\ quad \\ left | \\ cdot 2 \\ right.; \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ end (정렬) \\]

다시 정사각형 방정식. 그리고 다시 2 개의 뿌리 : $ x \u003d $ 6 및 $ x \u003d 1 $.

답변 : 1; 6.

문제를 해결하는 과정에서 당신은 잔인한 숫자가 있거나 발견 된 답복의 정확성에 대해 완전히 자신감이 없으며, 즉 멋진 기술이며, 우리는 다음을 해결할 수 있었습니까?

작업 번호 6에서 우리는 -3과 2.이 답변이 올바른지 확인하는 방법을 확인하는 방법은 무엇입니까? 원래의 상태로 그들을 대신하고 무슨 일이 일어나는지 확인합시다. 우리는 3 개의 숫자 ($ -6 ((^ (2)) $, $ + 1 $ 및 $ 14 + 4 (() ^ (2)) $)을 가지고 있음을 상기시켜줍니다. 이는 산술 진행이되어야합니다. $ x \u003d -3 $ 대체 :

\\ [\\ begin (정렬) & x \u003d -3 \\ virewarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2) \u003d - 54; \\\\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ END (정렬) \\]

수신 된 숫자 -54; -2; 50, 52에서 다른 것은 의심의 여지없이, 이것은 산술 진행이기도합니다. $ x \u003d $ 2에서 똑같은 일이 일어납니다.

\\ [\\ begin (정렬) & x \u003d 2 \\ 권리 \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\\\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ END (정렬) \\]

다시는 진행이지만 차이 27. 따라서 작업은 사실이 해결됩니다. 원하는 사람들은 자신의 두 번째 작업을 확인할 수 있지만 즉시 모든 것이 거기에 있습니다.

일반적으로 최신 작업을 해결하면 우리는 다른 하나를 가로 질러 왔습니다. 흥미로운 사실누가도 기억해야할지 :

세 개의 숫자가 두 번째 숫자가 중간 산술이 먼저 산정되고 마지막으로이어야합니다.이 숫자는 산술 진행을 형성합니다.

앞으로이 진술에 대한 이해는 우리가 문제의 상태에 따라 문자 그대로 "디자인"을 "설계"할 수 있습니다. 그러나 우리가 그런 "디자인"을 다루기 전에 이미 고려 된 것으로 간주되는 또 다른 사실에주의를 기울여야합니다.

그룹화 및 요소의 양

숫자 축으로 되돌아 가자. 우리는 진행의 여러 회원들이 거기에 유의해야합니다. 다른 회원이 많이 있습니다.

6 요소는 숫자 똑바로 표시됩니다

$ ((a) _ (n)) $ 및 $ d $를 통해 "왼쪽 꼬리"와 $ ((a) _ (k)) $와 $ d $를 통해 "왼쪽 꼬리"를 표현해 보겠습니다. 그것은 매우 간단합니다.

\\ [\\ 시작 (정렬) & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2D; \\\\ & ((a) _ (k - 1)) \u003d ((a) _ (k)) - d; \\\\ & ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2D. \\\\ \\ end (정렬) \\]

그리고 이제는 다음과 같은 양이 같음을 유의합니다.

\\ [\\ begin (정렬) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) \u003d s; \\\\ & (a) _ ((a) _ (k - 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - D \u003d s; \\\\ & ((a) _ ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2D \u003d S. \\ END (정렬) \\]

간단히 말해, 우리가 금액이 숫자 $ s $와 동일한 금액과 같은 두 가지 요소를 시작으로 고려한 다음 반대쪽면 에서이 항목에서 또는 삭제를 위해이 항목에서 걷기 시작합니다. 그때 우리가 비틀 거리는 요소의 양은 또한 동일합니다. $ s $. 가장 명확하게 그래픽으로 표현 될 수 있습니다.

동일한 들여 쓰기는 동일한 양을 제공합니다.

이해 이 사실의 우리가 더 많은 문제를 해결할 수있게하십시오 높은 레벨 우리가 위에서 생각한 것보다 어려움. 예를 들어, 다음과 같이 :

작업 번호 8. 산술 진행의 차이를 결정하십시오. 첫 번째 용어는 66이며 두 번째 및 12 번째 구성원의 작업이 가장 작은 일입니다.

결정. 우리는 우리가 아는 모든 것을 씁니다.

\\ [\\ begin (정렬) & ((a) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ & (a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ min. \\ END (정렬) \\]

그래서 우리는 $ D $의 진행의 차이를 알 수 없습니다. 실제로, 그 차이가 있고, 제품이 $ ((a) _ (2)) \\ CDOT ((a) _ (12)) $는 다음과 같이 다시 작성할 수 있기 때문에 모든 솔루션을 구축 할 것입니다.

\\ [\\ begin (정렬) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + D \u003d 66 + D; \\\\ & ((a) _ (12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ left (66 + d \\ right) \\ cdot \\ left (66 + 11d \\ 오른쪽) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ CDOT \\ 왼쪽 (D + 66 \\ 오른쪽) \\ CDOT \\ 왼쪽 (D + 6 \\ 오른쪽). \\ END (정렬) \\]

탱크에있는 사람들을 위해서 : 두 번째 브래킷 중 11 개의 일반 배율을 수행했습니다. 따라서, 원하는 생성물은 $ D $ 변수에 대한 2 차 함수이다. 따라서, 우리는 $ f \\ left (d \\ right) \u003d 11 \\ left (d + 66 \\ right) \\ left (d + 6 \\ 오른쪽) $ - 그 일정은 포물선 분기가되기 때문에 당신이 괄호를 드러내는 경우, 우리는 다음을 얻을 것입니다 :

\\ [\\ begin (정렬) & f \\ left (d \\ right) \u003d 11 \\ left (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \\ cdot 6 \\ right) \u003d \\\\ \\ \u003d 11 (( d) ^ (2)) + 11 \\ CDOT 72D + 11 \\ CDOT 66 \\ CDOT 6 \\ END (정렬) \\

우리가 볼 수 있듯이, 수석 용어와 같은 계수는 11과 같습니다. 이것은 긍정적 인 숫자이므로 정말로 포물선 분기를 다루고 있습니다 :

시간표 2 차 기능 - 파라 보라
참고 사항 :이 파라 보라의 최소값은 횡좌표 $ (d) _ (0)) $를 사용하여 정점을 사용합니다. 물론, 우리는 표준 계획에 따라이 횡축을 계산할 수 있습니다 (수식 $ ((d) _ (0) \u003d (- b) / (2A) \\; $). 훨씬 훌륭한 것은 원하는 상단은 파라라 보라의 대칭을 축에 거짓말하므로 $ ((d) _ (0))는 수식 $ f \\ left (d \\ right) \u003d 0 $의 뿌리와 같습니다.

\\ [\\ begin (정렬) & f \\ left (d \\ right) \u003d 0; \\\\ & 11 \\ cdot \\ left (d + 66 \\ 오른쪽) \\ cdot \\ left (d + 6 \\ right) \u003d 0; \\\\ & (d) _ (1)) \u003d - 66; \\ quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ end (정렬) \\]

그래서 나는 브래킷을 밝히기 위해 정말 서두르지 않았습니다. 원래 형태로 뿌리는 매우 간단했습니다. 결과적으로, 횡좌표는 평균과 같습니다 산술 숫자 -66 및 -6 :

우리에게 탐지 된 번호를주는 것은 무엇입니까? 그것으로 필요한 작업은 가장 작은 가치를 취합니다 (우리는 그런데 $ ((y) _ (\\ min)를 고려하지 않았습니다) $ - 우리가 필요하지 않습니다.) 동시에,이 숫자는 초기 진행의 차이, 즉. 우리는 대답을 발견했습니다. :)

답변 : -36.

작업 번호 9. 숫자 사이 $-\\ frac (1) (2) $ / $-\\ frac (1) (6) (6) $ 3 숫자를 삽입 하여이 숫자와 함께 산술 진행을합니다.

결정. 본질적으로 우리는 5 개의 숫자의 순서를 만들어야하며, 첫 번째와 마지막 숫자는 이미 알려져 있습니다. $ x $, $ y $ 및 $ z $의 누락 된 수를 나타냅니다.

\\ [\\ left ((((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ (- \\ frac (1) (2); x; x; y; \\ frac (1) (6) \\ right \\ ) \\]

번호 $ y $는 우리 시퀀스의 "중간"이며, 등보리이며 숫자 $ x $ 및 $ z $ 및 숫자 $ - \\ fRAC (1) (2) $ 및 $ \\ FRAC (1) (6) $. 숫자로 $ x $ 및 $ z $에있는 경우 이 순간 우리는 $ y $를 얻을 수 없으며, 진행의 끝으로 상황이 다릅니다. 산술 평균에 대해 기억합니다.

이제 $ y $를 아는 것은 나머지 숫자를 찾을 것입니다. $ x $는 숫자 - \\ frac (1) (2) $와 발견 된 $ y \u003d - \\ frac (1) (3) $를 발견 할 수 있습니다. 따라서

마찬가지로, 논쟁, 우리는 나머지 번호를 찾습니다.

준비된! 우리는 세 가지 숫자 모두를 발견했습니다. 우리는 초기 번호 사이에 삽입되어야하는 순서대로 응답으로 작성합니다.

답변 : $-\\ frac (5) (12); \\ - \\ frac (1) (3); \\ - \\ frac (1) (4) $

작업 번호 10. 숫자 2와 42 사이 에서이 숫자와 함께 여러 개의 숫자를 삽입하고 산술 진행을 형성하는 경우 산술 진행을 형성합니다. 삽입 된 숫자의 첫 번째, 두 번째 및 마지막 합계가 56입니다.

결정. 그러나 더욱 어려운 작업은 산술 평균을 통해 이전의 계획과 동일한 계획에 의해 해결됩니다. 문제는 몇 개의 특별히 숫자를 삽입 해야하는지 알려지지 않은 것입니다. 따라서 우리는 삽입 후에 정확히 $ n $ number이고, 첫 번째는 2이고 마지막 - 42가 될 것이라는 정의를 위해 설정합니다.이 경우 산술 진행을위한 검색은 다음과 같이 표시됩니다.

\\ [\\ left ((((a) _ (n)) \\ 오른쪽) \u003d \\ left \\ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3); ...; (( a) _ (n - 1)); 42 \\ right \\) \\]

\\ [(a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n - 1)) \u003d 56 \\

그러나 숫자 ((a) _ (2)) $ 및 $ (a) _ (n - 1)) $는 숫자 2 및 42의 가장자리에서 한 걸음으로 한 걸음으로 숫자로 획득된다는 것입니다. ...에 시퀀스 센터에. 그리고 이것은 그것을 의미합니다

\\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n - 1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\

그러나 위의 기록 된 표현은 다음을 다시 작성할 수 있습니다.

\\ [\\ begin (정렬) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n - 1)) \u003d 56; \\\\ \\ left (((a) _ (2)) + ((a) _ (n - 1)) \\ 오른쪽) + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ end (정렬) \\]

$ ((a) _ (3)) $와 $ ((a) _ (1)) $를 아는 것은 쉽게 진행의 차이를 쉽게 찾을 것입니다 :

\\ [\\ begin (정렬) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ & (a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d \\ left (3-1 \\ 오른쪽) \\ CDOT D \u003d 2D; \\\\ & 2D \u003d 10 \\ 권투 D \u003d 5. \\\\ \\ end (정렬) \\]

다른 회원들을 찾기 위해서만 남아 있습니다.

\\ [\\ begin (정렬) & ((a) _ (1)) \u003d 2; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & (a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ CDOT 5 \u003d 17; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22; \\\\ & ((a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ CDOT 5 \u003d 27; \\\\ & ((a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ CDOT 5 \u003d 32; \\\\ & (a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ CDOT 5 \u003d 37; \\\\ & (a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ CDOT 5 \u003d 42; \\\\ \\ end (정렬) \\]

따라서 이미 9 단계에서 우리는 시퀀스의 왼쪽 끝까지 올 것입니다. 42. 7 숫자 만 삽입해야했습니다. 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

답변 : 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

진행이있는 텍스트 작업

결론적으로 커플을 상대적으로 고려하고 싶습니다. 간단한 작업...에 글쎄, 간단한 것 : 학교에서 수학을 탐험하고 위에 쓰여지는 것을 읽지 않았던 대부분의 학생들은 주석처럼 보일 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 수학에서 oge와 ege를 가로 지르는 것은 정확하게 그러한 일이므로 자신을 익히는 것이 좋습니다.

작업 번호 11. 1 월 62 일 부품에서 제조 된 여단은 다음 달마다 이전보다 14 개 이상의 부분을 만들었습니다. 11 월에 몇 명의 세부 사항이 여단을 만들었습니까?

결정. 분명히, 개월까지 그려진 세부 사항의 수는 증가하는 산술 진행이 될 것입니다. 과:

\\ [\\ begin (정렬) & ((a) _ (1)) \u003d 62; \\ quad d \u003d 14; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 62+ \\ left (n-1 \\ 오른쪽) \\ CDOT 14. \\\\ \\ end (정렬) \\

11 월은 일년에 11 번째 달이므로 우리는 $ ((a) _ (11)) $를 찾아야합니다.

\\ [((a) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ CDOT 14 \u003d 202 \\]

따라서 202 년에는 202 세의 세부 사항이 제조됩니다.

작업 번호 12. Binding Workshop은 1 월 216 일 도서에서 겹치고 다음 달마다 그녀는 이전보다 4 권의 책을 더 많이 섞어 놓았습니다. 12 월에 몇 권의 책은 워크샵을 압도 했습니까?

결정. 모두 같은:

$ \\ 시작 (정렬) & ((a) _ (1)) \u003d 216; \\ quad d \u003d 4; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 216+ \\ left (n-1 \\ 오른쪽) \\ CDOT 4. \\\\ end (정렬) $

12 월은 연간 마지막 12 개월이며, 우리는 $ ((a) _ (12)) $를 찾고 있습니다.

\\ [((a) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ CDOT 4 \u003d 260 \\]

이것은 답변입니다 - 260 권의 책은 12 월에 얽혀있을 것입니다.

글쎄, 여기에 읽으면, 나는 당신을 축하하기 위해 서둘러, 당신이 성공적으로 통과 한 산술 진행에 관한 산술 진행에 관한 "젊은 전투력". 우리가 진행 금액의 공식을 연구하고 중요하고 유용한 결과를 연구하는 다음 공과로 안전하게 이동할 수 있습니다.

수학에서 그림과시에서와 같이 자체적 인 아름다움이 있습니다.

러시아 과학자, 정비사 n.e. Zhukovsky.

매우 일반적인 작업 소개 테스트 수학에서는 산술 진행의 개념과 관련된 과제가 있습니다. 이러한 작업을 성공적으로 해결하기 위해 산술 진행의 특성을 알고 응용 프로그램의 특정 기술을 갖추고 있어야합니다.

산술 진행의 주요 특성을 선고하고 가장 중요한 수식을 제공하십시오., 이 개념과 관련이 있습니다.

정의. 번호 시퀀스, 각 후속 구성원은 이전의 하나와 동일한 수와 다릅니다., 산술 진행이라고 불렀다. 동시에 진행의 차이를 불렀다.

산술 진행 수식은 유효합니다

, (1)

어디. 식 (1)을 산술 진행의 일반 부재의 공식이라고하며, 식 (2)는 산술 진행의 주요 특성이다 : 진행의 각 구성원은 인접 부재의 평균 산술과 일치하고있다.

문제의 진행이 "산술"이라고 불리는이 속성 때문이었습니다.

상기 화학식 (1) 및 (2)는 다음과 같이 일반화된다 :

(3)

합계를 계산하려면 먼저 산술 진행의 구성원 수식은 일반적으로 일반적으로 적용됩니다

(5) 어디서.

우리가 공식을 고려한 경우 (1), 그런 다음 식 (5)에서 흐른다

당신이 지정하는 경우,

어디. 이기 때문에, 화학식 (7) 및 (8)은 상응하는 공식 (5) 및 (6)의 일반화이다.

특히, Formula (5)에서 다음과 같습니다, 뭐

대부분 알려진 대다수의 학생들은 다음과 같은 정리에 의해 공식화 된 산술 진행의 재산을 포함합니다.

정리. 그렇다면

증거. 그렇다면

정리가 증명됩니다.

예를 들어, 정리를 사용하십시오, 그것은 그것을 보여줄 수 있습니다

우리는 주제 "산술 진행"에 문제 해결의 전형적인 예를 고려합니다.

예제 1. 순리에 맡기다. 찾다 .

결정. 공식 (6)을 사용하여 우리는 얻습니다. 그대로 그렇듯이 또는.

예 2. 세 번 더 세 번 더 올리고, 비공개로 나누어 질 때 2와 잔류 물에서 밝혀졌습니다.

결정. 예제의 상태에서 방정식 시스템이 흐릅니다.

그 이후로, 그리고, 방정식 시스템 (10)

이 방정식 시스템을 해결함으로써

예 3. IF 및.

결정. 식 (5)에 따르면 우리는 가지고 있거나 있습니다. 그러나, 재산 (9)을 사용하면 얻을 수 있습니다.

이후, 그리고 평등에서 방정식은 다음과 같습니다 또는.

예 4.IF를 찾으십시오.

결정.식 (5)에 의해 우리는 가지고 있습니다

그러나 정리를 사용하면 녹음 할 수 있습니다

여기에서 우리는 식 (11)에서 우리가 얻습니다.

예 5.. 다노 : 찾다 .

결정. 그때부터. 그러나, 따라서,

예 6. 및. 찾다 .

결정. 식 (9)를 사용하여 우리가 얻습니다. 따라서, 또는 그때 또는.

게다가 그런 다음 여기에 방정식 시스템이 있습니다

우리가 얻는 것을 해결하고.

자연 뿌리 방정식 이다 .

예 7. IF 및.

결정. 식 (3)에서 우리는 그 문제의 조건에서 방정식이 흐르는 시스템을 가지고 있습니다.

우리가 표현을 대체한다면 시스템의 두 번째 방정식에서, 나는 얻거나.

뿌리 뿌리 정사각형 방정식 아르 과.

두 가지 경우를 고려하십시오.

1. 그럼, 잠자리. 그때 때문에.

이 경우, 식 (6)에 따르면, 우리는

2. 그렇다면, 그리고,

답변 : 그리고.

예 8. 그것은 알고 있습니다. 찾다 .

결정. 식 (5)와 예제의 조건을 고려하여 쓰기 및.

따라서 방정식 시스템

시스템의 첫 번째 방정식이 2를 곱한 다음 두 번째 방정식으로 놓은 다음 우리가 얻습니다.

식 (9)에 따르면 우리는 가지고 있습니다...에 이와 관련하여 (12)의 흐름 또는.

그때 때문에.

대답:.

예 9.IF 및.

결정. 조건으로, 또는 또는

식 (5)에서 알려진 식 (5), 뭐 . 그때부터.

그 후 , 여기에서 우리는 선형 방정식의 시스템을 가지고 있습니다

여기에서 우리는 얻습니다. 식 (8)을 고려하여 쓰기.

예 10. 방정식을 해결하십시오.

결정. 지정된 방정식에서 다음과 같습니다. 우리는 그것을 넣었습니다. 이 경우.

식 (1)에 따르면, 당신은 쓸 수 있습니다.

이후로 방정식 (13)은 유일한 루트를 갖는다.

예제 11. 제공된 최대 값을 찾으십시오.

결정. 이후, 상기 산술 진행은 내림차순이다. 이와 관련하여, 표현식은 진행의 최소 긍정적 인 멤버의 수 인 경우 최대 값을 취합니다.

우리는 식 (1)과 사실을 사용합니다.그와. 그런 다음 우리는 그것을 얻습니다.

그때, 또는 ...에 그러나,이 불평등에서가장 큰 자연 번호, 그래서.

값이 있고 식 (6)에서 대체 할 경우, 우리는 얻을 것입니다.

대답:.

예제 12. 모든 두 자리의 합계를 결정하십시오 자연수숫자 6으로 나눈 경우에는 잔류 물 5에 주어진다.

결정. 모든 2 자리 자유의 자연수의 집합을 나타냅니다. ...에 또한, 숫자 6으로 나누어 질 때 세트의 요소 (숫자)로 구성된 서브 세트를 구축한다.

설치가 쉽습니다, 뭐 . 명백하게 그 세트의 요소 산술 진행을 형성합니다그리고 그리고

세트의 전원 (요소 수)을 설정하려면 우리는 그것을 설정합니다. 그 후, 식 (1)에서는 어느 것이 여야합니다. 식 (5)를 고려하여, 우리는 얻는다.

어떤 경우에도 문제 해결의 예는 철저한 완전성을 위해 적용될 수 있습니다. 이 기사는 분석을 기반으로 작성되었습니다. 현대적인 방법 주어진 주제에 대한 전형적인 작업의 솔루션. 산술 진행과 관련된 문제를 해결하는 방법에 대한 더 깊은 연구를 위해 추천 문헌 목록을 참조하는 것이 좋습니다.

1. 토양 / 에드에서 들어오는 수학 문제 수집. 미. Schanavi. - m. : 평화와 교육, 2013. - 608 p.

2. suprun v.p. 고등학생을위한 수학 : 추가 섹션 학교 프로그램...에 - m. : lenand / urss., 2014. - 216 p.

3. 의학 M.m. 작업 및 연습에서 초등학교 수학의 전체 과정. 책 2 : 숫자 시퀀스 그리고 진행. - m. : oditus., 2015. - 208 p.

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