Ogranicz kolejność przykładów rozwiązań. Granica ciągu - podstawowe twierdzenia i własności

Xn elementów lub członków ciągu, n - członków ciągu. Jeśli funkcja f (n) jest podana analitycznie, to znaczy wzorem, to xn = f (n) nazywamy wzorem elementu ciągu.

Liczbę a nazywamy granicą ciągu (xn), jeśli dla dowolnego ε> 0 istnieje liczba n = n (ε), począwszy od której nierówność |xn-a|

Przykład 2. Udowodnij, że w warunkach Przykładu 1 liczba a = 1 nie jest granicą ciągu z poprzedniego przykładu. Rozwiązanie. Ponownie uprość wspólny termin. Weź ε = 1 (dowolna liczba>

Zadania bezpośredniego obliczania granicy ciągu są dość monotonne. Wszystkie zawierają stosunki wielomianów w odniesieniu do n lub wyrażeń niewymiernych w odniesieniu do tych wielomianów. Rozpoczynając rozwiązywanie, umieść komponent w najwyższym stopniu poza nawiasami (znak rodnika). Niech dla licznika pierwotnego wyrażenia doprowadzi to do pojawienia się czynnika a ^ p, a dla mianownika b ^ q. Oczywiście wszystkie pozostałe wyrazy mają postać С / (n-k) i dążą do zera dla n>

Pierwszy sposób obliczenia granicy ciągu opiera się na jego definicji. Co prawda należy pamiętać, że nie daje możliwości bezpośredniego poszukiwania granicy, a jedynie pozwala udowodnić, że jakaś liczba a jest (lub nie) granicą Przykład 1. Wykazać, że ciąg (xn) = ( (3n ^ 2-2n -1) / (n ^ 2-n-2)) ma granicę a = 3. Rozwiązanie. Wykonaj dowód, stosując definicję w odwrotnej kolejności. To znaczy od prawej do lewej. Sprawdź najpierw, czy nie można uprościć wzoru na xn.хn = (3n ^ 2 + 4n + 2) / (n ^ 2 + 3n22) = ((3n + 1) (n + 1)) / ((n + 2) (n + 1)) =) = (3n + 1) / (n + 2) Rozważ nierówność | (3n + 1) / (n + 2) -3 | 0 możesz znaleźć dowolną liczbę naturalną nε większą niż -2+ 5 / ε.

Przykład 2. Udowodnij, że w warunkach Przykładu 1 liczba a = 1 nie jest granicą ciągu z poprzedniego przykładu. Rozwiązanie. Ponownie uprość wspólny termin. Weź ε = 1 (dowolna liczba> 0). Zapisz końcową nierówność ogólnej definicji |(3n + 1) / (n + 2) -1 |

Wskażmy nietradycyjny sposób znajdowania granicy ciągu i sum nieskończonych. Użyjemy ciągów funkcyjnych (ich składowe funkcji są zdefiniowane na pewnym przedziale (a, b)) Przykład 3. Znajdź sumę postaci 1 + 1/2! +1/3! +… + 1 / n! +… = S. Rozwiązanie. Dowolna liczba a ^ 0 = 1. Umieść 1 = exp (0) i rozważ sekwencję funkcji (1 + x + x ^ 2/2! + X ^ 3/3! +… + X ^ / n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

Podano sformułowania głównych twierdzeń i własności ciągów liczbowych mających granicę. Zawiera definicję sekwencji i jej granicę. Rozważane są operacje arytmetyczne na ciągach, właściwości związane z nierównościami, kryteria zbieżności, właściwości ciągów nieskończenie małych i nieskończenie dużych.

Zadowolony

Skończone własności graniczne sekwencji

Podstawowe właściwości

Punkt a jest granicą ciągu wtedy i tylko wtedy, gdy poza jakimkolwiek sąsiedztwem tego punktu znajduje się skończona liczba elementów sekwencje lub pusty zestaw.

Jeżeli liczba a nie jest granicą ciągu, to istnieje sąsiedztwo punktu a, poza którym znajduje się nieskończona liczba elementów w sekwencji.

Twierdzenie o jednoznaczności dla granicy ciągu liczb... Jeśli sekwencja ma limit, to jest jedyna.

Jeśli ciąg ma skończoną granicę, to ograniczony.

Jeśli każdy element sekwencji jest równa tej samej liczbie C: wtedy ta sekwencja ma granicę równą liczbie C.

Jeśli sekwencja dodaj, odrzuć lub zmień pierwszych m elementów, to nie wpłynie to na jego zbieżność.

Dowody głównych właściwości są podane na stronie
Podstawowe własności granic skończonych ciągów >>>.

Operacje arytmetyczne z ograniczeniami

Niech będą skończone granice i sekwencje oraz. I niech C będzie stałą, czyli podaną liczbą. Następnie
;
;
;
, Jeśli .
W przypadku ilorazu przyjmuje się, że dla wszystkich n.

Jeśli następnie.

Dowody właściwości arytmetycznych są podane na stronie
Własności arytmetyczne skończonych granic ciągów >>>.

Własności nierówności

Jeżeli elementy ciągu, zaczynając od pewnej liczby, spełniają nierówność, to granica a tego ciągu również spełnia nierówność.

Jeżeli elementy ciągu, zaczynając od pewnej liczby, należą do przedziału domkniętego (odcinka), to granica a również należy do tego przedziału:.

Jeśli i i elementy ciągów, zaczynając od pewnej liczby, spełniają nierówność, to wtedy.

Jeśli i, zaczynając od jakiejś liczby, to.
W szczególności, jeśli zaczynając od jakiejś liczby, to
Jeśli następnie;
Jeśli następnie.

Jeśli i, to.

Niech i. Jeśli < b , to istnieje liczba naturalna N taka, że dla wszystkich n > N utrzymuje się nierówność.

Dowody właściwości związanych z nierównościami są podane na stronie
Właściwości limitów sekwencji związane z nierównościami >>>.

Nieskończenie duże i nieskończenie małe sekwencje

Nieskończenie mała sekwencja

Sekwencja nieskończenie mała to sekwencja, której granica wynosi zero:
.

Suma i różnica skończonej liczby nieskończenie małych ciągów jest nieskończenie małym ciągiem.

Produkt o ograniczonej sekwencji przez nieskończenie mały jest nieskończenie małą sekwencją.

Produkt skończony sekwencja nieskończenie mała jest sekwencją nieskończenie małą.

Aby ciąg miał granicę a, konieczne i wystarczające jest to, że gdzie jest ciągiem nieskończenie małym.

Dowody własności ciągów nieskończenie małych są podane na stronie
Sekwencje nieskończone — definicja i właściwości >>>.

Nieskończenie duża sekwencja

Nieskończenie duża sekwencja to sekwencja, która ma nieskończenie dużą granicę. To znaczy, jeśli dla dowolnej liczby dodatniej istnieje liczba naturalna N zależna od takiej, że dla wszystkich liczb naturalnych nierówność
.
W takim przypadku napisz
.
Lub o godz.
Mówią, że dąży do nieskończoności.

Jeśli zaczynając od jakiejś liczby N, to
.
Jeśli następnie
.

Jeżeli ciągi są nieskończenie duże, to zaczynając od pewnej liczby N, definiuje się ciąg nieskończenie mały. Jeśli są nieskończenie małą sekwencją z niezerowymi elementami, to sekwencja jest nieskończenie duża.

Jeśli ciąg jest nieskończenie duży, a ciąg jest ograniczony, to
.

Jeśli wartości bezwzględne elementów sekwencji są ograniczone od dołu liczbą dodatnią () i są nieskończenie małe z elementami, które nie są równe zeru, to
.

W szczegółach definicja nieskończenie dużego ciągu z przykładami jest podany na stronie
Definicja nieskończenie dużego ciągu >>>.
Dowody własności nieskończenie dużych ciągów są podane na stronie
Własności ciągów nieskończenie dużych >>>.

Kryteria zbieżności ciągów

Sekwencje monotoniczne

Ciąg ściśle rosnący to ciąg dla wszystkich elementów, w których występują następujące nierówności:
.

Inne sekwencje monotoniczne są definiowane przez podobne nierówności.

Sekwencja ściśle malejąca:
.
Sekwencja nie malejąca:
.
Sekwencja nierosnąca:
.

Wynika z tego, że ciąg ściśle rosnący również nie maleje. Sekwencja ściśle malejąca również nie rośnie.

Sekwencja monotoniczna jest ciągiem nie malejącym lub nierosnącym.

Sekwencja monotoniczna jest ograniczona przynajmniej z jednej strony wartością. Niemalejący ciąg jest ograniczony od dołu:. Sekwencja nierosnąca jest ograniczona od góry:.

twierdzenie Weierstrassa... Aby ciąg nie malejący (nierosnący) miał skończoną granicę, konieczne i wystarczające jest, aby był ograniczony od góry (od dołu). Tutaj M to jakaś liczba.

Ponieważ każda niemalejąca (nierosnąca) sekwencja jest ograniczona od dołu (od góry), twierdzenie Weierstrassa można przeformułować w następujący sposób:

Aby ciąg monotoniczny miał skończoną granicę, konieczne i wystarczające jest, aby był ograniczony:.

Monotonna nieograniczona sekwencja ma nieskończoną granicę, równą dla sekwencji nierosnącej i nierosnącej.

Dowód twierdzenia Weierstrassa podane na stronie
Twierdzenie Weierstrassa o granicy ciągu monotonicznego >>>.

Kryterium Cauchy'ego dla zbieżności ciągu

Warunek Cauchyego
Sekwencja spełnia warunek Cauchyego jeśli dla którejkolwiek istnieje taka liczba naturalna, że dla wszystkich liczb naturalnych n i m spełniających warunek, nierówność
.

Sekwencja fundamentalna to sekwencja, która spełnia warunek Cauchy'ego.

Kryterium Cauchy'ego dla zbieżności ciągu... Aby sekwencja miała skończoną granicę, konieczne i wystarczające jest spełnienie warunku Cauchy'ego.

Dowód kryterium zbieżności Cauchy'ego podane na stronie
Kryterium Cauchy'ego dla zbieżności ciągu >>>.

Podciągi

Twierdzenie Bolzano - Weierstrassa... Zbieżną podsekwencję można wybrać z dowolnej ograniczonej sekwencji. I z dowolnego nieograniczonego ciągu — nieskończenie dużego podciągu zbieżnego do lub do.

Dowód twierdzenia Bolzano - Weierstrassa podane na stronie
Bolzano - twierdzenie Weierstrassa >>>.

Definicje, twierdzenia i własności podciągów i granic częściowych znajdują się na stronie
Podciągi i granice cząstkowe ciągów >>>.

Bibliografia:
CM. Nikolskiego. Przebieg analizy matematycznej. Tom 1. Moskwa, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Przebieg analizy matematycznej. Tom 1. Moskwa, 2003.
V.A. Zorich. Analiza matematyczna. Część 1. Moskwa, 1997.
V.A. Ilyin, E.G. Poznyak. Podstawy analizy matematycznej. Część 1. Moskwa, 2005.

Zobacz też:

Limit sekwencji liczb- granica ciągu elementów przestrzeni numerycznej. Przestrzeń liczbowa to przestrzeń metryczna, której odległość jest definiowana jako moduł różnicy między elementami. Dlatego numer nazywa się granica sekwencji jeśli dla dowolnego istnieje liczba zależna od takiej, że dla dowolnego zachodzi nierówność.

Pojęcie granicy ciągu liczb rzeczywistych jest dość proste, a w przypadku liczb zespolonych istnienie granicy ciągu jest równoważne istnieniu granic odpowiednich ciągów części rzeczywistych i urojonych liczb zespolonych .

Granica (ciąg liczbowy) to jedno z podstawowych pojęć analizy matematycznej. Każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić jako granicę ciągu przybliżeń do pożądanej wartości. System liczbowy zapewnia tę sekwencję kwalifikacji. Liczby niewymierne opisywane są przez okresowe ciągi przybliżeń, natomiast liczby niewymierne przez nieokresowe ciągi przybliżeń.

W metodach numerycznych, w których stosuje się reprezentację liczb o skończonej liczbie znaków, wybór systemu aproksymacji odgrywa szczególną rolę. Kryterium jakości systemu aproksymacji jest stopień zbieżności. Pod tym względem ułamki ciągłe są skuteczne.

Definicja

Numer nazywa się granica ciągu liczbowego jeśli ciąg jest nieskończenie mały, to znaczy wszystkie jego elementy, zaczynając od niektórych, mają wartość bezwzględną mniejszą niż jakakolwiek liczba dodatnia wzięta z góry.

Jeżeli ciąg liczbowy ma ograniczenie w postaci liczby rzeczywistej, nazywa się go zbieżny do tego numeru. W przeciwnym razie sekwencja nazywa się rozbieżne ... Jeżeli ponadto jest nieograniczony, to przyjmuje się, że jego granica jest równa nieskończoności.

Ponadto, jeśli wszystkie elementy ciągu nieograniczonego, zaczynając od jakiejś liczby, mają znak dodatni, to mówi się, że granica takiego ciągu wynosi plus nieskończoność .

Jeśli elementy ciągu nieograniczonego, zaczynając od pewnej liczby, mają znak ujemny, to mówią, że granica takiego ciągu jest minus nieskończoność .

Ta definicja ma fatalną wadę: wyjaśnia, czym jest granica, ale nie podaje sposobu jej obliczenia ani informacji o jej istnieniu. Wszystko to wywnioskowano z przedstawionych poniżej właściwości granicy.

Dzisiaj na lekcji przeanalizujemy ścisłe sekwencjonowanie oraz ścisła definicja granicy funkcji, a także nauczyć się rozwiązywania odpowiednich problemów natury teoretycznej. Artykuł przeznaczony jest przede wszystkim dla studentów I roku kierunków przyrodniczych i inżynieryjno-technicznych, którzy rozpoczęli studiowanie teorii analizy matematycznej i napotkali trudności w zrozumieniu tego działu matematyki wyższej. Ponadto materiał jest dość przystępny dla uczniów szkół średnich.

Przez lata istnienia serwisu otrzymałem kilkanaście listów o mniej więcej następującej treści: „Nie rozumiem analizy matematycznej, co mam zrobić?”, „W ogóle nie rozumiem matana, myślę, że zrozumiem rzucić studia” itp. Rzeczywiście, to właśnie matan często przerzedza grupę uczniów już po pierwszej sesji. Dlaczego tak jest? Bo temat jest niesamowicie trudny? Zupełnie nie! Teoria analizy matematycznej nie jest tak trudna, jak osobliwa... I musisz ją zaakceptować i kochać za to, kim jest =)

Zacznijmy od najgorszego przypadku. Przede wszystkim nie ma potrzeby rzucania szkoły. Zrozum dobrze, żeby rzucić, to zawsze będzie na czas ;-) Oczywiście, jeśli po roku lub dwóch poczujesz się chory z wybranej specjalności, to tak - powinieneś się nad tym zastanowić (i nie chłostać gorączki!) o zmianie działalności. Ale na razie warto kontynuować. I proszę, zapomnij o zdaniu „Nic nie rozumiem” - nie zdarza się, że W OGÓLE niczego nie rozumiesz.

A jeśli teoria jest zła? Nawiasem mówiąc, dotyczy to nie tylko analizy matematycznej. Jeśli teoria jest zła, to najpierw musisz POWAŻNIE zastosować praktykę. Jednocześnie jednocześnie rozwiązywane są dwa strategiczne zadania:

- Po pierwsze, znaczna część wiedzy teoretycznej pochodziła z praktyki. I dlatego wiele osób rozumie teorię poprzez... - zgadza się! Nie, nie, nie myślałeś o tym =)

- Po drugie, praktyczne umiejętności prawdopodobnie "rozciągną" cię na egzaminie, nawet jeśli ..., ale nie nastawiajmy się tak! Wszystko jest prawdziwe i wszystko można naprawdę „podnieść” w dość krótkim czasie. Analiza matematyczna jest moją ulubioną gałęzią matematyki wyższej i dlatego po prostu nie mogłem się powstrzymać od podania ci pomocnej dłoni:

Na początku I semestru zwykle przekraczane są granice sekwencji i granice funkcji. Nie rozumiesz, co to jest i nie wiesz, jak je rozwiązać? Zacznij od artykułu Granice funkcji, w którym „na palcach” rozważana jest sama koncepcja i analizowane są najprostsze przykłady. Następnie przejrzyj inne lekcje na dany temat, w tym lekcję na temat w sekwencjach na którym w rzeczywistości sformułowałem już ścisłą definicję.

Jakie znasz ikony poza nierównościami i modułem?

- długi pionowy drążek brzmi tak: „takie”, „takie”, „takie” lub „takie”, w naszym przypadku oczywiście mówimy o liczbie - a więc „takiej, że”;

- dla wszystkich „en”, większe niż;

– znak modułu oznacza odległość, tj. ten wpis mówi nam, że odległość między wartościami jest mniejsza niż epsilon.

Czy to śmiertelnie trudne? =)

Po opanowaniu praktyki czekam na Ciebie w kolejnym akapicie:

A właściwie zastanówmy się trochę - jak sformułować ścisłą definicję ciągu? ... Pierwsza rzecz, jaka przychodzi na myśl na świecie szkolenie praktyczne: "Granica ciągu to liczba, do której członkowie ciągu są nieskończenie blisko."

OK, podpiszmy się podciąg :

Nietrudno to pojąć podciąg są nieskończenie bliskie -1 i parzystym członkom - do jednego".

A może są dwie granice? Ale dlaczego jakiś ciąg nie może mieć dziesięciu lub dwudziestu? To może zajść daleko. W związku z tym logiczne jest założenie, że jeśli ciąg ma granicę, to jest jedyny.

Notatka : ciąg nie ma limitu, ale można od niego odróżnić dwa podciągi (patrz wyżej), z których każdy ma swój własny limit.

Zatem powyższa definicja okazuje się nie do utrzymania. Tak, działa w przypadkach takich jak (którego nie całkiem poprawnie wykorzystałem w uproszczonych objaśnieniach praktycznych przykładów), ale teraz musimy znaleźć ścisłą definicję.

Próba druga: „granicą ciągu jest liczba, do której zbliżają się WSZYSCY członkowie ciągu, z wyjątkiem być może ich finał Ilość ". Jest to bliższe prawdy, ale wciąż nie do końca dokładne. Na przykład sekwencja połowa członków w ogóle nie zbliża się do zera - są po prostu równe =) Nawiasem mówiąc, "flasher" na ogół przyjmuje dwie stałe wartości.

Sformułowanie nie jest trudne do wyjaśnienia, ale pojawia się kolejne pytanie: jak zapisać definicję w znakach matematycznych? Świat nauki długo walczył o ten problem, dopóki sytuacja nie została rozwiązana słynny mistrz, co w istocie sformalizowało klasyczny rachunek różniczkowy w całej jego rygoryzmie. Cauchy zaproponował działanie okolica , niż znacznie rozwinął teorię.

Rozważ pewien punkt i jego arbitralny-sąsiedztwo:

Znaczenie słowa „epsilon” jest zawsze pozytywne, a ponadto mamy prawo sami go wybrać... Załóżmy, że w danym sąsiedztwie istnieje zbiór terminów (niekoniecznie wszystkie) jakaś sekwencja. Jak zapisać fakt, że np. dziesiąty członek dostał się do sąsiedztwa? Niech będzie po prawej stronie. Wtedy odległość między punktami powinna być mniejsza niż „epsilon”. Jeśli jednak „x dziesiąta” znajduje się na lewo od punktu „a”, to różnica będzie ujemna i dlatego musisz dodać do niej znak moduł: .

Definicja: liczba nazywana jest granicą ciągu jeśli dla każdego jego otoczenie (wstępnie wybrane) jest liczba naturalna - TAKA, że WSZYSTKO elementy ciągu o wyższych numerach będą znajdować się wewnątrz sąsiedztwa:

Lub w skrócie: jeśli

Innymi słowy, bez względu na to, jak małą przyjmiemy wartość „epsilon”, prędzej czy później „nieskończony ogon” sekwencji będzie ZUPEŁNIE w tym sąsiedztwie.

Na przykład „nieskończony ogon” sekwencji W PEŁNI wchodzi w dowolne arbitralnie małe sąsiedztwo punktu. Tak więc wartość ta jest z definicji granicą sekwencji. Przypominamy, że sekwencja, której limit wynosi zero, nazywa się nieskończenie mały.

Należy zauważyć, że dla ciągu nie można już powiedzieć „nieskończony ogon” nadejdzie"- elementy z liczbami nieparzystymi są w rzeczywistości równe zero i" nigdzie nie idą "=) Dlatego w definicji użyto czasownika" ". I oczywiście członkowie takiej sekwencji, jak również „nigdzie nie idą”. Przy okazji sprawdź, czy liczba jest limitem.

Teraz pokażemy, że sekwencja nie ma granic. Rozważmy na przykład sąsiedztwo punktu. Jest całkiem jasne, że nie ma takiej liczby, po której WSZYSCY członkowie będą w danym sąsiedztwie – nieparzyści zawsze będą „skakać” na „minus jeden”. Z podobnego powodu w tym momencie nie ma limitu.

Naprawmy materiał z praktyką:

Przykład 1

Udowodnij, że granica ciągu wynosi zero. Podaj liczbę, po której na pewno wszystkie elementy ciągu będą znajdować się wewnątrz dowolnie małego sąsiedztwa punktu.

Notatka : dla wielu ciągów pożądana liczba naturalna zależy od wartości - stąd zapis.

Rozwiązanie: rozważać arbitralny jest tu liczba - tak, że WSZYSCY członkowie z wyższymi numerami będą w tym sąsiedztwie:

Aby pokazać istnienie pożądanej liczby, wyrażamy poprzez.

Ponieważ dla dowolnej wartości „en”, znak modułu można usunąć:

Używamy działań „szkolnych” z nierównościami, które powtarzałem na lekcjach Nierówności liniowe oraz Zakres funkcji... W tym przypadku ważną okolicznością jest to, że „epsilon” i „en” są dodatnie:

Ponieważ po lewej stronie mówimy o liczbach naturalnych, a prawa strona jest generalnie ułamkowa, należy ją zaokrąglić:

Notatka : czasami jednostka jest dodawana po prawej stronie, aby być po bezpiecznej stronie, ale w rzeczywistości jest to przesada. Relatywnie rzecz biorąc, jeśli osłabimy wynik również przez zaokrąglenie w dół, to najbliższa odpowiednia liczba („trzy”) nadal będzie spełniała pierwotną nierówność.

Teraz patrzymy na nierówności i pamiętamy, że pierwotnie rozważaliśmy arbitralny-sąsiedztwo, czyli Epsilon może być równy każdy liczba dodatnia.

Wyjście: dla dowolnego dowolnie małego sąsiedztwa punktu wartość ... Tak więc liczba jest z definicji granicą ciągu. CO BYŁO DO OKAZANIA.

Nawiasem mówiąc, z uzyskanego wyniku wyraźnie widoczna jest naturalna prawidłowość: im mniejsze sąsiedztwo, tym większa liczba, po której WSZYSTKIE elementy ciągu znajdą się w danym sąsiedztwie. Ale bez względu na to, jak mały jest „epsilon”, zawsze będzie „niekończący się ogon” wewnątrz i na zewnątrz - nawet jeśli jest duży, jednak finał Liczba członków.

Jakie są twoje wrażenia? =) Zgadzam się, że to dziwne. Ale ściśle! Przeczytaj ponownie i zrozum wszystko jeszcze raz.

Spójrzmy na podobny przykład i zbadajmy inne techniki:

Przykład 2

Rozwiązanie: z definicji ciągu konieczne jest udowodnienie, że (mówimy to głośno !!!).

Rozważać arbitralny-sąsiedztwo punktu i sprawdź czy czy to istnieje liczba naturalna - taka, że dla wszystkich dużych liczb spełniona jest następująca nierówność:

Aby pokazać istnienie takich, należy wyrazić „en” poprzez „epsilon”. Uprośćmy wyrażenie pod znakiem modułu:

Moduł niszczy znak minus:

Mianownik jest dodatni dla każdego „en”, dlatego patyczki można usunąć:

Człapać:

Teraz musimy wydobyć pierwiastek kwadratowy, ale haczyk polega na tym, że dla niektórych epsilonów prawa strona będzie ujemna. Aby uniknąć tego problemu wzmocni nierówność modułu:

Dlaczego można to zrobić? Jeśli, mówiąc warunkowo, okaże się, że to jeszcze bardziej warunek zostanie spełniony. Moduł może tylko zwiększyć poszukiwany numer, a nam to też będzie odpowiadać! Z grubsza mówiąc, jeśli setna część jest odpowiednia, to 200 wystarczy! Zgodnie z definicją konieczne jest wykazanie sam fakt istnienia liczby(przynajmniej niektóre), po czym wszyscy członkowie sekwencji znajdą się w -sąsiedztwie. Przy okazji dlatego nie boimy się końcowego zaokrąglenia prawą stroną do góry.

Wyodrębnij korzeń:

I zaokrąglij wynik:

Wyjście: odkąd wartość „epsilon” została wybrana arbitralnie, następnie dla dowolnego dowolnie małego sąsiedztwa punktu wartość została znaleziona , tak, że dla wszystkich dużych liczb nierówność ... Zatem, a-priorytet. CO BYŁO DO OKAZANIA.

Radzić zwłaszcza rozumieć wzmacnianie i osłabianie nierówności – to typowe i bardzo powszechne metody analizy matematycznej. Jedyne, co musisz monitorować, to poprawność tego lub innego działania. Na przykład nierówność w żadnym wypadku poluzować odejmując, powiedzmy, jeden:

Ponownie, warunkowo: jeśli liczba dokładnie pasuje, poprzednia może już nie pasować.

Poniższy przykład dotyczy rozwiązania typu „zrób to sam”:

Przykład 3

Korzystając z definicji ciągu, udowodnij, że

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu samouczka.

Jeśli sekwencja nieskończenie wielki, to definicja granicy formułuje się w podobny sposób: punkt nazywamy granicą ciągu, jeśli istnieje, tak duży, jak chcesz liczba, istnieje liczba taka, że dla wszystkich większych liczb nierówność się utrzyma. Numer nazywa się sąsiedztwo punktu „plus nieskończoność”:

Innymi słowy, bez względu na to, jak dużą przyjmiemy wartość, „nieskończony ogon” ciągu z konieczności trafi do sąsiedztwa punktu, pozostawiając po lewej stronie tylko skończoną liczbę elementów.

Przykład cła:

A skrót: jeśli

Przy okazji sam zapisz definicję. Prawidłowa wersja znajduje się na końcu lekcji.

Po zapoznaniu się z praktycznymi przykładami i ustaleniu, jak zdefiniować granicę ciągu, możesz odwołać się do literatury dotyczącej analizy matematycznej i/lub podręcznika. Polecam pobranie 1. tomu Bohan (prostsze - dla studentów niestacjonarnych) i Fichtengolts (bardziej szczegółowo i szczegółowo)... Spośród innych autorów doradzam Piskunovowi, którego kurs koncentruje się na uczelniach technicznych.

Spróbuj sumiennie przestudiować twierdzenia, które dotyczą granicy ciągu, ich dowodu, następstw. Teoria może na pierwszy rzut oka wydawać się „zamglona”, ale to w porządku – po prostu trzeba się do tego przyzwyczaić. A wielu nawet posmakuje!

Ścisła definicja granicy funkcji

Zacznijmy od tego samego – jak sformułować tę koncepcję? Słowna definicja granicy funkcji jest sformułowana znacznie prościej: „liczba jest granicą funkcji, jeśli z„ x ”dąży do (zarówno w lewo, jak i w prawo), odpowiednie wartości funkcji mają tendencję do " (Zobacz rysunek)... Wszystko wydaje się normalne, ale słowa to słowa, znaczenie to znaczenie, ikona to ikona, a ścisłych zapisów matematycznych brakuje. A w drugim akapicie zapoznamy się z dwoma podejściami do rozwiązania tego problemu.

Niech funkcja będzie zdefiniowana na pewnym przedziale, z wyjątkiem, być może, punktu. W literaturze edukacyjnej powszechnie przyjmuje się, że funkcja istnieje nie zdefiniowano:

Ten wybór podkreśla Istota limitu funkcji: "X" nieskończenie blisko podejścia do, a odpowiadające im wartości funkcji to - nieskończenie blisko Do . Innymi słowy, pojęcie granicy nie implikuje „dokładnego podejścia” do punktów, a mianowicie nieskończenie bliskie przybliżenie, nie ma znaczenia, czy funkcja jest zdefiniowana w punkcie, czy nie.

Jak można się spodziewać, pierwsza definicja granicy funkcji jest sformułowana za pomocą dwóch sekwencji. Po pierwsze, pojęcia są ze sobą powiązane, a po drugie, granice funkcji są zwykle badane po granicach ciągów.

Rozważ sekwencję zwrotnica (nie pokazano na rysunku) należące do przedziału i inny niż który zbiega się Do . Następnie odpowiednie wartości funkcji tworzą również ciąg liczbowy, którego elementy znajdują się na osi rzędnych.

Granica funkcji Heine dla każdego ciągi punktowe (należące do i inne niż) który zbiega się do punktu, zbieżna jest odpowiednia sekwencja wartości funkcji.

Eduard Heine jest niemieckim matematykiem. ... I nie musisz myśleć o niczym takim, w Europie jest tylko jeden wesoły - to jest Gay Lussac =)

Zbudowano drugą definicję limitu… tak, masz rację. Ale najpierw spójrzmy na jego projekt. Rozważ dowolne -sąsiedztwo punktu ("Czarna" okolica)... Na podstawie poprzedniego akapitu notacja oznacza, że: jakieś znaczenie funkcja znajduje się w sąsiedztwie epsilon.

Teraz znajdujemy -sąsiedztwo, które pasuje do podanego -sąsiedztwa (narysuj w myślach czarne kropkowane linie od lewej do prawej, a następnie od góry do dołu)... Zwróć uwagę, że wartość jest pobierana na długości mniejszego segmentu, w tym przypadku - na długości krótszego lewego segmentu. Co więcej, „szkarłatne” otoczenie punktu można nawet zredukować, ponieważ w poniższej definicji ważny jest sam fakt istnienia tej okolicy. I podobnie, notacja oznacza, że jakaś wartość znajduje się wewnątrz sąsiedztwa „delta”.

Granica Cauchy'ego funkcji: liczba nazywana jest granicą funkcji w punkcie, jeśli dla każdego wstępnie wybrane sąsiedztwo (jednak mały), istnieje-sąsiedztwo punktu, TAKIże: JAKO TYLKO wartości (posiadany przez) zawarte w tej okolicy: (Czerwone strzały)- WIĘC NATYCHMIAST odpowiednie wartości funkcji są gwarantowane, aby przejść do sąsiedztwa: (niebieskie strzałki).

Ostrzegam, że dla większej przejrzystości trochę improwizowałem, więc nie nadużywaj =)

Krótki wpis: jeśli

Jaka jest istota definicji? Mówiąc obrazowo, nieskończenie zmniejszając sąsiedztwo, „towarzyszymy” wartościom funkcji do granic możliwości, nie pozostawiając im alternatywy do podejścia gdzie indziej. Dość niezwykłe, ale znowu surowe! Aby uzyskać właściwy pomysł, ponownie przeczytaj sformułowanie.

! Uwaga: jeśli potrzebujesz tylko sformułować Definicja Heinego lub tylko Definicja Cauchyego proszę nie zapomnij o tym niezbędny wstępny komentarz: „Rozważ funkcję, która jest zdefiniowana w pewnym przedziale, z możliwym wyjątkiem punktu”.... Wskazałem to raz na samym początku i nie powtarzałem tego za każdym razem.

Zgodnie z odpowiednim twierdzeniem analizy matematycznej definicje według Heinego i według Cauchy'ego są równoważne, ale najbardziej znana jest wersja druga (nadal będzie!), który jest również nazywany „granicą języka”:

Przykład 4

Korzystając z definicji limitu, udowodnij, że

Rozwiązanie: funkcja jest zdefiniowana na całej osi liczbowej z wyjątkiem punktu. Korzystając z definicji dowodzimy istnienia granicy w danym punkcie.

Notatka : wartość "delta" -sąsiedztwo zależy od "epsilon", stąd notacja

Rozważać arbitralny-sąsiedztwo. Zadanie polega na sprawdzeniu według tej wartości, czy to istnieje-sąsiedztwo, TAKI, który z nierówności następują nierówności .

Zakładając to, przekształcamy ostatnią nierówność:
(rozłożył trójmian kwadratowy)

Matematyka to nauka, która buduje świat. Zarówno naukowiec, jak i zwykły człowiek – bez niej nikt nie może się obejść. Najpierw małe dzieci uczy się liczyć, potem dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić, w gimnazjum w grę wchodzą oznaczenia literowe, aw starszych nie można się bez nich obejść.

Ale dzisiaj porozmawiamy o tym, na czym opiera się cała znana matematyka. O wspólnocie liczb zwanej „limitami sekwencji”.

Czym są sekwencje i gdzie jest ich granica?

Znaczenie słowa „sekwencja” nie jest trudne do interpretacji. To taka konstrukcja rzeczy, w której ktoś lub coś układa się w określonej kolejności lub kolejce. Na przykład kolejka po bilety do zoo jest sekwencją. Co więcej, może być tylko jeden! Jeśli na przykład spojrzysz na kolejkę w sklepie, to jest to jedna sekwencja. A jeśli jedna osoba nagle wyjdzie z tej kolejki, to jest inna kolejka, inna kolejność.

Słowo „limit” też jest łatwe do interpretacji – to koniec czegoś. Jednak w matematyce granice sekwencji to te wartości na osi liczbowej, do których dąży sekwencja liczb. Po co dążyć i się nie kończyć? To proste, oś liczbowa nie ma końca, a większość ciągów, takich jak promienie, ma tylko początek i wygląda tak:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Stąd definicja ciągu jest funkcją argumentu naturalnego. Mówiąc prościej, jest to seria członków zbioru.

Jak zbudowana jest sekwencja liczb?

Najprostszy przykład ciągu liczbowego może wyglądać tak: 1, 2, 3, 4, ... n ...

W większości przypadków, ze względów praktycznych, ciągi budowane są z liczb, a każdy kolejny element szeregu, oznaczmy go przez X, ma swoją nazwę. Na przykład:

x 1 - pierwszy członek ciągu;

x 2 - drugi członek ciągu;

x 3 - trzeci semestr;

x n to n-ty wyraz.

W praktycznych metodach kolejność podaje się za pomocą ogólnego wzoru, w którym występuje pewna zmienna. Na przykład:

X n = 3n, to sam ciąg liczb będzie wyglądał tak:

Warto nie zapominać, że w ogólnym zapisie sekwencji można używać dowolnych liter łacińskich, a nie tylko X. Na przykład: y, z, k itp.

Postęp arytmetyczny jako część ciągów

Zanim zaczniemy szukać granic ciągów, warto zagłębić się w samą koncepcję podobnego ciągu liczbowego, z którym wszyscy spotykali się w klasach średnich. Postęp arytmetyczny to ciąg liczb, w którym różnica między sąsiednimi wyrazami jest stała.

Problem: „Niech a 1 = 15, a krok postępu szeregu liczb d = 4. Zbuduj pierwszych 4 członków tego rzędu ”

Rozwiązanie: a 1 = 15 (według warunku) - pierwszy element progresji (seria liczbowa).

a 2 = 15 + 4 = 19 to drugi termin progresji.

a 3 = 19 + 4 = 23 to trzeci termin.

a 4 = 23 + 4 = 27 to czwarty termin.

Jednak przy użyciu tej metody trudno jest dojść do dużych wartości, na przykład do 125.. Szczególnie dla takich przypadków wyprowadzono wygodny wzór: a n = a 1 + d (n-1). W tym przypadku 125 = 15 + 4 (125-1) = 511.

Typy sekwencji

Większość sekwencji jest nieskończona i warta zapamiętania na całe życie. Istnieją dwa interesujące typy szeregów liczbowych. Pierwszy określa wzór а n = (- 1) n. Matematycy często określają tę sekwencję jako migające światło. Czemu? Sprawdźmy jego szeregi liczbowe.

1, 1, -1, 1, -1, 1 itd. W tym przykładzie staje się jasne, że liczby w sekwencjach można łatwo powtórzyć.

Sekwencja czynnikowa. Łatwo się domyślić - we wzorze definiującym ciąg jest silnia. Na przykład: i n = (n + 1)!

Wtedy sekwencja będzie wyglądać tak:

a 2 = 1x2x3 = 6;

a 3 = 1x2x3x4 = 24 itd.

Ciąg podany przez ciąg arytmetyczny nazywamy nieskończenie malejącym, jeśli nierówność -1

a 3 = - 1/8 itd.

Istnieje nawet sekwencja o tej samej liczbie. Zatem n = 6 składa się z nieskończonego zbioru szóstek.

Określanie granicy sekwencji

Granice sekwencji istnieją w matematyce od dawna. Oczywiście zasługują na swój sprytny projekt. Czas więc poznać definicję limitów sekwencji. Na początek rozważ szczegółowo granicę funkcji liniowej:

Wszystkie limity są skrócone jako lim.
Notacja graniczna składa się ze skrótu lim, dowolnej zmiennej dążącej do określonej liczby, zera lub nieskończoności, a także samej funkcji.

Łatwo zrozumieć, że definicję granicy ciągu można sformułować w następujący sposób: jest to pewna liczba, do której wszystkie elementy ciągu zbliżają się w nieskończoność. Prosty przykład: a x = 4x + 1. Wtedy sama sekwencja będzie wyglądać tak.

5, 9, 13, 17, 21 ... x ...

Tak więc ciąg ten będzie rósł w nieskończoność, a zatem jego granica jest równa nieskończoności jako x → ∞, co należy zapisać w następujący sposób:

Jeśli weźmiemy podobny ciąg, ale x dąży do 1, to otrzymamy:

A szereg liczb będzie taki: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 itd. Za każdym razem trzeba podstawić liczbę bliższą jedności (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Z tej serii widać, że granica funkcji wynosi pięć.

Z tej części warto przypomnieć sobie, jaka jest granica ciągu liczbowego, definicję i sposób rozwiązywania prostych problemów.

Ogólna notacja ciągów granicznych

Po zdemontowaniu granicy ciągu liczbowego, jego definicji i przykładów, możesz przejść do bardziej złożonego tematu. Absolutnie wszystkie granice sekwencji można sformułować za pomocą jednego wzoru, który jest zwykle analizowany w pierwszym semestrze.

Więc co oznacza ten zestaw liter, modułów i znaków nierówności?

∀ to uniwersalny kwantyfikator, który zastępuje frazy „za wszystko”, „za wszystko” itp.

∃ jest kwantyfikatorem egzystencjalnym, w tym przypadku oznacza, że istnieje jakaś wartość N należąca do zbioru liczb naturalnych.

Długi pionowy drążek podążający za N oznacza, że dany zbiór N jest „taki, że”. W praktyce może oznaczać „takie to”, „takie to” itp.

Aby skonsolidować materiał, przeczytaj na głos formułę.

Niepewność i pewność limitu

Rozważana powyżej metoda wyznaczania granicy ciągów jest prosta w użyciu, ale w praktyce mało racjonalna. Spróbuj znaleźć limit dla funkcji takiej jak ta:

Jeśli podstawimy różne wartości „x” (za każdym razem zwiększając: 10, 100, 1000 itd.), to otrzymamy ∞ w liczniku, ale także ∞ w mianowniku. Okazuje się dość dziwny ułamek:

Ale czy tak jest naprawdę? Obliczenie granicy ciągu liczbowego w tym przypadku wydaje się dość łatwe. Można zostawić wszystko tak, jak jest, bo odpowiedź jest gotowa i została przyjęta na rozsądnych warunkach, ale jest inny sposób specjalnie na takie przypadki.

Najpierw znajdźmy najwyższy stopień w liczniku ułamka - jest to 1, ponieważ x można przedstawić jako x 1.

Znajdźmy teraz najwyższy stopień w mianowniku. Również 1.

Podziel licznik i mianownik przez zmienną w najwyższym stopniu. W tym przypadku dzielimy ułamek przez x 1.

Następnie znajdujemy wartość, do której dąży każdy termin zawierający zmienną. W tym przypadku brane są pod uwagę ułamki. Ponieważ x → ∞, wartość każdego z ułamków dąży do zera. Rejestrując pracę w formie pisemnej warto zrobić następujące przypisy:

Uzyskuje się następujące wyrażenie:

Oczywiście ułamki zawierające x nie stają się zerami! Ale ich wartość jest tak mała, że całkiem wolno nie uwzględniać jej w obliczeniach. W rzeczywistości x nigdy nie będzie w tym przypadku równe 0, ponieważ nie można dzielić przez zero.

Czym jest sąsiedztwo?

Załóżmy, że profesor ma do dyspozycji złożoną sekwencję, dana oczywiście przez równie złożoną formułę. Profesor znalazł odpowiedź, ale czy to prawda? W końcu wszyscy ludzie się mylą.

Auguste Cauchy wymyślił kiedyś świetny sposób na udowodnienie granic sekwencji. Jego metodę nazwano operowaniem otoczeniem.

Załóżmy, że istnieje jakiś punkt a, którego sąsiedztwo w obu kierunkach na osi liczbowej to ε („epsilon”). Ponieważ ostatnią zmienną jest odległość, jej wartość jest zawsze dodatnia.

Zdefiniujmy teraz jakiś ciąg x n i załóżmy, że dziesiąty wyraz ciągu (x 10) wchodzi w sąsiedztwo a. Jak zapisać ten fakt matematycznym językiem?

Powiedzmy, że x 10 jest na prawo od punktu a, to odległość x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Teraz nadszedł czas na praktyczne wyjaśnienie powyższego wzoru. Można nazwać pewną liczbę a punktem końcowym ciągu, jeśli nierówność ε> 0 zachodzi dla którejkolwiek z jego granic, a całe sąsiedztwo ma swoją liczbę naturalną N taką, że wszystkie elementy ciągu o bardziej znaczących liczbach będą wewnątrz ciąg | xn - a |< ε.

Mając taką wiedzę łatwo zaimplementować rozwiązanie granic ciągu, udowodnić lub obalić gotową odpowiedź.

Twierdzenia

Twierdzenia graniczne ciągów są ważnym składnikiem teorii, bez którego praktyka jest niemożliwa. Istnieją tylko cztery główne twierdzenia, pamiętając o nich, możesz znacząco ułatwić przebieg rozwiązania lub dowodu:

Unikalność granicy sekwencji. Każda sekwencja może mieć tylko jeden limit lub wcale. Ten sam przykład z kolejką, która może mieć tylko jeden koniec.
Jeżeli zakres liczb ma limit, to sekwencja tych liczb jest ograniczona.
Granica sumy (różnicy, iloczynu) ciągów jest równa sumie (różnicy, iloczynu) ich granic.
Granica ilorazu dzielenia dwóch ciągów jest równa ilorazowi granic wtedy i tylko wtedy, gdy mianownik nie znika.

Dowód sekwencji

Czasami konieczne jest rozwiązanie problemu odwrotnego, aby udowodnić daną granicę ciągu liczbowego. Spójrzmy na przykład.

Wykazać, że granica ciągu podanego wzorem jest równa zero.

Zgodnie z omówioną powyżej regułą, dla dowolnego ciągu nierówność | x n - a |<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Wyraźmy n w kategoriach epsilon, aby pokazać istnienie liczby i udowodnić, że istnieje granica ciągu.

Na tym etapie należy pamiętać, że „epsilon” i „en” to liczby dodatnie, a nie równe zero. Transformację można teraz kontynuować, wykorzystując wiedzę o nierównościach wyuczoną w liceum.

Stąd okazuje się, że n> -3 + 1 / ε. Ponieważ warto pamiętać, że mówimy o liczbach naturalnych, wynik można zaokrąglić, umieszczając go w nawiasach kwadratowych. W ten sposób udowodniono, że dla dowolnej wartości sąsiedztwa „epsilon” punktu a = 0 istnieje taka wartość, że występuje nierówność początkowa. Możemy więc śmiało stwierdzić, że liczba a jest granicą danego ciągu. co było do okazania

Dzięki tak wygodnej metodzie możesz udowodnić granicę ciągu liczbowego, bez względu na to, jak skomplikowana może być na pierwszy rzut oka. Najważniejsze, żeby nie panikować na widok zadania.

A może nie jest?

Istnienie granicy sekwencji nie jest w praktyce konieczne. Łatwo znaleźć takie ciągi liczb, które tak naprawdę nie mają końca. Na przykład ten sam „flasher” x n = (-1) n. oczywiste jest, że ciąg składający się tylko z dwóch cyfr, powtarzających się cyklicznie, nie może mieć limitu.

Ta sama historia powtarza się z ciągami składającymi się z jednej liczby, ułamków, o niepewności dowolnego rzędu (0/0, ∞ / ∞, ∞ / 0 itd.) w trakcie obliczeń. Należy jednak pamiętać, że zdarzają się również błędne obliczenia. Czasami pomoże Ci znaleźć granicę sekwencji, ponownie sprawdzając własne rozwiązanie.

Sekwencja monotoniczna

Powyżej rozważyliśmy kilka przykładów sekwencji, metod ich rozwiązywania, a teraz postaramy się wziąć bardziej konkretny przypadek i nazwać go „ciągiem monotonicznym”.

Definicja: każdy ciąg można nazwać monotonicznie rosnącym, jeśli ścisła nierówność x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >xn+1.

Wraz z tymi dwoma warunkami istnieją również podobne słabe nierówności. Odpowiednio, x n ≤ x n +1 (ciąg nie malejący) i x n ≥ x n +1 (ciąg nierosnący).

Ale łatwiej to zrozumieć na przykładach.

Ciąg podany wzorem x n = 2 + n tworzy następujący rząd liczb: 4, 5, 6 itd. Jest to ciąg monotonicznie rosnący.

A jeśli weźmiemy x n = 1 / n, to otrzymamy szereg: 1/3, ¼, 1/5 itd. Jest to ciąg monotonicznie malejący.

Zbieżny i ograniczony limit ciągu

Sekwencja ograniczona to sekwencja, która ma granicę. Sekwencja zbieżna to seria liczb o nieskończenie małej granicy.

Zatem granicą ciągu ograniczonego jest dowolna liczba rzeczywista lub zespolona. Pamiętaj, że może być tylko jeden limit.

Granica sekwencji zbieżnej to nieskończenie mała wartość (rzeczywista lub złożona). Jeśli narysujesz diagram sekwencji, to w pewnym momencie będzie on jakby zbiegał się, dążył do przekształcenia się w określoną wartość. Stąd nazwa – ciąg zbieżny.

Limit sekwencji monotonicznej

Taka sekwencja może mieć limit lub nie. Na początku warto zrozumieć, kiedy tak jest, stąd możesz zacząć od udowadniania braku limitu.

Wśród sekwencji monotonicznych wyróżnia się zbieżne i rozbieżne. Zbieżny to ciąg utworzony przez zbiór x i mający w tym zbiorze granicę rzeczywistą lub złożoną. Rozbieżny - ciąg, który w swoim zbiorze nie ma granic (ani rzeczywisty, ani złożony).

Ponadto sekwencja zbiega się, jeśli na obrazie geometrycznym zbiegają się jej górna i dolna granica.

Granica sekwencji zbieżnej może w wielu przypadkach wynosić zero, ponieważ każda nieskończenie mała sekwencja ma znaną granicę (zero).

Bez względu na to, jaką zbieżną sekwencję wybierzesz, wszystkie są ograniczone, ale nie wszystkie ograniczone sekwencje są zbieżne.

Suma, różnica, iloczyn dwóch ciągów zbieżnych jest również ciągiem zbieżnym. Jednak iloraz może być również zbieżny, jeśli jest zdefiniowany!

Różne działania z ograniczeniami

Granice ciągów są tą samą podstawową (w większości przypadków) wielkością, podobnie jak liczby i liczby: 1, 2, 15, 24, 362 itd. Okazuje się, że niektóre operacje można wykonać z granicami.

Po pierwsze, podobnie jak liczby i liczby, granice dowolnej sekwencji można dodawać i odejmować. Na podstawie trzeciego twierdzenia o granicach ciągów prawdziwa jest następująca równość: granica sumy ciągów jest równa sumie ich granic.

Po drugie, na podstawie czwartego twierdzenia o granicach ciągów prawdziwa jest następująca równość: granica iloczynu n-tej liczby ciągów jest równa iloczynowi ich granic. To samo dotyczy dzielenia: granica ilorazu dwóch ciągów jest równa ilorazowi ich granic, pod warunkiem, że granica nie jest równa zeru. W końcu, jeśli granica ciągów jest równa zeru, to otrzymamy dzielenie przez zero, co jest niemożliwe.

Właściwości ilości sekwencji

Wydawałoby się, że granica ciągu liczbowego została już dość szczegółowo przeanalizowana, ale takie wyrażenia jak „nieskończenie małe” i „nieskończenie duże” liczby pojawiają się więcej niż jeden raz. Oczywiście, jeśli istnieje ciąg 1 / x, gdzie x → ∞, to taki ułamek jest nieskończenie mały, a jeśli ten sam ciąg, ale granica dąży do zera (x → 0), to ułamek staje się nieskończenie duży. A te ilości mają swoje własne cechy. Właściwości granicy ciągu o dowolnych małych lub dużych wartościach są następujące:

Suma dowolnej liczby arbitralnie małych ilości będzie również małymi ilościami.
Suma dowolnej liczby dużych ilości będzie nieskończenie duża.
Iloczyn dowolnie małych ilości jest nieskończenie mały.
Iloczyn dowolnej liczby dużych liczb jest nieskończenie duży.
Jeśli pierwotna sekwencja dąży do nieskończenie dużej liczby, to wartość przeciwna do niej będzie nieskończenie mała i dąży do zera.

W rzeczywistości obliczenie granicy ciągu nie jest tak trudnym zadaniem, jeśli znasz prosty algorytm. Ale granice sekwencji to temat, który wymaga maksymalnej uwagi i wytrwałości. Oczywiście wystarczy po prostu uchwycić istotę rozwiązania takich wyrażeń. Zaczynając od małych, możesz z czasem osiągnąć duże szczyty.