Płaski wektor normalny, współrzędne płaskiego wektora normalnego. Wektor normalny prostej (wektor normalny) Wektor normalny prostej x 3 ma współrzędne

Badając równania prostej na płaszczyźnie iw przestrzeni trójwymiarowej, opieramy się na algebrze wektorów. W tym przypadku wektor kierunkowy prostej i wektor normalny prostej mają szczególne znaczenie. W tym artykule przyjrzymy się bliżej wektorowi normalnemu prostej. Zacznijmy od zdefiniowania wektora normalnego prostej, podaj przykłady i ilustracje graficzne. Następnie przechodzimy do znalezienia współrzędnych wektora normalnego prostej za pomocą dobrze znanych równań prostej, pokazując szczegółowe rozwiązania problemów.

Nawigacja po stronach.

Wektor normalny prostej - definicja, przykłady, ilustracje.

Aby zrozumieć materiał, musisz mieć jasne pojęcie o linii prostej, płaszczyźnie, a także znać podstawowe definicje związane z wektorami. Dlatego zalecamy najpierw odświeżyć materiał artykułów, linię prostą w płaszczyźnie, linię prostą w przestrzeni, ideę samolotu itp.

Podajmy definicję wektora normalnego prostej.

Definicja.

Wektor normalny prostej jest dowolnym niezerowym wektorem leżącym na dowolnej prostej prostopadłej do podanej.

Z definicji wektora normalnego prostej wynika, że ​​istnieje nieskończony zbiór wektorów normalnych danej linii prostej.

Zdefiniowanie wektora normalnego prostej oraz wyznaczenie wektora kierunkowego prostej pozwala stwierdzić, że dowolny wektor normalny danej prostej jest prostopadły do ​​dowolnego wektora kierunkowego tej prostej.

Podajmy przykład wektora normalnego prostej.

Niech Oxy zostanie podany w samolocie. Jednym ze zbioru wektorów normalnych linii współrzędnych Ox jest wektor współrzędnych. Rzeczywiście, wektor jest niezerowy i leży na linii współrzędnych Oy, która jest prostopadła do osi Ox. Zbiór wszystkich wektorów normalnych prostej współrzędnych Ox w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy można określić jako .

W prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz w przestrzeni trójwymiarowej wektor normalny prostej Oz jest wektorem. Wektor współrzędnych jest również wektorem normalnym prostej Oz. Oczywiście każdy niezerowy wektor leżący w dowolnej płaszczyźnie prostopadłej do osi Oz będzie wektorem normalnym linii Oz.

Współrzędne wektora normalnego prostej - znalezienie współrzędnych wektora normalnego prostej za pomocą znanych równań tej prostej.

Jeśli weźmiemy pod uwagę linię prostą w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy, wówczas będzie jej odpowiadać równanie linii prostej na jakiejś płaszczyźnie, a wektory normalne linii prostej zostaną określone przez ich współrzędne (patrz artykuł) . Rodzi to pytanie: „jak znaleźć współrzędne wektora normalnego prostej, skoro znamy równanie tej prostej”?

Znajdźmy odpowiedź na pytanie postawione dla linii prostych na płaszczyźnie równaniami różnych typów.

Jeżeli linię prostą na płaszczyźnie wyznacza ogólne równanie prostej postaci , to współczynniki A i B reprezentują odpowiednie współrzędne wektora normalnego tej prostej.

Przykład.

Znajdź współrzędne jakiegoś wektora normalnego prostej .

Rozwiązanie.

Ponieważ linię prostą podaje równanie ogólne, możemy od razu zapisać współrzędne jej wektora normalnego - są to odpowiednie współczynniki przed zmiennymi x i y. Oznacza to, że wektor normalny linii prostej ma współrzędne.

Odpowiedź:

Jedna z liczb A lub B w ogólnym równaniu linii może wynosić zero. Nie powinno cię to mylić. Spójrzmy na przykład.

Przykład.

Wybierz dowolny normalny wektor liniowy.

Rozwiązanie.

Otrzymujemy niepełne ogólne równanie prostej. Można go przepisać jako , skąd współrzędne wektora normalnego tej prostej są natychmiast widoczne:.

Odpowiedź:

Równanie linii prostej w odcinkach postaci lub równanie linii prostej o nachyleniu można łatwo sprowadzić do ogólnego równania linii prostej, z którego znajdują się współrzędne wektora normalnego tej linii prostej.

Przykład.

Znajdź współrzędne wektora normalnego prostej.

Rozwiązanie.

Z równania prostej w odcinkach bardzo łatwo przejść do ogólnego równania prostej: ... Dlatego wektor normalny tej linii ma współrzędne.

Odpowiedź:

Jeżeli linię prostą określa równanie kanoniczne linii prostej na płaszczyźnie formy lub równania parametryczne linii prostej na płaszczyźnie formy , wtedy współrzędne wektora normalnego są nieco trudniejsze do uzyskania. Z tych równań współrzędne wektora kierującego linii prostej są natychmiast widoczne -. Znajdź współrzędne wektora normalnego tej prostej i zezwalaj.

Możesz również uzyskać współrzędne wektora normalnego prostej, jeśli do równania ogólnego wprowadzisz równanie kanoniczne linii prostej lub równania parametryczne linii prostej. W tym celu wykonywane są następujące przekształcenia:

Jako sposób na preferowanie - to zależy od Ciebie.

Pokażmy rozwiązania przykładów.

Przykład.

Znajdź jakiś normalny wektor liniowy .

Rozwiązanie.

Wektor kierunkowy prostej jest wektorem. Wektor normalny prostej jest prostopadła do wektora, to jest równa zero: ... Z tej równości, dając n x dowolną niezerową wartość rzeczywistą, znajdujemy n y. Niech n x = 1, wtedy , dlatego wektor normalny oryginalnej linii ma współrzędne.

Drugie rozwiązanie.

Przechodzimy od kanonicznego równania prostej do ogólnego równania:. Teraz widoczne są współrzędne wektora normalnego tej linii.

Odpowiedź:

Aby zbadać równania linii prostej, musisz dobrze rozumieć algebrę wektorów. Ważne jest, aby znaleźć wektor kierunku i wektor normalny linii prostej. W tym artykule rozważymy wektor normalny prostej z przykładami i figurami, znajdując jego współrzędne, jeśli znane są równania linii prostych. Rozważone zostanie szczegółowe rozwiązanie.

Aby materiał był łatwiejszy do przyswojenia, musisz zrozumieć pojęcia linii, płaszczyzny i definicje związane z wektorami. Najpierw zapoznajmy się z pojęciem wektora linii prostej.

Definicja 1

Wektor normalny prostej Wywoływany jest dowolny niezerowy wektor, który leży na dowolnej linii prostopadłej do podanej.

Jasne jest, że na danej linii prostej znajduje się nieskończony zbiór wektorów normalnych. Rozważ na poniższym rysunku.

Otrzymujemy, że prosta jest prostopadła do jednej z dwóch podanych linii równoległych, a następnie jej prostopadłość rozciąga się na drugą linię równoległą. Stąd stwierdzamy, że zbiory wektorów normalnych tych równoległych linii pokrywają się. Gdy proste a i a 1 są równoległe, a n → jest uważany za wektor normalny prostej a, jest również uważany za wektor normalny dla prostej a 1. Gdy prosta a ma wektor prosty, to wektor t · n → jest niezerowy dla dowolnej wartości parametru t i jest również normalny dla prostej a.

Korzystając z definicji wektorów normalnych i kierunkowych, możemy stwierdzić, że wektor normalny jest prostopadły do ​​kierunku. Spójrzmy na przykład.

Jeśli dana jest płaszczyzna O x y, to zbiór wektorów dla O x jest wektorem współrzędnych j →. Jest uważany za niezerowy i należy do osi współrzędnych O y, prostopadłej do O x. Cały zbiór wektorów normalnych względem О х można zapisać jako t j →, t ∈ R, t ≠ 0.

Układ prostokątny O x y z ma wektor normalny i → związany z prostą O z. Wektor j → jest również uważany za normalny. Stąd widać, że każdy niezerowy wektor znajdujący się w dowolnej płaszczyźnie i prostopadły do ​​Oz jest uważany za normalny dla Oz.

Współrzędne wektora normalnego prostej - znajdowanie współrzędnych wektora normalnego prostej za pomocą znanych równań prostej

Rozważając prostokątny układ współrzędnych O x y, stwierdzamy, że odpowiada mu równanie prostej na płaszczyźnie, a wyznaczenie wektorów normalnych odbywa się za pomocą współrzędnych. Jeśli znane jest równanie linii prostej, ale konieczne jest znalezienie współrzędnych wektora normalnego, to z równania A x + B y + C = 0 należy zidentyfikować współczynniki odpowiadające współrzędnym wektor normalny danej linii prostej.

Przykład 1

Podano linię prostą postaci 2 x + 7 y - 4 = 0 _, znajdź współrzędne wektora normalnego.

Rozwiązanie

Z warunku mamy, że prosta została podana równaniem ogólnym, co oznacza, że ​​należy zapisać współczynniki, które są współrzędnymi wektora normalnego. Oznacza to, że współrzędne wektora wynoszą 2, 7.

Odpowiedź: 2 , 7 .

Są chwile, kiedy A lub B z równania równa się zero. Rozważmy rozwiązanie takiego zadania na przykładzie.

Przykład 2

Określ wektor normalny dla danej linii y - 3 = 0.

Rozwiązanie

Hipotetycznie otrzymujemy ogólne równanie prostej, więc zapisujemy to w ten sposób 0 x + 1 y - 3 = 0. Teraz wyraźnie widzimy współczynniki, które są współrzędnymi wektora normalnego. Stąd otrzymujemy, że współrzędne wektora normalnego to 0, 1.

Odpowiedź: 0, 1.

Jeżeli równanie podane jest w odcinkach postaci xa + yb = 1 lub równanie o nachyleniu y = kx + b, to konieczne jest sprowadzenie do ogólnego równania prostej, gdzie znajdują się współrzędne wektor normalny danej linii prostej.

Przykład 3

Znajdź współrzędne wektora normalnego, biorąc pod uwagę równanie linii prostej x 1 3 - y = 1.

Rozwiązanie

Najpierw musisz przejść od równania w segmentach x 1 3 - y = 1 do ogólnego równania. Wtedy otrzymujemy, że x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0.

Stąd widać, że współrzędne wektora normalnego mają wartość 3, - 1.

Odpowiedź: 3 , - 1 .

Jeżeli linia jest określona przez równanie kanoniczne prostej na płaszczyźnie x – x 1 ax = y – y 1 ay lub przez parametryczne x = x 1 + ax · λ y = y 1 + ay · λ, to otrzymanie współrzędne stają się bardziej skomplikowane. Zgodnie z tymi równaniami można zauważyć, że współrzędne wektora kierunku będą a → = (a x, a y). Możliwość znalezienia współrzędnych wektora normalnego n → jest możliwa ze względu na warunek prostopadłości wektorów n → i a →.

Możliwe jest uzyskanie współrzędnych wektora normalnego poprzez sprowadzenie równań kanonicznych lub parametrycznych prostej do równania ogólnego. Następnie otrzymujemy:

x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 = 0

Jako rozwiązanie możesz wybrać dowolną dogodną metodę.

Przykład 4

Znajdź wektor normalny danej linii x - 2 7 = y + 3 - 2.

Rozwiązanie

Z linii prostej x - 2 7 = y + 3 - 2 widać, że wektor kierunkowy będzie miał współrzędne a → = (7, - 2). Wektor normalny n → = (n x, n y) danej linii jest prostopadły do ​​a → = (7, - 2).

Dowiedzmy się, ile równa się iloczyn skalarny. Aby znaleźć iloczyn skalarny wektorów a → = (7, - 2) i n → = (n x, n y), piszemy a →, n → = 7 n x - 2 n y = 0.

Wartość n x jest dowolna, powinieneś znaleźć n y. Jeśli n x = 1, z tego otrzymujemy, że 7 1 - 2 n y = 0 ⇔ n y = 7 2.

Stąd wektor normalny ma współrzędne 1, 7 2.

Drugi sposób rozwiązania sprowadza się do tego, że do ogólnej postaci równania należy dojść z kanonicznego. W tym celu się przemieniamy

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 (y + 3) = - 2 (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

Wynikowy wynik współrzędnych wektora normalnego to 2, 7.

Odpowiedź: 2, 7 lub 1 , 7 2 .

Przykład 5

Podaj współrzędne wektora normalnego prostej x = 1 y = 2 - 3 · λ.

Rozwiązanie

Najpierw musisz dokonać transformacji, aby przejść do ogólnej postaci prostej. Wykonajmy:

x = 1 y = 2 - 3 λ ⇔ x = 1 + 0 λ y = 2 - 3 λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 (x - 1) = 0 (y - 2) ⇔ - 3 x + 0 y + 3 = 0

Stąd widać, że współrzędne wektora normalnego wynoszą - 3, 0.

Odpowiedź: - 3 , 0 .

Rozważmy metody znajdowania współrzędnych wektora normalnego za pomocą równania linii prostej w przestrzeni określonej przez prostokątny układ współrzędnych O x y z.

Gdy prostą definiuje się za pomocą równań przecinających się płaszczyzn A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, to wektor normalny płaszczyzna odnosi się do A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, to otrzymujemy wektory w postaci n 1 → = (A 1, B 1, C 1) i n 2 → = (A 2, B 2, C 2).

Gdy linię definiuje się za pomocą kanonicznego równania przestrzeni, które ma postać x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az lub parametrycznego, które ma postać x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + az · λ, stąd ax, ay i az są uważane za współrzędne wektora kierunkowego danej prostej. Każdy niezerowy wektor może być normalny dla danej prostej i być prostopadły do ​​wektora a → = (a x, a y, a z). Wynika z tego, że współrzędne normalnej z równaniami parametrycznymi i kanonicznymi znajdują się za pomocą współrzędnych wektora prostopadłego do danego wektora a → = (a x, a y, a z).

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter

Wektor normalny

Płaska powierzchnia z dwoma normalnymi

W geometrii różniczkowej normalna jest linią prostą prostopadłą (prostopadłą) do linii stycznej do określonej krzywej lub płaszczyzny stycznej do określonej powierzchni. Porozmawiaj też o normalny kierunek.

Wektor normalny do powierzchni w danym punkcie to wektor jednostkowy zastosowany do danego punktu i równoległy do ​​kierunku normalnego. Dla każdego punktu na gładkiej powierzchni można określić dwa wektory normalne, które różnią się kierunkiem. Jeśli na powierzchni można określić ciągłe pole wektorów normalnych, to mówi się, że to pole definiuje orientacja powierzchnia (czyli podkreśla jedną ze stron). Jeśli nie można tego zrobić, powierzchnia nazywa się niezorientowany.

Fundacja Wikimedia. 2010.

Zobacz, co „Wektor normalny” znajduje się w innych słownikach:

wektor normalny- normalės vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. normalny wektor vok. Normalenvektor, m rus. wektor normalny, m pranc. wektor normalny, m; vecteur normal, m ... Fizikos terminų žodynas

Ten artykuł lub sekcja wymaga korekty. Proszę poprawić artykuł zgodnie z zasadami pisania artykułów. Wektor Darboux jest wektorem kierunku chwilowej osi obrotu, wokół której obraca się towarzyszący trójścian krzywej L w ... ... Wikipedia

Elektrodynamika ośrodków ciągłych Elektrodynamika ośrodków ciągłych ... Wikipedia

Wektor Darboux jest wektorem kierującym chwilowej osi obrotu, wokół której obraca się towarzyszący jej trójścian krzywej L, gdy punkt M porusza się jednostajnie wzdłuż krzywej L. Wektor Darboux leży w płaszczyźnie prostowania krzywej L i jest wyrażany przez jednostka ... ... Wikipedia

Gradient (od łac. Gradiens, rodzaj. Case gradientis walking), wektor pokazujący kierunek najbardziej stromej zmiany określonej wartości, której wartość zmienia się z jednego punktu w przestrzeni do drugiego (patrz teoria Fields). Jeśli ilość jest wyrażona ... ...

Wektor kierunku d chwilowej osi obrotu wokół roju towarzyszącego trójścianowi krzywej L obraca się ruchem jednostajnym punktu M wzdłuż krzywej L. D. c. leży w płaszczyźnie prostowania krzywej L i jest wyrażona przez wektory jednostkowe głównej normalnej ... Encyklopedia matematyki

Ten artykuł lub sekcja wymaga korekty. Proszę poprawić artykuł zgodnie z zasadami pisania artykułów. Hypertop ... Wikipedia

Graphics pipeline to kompleks sprzętowo-programowy do wizualizacji grafiki 3D. Spis treści 1 Elementy sceny 3D 1.1 Sprzęt 1.2 Interfejsy programowania ... Wikipedia

Dyscyplina matematyczna, w której badane są właściwości operacji na wektorach przestrzeni euklidesowej. Jednocześnie pojęcie wektora jest matematyczną abstrakcją wielkości charakteryzujących się nie tylko wartością liczbową, ale także ... ... Wielka radziecka encyklopedia

Termin ten ma inne znaczenia, patrz Plane. W tym miejscu przekierowywane jest żądanie płaskości. Potrzebny jest osobny artykuł na ten temat ... Wikipedia

Aby skorzystać z metody współrzędnych, musisz dobrze znać formuły. Są trzy z nich:

Na pierwszy rzut oka wygląda groźnie, ale wystarczy trochę praktyki i wszystko będzie świetnie działać.

Zadanie. Znajdź cosinus kąta między wektorami a = (4; 3; 0) i b = (0; 12; 5).

Rozwiązanie. Ponieważ współrzędne wektorów są nam dane, podstawiamy je do pierwszej formuły:

Zadanie. Wykonaj równanie dla płaszczyzny przechodzącej przez punkty M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) i K = (2; 1; 0), jeśli wiadomo, że nie przechodzi pochodzenie.

Rozwiązanie. Ogólne równanie płaszczyzny: Ax + By + Cz + D = 0, ale ponieważ pożądana płaszczyzna nie przechodzi przez początek współrzędnych - punkt (0; 0; 0) - to stawiamy D = 1. Ponieważ to płaszczyzna przechodzi przez punkty M, N i K, wtedy współrzędne tych punktów powinny zamienić równanie na poprawną równość liczbową.

Podstaw zamiast współrzędnych x, y i z punktu M = (2; 0; 1). Mamy:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Podobnie dla punktów N = (0; 1; 1) i K = (2; 1; 0) otrzymujemy równania:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Mamy więc trzy równania i trzy niewiadome. Skomponujmy i rozwiążmy układ równań:

Otrzymaliśmy, że równanie płaszczyzny ma postać: - 0,25x - 0,5y - 0,5z + 1 = 0.

Zadanie. Płaszczyzna dana jest równaniem 7x - 2y + 4z + 1 = 0. Znajdź współrzędne wektora prostopadłego do danej płaszczyzny.

Rozwiązanie. Używając trzeciej formuły, otrzymujemy n = (7; - 2; 4) - to wszystko!

Obliczanie współrzędnych wektorów

Ale co, jeśli w zadaniu nie ma wektorów - są tylko punkty leżące na prostych i trzeba obliczyć kąt między tymi prostymi? To proste: znając współrzędne punktów - początek i koniec wektora - możesz obliczyć współrzędne samego wektora.

Aby znaleźć współrzędne wektora, odejmij współrzędne początku od współrzędnych jego końca.

Twierdzenie to działa w ten sam sposób zarówno na płaszczyźnie, jak iw przestrzeni. Wyrażenie „odjąć współrzędne” oznacza, że ​​współrzędna x innego punktu jest odejmowana od współrzędnej x jednego punktu, to samo należy zrobić ze współrzędnymi y i z. Oto kilka przykładów:

Zadanie. W przestrzeni znajdują się trzy punkty, określone przez ich współrzędne: A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) i C = (- 4; 3; - 2). Znajdź współrzędne wektorów AB, AC i BC.

Rozważmy wektor AB: jego początek znajduje się w punkcie A, a koniec w punkcie B. Dlatego, aby znaleźć jego współrzędne, konieczne jest odjęcie współrzędnych punktu A od współrzędnych punktu B:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Podobnie, początek wektora AC to wciąż ten sam punkt A, ale koniec to punkt C. Zatem mamy:
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

Na koniec, aby znaleźć współrzędne wektora BC, musisz odjąć współrzędne punktu B od współrzędnych punktu C:
BC = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9).

Odpowiedź: AB = (2; - 7; 4); AC = (-5; - 3; - 5); BC = (- 7; 4; - 9)

Zwróć uwagę na obliczenie współrzędnych ostatniego wektora BC: wiele osób popełnia błędy podczas pracy z liczbami ujemnymi. Dotyczy to zmiennej y: punkt B ma y = - 1, a punkt C y = 3. Otrzymujemy dokładnie 3 - (- 1) = 4, a nie 3 - 1, jak wielu uważa. Nie popełniaj tak głupich błędów!

Obliczanie wektorów kierunkowych dla linii prostych

Jeśli uważnie przeczytasz Problem C2, zdziwisz się, że nie ma tam wektorów. Są tylko linie proste i płaszczyzny.

Zacznijmy od linii prostych. Tutaj wszystko jest proste: na dowolnej linii prostej znajdują się co najmniej dwa różne punkty i odwrotnie, dowolne dwa różne punkty definiują jedną prostą ...

Czy ktoś rozumie, co jest napisane w poprzednim akapicie? Sam tego nie rozumiałem, więc wyjaśnię w prostszy sposób: w zadaniu C2 proste są zawsze podane przez parę punktów. Jeśli wprowadzimy układ współrzędnych i weźmiemy pod uwagę wektor z początkiem i końcem w tych punktach, otrzymamy tzw. wektor kierunkowy dla linii prostej:

Dlaczego ten wektor jest potrzebny? Chodzi o to, że kąt między dwiema liniami prostymi jest kątem między ich wektorami kierunkowymi. W ten sposób przechodzimy od niezrozumiałych linii prostych do określonych wektorów, których współrzędne są łatwe do obliczenia. Czy to proste? Spójrz na przykłady:

Zadanie. W sześcianie ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 są narysowane linie AC i BD 1. Znajdź współrzędne wektorów kierunkowych tych linii.

Ponieważ długość krawędzi sześcianu nie jest określona w warunku, ustawiamy AB = 1. Wprowadzamy układ współrzędnych o początku w punkcie A i osiach x,y,z skierowanych wzdłuż linii AB, AD i AA 1, odpowiednio. Segment jednostkowy jest równy AB = 1.

Teraz znajdźmy współrzędne wektora kierunku dla prostej AC. Potrzebujemy dwóch punktów: A = (0; 0; 0) i C = (1; 1; 0). Stąd otrzymujemy współrzędne wektora AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - jest to wektor kierunku.

Zajmijmy się teraz linią prostą BD 1. Ma również dwa punkty: B = (1; 0; 0) i D 1 = (0; 1; 1). Otrzymujemy wektor kierunkowy BD 1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (-1; 1; 1).

Odpowiedź: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (- 1; 1; 1)

Zadanie. W regularnym pryzmacie trójkątnym ABCA 1 B 1 C 1, którego wszystkie krawędzie są równe 1, narysowane są proste AB 1 i AC 1. Znajdź współrzędne wektorów kierunkowych tych linii.

Wprowadźmy układ współrzędnych: początek znajduje się w punkcie A, oś x pokrywa się z AB, oś z pokrywa się z AA 1, oś y tworzy płaszczyznę OXY z osią x, która pokrywa się z ABC samolot.

Najpierw zajmijmy się prostą AB 1. Tutaj wszystko jest proste: mamy punkty A = (0; 0; 0) i B 1 = (1; 0; 1). Otrzymujemy wektor kierunkowy AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1).

Teraz znajdziemy wektor kierunku dla AC 1. Mimo wszystko - jedyną różnicą jest to, że punkt C 1 ma irracjonalne współrzędne. A więc A = (0; 0; 0), więc mamy:

Odpowiedź: AB 1 = (1; 0; 1);

Mała, ale bardzo ważna uwaga na temat ostatniego przykładu. Jeśli początek wektora pokrywa się z początkiem, obliczenia są znacznie uproszczone: współrzędne wektora są po prostu równe współrzędnym końca. Niestety dotyczy to tylko wektorów. Na przykład podczas pracy z samolotami obecność na nich początku tylko komplikuje obliczenia.

Obliczanie wektorów normalnych dla płaszczyzn

Wektory normalne nie są wektorami, które dobrze sobie radzą. Z definicji wektor normalny (normalny) do płaszczyzny jest wektorem prostopadłym do tej płaszczyzny.

Innymi słowy, normalna jest wektorem prostopadłym do dowolnego wektora na danej płaszczyźnie. Na pewno spotkałeś się z taką definicją - jednak zamiast wektorów mówiliśmy o liniach prostych. Jednak tuż powyżej pokazano, że w zadaniu C2 można operować dowolnym wygodnym obiektem - nawet prostą, a nawet wektorem.

Przypomnę raz jeszcze, że każdą płaszczyznę w przestrzeni definiuje równanie Ax + By + Cz + D = 0, gdzie A, B, C i D są pewnymi współczynnikami. Bez utraty ogólności rozwiązania możemy przyjąć D = 1, jeśli samolot nie przelatuje przez początek układu współrzędnych, lub D = 0, jeśli przelatuje. W każdym razie współrzędne wektora normalnego do tej płaszczyzny wynoszą n = (A; B; C).

Tak więc płaszczyznę można z powodzeniem zastąpić wektorem - tą samą normalną. Każda płaszczyzna jest zdefiniowana w przestrzeni przez trzy punkty. Jak znaleźć równanie płaszczyzny (a co za tym idzie normalne), omówiliśmy już na samym początku artykułu. Jednak ten proces sprawia wielu problemom, więc podam jeszcze kilka przykładów:

Zadanie. Odcinek A 1 BC 1 jest rysowany w sześcianie ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Znajdź wektor normalny dla płaszczyzny tej sekcji, jeśli początek znajduje się w punkcie A, a osie x, y i z pokrywają się odpowiednio z krawędziami AB, AD i AA 1.

Ponieważ samolot nie przechodzi przez początek, jego równanie wygląda tak: Ax + By + Cz + 1 = 0, tj. współczynnik D = 1. Ponieważ płaszczyzna ta przechodzi przez punkty A 1, B i C 1, współrzędne tych punktów przekształcają równanie płaszczyzny w prawidłową równość liczbową.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

Podobnie dla punktów B = (1; 0; 0) i C 1 = (1; 1; 1) otrzymujemy równania:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Ale znamy już współczynniki A = - 1 i C = - 1, więc pozostaje znaleźć współczynnik B:
B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

Otrzymujemy równanie płaszczyzny: - A + B - C + 1 = 0, Dlatego współrzędne wektora normalnego to n = (- 1; 1; - 1).

Zadanie. Przekrój AA 1 C 1 C jest narysowany w sześcianie ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 C. Znajdź wektor normalny dla płaszczyzny tego przekroju, jeśli początek znajduje się w punkcie A, a osie x, y, z pokrywają się z krawędzie odpowiednio AB, AD i AA 1.

W tym przypadku płaszczyzna przechodzi przez początek układu współrzędnych, więc współczynnik D = 0, a równanie płaszczyzny wygląda tak: Ax + By + Cz = 0. Ponieważ płaszczyzna przechodzi przez punkty A1 i C, współrzędne tych punktów przekształć równanie płaszczyzny w poprawną równość liczbową.

Podstaw zamiast współrzędnych x, y i z punktu A 1 = (0; 0; 1). Mamy:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Podobnie dla punktu C = (1; 1; 0) otrzymujemy równanie:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

Stawiamy B = 1. Następnie A = - B = - 1, a równanie całej płaszczyzny ma postać: - A + B = 0, Dlatego współrzędne wektora normalnego są równe n = (- 1; 1; 0).

Ogólnie rzecz biorąc, w powyższych problemach konieczne jest ułożenie układu równań i jego rozwiązanie. Będą trzy równania i trzy zmienne, ale w drugim przypadku jedna z nich będzie wolna, tj. przyjmuj dowolne wartości. Dlatego mamy prawo postawić B = 1 - bez uszczerbku dla ogólności rozwiązania i poprawności odpowiedzi.

Bardzo często w zadaniu C2 wymagana jest praca z punktami dzielącymi odcinek na pół. Współrzędne takich punktów można łatwo obliczyć, jeśli znane są współrzędne końców odcinka.

Niech więc odcinek będzie określony przez jego końce - punkty A = (x a; y a; z a) i B = (x b; y b; z b). Wtedy współrzędne punktu środkowego odcinka - oznaczamy go punktem H - można znaleźć według wzoru:

Innymi słowy, współrzędne punktu środkowego odcinka są średnią arytmetyczną współrzędnych jego końców.

Zadanie. Sześcian ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 jest umieszczany w układzie współrzędnych tak, że osie x, y i z są skierowane odpowiednio wzdłuż krawędzi AB, AD i AA 1, a początek pokrywa się z punktem A. Punkt K jest środkiem krawędzi A 1 B 1 . Znajdź współrzędne tego punktu.

Ponieważ punkt K jest środkiem odcinka A 1 B 1, jego współrzędne są równe średniej arytmetycznej współrzędnych końców. Zapiszmy współrzędne końców: A 1 = (0; 0; 1) i B 1 = (1; 0; 1). Teraz znajdźmy współrzędne punktu K:

Zadanie. Sześcian ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 jest umieszczony w układzie współrzędnych tak, aby osie x, y i z były skierowane odpowiednio wzdłuż krawędzi AB, AD i AA 1, a początek pokrywał się z punktem A. Znajdź współrzędne punktu L, w którym przecinają się przekątne kwadratu A 1 B 1 C 1 D 1.

Z przebiegu planimetrii wiadomo, że punkt przecięcia przekątnych kwadratu znajduje się w równej odległości od wszystkich jego wierzchołków. W szczególności A1L = C1L, tj. punkt L jest środkiem odcinka A 1 C 1. Ale A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), więc mamy:

Odpowiedź: L = (0,5; 0,5; 1)

Płaski wektor normalny to wektor prostopadły do ​​danej płaszczyzny. Oczywiście każda płaszczyzna ma nieskończenie wiele wektorów normalnych. Ale do rozwiązywania problemów wystarczy nam jeden.

Jeśli samolot jest podany przez ogólne równanie , to wektor jest wektorem normalnym danej płaszczyzny... Po prostu skandalicznie. Wystarczy „usunąć” współczynniki z równania płaszczyzny.

Obiecane trzy ekrany czekają, wróćmy do przykładu nr 1 i sprawdźmy. Przypomnę, że tam należało skonstruować równanie płaszczyzny za pomocą punktu i dwóch wektorów. W wyniku rozwiązania otrzymaliśmy równanie. Sprawdzamy:

Najpierw podstawiamy współrzędne punktu do otrzymanego równania:

Uzyskuje się poprawną równość, co oznacza, że ​​punkt naprawdę leży na tej płaszczyźnie.

Po drugie, usuwamy wektor normalny z równania płaszczyzny:. Ponieważ wektory są równoległe do płaszczyzny, a wektor prostopadły do ​​płaszczyzny, powinny mieć miejsce następujące fakty: ... Prostopadłość wektorów jest łatwa do sprawdzenia za pomocą produkt kropkowy:

Wniosek: równanie samolotu zostało znalezione poprawnie.

Podczas mojej weryfikacji faktycznie zacytowałem następującą teorię: wektor równolegle do płaszczyzny wtedy i tylko wtedy gdy .

Rozwiążmy ważny problem, który jest istotny dla lekcji:

Przykład 5

Znajdź jednostkowy wektor normalny płaszczyzny .

Rozwiązanie: Wektor jednostkowy to wektor, którego długość wynosi jeden. Oznaczmy ten wektor przez. Zasadniczo krajobraz wygląda tak:

Jest całkiem jasne, że wektory są współliniowe.

Najpierw usuwamy wektor normalny z równania płaszczyzny:.

Jak znaleźć wektor jednostkowy? Aby znaleźć wektor jednostkowy , niezbędny każdy współrzędna wektora podziel przez długość wektora .

Przepiszmy wektor normalny w formularzu i znajdźmy jego długość:

Zgodnie z powyższym:

Odpowiedź:

Weryfikacja: co chcieliśmy zweryfikować.

Czytelnicy, którzy dokładnie przestudiowali ostatni akapit lekcji Iloczyn skalarny wektorów prawdopodobnie zauważyłem, że współrzędne wektora jednostkowego są dokładnie kierunkiem cosinusów wektora :

Odejdźmy od analizowanego problemu: gdy otrzymasz dowolny niezerowy wektor, a przez warunek wymagane jest znalezienie jego kierunku cosinusów (ostatnie zadania lekcji) Iloczyn skalarny wektorów), to w rzeczywistości znajdujesz wektor jednostkowy współliniowy do danego.

W zasadzie dwa zadania w jednej butelce.

Konieczność znalezienia jednostkowego wektora normalnego pojawia się w niektórych problemach analizy matematycznej.

Dowiedzieliśmy się, jak wyłowić wektor normalny, teraz odpowiemy na przeciwne pytanie.