Nieregularny ruch. Średnia prędkość

W przyrodzie istnieje bardzo niewiele przykładów ruchu jednostajnego. Ziemia porusza się prawie równo wokół Słońca, krople deszczu kapią, wyskakują bąbelki w wodzie sodowej, porusza się wskazówka zegara.

Istnieje wiele przykładów nierównomiernego ruchu Latanie piłką podczas gry w piłkę nożną, przenoszenie kota podczas polowania na ptaka, przenoszenie samochodu

Ruch jednolity- jest to ruch ze stałą prędkością, to znaczy, gdy prędkość się nie zmienia (v = const) i nie występuje przyspieszenie lub hamowanie (a = 0).

Ruch prosty- jest to ruch w linii prostej, czyli trajektoria ruchu prostoliniowego jest linią prostą.

Jest to ruch, w którym ciało wykonuje te same ruchy w równych odstępach czasu. Na przykład, jeśli podzielimy pewien przedział czasu na odcinki jednej sekundy, to ruchem jednostajnym ciało przesunie się o taką samą odległość dla każdego z tych odcinków czasu.

Szybkość ruchu jednostajnego prostoliniowego nie zależy od czasu iw każdym punkcie trajektorii jest ukierunkowana tak samo jak ruch ciała. Oznacza to, że wektor przemieszczenia pokrywa się w kierunku z wektorem prędkości. W tym przypadku prędkość średnia dla dowolnego okresu jest równa prędkości chwilowej:

Jednolita prędkość ruchu na wprost jest fizyczną wielkością wektorową równą stosunkowi przemieszczenia ciała w dowolnym przedziale czasu do wartości tego przedziału t:

= / t

W ten sposób prędkość jednostajnego ruchu prostoliniowego pokazuje, o ile porusza się punkt materialny w jednostce czasu.

Poruszający o jednostajnym ruchu prostoliniowym określa wzór:

Przebyty dystans w ruchu prostoliniowym jest równy modułowi przemieszczenia. Jeżeli dodatni kierunek osi OX pokrywa się z kierunkiem ruchu, to rzut prędkości na oś OX jest równy wielkości prędkości i jest dodatni:

Rzut przemieszczenia na oś OX jest równy:

gdzie x 0 jest początkową współrzędną ciała, x jest końcową współrzędną ciała (lub współrzędną ciała w dowolnym momencie)

Równanie ruchu czyli zależność współrzędnych ciała od czasu x = x (t) przyjmuje postać:

Jeżeli dodatni kierunek osi OX jest przeciwny do kierunku ruchu ciała, to rzut prędkości ciała na oś OX jest ujemny, prędkość jest mniejsza od zera (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Jednostajny ruch prostoliniowy to szczególny przypadek nierównomiernego ruchu.

Nierówny ruch- jest to ruch, w którym ciało (punkt materialny) wykonuje nierówne przemieszczenia w równych odstępach czasu. Na przykład autobus miejski porusza się nierównomiernie, ponieważ jego ruch polega głównie na przyspieszaniu i zwalnianiu.

Ruch równoważny- jest to ruch, w którym prędkość ciała (punktu materialnego) dla dowolnych równych odstępów czasu zmienia się w ten sam sposób.

Przyspieszenie ciała z równym ruchem pozostaje stała w wartości bezwzględnej iw kierunku (a = const).

Równie zmienny ruch może być jednostajnie przyspieszany lub równie spowalniany.

Równie przyspieszony ruch- jest to ruch ciała (punktu materialnego) z przyspieszeniem dodatnim, czyli przy takim ruchu ciało przyspiesza ze stałym przyspieszeniem. W przypadku ruchu jednostajnie przyspieszonego moduł prędkości ciała wzrasta w czasie, kierunek przyspieszenia pokrywa się z kierunkiem prędkości ruchu.

Równe zwolnione tempo- jest to ruch ciała (punktu materialnego) z ujemnym przyspieszeniem, czyli przy takim ruchu ciało równomiernie zwalnia. Przy równie powolnym ruchu wektory prędkości i przyspieszenia są przeciwne, a moduł prędkości maleje z czasem.

W mechanice każdy ruch prostoliniowy jest przyspieszony, dlatego ruch wyhamowany różni się od przyspieszonego jedynie znakiem rzutu wektora przyspieszenia na wybraną oś układu współrzędnych.

Średnia prędkość ruchu zmiennego określa się dzieląc ruch ciała przez czas, w którym ten ruch został wykonany. Jednostką miary średniej prędkości jest m/s.

Jest to prędkość ciała (punktu materialnego) w danym momencie czasu lub w danym punkcie trajektorii, czyli granica, do której dąży średnia prędkość z nieskończonym spadkiem przedziału czasu Δt:

Wektor prędkości chwilowej Ruch równoodległy można znaleźć jako pierwszą pochodną wektora przesunięcia w czasie:

= "

Projekcja wektora prędkości na osi OX:

jest pochodną współrzędnej względem czasu (podobnie uzyskuje się rzuty wektora prędkości na inne osie współrzędnych).

Jest to wartość, która określa tempo zmiany prędkości ciała, czyli granicę, do której zmierza zmiana prędkości z nieskończonym spadkiem przedziału czasu Δt:

Wektor przyspieszenia ruchu równego można znaleźć jako pierwszą pochodną wektora prędkości względem czasu lub jako drugą pochodną wektora przemieszczenia względem czasu:

= "=" Biorąc pod uwagę, że 0 to prędkość ciała w początkowej chwili czasu (prędkość początkowa), to prędkość ciała w danym momencie (prędkość końcowa), t to przedział czasu, w którym zmiana wystąpiła prędkość, będzie następująca:

Stąd wzór na prędkość ruchu jednostajnego W każdej chwili:

0 + T

Znak „-” (minus) przed rzutem wektora przyspieszenia odnosi się do ruchu równego zwalniania. W podobny sposób zapisuje się równania rzutów wektora prędkości na inne osie współrzędnych.

Ponieważ przyspieszenie jest stałe przy równie zmiennym ruchu (a = const), wykres przyspieszenia jest linią prostą równoległą do osi 0t (oś czasu, rys. 1.15).

Ryż. 1.15. Zależność od czasu przyspieszenia ciała.

Prędkość a czas jest funkcją liniową, której wykres jest linią prostą (ryc. 1.16).

Ryż. 1.16. Zależność prędkości ciała od czasu.

Wykres prędkości w funkcji czasu(rys. 1.16) pokazuje, że

W tym przypadku przemieszczenie jest liczbowo równe powierzchni figury 0abc (ryc. 1.16).

Powierzchnia trapezu jest równa iloczynowi połowy sumy długości jego podstaw przez wysokość. Podstawy trapezu 0abc są liczbowo równe:

Wysokość trapezu to t. Zatem obszar trapezu, a więc rzut przemieszczenia na oś OX, jest równy:

W przypadku równie powolnego ruchu rzut przyspieszenia jest ujemny i we wzorze na rzut przemieszczenia przed przyspieszeniem stawia się znak „-” (minus).

Wykres prędkości ciała w funkcji czasu przy różnych przyspieszeniach przedstawiono na ryc. 1.17. Wykres zależności przemieszczenia od czasu przy v0 = 0 pokazano na rys. 1.18.

Ryż. 1.17. Zależność prędkości ciała od czasu dla różnych wartości przyspieszenia.

Ryż. 1.18. Zależność ruchu ciała od czasu.

Prędkość ciała w danej chwili t 1 jest równa stycznej kąta pochylenia między styczną do wykresu a osią czasu v = tg α, a przemieszczenie określa wzór:

Jeśli czas ruchu ciała jest nieznany, można zastosować inny wzór przemieszczenia, rozwiązując układ dwóch równań:

Pomoże nam to wyprowadzić wzór na rzutowanie przemieszczenia:

Ponieważ współrzędna ciała w dowolnym momencie jest określona przez sumę początkowej współrzędnej i rzutu przemieszczenia, będzie to wyglądać tak:

Wykres współrzędnej x (t) jest również parabolą (podobnie jak wykres przemieszczenia), ale wierzchołek paraboli generalnie nie pokrywa się z początkiem. Dla x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Toczenie ciała po pochyłej płaszczyźnie (ryc. 2);

Ryż. 2. Toczenie ciała po pochyłej płaszczyźnie ()

Swobodny spadek (rys. 3).

Wszystkie te trzy rodzaje ruchu nie są jednolite, to znaczy zmienia się w nich prędkość. W tej lekcji przyjrzymy się nierównomiernemu ruchowi.

Ruch jednolity - ruch mechaniczny, w którym ciało pokonuje tę samą odległość w równych odstępach czasu (ryc. 4).

Ryż. 4. Jednolity ruch

Ruch nazywa się nierównym., w którym ciało porusza się po nierównych ścieżkach przez równe okresy czasu.

Ryż. 5. Nierówny ruch

Głównym zadaniem mechaniki jest określenie pozycji ciała w dowolnym momencie. Przy nierównomiernym ruchu zmienia się prędkość ciała, dlatego konieczne jest nauczenie się opisywania zmian prędkości ciała. W tym celu wprowadzono dwa pojęcia: prędkość średnia i prędkość chwilowa.

Nie zawsze trzeba brać pod uwagę fakt zmiany prędkości ciała podczas ruchu nierównego, rozważając ruch ciała na dużym odcinku toru jako całości (nie dbamy o prędkość przy w każdej chwili), wygodnie jest wprowadzić pojęcie średniej prędkości.

Na przykład delegacja uczniów jedzie pociągiem z Nowosybirska do Soczi. Odległość między tymi miastami koleją wynosi około 3300 km. Prędkość pociągu, gdy właśnie wyjeżdżał z Nowosybirska, była, czy to oznacza, że ​​na środku toru prędkość była tak samo i w drodze do Soczi [M1]? Czy można, mając tylko te dane, stwierdzić, że czas przeprowadzki będzie? (rys. 6). Oczywiście, że nie, skoro mieszkańcy Nowosybirska wiedzą, że do Soczi potrzeba około 84 godzin.

Ryż. 6. Ilustracja na przykład

Rozważając ruch ciała na dużym odcinku ścieżki jako całości, wygodniej jest wprowadzić pojęcie średniej prędkości.

Średnia prędkość nazywa się to stosunkiem całkowitego ruchu, jaki ciało wykonało do czasu, w którym ten ruch jest zakończony (ryc. 7).

Ryż. 7. Średnia prędkość

Ta definicja nie zawsze jest wygodna. Na przykład sportowiec biegnie 400 metrów - dokładnie jedno okrążenie. Ruch sportowca jest równy 0 (ryc. 8), jednak rozumiemy, że jego średnia prędkość nie może być równa zeru.

Ryż. 8. Przemieszczenie wynosi 0

W praktyce najczęściej stosuje się pojęcie średniej prędkości względem ziemi.

Średnia prędkość względem ziemi- jest to stosunek całkowitej drogi przebytej przez ciało do czasu przebycia drogi (rys. 9).

Ryż. 9. Średnia prędkość względem ziemi

Istnieje inna definicja średniej prędkości.

Średnia prędkość- jest to prędkość, z jaką ciało musi poruszać się jednostajnie, aby w tym samym czasie przebyć daną odległość, poruszając się nierównomiernie.

Z kursu matematyki wiemy, czym jest średnia arytmetyczna. Dla numerów 10 i 36 będzie to:

Aby dowiedzieć się o możliwości wykorzystania tego wzoru do znalezienia średniej prędkości, rozwiążemy następujący problem.

Zadanie

Rowerzysta wspina się na stok z prędkością 10 km/h spędzając na nim 0,5 godziny. Następnie zjeżdża z prędkością 36 km/hw 10 minut. Znajdź średnią prędkość rowerzysty (rys. 10).

Ryż. 10. Ilustracja do problemu

Dany:; ; ;

Odnaleźć:

Rozwiązanie:

Ponieważ jednostką miary tych prędkości jest km/h, znajdziemy również średnią prędkość w km/h. Dlatego te problemy nie będą przekładane na SI. Przełóżmy na godziny.

Średnia prędkość to:

Pełna ścieżka () składa się ze ścieżki pod górę () i ścieżki zjazdowej ():

Ścieżka wejścia na stok to:

Ścieżka zejścia ze stoku to:

Czas potrzebny na przejście pełnej ścieżki wynosi:

Odpowiedź:.

Na podstawie odpowiedzi na to pytanie widzimy, że nie można użyć wzoru na średnią arytmetyczną do obliczenia średniej prędkości.

Pojęcie średniej prędkości nie zawsze jest przydatne do rozwiązania głównego problemu mechaniki. Wracając do problemu z pociągiem, nie można twierdzić, że jeśli średnia prędkość na całej trasie pociągu jest równa, to za 5 godzin będzie na odległość z Nowosybirska.

Średnia prędkość mierzona w nieskończenie krótkim okresie czasu nazywa się chwilowa prędkość ciała(na przykład: prędkościomierz samochodowy (rys. 11) pokazuje prędkość chwilową).

Ryż. 11. Prędkościomierz samochodowy pokazuje prędkość chwilową;

Istnieje inna definicja prędkości chwilowej.

Natychmiastowa prędkość- prędkość ruchu ciała w danym momencie, prędkość ciała w danym punkcie trajektorii (ryc. 12).

Ryż. 12. Prędkość chwilowa

Aby lepiej zrozumieć tę definicję, rozważ przykład.

Niech samochód porusza się w linii prostej wzdłuż odcinka autostrady. Mamy wykres zależności rzutu przemieszczenia od czasu dla danego ruchu (rys. 13), przeanalizujemy ten wykres.

Ryż. 13. Wykres zależności rzutu przemieszczenia od czasu

Wykres pokazuje, że prędkość pojazdu nie jest stała. Załóżmy, że konieczne jest znalezienie chwilowej prędkości pojazdu 30 sekund po rozpoczęciu obserwacji (w punkcie A). Korzystając z definicji prędkości chwilowej, znajdujemy moduł średniej prędkości dla przedziału czasu od do. Aby to zrobić, rozważ fragment tego wykresu (ryc. 14).

Ryż. 14. Wykres zależności rzutu przemieszczenia od czasu

Aby sprawdzić poprawność wyznaczenia prędkości chwilowej, wyznaczmy moduł średniej prędkości dla przedziału czasu od do, w tym celu rozważymy fragment wykresu (rys. 15).

Ryż. 15. Wykres zależności rzutu przemieszczenia od czasu

Obliczamy średnią prędkość dla danego przedziału czasu:

Otrzymano dwie wartości chwilowej prędkości pojazdu 30 sekund po rozpoczęciu obserwacji. Bardziej precyzyjna będzie wartość, przy której przedział czasu jest mniejszy, to znaczy. Jeżeli bardziej skrócimy rozpatrywany przedział czasu, to prędkość chwilowa samochodu w punkcie A zostaną dokładniej określone.

Prędkość chwilowa jest wielkością wektorową. Dlatego oprócz odnalezienia go (odnalezienia jego modułu) trzeba wiedzieć, w jaki sposób jest kierowany.

(at) - prędkość chwilowa

Kierunek prędkości chwilowej pokrywa się z kierunkiem ruchu ciała.

Jeżeli ciało porusza się krzywoliniowo, to prędkość chwilowa jest kierowana stycznie do trajektorii w danym punkcie (rys. 16).

Ćwiczenie 1

Czy prędkość chwilowa () może zmieniać się tylko w kierunku, bez zmiany wartości bezwzględnej?

Rozwiązanie

Rozważmy następujący przykład. Ciało porusza się po zakrzywionej trajektorii (ryc. 17). Zaznaczmy punkt na trajektorii A i wskaż b... Zaznaczmy kierunek prędkości chwilowej w tych punktach (prędkość chwilowa jest skierowana stycznie do punktu trajektorii). Niech prędkości i będą takie same w wartości bezwzględnej i równe 5 m / s.

Odpowiedź: Może.

Zadanie 2

Czy prędkość chwilowa może zmieniać się tylko w wartości bezwzględnej, bez zmiany kierunku?

Rozwiązanie

Ryż. 18. Ilustracja do problemu

Rysunek 10 pokazuje, że w punkcie A i w punkcie b prędkość chwilowa jest kierowana w ten sam sposób. Jeśli ciało porusza się równomiernie przyspieszone, to.

Odpowiedź: Może.

W tej lekcji zaczęliśmy badać ruch nierówny, czyli ruch ze zmienną prędkością. Cechami charakterystycznymi nierównomiernego ruchu są prędkości średnie i chwilowe. Pojęcie średniej prędkości opiera się na mentalnym zastąpieniu nierównego ruchu ruchem jednostajnym. Czasami pojęcie średniej prędkości (jak widzieliśmy) jest bardzo wygodne, ale nie nadaje się do rozwiązania głównego problemu mechaniki. Dlatego wprowadzono pojęcie prędkości chwilowej.

Bibliografia

1. G.Ya. Myakishev, B.B. Buchowcew, N.N. Sockiego. Fizyka 10. - M .: Edukacja, 2008.
2. AP Rymkiewicz. Fizyka. Zeszyt problemów 10-11. - M .: Drop, 2006.
3. O. Tak. Sawczenko. Zadania fizyczne. - M.: Nauka, 1988.
4. AV Peryszkin, W.W. Krauklisa. Kurs fizyki. T. 1. - M .: Stan. uch.-ped. wyd. min. edukacja RFSRR, 1957.

1. Portal internetowy „School-collection.edu.ru” ().
2. Portal internetowy „Virtulab.net” ().

Zadanie domowe

1. Pytania (1-3, 5) na końcu paragrafu 9 (s. 24); G.Ya. Myakishev, B.B. Buchowcew, N.N. Sockiego. Fizyka 10 (zobacz listę zalecanych lektur)
2. Czy znając średnią prędkość w pewnym okresie czasu, można znaleźć ruch wykonywany przez ciało w dowolnej części tego interwału?
3. Jaka jest różnica między chwilową prędkością przy jednostajnym ruchu prostoliniowym a chwilową prędkością przy nierównomiernym ruchu?
4. Podczas jazdy samochodem co minutę dokonywano odczytów prędkościomierza. Czy z tych danych można wyznaczyć średnią prędkość pojazdu?
5. Kolarz przejechał pierwszą tercję trasy z prędkością 12 km/h, drugą tercję z prędkością 16 km/h, a ostatnią tercję z prędkością 24 km/h. Znajdź po drodze średnią prędkość roweru. Podaj swoją odpowiedź w km / godzinę

1. Ruch jednolity jest rzadki. Zazwyczaj ruch mechaniczny to ruch ze zmienną prędkością. Ruch, w którym prędkość ciała zmienia się w czasie, nazywa się nierówny.

Na przykład transport porusza się nierównomiernie. Autobus, rozpoczynając ruch, zwiększa swoją prędkość; podczas hamowania jego prędkość spada. Ciała spadające na powierzchnię Ziemi również poruszają się nierównomiernie: ich prędkość wzrasta z czasem.

Przy nierównomiernym ruchu współrzędnej ciała nie można już określić za pomocą wzoru x = x 0 + v x t, ponieważ prędkość ruchu nie jest stała. Powstaje pytanie, jaką wartość charakteryzuje tempo zmian pozycji ciała w czasie przy nierównomiernym ruchu? Ta wartość to Średnia prędkość.

Średnia prędkość vPoślubićnierównomierny ruch nazywamy wielkością fizyczną równą stosunkowi przemieszczeń sciała według czasu T, za które została zobowiązana:

Średnia prędkość to wielkość wektorowa... Do wyznaczenia modułu średniej prędkości dla celów praktycznych wzór ten można wykorzystać tylko w przypadku, gdy ciało porusza się po linii prostej w jednym kierunku. We wszystkich innych przypadkach ta formuła jest bezużyteczna.

Spójrzmy na przykład. Konieczne jest obliczenie czasu przyjazdu pociągu na każdą stację na trasie. Co więcej, jego ruch nie jest prostoliniowy. Jeżeli z powyższego wzoru obliczymy moduł średniej prędkości na odcinku między dwiema stacjami, to otrzymana wartość będzie różniła się od wartości średniej prędkości, z jaką poruszał się pociąg, ponieważ moduł wektora przemieszczenia jest mniejszy niż odległość przebyta przez pociąg. A średnia prędkość ruchu tego pociągu od punktu początkowego do punktu końcowego iz powrotem według powyższego wzoru wynosi całkowicie zero.

W praktyce przy wyznaczaniu średniej prędkości przyjmuje się wartość relacja drogi ja W samą porę T, dla którego ta ścieżka została przekazana:

v Poślubić = .

Jest często nazywana średnia prędkość względem ziemi.

2. Znając średnią prędkość ciała na dowolnym odcinku trajektorii, niemożliwe jest określenie jego pozycji w dowolnym momencie. Załóżmy, że samochód przejechał 300 km w 6 h. Średnia prędkość samochodu to 50 km/h. Jednak w tym samym czasie mógł stać przez jakiś czas, przez jakiś czas poruszać się z prędkością 70 km/h, przez jakiś czas z prędkością 20 km/h itd.

Oczywiście znając średnią prędkość samochodu przez 6 godzin nie możemy określić jego pozycji po 1 godzinie, po 2 godzinach, po 3 godzinach itd.

3. Podczas ruchu ciało sekwencyjnie mija wszystkie punkty trajektorii. W każdym momencie jest w określonych momentach i ma jakąś prędkość.

Prędkość chwilowa to prędkość ciała w danym momencie w czasie lub w danym punkcie trajektorii.

Załóżmy, że ciało wykonuje nierówny ruch prostoliniowy. Określmy prędkość ruchu tego ciała w punkcie O jego trajektorię (ryc. 21). Wybierz odcinek na trajektorii AB w którym znajduje się punkt O... Poruszający s 1 w tym obszarze ciało zostało ukończone na czas T 1 . Średnia prędkość ruchu w tej sekcji - vŚr 1 =.

Zmniejszmy ruch ciała. Niech będzie równy s 2, a czas ruchu to T 2. Wtedy średnia prędkość ciała w tym czasie: v cf 2 =. Zredukujmy jeszcze bardziej przemieszczenie, średnią prędkość w tej sekcji: vŚr 3 =.

Będziemy nadal skracać czas ruchu ciała i odpowiednio jego ruchu. W końcu ruch i czas staną się tak małe, że urządzenie, na przykład prędkościomierz w samochodzie, nie będzie już rejestrować zmiany prędkości, a ruch w tym krótkim czasie można uznać za jednolity. Średnia prędkość w tym obszarze to chwilowa prędkość ciała w punkcie O.

Zatem,

prędkość chwilowa jest wektorową wielkością fizyczną równą stosunkowi małego przemieszczenia D sdo małego przedziału czasu D T, dla którego ten ruch został wykonany:

Pytania autotestu

1. Jaki ruch nazywa się nierównym?

2. Co nazywa się średnią prędkością?

3. Co pokazuje średnia prędkość względem ziemi?

4. Czy jest możliwe, znając trajektorię ruchu ciała i jego średnią prędkość przez określony czas, określić pozycję ciała w dowolnym momencie?

5. Co nazywa się prędkością chwilową?

6. Jak rozumiesz wyrażenia „małe przemieszczenie” i „mały przedział czasu”?

Zadanie 4

1. Samochód przejechał moskiewskimi ulicami 20 km w pół godziny, wyjeżdżając z Moskwy stał przez 15 minut, aw ciągu następnej godziny i 15 minut przejechał 100 km w rejonie Moskwy. Jaka była średnia prędkość pojazdu na każdym odcinku i na całej trasie?

2. Jaka jest średnia prędkość pociągu na odcinku między dwiema stacjami, jeśli pierwszą połowę odległości między stacjami przejechał ze średnią prędkością 50 km/h, a drugą – ze średnią prędkością 70 km/h?

3. Jaka jest średnia prędkość pociągu na odcinku między dwiema stacjami, jeśli przejechał połowę czasu ze średnią prędkością 50 km/h, a pozostały czas ze średnią prędkością 70 km/h?