W tym artykule zebrano i uporządkowano informacje niezbędne do rozwiązania prawie każdego przykładu na temat szeregów liczbowych, od znalezienia sumy szeregu po zbadanie go pod kątem zbieżności.

Recenzja artykułu.

Zacznijmy od definicji szeregu znak-dodatnich, zmieniających znak oraz pojęcia konwergencji. Następnie rozważymy szeregi standardowe, takie jak szereg harmoniczny, uogólniony szereg harmoniczny, przywołajmy wzór na znalezienie sumy nieskończenie malejącego postępu geometrycznego. Następnie przechodzimy do własności szeregów zbieżnych, zastanawiamy się nad warunkiem koniecznym zbieżności szeregu i badamy wystarczające kryteria zbieżności szeregu. Rozcieńczymy teorię rozwiązaniem typowych przykładów ze szczegółowymi wyjaśnieniami.

Nawigacja po stronach.

Podstawowe definicje i pojęcia.

Załóżmy, że mamy ciąg liczbowy, gdzie .

Podajmy przykład ciągu liczbowego: .

Seria liczb Jest sumą członków ciągu liczbowego postaci .

Jako przykład szeregu liczbowego możemy podać sumę nieskończenie malejącego ciągu geometrycznego o mianowniku q = -0,5: .

Są nazywane wspólny członek szeregu liczb lub k-ty członek serii.

W poprzednim przykładzie wspólnym terminem serii liczb jest.

Suma częściowa szeregu liczb Jest sumą postaci, gdzie n jest pewną liczbą naturalną. zwany także n-tą sumą częściową szeregu liczb.

Na przykład czwarta suma częściowa szeregu jest .

Kwoty częściowe tworzą nieskończony ciąg sum częściowych szeregu liczb.

Dla naszego szeregu n -ta suma częściowa znajduje się za pomocą wzoru na sumę pierwszych n wyrazów postępu geometrycznego , czyli będziemy mieli następującą sekwencję sum częściowych: .

Seria liczb nazywa się zbieżny jeśli istnieje skończona granica ciągu sum częściowych. Jeżeli granica ciągu sum częściowych szeregu liczbowego nie istnieje lub jest nieskończona, to szereg nazywamy rozbieżny.

Suma zbieżnego szeregu liczb nazywa się granicą ciągu jego sum częściowych, to znaczy .

W naszym przykładzie seria zbiega się, a jego suma wynosi szesnaście trzecich: .

Przykładem szeregu rozbieżnego jest suma postępu geometrycznego z mianownikiem większym niż jeden: ... n-ta suma częściowa jest określona przez wyrażenie , a granica sum cząstkowych jest nieskończona: .

Innym przykładem rozbieżnej serii liczb jest suma postaci ... W takim przypadku n-tą sumę częściową można obliczyć jako. Granica sum częściowych jest nieskończona .

Suma postaci nazywa szeregi liczb harmonicznych.

Suma postaci , gdzie s jest liczbą rzeczywistą, nazywa się uogólnione szeregi liczb harmonicznych.

Powyższe definicje wystarczą do uzasadnienia następujących bardzo często używanych stwierdzeń, zalecamy ich zapamiętanie.

DOZOWANE SĄ SERIA HARMONIC.

Wykażmy rozbieżność szeregu harmonicznego.

Załóżmy, że szereg jest zbieżny. Wtedy istnieje skończona granica jego sum częściowych. W tym przypadku możemy napisać i, co prowadzi nas do równości .

Z drugiej strony,


Następujące nierówności nie budzą wątpliwości. Zatem, . Wynikająca z tego nierówność wskazuje nam, że równość nie można osiągnąć, co jest sprzeczne z naszym założeniem o zbieżności szeregu harmonicznego.

Wniosek: szereg harmoniczny jest rozbieżny.

SUMA POSTĘPU GEOMETRYCZNEGO WIDOKU Z MIANOWNIKIEM q JEST SZEREGEM LICZB ZBIEŻNYCH, JEŻELI I DZIELĄCYMI AT.

Udowodnijmy to.

Wiemy, że sumę pierwszych n wyrazów postępu geometrycznego wyznacza wzór .

Kiedy to prawda


co wskazuje na zbieżność szeregu liczb.

Dla q = 1 mamy szereg liczb ... Jego sumy częściowe znajdują się jako, a granica sum częściowych jest nieskończona , co wskazuje na rozbieżność szeregu w tym przypadku.

Jeśli q = -1, to szereg liczb przyjmie postać ... Sumy częściowe przyjmują wartości dla nieparzystego n i parzystego n. Z tego możemy wywnioskować, że granica sum cząstkowych nie istnieje i szereg jest rozbieżny.

Kiedy to prawda


co wskazuje na rozbieżność szeregu liczb.

UOGÓLNIENIE SZEREG HARMONII ZBIEŻA SIĘ DLA s> 1 I RÓŻNI DLA.

Dowód.

Dla s = 1 otrzymujemy szereg harmoniczny, a powyżej ustaliliśmy jego rozbieżność.

Na s nierówność dotyczy wszystkich naturalnych k. Ze względu na rozbieżność szeregu harmonicznego można argumentować, że ciąg jego sum cząstkowych jest nieograniczony (ponieważ nie ma skończonej granicy). Wtedy ciąg sum cząstkowych szeregu liczbowego jest tym bardziej nieograniczony (każdy wyraz tego szeregu jest większy niż odpowiadający mu wyraz szeregu harmonicznego), dlatego uogólniony szereg harmoniczny jest rozbieżny w s.

Pozostaje wykazać zbieżność szeregu dla s > 1.

Napiszmy różnicę:



Oczywiście, więc


Zapiszmy powstałą nierówność dla n = 2, 4, 8, 16, ...



Korzystając z tych wyników, możesz wykonać następujące czynności z oryginalną serią liczb:



Wyrażenie jest sumą postępu geometrycznego, którego mianownikiem jest. Ponieważ rozważamy przypadek dla s > 1, to. Dlatego
... Zatem ciąg sum cząstkowych uogólnionego szeregu harmonicznego dla s > 1 jest narastający i jednocześnie ograniczony od góry przez wartość, a więc ma granicę, która wskazuje na zbieżność szeregu. Dowód jest kompletny.

Seria liczb nazywa się pozytywny jeśli wszyscy jego członkowie są pozytywni, to znaczy .

Seria liczb nazywa się zmienny jeśli znaki sąsiednich członków są różne. Naprzemienną serię liczb można zapisać jako lub , gdzie .

Seria liczb nazywa się zmienny jeśli zawiera nieskończony zbiór zarówno pozytywnych, jak i negatywnych warunków.

Naprzemienna seria liczb jest szczególnym przypadkiem naprzemiennej serii.

szeregi

są odpowiednio znak dodatni, znak naprzemienny i znak naprzemienny.

Dla szeregu przemiennego istnieje pojęcie zbieżności bezwzględnej i warunkowej.

absolutnie zbieżny, jeśli szereg wartości bezwzględnych jego członków jest zbieżny, to znaczy szereg liczb znakowych jest zbieżny.

Na przykład seria liczb oraz zbiegają się absolutnie, ponieważ seria , który jest sumą nieskończenie malejącego postępu geometrycznego.

Seria naprzemienna nazywa się warunkowo zbieżne jeśli szereg jest rozbieżny i szereg zbieżny.

Jako przykład konwencjonalnie zbieżnego szeregu liczbowego możemy podać szereg ... Seria liczb , złożony z wartości bezwzględnych członków oryginalnej serii, rozbieżny, ponieważ jest harmoniczny. Jednocześnie oryginalna seria jest zbieżna, co można łatwo ustalić za pomocą. Tak więc numeryczny szereg przemienny warunkowo zbieżne.

Własności zbieżnych szeregów liczbowych.

Przykład.

Udowodnij zbieżność szeregu liczb.

Rozwiązanie.

Napiszmy serial w innej formie ... Szereg liczbowy jest zbieżny, ponieważ uogólniony szereg harmoniczny jest zbieżny dla s > 1, a na mocy drugiej właściwości zbieżnych szeregów liczbowych szereg o współczynniku liczbowym również będzie zbieżny.

Przykład.

Czy serie liczb są zbieżne.

Rozwiązanie.

Przekształćmy oryginalny wiersz: ... W ten sposób otrzymaliśmy sumę dwóch szeregów liczbowych i każdy z nich jest zbieżny (patrz poprzedni przykład). W konsekwencji, na mocy trzeciej własności zbieżnych szeregów liczbowych, szereg pierwotny również jest zbieżny.

Przykład.

Udowodnij zbieżność szeregu liczb i obliczyć jego sumę.

Rozwiązanie.

Tę serię liczb można przedstawić jako różnicę między dwiema seriami:

Każdy z tych szeregów jest sumą nieskończenie malejącego postępu geometrycznego, dlatego jest zbieżny. Trzecia własność szeregów zbieżnych pozwala nam stwierdzić, że pierwotna seria liczbowa jest zbieżna. Obliczmy jego sumę.

Pierwszy wyraz szeregu to jeden, a mianownik odpowiedniego ciągu geometrycznego wynosi 0,5, zatem .

Pierwszy wyraz szeregu to 3, a mianownik odpowiadającego mu nieskończenie malejącego postępu geometrycznego to 1/3, zatem .

Skorzystajmy z uzyskanych wyników, aby znaleźć sumę oryginalnych szeregów liczbowych:

Niezbędny warunek zbieżności szeregu.

Jeśli szereg liczb jest zbieżny, granica jego k-tego członu wynosi zero:.

Przy badaniu dowolnych szeregów liczbowych pod kątem zbieżności przede wszystkim należy sprawdzić spełnienie warunku zbieżności. Niespełnienie tego warunku wskazuje na rozbieżność szeregu liczbowego, czyli jeśli to szereg rozbieżny.

Z drugiej strony musisz zrozumieć, że ten warunek nie jest wystarczający. Oznacza to, że spełnienie równości nie oznacza zbieżności szeregu liczb. Na przykład dla szeregu harmonicznego spełniony jest konieczny warunek zbieżności i szereg jest rozbieżny.

Przykład.

Zbadaj szereg liczb pod kątem zbieżności.

Rozwiązanie.

Sprawdźmy warunek konieczny dla zbieżności szeregu liczbowego:

Limit n-ty element szeregu liczbowego nie jest równy zero, dlatego szereg jest rozbieżny.

Wystarczające oznaki zbieżności szeregu dodatniego.

Korzystając z wystarczających funkcji do badania szeregów liczbowych pod kątem zbieżności, musisz stale sobie z tym radzić, dlatego zalecamy zapoznanie się z tym rozdziałem w przypadku jakichkolwiek trudności.

Warunek konieczny i wystarczający dla zbieżności szeregu liczb dodatnich.

Dla zbieżności szeregu liczb dodatnich konieczne i wystarczające jest ograniczenie kolejności jego sum częściowych.

Zacznijmy od znaków porównania serii. Ich istota polega na porównaniu badanego szeregu liczbowego z szeregiem, którego zbieżność lub rozbieżność jest znana.

Pierwsza, druga i trzecia oznaka porównania.

Pierwszy znak porównania rzędów.

Niech u będzie dwoma znakami dodatnimi szeregami liczbowymi, a nierówność obowiązuje dla wszystkich k = 1, 2, 3, ... Wtedy zbieżność szeregu implikuje zbieżność, a rozbieżność szeregu implikuje rozbieżność.

Pierwsze kryterium porównania jest używane bardzo często i jest bardzo potężnym narzędziem do badania szeregów liczbowych pod kątem zbieżności. Głównym problemem jest wybór odpowiedniej serii do porównania. Szereg do porównania wybiera się zwykle (ale nie zawsze) tak, aby wykładnik jego k-tego członu był równy różnicy między wykładnikami licznika i mianownikiem k-tego członu badanego szeregu liczbowego. Załóżmy na przykład, że różnica między wykładnikami licznika i mianownika wynosi 2 - 3 = -1, dlatego dla porównania wybieramy szereg z k-tym wyrazem, czyli szereg harmoniczny. Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład.

Ustal zbieżność lub rozbieżność szeregu.

Rozwiązanie.

Ponieważ granica wyrazu ogólnego szeregu wynosi zero, warunek konieczny zbieżności szeregu jest spełniony.

Łatwo zauważyć, że nierówność dotyczy wszystkich liczb naturalnych k. Wiemy, że szereg harmoniczny jest rozbieżny, dlatego zgodnie z pierwszym znakiem porównania szereg pierwotny jest również rozbieżny.

Przykład.

Sprawdź szereg liczb pod kątem zbieżności.

Rozwiązanie.

Warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego jest spełniony, ponieważ ... Oczywiście nierówność dla dowolnej wartości naturalnej k. Szereg jest zbieżny, ponieważ uogólniony szereg harmoniczny jest zbieżny dla s > 1. Zatem pierwsza oznaka porównania szeregu pozwala na stwierdzenie zbieżności pierwotnego szeregu liczbowego.

Przykład.

Określ zbieżność lub rozbieżność szeregu liczb.

Rozwiązanie.

, zatem spełniony jest warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego. Który wiersz wybrać do porównania? Szereg liczb nasuwa się sam i aby określić s, dokładnie badamy ciąg liczb. Członkowie ciągu liczbowego wzrastają do nieskończoności. Tak więc, zaczynając od pewnej liczby N (czyli z N = 1619), członkowie tego ciągu będą większe niż 2. Począwszy od tej liczby N, nierówność utrzymuje się. Szereg liczbowy jest zbieżny na mocy pierwszej właściwości szeregu zbieżnego, ponieważ otrzymuje się go z szeregu zbieżnego przez odrzucenie pierwszych członów N-1. Zatem zgodnie z pierwszym kryterium porównania szereg jest zbieżny, a ze względu na pierwszą właściwość zbieżnych szeregów liczbowych szereg ten również będzie zbieżny.

Drugi znak porównania.

Niech i będą dodatnimi szeregami liczbowymi. Jeśli, to zbieżność wynika ze zbieżności szeregu. Jeśli, to rozbieżność wynika z rozbieżności szeregu liczbowego.

Konsekwencja.

Jeśli i, to ze zbieżności jednej serii wynika zbieżność drugiej, a z rozbieżności wynika rozbieżność.

Zbadajmy szereg pod kątem zbieżności przy użyciu drugiego kryterium porównania. Weź serię zbieżną jako serię. Znajdźmy granicę stosunku k-tych wyrazów szeregu liczbowego:

Zatem zgodnie z drugim kryterium porównania zbieżność szeregu pierwotnego wynika ze zbieżności szeregu liczbowego.

Przykład.

Zbadaj zbieżność szeregu liczb.

Rozwiązanie.

Sprawdźmy warunek konieczny dla zbieżności szeregu ... Warunek spełniony. Aby zastosować drugie kryterium porównania, bierzemy szereg harmoniczny. Znajdźmy granicę stosunku k-tych wyrazów:

W konsekwencji z rozbieżności szeregu harmonicznego wynika rozbieżność szeregu pierwotnego według drugiego kryterium porównania.

Dla informacji podamy trzeci znak porównania serii.

Trzeci znak porównania.

Niech i będą dodatnimi szeregami liczbowymi. Jeżeli warunek jest spełniony z jakiejś liczby N, to zbieżność wynika ze zbieżności szeregu, a rozbieżność z rozbieżności szeregu.

Znak d'Alemberta.

Komentarz.

Test d'Alemberta jest ważny, jeśli granica jest nieskończona, to znaczy, jeśli , wtedy szereg jest zbieżny, jeśli , wtedy seria się rozchodzi.

Jeżeli, to test d'Alemberta nie dostarcza informacji o zbieżności lub rozbieżności szeregu i wymagane są dodatkowe badania.

Przykład.

Zbadaj szereg liczb dla zbieżności d'Alemberta.

Rozwiązanie.

Sprawdźmy spełnienie warunku koniecznego dla zbieżności szeregu liczbowego, granicę oblicza się ze wzoru:

Warunek spełniony.

Użyjmy testu d'Alemberta:

W ten sposób seria zbiega się.

Radykalny znak Cauchy'ego.

Niech będzie dodatnią serią liczb. Jeżeli, to szereg liczb jest zbieżny, jeżeli, to szereg jest rozbieżny.

Komentarz.

Radykalne kryterium Cauchy'ego jest ważne, jeśli granica jest nieskończona, to znaczy, jeśli , wtedy szereg jest zbieżny, jeśli , wtedy seria się rozchodzi.

Jeżeli, to radykalny test Cauchy'ego nie dostarcza informacji o zbieżności lub rozbieżności szeregu i wymagane są dodatkowe badania.

Zwykle dość łatwo jest rozróżnić przypadki, w których najlepiej zastosować radykalne kryterium Cauchy'ego. Typowym przypadkiem jest sytuacja, w której wspólnym wyrazem szeregu liczbowego jest wykładnicze wyrażenie wykładnicze. Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład.

Zbadaj dodatnie szeregi liczbowe dla zbieżności za pomocą radykalnego testu Cauchy'ego.

Rozwiązanie.

... Z kryterium pierwiastkowego Cauchy'ego otrzymujemy .

W konsekwencji szereg jest zbieżny.

Przykład.

Czy szeregi liczb są zbieżne? .

Rozwiązanie.

Stosujemy radykalne kryterium Cauchyego , dlatego szereg liczb jest zbieżny.

Test całkowy Cauchy'ego.

Niech będzie dodatnią serią liczb. Utwórzmy funkcję o ciągłym argumencie y = f (x), podobną do funkcji. Niech funkcja y = f (x) będzie dodatnia, ciągła i malejąca na przedziale, gdzie). Następnie w przypadku konwergencji Niewłaściwa integralność badane szeregi liczbowe są zbieżne. Jeżeli całka niewłaściwa jest rozbieżna, wówczas rozbieżny jest również szereg oryginalny.

Przy sprawdzaniu spadku funkcji y = f (x) na przedziale, teoria z rozdziału może Ci się przydać.

Przykład.

Zbadaj szereg liczb z dodatnimi wyrażeniami pod kątem zbieżności.

Rozwiązanie.

Warunek konieczny zbieżności szeregu jest spełniony, ponieważ ... Rozważmy funkcję. Jest dodatnia, ciągła i malejąca w przedziale. Ciągłość i pozytywność tej funkcji jest niekwestionowana, a o zmniejszeniu omówimy nieco bardziej szczegółowo. Znajdź pochodną:
... Jest ujemna w przedziale, dlatego funkcja maleje w tym przedziale.

Kryterium zbieżności D'Alemberta Kryterium zbieżności Radicala Cauchy'ego Kryterium zbieżności całkowej Cauchy'ego

Jednym z powszechnych znaków porównania, które można znaleźć w praktycznych przykładach, jest znak d'Alembert. Znaki Cauchy'ego są mniej powszechne, ale również bardzo popularne. Jak zawsze postaram się przedstawić materiał w prosty, przystępny i zrozumiały sposób. Temat nie jest najtrudniejszy, a wszystkie zadania są do pewnego stopnia szablonowe.

Jean Leron D'Alembert jest słynnym francuskim matematykiem XVIII wieku. Ogólnie rzecz biorąc, D'Alembert specjalizował się w równaniach różniczkowych i na podstawie swoich badań zajmował się balistyką, aby Jego Wysokość mógł latać lepszymi kulami armatnimi. Jednocześnie nie zapomniałem o szeregach liczebnych, nie bez powodu szeregi wojsk napoleońskich tak wyraźnie zbiegały się i rozchodziły.

Przed sformułowaniem samej funkcji zastanów się nad ważnym pytaniem:
Kiedy należy zastosować kryterium konwergencji d'Alemberta?

Zacznijmy od powtórzeń. Przypomnijmy przypadki, w których trzeba skorzystać z najpopularniejszych kryterium porównania granicznego... Ograniczające kryterium porównania stosuje się, gdy we wspólnym terminie szeregu:
1) Mianownik zawiera wielomian.
2) Wielomiany znajdują się zarówno w liczniku, jak i mianowniku.
3) Podstawą może być jeden lub oba wielomiany.

Główne warunki korzystania z funkcji d'Alembert są następujące:

1) Wspólny termin serii ("wypychanie" serii) zawiera pewną liczbę we władzy, na przykład, i tak dalej. Co więcej, w ogóle nie ma znaczenia, gdzie ta rzecz się znajduje, w liczniku czy w mianowniku - ważne, aby tam była obecna.

2) Silnia jest zawarta w ogólnym terminie szeregu. Podczas lekcji krzyżowaliśmy miecze z silniami Ciąg liczbowy i jego granica... Nie zaszkodzi jednak ponownie rozłożyć sam składany obrus:





…


…

! Używając testu d'Alemberta, musimy tylko szczegółowo opisać silnię. Podobnie jak w poprzednim akapicie, silnia może znajdować się na górze lub na dole ułamka.

3) Jeśli istnieje „łańcuch czynników” we wspólnym terminie serii, na przykład. Ten przypadek jest rzadki, ale! Podczas badania takiej serii często popełniane są błędy – patrz przykład 6.

Wraz z potęgami i (i) silniami w wypełnieniu szeregu często występują wielomiany, nie zmienia to jednak sprawy – trzeba użyć znaku d'Alemberta.

Ponadto w ogólnym terminie serii można znaleźć jednocześnie stopień i silnię; mogą być dwie silnie, dwa stopnie, ważne jest, aby było przynajmniej coś z rozpatrywanych punktów - a to tylko warunek konieczny do używania znaku d'Alembert.

Znak d'Alembert: Rozważać dodatnie serie liczb... Jeśli istnieje limit relacji następnego członka do poprzedniego:, to:
a) Dla serii zbiega się... W szczególności seria zbiega się.
b) Dla serii rozbieżne... W szczególności seria rozbiega się o godz.
c) Kiedy znak nie daje odpowiedzi... Należy użyć innego znaku. Najczęściej jednostkę uzyskuje się, gdy próbuje się zastosować test d'Alemberta tam, gdzie konieczne jest użycie ograniczającej cechy porównania.

Każdy, kto nadal ma problemy z limitami lub niezrozumieniem limitów, zapoznaj się z lekcją Granice. Przykłady rozwiązań... Niestety bez zrozumienia granic i umiejętności ujawniania niepewności nie można dalej iść naprzód.

A teraz długo oczekiwane przykłady.

Przykład 1

Widzimy, że mamy wspólny termin serii i jest to słuszny warunek używania znaku d'Alembert. Najpierw kompletne rozwiązanie i przykładowy projekt, komentarze poniżej.

Używamy znaku d'Alembert:

zbiega się.

(1) Tworzymy stosunek następnego członka szeregu do poprzedniego:. Z warunku widzimy, że wspólny termin serii. Aby zdobyć kolejnego członka serii, konieczne jest zamiast zastępować: .
(2) Pozbycie się czteropiętrowej frakcji. Przy pewnym doświadczeniu z rozwiązaniem ten krok można pominąć.
(3) Rozwiń nawiasy w liczniku. W mianowniku wyjmujemy czwórkę ze stopnia.
(4) Zmniejsz o. Stała jest usuwana ze znaku granicznego. Podobne terminy podajemy w liczniku w nawiasach.
(5) Niepewność eliminuje się w standardowy sposób - dzieląc licznik i mianownik przez "en" w najwyższej potędze.
(6) Dzielimy liczniki przez mianowniki termin po termie i wskazujemy terminy, które dążą do zera.
(7) Upraszczamy odpowiedź i odnotowujemy, że z wnioskiem, że zgodnie z testem d'Alemberta badane szeregi są zbieżne.

W rozważanym przykładzie, we wspólnym wyrazie szeregu, napotkaliśmy wielomian II stopnia. A jeśli istnieje wielomian 3., 4. lub wyższego stopnia? Faktem jest, że jeśli zostanie podany wielomian wyższego stopnia, to będą trudności z otwarciem nawiasów. W takim przypadku możesz skorzystać z rozwiązania „turbo”.

Przykład 2

Weź podobną serię i zbadaj ją pod kątem zbieżności

Najpierw kompletne rozwiązanie, potem komentarze:

Używamy znaku d'Alembert:

Tak więc badana seria zbiega się.

(1) Komponowanie relacji.
(2) Pozbycie się czteropiętrowej frakcji.
(3) Rozważ wyrażenie w liczniku i wyrażenie w mianowniku. Widzimy, że w liczniku trzeba otworzyć nawiasy i podnieść do czwartej potęgi: czego absolutnie nie chcesz robić. Ponadto dla tych, którzy nie są zaznajomieni z dwumianem Newtona, zadanie to może być w ogóle niewykonalne. Przeanalizujmy najwyższe stopnie: jeśli otworzymy nawiasy u góry, otrzymamy najwyższy stopień. Poniżej mamy ten sam stopień seniora:. Analogicznie do poprzedniego przykładu jest oczywiste, że gdy licznik i mianownik zostaną podzielone przez wyraz przez, otrzymamy jeden w limicie. Lub, jak mówią matematycy, wielomiany i - ta sama kolejność wzrostu... Tak więc całkiem możliwe jest zakreślenie proporcji prostym ołówkiem i natychmiastowe wskazanie, że ta rzecz ma tendencję do jednego. Podobnie postępujemy z drugą parą wielomianów: i one też są ta sama kolejność wzrostu, a ich stosunek dąży do jedności.

Właściwie takie „hackowanie” można było zrobić w Przykładzie nr 1, ale dla wielomianu II stopnia takie rozwiązanie nadal wygląda jakoś niegodne. Osobiście robię tak: jeśli istnieje wielomian (lub wielomiany) pierwszego lub drugiego stopnia, używam „długiej” drogi do rozwiązania Przykład 1. Jeśli natrafię na wielomian trzeciego lub wyższego stopnia, używam "turbo" - metoda podobna do przykładu 2.

Przykład 3

Zbadaj szereg pod kątem zbieżności

Kompletne rozwiązanie i przykładowy projekt na końcu lekcji o sekwencjach liczb.
(4) Zmniejszenie wszystkiego, co można zredukować.
(5) Stała jest usuwana ze znaku granicznego. Rozwiń nawiasy w liczniku.
(6) Niepewność eliminuje się w standardowy sposób - dzieląc licznik i mianownik przez "en" w najwyższej potędze.

Przykład 5

Zbadaj szereg pod kątem zbieżności

Kompletne rozwiązanie i przykładowy projekt na końcu lekcji

Przykład 6

Zbadaj szereg pod kątem zbieżności

Czasami są wiersze, które zawierają „łańcuch” czynników w ich wypełnieniu; nie braliśmy jeszcze pod uwagę tego typu wierszy. Jak badać szereg z „łańcuchem” czynników? Użyj znaku d'Alembert. Ale najpierw, aby zrozumieć, co się dzieje, szczegółowo opiszemy serię:

Z rozszerzenia widzimy, że dla każdego kolejnego wyrazu w szeregu dodawany jest dodatkowy czynnik w mianowniku, a zatem, jeśli wspólny wyraz w szeregu, to następny wyraz w szeregu:
... Tutaj często popełniają błąd automatycznie, formalnie spisując zgodnie z algorytmem, który

Przybliżony przykład rozwiązania może wyglądać tak:

Używamy znaku d'Alembert:

Tak więc badana seria zbiega się.

Przed przystąpieniem do pracy z tym tematem radzę zapoznać się z sekcją dotyczącą terminologii dla serii liczb. Szczególnie warto zwrócić uwagę na koncepcję wspólnego członka serii. W przypadku wątpliwości co do poprawności wyboru kryterium zbieżności radzę zajrzeć do tematu „Wybór kryterium zbieżności dla szeregów liczbowych”.

Test Alamberta (lub test d'Alemberta) służy do badania zbieżności szeregów, których wspólny wyraz jest ściśle większy od zera, czyli $ u_n> 0 $. Takie szeregi są nazywane ściśle pozytywne... W standardowych przykładach atrybut D Alamber jest używany w postaci ograniczającej.

Znak D „Alamber” (w ekstremalnej formie)

Jeśli szereg $ \ sum \ limity_ (n = 1) ^ (\ infty) u_n $ jest ściśle dodatni, a $$ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = L , $ $ wtedy dla $ L<1$ ряд сходится, а при $L>1 $ (i dla $ L = \ infty $) szereg jest rozbieżny.

Sformułowanie jest dość proste, ale pytanie pozostaje otwarte: co się stanie, jeśli $L = 1 $? Odpowiedzi na to pytanie nie jest w stanie udzielić znak Alamberta D. Jeżeli $ L = 1 $, to szereg może być zarówno zbieżny, jak i rozbieżny.

Najczęściej w standardowych przykładach używa się znaku Alamber D, jeśli wyrażenie określające wyraz ogólny szeregu zawiera wielomian $ n $ (wielomian może znajdować się pod pierwiastkiem) i stopień postaci $ a ^ n $ lub $ n! $. Na przykład $ u_n = \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $ (patrz przykład nr 1) lub $ u_n = \ frac (\ sqrt ( 4n + 5)) ((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

Co oznacza wyrażenie „n!”? Pokaż ukryj

Wpis „n!” (czytaj „en silnia”) oznacza iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n, tj.

$$ n! = 1 \ cdot2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ cdot n $$

Z definicji przyjmuje się, że 0 $! = 1! = 1 $. Na przykład znajdźmy 5!:

$5! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5 = 120. $$

Ponadto cecha D Alamberta jest często używana do określenia zbieżności szeregu, którego wspólny termin zawiera iloczyn o następującej strukturze: $ u_n = \ frac (3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot \ ldots \ cdot (2n + 1)) (2 \ cdot 5 \ cdot 8 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-1) $.

Przykład 1

Zbadaj szereg $ \ sum \ limity_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $ dla zbieżności.

Ponieważ dolna granica sumowania wynosi 1, wspólny wyraz szeregu zapisujemy pod znakiem sumy: $ u_n = \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $. Ponieważ dla $ n≥ 1 $ mamy $ 3n + 7> 0 $, $ 5 ^ n> 0 $ i $ 2n ^ 3-1> 0 $, a następnie $ u_n> 0 $. Dlatego nasza seria jest ściśle pozytywna.

$$ 5 \ cdot \ lim_ (n \ do \ infty) \ frac ((3n + 10) \ left (2n ^ 3-1 \ right)) (\ left (2 (n + 1) ^ 3-1 \ right) ) (3n + 7)) = \ left | \ frac (\ infty) (\ infty) \ right | = 5 \ cdot \ lim_ (n \ do \ infty) \ frac (\ frac ((3n + 10) \ left (2n ^ 3-1 \ right)) (n ^ 4)) (\ frac (\ left (2 (n + 1) ^ 3-1 \ right) (3n + 7)) (n ^ 4)) = 5 \ cdot \ lim_ (n \ do \ infty) \ frac (\ frac (3n + 10) (n) \ cdot \ frac (2n ^ 3-1) (n ^ 3)) (\ frac (\ lewo (2 ( n + 1) ^ 3-1 \ prawo)) (n ^ 3) \ cdot \ frac (3n + 7) (n)) = \\ = 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ left (\ frac (3n) (n) + \ frac (10) (n) \ right) \ cdot \ left (\ frac (2n ^ 3) (n ^ 3) - \ frac (1) (n ^ 3) \ prawo)) (\ lewo (2 \ lewo (\ frac (n) (n) + \ frac (1) (n) \ prawo) ^ 3- \ frac (1) (n ^ 3) \ prawo) \ cdot \ left (\ frac (3n) (n) + \ frac (7) (n) \ right)) = 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ left (3+ \ frac (10) (n) \ prawo) \ cdot \ lewo (2- \ frac (1) (n ^ 3) \ prawo)) (\ lewo (2 \ lewo (1+ \ frac (1) (n) \ prawo) ^ 3 - \ frac (1) (n ^ 3) \ prawo) \ cdot \ lewo (3+ \ frac (7) (n) \ prawo)) = 5 \ cdot \ frac (3 \ cdot 2) (2 \ cdot 3 ) = 5. $$

Ponieważ $ \ lim_ (n \ do \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = 5> 1 $, to zgodnie z podanym szeregiem rozbieżne.

Szczerze mówiąc znak Alamberta D” nie jest jedyną opcją w tej sytuacji. Możesz użyć np. radykalnego testu Cauchy'ego. Jednak użycie radykalnego testu Cauchy'ego będzie wymagało znajomości (lub dowodu) dodatkowych formuł. korzystanie z funkcji Alamber D” w tej sytuacji jest wygodniejsze.

Odpowiedź: rząd się rozchodzi.

Przykład nr 2

Zbadaj zakres $ \ sum \ limity_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$ на сходимость.!}

Ponieważ dolna granica sumowania wynosi 1, wspólny wyraz szeregu jest zapisany pod znakiem sumy: $ u_n = \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Wspólny termin serii zawiera wielomian u pierwiastka, tj. $ \ sqrt (4n + 5) $, a silnia $ (3n-2)! $. Obecność silni w standardowym przykładzie jest prawie stuprocentową gwarancją wykorzystania cechy Alambera D.

Aby zastosować tę funkcję, musimy znaleźć granicę stosunku $ \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) $. Aby napisać $ u_ (n + 1) $, potrzebujesz $ u_n = \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_ (n + 1) = \ frac (\ sqrt (4 (n + 1) +5)) ((3 (n + 1) -2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

Ponieważ $ (3n + 1)! = (3n-2)!\ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $, wzór na $ u_ (n + 1) $ można zapisać jako: inne:

$$ u_ (n + 1) = \ frac (\ sqrt (4n + 9)) ((3n + 1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Ten zapis jest wygodny dla dalszego rozwiązania, gdy musimy skreślić ułamek poniżej limitu. Jeśli równość z silniami wymaga wyjaśnienia, rozwiń poniższą uwagę.

Jak otrzymaliśmy równość $ (3n + 1)! = (3n-2)!\ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $? Pokaż ukryj

Notacja $ (3n + 1)!$ Oznacza iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do $ 3n + 1 $. Te. to wyrażenie można zapisać w ten sposób:

$$ (3n + 1)! = 1 \ cdot 2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n + 1). $$

Bezpośrednio przed liczbą $ 3n + 1 $ znajduje się liczba jeden mniej, tj. liczba $ 3n + 1-1 = 3n $. A bezpośrednio przed liczbą $ 3n $ znajduje się liczba $ 3n-1 $. Cóż, bezpośrednio przed liczbą $ 3n-1 $ mamy liczbę $ 3n-1-1 = 3n-2 $. Przepiszmy formułę na $ (3n + 1)! $:

$$ (3n + 1)! = 1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-2) \ cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $$

Jaki jest iloczyn $ 1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-2) $? Ten produkt jest równy $ (3n-2)! Dlatego wyrażenie na $ (3n + 1)!$ Można przepisać w następujący sposób:

$$ (3n + 1)! = (3n-2)!\ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $$

Ten zapis jest wygodny dla dalszego rozwiązania, gdy musimy skreślić ułamek poniżej limitu.

Obliczmy wartość $ \ lim_ (n \ do \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) $:

$$ \ lim_ (n \ do \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = \ lim_ (n \ do \ infty) \ frac (\ frac (\ sqrt (4n + 9)) (( 3n-2)!\ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1))) (\ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Ponieważ $ \ lim_ (n \ do \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = 0<1$, то согласно

Kryteria zbieżności szeregów.
Znak d'Alemberta. Znaki Cauchyego

Praca, praca - a zrozumienie przyjdzie później
J L. D'Alembert

Gratulacje dla wszystkich na początku roku szkolnego! Dziś jest 1 września i na cześć święta postanowiłem zapoznać czytelników z tym, że od dawna nie możecie się doczekać i tęsknicie wiedzieć - kryteria zbieżności dla dodatnich szeregów liczbowych... Święto 1 września i moje gratulacje są zawsze aktualne, wszystko w porządku, jeśli na dworze jest lato, teraz powtarzasz egzamin po raz trzeci, jeśli przejdziesz na tę stronę!

Tym, którzy dopiero zaczynają studiować serię, polecam najpierw przeczytać artykuł Serie liczbowe dla manekinów... Właściwie ten wózek jest kontynuacją bankietu. Tak więc dzisiaj w lekcji przyjrzymy się przykładom i rozwiązaniom na tematy:

Jednym z powszechnych znaków porównania, które można znaleźć w praktycznych przykładach, jest znak d'Alembert. Znaki Cauchy'ego są mniej powszechne, ale również bardzo popularne. Jak zawsze postaram się przedstawić materiał w prosty, przystępny i zrozumiały sposób. Temat nie jest najtrudniejszy, a wszystkie zadania są do pewnego stopnia szablonowe.

Test konwergencji d'Alembert

Jean Leron D'Alembert jest słynnym francuskim matematykiem XVIII wieku. Ogólnie rzecz biorąc, D'Alembert specjalizował się w równaniach różniczkowych i na podstawie swoich badań zajmował się balistyką, aby Jego Wysokość mógł latać lepszymi kulami armatnimi. Jednocześnie nie zapomniałem o szeregach liczebnych, nie bez powodu szeregi wojsk napoleońskich tak wyraźnie zbiegały się i rozchodziły.

Przed sformułowaniem samej funkcji zastanów się nad ważnym pytaniem:
Kiedy należy zastosować kryterium konwergencji d'Alemberta?

Zacznijmy od powtórzeń. Przypomnijmy przypadki, w których trzeba skorzystać z najpopularniejszych kryterium porównania granicznego... Ograniczające kryterium porównania stosuje się, gdy we wspólnym terminie szeregu:

1) Mianownik zawiera wielomian.
2) Wielomiany znajdują się zarówno w liczniku, jak i mianowniku.
3) Podstawą może być jeden lub oba wielomiany.
4) Oczywiście może być więcej wielomianów i pierwiastków.

Główne warunki korzystania z funkcji d'Alembert są następujące:

1) Wspólny termin serii ("wypychanie" serii) zawiera pewną liczbę we władzy, na przykład, i tak dalej. Co więcej, w ogóle nie ma znaczenia, gdzie ta rzecz się znajduje, w liczniku czy w mianowniku - ważne, aby tam była obecna.

2) Silnia jest zawarta w ogólnym terminie szeregu. Skrzyżowaliśmy miecze z silniami w lekcji Ciąg liczbowy i jego granica. Nie zaszkodzi jednak ponownie rozłożyć sam składany obrus:





…


…

! Używając testu d'Alemberta, musimy tylko szczegółowo opisać silnię. Podobnie jak w poprzednim akapicie, silnia może znajdować się na górze lub na dole ułamka.

3) Jeżeli we wspólnym pojęciu serii występuje „łańcuch czynników”, na przykład ... Ten przypadek jest rzadki, ale! Podczas badania takiej serii często popełniane są błędy – patrz przykład 6.

Wraz z potęgami i (i) silniami w wypełnieniu szeregu często występują wielomiany, nie zmienia to jednak sprawy – trzeba użyć znaku d'Alemberta.

Ponadto w ogólnym terminie serii można znaleźć jednocześnie stopień i silnię; mogą być dwie silnie, dwa stopnie, ważne jest, aby było Przynajmniej coś z rozważanych punktów - a to tylko warunek wstępny używania znaku d'Alembert.

Znak d'Alembert: Rozważać dodatnie serie liczb... Jeśli istnieje limit relacji następnego członka do poprzedniego:, to:
a) Dla serii zbiega się
b) Dla serii rozbieżne
c) Kiedy znak nie daje odpowiedzi... Należy użyć innego znaku. Najczęściej jednostkę uzyskuje się, gdy próbuje się zastosować test d'Alemberta tam, gdzie konieczne jest użycie ograniczającej cechy porównania.

Każdy, kto nadal ma problemy z limitami lub niezrozumieniem limitów, zapoznaj się z lekcją Granice. Przykłady rozwiązań... Niestety bez zrozumienia granic i umiejętności ujawniania niepewności nie można dalej iść naprzód.

A teraz długo oczekiwane przykłady.

Przykład 1

Widzimy, że mamy wspólny termin serii i jest to słuszny warunek używania znaku d'Alembert. Najpierw kompletne rozwiązanie i przykładowy projekt, komentarze poniżej.

Używamy znaku d'Alembert:


zbiega się.
(1) Tworzymy stosunek następnego członka szeregu do poprzedniego:. Z warunku widzimy, że wspólny termin serii. Aby zdobyć kolejnego członka serii, potrzebujesz ZAMIAST ZASTĘPUJ: .
(2) Pozbycie się czteropiętrowej frakcji. Przy pewnym doświadczeniu z rozwiązaniem ten krok można pominąć.
(3) Rozwiń nawiasy w liczniku. W mianowniku wyjmujemy czwórkę ze stopnia.
(4) Zmniejsz o. Stała jest usuwana ze znaku granicznego. Podobne terminy podajemy w liczniku w nawiasach.
(5) Niepewność eliminuje się w standardowy sposób - dzieląc licznik i mianownik przez "en" w najwyższej potędze.
(6) Dzielimy liczniki przez mianowniki termin po termie i wskazujemy terminy, które dążą do zera.
(7) Upraszczamy odpowiedź i odnotowujemy, że z wnioskiem, że zgodnie z testem d'Alemberta badane szeregi są zbieżne.

W rozważanym przykładzie, we wspólnym wyrazie szeregu, napotkaliśmy wielomian II stopnia. A jeśli istnieje wielomian 3., 4. lub wyższego stopnia? Faktem jest, że jeśli zostanie podany wielomian wyższego stopnia, to będą trudności z otwarciem nawiasów. W takim przypadku możesz skorzystać z rozwiązania „turbo”.

Przykład 2

Weź podobną serię i zbadaj ją pod kątem zbieżności

Najpierw kompletne rozwiązanie, potem komentarze:

Używamy znaku d'Alembert:


Tak więc badana seria zbiega się.

(1) Komponowanie relacji.

(3) Rozważ wyrażenie w liczniku i wyrażenie w mianowniku. Widzimy, że w liczniku trzeba otworzyć nawiasy i podnieść do czwartej potęgi: czego absolutnie nie chcesz robić. A dla tych, którzy nie znają dwumianu Newtona, zadanie to będzie jeszcze trudniejsze. Przeanalizujmy wyższe stopnie: jeśli rozwiniemy nawiasy u góry , wtedy otrzymujemy najwyższy stopień. Poniżej mamy ten sam stopień seniora:. Analogicznie do poprzedniego przykładu jest oczywiste, że gdy licznik i mianownik zostaną podzielone przez wyraz przez, otrzymamy jeden w limicie. Lub, jak mówią matematycy, wielomiany oraz - ta sama kolejność wzrostu... Tak więc całkiem możliwe jest zakreślenie relacji prostym ołówkiem i od razu wskaż, że ta rzecz ma tendencję do jednego. Podobnie postępujemy z drugą parą wielomianów: i one też są ta sama kolejność wzrostu, a ich stosunek dąży do jedności.

Właściwie takie „hackowanie” można było zrobić w przykładzie nr 1, ale dla wielomianu II stopnia takie rozwiązanie nadal wygląda jakoś niegodne. Osobiście robię tak: jeśli istnieje wielomian (lub wielomiany) pierwszego lub drugiego stopnia, używam „długiej” drogi do rozwiązania Przykład 1. Jeśli natrafię na wielomian trzeciego stopnia lub wyższego, używam "turbo" - metoda podobna do przykładu 2.

Przykład 3

Zbadaj szereg pod kątem zbieżności

Rozważmy typowe przykłady z silniami:

Przykład 4

Zbadaj szereg pod kątem zbieżności

Ogólny termin serii obejmuje zarówno stopień, jak i silnię. Widać wyraźnie, że znak d'Alembert powinien być tutaj używany. My decydujemy.

Tak więc badana seria rozbieżne.
(1) Komponowanie relacji. Powtarzamy jeszcze raz. Warunek wspólny termin serii: ... Aby uzyskać kolejny semestr w serii, zamiast tego musisz zastąpić, zatem: .
(2) Pozbycie się czteropiętrowej frakcji.
(3) Odcinamy siódemkę od stopnia. Malujemy silni w szczegółach... Jak to zrobić - zobacz początek lekcji lub artykuł o sekwencjach liczbowych.
(4) Zmniejszenie wszystkiego, co można zredukować.
(5) Stała jest usuwana ze znaku granicznego. Rozwiń nawiasy w liczniku.
(6) Niepewność eliminuje się w standardowy sposób - dzieląc licznik i mianownik przez "en" w najwyższej potędze.

Przykład 5

Zbadaj szereg pod kątem zbieżności

Kompletne rozwiązanie i przykładowy projekt na końcu lekcji

Przykład 6

Zbadaj szereg pod kątem zbieżności

Czasami są wiersze, które zawierają „łańcuch” czynników w ich wypełnieniu; nie braliśmy jeszcze pod uwagę tego typu wierszy. Jak badać szereg z „łańcuchem” czynników? Użyj znaku d'Alembert. Ale najpierw, aby zrozumieć, co się dzieje, szczegółowo opiszemy serię:

Z rozszerzenia widzimy, że dla każdego kolejnego wyrazu szeregu dodawany jest dodatkowy czynnik w mianowniku, a zatem, jeżeli wspólny wyraz szeregu , następnie kolejny członek serii:
... Tutaj często popełniają błąd automatycznie, formalnie spisując zgodnie z algorytmem, który

Przybliżony przykład rozwiązania może wyglądać tak:

Używamy znaku d'Alembert:

Tak więc badana seria zbiega się.

radykalny znak Cauchy'ego

Augustin Louis Cauchy jest jeszcze bardziej znanym francuskim matematykiem. Każdy student techniczny może opowiedzieć o biografii Cauchy'ego. W najbardziej malowniczych kolorach. To nie przypadek, że nazwa ta widnieje na pierwszym piętrze wieży Eiffla.

Test zbieżności Cauchy'ego dla szeregów dodatnich jest nieco podobny do rozważanego testu d'Alemberta.

Radykalny znak Cauchy'ego: Rozważać dodatnie serie liczb... Jeśli istnieje limit:, to:
a) Dla serii zbiega się... W szczególności seria zbiega się.
b) Dla serii rozbieżne... W szczególności seria rozbiega się o godz.
c) Kiedy znak nie daje odpowiedzi... Należy użyć innego znaku. Warto zauważyć, że jeśli test Cauchy'ego nie daje odpowiedzi na pytanie o zbieżność szeregu, to test d'Alemberta również nie daje odpowiedzi. Ale jeśli znak d'Alembert nie daje odpowiedzi, to znak Cauchy'ego może „działać”. Oznacza to, że znak Cauchy'ego jest w tym sensie znakiem silniejszym.

Kiedy należy używać radykalnego znaku Cauchy'ego? Kryterium rodnikowe Cauchy'ego jest zwykle stosowane w przypadkach, w których rdzeń „dobry” jest wyodrębniany ze wspólnego członka serii. Zazwyczaj ta papryka jest w stopniu co zależy od... Zdarzają się też przypadki egzotyczne, ale nie będziemy się nimi zawracać.

Przykład 7

Zbadaj szereg pod kątem zbieżności

Widzimy, że ułamek jest całkowicie pod stopniem zależnym od „en”, co oznacza, że ​​musisz użyć radykalnego kryterium Cauchy'ego:


Tak więc badana seria rozbieżne.

(1) Tworzymy wspólny termin szeregu jako pierwiastek.

(2) Przepisujemy to samo, tylko bez korzenia, używając właściwości potęgi.
(3) W wykładniku podziel licznik przez wyraz w mianowniku przez wyraz, wskazując, że
(4) Rezultatem jest niepewność. Tutaj można przejść długą drogę: zbuduj do sześcianu, zbuduj do sześcianu, a następnie podziel licznik i mianownik przez „en” w sześcianie. Ale w tym przypadku istnieje wydajniejsze rozwiązanie: ta technika może być stosowana bezpośrednio pod stałą stopniową. Aby wyeliminować niepewność, podziel licznik i mianownik przez (najwyższy stopień wielomianów).

(5) Dokonujemy podziału termin po okresie i wskazujemy terminy, które dążą do zera.
(6) Przypominamy sobie odpowiedź, zaznaczamy ją i dochodzimy do wniosku, że seria jest rozbieżna.

A oto prostszy przykład rozwiązania „zrób to sam”:

Przykład 8

Zbadaj szereg pod kątem zbieżności

I kilka bardziej typowych przykładów.

Kompletne rozwiązanie i przykładowy projekt na końcu lekcji

Przykład 9

Zbadaj szereg pod kątem zbieżności
Używamy radykalnego znaku Cauchy'ego:


Tak więc badana seria zbiega się.

(1) Wspólny termin serii umieszczamy pod pierwiastkiem.

(2) Przepisujemy to samo, ale bez pierwiastka, rozwijając nawiasy ze wzoru na skrócone mnożenie: .
(3) We wskaźniku podziel licznik przez termin w mianowniku przez termin i wskaż to.
(4) Uzyskuje się niepewność formy i tutaj również można dokonać podziału bezpośrednio pod stopniem. Ale pod jednym warunkiem: współczynniki w najwyższych stopniach wielomianów muszą być różne. Mamy je różne (5 i 6), dlatego możliwe (i konieczne) jest podzielenie obu pięter na. Jeśli te współczynniki są takie same, na przykład (1 i 1):, to ta sztuczka nie działa i musisz użyć druga wspaniała granica... Jeśli pamiętasz, te subtelności zostały uwzględnione w ostatnim akapicie artykułu. Metody rozwiązywania limitów.

(5) Właściwie dokonujemy dzielenia wyraz po wyrazie i wskazujemy, które wyrazy dążą do zera.
(6) Niepewność zostaje usunięta, mamy najprostszy limit:. Dlaczego w nieskończenie duży stopień dąży do zera? Ponieważ podstawa stopnia zaspokaja nierówność. Jeśli ktoś ma wątpliwości co do sprawiedliwości limitu , to nie będę leniwy, podniosę kalkulator:
Jeśli następnie
Jeśli następnie
Jeśli następnie
Jeśli następnie
Jeśli następnie
…itp. do nieskończoności - czyli w granicy:

Tak samo nieskończenie malejący postęp geometryczny na palcach =)
! Nigdy nie używaj tej sztuczki jako dowodu! Bo jeśli coś jest oczywiste, to nie znaczy, że jest słuszne.

(7) Zwracamy uwagę, że dochodzimy do wniosku, że szereg jest zbieżny.

Przykład 10

Zbadaj szereg pod kątem zbieżności

To jest przykład rozwiązania „zrób to sam”.

Czasami prowokujący przykład jest oferowany jako rozwiązanie, na przykład:. Tutaj w wykładniku nie "pl", tylko stała. Tutaj musisz podważyć licznik i mianownik (otrzymasz wielomiany), a następnie zastosować się do algorytmu z artykułu Rzędy dla manekinów... W takim przykładzie powinno działać albo konieczne kryterium zbieżności szeregu, albo ograniczające kryterium porównania.

Cauchy test całkowy

Lub po prostu integralną cechą. Rozczaruję tych, którzy słabo opanowali materiał pierwszego kursu. Aby zastosować kryterium całkowe Cauchy'ego, należy mniej lub bardziej pewnie umieć znaleźć pochodne, całki, a także posiadać umiejętność obliczania Niewłaściwa integralność pierwszego rodzaju.

W podręcznikach do rachunku różniczkowego integralny test Cauchyego podane matematycznie rygorystycznie, ale zbyt zniekształcone, więc sformułuję kryterium niezbyt ścisłe, ale zrozumiałe:

Rozważać dodatnie serie liczb... Jeżeli istnieje całka niewłaściwa, to szereg zbiega się lub rozbiega wraz z tą całką.

I od razu przykłady do wyjaśnienia:

Przykład 11

Zbadaj szereg pod kątem zbieżności

Prawie klasyka. Logarytm naturalny i rodzaj byaka.

Główna przesłanka stosowania całkowego kryterium Cauchyego jest to, że wspólny wyraz szeregu zawiera czynniki podobne do jakiejś funkcji i jej pochodnej. Z tematu