Najprostsze własności całek. Podstawowe własności całki nieoznaczonej Badamy pojęcie „całki”

Rozwiązywanie całek jest łatwym zadaniem, ale tylko dla nielicznych. Ten artykuł jest dla tych, którzy chcą nauczyć się rozumieć całki, ale nic lub prawie nic o nich nie wiedzą. Całkowity... Dlaczego jest potrzebny? Jak to obliczyć? Czym są całki oznaczone i nieoznaczone?

Jeśli jedynym znanym Ci zastosowaniem całki jest szydełkowanie czegoś użytecznego z trudno dostępnych miejsc szydełkiem w kształcie integralnej ikony, to zapraszamy! Dowiedz się, jak rozwiązywać całki elementarne i inne oraz dlaczego nie możesz się bez tego obejść w matematyce.

Odkrywanie koncepcji « całka »

Integracja znana jest od starożytnego Egiptu. Oczywiście nie w nowoczesnej formie, ale jednak. Od tego czasu matematycy napisali wiele książek na ten temat. Szczególnie wyróżnili się Niuton oraz Leibniz ale istota rzeczy się nie zmieniła.

Jak rozumieć całki od podstaw? Nie ma mowy! Aby zrozumieć ten temat, nadal potrzebujesz podstawowej wiedzy z podstaw rachunku różniczkowego. Informacje niezbędne do zrozumienia całek mamy już na naszym blogu.

Całka nieoznaczona

Załóżmy, że mamy jakąś funkcję f (x) .

Całka nieoznaczona funkcji f (x) taka funkcja nazywa się F (x) którego pochodna jest równa funkcji f (x) .

Innymi słowy, całka jest pochodną odwrotną lub funkcją pierwotną. Przy okazji przeczytaj o tym w naszym artykule.

Funkcja pierwotna istnieje dla wszystkich funkcji ciągłych. Również znak stałej jest często dodawany do funkcji pierwotnej, ponieważ pochodne funkcji różniących się stałą pokrywają się. Proces znajdowania całki nazywa się integracją.

Prosty przykład:

Aby nie stale obliczać funkcji pierwotnych funkcji elementarnych, wygodnie jest je sprowadzić do tabeli i użyć gotowych wartości.

Pełna tabela całek dla studentów

Określona całka

Kiedy mamy do czynienia z pojęciem całki, mamy do czynienia z nieskończenie małymi wielkościami. Całka pomoże obliczyć powierzchnię figury, masę ciała niejednorodnego, drogę przebytą z nierównomiernym ruchem i wiele więcej. Należy pamiętać, że całka jest sumą nieskończenie dużej liczby nieskończenie małych członów.

Jako przykład wyobraźmy sobie wykres jakiejś funkcji.

Jak znaleźć obszar kształtu ograniczony wykresem funkcji? Korzystanie z całki! Trapez krzywoliniowy, ograniczony osiami współrzędnych i wykresem funkcji, dzielimy na nieskończenie małe odcinki. W ten sposób figura zostanie podzielona na cienkie kolumny. Suma obszarów kolumn będzie obszarem trapezu. Pamiętaj jednak, że takie obliczenie da przybliżony wynik. Jednak im mniejsze i węższe segmenty, tym dokładniejsze będą obliczenia. Jeśli zmniejszymy je do tego stopnia, że ​​długość dąży do zera, to suma powierzchni segmentów będzie dążyć do powierzchni figury. To jest całka oznaczona, która jest napisana tak:

Punkty a i b nazywane są granicami całkowania.

« Całka »

Przy okazji! Dla naszych czytelników mamy teraz 10% zniżki na

Całkowe zasady obliczeń dla manekinów

Nieoznaczone własności całkowe

Jak rozwiązać całkę nieoznaczoną? Tutaj przyjrzymy się własnościom całki nieoznaczonej, które przydadzą się przy rozwiązywaniu przykładów.

• Pochodna całki jest równa podcałkowi:

• Stałą można wyciągnąć spod znaku całki:

• Całka sumy jest równa sumie całek. Dotyczy to również różnicy:

Własności całki oznaczonej

• Liniowość:

• Znak całki zmienia się w przypadku odwrócenia granic całkowania:

• Na każdy zwrotnica a, b oraz z:

Dowiedzieliśmy się już, że całka oznaczona jest granicą sumy. Ale jak uzyskać konkretną wartość podczas rozwiązywania przykładu? W tym celu istnieje formuła Newtona-Leibniza:

Przykłady rozwiązań integralnych

Poniżej rozważymy całkę nieoznaczoną i przykłady z rozwiązaniem. Oferujemy samodzielne ustalenie zawiłości rozwiązania, a jeśli coś nie jest jasne, zadawaj pytania w komentarzach.

Aby skonsolidować materiał, obejrzyj film przedstawiający praktyczne rozwiązywanie całek. Nie zniechęcaj się, jeśli całka nie zostanie podana od razu. Skontaktuj się z profesjonalnym działem obsługi studentów, a poradzisz sobie z każdą całką potrójną lub krzywoliniową na zamkniętej powierzchni.

W tym artykule szczegółowo opisano podstawowe własności całki oznaczonej. Udowodniono je za pomocą koncepcji całki Riemanna i Darboux. Obliczenie całki oznaczonej odbywa się dzięki 5 właściwościom. Pozostałe służą do oceny różnych wyrażeń.

Przed przystąpieniem do podstawowych własności całki oznaczonej należy upewnić się, że a nie przekracza b.

Podstawowe własności całki oznaczonej

Definicja 1

Funkcja y = f (x), zdefiniowana w x = a, jest podobna do ważnej równości ∫ a a f (x) d x = 0.

Dowód 1

Widzimy więc, że wartość całki o pokrywających się granicach jest równa zeru. Jest to konsekwencją całki Riemanna, ponieważ każda suma całkowa σ dla dowolnego podziału na przedziale [a; a] i dowolny wybór punktów ζ i jest równy zero, ponieważ x i - x i - 1 = 0, i = 1, 2,. ... ... , n, stąd otrzymujemy, że granica funkcji całkowych wynosi zero.

Definicja 2

Dla funkcji, która jest całkowalna na segmencie [a; b], warunek ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x jest spełniony.

Dowód 2

Innymi słowy, jeśli górna i dolna granica całkowania zmienią się miejscami, to wartość całki zmieni swoją wartość na przeciwną. Ta własność jest pobierana z całki Riemanna. Natomiast numeracja podziału odcinka pochodzi z punktu x = b.

Definicja 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x jest używany dla funkcji całkowalnych typu y = f (x) i y = g (x) zdefiniowanych na przedziale [a; b].

Dowód 3

Zapisz całkowitą sumę funkcji y = f (x) ± g (x) dla podziału na odcinki z zadanym wyborem punktów ζ i: σ = ∑ i = 1 nf ζ i ± g ζ i xi - xi - 1 = = ∑ i = 1 nf (ζ i) xi - xi - 1 ± ∑ i = 1 ng ζ i xi - xi - 1 = σ f ± σ g

gdzie σ f i σ g są sumami całkowitymi funkcji y = f (x) i y = g (x) dla podziału segmentu. Po przejściu do granicy przy λ = m a x i = 1, 2,. ... ... , n (x i - x i - 1) → 0 otrzymujemy, że lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g.

Z definicji Riemanna to wyrażenie jest równoważne.

Definicja 4

Przeprowadzenie czynnika stałego poza znakiem całki oznaczonej. Funkcja całkowalna z przedziału [a; b] o dowolnej wartości k ma poprawną nierówność postaci ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x.

Dowód 4

Dowód własności całki oznaczonej jest podobny do poprzedniego:

σ = ∑ i = 1 nk f ζ i (xi - xi - 1) = = k ∑ i = 1 nf ζ i (xi - xi - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 ( k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ abk f (x) dx = k ∫ abf (x) dx

Definicja 5

Jeśli funkcja postaci y = f (x) jest całkowalna na przedziale x z a x, b ∈ x, otrzymujemy, że ∫ abf (x) dx = ∫ acf (x) dx + ∫ cbf (x) d x.

Dowód 5

Właściwość uważa się za prawdziwą dla c ∈ a; b, dla c ≤ a i c ≥ b. Dowód jest podobny do poprzednich właściwości.

Definicja 6

Gdy funkcja ma zdolność do całkowania z segmentu [a; b], to jest to wykonalne dla dowolnego segmentu wewnętrznego c; d a; b.

Dowód 6

Dowód opiera się na własności Darboux: jeśli dodamy punkty do istniejącego podziału odcinka, to dolna suma Darboux nie zmniejszy się, a górna nie wzrośnie.

Definicja 7

Gdy funkcja jest całkowalna na [a; b] od f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 dla dowolnej wartości x ∈ a; b, to otrzymujemy, że ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0.

Własność tę można udowodnić za pomocą definicji całki Riemanna: dowolna suma całkowa dla dowolnego wyboru punktów podziału odcinka i punktów ζ i pod warunkiem, że f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0, otrzymujemy nie- negatywny.

Dowód 7

Jeżeli funkcje y = f (x) i y = g (x) są całkowalne na odcinku [a; b], wówczas za prawdziwe uznaje się następujące nierówności:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, jeśli i f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a; b a b f (x) d x ≥ a b g (x) d x, jeśli i f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a; b

Dzięki oświadczeniu wiemy, że integracja jest dopuszczalna. Ten wniosek posłuży do udowodnienia innych właściwości.

Definicja 8

Z całkowalną funkcją y = f (x) z odcinka [a; b] mamy ważną nierówność postaci ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

Dowód 8

Mamy to - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x). Z poprzedniej własności uzyskaliśmy, że nierówność można całkować wyraz po wyrazie i odpowiada ona nierówności postaci - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x. Ta podwójna nierówność może być zapisana w innej postaci: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

Definicja 9

Gdy funkcje y = f(x) i y = g(x) są całkowane z odcinka [a; b] dla g (x) ≥ 0 dla dowolnego x ∈ a; b, otrzymujemy nierówność postaci m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x, gdzie m = m i n x ∈ a; bf(x) i M = m ax x ∈ a; bf(x).

Dowód 9

W podobny sposób przeprowadza się dowód. M i m są uważane za największą i najmniejszą wartość funkcji y = f (x), wyznaczoną z odcinka [a; b], to m ≤ f (x) ≤ M. Konieczne jest pomnożenie podwójnej nierówności przez funkcję y = g (x), co da wartość podwójnej nierówności postaci m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x). Konieczna jest integracja na segmencie [a; b], to otrzymujemy twierdzenie do udowodnienia.

Następstwo: Dla g (x) = 1 nierówność przyjmuje postać m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a).

Wzór na pierwszą wartość średnią

Definicja 10

Dla y = f (x), całkowalnych na odcinku [a; b] gdzie m = m i n x ∈ a; bf(x) i M = m ax x ∈ a; b f (x) istnieje liczba μ ∈ m; M, który pasuje do ∫ a b f (x) d x = μ b - a.

Następstwo: Gdy funkcja y = f (x) jest ciągła od odcinka [a; b], to jest liczba c ∈ a; b, który spełnia równość ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

Wzór na pierwszą wartość średnią w postaci uogólnionej

Definicja 11

Gdy funkcje y = f (x) i y = g (x) są całkowalne z odcinka [a; b] gdzie m = m i n x ∈ a; bf(x) i M = m ax x ∈ a; b f (x) i g (x)> 0 dla dowolnej wartości x a; b. Stąd mamy, że istnieje liczba μ ∈ m; M, który spełnia równość ∫ a b f (x) g (x) d x = μ ∫ a b g (x) d x.

Wzór na drugą średnią wartość

Definicja 12

Gdy funkcja y = f (x) jest całkowalna z odcinka [a; b], a y = g (x) jest monotoniczne, to istnieje liczba, która c ∈ a; b, gdzie otrzymujemy poprawną równość postaci ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter

Własności te służą do przeprowadzenia przekształceń całki w celu sprowadzenia jej do jednej z całek elementarnych i dalszych obliczeń.

1. Pochodna całki nieoznaczonej jest równa całce:

2. Różniczka całki nieoznaczonej jest równa całce:

3. Całka nieoznaczona z różniczki jakiejś funkcji jest równa sumie tej funkcji i dowolnej stałej:

4. Ze znaku całkowego można wyprowadzić czynnik stały:

Co więcej, ≠ 0

5. Całka sumy (różnicy) jest równa sumie (różnicy) całek:

6. Nieruchomość jest kombinacją właściwości 4 i 5:

Ponadto a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Własność niezmienności całki nieoznaczonej:

Jeśli następnie

8. Własność:

Jeśli następnie

W rzeczywistości ta właściwość jest szczególnym przypadkiem integracji przy użyciu metody zmiany zmiennej, która jest omówiona bardziej szczegółowo w następnej sekcji.

Rozważmy przykład:

Najpierw zastosowaliśmy właściwość 5, potem właściwość 4, a następnie użyliśmy tabeli funkcji pierwotnych i otrzymaliśmy wynik.

Algorytm naszego kalkulatora całkowego online obsługuje wszystkie właściwości wymienione powyżej i może łatwo znaleźć szczegółowe rozwiązanie dla Twojej całki.

W tym artykule wymienimy główne własności całki oznaczonej. Większość z tych własności jest udowodniona na podstawie koncepcji całki oznaczonej Riemanna i Darboux.

Definicja całki oznaczonej jest bardzo często wykonywana przy użyciu pierwszych pięciu właściwości, więc będziemy się do nich odwoływać w razie potrzeby. Pozostałe właściwości całki oznaczonej są używane głównie do oceny różnych wyrażeń.

Przed przejściem do podstawowe własności całki oznaczonej, zgódźmy się, że a nie przekracza b.

Dla funkcji y = f (x), zdefiniowanej w x = a, równość jest prawdziwa.

Oznacza to, że wartość całki oznaczonej o pokrywających się granicach całkowania wynosi zero. Własność ta jest konsekwencją definicji całki Riemanna, ponieważ w tym przypadku każda suma całkowa dla dowolnego podziału przedziału i dowolnego wyboru punktów jest równa zeru, ponieważ granica sum całkowitych wynosi zero.

Dla funkcji całkowalnej na segmencie, .

Innymi słowy, gdy miejscami zmienia się górna i dolna granica całkowania, wartość całki oznaczonej zmienia się na przeciwną. Ta własność całki oznaczonej również wynika z koncepcji całki Riemanna, jedynie numerację podziału odcinka należy rozpocząć od punktu x = b.

dla funkcji y = f (x) i y = g (x) całkowalnych na przedziale.

Dowód.

Piszemy całkowitą sumę funkcji dla danego podziału odcinka i danego wyboru punktów:

gdzie i są sumami całkowitymi funkcji y = f (x) i y = g (x) odpowiednio dla danego podziału segmentu.

Przejście do limitu o otrzymujemy, że z definicji całki Riemanna jest ona równoważna stwierdzeniu udowadnianej własności.

Współczynnik stały może być wzięty poza znak całki oznaczonej. Oznacza to, że dla funkcji y = f (x) całkowalnej na przedziale i dowolnej liczbie k, równość .

Dowód tej własności całki oznaczonej jest absolutnie podobny do poprzedniego:


Niech funkcja y = f (x) będzie całkowalna na przedziale X, a i wtedy .

Ta właściwość jest prawdziwa zarówno dla, jak i dla lub.

Dowód można przeprowadzić wykorzystując poprzednie własności całki oznaczonej.

Jeśli funkcja jest całkowalna na segmencie, to jest również całkowalna na dowolnym segmencie wewnętrznym.

Dowód opiera się na własności sum Darboux: jeśli dodasz nowe punkty do istniejącego podziału segmentu, to dolna suma Darboux nie zmniejszy się, a górna nie wzrośnie.

Jeśli funkcja y = f (x) jest całkowalna na przedziale i dla dowolnej wartości argumentu, to .

Ta właściwość jest udowodniona przez definicję całki Riemanna: każda suma całkowa dla dowolnego wyboru punktów podziału odcinka i punktów w będzie nieujemna (nie dodatnia).

Konsekwencja.

Dla funkcji y = f (x) i y = g (x) całkowalnych na przedziale, zachodzą następujące nierówności:


Stwierdzenie to oznacza, że ​​integracja nierówności jest dopuszczalna. Użyjemy tego wniosku, aby udowodnić następujące właściwości.

Niech funkcja y = f (x) będzie całkowalna na przedziale, to nierówność .

Dowód.

To oczywiste, że ... W poprzedniej własności dowiedzieliśmy się, że nierówność można całkować termin po termie, a zatem jest to prawda ... Tę podwójną nierówność można zapisać jako .

Niech funkcje y = f (x) i y = g (x) będą całkowalne na przedziale i dla dowolnej wartości argumentu, to , gdzie oraz .

Dowód jest podobny. Ponieważ m i M są najmniejszą i największą wartością funkcji y = f (x) na odcinku, to ... Mnożenie podwójnej nierówności przez nieujemną funkcję y = g (x) prowadzi nas do następującej podwójnej nierówności. Całkując go na segmencie, dochodzimy do udowodnionego twierdzenia.

Konsekwencja.

Jeśli przyjmiemy g (x) = 1, to nierówność przyjmie postać .

Pierwsza formuła średniej wartości.

Niech funkcja y = f (x) będzie całkowalna na przedziale, a potem jest taka liczba, że .

Konsekwencja.

Jeżeli funkcja y = f (x) jest ciągła na przedziale, to istnieje liczba taka, że .

Pierwszy wzór na średnią w postaci uogólnionej.

Niech funkcje y = f (x) i y = g (x) będą całkowalne na przedziale, oraz oraz g(x)> 0 dla dowolnej wartości argumentu. Jest taka liczba, że .

Drugi wzór na średnią.

Jeżeli funkcja y = f (x) jest całkowalna na przedziale, a y = g (x) jest monotoniczna, to istnieje liczba taka, że ​​równość .