Równanie prostej w odcinkach

Niech będzie dane ogólne równanie prostej:

Równanie linii prostej w odcinkach, gdzie są to odcinki odcięte linią prostą na odpowiednich osiach współrzędnych.

Skonstruuj linię prostą podaną przez ogólne równanie:

Z którego możesz skonstruować równanie tej prostej w odcinkach:

Wzajemne rozmieszczenie linii prostych na płaszczyźnie.

Oświadczenie 1.

Aby uzyskać proste i podane przez równania:

Zbiegiem okoliczności konieczne i wystarczające jest, aby:

Dowód: i pokrywają się, ich wektory kierunkowe i są współliniowe, tj.:

Weź punkt М 0 tymi liniami, wtedy:

Mnożąc pierwsze równanie przez i dodając do drugiego na mocy (2) otrzymujemy:

Zatem wzory (2), (3) i (4) są równoważne. Załóżmy (2), że równania układu (*) są równoważne, a odpowiadające im proste pokrywają się.

Oświadczenie 2.

Proste i podane przez równania (*) są równoległe i nie pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy:

Dowód:

Nawet jeśli się nie zgadzają:

Niespójne, czyli zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capelliego:

Jest to możliwe tylko wtedy, gdy:

To znaczy pod warunkiem (5).

Gdy spełniona jest pierwsza równość (5), - niespełnienie drugiej równości powoduje niezgodność układu (*), linie proste są równoległe i nie pokrywają się.

Uwaga 1.

Biegunowy układ współrzędnych.

Ustalamy punkt na płaszczyźnie i nazywamy go biegunem. Promień wychodzący z bieguna będzie nazywany osią biegunową.

Wybierzmy skalę do mierzenia długości segmentów i ustalmy, że obrót wokół m w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara będzie uznawany za dodatni. Rozważ dowolny punkt na danej płaszczyźnie, oznacz jego odległość od bieguna i nazwij go promieniem biegunowym. Kąt, o który należy obrócić oś biegunową, aby pokrywała się z, będzie oznaczony i nazywany kątem biegunowym.

Definicja 3.

Współrzędne biegunowe punktu nazywane są jego promieniem biegunowym i kątem biegunowym:

Uwaga 2. na biegunie. Wartość punktów innych niż punkt jest określana do sumy.

Rozważmy kartezjański prostokątny układ współrzędnych: biegun pokrywa się z początkiem, a oś biegunowa pokrywa się z dodatnią półosią. Tutaj. Następnie:

Jaki jest związek między prostokątnymi kartezjańskimi i biegunowymi układami współrzędnych.

Równanie lemniskatowe Bernoulliego. Zapisz to w układzie współrzędnych biegunowych.

Równanie normalne prostej na płaszczyźnie. Niech oś biegunowa pokrywa się z - osią przechodzącą przez początek. Zostawiać:

Niech więc:

Warunek (**) dla punktu:

Równanie prostej w układzie współrzędnych biegunowych.

Oto długość narysowana od początku do linii prostej, to kąt nachylenia normalnej do osi.

Równanie (7) można przepisać:

Równanie normalne prostej na płaszczyźnie.

Niech zostanie podany jakiś afiniczny układ współrzędnych OXY.

Twierdzenie 2.1. Dowolna prosta ja układ współrzędnych ОX jest określony równaniem liniowym postaci

A x+ B tak+ C = O, (1)

gdzie А, В, С R i А 2 + В 2 0. I odwrotnie, każde równanie postaci (1) definiuje linię prostą.

Równanie postaci (1) - ogólne równanie prostej .

Niech w równaniu (1) wszystkie współczynniki A, B i C są niezerowe. Następnie

Ax-By = -C, i.

Oznaczmy -C / A = a, -C / B = b. dostajemy

-równanie odcinka linii .

Rzeczywiście, liczby |a | oraz |b | wskazać wartości odcinków odciętych linią prostą ja odpowiednio na osiach OX i OY.

Niech to będzie proste ja jest podane przez ogólne równanie (1) w prostokątnym układzie współrzędnych i niech punkty M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) należą do ja... Następnie

A x 1 + B w 1 + C = A NS 2 + B w 2 + C, czyli A ( x 1 -x 2) + B ( w 1 -w 2) = 0.

Ostatnia równość oznacza, że ​​wektor = (A, B) jest prostopadły do ​​wektora = (x 1 -x 2, y 1 -y 2). te. Wektor (A, B) nazywa się wektor normalny prostej l.

Rozważ wektor = (- B, A). Następnie

A (-B) + BA = 0. te. ^.

Dlatego wektor = (- B, A) jest wektorem kierunkowym pikantnego ja.

Równania parametryczne i kanoniczne linii prostej

Równanie prostej przechodzącej przez dwa podane punkty

Niech linia prosta zostanie podana w afinicznym układzie współrzędnych (0, X, Y) ja, jego wektor kierunkowy = (m, n) i punkt M 0 ( x 0 ,tak 0) posiadane ja... Następnie dla dowolnego punktu M ( x,w) tej linii mamy

i tak jak? .

Jeśli oznaczamy i

Wektory promieni odpowiednio punktów M i M 0

- równanie prostej w postaci wektorowej.

Ponieważ = ( NS,w), =(NS 0 ,w 0), to

x= x 0 + mt,

tak= tak 0 + nie

- równanie parametryczne linii prostej .

Stąd wynika, że

- kanoniczne równanie linii .

Wreszcie, jeśli na linii prostej ja dwa punkty M 1 ( NS 1 ,w 1) i

M 2 ( x 2 ,w 2), to wektor = ( NS 2 -NS 1 ,tak 2 -w 1) jest prowadzenie linia prosta wektorowa ja... Następnie

- równanie prostej przechodzącej przez dwa podane punkty.

Względne położenie dwóch linii prostych.

Niech proste linie ja 1 i ja 2 są podane przez ich ogólne równania

ja 1: 1 NS+ B 1 w+ C 1 = 0, (1)

ja 2: 2 NS+ B 2 w+ C2 = 0.

Twierdzenie... Niech proste linie ja 1 i ja 2 są podane przez równania (1). Wtedy i tylko wtedy:

1) linie proste przecinają się, gdy nie ma liczby λ takiej, że

A1 = λA2, B1 = λB2;

2) linie pokrywają się, gdy istnieje liczba λ taka, że

А 1 = λA 2, B 1 = λB 2, С 1 = λС 2;

3) linie są wyraźne i równoległe, gdy istnieje liczba λ taka, że

А 1 = λA 2, В 1 = λВ 2, С 1 λС 2.

Wiązka linii prostych

Kilka prostych linii nazywamy zbiorem wszystkich prostych w płaszczyźnie przechodzących przez punkt, zwanym środek Belka.

Aby ustawić równanie wiązki wystarczy znać dwie dowolne proste linie ja 1 i ja 2 przechodzące przez środek belki.

Niech w afinicznym układzie współrzędnych linie ja 1 i ja 2 są podane przez równania

ja 1: 1 x+ B 1 tak+ C1 = 0,

ja 2: 2 x+ B 2 tak+ C2 = 0.

Równanie:

1 x+ B 1 tak+ C + λ (A 2 NS+ B 2 tak+ C) = 0

- równanie ołówka linii prostych, określone równaniami l 1 i l 2.

W dalszej części przez układ współrzędnych rozumiemy prostokątny układ współrzędnych .

Warunki równoległości i prostopadłości dwóch linii prostych

Niech proste linie ja 1 i ja 2. ich ogólne równania; = (A 1, B 1), = (A 2, B 2) - wektory normalne tych linii; k 1 = tgα 1, k 2 = tgα 2 - zbocza; = ( m 1 ,n 1), (m 2 ,n 2) - wektory kierunkowe. Następnie prosto ja 1 i ja 2 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z następujących warunków:

albo albo k 1 =k 2 lub.

Niech teraz proste linie ja 1 i ja 2 są prostopadłe. Wtedy oczywiście, to znaczy A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.

Jeśli prosto ja 1 i ja 2 są podane przez równania

ja 1: w=k 1 x+ b 1 ,

ja 2: w=k 2 x+ b 2 ,

wtedy tgα 2 = tg (90º + α) = .

Stąd wynika, że

Wreszcie, jeśli i wektory kierunkowe linii prostych, to ^, czyli

m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0

Te ostatnie relacje wyrażają warunek konieczny i wystarczający dla prostopadłości dwóch płaszczyzn.

Kąt między dwiema prostymi liniami

Pod kątem φ między dwiema prostymi liniami ja 1 i ja 2 zrozumiemy najmniejszy kąt, o który jedna prosta musi zostać obrócona tak, aby stała się równoległa do innej prostej lub zbiegała się z nią, czyli 0 £ φ £

Niech proste będą dane przez równania ogólne. To oczywiste, że

cosφ =

Niech teraz proste linie ja 1 i ja 2 jest podane przez równania ze współczynnikami nachylenia k 1 w k 2 odpowiednio. Następnie

Jest oczywiste, że to znaczy ( NS-NS 0) + B ( w-w 0) + C ( z-z 0) = 0

Rozwińmy nawiasy i oznaczmy D = -A x 0 - B w 0 - C z 0. dostajemy

A x+ B tak+ C z+ D = 0 (*)

- ogólne równanie samolotu lub ogólne równanie samolotu.

Twierdzenie 3.1 Równanie liniowe (*) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) jest równaniem płaszczyzny i odwrotnie, każde równanie płaszczyzny jest liniowe.

1) D = 0, wtedy samolot przechodzi przez początek.

2) A = 0, wtedy płaszczyzna jest równoległa do osi OX

3) A = 0, B = 0, wtedy płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny OXY.

Niech wszystkie współczynniki w równaniu będą niezerowe.

- równanie płaszczyzny w odcinkach linii... Liczby | a |, | b |, | c | wskazać wartości odcinków linii odciętych przez płaszczyznę na osiach współrzędnych.

I szczegółowo przeanalizujemy specjalną formę równania linii prostej -. Zacznijmy od postaci równania prostej w odcinkach i podajmy przykład. Następnie skupimy się na budowie linii prostej, którą podaje równanie linii prostej w odcinkach. Podsumowując, pokazujemy, jak przebiega przejście od pełnego ogólnego równania linii prostej do równania linii prostej w odcinkach.

Nawigacja po stronach.

Równanie prostej w odcinkach - opis i przykład.

Niech Oxy zostanie unieruchomiony w samolocie.

Równanie prostej w odcinkach na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy ma postać, gdzie a i b są pewnymi niezerowymi liczbami rzeczywistymi.

To nie przypadek, że równanie linii prostej w odcinkach otrzymało taką nazwę - wartości bezwzględne liczb a i b są równe długościom odcinków odciętych linią prostą na osiach współrzędnych Ox i Oy, licząc od początku.

Wyjaśnijmy ten punkt. Wiemy, że współrzędne dowolnego punktu na linii prostej spełniają równanie tej linii prostej. Widać wtedy wyraźnie, że linia prosta wyrażona równaniem linii prostej w odcinkach przechodzi przez punkty, a ponieważ oraz ... A punkty i znajdują się odpowiednio na osiach współrzędnych Ox i Oy i są usuwane z początku przez jednostki aib. Znaki liczb a i b wskazują kierunek, w którym należy ułożyć odcinki linii. Znak „+” oznacza, że ​​odcinek jest ułożony w kierunku dodatnim osi współrzędnych, znak „-” oznacza przeciwny.

Narysujmy schematyczny rysunek wyjaśniający wszystkie powyższe. Pokazuje położenie linii prostych względem ustalonego prostokątnego układu współrzędnych Oxy, w zależności od wartości liczb a i b w równaniu linii prostej w odcinkach.

Teraz stało się jasne, że równanie linii prostej w odcinkach ułatwia skonstruowanie tej prostej w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy. Aby zbudować linię prostą, która jest określona równaniem prostej w odcinkach widoku, należy zaznaczyć punkty w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie, a następnie połączyć je linią prostą za pomocą linijki.

Podajmy przykład.

Przykład.

Narysuj linię prostą określoną równaniem linii prostej w segmentach widoku.

Rozwiązanie.

Z podanego równania linii prostej w odcinkach widać, że linia prosta przechodzi przez punkty ... Zaznaczamy je i łączymy linią prostą.

Sprowadzenie ogólnego równania prostej do równania prostej w odcinkach.

Przy rozwiązywaniu niektórych problemów związanych z linią prostą na płaszczyźnie wygodnie jest pracować z równaniem linii prostej w odcinkach. Istnieją jednak inne rodzaje równań, które definiują linię prostą na płaszczyźnie. Dlatego konieczne jest przeprowadzenie przejścia od danego równania prostej do równania tej prostej w odcinkach.

W tym podrozdziale pokażemy, jak uzyskać równanie linii prostej w odcinkach, jeśli dane jest pełne ogólne równanie linii prostej.

Daj nam znać pełne ogólne równanie prostej w płaszczyźnie ... Ponieważ A, B i C nie są równe zero, możesz przenieść liczbę C na prawą stronę równości, podzielić obie strony wynikowej równości przez –C i przesłać współczynniki dla x i y do mianowników:
.

(W ostatnim przejściu użyliśmy równości ).

Więc jesteśmy z ogólnego równania prostej przekazywane do równania prostej w odcinkach, gdzie .

Przykład.

Prostą w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy określa równanie ... Zapisz równanie tej linii w odcinkach linii.

Rozwiązanie.

Przenieśmy jedną sekundę na prawą stronę danej równości: ... Teraz podzielmy wynikową równość na obie części: ... Pozostaje przekształcić powstałą równość w pożądaną formę: ... Więc otrzymaliśmy wymagane równanie linii prostej w odcinkach.

Odpowiedź:

Jeśli linia prosta jest określona

Jeżeli w ogólnym równaniu prostej Ax + Vy + C = 0 C ¹ 0, to dzieląc przez –C, otrzymujemy: lub

Geometryczne znaczenie współczynników polega na tym, że współczynnik a jest współrzędną punktu przecięcia prostej z osią Wół, oraz b- współrzędna punktu przecięcia prostej z osią Oy.

Przykład. Podano ogólne równanie prostej x - y + 1 = 0. Znajdź równanie tej prostej w odcinkach.

C = 1, a = -1, b = 1.

Równanie normalne prostej.

Jeśli obie strony równania Ax + Vy + C = 0 są podzielone przez liczbę o nazwie współczynnik normalizujący, wtedy dostajemy

Xcosj + ysinj - p = 0 -

normalne równanie prostej.

Znak ± współczynnika normalizującego należy wybrać tak, aby m × С< 0.

p jest długością prostopadłej opuszczonej od początku do linii prostej, a j jest kątem utworzonym przez tę prostopadłą z dodatnim kierunkiem osi Ox.

Przykład. Podano ogólne równanie prostej 12x - 5y - 65 = 0. Wymagane jest zapisanie różnych typów równań tej prostej.

równanie tej prostej w odcinkach:

równanie tej prostej ze spadkiem: (podzielić przez 5)

równanie normalne linii:

; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.

Należy zauważyć, że nie każdą linię prostą można przedstawić równaniem w odcinkach, na przykład linie proste równoległe do osi lub przechodzące przez początek układu współrzędnych.

Przykład. Linia prosta odcina równe dodatnie segmenty na osiach współrzędnych. Wykonaj równanie linii prostej, jeśli powierzchnia trójkąta utworzonego przez te segmenty wynosi 8 cm 2.

Równanie linii prostej ma postać: a = b = 1; ab / 2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 nie pasuje do opisu problemu.

Razem: lub x + y - 4 = 0.

Przykład. Narysuj równanie prostej przechodzącej przez punkt A (-2, -3) i początek.

Równanie linii prostej ma postać:, gdzie x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt

Prostopadle do podanej linii.

Definicja. Prostą przechodzącą przez punkt M 1 (x 1, y 1) i prostopadłą do prostej y = kx + b przedstawia równanie:

Kąt między liniami prostymi na płaszczyźnie.

Definicja. Jeżeli podane są dwie linie proste y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, to kąt ostry między tymi liniami prostymi będzie zdefiniowany jako

Dwie proste są równoległe, jeśli k 1 = k 2.

Dwie proste są prostopadłe, jeśli k 1 = -1 / k 2.

Twierdzenie. Linie proste Ax + Vy + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 są równoległe, gdy proporcjonalne współczynniki A 1 = lA, B 1 = lb. Jeśli także С 1 = lС, to linie się pokrywają.

Współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych znajdują się jako rozwiązanie układu równań tych prostych.

Odległość od punktu do linii.

Twierdzenie. Jeżeli podano punkt M (x 0, y 0), to odległość do prostej Ax + Vy + C = 0 wyznacza się jako

Dowód. Niech punkt M 1 (x 1, y 1) będzie podstawą prostopadłej opuszczonej z punktu M na daną prostą. Wtedy odległość między punktami M i M 1:

Współrzędne x 1 i y 1 można znaleźć jako rozwiązanie układu równań:

Drugie równanie układu to równanie linii prostej przechodzącej przez dany punkt M 0 prostopadle do danej linii prostej.

Jeśli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + O 0 + C = 0,

następnie, rozwiązując, otrzymujemy:

Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy:

Twierdzenie jest udowodnione.

Przykład . Określ kąt między liniami prostymi: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p / 4.

Przykład. Pokaż, że proste 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 są prostopadłe.

Znajdujemy: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dlatego proste są prostopadłe.

Przykład. Podano wierzchołki trójkąta A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Znajdź równanie na wysokość narysowaną z wierzchołka C.

Znajdujemy równanie boku AB:; 4x = 6 lat - 6;

2x - 3 lata + 3 = 0;

Wymagane równanie wysokości to: Ax + By + C = 0 lub y = kx + b.

k =. Wtedy y =. Ponieważ wysokość przechodzi przez punkt C, to jego współrzędne spełniają to równanie: skąd b = 17. Razem:.

Odpowiedź: 3x + 2 lata - 34 = 0.

Krzywe drugiego rzędu.

Krzywą drugiego rzędu można podać równaniem

Topór 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Istnieje układ współrzędnych (niekoniecznie prostokątny kartezjański), w którym równanie to można przedstawić w jednej z poniższych postaci.

1) - równanie elipsy.

2) - równanie „urojonej” elipsy.

3) - równanie hiperboli.

4) a 2 x 2 - c 2 y 2 = 0 - równanie dwóch przecinających się linii.

5) y 2 = 2px - równanie paraboli.

6) y 2 - a 2 = 0 to równanie dwóch równoległych linii.

7) y 2 + a 2 = 0 to równanie dwóch „urojonych” równoległych linii.

8) y 2 = 0 to para pokrywających się linii prostych.

9) (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 jest równaniem koła.

Koło.

W okręgu (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2, środek ma współrzędne (a; b).

Przykład. Znajdź współrzędne środka i promień okręgu, jeśli jego równanie podane jest w postaci:

2x 2 + 2 lata 2 - 8x + 5 lat - 4 = 0.

Aby znaleźć współrzędne środka i promień okręgu, równanie to należy sprowadzić do postaci wskazanej powyżej w pkt 9. Aby to zrobić, wybierz całe kwadraty:

x 2 + y 2 - 4x + 2,5y - 2 = 0

x 2 - 4x + 4 –4 + y 2 + 2,5y + 25/16 - 25/16 - 2 = 0

(x - 2) 2 + (y + 5/4) 2 - 25/16 - 6 = 0

(x - 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Stąd znajdujemy O (2; -5/4); R = 11/4.

Elipsa.

Definicja. Elipsa nazwana krzywą podaną przez równanie.

Definicja. skupia się takie dwa punkty są nazywane, suma odległości, od których do dowolnego punktu elipsy jest stała.

F 1, F 2 - skupia się. F1 = (c; 0); F 2 (-c; 0)

c - połowa odległości między ogniskami;

a - półoś wielka;

b - półoś mała.

Twierdzenie. Ogniskowa i półosie elipsy są powiązane stosunkiem:

a 2 = b 2 + c 2.

Dowód: Jeśli punkt M znajduje się na przecięciu elipsy z osią pionową, r1 + r2= 2 (według twierdzenia Pitagorasa). Jeśli punkt M znajduje się na przecięciu elipsy z osią poziomą, r 1 + r 2 = a - c + a + c. Ponieważ z definicji kwota r1 + r2 Jest wartością stałą, to zrównując, otrzymujemy:

a 2 = b 2 + c 2

r1 + r2 = 2a.

Definicja. O kształcie elipsy decyduje charakterystyka, czyli stosunek ogniskowej do głównej osi i nazywana ekscentryczność.

Ponieważ z< a, то е < 1.

Definicja. Nazywa się wielkość k = b / a Stopień sprężania elipsa, a wielkość 1 - k = (a - b) / a nazywa się ściskanie elipsa.

Stopień sprężania i mimośrodowość są powiązane stosunkiem: k 2 = 1 - e 2.

Jeśli a = b (c = 0, e = 0, ogniska łączą się), elipsa zamienia się w okrąg.

Jeżeli dla punktu M (x 1, y 1) warunek jest spełniony: to jest wewnątrz elipsy, a jeżeli to punkt jest na zewnątrz elipsy.

Twierdzenie. Dla dowolnego punktu M (x, y) należącego do elipsy zachodzą następujące relacje::

R1 = a - ex, r2 = a + ex.

Dowód. Powyżej pokazano, że r 1 + r 2 = 2a. Dodatkowo ze względów geometrycznych możesz napisać:

Po podniesieniu do kwadratu i zmniejszeniu podobnych terminów:

Podobnie można udowodnić, że r 2 = a + ex. Twierdzenie jest udowodnione.

Z elipsą połączone są dwie proste linie, zwane reżyserzy... Ich równania to:

X = a / e; x = -a / e.

Twierdzenie. Aby punkt leżał na elipsie, konieczne i wystarczające jest, aby stosunek odległości do ogniska do odległości do odpowiedniej kierownicy był równy mimośrodowi e.

Przykład. Zrównaj linię prostą przechodzącą przez lewy punkt skupienia i dolny wierzchołek elipsy daną równaniem:

1) Współrzędne dolnego wierzchołka: x = 0; y2 = 16; y = -4.

2) Współrzędne lewego ogniska: c 2 = a 2 - b 2 = 25 - 16 = 9; c = 3; F 2 (-3; 0).

3) Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty:

Przykład. Narysuj równanie elipsy, jeśli jej ogniska to F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), główna oś to 2.

Równanie elipsy ma postać:. Odległość między ogniskami:

2c =, więc a 2 - b 2 = c 2 = ½

z warunku 2a = 2, zatem a = 1, b =

Hiperbola.

Definicja. Hiperbola nazywamy zbiorem punktów płaszczyzny, dla której moduł różnicy odległości od dwóch danych punktów, zwany wydziwianie istnieje stała wartość mniejsza niż odległość między ogniskami.

Z definicji ïr 1 - r 2 ï = 2a. F 1, F 2 - ogniska hiperboli. F1F2 = 2c.

Wybierzmy dowolny punkt M (x, y) na hiperboli. Następnie:

oznacz c 2 - a 2 = b 2 (geometrycznie ta wartość jest małą półosią)

Otrzymano kanoniczne równanie hiperboli.

Hiperbola jest symetryczna względem punktu środkowego odcinka łączącego ogniska oraz względem osi współrzędnych.

Oś 2a nazywana jest osią rzeczywistą hiperboli.

Oś 2b nazywana jest urojoną osią hiperboli.

Hiperbola ma dwie asymptoty, których równania to

Definicja. Związek nazywa się ekscentryczność hiperbole, gdzie c jest połową odległości między ogniskami i jest rzeczywistą półosią.

Biorąc pod uwagę, że c 2 - a 2 = b 2:

Jeśli a = b, e =, to hiperbola nazywa się równoramienne (równoboczne).

Definicja. Nazywa się dwie proste prostopadłe do rzeczywistej osi hiperboli i położone symetrycznie wokół środka w odległości a / e od niej reżyserzy hiperbola. Ich równania to:.

Twierdzenie. Jeśli r jest odległością od dowolnego punktu M hiperboli do dowolnego ogniska, d jest odległością od tego samego punktu do kierownicy odpowiadającej temu ognisku, to stosunek r / d jest wartością stałą równą mimośrodowi.

Dowód. Naszkicujmy hiperbolę.

Z oczywistych zależności geometrycznych można napisać:

a / e + d = x, zatem d = x - a / e.

(x - c) 2 + y 2 = r 2

Z równania kanonicznego:, biorąc pod uwagę b 2 = c 2 - a 2:

Potem od c / a = e, a następnie r = ex - a.

W przypadku lewej gałęzi hiperboli dowód jest podobny. Twierdzenie jest udowodnione.

Przykład. Znajdź równanie hiperboli, której wierzchołki i ogniska znajdują się w odpowiednich wierzchołkach i ogniskach elipsy.

Dla elipsy: c 2 = a 2 - b 2.

Dla hiperboli: c 2 = a 2 + b 2.

Równanie hiperboli:.

Przykład. Napisz równanie hiperboli, jeśli jej mimośród wynosi 2, a ogniska pokrywają się z ogniskami elipsy z równaniem parametru paraboli. Wyprowadźmy kanoniczne równanie paraboli.

Z zależności geometrycznych: AM = MF; AM = x + p / 2;

MF2 = y2 + (x - p / 2) 2

(x + p / 2) 2 = y 2 + (x - p / 2) 2

x 2 + xp + p 2/4 = y 2 + x 2 - xp + p 2/4

Równanie Directrixa: x = -p / 2.

Przykład . Na paraboli y 2 = 8x znajdź punkt, którego odległość od kierownicy wynosi 4.

Z równania paraboli dowiadujemy się, że p = 4.

r = x + p / 2 = 4; W związku z tym:

x = 2; y2 = 16; y = ± 4. Punkty poszukiwań: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Przykład. Równanie krzywej w biegunowym układzie współrzędnych to:

Znajdź równanie krzywej w kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych, określ typ krzywej, znajdź ogniska i mimośród. Schematycznie zbuduj krzywą.

Wykorzystajmy połączenie między prostokątnym i biegunowym układem współrzędnych kartezjańskich:;

Otrzymano kanoniczne równanie hiperboli. Z równania widać, że hiperbola jest przesunięta wzdłuż osi Wół o 5 w lewo, większa półoś a jest równa 4, mniejsza półoś b jest równa 3, z czego otrzymujemy c 2 = a 2 + b 2; c = 5; e = c / a = 5/4.

Skupia F 1 (-10; 0), F 2 (0; 0).

Wykreślmy tę hiperbolę.

Równanie prostej na płaszczyźnie.
Wektor kierunku jest linią prostą. Wektor normalny

Linia prosta na płaszczyźnie to jeden z najprostszych kształtów geometrycznych, jakie znacie od czasów elementarnych, a dziś dowiemy się, jak sobie z nią radzić za pomocą metod geometrii analitycznej. Aby opanować materiał, musisz umieć zbudować linię prostą; wiedzieć, jakie równanie służy do definiowania linii prostej, w szczególności linii prostej przechodzącej przez początek i linii prostych równoległych do osi współrzędnych. Te informacje można znaleźć w instrukcji Wykresy i własności funkcji elementarnych, stworzyłem go dla matana, ale sekcja dotycząca funkcji liniowej okazała się bardzo udana i szczegółowa. Dlatego drodzy czajniczki najpierw się tam rozgrzej. Ponadto musisz mieć podstawową wiedzę na temat wektory, w przeciwnym razie zrozumienie materiału będzie niepełne.

W tej lekcji przyjrzymy się sposobom napisania równania linii prostej na płaszczyźnie. Polecam nie zaniedbywać praktycznych przykładów (nawet jeśli wydają się one bardzo proste), gdyż dostarczę im elementarnych i ważnych faktów, technik, które będą wymagane w przyszłości, także w innych działach matematyki wyższej.

• Jak napisać równanie prostej ze spadkiem?
• Jak ?
• Jak znaleźć wektor kierunkowy z ogólnego równania prostej?
• Jak napisać równanie prostej z punktu i wektora normalnego?

i zaczynamy:

Równanie prostej ze spadkiem

Dobrze znana „szkolna” forma równania linii prostej nazywa się równanie prostej ze spadkiem... Na przykład, jeśli równanie podaje linię prostą, to jej nachylenie wynosi:. Rozważ geometryczne znaczenie tego współczynnika i sposób, w jaki jego wartość wpływa na położenie linii prostej:

Kurs geometrii to udowadnia nachylenie linii prostej wynosi styczna do kąta między dodatnim kierunkiem osii ta linia:, a kąt jest „odkręcany” w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Aby nie zaśmiecać rysunku, narysowałem rogi tylko dla dwóch linii. Rozważ „czerwoną” linię i jej nachylenie. Jak wyżej: (kąt „alfa” jest oznaczony zielonym łukiem). W przypadku „niebieskiej” linii ze spadkiem równość jest prawdziwa (kąt „beta” jest oznaczony brązowym łukiem). A jeśli tangens kąta jest znany, to w razie potrzeby łatwo go znaleźć i sam róg za pomocą funkcji odwrotnej - arcus tangens. Jak mówią, w ręku tablica trygonometryczna lub mikrokalkulator. Zatem, nachylenie charakteryzuje stopień nachylenia linii prostej do osi odciętej.

W takim przypadku możliwe są następujące przypadki:

1) Jeśli nachylenie jest ujemne:, to linia, mówiąc z grubsza, biegnie od góry do dołu. Przykładami są na rysunku „niebieskie” i „karmazynowe” linie proste.

2) Jeśli nachylenie jest dodatnie: linia biegnie od dołu do góry. Przykładami są „czarne” i „czerwone” linie na rysunku.

3) Jeśli nachylenie wynosi zero:, to równanie przyjmuje postać, a odpowiadająca mu linia prosta jest równoległa do osi. Przykładem jest „żółta” linia prosta.

4) Dla rodziny linii prostych równoległych do osi (nie ma przykładu na rysunku poza samą osią) nachylenie nie istnieje (styczna 90 stopni niezdefiniowana).

Im większe nachylenie w module, tym bardziej stromy wykres linii prostej.

Rozważmy na przykład dwie linie. Tutaj zatem linia ma bardziej strome nachylenie. Przypomnę, że moduł pozwala zignorować znak, nas tylko interesuje Wartości bezwzględne współczynniki nachylenia.

Z kolei linia prosta jest bardziej stroma niż linie proste. .

I odwrotnie: im mniejsze nachylenie w module, tym bardziej płaska linia prosta.

Do bezpośredniego nierówność jest prawdziwa, zatem linia prosta jest bardziej płaska. Zjeżdżalnia dla dzieci, aby nie sadzić na sobie siniaków i uderzeń.

Dlaczego jest to potrzebne?

Przedłużaj udrękę Znajomość powyższych faktów pozwala od razu dostrzec swoje błędy, w szczególności błędy w grafice - jeśli rysunek okazał się "wyraźnie coś jest nie tak". Wskazane jest, abyś od razu było jasne, że np. linia prosta jest bardzo stroma i biegnie od dołu do góry, a linia prosta jest bardzo płytka, blisko osi i biegnie od góry do dołu.

W problemach geometrycznych często pojawia się kilka linii prostych, więc wygodnie jest je jakoś oznaczyć.

Oznaczenia: linie proste są oznaczone małymi literami łacińskimi:. Popularną opcją jest oznaczenie tą samą literą z naturalnymi indeksami dolnymi. Na przykład pięć prostych, które właśnie rozważaliśmy, można oznaczyć przez .

Ponieważ każda linia prosta jest jednoznacznie określona przez dwa punkty, może być oznaczona następującymi punktami: itp. Z zapisu jasno wynika, że ​​punkty należą do linii prostej.

Czas się trochę rozgrzać:

Jak napisać równanie prostej ze spadkiem?

Jeżeli znany jest punkt należący do pewnej prostej i nachylenie tej prostej, wówczas równanie tej prostej wyraża się wzorem:

Przykład 1

Zrównaj linię prostą ze spadkiem, jeśli wiadomo, że punkt należy do tej prostej.

Rozwiązanie: Równanie prostej jest skompilowane ze wzoru ... W tym przypadku:

Odpowiedź:

Badanie jest wykonywana elementarnie. Najpierw patrzymy na wynikowe równanie i upewniamy się, że nasze nachylenie jest na swoim miejscu. Po drugie, współrzędne punktu muszą spełniać to równanie. Zastąpmy je równaniem:

Uzyskuje się poprawną równość, co oznacza, że ​​punkt spełnia otrzymane równanie.

Wyjście: Równanie jest poprawne.

Trudniejszy przykład rozwiązania „zrób to sam”:

Przykład 2

Wykonaj równanie prostej, jeśli wiadomo, że jej kąt nachylenia do dodatniego kierunku osi jest taki, a punkt należy do tej prostej.

Jeśli masz jakiekolwiek trudności, przeczytaj ponownie materiał teoretyczny. Dokładniej, bardziej praktycznie, brakuje mi wielu dowodów.

Zadzwonił ostatni dzwonek, ucichło przyjęcie dyplomowe, a za bramami naszej rodzimej szkoły czeka na nas właściwie geometria analityczna. Żarty się skończyły…. A może dopiero zaczynają =)

Z nostalgią machamy długopisem do znajomych i zapoznajemy się z ogólnym równaniem linii prostej. Ponieważ to jest używane w geometrii analitycznej:

Ogólne równanie prostej ma postać:, gdzie są liczby. Ponadto współczynniki jednocześnie nie są równe zeru, ponieważ równanie traci sens.

Ubierzmy równanie nachylenia w garnitur i krawat. Najpierw przenieśmy wszystkie terminy na lewą stronę:

Termin ze znakiem „x” należy umieścić na pierwszym miejscu:

W zasadzie równanie ma już postać, ale zgodnie z zasadami etykiety matematycznej współczynnik pierwszego członu (w tym przypadku) musi być dodatni. Zmiana znaków:

Zapamiętaj tę cechę techniczną! Czynimy pierwszy współczynnik (najczęściej) dodatnim!

W geometrii analitycznej równanie linii prostej prawie zawsze będzie podane w postaci ogólnej. Cóż, jeśli to konieczne, łatwo jest sprowadzić go do widoku „szkolnego” ze spadkiem (poza liniami prostymi równoległymi do osi rzędnych).

Zadajmy sobie pytanie, co? wystarczająco wiesz, jak zbudować linię prostą? Dwa punkty. Ale więcej o tym przypadku z dzieciństwa później, teraz trzyma się zasady strzałek. Każda linia prosta ma dobrze zdefiniowane nachylenie, do którego łatwo się „dostosować” wektor.

Wektor równoległy do ​​linii nazywany jest wektorem kierunkowym tej linii.... Oczywiście każda linia prosta ma nieskończenie wiele wektorów kierunkowych i wszystkie z nich będą współliniowe (współkierunkowe lub nie - nie ma to znaczenia).

Wyznaczę wektor kierunku w następujący sposób:.

Ale jeden wektor nie wystarczy do zbudowania linii prostej, wektor jest swobodny i nie jest związany z żadnym punktem na płaszczyźnie. Dlatego dodatkowo konieczne jest poznanie jakiegoś punktu, który należy do prostej.

Jak zrównać linię prostą z punktu i wektor kierunkowy?

Jeśli znany jest jakiś punkt należący do prostej i wektor kierunkowy tej prostej , to równanie tej prostej można skompilować za pomocą wzoru:

Czasami nazywa się to kanoniczne równanie linii .

Co robić, kiedy jedna ze współrzędnych wynosi zero, poniżej zobaczymy praktyczne przykłady. Przy okazji, zauważ - oba na raz współrzędne nie mogą być równe zero, ponieważ wektor zerowy nie określa określonego kierunku.

Przykład 3

Zrównaj linię prostą z punktu i wektor kierunkowy

Rozwiązanie: Równanie prostej jest kompilowane według wzoru. W tym przypadku:

Korzystając z właściwości proporcji, pozbywamy się ułamków:

I sprowadzamy równanie do ogólnej postaci:

Odpowiedź:

Rysunek w takich przykładach z reguły nie musi być wykonywany, ale w celu zrozumienia:

Na rysunku widzimy punkt początkowy, pierwotny wektor kierunku (można go odsunąć od dowolnego punktu na płaszczyźnie) oraz zbudowaną linię. Nawiasem mówiąc, w wielu przypadkach najwygodniej jest skonstruować linię prostą za pomocą równania z nachyleniem. Łatwo jest przekształcić nasze równanie do postaci i łatwo wybrać jeszcze jeden punkt do zbudowania linii prostej.

Jak zauważono na początku tej sekcji, linia prosta ma nieskończenie wiele wektorów kierunku i wszystkie są współliniowe. Na przykład narysowałem trzy takie wektory: ... Niezależnie od tego, który wektor kierunku wybierzemy, wynikiem będzie zawsze to samo równanie linii prostej.

Utwórzmy równanie prostej wzdłuż punktu i wektora kierunkowego:

Ustalamy proporcję:

Podziel obie strony przez –2 i otrzymamy znajome równanie:

Zainteresowani mogą podobnie przetestować wektory lub dowolny inny wektor kolinearny.

Rozwiążmy teraz problem odwrotny:

Jak znaleźć wektor kierunkowy z ogólnego równania prostej?

Bardzo prosta:

Jeśli prosta jest podana przez równanie ogólne, to wektor jest wektorem kierunkowym tej linii.

Przykłady znajdowania wektorów kierunkowych linii prostych:

Asercja pozwala nam znaleźć tylko jeden wektor kierunkowy ze zbioru nieskończonego, ale nie potrzebujemy więcej. Chociaż w niektórych przypadkach wskazane jest zmniejszenie współrzędnych wektorów kierunkowych:

Tak więc równanie definiuje linię prostą, która jest równoległa do osi, a współrzędne wynikowego wektora kierunkowego są wygodnie dzielone przez –2, otrzymując dokładnie wektor bazowy jako wektor kierunkowy. To logiczne.

Podobnie równanie określa linię prostą równoległą do osi, a dzieląc współrzędne wektora przez 5 otrzymujemy ort jako wektor kierunkowy.

Teraz wykonajmy sprawdź Przykład 3... Przykład poszedł w górę, więc przypominam, że zrobiliśmy w nim równanie prostej wzdłuż punktu i wektora kierunkowego

Najpierw, równaniem prostej przywracamy jej wektor kierunkowy: - wszystko jest w porządku, otrzymaliśmy oryginalny wektor (w niektórych przypadkach może się okazać, że jest współliniowy z oryginalnym wektorem, co zwykle łatwo zauważyć na podstawie proporcjonalności odpowiednich współrzędnych).

Po drugie, współrzędne punktu muszą spełniać równanie. Podstawiamy je do równania:

Uzyskano poprawną równość, z czego bardzo się cieszymy.

Wyjście: Zadanie zostało wykonane poprawnie.

Przykład 4

Zrównaj linię prostą z punktu i wektor kierunkowy

To jest przykład rozwiązania „zrób to sam”. Rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Bardzo wskazane jest przeprowadzenie kontroli zgodnie z rozważanym algorytmem. Zawsze próbuj (jeśli to możliwe) sprawdzić wersję roboczą. Głupotą jest popełnianie błędów tam, gdzie można ich w 100% uniknąć.

W przypadku, gdy jedna ze współrzędnych wektora kierunku ma wartość zero, działają bardzo prosto:

Przykład 5

Rozwiązanie: Formuła nie działa, ponieważ mianownik prawej strony to zero. Jest wyjście! Korzystając z właściwości proporcji przepisujemy formułę w formularzu, a resztę toczymy po głębokiej koleinie:

Odpowiedź:

Badanie:

1) Zrekonstruuj wektor kierunkowy prostej:
- wynikowy wektor jest współliniowy z oryginalnym wektorem kierunku.

2) Podstaw współrzędne punktu do równania:

Uzyskuje się prawidłową równość

Wyjście: zadanie wykonane poprawnie

Powstaje pytanie, po co zawracać sobie głowę formułą, skoro istnieje wersja uniwersalna, która i tak zadziała? Są dwa powody. Najpierw formuła ułamkowa dużo lepiej zapamiętany... Po drugie, brak uniwersalnej formuły polega na tym, że znacznie wzrasta ryzyko pomyłki podczas zastępowania współrzędnych.

Przykład 6

Zrównaj linię prostą wzdłuż punktu i wektora kierunkowego.

To jest przykład rozwiązania „zrób to sam”.

Wróćmy do dwóch wszechobecnych punktów:

Jak zrobić równanie prostej z dwóch punktów?

Jeśli znane są dwa punkty, to równanie prostej przechodzącej przez te punkty można skompilować za pomocą wzoru:

W rzeczywistości jest to rodzaj wzoru i oto dlaczego: jeśli znane są dwa punkty, to wektor będzie wektorem kierunkowym tej prostej. Na lekcji Wektory dla manekinów rozważyliśmy najprostszy problem - jak znaleźć współrzędne wektora przez dwa punkty. Zgodnie z tym problemem współrzędne wektora kierunku:

Notatka : punkty można „zamienić” i można użyć formuły. Takie rozwiązanie byłoby równoważne.

Przykład 7

Zrównaj linię prostą z dwóch punktów .

Rozwiązanie: Używamy wzoru:

Przeczesujemy mianowniki:

I przetasuj talię:

Teraz wygodnie jest pozbyć się liczb ułamkowych. W takim przypadku musisz pomnożyć obie części przez 6:

Otwieramy nawiasy i przypominamy równanie:

Odpowiedź:

Badanie oczywiste - współrzędne pierwotnych punktów muszą odpowiadać wynikowemu równaniu:

1) Zastąp współrzędne punktu:

Prawdziwa równość.

2) Zastąp współrzędne punktu:

Prawdziwa równość.

Wyjście: równanie prostej jest poprawne.

Gdyby przynajmniej jeden punktów nie spełnia równania, poszukaj błędu.

Warto zauważyć, że weryfikacja graficzna w tym przypadku jest trudna, ponieważ można zbudować linię prostą i sprawdzić, czy punkty do niej należą. , nie takie proste.

Zwrócę też uwagę na kilka technicznych aspektów rozwiązania. Być może w tym zadaniu bardziej korzystne jest zastosowanie wzoru lustra i w tych samych punktach zrób równanie:

To są mniejsze frakcje. Jeśli chcesz, możesz śledzić rozwiązanie do końca, a wynikiem powinno być to samo równanie.

Po drugie, przyjrzyj się ostatecznej odpowiedzi i zastanów się, czy można ją jeszcze bardziej uprościć? Na przykład, jeśli otrzymamy równanie, zaleca się zmniejszenie go o dwa: - równanie ustawi tę samą linię prostą. Jest to jednak już temat rozmów względne położenie linii prostych.

Po otrzymaniu odpowiedzi w przykładzie 7 na wszelki wypadek sprawdziłem, czy WSZYSTKIE współczynniki równania są podzielne przez 2, 3 lub 7. Chociaż najczęściej takie redukcje są przeprowadzane nawet podczas rozwiązywania.

Przykład 8

Zrównaj linię prostą przechodzącą przez punkty .

To przykład samodzielnego rozwiązania, które pozwoli Ci tylko lepiej zrozumieć i opracować technikę obliczeniową.

Podobnie jak w poprzednim akapicie: jeśli we wzorze znika jeden z mianowników (współrzędna wektora kierunku), następnie zapisujemy go jako. Znowu zauważ, jak niezręcznie i zagmatwana wygląda. Nie widzę większego sensu w podawaniu praktycznych przykładów, skoro już właściwie rozwiązaliśmy taki problem (patrz nr 5, 6).

Wektor normalny linii (wektor normalny)

Co jest normalne? Mówiąc prościej, normalna to prostopadłość. Oznacza to, że wektor normalny linii jest prostopadły do ​​tej linii. Oczywiście każda linia prosta ma ich nieskończenie wiele (podobnie jak wektory kierunku), a wszystkie wektory normalne linii prostej będą współliniowe (współkierunkowe lub nie - bez różnicy).

Demontaż z nimi będzie jeszcze łatwiejszy niż z wektorami kierunku:

Jeśli prosta jest podana przez ogólne równanie w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor jest wektorem normalnym tej linii.

Jeśli współrzędne wektora kierunkowego trzeba ostrożnie „wyciągnąć” z równania, to współrzędne wektora normalnego są po prostu „usuwane”.

Wektor normalny jest zawsze prostopadły do ​​wektora kierunku prostej. Zweryfikujmy ortogonalność tych wektorów za pomocą produkt kropkowy:

Podam przykłady z takimi samymi równaniami jak dla wektora kierunku:

Czy można utworzyć równanie prostej, znając jeden punkt i wektor normalny? Czujesz to w swoich jelitach. Jeśli znany jest wektor normalny, to kierunek prostej jest jednoznacznie określony - jest to „struktura sztywna” o kącie 90 stopni.

Jak napisać równanie prostej z punktu i wektora normalnego?

Jeżeli znany jest jakiś punkt należący do prostej i jej wektor normalny, wówczas równanie tej prostej wyraża się wzorem:

Tutaj wszystko odbywało się bez ułamków i innych niespodzianek. To jest nasz wektor normalny. Kochaj go. I szacunek =)

Przykład 9

Zrównaj linię prostą wzdłuż punktu i wektor normalny. Znajdź wektor kierunkowy prostej.

Rozwiązanie: Używamy wzoru:

Otrzymano ogólne równanie prostej, sprawdźmy:

1) „Usuń” współrzędne wektora normalnego z równania: - tak, rzeczywiście, oryginalny wektor został uzyskany z warunku (lub należy uzyskać wektor kolinearny).

2) Sprawdź, czy punkt spełnia równanie:

Prawdziwa równość.

Po upewnieniu się, że równanie jest poprawne, wykonamy drugą, łatwiejszą część zadania. Wyciągamy wektor kierunkowy prostej:

Odpowiedź:

Na rysunku sytuacja wygląda tak:

Do celów szkoleniowych podobne zadanie dla samodzielnego rozwiązania:

Przykład 10

Zrównaj linię prostą z punktu i wektor normalny. Znajdź wektor kierunkowy prostej.

Ostatnia część lekcji poświęcona będzie mniej powszechnym, ale również ważnym typom równań prostej na płaszczyźnie.

Równanie prostej w odcinkach.
Równanie prostej w postaci parametrycznej

Równanie prostej w odcinkach ma postać, gdzie są niezerowe stałe. Niektórych typów równań nie da się przedstawić w tej postaci, na przykład bezpośredniej proporcjonalności (ponieważ człon wolny jest równy zero i nie ma możliwości uzyskania go po prawej stronie).

Mówiąc w przenośni, jest to „techniczny” typ równania. Zwykłym zadaniem jest przedstawienie ogólnego równania prostej w postaci równania prostej w odcinkach. Jak to jest wygodne? Równanie prostej w odcinkach pozwala na szybkie znalezienie punktów przecięcia prostej z osiami współrzędnych, co jest bardzo ważne w niektórych zagadnieniach wyższej matematyki.

Znajdź punkt przecięcia linii z osią. Zerujemy „grę” i równanie przyjmuje postać. Żądany punkt jest uzyskiwany automatycznie:.

Podobnie z osią - punkt, w którym linia prosta przecina oś rzędnych.