Mianowicie to, co widzisz w tytule. Zasadniczo jest to „przestrzenny analog” problem ze znalezieniem stycznej oraz normalni do wykresu funkcji jednej zmiennej, a zatem nie powinno być żadnych trudności.

Zacznijmy od kilku podstawowych pytań: CZYM JEST płaszczyzna styczna i CZYM JEST normalna? Wielu zdaje sobie sprawę z tych pojęć na poziomie intuicji. Najprostszym modelem, jaki przychodzi mi do głowy, jest piłka, na której spoczywa cienki płaski kawałek tektury. Karton znajduje się jak najbliżej kuli i dotyka jej w jednym miejscu. Dodatkowo w miejscu styku mocowany jest przez wystającą prosto w górę igłę.

W teorii istnieje dość pomysłowa definicja płaszczyzny stycznej. Wyobraź sobie arbitralny powierzchnia i należący do niego punkt. Oczywiście dużo linie przestrzenne które należą do tej powierzchni. Kto ma jakie skojarzenia? =) ... Osobiście przedstawiłem ośmiornicę. Załóżmy, że każda taka linia ma: styczna przestrzenna w punkcie.

Definicja 1: płaszczyzna styczna na powierzchnię w punkcie jest samolot zawierające styczne do wszystkich krzywych należących do tej powierzchni i przechodzących przez punkt.

Definicja 2: normalna na powierzchnię w punkcie jest prosty przechodzący przez ten punkt prostopadle do płaszczyzny stycznej.

Prosty i elegancki. Swoją drogą, byś nie umarł z nudów z powodu prostoty materiału, nieco później podzielę się z Tobą jednym eleganckim sekretem, który pozwala RAZ NA ZAWSZE zapomnieć o wkuwaniu różnych definicji.

Zapoznamy się ze wzorami działania i algorytmem rozwiązania bezpośrednio na konkretnym przykładzie. W przytłaczającej większości problemów wymagane jest ułożenie zarówno równania płaszczyzny stycznej, jak i równań normalnej:

Przykład 1

Rozwiązanie: jeśli powierzchnia jest dana równaniem (tj. domyślnie), to równanie płaszczyzny stycznej do danej powierzchni w punkcie można znaleźć według następującego wzoru:

Szczególną uwagę zwracam na nietypowe pochodne cząstkowe - ich nie mylić z pochodne cząstkowe funkcji niejawnie określonej (chociaż powierzchnia jest domyślnie określona)... Szukając tych pochodnych, musisz kierować się zasady różniczkowania funkcji trzech zmiennych, to znaczy przy różnicowaniu względem dowolnej zmiennej pozostałe dwie litery są uważane za stałe:

Bez wychodzenia z kasy znajdujemy pochodną cząstkową w punkcie:

Podobnie:

To był najbardziej nieprzyjemny moment decyzji, w którym błąd, jeśli nie jest dozwolony, to ciągle się pojawia. Niemniej jednak istnieje tu skuteczna technika weryfikacji, o której mówiłem na lekcji Pochodna kierunkowa i gradient.

Wszystkie „składniki” zostały znalezione, a teraz do zgrabnej zamiany z dalszymi uproszczeniami:

– ogólne równanie wymagana płaszczyzna styczna.

Zdecydowanie polecam sprawdzić również ten etap rozwiązania. Najpierw musisz się upewnić, że współrzędne punktu styku naprawdę spełniają znalezione równanie:

- prawdziwa równość.

Teraz „usuwamy” współczynniki ogólnego równania płaszczyzny i sprawdzamy je pod kątem zbieżności lub proporcjonalności z odpowiednimi wartościami. W tym przypadku są proporcjonalne. Czy pamiętasz z kurs geometrii analitycznej, - to jest wektor normalny płaszczyzna styczna, a to jest - wektor kierunkowy normalna linia prosta. skomponujmy równania kanoniczne normalne według wektora punktu i kierunku:

W zasadzie mianowniki można pomniejszyć o „dwa”, ale nie ma do tego specjalnej potrzeby

Odpowiedź:

Nie jest jednak zabronione oznaczanie równań niektórymi literami, jednak znowu - dlaczego? Tutaj i tak jest niezwykle jasne, co jest czym.

Kolejne dwa przykłady dotyczą samopomocy. Mały „łamacz języka matematycznego”:

Przykład 2

Znajdź równania płaszczyzny stycznej i normalnej do powierzchni w punkcie.

I ciekawe z technicznego punktu widzenia zadanie:

Przykład 3

Napisz równania dla płaszczyzny stycznej i normalnej do powierzchni w punkcie

W punkcie.

Istnieje wiele szans nie tylko na pomylenie, ale także na stawienie czoła trudnościom podczas nagrywania kanoniczne równania linii... A równania normalności, jak zapewne zrozumiałeś, są zwykle zapisywane w tej formie. Chociaż, z powodu zapomnienia lub nieznajomości niektórych niuansów, forma parametryczna jest więcej niż akceptowalna.

Przykładowe przykłady rozwiązań wykończeniowych na koniec lekcji.

Czy w dowolnym punkcie powierzchni istnieje płaszczyzna styczna? Generalnie oczywiście nie. Klasycznym przykładem jest powierzchnia stożkowa i punkt - styczne w tym miejscu tworzą bezpośrednio powierzchnię stożkową i oczywiście nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Łatwo jest przekonać się o kłopotach analitycznie:.

Innym źródłem problemów jest fakt nieistnienie dowolna pochodna cząstkowa w punkcie. Nie oznacza to jednak, że w danym punkcie nie ma jednej płaszczyzny stycznej.

Ale była to bardziej prawdopodobnie popularnonaukowa niż praktycznie istotna informacja i wracamy do naszych codziennych spraw:

Jak pisać równania na płaszczyznę styczną i normalną w punkcie,
jeśli powierzchnia jest podana przez funkcję jawną?

Przepiszmy to domyślnie:

I według tych samych zasad znajdziemy pochodne cząstkowe:

W ten sposób wzór na płaszczyznę styczną przekształca się w następujące równanie:

I odpowiednio, kanoniczne równania normalne:

Jak można się domyślić, - to już są "prawdziwe" pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych w miejscu, które używaliśmy do oznaczenia literą „z” i znaleźliśmy 100 500 razy.

Zauważ, że w tym artykule wystarczy zapamiętać pierwszą formułę, z której w razie potrzeby łatwo wyprowadzić wszystko inne. (co zrozumiałe, mając podstawowy poziom wyszkolenia)... Jest to podejście, które powinno być stosowane w nauce nauk ścisłych, tj. z minimum informacji należy dążyć do „wyciągnięcia” maksimum wniosków i konsekwencji. "Soobrazhalovka" i już istniejąca wiedza, aby pomóc! Ta zasada jest również przydatna, ponieważ prawdopodobnie uratuje cię w krytycznej sytuacji, gdy niewiele wiesz.

Opracujmy „zmodyfikowane” formuły na kilku przykładach:

Przykład 4

Napisz równania dla płaszczyzny stycznej i normalnej do powierzchni w punkcie.

Tu mała nakładka okazała się z oznaczeniami - teraz litera oznacza punkt na płaszczyźnie, ale co robić - taka popularna litera….

Rozwiązanie: równanie wymaganej płaszczyzny stycznej jest zestawiane ze wzoru:

Obliczmy wartość funkcji w punkcie:

Policzmy Instrumenty pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w tym momencie:

Zatem:

ostrożnie, bez pośpiechu:

Zapisujemy kanoniczne równania normy w punkcie:

Odpowiedź:

I ostatni przykład rozwiązania „zrób to sam”:

Przykład 5

Napisz równania dla płaszczyzny stycznej i normalnej do powierzchni w punkcie.

Ostatnia - bo właściwie wyjaśniłem wszystkie punkty techniczne i nie ma nic specjalnego do dodania. Nawet same funkcje, oferowane w tym zadaniu, są nudne i monotonne – w praktyce jest prawie pewne, że natkniesz się na „wielomian”, aw tym sensie przykład nr 2 z wykładnikiem wygląda jak „czarna owca”. Nawiasem mówiąc, jest znacznie bardziej prawdopodobne, że zmierzy się z powierzchnią podaną przez równanie, i to jest kolejny powód, dla którego funkcja została uwzględniona w artykule "druga liczba".

I wreszcie obiecany sekret: jak uniknąć wkuwania definicji? (Ja oczywiście nie mam na myśli sytuacji, w której student gorączkowo wkuwa coś przed egzaminem)

Definicja jakiegokolwiek pojęcia/zjawiska/przedmiotu daje przede wszystkim odpowiedź na pytanie: CO TO JEST? (kto / taki / taki / taki). Świadomie odpowiadając na to pytanie, powinieneś spróbować się zastanowić niezbędny oznaki, jednoznacznie identyfikowanie tego lub innego pojęcia/zjawiska/przedmiotu. Tak, na początku okazuje się to nieco zapętlone, niedokładne i zbędne (nauczyciel poprawi =)), ale z czasem rozwija się całkowicie godna naukowa mowa.

Ćwicz na najbardziej abstrakcyjnych przedmiotach, na przykład odpowiedz na pytanie: kim jest Cheburashka? To nie takie proste ;-) Czy to „bajkowa postać z dużymi uszami, oczami i brązowymi włosami”? Daleko i bardzo daleko od definicji – nigdy nie wiadomo, że są postacie o takich cechach…. Ale to już jest znacznie bliższe definicji: „Cheburashka to postać wymyślona przez pisarza Eduarda Uspienskiego w 1966 roku, który ... (wyliczenie głównych cech wyróżniających)”... Zwróć uwagę, jak dobrze się zaczęło

1°

1°. Równania płaszczyzny stycznej i normalnej dla przypadku jednoznacznego określenia powierzchni.

Rozważ jedno z geometrycznych zastosowań pochodnych cząstkowych funkcji dwóch zmiennych. Niech funkcja z = F (x;y) różniczkowalna w punkcie (x 0; o 0) jakiś obszar DÎ R 2... Przetnijmy powierzchnię S, funkcja obrazowania z, samoloty x = x 0 oraz r = r 0(rys. 11).

Samolot NS = x 0 przecina powierzchnię S wzdłuż jakiejś linii z 0 (y), którego równanie otrzymuje się, podstawiając pierwotną funkcję do wyrażenia z ==F (x;y) zamiast NS liczby x 0. Punkt M 0 (x 0;r 0,F (x 0;y 0)) należy do krzywej z 0 (y). Z racji funkcji różniczkowalnej z w punkcie M 0 funkcjonować z 0 (y) jest również różniczkowalna w punkcie r = r 0. Dlatego w tym momencie w samolocie x = x 0 do krzywej z 0 (y) można narysować styczną l 1.

Przeprowadzenie podobnego rozumowania dla sekcji w = o 0, zbuduj styczną l 2 do krzywej z 0 (x) w punkcie NS = x 0 - Bezpośredni 1 1 oraz 1 2 zdefiniuj samolot o nazwie płaszczyzna styczna na powierzchnię S w punkcie M 0.

Zróbmy jej równanie. Ponieważ samolot przelatuje przez punkt Pn (x 0;y 0;z 0), wtedy jego równanie można zapisać w postaci

A (x - xo) + B (y - yo) + C (z - zo) = 0,

które można przepisać w ten sposób:

z -z 0 = A 1 (x - x 0) + B 1 (y - y 0) (1)

(dzielenie równania przez -C i oznaczanie ).

Odnaleźć 1 i B1.

Równania styczne 1 1 oraz 1 2 mieć formę

odpowiednio.

Tangens l 1 leży w samolocie a , dlatego współrzędne wszystkich punktów l 1 spełniają równanie (1). Ten fakt można zapisać jako system

Uzyskujemy to rozwiązując ten układ względem B 1. Przeprowadzając podobne rozumowanie dla stycznej l 3, łatwo to ustalić.

Podstawianie wartości 1 i B 1 do równania (1), otrzymujemy wymagane równanie płaszczyzny stycznej:

Linia przez punkt M 0 i prostopadła do płaszczyzny stycznej zbudowanej w tym punkcie powierzchni nazywamy its normalna.

Korzystając z warunku prostopadłości prostej i płaszczyzny, łatwo jest uzyskać kanoniczne równania normalnej:

Komentarz. Wzory na płaszczyznę styczną i normalną do powierzchni uzyskuje się dla zwykłych, czyli nieosobliwych punktów powierzchni. Punkt M 0 powierzchnia nazywa się specjalny, jeśli w tym momencie wszystkie pochodne cząstkowe są równe zeru lub przynajmniej jedna z nich nie istnieje. Nie bierzemy pod uwagę takich punktów.

Przykład. Napisz równania płaszczyzny stycznej i normalnej do powierzchni w jej punkcie M (2; -1; 1).

Rozwiązanie. Znajdźmy pochodne cząstkowe tej funkcji i ich wartości w punkcie M

Stosując zatem wzory (2) i (3) otrzymamy: z-1 = 2 (x-2) +2 (y + 1) lub 2x + 2y-z-1 = 0- równanie płaszczyzny stycznej i - równania normalne.

2 °. Równania płaszczyzny stycznej i normalnej dla przypadku niejawnej definicji powierzchni.

Jeśli powierzchnia S podane przez równanie F (x; y;z)= 0, to równania (2) i (3), biorąc pod uwagę fakt, że pochodne cząstkowe można znaleźć jako pochodne funkcji uwikłanej.

Równanie płaszczyzny normalnej

1.

4.

Płaszczyzna styczna i normalna powierzchnia

Niech zostanie podana powierzchnia, A jest stałym punktem powierzchni, a B jest zmiennym punktem powierzchni,

(rys. 1).

Wektor niezerowy

→

n

nazywa wektor normalny do powierzchni w punkcie A, jeśli

Lim B → A j = π 2 .

Punkt na powierzchni F (x, y, z) = 0 nazywamy zwykłym, jeśli w tym punkcie

1. pochodne cząstkowe F „x, F” y, F „z są ciągłe;
2. (F "x) 2 + (F" y) 2 + (F "z) 2 0.

Jeśli co najmniej jeden z tych warunków zostanie naruszony, punkt na powierzchni nazywa się osobliwy punkt powierzchni .

Twierdzenie 1. Jeśli M (x 0, y 0, z 0) jest zwykłym punktem powierzchni F (x, y, z) = 0, to wektor

→ n = stopień F (x 0, y 0, z 0) = F "x (x 0, y 0, z 0) → i + F "y (x 0, y 0, z 0) → J + F "z (x 0, y 0, z 0) → k

(1)

jest normalna do tej powierzchni w punkcie M (x 0, y 0, z 0).

Dowód podane w książce I.M. Pietruszki, LA Kuzniecow, W.I. Prochorenko, W.F. Safonova `` Kurs matematyki wyższej: Rachunek całkowy. Funkcje kilku zmiennych. Równania różniczkowe. Moskwa: Wydawnictwo MPEI, 2002 (s. 128).

Normalny do powierzchni w pewnym momencie nazywa się to linią prostą, której wektor kierunku jest w tym punkcie normalny do powierzchni i przechodzi przez ten punkt.

Kanoniczny równania normalne można przedstawić jako

x-x 0 F "x (x 0, y 0, z 0) = r - r 0 F "y (x 0, y 0, z 0) = z - z 0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

Płaszczyzna styczna do powierzchni w pewnym punkcie nazywana jest płaszczyzną, która przechodzi przez ten punkt prostopadle do normalnej do powierzchni w tym punkcie.

Z tej definicji wynika, że równanie płaszczyzny stycznej wygląda jak:

(3)

Jeśli punkt na powierzchni jest pojedynczy, to w tym punkcie wektor normalny do powierzchni może nie istnieć, a zatem powierzchnia może nie mieć płaszczyzny normalnej i stycznej.

Geometryczne znaczenie różniczki całkowitej funkcji dwóch zmiennych

Niech funkcja z = f (x, y) będzie różniczkowalna w punkcie a (x 0, y 0). Jego wykresem jest powierzchnia

f (x, y) - z = 0.

Wstawiamy z 0 = f (x 0, y 0). Wtedy punkt A (x 0, y 0, z 0) należy do powierzchni.

Pochodne cząstkowe funkcji F (x, y, z) = f (x, y) - z są

F „x = f” x, F „y = f” y, F „z = - 1

i w punkcie A (x 0, y 0, z 0)

1. są ciągłe;
2. F „2 x + F” 2 r + F „2 z = f” 2 x + f „2 r + 1 ≠ 0.

Dlatego A jest zwykłym punktem powierzchni F (x, y, z) iw tym punkcie znajduje się płaszczyzna styczna do powierzchni. Zgodnie z (3) równanie płaszczyzny stycznej ma postać:

f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0) - (z - z 0) = 0.

Przemieszczenie pionowe punktu na płaszczyźnie stycznej przy przejściu z punktu a (x 0, y 0) do dowolnego punktu p (x, y) wynosi B Q (rys. 2). Odpowiedni przyrost to

(z - z 0) = f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)

Po prawej stronie jest dyferencjał D z funkcji z = f (x, y) w punkcie a (x 0, x 0). Stąd,
D f (x 0, y 0). jest przyrostem przyłożenia punktu stycznej płaszczyzny do wykresu funkcji f (x, y) w punkcie (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

Z definicji różniczki wynika, że ​​odległość między punktem P na wykresie funkcji a punktem Q na płaszczyźnie stycznej jest nieskończenie mała i wyższego rzędu niż odległość od punktu p do punktu a.

Definicja. Punkt leżący na powierzchni drugiego rzędu, określonej względem GDSK przez ogólne równanie (1), nazywamy nieosobliwym, jeśli spośród trzech liczb: jest co najmniej jedna, która nie jest równa zeru.

Zatem punkt leżący na powierzchni drugiego rzędu nie jest osobliwy wtedy i tylko wtedy, gdy jest jego środkiem, w przeciwnym razie, gdy powierzchnia jest stożkowa, a punkt jest wierzchołkiem tej powierzchni.

Definicja. Linia styczna do powierzchni drugiego rzędu w danym punkcie nieosobliwym jest linią prostą przechodzącą przez ten punkt, przecinającą powierzchnię drugiego rzędu w punkcie podwójnym lub będącą prostoliniową tworzącą powierzchni.

Twierdzenie 3. Linie styczne do powierzchni drugiego rzędu w danym punkcie nieosobliwym leżą na jednej płaszczyźnie, zwanej płaszczyzną styczną do powierzchni w danym punkcie. Równanie płaszczyzny stycznej ma

Dowód. Niech będą równaniami parametrycznymi prostej przechodzącej przez punkt nieosobliwy na powierzchni drugiego rzędu, danym równaniem (1). Podstawiając do równania (1), zamiast ,,, otrzymujemy:

Ponieważ punkt leży na powierzchni (1), znajdujemy również z równania (3) (ta wartość odpowiada punktowi). Aby punkt przecięcia linii prostej z powierzchnią (1) był podwójny lub aby linia prosta leżała całkowicie na powierzchni, konieczne i wystarczające jest, aby równość zachowała:

Jeśli w tym samym czasie:

Punkt przecięcia prostej z powierzchnią (1) jest podwójny. Co jeśli:

Następnie cała linia leży na powierzchni (1).

Z relacji (4) i, wynika, że ​​współrzędne n dowolnego punktu leżącego na dowolnej stycznej do powierzchni (1) spełniają równanie:

I odwrotnie, jeśli współrzędne dowolnego punktu innego niż spełniają to równanie, to współrzędne wektorów spełniają zależność (4), co oznacza, że ​​prosta jest styczna do rozważanej powierzchni.

Ponieważ punkt jest nieosobliwym punktem na powierzchni (1), to wśród liczb znajduje się co najmniej jedna, która nie jest równa zeru; wtedy równanie (5) jest równaniem pierwszego stopnia względem. Jest to równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni (1) w danym nieosobliwym punkcie na niej.

W oparciu o kanoniczne równania powierzchni drugiego rzędu łatwo jest skomponować równania płaszczyzn stycznych do elipsoidy, hiperboloidy itp. w danym punkcie na nich.

1). Płaszczyzna styczna do elipsoidy:

2). Płaszczyzna styczna do hiperboloidów jedno- i dwuarkuszowych:

3). Płaszczyzna styczna do paraboloidy eliptycznej i hiperbolicznej:

§ 161. Przecięcie płaszczyzny stycznej z powierzchnią drugiego rzędu.

Przyjmiemy nieosobliwy punkt powierzchni drugiego rzędu jako początek współrzędnych ODSK, oś i umieścimy go w płaszczyźnie stycznej do powierzchni w punkcie. Wówczas w ogólnym równaniu powierzchni (1) wyraz swobodny jest równy zero:, a równanie płaszczyzny stykającej się z powierzchnią w początku współrzędnych powinno mieć postać:.

Ale równanie płaszczyzny przechodzącej przez początek ma postać:.

A ponieważ to równanie musi być równoważne równaniu, to….

Zatem w wybranym układzie współrzędnych równanie powierzchni (1) powinno mieć postać:

I odwrotnie, jeśli, to równanie (6) jest równaniem powierzchni przechodzącej przez początek, a płaszczyzna jest płaszczyzną styczną do tej powierzchni w punkcie. Równanie prostej, wzdłuż której płaszczyzna styczna do powierzchni w punkcie przecina powierzchnię (6), ma postać:

Gdyby . Jest to niezmiennik w teorii niezmienników dla linii drugiego rzędu. Równanie (7)

To jest druga linia zamówienia. Forma tej linii jest niezmienna, dlatego:

Kiedy, oto dwie wyimaginowane przecinające się proste linie.

W - dwie prawdziwe przecinające się linie proste.

Jeżeli ale co najmniej jeden ze współczynników ,, nie jest równy zero, to linia przecięcia (7) składa się z dwóch pokrywających się linii prostych.

Wreszcie, jeśli, to samolot

jest częścią tej powierzchni, a sama powierzchnia dzieli się na parę płaszczyzn

§ 162. Eliptyczne, hiperboliczne lub paraboliczne punkty powierzchni drugiego rzędu.

1. Niech płaszczyzna styczna do powierzchni drugiego rzędu w punkcie przecina ją wzdłuż dwóch wyimaginowanych przecinających się linii prostych. W tym przypadku punkt nazywany jest eliptycznym punktem powierzchni.

2. Niech płaszczyzna styczna do powierzchni drugiego rzędu w punkcie przecina ją wzdłuż dwóch rzeczywistych linii prostych przecinających się w punkcie styczności. W tym przypadku punkt nazywany jest punktem hiperbolicznym powierzchni.

3. Niech płaszczyzna styczna do powierzchni drugiego rzędu w punkcie przecina ją wzdłuż dwóch zbiegających się linii prostych. W tym przypadku punkt nazywany jest punktem parabolicznym powierzchni.

Twierdzenie 4. Niech powierzchnia drugiego rzędu względem ODSK będzie dana równaniem (1), a dane równanie (1) będzie równaniem rzeczywistej niezanikającej powierzchni drugiego rzędu. A następnie, jeśli; wtedy wszystkie punkty powierzchni są eliptyczne.

Dowód. Wprowadźmy nowy układ współrzędnych, wybierając jako początek współrzędnych dowolny nieosobliwy punkt danej powierzchni i umieszczając w tym punkcie osie i w płaszczyźnie stycznej do powierzchni. Równanie (1) w nowym układzie współrzędnych zostaje przekształcone do postaci:

Gdzie . Obliczmy niezmiennik tego równania.

Ponieważ podczas przejścia z jednego ODSK do drugiego ODSK znak się nie zmienia, to znaki są przeciwne, a więc jeśli, to; i, jak wynika z klasyfikacji (patrz § 161), płaszczyzna styczna do powierzchni w punkcie przecina powierzchnię wzdłuż dwóch urojonych przecinających się linii, tj. - punkt eliptyczny.

2) Hiperboloid jednoarkuszowy i paraboloid hiperboliczny składają się z punktów hiperbolicznych.

3) Rzeczywisty stożek drugiego rzędu (wierzchołek jest wykluczony), cylindry eliptyczne (rzeczywiste), hiperboliczne i paraboliczne składają się z punktów parabolicznych.

Cylinder paraboliczny.

Aby określić położenie cylindra parabolicznego, wystarczy wiedzieć:

1) płaszczyzna symetrii równoległa do tworzącej cylindra;

2) płaszczyzna styczna do walca, prostopadła do tej płaszczyzny symetrii;

3) wektor prostopadły do ​​tej płaszczyzny stycznej i skierowany w stronę wklęsłości walca.

Jeśli równanie ogólne definiuje walec paraboliczny, można je przepisać jako:

Wybierzemy m aby samolot

byłoby wzajemnie prostopadłe:

Z tą wartością m samolot

będzie płaszczyzną symetrii równoległą do tworzącej cylindra.

Samolot

będzie płaszczyzną styczną do walca, prostopadłą do określonej płaszczyzny symetrii, a wektorem

będzie prostopadła do znalezionej płaszczyzny stycznej i skierowana w kierunku wklęsłości walca.

Płaszczyzny styczne odgrywają dużą rolę w geometrii. Konstrukcja płaszczyzn stycznych jest w praktyce ważna, ponieważ ich obecność pozwala określić kierunek normalnej do powierzchni w punkcie styczności. Problem ten jest szeroko stosowany w praktyce inżynierskiej. Płaszczyzny styczne są również używane do konstruowania konturów geometrycznych kształtów ograniczonych zamkniętymi powierzchniami. W kategoriach teoretycznych płaszczyzny styczne do powierzchni są używane w geometrii różniczkowej do badania właściwości powierzchni w pobliżu punktu styczności.

Podstawowe pojęcia i definicje

Płaszczyzna styczna do powierzchni powinna być traktowana jako położenie graniczne siecznej płaszczyzny (analogicznie do linii prostej stycznej do krzywej, która jest również określana jako położenie graniczne siecznej płaszczyzny).

Płaszczyzna styczna do powierzchni w danym punkcie na powierzchni to zbiór wszystkich linii prostych - stycznych ciągniętych do powierzchni przez dany punkt.

W geometrii różniczkowej udowodniono, że wszystkie styczne do powierzchni narysowanej w zwykłym punkcie są współpłaszczyznowe (należą do tej samej płaszczyzny).

Zobaczmy, jak rysowana jest linia styczna do powierzchni. Styczna t do powierzchni β w punkcie M określonym na powierzchni (rys. 203) reprezentuje położenie graniczne siecznej lj przecinającej powierzchnię w dwóch punktach (MM 1, MM 2, ..., MM n), gdy punkty przecięcia pokrywają się (M ≡ M n, ln ≡ l M). Oczywiście (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, ponieważ g ⊂ β. Z powyższego wynika następująca definicja: styczna do powierzchni to linia prosta styczna do dowolnej krzywej należącej do powierzchni.

Ponieważ płaszczyznę wyznaczają dwie przecinające się proste, to aby w danym punkcie określić płaszczyznę styczną do powierzchni, wystarczy przeciągnąć przez ten punkt dwie dowolne linie należące do powierzchni (najlepiej o prostym kształcie) i do każdej z nich. z nich konstruują styczne w punkcie przecięcia tych prostych... Skonstruowane styczne jednoznacznie definiują płaszczyznę styczną. Wizualne przedstawienie rysunku płaszczyzny α, stycznej do powierzchni β w danym punkcie M, przedstawiono na rys. 204. Ta figura pokazuje również normalną n do powierzchni β.

Normalna do powierzchni w danym punkcie jest linią prostą prostopadłą do płaszczyzny stycznej i przechodzącą przez punkt styczności.

Linia przecięcia powierzchni z płaszczyzną przechodzącą przez normalną nazywana jest normalną sekcją powierzchni. W zależności od rodzaju powierzchni, płaszczyzna styczna może mieć jeden lub wiele punktów (linii) z powierzchnią. Linia styczna może być jednocześnie linią przecięcia powierzchni z płaszczyzną.

Możliwe są również przypadki, gdy na powierzchni znajdują się punkty, w których nie można narysować stycznej do powierzchni; takie punkty nazywane są specjalnymi. Przykładem punktów osobliwych są punkty należące do krawędzi powrotu powierzchni tułowia lub punkt przecięcia południka powierzchni obrotu z jego osią, jeśli południk i oś nie przecinają się pod kątem prostym.

Rodzaje styczności zależą od charakteru krzywizny powierzchni.

Krzywizna powierzchni

Zagadnieniami krzywizny powierzchni zajmował się francuski matematyk F. Dupin (1784-1873), który zaproponował wizualny sposób zobrazowania zmiany krzywizny normalnych odcinków powierzchni.

W tym celu w płaszczyźnie stycznej do rozważanej powierzchni w punkcie M (ryc. 205, 206) na stycznych do normalne sekcje po obu stronach tego punktu. Zbiór punktów - końce odcinków wyznaczają krzywą zwaną Wskaźnik Dupina... Algorytm konstruowania wskaźnika Dupina (ryc. 205) można zapisać:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √ (R l 1), = √ (R l 2), ..., = √ (R l n)

gdzie R jest promieniem krzywizny.

(A 1 ∪ А 2 ∪ ... ∪ А n) jest wskaźnikiem Dupina.

Jeśli wskaźnikiem Dupina powierzchni jest elipsa, wówczas punkt M nazywamy eliptyczną, a powierzchnię nazywamy powierzchnią z punktami eliptycznymi(rys. 206). W tym przypadku płaszczyzna styczna ma tylko jeden punkt wspólny z powierzchnią, a wszystkie linie należące do powierzchni i przecinające się w rozważanym punkcie znajdują się po jednej stronie płaszczyzny stycznej. Przykładami powierzchni z punktami eliptycznymi są: paraboloida obrotu, elipsoida obrotu, kula (w tym przypadku wskaźnik Dupina to okrąg itp.).

Podczas rysowania płaszczyzny stycznej do powierzchni tułowia, płaszczyzna dotknie tej powierzchni wzdłuż prostej tworzącej. Punkty tej linii nazywają się paraboliczna, a powierzchnia jest powierzchnią z parabolicznymi punktami... Wskaźnikiem Dupina w tym przypadku są dwie równoległe linie proste (ryc. 207 *).

Na ryc. 208 przedstawia powierzchnię składającą się z punktów, w których

* Krzywa drugiego rzędu - parabola - w pewnych warunkach może się rozdzielić na dwie rzeczywiste równoległe linie proste, dwie urojone równoległe linie proste, dwie pokrywające się linie proste. Na ryc. 207 mamy do czynienia z dwiema rzeczywistymi równoległymi liniami.

Płaszczyzna styczna przecina powierzchnię. Taka powierzchnia nazywa się hiperboliczny i należące do niego punkty - punkty hiperboliczne. Indicatrix Dupina w tym przypadku jest hiperbolą.

Powierzchnia, której wszystkie punkty są hiperboliczne, ma kształt siodła (płaszczyzna ukośna, hiperboloida jednoarkuszowa, wklęsłe powierzchnie obrotowe itp.).

Jedna powierzchnia może mieć różne typy punktów, na przykład na powierzchni tułowia (ryc. 209) punkt M jest eliptyczny; punkt N - paraboliczny; punkt K jest hiperboliczny.

W toku geometrii różniczkowej udowodniono, że odcinki normalne, w których wartości krzywizny K j = 1 / R j (gdzie R j jest promieniem krzywizny rozpatrywanego odcinka) mają wartości skrajne, znajdują się w dwóch płaszczyzny wzajemnie prostopadłe.

Takie krzywizny K 1 = 1 / R max. K 2 = 1 / R min nazywane są głównymi, a wartości H = (K 1 + K 2) / 2 i K = K 1 K 2 są odpowiednio średnią krzywizną powierzchni i całkowitą (gaussowską) krzywizna powierzchni w rozważanym punkcie. Dla punktów eliptycznych K> 0, punkty hiperboliczne K

Określanie płaszczyzny stycznej do powierzchni na wykresie Mongea

Poniżej, na konkretnych przykładach, pokazujemy konstrukcję płaszczyzny stycznej do powierzchni z punktami eliptycznymi (przykład 1), parabolicznymi (przykład 2) i hiperbolicznymi (przykład 3).

PRZYKŁAD 1. Skonstruuj płaszczyznę α, styczną do powierzchni obrotu β, z punktami eliptycznymi. Rozważ dwie możliwości rozwiązania tego problemu: a) punkt М ∈ β oraz b) punkt М ∉ β

Opcja a (Rys. 210).

Płaszczyzna styczna jest określona przez dwie styczne t 1 i t 2 narysowane w punkcie M do równoleżnika i południka powierzchni β.

Rzuty stycznej t 1 do równoległego h powierzchni β będą miały postać t "1 ⊥ (S" M ") it" 1 || oś X. Rzut poziomy stycznej t „2 do południka d powierzchni β przechodzącego przez punkt M pokrywa się z rzutem poziomym południka. Aby znaleźć rzut czołowy stycznej t” 2, płaszczyzna południkowa γ (γ ∋ М) obracając się wokół osi powierzchni β przekłada się na pozycję γ 1 równoległą do płaszczyzny π 2. W tym przypadku punkt M → M 1 (M "1, M" 1). Rzut stycznej t "2 rarr; t" 2 1 jest zdefiniowany (M "1 S"). Jeśli teraz przywrócimy płaszczyznę γ 1 do jej pierwotnego położenia, wówczas punkt S "pozostanie na miejscu (jako należący do osi obrotu), a M" 1 → M "oraz przedni rzut stycznej t" 2 będą być określony (M "S")

Dwie styczne t 1 i t 2 przecinające się w punkcie М ∈ β definiują płaszczyznę α styczną do powierzchni β.

Opcja b (rys. 211)

Aby skonstruować płaszczyznę styczną do powierzchni przechodzącą przez punkt, który nie należy do powierzchni, należy postępować zgodnie z następującymi rozważaniami: zbiór płaszczyzn stycznych do powierzchni może być poprowadzony przez punkt na zewnątrz powierzchni składający się z punktów eliptycznych. Otoczenie tych powierzchni będzie pewną powierzchnią stożkową. Dlatego jeśli nie ma dodatkowych instrukcji, to problem ma wiele rozwiązań iw tym przypadku sprowadza się do rysowania powierzchni stożkowej γ stycznej do tej powierzchni β.

Na ryc. 211 przedstawia budowę powierzchni stożkowej γ stycznej do sfery β. Każda płaszczyzna α styczna do powierzchni stożkowej γ będzie styczna do powierzchni β.

Aby skonstruować rzuty powierzchni γ z punktów M „i M”, narysuj styczne do okręgów h „i f” - rzuty kuli. Zaznacz punkty dotykowe 1 (1" i 1"), 2 (2" i 2"), 3 (3" i 3") oraz 4 (4" i 4"). Rzut poziomy okręgu - linia styczna powierzchni stożka i kuli będzie rzutowana w [1 "2"] Aby znaleźć punkty elipsy, na które ten okrąg będzie rzutowany na płaszczyznę rzutu czołowego, użyj równoleżników kula.

Na ryc. 211 w ten sposób wyznacza się rzuty czołowe punktów E i F (E „i F”). Mając powierzchnię stożkową γ, konstruujemy do niej płaszczyznę styczną α. Charakter i kolejność grafiki

Konstrukcje, które należy w tym celu wykonać, pokazano w poniższym przykładzie.

PRZYKŁAD 2 Skonstruuj płaszczyznę α styczną do powierzchni β z punktami parabolicznymi

Jak w przykładzie 1, rozważ dwie opcje rozwiązania: a) punkt N ∈ β; b) punkt N ∉ β

Opcja a (Rysunek 212).

Powierzchnia stożkowa odnosi się do powierzchni z punktami parabolicznymi (patrz ryc. 207.) Płaszczyzna styczna do powierzchni stożkowej dotyka jej wzdłuż tworzącej prostoliniowej.

1) przeciągnij generator SN (S „N” i S „N”) przez ten punkt N;

2) zaznaczyć punkt przecięcia tworzącej (SN) prowadnicą d: (SN) ∩ d = A;

3) nawija styczną t do d w punkcie A.

Generator (SA) i przecinająca go styczna t definiują płaszczyznę α styczną do powierzchni stożkowej β w danym punkcie N *.

Aby narysować płaszczyznę α, styczną do powierzchni stożkowej β i przechodzącą przez punkt N, nie należy

* Ponieważ powierzchnia β składa się z punktów parabolicznych (z wyjątkiem wierzchołka S), płaszczyzna α styczna do niej będzie miała wspólny nie jeden punkt N, ale prostą (SN).

na danej powierzchni konieczne jest:

1) narysuj linię prostą a (a „i a”) przez dany punkt N i wierzchołek S powierzchni stożkowej β;

2) wyznaczyć poziomy ślad tej prostej Ha;

3) przez H narysuj styczne t "1 i t" 2 krzywej h 0β - poziomy ślad powierzchni stożkowej;

4) połącz punkty styczności A (A "i A") i B (B "i B") z wierzchołkiem powierzchni stożkowej S (S "i S").

Przecinające się proste t 1, (AS) i t 2, (BS) definiują poszukiwane płaszczyzny styczne α 1 i α 2

PRZYKŁAD 3. Skonstruuj płaszczyznę α styczną do powierzchni β z punktami hiperbolicznymi.

Punkt K (ryc. 214) znajduje się na powierzchni globoidy (wewnętrzna powierzchnia pierścienia).

Aby określić położenie płaszczyzny stycznej α, konieczne jest:

1) przeciągnij przez punkt K a równolegle do powierzchni β h (h ”, h”);

2) przez punkt K „narysuj styczną t” 1 (t „1 ≡ h”);

3) w celu wyznaczenia kierunków rzutów stycznej do przekroju południkowego należy narysować płaszczyznę γ przez punkt K i oś powierzchni, rzut poziomy t "2 pokrywa się z h 0γ; w celu skonstruowania rzutu czołowego stycznej t" 2, najpierw przesuwamy płaszczyznę γ obracając ją wokół osi powierzchni obrotu do położenia γ 1 || π 2. W tym przypadku południkowy przekrój płaszczyzny γ zostanie połączony z lewym łukiem obrysu rzutu czołowego - półkolem g ”.

Punkt K (K ", K"), należący do krzywej przekroju południkowego, przesunie się do pozycji K 1 (K "1, K" 1). Poprzez K "1 narysujemy rzut czołowy stycznej t" 2 1, zrównanej z płaszczyzną γ 1 || π 2 ustaw i zaznacz punkt jej przecięcia z przednim rzutem osi obrotu S "1. Przywróć płaszczyznę γ 1 do jej pierwotnego położenia, punkt K" 1 → K "(punkt S" 1 ≡ S "). Rzut czołowy stycznej t" 2 wyznaczają punkty K "i S".

Styczne t1 i t2 definiują pożądaną płaszczyznę styczną α, która przecina powierzchnię β wzdłuż krzywej l.

PRZYKŁAD 4. Skonstruuj płaszczyznę α, styczną do powierzchni β w punkcie K. Punkt K znajduje się na powierzchni jednoarkuszowej hiperboloidy obrotowej (rys. 215).

Problem ten można rozwiązać stosując się do algorytmu użytego w poprzednim przykładzie, ale biorąc pod uwagę, że powierzchnia jednoarkuszowej hiperboloidy obrotowej jest powierzchnią rządzoną, która ma dwie rodziny generatorów prostoliniowych, a każdy z generatorów jednego rodzina przecina wszystkie generatory drugiej rodziny (patrz § 32, ryc. 138). Przez każdy punkt tej powierzchni można poprowadzić dwie przecinające się proste - generatory, które będą jednocześnie styczne do powierzchni jednoarkuszowej hiperboloidy obrotu.

Te styczne określają płaszczyznę styczną, to znaczy płaszczyzna styczna do powierzchni jednoarkuszowej hiperboloidy obrotu przecina tę powierzchnię wzdłuż dwóch linii prostych g 1 i g 2. Aby skonstruować rzuty tych prostych, wystarczy przenieść rzut poziomy punktu K, aby przenieść styczne t "1 i t" 2 na horyzont.

rzut lokalny okręgu d "2 - gardziel powierzchni jednoarkuszowej hiperboloidy obrotowej; wyznacz punkty 1" i 2, w których t "1 i t" 2 przecinają się z powierzchniami prowadzącymi d 1. Dla 1 "i 2" znajdujemy 1 "i 2", które razem z K "określają rzuty czołowe poszukiwanych linii prostych.