Całki i ich własności. Podstawowe własności całki nieoznaczonej

Główne zadanie rachunku różniczkowego jest znajdowanie pochodnej F '(x) lub różnicowy df =F '(x)dx Funkcje F (x). W rachunku całkowym rozwiązano problem odwrotny. Dla danej funkcji F (x) wymagane jest znalezienie takiej funkcji F (x), Co F '(x) =F (x) lub dF (x) =F '(x)dx =F (x)dx.

Zatem, głównym zadaniem rachunku całkowego jest przywrócenie funkcji F (x) znaną pochodną (różniczką) tej funkcji. Rachunek całkowy ma liczne zastosowania w geometrii, mechanice, fizyce i inżynierii. Zapewnia ogólną metodę znajdowania obszarów, objętości, środków ciężkości itp.

Definicja. FunkcjonowaćF (x), nazywana jest funkcją pierwotną funkcjiF (x) na zbiorze X jeśli jest różniczkowalna dla dowolnego iF '(x) =F (x) lubdF (x) =F (x)dx.

Twierdzenie. Dowolna ciągła w segmencie [a;b] funkcjaF (x) ma funkcję pierwotną tego segmentuF(x).

Twierdzenie. GdybyF 1 (x) iF 2 (x) - dwie różne pochodne tej samej funkcjiF (x) na zbiorze x, to różnią się od siebie wyrazem stałym, tj.F 2 (x) =F 1x) +C, gdzie C jest stałą.

Całka nieoznaczona, jej własności.

Definicja. AgregatF (x) +C wszystkich pochodnych funkcjiF (x) na zbiorze X nazywamy całką nieoznaczoną i oznaczamy:

- (1)

W formule (1) F (x)dx nazywa całka,F (x) jest całką, x jest zmienną całkowania, a С - stała integracji.

Rozważmy własności całki nieoznaczonej wynikające z jej definicji.

1. Pochodna całki nieoznaczonej jest równa całce, różniczka całki nieoznaczonej jest równa całce:

oraz .

2. Całka nieoznaczona z różniczki pewnej funkcji jest równa sumie tej funkcji i dowolnej stałej:

3. Czynnik stały a (a ≠ 0) może być wzięty poza znak całki nieoznaczonej:

4. Całka nieoznaczona sumy algebraicznej skończonej liczby funkcji jest równa sumie algebraicznej całek tych funkcji:

5. GdybyF (x) jest funkcją pierwotną funkcjiF (x), to:

6 (niezmienność formuł całkowania). Każda formuła całkowa zachowuje swoją postać, jeśli zmienna całkowa zostanie zastąpiona dowolną różniczkowalną funkcją tej zmiennej:

gdzieu jest funkcją różniczkowalną.

Tabela całek nieoznaczonych.

Dajmy podstawowe zasady całkowania funkcji.

Dajmy tabela podstawowych całek nieoznaczonych.(Zauważ, że tutaj, podobnie jak w rachunku różniczkowym, litera ty może oznaczać jako zmienną niezależną (u =x) oraz funkcja zmiennej niezależnej (u =ty (x)).)

(n -1). (a> 0, a 1). (A 0). (A 0). (| u |> | a |).(| u |< |a|).

Całki od 1 do 17 są nazywane tabelaryczny.

Niektóre z powyższych wzorów tablicy całek, które nie mają odpowiednika w tablicy pochodnych, są sprawdzane przez zróżnicowanie ich prawych stron.

Zmiana zmiennej i całkowanie przez części w całce nieoznaczonej.

Całkowanie przez podstawienie (zastępowanie zmiennych). Niech będzie wymagane obliczenie całki

co nie jest tabelaryczne. Istota metody podstawienia polega na tym, że w całce zmienna NS zastąp zmienną T według wzoru x = (T), gdzie dx = φ ’(T)dt.

Twierdzenie. Niech funkcjax = (t) jest określony i różniczkowalny na pewnym zbiorze T i niech X będzie zbiorem wartości tej funkcji, na którym funkcjaF (x). Wtedy jeśli na zestawie X funkcjaF (

Własności te służą do przeprowadzenia przekształceń całki w celu sprowadzenia jej do jednej z całek elementarnych i dalszych obliczeń.

1. Pochodna całki nieoznaczonej jest równa całce:

2. Różniczka całki nieoznaczonej jest równa całce:

3. Całka nieoznaczona z różniczki jakiejś funkcji jest równa sumie tej funkcji i dowolnej stałej:

4. Ze znaku całkowego można wyprowadzić czynnik stały:

Co więcej, ≠ 0

5. Całka sumy (różnicy) jest równa sumie (różnicy) całek:

6. Nieruchomość jest kombinacją właściwości 4 i 5:

Ponadto a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Własność niezmienności całki nieoznaczonej:

Jeśli następnie

8. Własność:

Jeśli następnie

W rzeczywistości ta właściwość jest szczególnym przypadkiem integracji przy użyciu metody zmiany zmiennej, która jest omówiona bardziej szczegółowo w następnej sekcji.

Rozważmy przykład:

Najpierw zastosowaliśmy właściwość 5, potem właściwość 4, a następnie użyliśmy tabeli funkcji pierwotnych i otrzymaliśmy wynik.

Algorytm naszego kalkulatora całkowego online obsługuje wszystkie właściwości wymienione powyżej i może łatwo znaleźć szczegółowe rozwiązanie dla Twojej całki.

Własności te służą do przeprowadzenia przekształceń całki w celu sprowadzenia jej do jednej z całek elementarnych i dalszych obliczeń.

1. Pochodna całki nieoznaczonej jest równa całce:

2. Różniczka całki nieoznaczonej jest równa całce:

3. Całka nieoznaczona z różniczki jakiejś funkcji jest równa sumie tej funkcji i dowolnej stałej:

4. Ze znaku całkowego można wyprowadzić czynnik stały:

Co więcej, ≠ 0

5. Całka sumy (różnicy) jest równa sumie (różnicy) całek:

6. Nieruchomość jest kombinacją właściwości 4 i 5:

Ponadto a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Własność niezmienności całki nieoznaczonej:

Jeśli następnie

8. Własność:

Jeśli następnie

W rzeczywistości ta właściwość jest szczególnym przypadkiem integracji przy użyciu metody zmiany zmiennej, która jest omówiona bardziej szczegółowo w następnej sekcji.

Rozważmy przykład:

Najpierw zastosowaliśmy właściwość 5, potem właściwość 4, a następnie użyliśmy tabeli funkcji pierwotnych i otrzymaliśmy wynik.

Algorytm naszego kalkulatora całkowego online obsługuje wszystkie właściwości wymienione powyżej i może łatwo znaleźć szczegółowe rozwiązanie dla Twojej całki.

Rozwiązywanie całek jest łatwym zadaniem, ale tylko dla nielicznych. Ten artykuł jest dla tych, którzy chcą nauczyć się rozumieć całki, ale nic lub prawie nic o nich nie wiedzą. Całkowity... Dlaczego jest potrzebny? Jak to obliczyć? Czym są całki oznaczone i nieoznaczone?

Jeśli jedynym znanym Ci zastosowaniem całki jest szydełkowanie czegoś użytecznego z trudno dostępnych miejsc szydełkiem w kształcie integralnej ikony, to zapraszamy! Dowiedz się, jak rozwiązywać całki elementarne i inne oraz dlaczego nie możesz się bez tego obejść w matematyce.

Odkrywanie koncepcji « całka »

Integracja znana jest od starożytnego Egiptu. Oczywiście nie w nowoczesnej formie, ale jednak. Od tego czasu matematycy napisali wiele książek na ten temat. Szczególnie wyróżnili się Niuton oraz Leibniz ale istota rzeczy się nie zmieniła.

Jak rozumieć całki od podstaw? Nie ma mowy! Aby zrozumieć ten temat, nadal potrzebujesz podstawowej wiedzy z podstaw rachunku różniczkowego. Informacje niezbędne do zrozumienia całek mamy już na naszym blogu.

Całka nieoznaczona

Załóżmy, że mamy jakąś funkcję f (x) .

Całka nieoznaczona funkcji f (x) taka funkcja nazywa się F (x) którego pochodna jest równa funkcji f (x) .

Innymi słowy, całka jest pochodną odwrotną lub funkcją pierwotną. Przy okazji przeczytaj o tym w naszym artykule.

Funkcja pierwotna istnieje dla wszystkich funkcji ciągłych. Również znak stałej jest często dodawany do funkcji pierwotnej, ponieważ pochodne funkcji różniących się stałą pokrywają się. Proces znajdowania całki nazywa się integracją.

Prosty przykład:

Aby nie stale obliczać funkcji pierwotnych funkcji elementarnych, wygodnie jest je sprowadzić do tabeli i użyć gotowych wartości.

Pełna tabela całek dla studentów

Określona całka

Kiedy mamy do czynienia z pojęciem całki, mamy do czynienia z nieskończenie małymi wielkościami. Całka pomoże obliczyć powierzchnię figury, masę ciała niejednorodnego, drogę przebytą z nierównomiernym ruchem i wiele więcej. Należy pamiętać, że całka jest sumą nieskończenie dużej liczby nieskończenie małych członów.

Jako przykład wyobraźmy sobie wykres jakiejś funkcji.

Jak znaleźć obszar kształtu ograniczony wykresem funkcji? Korzystanie z całki! Trapez krzywoliniowy, ograniczony osiami współrzędnych i wykresem funkcji, dzielimy na nieskończenie małe odcinki. W ten sposób figura zostanie podzielona na cienkie kolumny. Suma obszarów kolumn będzie obszarem trapezu. Pamiętaj jednak, że takie obliczenie da przybliżony wynik. Jednak im mniejsze i węższe segmenty, tym dokładniejsze będą obliczenia. Jeśli zmniejszymy je do tego stopnia, że ​​długość dąży do zera, to suma powierzchni segmentów będzie dążyć do powierzchni figury. To jest całka oznaczona, która jest napisana tak:

Punkty a i b nazywane są granicami całkowania.

« Całka »

Przy okazji! Dla naszych czytelników mamy teraz 10% zniżki na

Całkowe zasady obliczeń dla manekinów

Nieoznaczone własności całkowe

Jak rozwiązać całkę nieoznaczoną? Tutaj przyjrzymy się własnościom całki nieoznaczonej, które przydadzą się przy rozwiązywaniu przykładów.

• Pochodna całki jest równa podcałkowi:

• Stałą można wyciągnąć spod znaku całki:

• Całka sumy jest równa sumie całek. Dotyczy to również różnicy:

Własności całki oznaczonej

• Liniowość:

• Znak całki zmienia się w przypadku odwrócenia granic całkowania:

• Na każdy zwrotnica a, b oraz z:

Dowiedzieliśmy się już, że całka oznaczona jest granicą sumy. Ale jak uzyskać konkretną wartość podczas rozwiązywania przykładu? W tym celu istnieje formuła Newtona-Leibniza:

Przykłady rozwiązań integralnych

Poniżej rozważymy całkę nieoznaczoną i przykłady z rozwiązaniem. Oferujemy samodzielne ustalenie zawiłości rozwiązania, a jeśli coś nie jest jasne, zadawaj pytania w komentarzach.

Aby skonsolidować materiał, obejrzyj film przedstawiający praktyczne rozwiązywanie całek. Nie zniechęcaj się, jeśli całka nie zostanie podana od razu. Skontaktuj się z profesjonalnym działem obsługi studentów, a poradzisz sobie z każdą całką potrójną lub krzywoliniową na zamkniętej powierzchni.

Niech funkcja tak = F(x) jest zdefiniowany na odcinku [ a, b ], a < b... Wykonajmy następujące operacje:

1) dzielimy [ a, b] kropki a = x 0 < x 1 < ... < x i- 1 < x i < ... < x n = b na n częściowe odcinki linii [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) w każdym z segmentów cząstkowych [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n, wybierz dowolny punkt i oblicz wartość funkcji w tym punkcie: F(zi ) ;

3) znajdź prace F(zi ) · Δ x i , gdzie jest długością częściowego odcinka [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n;

4) komponować suma całkowita Funkcje tak = F(x) na odcinku [ a, b ]:

Z geometrycznego punktu widzenia ta suma σ jest sumą pól prostokątów, których podstawą są częściowe segmenty [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ], a wysokości są F(z 1 ) , F(z 2 ), ..., F(z n) odpowiednio (rys. 1). Oznaczmy przez λ długość największego segmentu częściowego:

5) znaleźć granicę sumy całkowitej, gdy λ → 0.

Definicja. Jeżeli istnieje skończona granica sumy całkowitej (1) i nie zależy to od sposobu podziału odcinka [ a, b] do odcinków częściowych, ani z wyboru punktów zi w nich to limit ten nazywa się określona całka z funkcji tak = F(x) na odcinku [ a, b] i jest oznaczony

Zatem,

W tym przypadku funkcja F(x) nazywa się integrowalny na [ a, b]. Liczby a oraz b nazywane są odpowiednio dolną i górną granicą integracji, F(x) jest całką, F(x ) dx- całka, x- zmienna integracji; Sekcja [ a, b] nazywa się interwałem całkowania.

Twierdzenie 1. Jeśli funkcja tak = F(x) jest ciągła na odcinku [ a, b], to jest integrowalne w tym segmencie.

Całka oznaczona z tymi samymi granicami całkowania jest równa zeru:

Gdyby a > b, to z definicji stawiamy

2. Geometryczne znaczenie całki oznaczonej

Niech na segmencie [ a, b] podana jest ciągła nieujemna funkcja tak = F(x ) . Zakrzywiony trapez to liczba ograniczona od góry wykresem funkcji tak = F(x), od dołu - wzdłuż osi Wół, z lewej i prawej strony - liniami prostymi x = a oraz x = b(rys. 2).

Całka oznaczona funkcji nieujemnej tak = F(x) z geometrycznego punktu widzenia jest równy powierzchni trapezu krzywoliniowego ograniczonego od góry wykresem funkcji tak = F(x), w lewo i w prawo - według odcinków linii x = a oraz x = b, poniżej - segmentem osi Wół.

3. Podstawowe własności całki oznaczonej

1. Wartość całki oznaczonej nie zależy od oznaczenia zmiennej całkowania:

2. Ze znaku całki oznaczonej można wyprowadzić czynnik stały:

3. Całka oznaczona sumy algebraicznej dwóch funkcji jest równa sumie algebraicznej całek oznaczonych tych funkcji:

4. Jeśli funkcja tak = F(x) jest całkowalny na [ a, b] oraz a < b < C, następnie

5. (twierdzenie o wartości średniej)... Jeśli funkcja tak = F(x) jest ciągła na odcinku [ a, b], to na tym odcinku jest taki punkt, że

4. Wzór Newtona-Leibniza

Twierdzenie 2. Jeśli funkcja tak = F(x) jest ciągła na odcinku [ a, b] oraz F(x) Czy którykolwiek z jego pochodnych w tym segmencie, to obowiązuje następujący wzór:

który jest nazywany według formuły Newtona – Leibniza. Różnica F(b) - F(a) zwyczajowo pisze się w następujący sposób:

gdzie znak jest nazywany podwójnym znakiem wieloznacznym.

Zatem wzór (2) można zapisać jako:

Przykład 1. Oblicz całkę

Rozwiązanie. Dla całki F(x ) = x 2 arbitralna funkcja pierwotna ma postać

Ponieważ we wzorze Newtona-Leibniza można zastosować dowolną funkcję pierwotną, to do obliczenia całki bierzemy funkcję pierwotną, która ma najprostszą postać:

5. Zmiana zmiennej w całce oznaczonej

Twierdzenie 3. Niech funkcja tak = F(x) jest ciągła na odcinku [ a, b]. Gdyby:

1) funkcja x = φ ( T) i jego pochodna φ "( T) są ciągłe w;

2) zbiór wartości funkcji x = φ ( T) dla to odcinek [ a, b ];

3) ( a) = a, φ ( b) = b, to formuła

który jest nazywany przez formułę zmiany zmiennej w całce oznaczonej .

W przeciwieństwie do całki nieoznaczonej, w tym przypadku niekoniecznie powrót do pierwotnej zmiennej całkowania - wystarczy znaleźć nowe granice całkowania α i β (w tym celu konieczne jest rozwiązanie względem zmiennej T równania φ ( T) = a i φ ( T) = b).

Zamiast substytucji x = φ ( T) możesz użyć podstawienia T = g(x). W tym przypadku znalezienie nowych granic integracji względem zmiennej T uproszczony: α = g(a) , β = g(b) .

Przykład 2... Oblicz całkę

Rozwiązanie. Wprowadźmy nową zmienną za pomocą formuły. Do kwadratu obu stron równości otrzymujemy 1 + x = T 2 , gdzie x = T 2 - 1, dx = (T 2 - 1)"dt= 2tdt... Znajdujemy nowe granice integracji. Aby to zrobić, podstawiamy stare limity do wzoru x = 3 i x = 8. Otrzymujemy: skąd T= 2 i a = 2; , gdzie T= 3 i β = 3. Tak więc,

Przykład 3. Oblicz

Rozwiązanie. Zostawiać ty= ln x, następnie , v = x... Zgodnie ze wzorem (4)