Absolutny błąd. Bezwzględny i względny błąd obliczeń

X \u003d x cp 

Absolutny

błąd

Krewny

błąd

a +. b.

a +. b.

Niech pewna przypadkowa wartość zA. Wymierzony n. Raz w tych samych warunkach. Wyniki pomiarów dały zestaw n.różne numery

Absolutny błąd - Rozmiar rozmiaru. Pośród N. Wartości błędów bezwzględnych są koniecznie stwierdzone zarówno pozytywne, jak i negatywne.

Dla najbardziej prawdopodobnej wartości wielkości ale Zwykle akceptują średni Wartość wyników pomiarów

.

Im większa liczba pomiarów, tym bliżej średniej wartości do prawdziwego.

Absolutny błądjA.

.

Względny błądjA.-Ho wymiar zwany wielkością

Błąd względny - wielkość jest wymiarowa. Zwykle odpowiedni błąd jest wyrażony jako procent, dla tego e I. Domingował o 100%. Wartość błędu względnego charakteryzuje dokładność pomiaru.

Średni błąd bezwzględny określony tak:

.

Podkreślamy potrzebę podsumowania wartości bezwzględnych wartości (modułów) D i ja.W przeciwnym razie będzie identyczny wynik zerowy.

Średni błąd względny. Nazywany wielkością

.

Z dużą liczbą pomiarów.

Błąd względny można uznać za znaczenie błędu na jednostce zmierzonej wartości.

Dokładność pomiarów jest oceniana na podstawie porównywania błędów wyników pomiarów. W związku z tym błędy pomiarowe są wyrażone w tym formularzu, dzięki czemu wystarczy, aby dopasować do dokładności, aby dopasować tylko wyniki wyników, bez porównywania wymiarów mierzonych obiektów lub wiedząc, że te rozmiary są bardzo przybliżone. Z praktyki wiadomo, że absolutny błąd pomiaru kąta nie zależy od wartości kąta, a bezwzględny błąd długości pomiarowej zależy od wartości długości. Im większa długość długości ta metoda A warunki pomiaru Błąd absolutny będzie większy. W związku z tym, zgodnie z absolutnym błędem wyniku, można ocenić dokładność pomiaru kąta, a dokładność pomiaru długości jest niemożliwa. Wyrażenie błędu w stosunku do formularza pozwala porównać znane przypadki Dokładność pomiarów kątowych i liniowych.

Podstawowe koncepcje teorii prawdopodobieństwa. Błąd losowy.

Błąd losowy zadzwoń do składnika błędów pomiarowych zmienionych losowo podczas powtarzających się pomiarów tej samej wartości.

Podczas prowadzenia tej samej opieki i w tych samych warunkach powtarzających się pomiarów tej samej stałej niezmienionej wartości otrzymujemy wyniki pomiarów - niektóre z nich różnią się od siebie, a niektóre zbiegły. Takie rozbieżności w wynikach pomiarów są wskazywane na temat obecności losowych elementów błędu.

Losowy błąd występuje z jednoczesnym wpływem wielu źródeł, z których każdy ma niepozorny wpływ na wynik pomiaru, ale całkowity wpływ wszystkich źródeł może być dość silny.

Losowe błędy są nieuniknioną konsekwencją jakichkolwiek pomiarów i są uwarunkowane:

a) niedokładność próbek na skali instrumentów i narzędzi;

b) nie identyczne z warunkami powtarzających się pomiarów;

c) Nieuporządkowane zmiany warunków zewnętrznych (temperatura, ciśnienie, pole zasilania itp.), które nie mogą być monitorowane;

d) Wszystkie inne wpływy na pomiary, powody, dla których jesteśmy nieznani. Wielkość błędu losowego może być zminimalizowana przez wielokrotne powtórzenie eksperymentu i odpowiedniego przetwarzania matematycznego uzyskanego wyników.

Losowy błąd może podjąć różne wartości w wartości bezwzględnej, której nie można przewidzieć dla tej ustawy o pomiarach. Ten błąd w równym stopniu może być zarówno pozytywny, jak i ujemny. Błędy losowe są zawsze obecne w eksperymencie. W przypadku braku systematycznych błędów służą jako rozproszenie powtarzających się pomiarów w stosunku do prawdziwej wartości.

Przypuśćmy, że przy pomocy stopera mierzona jest okres oscylacji wahadła, a pomiar powtórzono wielokrotnie. Uruchamianie błędów i stoper zatrzymuje się, błąd w wielkości odniesienia, niewielka niejednorodność ruchu wahadła - wszystko to powoduje rozproszenie wyników powtarzających się pomiarów, a zatem można przypisać kategorii błędów losowych.

Jeśli nie ma innych błędów, wyniki będą nieco przeszacowane, podczas gdy inne są nieco niskie. Ale jeśli dodatkowo zegar jest również opóźniony, a następnie wszystkie wyniki zostaną zaniżone. Jest to systematyczny błąd.

Niektóre czynniki mogą powodować błędy systematyczne i losowe w tym samym czasie. Tak więc, w tym i wyłączanie stopera, możemy stworzyć małe nieregularne rozproszenie momentów wyjściowych i zatrzymując zegar w stosunku do ruchu wahadła i dokonać losowego błędu. Ale jeśli też się spieszymy, aby włączyć stoper i iść, aby wyłączyć go nieco, to doprowadzi do systemu systematycznego.

Losowe błędy są spowodowane przez błąd paralaksy na liczeniu podziału skali urządzenia, wstrząsanie fundamentu budynku, wpływ niewielkiego ruchu powietrza itp.

Chociaż niemożliwe jest wykluczenie przypadkowych błędów indywidualnych pomiarów, matematyczna teoria zjawisk losowych umożliwia zmniejszenie wpływu tych błędów w ostatecznym wyniku pomiaru. Poniżej przedstawiono, że w tym celu konieczne jest, aby nie wytwarzać, ale kilka pomiarów, a im niższe znaczenie błędu, które chcemy uzyskać, tym więcej pomiarów należy przeprowadzić.

Ze względu na fakt, że pojawienie się błędów losowych jest nieuniknione i nierozsądnie, głównym zadaniem każdego procesu pomiaru jest doprowadzenie błędów do minimum.

Teoria błędów opiera się na dwóch głównych założeniach potwierdzonych przez doświadczenie:

1. Z dużą liczbą pomiarów, błędy losowe są takie same, ale innego znakuBłędy te w kierunku zwiększenia i zmniejszenia wyniku są dość powszechne.

2. Duże w bezwzględnej ilości błędów jest mniej powszechne niż małe, dlatego prawdopodobieństwo błędu jest zmniejszone ze wzrostem jego wielkości.

Zachowanie zmiennych losowych opisuje wzorce statystyczne, które są przedmiotem teorii prawdopodobieństwa. Statystyczna definicja prawdopodobieństwa w I. Wydarzenia jA. jest postawą

gdzie n. - całkowita liczba eksperymentów n I. - liczba eksperymentów, w których wydarzenie jA.wystąpił. W tym przypadku całkowita liczba eksperymentów powinna być bardzo duża ( n. ® ¥). Dzięki dużej liczbie pomiarów, błędy losowe są podporządkowane do rozkładu normalnego (dystrybucja Gaussa), główne oznaki, które są następujące:

1. Im większe odchylenie wartości mierzonej od prawdziwych, tym mniejsze prawdopodobieństwo takiego wyniku.

2. Odchylenia w obu kierunkach z prawdziwej wartości są równie możliwe.

Powyższych założeń wynika, że \u200b\u200bw celu zmniejszenia efektu błędów losowych, konieczne jest kilka razy pomiar tej wartości kilka razy. Załóżmy, że mierzymy pewną wartość x. Wypuszczać n.pomiary: x 1, x 2, ... x n - ta sama metoda i taką samą dokładnością. Można się spodziewać, że liczba dn.uzyskane wyniki, które leżą w niektórych dość wąskich odstępach od X. przed x + DX.musi być proporcjonalny do:

Wielkość przedziału Dx.;

Całkowita liczba pomiarów N..

Prawdopodobieństwo dW.(x.) Jakie jest jakieś znaczenie x. leży w przedziale x. przed x + dx, Określone w następujący sposób :

(z liczbą pomiarów N. ®¥).

Funkcjonować fA.(h.) Nazywa się, że funkcja dystrybucji lub gęstości prawdopodobieństwa.

Jako postulat na temat teorii błędów zakłada się, że wyniki bezpośrednich pomiarów i ich losowych błędów z dużymi ilościami podlegają prawu dystrybucji normalnej.

Znalezione przez dystrybucję funkcji Gaussa ciągłej zmiennej losowej X. Posiada następujący formularz:

gdzie mus. - parametry dystrybucji. .

Dystrybucja parametermalna jest równa średniej wartości Á x.ñ Zmienna losowa, która z dowolną znaną funkcją dystrybucji, jest określona przez integralną

.

W ten sposób, wartość M jest najbardziej prawdopodobną wartością zmierzonej wartości X, tj. Jego najlepsza ocena.

Parametr S 2 normalnego rozkładu jest równa dyspersji D zmiennej losowej, która w ogólnym przypadku jest określona przez następujące integralne

.

Pierwiastek kwadratowy Z dyspersji nazywany jest średnie odchylenie kwadratowe zmiennej losowej.

Średnie odchylenie (błąd) zmiennej losowej Ásñ jest określane przy użyciu funkcji dystrybucji w następujący sposób.

Średni błąd pomiaru Ásñ, obliczony zgodnie z funkcją dystrybucji Gaussa, jest skorelowany z wartości średniego odchylenia kwadratowego w następujący sposób:

< s. > \u003d 0,8s.

Parametry S i M są połączone w następujący sposób:

.

Wyrażenie to pozwala znaleźć średnie odchylenie kwadratowe S, jeśli występuje normalna krzywa dystrybucji.

Wykres funkcji Gaussa jest prezentowany na rysunkach. Funkcjonować fA.(x.) Symetryczne o rzędnej wydanej w punkcie x \u003d.m; przechodzi maksymalnie w punkcie x \u003d.m i ma zakręt w pkt m ± s. W ten sposób dyspersja charakteryzuje szerokość funkcji dystrybucji lub wskazuje, jak szeroko rozproszone są wartości zmiennej losowej w stosunku do jego prawdziwej wartości. Dokładniej, pomiar, bliżej prawdziwej wartości wyników poszczególnych pomiarów, tj. Wartość s jest mniejsza. Rysunek A Pokazuje funkcję FA.(x.) dla trzech wartości s .

Rysunek kwadratowy, ograniczona krzywa fA.(x.) i pionowe proste, wydane z punktów X. 1 I. x. 2 (rys. B) , Numerycznie równy prawdopodobieństwu wyniku pomiaru w przedziale D x \u003d x. 1 - X. 2, który nazywa się zaufanym prawdopodobieństwem. Obszar pod całą krzywą fA.(x.) równa prawdopodobieństwu losowej wariancji w przedziale od 0 do ¥, tj.

,

ponieważ prawdopodobieństwo niezawodnego wydarzenia jest równe.

Korzystając z normalnego rozkładu, teorii błędów umieszcza i rozwiązuje dwa główne zadania. Pierwsza jest ocena dokładności pomiarów. Druga - ocena dokładności średniej wartość arytmetyczna Wyniki pomiarów. Interwał zaufania. Współczynnik podnoszenia.

Teoria prawdopodobieństwa pozwala określić rozmiar interwału, w którym z pewnym prawdopodobieństwem w. Istnieją wyniki indywidualnych pomiarów. To prawdopodobieństwo jest nazywane prawdopodobieństwo zaufaniai odpowiedni interwał (<x.\u003e ± D. x.) W. nazywa poufny interwał. Prawdopodobieństwo zaufania jest również równe względnej proporcji wyników w przedziale ufności.

Jeśli liczba pomiarów N. wystarczająco duży, prawdopodobieństwo zaufania wyraża udział całkowity N. Te pomiary, w których zmierzona wartość była w przedziale ufności. Każdy prawdopodobieństwo zaufania w.odpowiada Twojemu interwałowi ufności 2 80%. Szerszy interwał poufny, tym bardziej prawdopodobne, że uzyskanie wyniku w tym przedziale. W teorii prawdopodobieństwa ustalono ilościową relację między wartością przedziału ufności, ustalono prawdopodobieństwo zaufania i liczbę pomiarów.

Jeśli wybierzesz odstęp odpowiadający średniemu błędowi, to znaczy, a \u003d.Ogłoszenie. aleС, a następnie z wystarczająco dużą liczbą pomiarów odpowiadających prawdopodobieństwu zaufania W. 60%. Z zmniejszeniem liczby pomiarów prawdopodobieństwo ufności odpowiadające tym przedziale zaufania (á aleñ ± Ogłoszenie. aleñ), zmniejsza się.

Tak więc, aby ocenić przedział zaufania zmiennej losowej, możesz użyć wartości średniego błędu. aleñ .

Aby scharakteryzować wartość błędu losowego, należy określić dwie liczby, a mianowicie wartość przedziału ufności i wartości prawdopodobieństwa ufności . Wskazanie wielkości błędu bez odpowiedniego prawdopodobieństwa zaufania jest w dużej mierze pozbawiony znaczenia.

Jeśli średni błąd pomiaru Ásñ, przedział ufności zapisany w formularzu (<x.\u003e ± Ásñ) W.zdefiniowane z prawdopodobieństwem zaufania w.= 0,57.

Jeśli znane jest średnie odchylenie kwadratowe dystrybucja wyników pomiarów, określony interwał ma formę (<x.>± t W.s) W.gdzie T W. - współczynnik w zależności od wartości prawdopodobieństwa ufności i oblicza się na dystrybucji Gaussa.

Najczęściej używane wartości x. pokazane w tabeli 1.

W praktyce zazwyczaj wykonane są obliczenia, są przybliżone wartości niektórych ilości. W przypadku mowy zwięzłości przybliżona wartość wielkości nazywana jest przybliżoną liczbą. Prawdziwa wartość wielkości nazywana jest dokładną liczbą. Przybliżona liczba ma wartość praktyczną tylko wtedy, gdy możemy określić, który stopień dokładności jest podany, tj. Oceń jego błąd. Przypomnijmy podstawowe koncepcje kurs ogólny matematyka.

Oznaczać: x. - dokładny numer (wartość prawdziwej wartości), ale -Cablany numer (przybliżona wartość wielkości).

Definicja 1.. Błąd (lub prawdziwy błąd) przybliżonej liczby jest różnicą między liczbą x. i jego przybliżona wartość ale. Błąd przybliżonej liczby ale Oznaczymy. Więc,

Dokładny numer x. Najczęściej jest nieznany, więc nie jest możliwe znalezienie prawdziwych i absolutnych błędów. Z drugiej strony konieczne jest oszacowanie błędu bezwzględnego, tj. Określ numer, który nie może przekroczyć błędu bezwzględnego. Na przykład, pomiar długości obiektu za pomocą tego narzędzia, musimy być przekonani, że błąd wynikowej wartości liczbowej nie przekroczy pewnej liczby, na przykład 0,1 mm. Innymi słowy, musimy poznać granicę błędu bezwzględnego. Zadzwonimy do tej granicy z ekstremalnym absolutnym błędem.

Definicja 3.. Najwyższy absolutny błąd przybliżonej liczby ale Nazywany takim pozytywnym numerem takim, tj.

To znaczy h. Przez brak, - w nadmiarze. Zastosuj taki wpis:

Oczywiste jest, że błąd bezwzględny limit jest określony niejednoznacznie: Jeśli pewna liczba jest błędem bezwzględny, a następnie większa liczba jest również ograniczającym błędem bezwzględnym. W praktyce próbuje wybrać mniejszy i łatwy do zapisu (z 1-2 znaczącymi numerami) liczbą satysfakcjonującej nierówności (2.3).

Przykład. Określ prawdziwy, absolutny i ograniczalny numer błędu A \u003d 0,17, wykonany jako przybliżona wartość liczby.

Prawdziwy błąd:

Absolutny błąd:

W celu ograniczenia bezwzględnego błędu możesz wziąć numer i większą liczbę. W płycie dziesiętnej będziemy mieli: zastępując tę \u200b\u200bliczbę duży i być może łatwiejszy przez nagrywanie, weźmiemy:

Komentarz. Jeśli ale Istnieje przybliżona wartość liczby h.Ponadto, maksymalny błąd bezwzględny jest równy h., a potem to mówią aleistnieje przybliżona wartość liczby h. Z dokładnością h.

Znajomość błędu bezwzględnego nie wystarczy, aby scharakteryzować jakość pomiaru lub obliczeń. Niech, na przykład uzyskanie takich wyników podczas pomiaru długości. Odległość między dwoma miastami S 1.\u003d 500 1 km i odległość między dwoma budynkami w mieście S 2.\u003d 10 1 km. Chociaż bezwzględne błędy obu wyników są takie same, ale ma znaczące znaczenie, że w pierwszym przypadku bezwzględny błąd w 1 km spada na 500 km, w drugiej - 10 km. Jakość pomiaru w pierwszym przypadku jest lepsza niż w drugim. Jakość pomiaru lub obliczenia charakteryzuje się względnym błędem.

Definicja 4. Względny błąd przybliżonej wartości ale liczby h. Nazywany stosunkiem absolutnego numeru błędu aledo wartości bezwzględnej liczby h.:

Definicja 5. Błąd względny granicy przybliżonej liczby ale Nazywany takim pozytywnym numerem.

Ponieważ z formuły (2.7) wynika, że \u200b\u200bmożna obliczyć o wzorze

W przypadku mowy zwięzłości w przypadkach, w których nie powoduje to nieporozumień, zamiast "Błąd względny ograniczania" mówią po prostu "błąd względny".

Błąd względny granicy jest często wyrażony jako procent.

Przykład 1.. . Wierząc, możemy zaakceptować \u003d. Wytwarzając podział i zaokrąglony (koniecznie do góry), otrzymujemy \u003d 0,0008 \u003d 0,08%.

Przykład 2.Podczas ważenia ciała uzyskano wynik: p \u003d 23,4 0,2 g. Mamy \u003d 0,2. . Wytwarzając podział i zaokrąglanie, otrzymujemy \u003d 0,9%.

Formuła (2.8) określa relację między błędami bezwzględnymi i względnymi. Z formuły (2.8) następuje:

Używanie formuł (2.8) i (2.9) możemy, jeśli numer jest znany ale, na tym bezwzględnym błędy, aby znaleźć błąd względny i odwrotnie.

Należy pamiętać, że często należy stosować formuły (2.8) i (2.9), a następnie, gdy nadal nie znamy przybliżonej liczby alez wymaganą dokładnością i znamy przybliżoną wartość ale. Na przykład wymagane jest zmierzenie długości obiektu z błędem względnym nie wyższym niż 0,1%. Zapytany jest: Czy można zmierzyć długość o pożądanej dokładności za pomocą zacisku, co pozwala na pomiar długości bez absolutnego błędu do 0,1 mm? Niech jeszcze nie zmierzyliśmy przedmiotu dokładnego narzędzia, ale wiemy, że szorstka przybliżona długość wynosi około 12 cm. Według formuły (1.9) znajdziemy absolutny błąd:

Można zauważyć, że za pomocą zacisków możliwe jest zmierzenie z wymaganą dokładnością.

W procesie pracy obliczeniowej często konieczne jest przemieszczanie się z błędu bezwzględnego na krewny i odwrotnie, który odbywa się za pomocą wzorów (1,8) i (1,9).

Brak wymiaru nie jest wolny od błędów, lub, dokładniej, prawdopodobieństwo pomiaru bez błędów zbliża się do zera. Rod i przyczyny błędów są bardzo zróżnicowane, a wiele czynników wpływa na nich (rys. 1.2).

Ogólne cechy czynników wpływających na wpływ można regulować z różnych punktów widzenia, na przykład, wpływając na wpływ wymienione czynniki (Rys.1.2).

Zgodnie z wynikami pomiaru błędu, możliwe jest podzielenie się na trzy typy: systematyczne, losowe i chybione.

Błędy systematyczne, z kolei podzielono na grupy ze względu na ich występowanie i charakter manifestacji. Można je wyeliminować na różne sposoby, na przykład wprowadzenie poprawek.

figa. 1.2.

Błąd losowy związane ze złożoną kombinacją zmian czynników, zwykle nieznanych i trudnych do analizy. Ich wpływ na wynik pomiaru można zmniejszyć, na przykład, przez powtarzane pomiary o dalszym statystycznym przetwarzaniu wyników uzyskanych przez metodę teorii prawdopodobieństwa.

DO promacham. są to błędy brutto, które występują z nagłymi zmianami stanu eksperymentalnego. Błędy te są również przypadkowe w naturze, a po wykryciu należy wykluczyć.

Dokładność pomiarów ocenia się przez błędy pomiarowe, które są podzielone przez charakter wystąpienia instrumentalnych i metodologicznych oraz sposobu obliczeń do absolutnego, względnego i podane.

Instrumentalny błąd charakteryzuje się klasą dokładności urządzenia pomiarowego, który jest podany w paszporcie w postaci znormalizowanych błędów pierwotnych i dodatkowych.

Metodyczny błąd wynika z niedoskonałości metod i przyrządów pomiarowych.

Absolutny błąd jest różnicą między zmierzonym G U i true wartości G w wartości określonej przez wzoru:

Δ \u003d ΔG \u003d g u -g

Należy pamiętać, że wartość ma wymiar wartości mierzonej.

Krewny błąd znajdź z równości

Δ \u003d ± ΔG / G U · 100%

Doprowadziło błąd jest obliczany przez wzór (klasa dokładności urządzenia pomiarowego)

Δ \u003d ± ΔG / G NORMY · 100%

gdzie nory G są racjonalną wartością zmierzonej wartości. Bierze równe:

a) końcowa wartość skali urządzenia, jeśli znak zerowy znajduje się na krawędzi lub poza skalą;

b) ilość wartości końcowych skali z wyłączeniem znaków, jeśli znak zerowy znajduje się w skali;

c) Długość skali, jeśli skala jest nierówna.

Klasa dokładności urządzenia jest ustawiona, gdy jest zweryfikowana i jest znormalizowanym błędem obliczonym przez wzory

γ \u003d ± ΔG / G NORMY · 100%, jeśliΔG m \u003d const

gdzie Δm M jest najwyższym możliwym absolutnym błędem urządzenia;

G K - końcowa wartość limitu pomiarowego urządzenia; C i D - współczynniki, które uwzględniają parametry projektowe i właściwości mechanizmu pomiarowego urządzenia.

Na przykład, dla woltomierza ze stałym względnym błędem Istnieje równość

Δ m \u003d ± C

Względne i obniżone błędy są związane z następującymi zależnościami:

a) Dla każdego znaczenia powyższego błędu

Δ \u003d ± γ · g NORMY / G U

b) Dla największego błędu

Δ \u003d ± γ m · g NORM / G U

Z tych stosunków wynika, że \u200b\u200bpodczas pomiaru, na przykład, woltomierz, w łańcuchu w tej samej tej samej wartości napięcia, błąd względny jest większy mniej wymierny napięcie. A jeśli ten woltomierz jest nieprawidłowo wybrany, błąd względny może być współmierny do wartościG N. Co jest niedopuszczalne. Zauważ, że zgodnie z terminologią rozwiązanych zadań, na przykład podczas pomiaru napięcia G \u003d U, podczas pomiaru bieżącego C \u003d i, notacja literowa w formułach do obliczania błędów należy wymienić odpowiednimi znakami.

Przykład 1.1. Voltmeter o wartościach γ m \u003d 1,0%, U N \u003d G NORMY, G K \u003d 450 INZmierzono napięcie U U US równe 10 V. Oszacujemy błąd pomiaru.

Decyzja.

Odpowiedź. Błąd pomiaru wynosi 45%. Przy takim błędnym, zmierzone napięcie nie można uznać za wiarygodne.

Z ograniczonymi możliwościami wyboru urządzenia (Voltmeter), błąd metodologiczny może być brany pod uwagę we zmienionej wzorze

Przykład 1.2. Oblicz błąd bezwzględny woltomierz B7-26 podczas pomiaru napięcia w obwodzie DC. Klasa dokładności woltomierza jest ustawiona jako maksymalnie zmniejszony błąd γ \u003d ± 2,5%. Stosowany w limicie roboczym Norms w skali woltomienicy \u003d 30 V.

Decyzja.Błąd absolutny jest obliczany zgodnie ze słynnymi formułami:

(Ponieważ podany błąd, z definicji wyraża się wzorem , Stąd znajdziesz absolutny błąd:

Odpowiedź. ΔU \u003d ± 0,75 V.

Ważnymi etapami procesu pomiaru są przetwarzanie wyników i reguł zaokrąglania. Teoria przybliżonych obliczeń pozwala, poznanie stopnia dokładności danych, oszacować stopień dokładności wyników nawet przed wykonaniem działań: Aby wybrać dane z odpowiednim stopniem dokładności wystarczającej, aby zapewnić wymaganą dokładność wyniku, ale nie zbyt duże Aby zapisać kalkulator od bezużytecznych obliczeń; Zracjonalizuj sam proces obliczeniowy, uwalniając go z obliczeń, które nie wpłynie na dokładne wyniki figur.

Podczas przetwarzania wyników obowiązują reguły zaokrąglania.

• Zasada nr 1. Jeśli pierwsza z odrzuconych numerów jest większa niż pięć, ta ostatnia z zapisanych cyfr jest zwiększona przez jeden.

• Zasada 2. Jeśli pierwsza z wyrzuconych numerów jest mniejsza niż pięć, wzrost nie jest wykonywany.

• Zasada 3. Jeśli odrzucona liczba jest równa pięciu, a za nim nie ma znaczących numerów, zaokrąglenie jest wykonane na najbliższym liczba parzysta. Ostatnia zapisana liczba pozostaje niezmieniona, jeśli jest nawet i wzrasta, jeśli nie jest nawet.

Jeśli istnieją znaczące cyfry dla pięciu cyfr, zaokrąglenie jest wykonywane zgodnie z zasadą 2.

Stosowanie reguły 3 do zaokrąglania jednego numeru, nie zwiększamy dokładności zaokrąglania. Ale z licznymi zaokrągleniami, nadmierne liczby nastąpi w przybliżeniu tak często, jak za mało. Obacżana kompensacja błędów zapewni największą dokładność wyniku.

Numer jest oczywiście przekraczający błąd bezwzględny (lub w najgorszym przypadku jest tak samo) ogranicz błąd bezwzględny.

Wielkość błędu limitu nie jest całkiem zdefiniowana. Dla każdej przybliżonej liczby należy znać jego błąd ograniczający (bezwzględny lub względny).

Gdy nie jest to bezpośrednio wskazane, zrozumiałe jest, że błąd bezwzględny jest połową jednostki ostatniego napisanego rozładowania. Tak więc, jeśli przybliżona liczba 4.78 jest podana bez wskazania najwyższego błędu, rozumie się, że ograniczający błąd bezwzględny wynosi 0,005. W wyniku niniejszej Umowy zawsze możesz zrobić bez wskazania numeru błędu marginalnego, zaokrąglony zgodnie z zasadami 1-3, tj. Jeśli przybliżona liczba jest wskazana literą α, a następnie

Gdzie Δn jest błędem bezwzględnym; A Δ N jest błędem względnym ograniczonym.

Ponadto używane są wyniki przetwarzania zasady znalezienia błędu Kwoty, różnice, prace i prywatne.

• Zasada nr 1. Limit bezwzględny błąd kwoty jest równy sumie granicznej bezwzględnych błędów indywidualnych warunków, ale o znacznej liczbie błędów terminów zwykle występuje wzajemna kompensacja błędów, więc prawdziwy błąd kwoty tylko w wyjątkowych przypadkach zbiega się z największym błędem lub jest blisko niego.

• Zasada 2. Limit bezwzględna różnica różnicy jest równa sumie granicznej bezwzględnych błędów zmniejszonych lub odejmowanych.

Błąd względny granicy jest łatwy do znalezienia, obliczając błąd bezwzględny.

• Zasada 3. Prawny błąd granicy kwoty (ale nie różnicy) leży między najmniejszym a większością względnych błędów terminów.

Jeśli wszystkie elementy mają ten sam rozmiar względny, ilość ma ten sam błąd względem limitu. Innymi słowy, w tym przypadku dokładność kwoty (w procentach) nie jest gorsza od dokładności składników.

Natomiast ilość przybliżonych liczb może być mniej dokładna niż zmniejszona i substancja. Utrata dokładności jest szczególnie duża w przypadku, gdy zmniejszona i substancja różni się od siebie.

• Zasada 4. Błąd względny granicy pracy jest w przybliżeniu równy sumie granicznych błędów względnych czynników: δ \u003d δ 1 + δ 2, lub dokładniej, δ \u003d δ 1 + δ 2 + Δ 1 Δ 2, gdzie δ jest Błąd względny pracy, Δ 1 Δ 2 - błędy względne w fabryce.

Notatki:

1. Jeśli przybliżone liczby są pomnożone z taką samą liczbą znaczących numerów, w pracy powinny być zapisywane jako wiele znaczących numerów. Te ostatnie zapisanych cyfr nie będą całkowicie niezawodne.

2. Jeśli niektóre czynniki mają więcej znaczących numerów niż inni, a następnie do mnożenia, pierwsza runda powinna być zaokrąglona, \u200b\u200boszczędzając tak wiele liczb, ponieważ ma najmniej akumulator lub jeszcze jeden (jako zapasowy), dalsze cyfry są bezużyteczne.

3. Jeśli jest to konieczne, aby praca dwóch liczb miała z góry określona liczba jest dość wiarygodna, w każdym z czynników, liczba dokładnych cyfr (uzyskanych przez pomiar lub obliczenie) powinna być na jednostkę. Jeśli liczba czynników jest więcej niż dwa i mniej niż dziesięć, w każdym z czynników, liczba dokładnych cyfr dla pełnej gwarancji powinna być dwiema jednostkami większych niż żądana liczba dokładnych cyfr. Prawie jest wystarczająco dość, aby wziąć tylko jedną nadmierną postać.

• Zasada 5. Błąd względny granicy prywatnego jest w przybliżeniu równy sumie ograniczeń względnych błędów podziału i dzielnika. Dokładna wartość błędu względnego ograniczenia zawsze przekracza przybliżony. Odsetek przekroczenia jest w przybliżeniu równy maksymalny błąd względny dzielnika.

Przykład 1.3. Znajdź ograniczenie absolutnego błędu prywatnego 2,81: 0,571.

Decyzja.Błąd ujawniania granicy wynosi 0,005: 2.81 \u003d 0,2%; Divider - 0,005: 0,571 \u003d 0,1%; Prywatny - 0,2% + 0,1% \u003d 0,3%. Limit bezwzględny błąd prywatnego w przybliżeniu będzie 2,81: 0,571 · 0,0030 \u003d 0,015

Tak więc, w prywatnym 2,81: 0,571 \u003d 4.92, trzeci rysunek znaczenia nie jest wiarygodny.

Odpowiedź.0,015.

Przykład 1.4. Oblicz błąd względny odczytów woltomierek zawartych na schemacie (rys. 1.3), który uzyskuje się, zakładając, że woltomierz ma nieskończenie duży odporność i nie zniekształca się do mierzonego łańcucha. Klasyfikuj błąd pomiaru dla tego zadania.

figa. 1.3.

Decyzja.Oznaczają odczyty prawdziwego woltomierza i i woltomierz z nieskończenie dużą odpornością i ∞. Spłaszczenie błędu względnego

Zauważ, że

potem dostajemy

Ponieważ R i \u003e\u003e R i R\u003e R frakcja w mianowniku ostatniej równości jest znacznie mniejsza niż jedna. Dlatego możesz użyć przybliżonej formuły Targi dla λ≤1 dla dowolnego α. Przypuszcza się, że w tym wzorze α \u003d -1 i λ \u003d RR (R + R) -1 R i -1 otrzymujemy δ ≈ RR / (R + R) R oraz.

Im większa odporność woltomierza w porównaniu z zewnętrzną odpornością łańcucha, tym mniejszy błąd. Ale stan R.<

Odpowiedź.Błąd systematyczny metodyczne.

Przykład 1.5. W obwodzie DC (Rys.1.4) znajdują się urządzenia: A - amperomierz typu M 330 Dokładność Klasa K A \u003d 1,5 z limitem pomiarowym I K \u003d 20 A; A 1 jest amperomierz klasy M 366 klasy dokładności do A1 \u003d 1,0 z limitem pomiarowym I K1 \u003d 7,5 A. Znajdź największy możliwy błąd względny w zakresie prądu pomiarowego I 2 i możliwe ograniczenia jego rzeczywistej wartości, jeśli urządzenia pokazały, że ja \u003d 8, 0a. i I 1 \u003d 6,0a. Klasyfikować pomiar.

figa. 1.4.

Decyzja.Określ prąd I 2 zgodnie z odczytami urządzenia (z wyłączeniem ich błędów): I 2 \u003d I - I 1 \u003d 8,0-6.0 \u003d 2,0 A.

Znajdujemy moduły bezwzględnych błędów amperatorów A i A 1

Za równość Dla amperodu

Znajdziemy ilość bezwzględnych modułów błędów:

W związku z tym, największa możliwa i ta sama wartość wyrażona w akcjach tej wartości jest równa 1. 10 3 - dla jednego urządzenia; 2 · 10 3 - dla innego instrumentu. Który z tych urządzeń będzie najbardziej dokładny?

Decyzja.Dokładność urządzenia charakteryzuje się wartością, błędami odwrotnymi (tym dokładniejsze urządzenie, tym mniejsze błąd), tj. W pierwszym instrumencie będzie to 1 / (1. 10 3) \u003d 1000, dla drugiego - 1 / (2. 10 3) \u003d 500. Zauważ, że 1000\u003e 500. Dlatego pierwsze urządzenie jest dokładniej dwukrotnie.

Możesz przyjść do podobnego wyjścia, sprawdzając korespondencję błędów: 2. 10 3/1. 10 3 \u003d 2.

Odpowiedź.Pierwsze urządzenie jest dwa razy bardziej dokładne.

Przykład 1.6. Znajdź sumę przybliżonych pomiarów urządzenia. Znajdź liczbę wiernych znaków: 0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667 + 0,0625 + 0,0588+ 0,0556 + 0,0526.

Decyzja.Składanie wszystkich wyników pomiarów, otrzymujemy 0,6187. Maksymalna największa ilość ilości 0,00005 · 9 \u003d 0,00045. Tak więc w ostatniej czwartej sumie kwoty, błąd jest możliwy do 5 jednostek. Dlatego okrążyliśmy kwotę do trzeciego znaku, tj. Tysiące otrzymujemy 0,619 - wynik, w którym wszystkie znaki są poprawne.

Odpowiedź.0,619. Liczba wiernych znaków jest trzy znaki po przecinku.

Popularny

Struktura i funkcje mitochondria, plastiku i lizosomów Struktura nazwy i ...

Hemingway "Polecenie wywołuje dzwonek Ernest Hemingway dla kogo ...

Niektóre fakty dotyczące "Anne Karenina Co Leo Tolstoy chciał pokazać Annę Karenina Kiedyś American ...

Oceanowie Atlantyckie i indyjskie Ucz się na świecie Ocean -...

Wzmocnienie mocy królewskiej wzmacniają moc króla we Francji Pytania na początku akapitu ...

Nowy na stronie

Ogólna charakterystyka jednokomórkowego

"Notatki szalone": opis i analiza historii z encyklopedii Notatki Szalonej w Literatorze Rosji

Kasty i społeczności w średniowiecznych Indiach Cechy rozwoju społeczeństwa indyjskiego w średniowieczu

Opinie na rosyjskiej folk bajki "Morozko

Poezja Silver Century: Poeci, wiersze, główne kierunki i funkcje Poezja Silver Age Undesition Women Men