Przedstawienie definicji segmentów proporcjonalnych podobnych trójkątów. Prezentacja na temat „definicja podobnych trójkątów”

Slajd 8

proporcjonalne cięcia. Definicja trójkątów podobnych Stosunek obszarów podobnych trójkątów Pierwszy znak podobieństwa trójkąta (dowód) Drugi znak podobieństwa trójkąta (dowód) Trzeci znak podobieństwa trójkąta (dowód) Zastosowanie praktyczne

Slajd 9

Kontynuacja

Informacje podstawowe Pomiar prac na ziemi Wyznaczenie wysokości obiektu Wyznaczenie odległości do niedostępnego punktu Wyznaczenie odległości poprzez zbudowanie podobnych trójkątów (1) (2) (5) (4) (3)

Slajd 10

Segmenty proporcjonalne

Stosunek segmentów AB i CD jest stosunkiem ich długości, tj. AB / CD Mówią, że segmenty AB i CD są proporcjonalne do segmentów A1 B1 i C1 D1, jeśli AB / A1B1 \u003d CD / C1D1. Pojęcie proporcjonalności jest również wprowadzane dla dużej liczby segmentów

slajd 11

Definicja podobnych trójkątów.

Mówi się, że dwa trójkąty są podobne, jeśli ich kąty są odpowiednio przystające, a boki jednego trójkąta są proporcjonalne do podobnych boków drugiego

zjeżdżalnia 12

Stosunek pól podobnych trójkątów

Twierdzenie Stosunek pól dwóch podobnych trójkątów jest równy kwadratowi współczynnika podobieństwa

slajd 13

Dowód.

Niech trójkąty ABC i A1B1C1 będą podobne, a współczynnik podobieństwa równy r. Niech S i S1 oznaczają pola tych trójkątów. Ponieważ kąt A=kątA1, to S/S1=AB*AC/A1B1*A1C1(zgodnie z twierdzeniem o współczynniku powierzchni, współczynniki podobieństwa dla trójkątów o równych kątach). Zgodnie ze wzorami (2) mamy: AB / A1B1 \u003d R, AC / A1C1 \u003d R, zatem S / S \u003d R 2

Slajd 14

Pierwszy znak podobieństwa trójkątów

Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm kątom drugiego, to takie trójkąty są równe A B C

zjeżdżalnia 15

Drugi znak podobieństwa trójkątów

Jeżeli dwa boki innego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków innego trójkąta i kąty zawarte między tymi bokami są równe, to takie trójkąty są podobne.

zjeżdżalnia 16

Trzeci znak podobieństwa trójkątów

Jeśli trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech boków drugiego, to trójkąty są podobne. A B C

Slajd 17

Dowód.(1)

Biorąc pod uwagę: ABC i A1B1C1 to dwa trójkąty, w których kąt A \u003d kąt A1, kąt B \u003d kąt B1 Udowodnijmy, że trójkąt ABC to trójkąt A!B1C1

Slajd 18

Dowód.

Zgodnie z twierdzeniem o sumie kątów trójkąta, kąt C \u003d 180 stopni kąt A-kąt B, kąt C \u003d 180 stopni-kąt A - kąt B, a zatem kąt C \u003d kąt C Zatem kąty trójkąta ABC są odpowiednio równe kątom trójkąta ABC 1 1 1 1 1 1 1

Slajd 19

Udowodnijmy, że boki trójkąta ABC są proporcjonalne do podobnych boków trójkąta A B C. c \u003d CA * CB / CA * C B. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Slajd 20

Z tych równości wynika, że ​​AB / AB \u003d BC / BC Podobnie, używając kąta równości A \u003d narożnik A Kąt B \u003d narożnik B, otrzymujemy BC / BC \u003d CA / C A. Tak więc boki trójkąty ABC są proporcjonalne do podobnych boków trójkąta A In C Twierdzenie jest udowodnione. 1 1 1 1 1 1 1 1

slajd 21

Dowód (2)

Biorąc pod uwagę: dwa trójkąty ABC i A B C, w których AB / A B = AC / A C, kąt A \u003d kąt A B = narożnik B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

zjeżdżalnia 22

Rozważ trójkąt ABC, w którym kąt1 = kątA, kąt2 = kąt B. Trójkąty ABC ABC są podobne w pierwszym znaku podobieństwa trójkątów, dlatego AB / AB \u003d AC / A C. Z drugiej strony pod warunkiem AB / AB \u003d AC /А С. Z tych dwóch równości otrzymujemy AC=AC. 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2

zjeżdżalnia 23

Trójkąty ABC i ABC są równe na dwóch bokach pomiędzy nimi (AB jest bokiem wspólnym, AC=AC i kąt A=kąt 1, ponieważ kąt A=kąt A i kąt 1=kąt A). Wynika z tego, że kąt B = kąt 2, a ponieważ kąt 2 = kąt B, to kąt B = kąt B. Twierdzenie jest udowodnione. 2 2 1 1 1 1

zjeżdżalnia 24

Dowód (3)

Biorąc pod uwagę: boki trójkątów ABC i ABC są proporcjonalne. Udowodnijmy, że trójkąt ABC jest trójkątem A B C 1 1 1

Slajd 25

Dowód

Aby to zrobić, biorąc pod uwagę drugi znak podobieństwa trójkątów, wystarczy udowodnić, że kąt A \u003d kąt A. Rozważ trójkąt ABC, w którym kąt 1 \u003d kąt A, kąt 2 \u003d kąt B. Trójkąty ABC i A BC są podobne w pierwszym znaku podobieństwa trójkątów, dlatego AB / A B \u003d BC / B C \u003d C A / C A.

zjeżdżalnia 26

Porównując te równości z równościami (1) otrzymujemy: ВС=ВС, СА= С А Trójkąty ABC i ABC są równe z trzech stron. Wynika z tego, że kąt A = kąt 1, a ponieważ kąt1 = kąt A, to kąt A = kąt A. Twierdzenie jest udowodnione. 2 2 2 1 1

Slajd 27

Praktyczne zastosowania podobnych trójkątów

Przy rozwiązywaniu wielu problemów dotyczących budowy trójkątów stosuje się tzw. metodę podobieństwa. Polega ona na tym, że najpierw na podstawie pewnych danych powstaje trójkąt podobny do pożądanego, a następnie z pozostałych danych budowany jest trójkąt pożądany.

Slajd 28

Zadanie 1

Skonstruuj trójkąt podając dwa kąty i dwusieczną w wierzchołku trzeciego kąta

Slajd 29

Rozwiązanie

Najpierw zbudujmy jakiś trójkąt podobny do pożądanego. Aby to zrobić, narysuj dowolny odcinek A B i skonstruuj trójkąt A B C, w którym odpowiednio kąty A i B są równe zadanym kątom

zjeżdżalnia 30

Kontynuacja

Następnie konstruujemy dwusieczną kąta C i wykreślamy na niej odcinek CD, który jest równy temu odcinkowi. Narysuj linię przez punkt D równolegle do A B. Przecina boki kąta C w niektórych punktach A i B. Trójkąt ABC jest pożądany

Slajd 31

W rzeczywistości, skoro AB jest równoległe do AB, to kąt A = kąt A, kąt B = kąt B, a zatem dwa kąty trójkąta ABC są odpowiednio równe podanym kątom. Z konstrukcji dwusieczna CD trójkąta ABC jest równa temu segmentowi, więc trójkąt ABC spełnia wszystkie warunki zadania.

zjeżdżalnia 32

Podstawowe informacje(1)

1. Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A B C wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z poniższych warunków równoważnych. 1 1 1

Slajd 33

Warunki

A) AB: BC: CA \u003d A B: B C: C A; C) AB: BC \u003d A B: B C i kąt ABC \u003d narożnik A B C; C) kąt ABC = kąt A B C i kąt BAC = kąt B A C. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

zjeżdżalnia 34

Podstawowe informacje(2)

2) jeśli proste równoległe odcinają trójkąty ABC i ABC od kąta z wierzchołkiem A, to te trójkąty są podobne i AB:AB = AC:AC (punkty B i B leżą po jednej stronie kąta, C i C po drugiej ). 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Zjeżdżalnia 35

Podstawowe informacje(3)

3) linia środkowa trójkąta to odcinek łączący środki boków. Ten odcinek jest równoległy do ​​trzeciego boku i równy połowie jego długości. Linia środkowa trapezu to odcinek, który łączy punkty środkowe boków trapezu. Ten odcinek jest równoległy do ​​podstaw i równy połowie sumy ich długości

zjeżdżalnia 36

Podstawowe informacje (4)

4) stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi współczynnika podobieństwa, czyli kwadratowi stosunku długości odpowiednich boków. Wynika to na przykład ze wzoru Savs=0,5*AB*ACsinA.

Slajd 37

Myśl przewodnia (5)

Wielokąty AA ... A i BB ... B nazywane są podobnymi, jeśli AA: AA: ...: AA \u003d BB: BB: ... BB i kąty na wierzchołkach A ..., A. są równe , odpowiednio do kątów na wierzchołkach A, ….,A są równe Stosunek odpowiednich przekątnych podobnych wielokątów jest równy współczynnikowi podobieństwa; dla podobnych opisanych wielokątów stosunek promieni wpisanych okręgów jest również równy współczynnikowi podobieństwa 1 2 n 1 2 n 1 2 2 3 n 1 1 2 2 3 n 1 1 n 1 n

Slajd 38

Pomiar pracy na ziemi

Właściwości takich trójkątów można wykorzystać do wykonywania różnych pomiarów na ziemi. Rozważymy dwa zadania: określenie wysokości obiektu na ziemi oraz odległości do niedostępnego punktu.

Slajd 39

Zadanie 1

Określanie wysokości obiektu

Zjeżdżalnia 40

Kontynuacja

Załóżmy, że musimy określić wysokość jakiegoś obiektu, na przykład wysokość słupa telegraficznego AC, w tym celu umieszczamy słup AC z obracającym się prętem w pewnej odległości od słupa i kierujemy pręt do górnego punktu A bieguna Zaznaczamy punkt B na powierzchni ziemi, w którym prosta A A przecina się z powierzchnią ziemi. 1 1 1 1

Slajd 41

Trójkąty prostokątne A C B i DIA są podobne w pierwszym znaku trójkątów (kąt C \u003d kąt C \u003d 90 stopni, kąt B jest powszechny). Z podobieństwa trójkątów wynika AC /AC \u003d BC / BC, z którego AC \u003d AC * BC / BC mierząc odległość BC i BC oraz znając długość AC bieguna, korzystając z otrzymanego wzoru, określamy wysokość AC słupa telegraficznego 1 1 1 1 1 1 1 1 1 jeden

Slajd 42

Zadanie (2)

Określanie odległości do niedostępnego punktu

zjeżdżalnia 43

Kontynuacja

Załóżmy, że musimy znaleźć odległość od punktu A do niedostępnego punktu B. Aby to zrobić, wybieramy punkt C na ziemi, zawieszamy odcinek AC i mierzymy go. Następnie za pomocą astrolabium mierzymy kąty A i C. Na kartce papieru budujemy jakiś trójkąt ABC, w którym kąt A \u003d kąt A, kąt C \u003d kąt C, i mierzymy długości boków AB i AC tego trójkąta. 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Slajd 44

Ponieważ trójkąt ABC i ABC są podobne (zgodnie z pierwszym znakiem podobieństwa trójkątów), to AB / AB \u003d AC AC, z którego otrzymujemy AB \u003d AC * AB / A C. Ta formuła pozwala na znane odległości AC , AC i A B, znajdź odległość AB. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Zjeżdżalnia 45

Aby uprościć obliczenia, wygodnie jest skonstruować trójkąt A B C w taki sposób, aby A C: AC \u003d 1: 1000. na przykład, jeśli AC = 130m, to odległość AC jest równa 130mm. W tym przypadku AB \u003d AC / AC * AB \u003d 1000 * AB, dlatego mierząc odległość AB w milimetrach, natychmiast otrzymujemy odległość AB w metrach 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Slajd 46

Przykład

Niech AC = 130m, kąt A = 73 stopnie, kąt C = 58 st. Budujemy na papierze trójkąt ABC tak, aby kąt A = 73 stopnie, kąt C = 58 stopni, AC = 130 mm i mierzymy odcinek A B. Jest to 153 mm, dlatego wymagana odległość to wczesne 153m. 1 1 1 1 1

Slajd 47

Określanie odległości poprzez budowanie podobnych trójkątów

Określając odległość do odległych lub niedostępnych obiektów, możesz użyć następującej techniki. Na zwykłym meczu podziałki dwumilimetrowe należy nakładać tuszem lub ołówkiem. Musisz również znać przybliżoną wysokość obiektu, do którego określana jest odległość. Wysokość osoby wynosi 1,7-1,8 m, koło samochodu 0,5 m, jeździec 2,2 m, słup telegraficzny 6 m, parterowy dom bez dachu 2,5-4 m.

Slajd 48

Kontynuacja

Załóżmy, że musimy określić odległość do bieguna. Zapałkę kierujemy na nią na wyciągniętym ramieniu, którego długość wynosi około 60 cm. 4 mm. Mając takie dane, uzupełnimy proporcję: 0,6 / x \u003d 0,004 / 6,0; x \u003d (0,6 * 6) / 0y004 \u003d 900. Tak więc do filaru 900m.

Zobacz wszystkie slajdy

"Geometria "Podobne trójkąty"" - Podstawowa tożsamość trygonometryczna. Drugi znak podobieństwa trójkątów. Sinus, cosinus i tangens. Wartości sinus, cosinus i tangens dla kątów 30°, 45°, 60°. Podobne trójkąty. Podobny do trójkątów prostokątnych. Kontynuacja boków. proporcjonalne cięcia. Twierdzenie o stosunku pól trójkątów podobnych. Wartości sinusa, cosinusa i tangensa. Dwa boki trójkąta są połączone segmentem, który nie jest równoległy do ​​trzeciego.

„Znalezienie obszaru trapezu” – wyniki. Własności trójkąta prostokątnego. Znajdź obszar trapezu. Porównaj obszary. Wyznacz podstawy. Zadania do samokontroli. Obszar trapezu. Powtórzenie okrytego materiału. Pułapka. Zapisz formuły. Rozwijanie umiejętności stosowania formuły. Znajdź obszar. Obszar komórki. Rozwiązanie zadania. Podsumujmy. Kwadrat.

„Czwokąty, ich znaki i właściwości” – Romb. Czworokąty, ich znaki i właściwości. Dowiedz się o rodzajach czworokątów. Prostokąt. Właściwości równoległoboku. Prostokąt o równych wszystkich bokach. Czworokąt, którego wierzchołki znajdują się w środkach boków. Przekątne. Rodzaje czworokątów. Testy. Jakie dwa trójkąty równe mogą tworzyć kwadrat? Rodzaje trapezu. Rogi rombowe. Kwadrat. Cechy równoległoboku. czworokąty.

„Twierdzenie o wpisanym kącie” - Promień okręgu wynosi 4 cm Odpowiedź. Ostry róg. Konsolidacja badanego materiału. Aktualizacja wiedzy uczniów. Aktualizacja wiedzy. Nauka nowego materiału. Promień okręgu. Jak nazywa się kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu? Znajdź kąt między akordami. Pojęcie kąta wpisanego. Trójkąt. Znajdź kąt między nimi. Rozwiązanie. Sprawdź się. Poprawna odpowiedź. Kręgi przecinają się. Twierdzenie o kątach wpisanych.

„Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego” - Trójkąt prostokątny. Imię Pitagorasa. Połączenie dwóch sprzecznych zasad. Herodot. Stwierdzenie twierdzenia. starożytni autorzy. Pitagoras z Samos. Moneta z wizerunkiem Pitagorasa. Twierdzenie Pitagorasa. Nauki Pitagorasa.

„Pojęcie obszaru wielokąta” - sąsiednie boki równoległoboku. Obszar trójkąta. Dyktowanie matematyczne. Równoległobok. Obszar rombowy. Pojęcie obszaru wielokąta. Obszar prostokąta. Obszar trapezu. Wysokości. Obszar wielokątów. Obszar trójkąta prostokątnego. Twierdzenie. Ostry róg. Obszar równoległoboku. Oblicz obszar rombu. Znajdź obszar trójkąta prostokątnego. Trójkąty. Jednostki powierzchni.

PODOBNE TRÓJKĄTY

Gimnazjum MBOU №14

Nauczyciel matematyki: E.D. Łazariewa

Segmenty proporcjonalne

nastawienie segmenty AB i CD to stosunek ich długości, tj.

Segmenty AB i CD proporcjonalny segmenty A 1 B 1 i C 1 D 1 jeśli

Definicja podobnych trójkątów

Te dwa trójkąty nazywają się podobny jeśli ich kąty są odpowiednio równe, a boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego.

Liczba k, równa stosunkowi podobnych boków trójkątów, nazywa się współczynnik podobieństwa

b 1

A 1

C 1

Stosunek pól podobnych trójkątów

Stosunek pól dwóch podobnych trójkątów wynosi kwadrat współczynnika podobieństwa

Dwusieczna trójkąta dzieli przeciwną stronę na segmenty proporcjonalne do sąsiednich boków trójkąta.

b 1

A 1

C 1

i

Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm kątom innego trójkąta, to takie trójkąty są podobne

 ABC,  A 1 B 1 C 1 ,

 A =  A 1 ,  B =  B 1

Udowodnić:

 ABC  A 1 B 1 C 1

b 1

A 1

C 1

Oznaki podobieństwa trójkątów

II znak podobieństwa trójkąta

Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków innego trójkąta i kąty zawarte między tymi bokami są równe, to takie trójkąty są podobne

 ABC,  A 1 B 1 C 1 ,

Udowodnić:

 ABC  A 1 B 1 C 1

b 1

A 1

C 1

Oznaki podobieństwa trójkątów

III znak podobieństwa trójkąta

Jeśli trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech boków innego trójkąta, to takie trójkąty są podobne

 ABC,  A 1 B 1 C 1 ,

Udowodnić:

 ABC  A 1 B 1 C 1

b 1

A 1

C 1

Środkowa linia trójkąta

Linia środkowa trójkąta to odcinek łączący punkty środkowe dwóch boków.

Środkowa linia trójkąta

równolegle do jednego z jego boków

i równy połowie tej strony

ABC, MN - linia środkowa

Udowodnić:

MN AC, MN = AC

Mediany trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdą medianę w stosunku 2:1, licząc od góry

A 1

C 1

b 1

Stosowanie podobieństwa do rozwiązywania problemów

Wysokość trójkąta prostokątnego narysowanego z wierzchołka kąta prostego dzieli trójkąt na dwa podobne trójkąty prostokątne, z których każdy jest podobny do danego trójkąta.

 ABC  ACD,

Zastosowanie podobieństwa do dowodzenia twierdzeń

1. Wysokość trójkąta prostokątnego wyciągniętego z wierzchołka kąta prostego jest średnią proporcjonalną między segmentami, na które podzielona jest przeciwprostokątna przez tę wysokość

Zastosowanie podobieństwa do dowodzenia twierdzeń

2. Noga trójkąta prostokątnego to średnia proporcjonalna między przeciwprostokątną a odcinkiem przeciwprostokątnej ujętym między nogę a wysokością wyciągniętą z wierzchołka kąta prostego.

1.1. Odcinki proporcjonalne Definicja trójkątów podobnych 1.2. Definicja trójkątów podobnych 1.3. Stosunek pól trójkątów podobnych Stosunek pól trójkątów podobnych Własności podobieństwa.

1.1 Segmenty proporcjonalne. Stosunek odcinków AB i CD jest stosunkiem ich długości, tj. Mówi się, że odcinki AB i CD są proporcjonalne do odcinków A 1 B 1 i C 1 D 1, jeśli PRZYKŁAD 1. Odcinki AB i CD, których długość wynosi 2 cm i 1 cm, proporcjonalnie do odcinków A 1 B 1 i C 1 D 1, których odcinki mają 3 cm i 1,5 cm. W rzeczy samej,

1.2. Definicja podobnych trójkątów. W życiu codziennym znajdują się przedmioty o tym samym kształcie, ale różnej wielkości, takie jak piłki do piłki nożnej i tenisowej, okrągły talerz i duże okrągłe naczynie. W geometrii figury o tym samym kształcie nazywane są podobnymi. Czyli dowolne dwa kwadraty, dowolne dwa koła są podobne. Przedstawmy pojęcie trójkątów podobnych.

1.2. Definicja podobnych trójkątów. SIMILARITY, koncepcja geometryczna charakteryzująca obecność tego samego kształtu w kształtach geometrycznych, niezależnie od ich wielkości. Dwie figury F1 i F2 nazywane są podobnymi, jeśli można ustalić zależność jeden do jednego między ich punktami, w której stosunek odległości między dowolnymi parami odpowiednich punktów na figurach F1 i F2 jest równy tej samej stałej k, zwany współczynnikiem podobieństwa. Kąty między odpowiednimi liniami podobnych figur są równe. Podobne liczby to F1 i F2.

Definicja. Mówi się, że dwa trójkąty są podobne, jeśli ich kąty są odpowiednio równe, a boki jednego trójkąta są proporcjonalne do podobnych boków drugiego trójkąta. Innymi słowy, dwa trójkąty są podobne, jeśli można je oznaczyć literami ABC i A 1 B 1 C 1, tak że A= A 1, B= B 1, C= C 1. Liczba k równa stosunkowi podobne boki trójkątów nazywamy współczynnikiem podobieństwa .

1.3. Stosunek pól podobnych trójkątów. Twierdzenie. Stosunek pól dwóch podobnych trójkątów jest równy kwadratowi współczynnika podobieństwa. Dowód. Niech trójkąty ABC i A1B1C1 będą podobne, a współczynnik podobieństwa równy k. Niech S i S1 oznaczają pola tych trójkątów. Ponieważ A= A1, to

właściwości podobieństwa. Zadanie 2. Udowodnij, że dwusieczna trójkąta dzieli przeciwny bok na odcinki proporcjonalne do sąsiednich boków trójkąta Rozwiązanie. Niech AD będzie dwusieczną trójkąta ABC. Udowadniamy, że Trójkąty ABD i ACD mają wspólną wysokość AH, więc 12 A H B D C

Dowód: Zgodnie z twierdzeniem o sumie kątów: C \u003d A - B i C 1 \u003d A 1 - B 1, następnie C \u003d C 1. Ponieważ A \u003d A 1 i C \u003d C 1, wynika to z to: Okazuje się, że odpowiednie boki są proporcjonalne. Dane: ABC i A 1 B 1 C 1 A= A 1 B= B 1 Udowodnij: ABC A 1 B 1 C 1 A C B A1A1 B1B1 C1C1

ABC 2 A 1 B 1 C 1 (według pierwszego znaku), co oznacza z drugiej strony z tych równości AC = = AC 2. ABC = ABC 2 - po dwóch stronach i kąt między nimi (AB -wspólna strona, AC = AC 2 i, ponieważ i).Więc i, wtedy ABC A1B1C1 Dane: ABC i A 1 B 1 C 1 D-ty: Dowód: Rozważ ABC 2, dla którego i

Dowód: A 1 B 1 to linia środkowa, a A 1 B 1 // AB, a zatem AOB A 1 OB 1 (w dwóch rogach), a następnie Ale AB \u003d A 1 B 1, zatem AO \u003d 2A 1 O i BO \u003d 2В 1 O. Tak więc punkt O jest przecięciem median AA 1 i BB 1 dzieli każdą z nich w stosunku 2: 1, licząc od góry. Podobnie udowodniono, że punkt O - przecięcie się median BB 1 i CC 1 dzieli każdą z nich w stosunku 2:1, licząc od góry. Czyli punkt O - przecięcie się median AA 1, BB 1 i SS 1 dzieli je w stosunku 2:1, licząc od góry.

Aby skorzystać z podglądu prezentacji, załóż konto (konto) Google i zaloguj się: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Podobne trójkąty

Figury podobne Figury są nazywane podobnymi, jeśli mają ten sam kształt (podobny wygląd).

Podobieństwo w życiu (mapy okolicy)

Segmenty proporcjonalne Definicja: Segmenty nazywane są proporcjonalnymi, jeśli ich długość jest proporcjonalna. 12 6 8 4 A 1 B 1 AB C 1 K 1 SK Mówią, że odcinki A 1 B 1 i C 1 K 1 są proporcjonalne do odcinków AB i SK. Czy odcinki AB i SK są proporcjonalne do odcinków EP i HT, jeżeli: a) AB = 15 cm, SC = 2,5 cm, EP = 3 cm, HT = 0,5 cm? b) AB = 12 cm, SC = 2,5 cm, EP = 36 cm, HT = 5 cm? c) AB = 24 cm, SC = 2,5 cm, EP = 12 cm, HT = 5 cm? tak nie nie A B 6 cm C K 4 cm A 1 B 1 12 cm C 1 8 cm K 1

b Segmenty proporcjonalne Test 1. Wskaż prawidłowe stwierdzenie: a) segmenty AB i PH są proporcjonalne do segmentów SK i ME; b) odcinki ME i AB są proporcjonalne do odcinków PH i SK; c) odcinki AB i ME są proporcjonalne do odcinków PH i SK. A B 3 cm C K 2cm M E 9 cm RN 6 cm Dodatek: równość ME AB RN SK można zapisać jeszcze trzema równościami: RN SK ME AB; ME RN AB SK; AB SK ME RN.

Segmenty proporcjonalne 2 . Test F Y Z R L S N 1 cm m 2 cm 4 cm 2 cm 3 cm a) RL; b) RS; c) SN a) RL

Odcinki proporcjonalne (pożądana właściwość) Dwusieczna trójkąta dzieli przeciwną stronę na odcinki proporcjonalne do sąsiednich boków trójkąta. H Biorąc pod uwagę: ABC, AK - dwusieczna. Dowód: 1 A B K C 2 Ponieważ AK jest dwusieczną, to 1 \u003d 2, co oznacza, że ​​ABK i ASK mają równy kąt, dlatego AVK i ASK mają wspólną wysokość AN, więc S AVK S ASK VC KC AB AC BK KC VC AB KS AC Dlatego narysujmy AN VS.

Definicja podobnych trójkątów: Mówi się, że trójkąty są podobne, jeśli kąty jednego trójkąta są równe kątom innego trójkąta, a boki jednego trójkąta są proporcjonalne do podobnych boków drugiego. A 1 B 1 C 1 A B C Podobne boki w podobnych trójkątach to boki leżące naprzeciwko równych kątów. A 1 \u003d A, B 1 \u003d B, C 1 \u003d C A 1 B 1 B 1 C 1 A 1 C 1 AB BC AC k A 1 B 1 C 1 ABC K - współczynnik podobieństwa ~

Podobne trójkąty A 1 B 1 C 1 ABC Pożądana właściwość: A 1 \u003d A, B 1 \u003d B, C 1 \u003d C, AB BC AC A 1 B 1 B 1 C 1 A 1 C 1 1 k ABC ~ A 1 B 1 C 1 , – współczynnik podobieństwa 1 k A 1 B 1 C 1 ABC , K – współczynnik podobieństwa ~

Rozwiąż zadania 3. Zgodnie z danymi na rysunku znajdź boki AB i B 1 C 1 podobnych trójkątów ABC i A 1 B 1 C 1: A B C A 1 C 1 B 1 6 3 4 2,5? ? Znajdź boki A 1 B 1 C 1 podobne do ABC, jeśli AB = 6, BC = 12. AC = 9 i k = 3. 2. Znajdź boki A 1 B 1 C 1 podobne do ABC, jeśli AB = 6, BC = 12. AC = 9 i k = 1/3.

Twierdzenie 1. Stosunek obwodów trójkątów podobnych jest równy współczynnikowi podobieństwa. M K E A B C Biorąc pod uwagę: MKE ~ ABC, K jest współczynnikiem podobieństwa. Dowieść: P MKE: P ABC = k Dowód: K , MK AB KE BC ME AC Stąd MK = k ∙ AB, KE = k ∙ BC, ME = k ∙ AC. Ponieważ zgodnie z warunkiem MKE ~ ABC, k jest współczynnikiem podobieństwa, to R MKE \u003d MK + KE + ME \u003d k ∙ AB + k ∙ BC + k ∙ AC = k ∙ (AB + BC + AC) \u003d k P ABC. Stąd R MKE: R ABC \u003d k.

Twierdzenie 2. Stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi współczynnika podobieństwa a. M K E A B C Biorąc pod uwagę: MKE ~ ABC, K jest współczynnikiem podobieństwa. Dowód: S MKE: S ABC = k 2 Dowód: Ponieważ zgodnie z warunkiem MKE ~ ABC, k jest współczynnikiem podobieństwa, to M = A, k, MK AB ME AC oznacza, MK = k ∙ AB, ME = k ∙ JAK. S MKE S ABC MK ∙ ME AB ∙ AC k ∙ AB ∙ k ∙ AC AB ∙ AC k 2

Rozwiąż zadania Dwa podobne boki podobnych trójkątów to 8 cm i 4 cm Obwód drugiego trójkąta wynosi 12 cm Jaki jest obwód pierwszego trójkąta? 24 cm 2. Dwa podobne boki podobnych trójkątów to 9 cm i 3 cm Powierzchnia drugiego trójkąta to 9 cm 2. Jaka jest powierzchnia pierwszego trójkąta? 81 cm 2 3. Dwa podobne boki podobnych trójkątów to 5 cm i 10 cm Powierzchnia drugiego trójkąta to 32 cm 2. Jaka jest powierzchnia pierwszego trójkąta? 8 cm 2 4. Pola dwóch podobnych trójkątów to 12 cm 2 i 48 cm 2. Jeden z boków pierwszego trójkąta ma 4 cm, jaki jest podobny bok drugiego trójkąta? 8 cm

Rozwiązanie problemu Powierzchnie dwóch podobnych trójkątów to 50 dm2 i 32 dm2, suma ich obwodów wynosi 117 dm. Znajdź obwód każdego trójkąta. Znajdź: R ABC, R REC Rozwiązanie: Skoro według warunku trójkąty ABC i REC są podobne, to: Biorąc pod uwagę: ABC, REC są podobne, S ABC = 50 dm 2, S REC = 32 dm 2, P ABC + R REC = 117dm. S ABC S REC 50 32 25 16 K 2 . Stąd k \u003d 5 4 K, R ABC R REK R ABC R REK 5 4 1,25 Stąd R ABC \u003d 1,25 R REK Niech R REK \u003d x dm, a następnie R ABC \u003d 1,25 x dm T. do .by warunek R ABC + R REC = 117dm, następnie 1,25 x + x = 117, x = 52. Stąd R REC = 52 dm, R ABC = 117 - 52 = 65 (dm). Odpowiedź: 65 dm, 52 dm.

„Matematyka powinna być później nauczana, że ​​porządkuje umysł” M. V. Lomonosov Życzę powodzenia w nauce! Michajłowa L.P. GOU TsO nr 173.