Cum să rezolvi sarcinile OGE. Ce este OGE și semnificația sa? Cum se desfășoară OGE în diverse subiecte

La redactarea acestei lucrări „OGE în Matematică 2018. Opțiunea 2”, manualul „OGE 2018. Matematică. 14 opțiuni. Sarcini de testare tipice de la dezvoltatorii OGE / I. R. Vysotsky, L. O. Roslova, L. V. Kuznetsova, V. A. Smirnov, A. V. Khachaturyan, S. A. Shestakov, R. K. Gordin, A. S. Trepalin, A. V. Semenov, P. I. Zakharov; editat de I. V. Yashchenko. – M.: Editura „Examinare”, MCNMO, 2018″.

Partea 1

Modul de algebră

Arată soluția

Pentru a adăuga două fracții, acestea trebuie reduse la un numitor comun. În acest caz, acesta este numărul 20 :

Răspuns:
5,45

1. În mai multe curse de ștafetă care au avut loc la școală, echipele au arătat următoarele rezultate.

Echipă	Stau, puncte	Stafeta II, puncte	Stafeta III, puncte	Stafeta IV, puncte
"Lovit"	3	3	2	1
"Smulge"	4	1	4	2
"Scoate"	1	2	1	4
„Spurge”	2	4	3	3

La rezumarea rezultatelor, se însumează scorurile fiecărei echipe pentru toate cursele de ștafetă. Câștigă echipa cu cele mai multe puncte. Care echipă a ocupat primul loc?

1. "Lovit"
2. "Smulge"
3. "Scoate"
4. „Spurge”

Arată soluția

În primul rând, însumăm punctele înscrise de fiecare echipă

„Lovitură” = 3 + 3 + 2 + 1 = 9
„Linie” = 4 + 1 + 4 + 2 = 11
„Decolare” = 1 + 2 + 1 + 4 = 8
“ţâşneşte” = 2 + 4 + 3 + 3 = 12

Judecând după rezultat: primul loc revine echipei Sprut.
Răspuns:
Primul loc a fost ocupat de echipa Sprut, numărul 4.

1. Pe linia de coordonate, punctele A, B, C și D corespund numerelor: 0,098; -0,02; 0,09; 0,11.

Cu ce ​​punct corespunde cifra 0,09?

Arată soluția

Pe o linie de coordonate, numerele pozitive sunt la dreapta originii, iar numerele negative sunt la stânga. Aceasta înseamnă că singurul număr negativ -0,02 corespunde punctului A. Cel mai mare număr pozitiv este 0,11, ceea ce înseamnă că corespunde punctului D (cel mai îndepărtat la dreapta). Având în vedere că numărul rămas 0,098 este mai mare decât numărul 0,09, atunci ele aparțin punctelor C și, respectiv, B. Să arătăm asta în desen:

Răspuns:
Numărul 0,09 corespunde punctului B, numărul 2.

1. Găsiți sensul expresiei

Arată soluția

În acest exemplu, trebuie să fii inteligent. Dacă rădăcina lui 36 este egală cu 6, deoarece 6 2 = 36, atunci rădăcina lui 3,6 este destul de greu de găsit într-un mod simplu. Cu toate acestea, după găsirea rădăcinii numărului 3,6, acesta trebuie să fie imediat pătrat. Astfel, cele două acțiuni de găsire a rădăcinii pătrate și pătrare se anulează reciproc. Prin urmare obținem:

Răspuns:
2,4

1. Graficul arată dependența presiunii atmosferice de altitudinea deasupra nivelului mării. Axa orizontală arată altitudinea deasupra nivelului mării în kilometri, iar axa verticală arată presiunea în milimetri de mercur. Determinați din grafic la ce altitudine presiunea atmosferică este de 360 ​​de milimetri de mercur. Dați răspunsul în kilometri.

Arată soluția

Să găsim pe grafic o linie corespunzătoare la 360 mmHg. În continuare, vom determina locul intersecției sale cu curba dependenței presiunii atmosferice de altitudinea deasupra nivelului mării. Graficul arată clar această intersecție. Să tragem o linie dreaptă de la punctul de intersecție până la scara de înălțime. Valoarea dorită este de 5,5 kilometri.

Răspuns:
Presiunea atmosferică este de 360 ​​de milimetri de mercur la o altitudine de 5,5 kilometri.

1. Rezolvați ecuația X 2 – 6x = 16

Dacă ecuația are mai multe rădăcini, scrieți răspunsul cu rădăcina mai mică.

Arată soluția

X 2 – 6x = 16

Avem în fața noastră ecuația pătratică obișnuită:

X 2 + 6x – 16 = 0

Pentru a o rezolva, trebuie să găsiți un discriminant:

D = (-6) 2 – 4 * 1 * (-16) = 36 + 64 = 100

Deoarece D > 0, ecuația are două rădăcini

x1 = (-(-6) + √100) / 2 * 1 = (6 + 10) / 2 = 16 / 2 = 8

x2 = (-(-6) – √100) / 2 * 1 = (6 – 10) / 2 = -4 / 2 = -2

Sa verificam:

8 2 – 6 * 8 – 16 =0

64 – 48 – 16 = 0

(-2) 2 – 6 * (-2) – 16 =0

4 + 12 – 16 = 0

Prin urmare, x1 = 8 și x2 = -2 sunt rădăcinile ecuației pătratice date.

x1 = -2 este rădăcina mai mică a ecuației.
Răspuns:
Cea mai mică rădăcină a acestei ecuații este -2

1. Telefonul mobil care a fost pus în vânzare în ianuarie a costat 1.600 de ruble. În mai, a început să coste 1.440 de ruble. Cu ce ​​procent a scăzut prețul unui telefon mobil între ianuarie și mai?

Arată soluția

Deci, 1600 de ruble - 100%

1600 – 1440 = 160 (r) – suma cu care telefonul a devenit mai ieftin

160 / 1600 * 100 = 10 (%)
Răspuns:
Prețul unui telefon mobil a scăzut cu 10% între ianuarie și mai.

1. Diagrama prezintă cele mai mari șapte țări din lume după suprafață (în milioane de km2).

Care dintre următoarele afirmații sunt adevărate?

1) Afganistanul este una dintre cele mai mari șapte țări din lume după suprafață.
2) Suprafața Braziliei este de 8,5 milioane km2.
3) Suprafața Indiei este mai mare decât zona Australiei.
4) Suprafața Rusiei este cu 7,6 milioane km2 mai mare decât suprafața Statelor Unite.

Ca răspuns, notați numerele afirmațiilor selectate fără spații, virgule sau alte caractere suplimentare.

Arată soluția

Pe baza graficului, Afganistanul nu se află în lista țărilor reprezentate, ceea ce înseamnă prima declarație incorect .

Deasupra histogramei Braziliei este o suprafață de 8,5 milioane km2, care corespunde celei de-a doua declarații, Adevărat .

Conform graficului, aria Indiei este de 3,3 milioane km2, iar aria Australiei este de 7,7 milioane km2, ceea ce nu corespunde declarației din al treilea paragraf, incorect .

Suprafața teritoriului Rusiei este de 17,1 milioane km 2, iar aria Statelor Unite este de 9,5 milioane km 2, obținem 17,1 – 9,5 = 7,6 milioane km 2. Ceea ce înseamnă afirmația 4 Adevărat .
Răspuns:
24

1. Conform termenilor promoției, fiecare a opta sticlă de sifon conține un premiu sub capac. Premiile sunt distribuite aleatoriu. Vasya cumpără o sticlă de sifon. Găsiți probabilitatea ca Vasya să nu găsească premiul.

Arată soluția

Soluția la această problemă se bazează pe formula clasică pentru determinarea probabilității:

unde m este numărul de rezultate favorabile ale evenimentului și n este numărul total de rezultate

Primim

Astfel, probabilitatea ca Vasya să nu găsească premiul va fi de 7/8 sau

Răspuns:
Probabilitatea ca Vasya să nu găsească premiul este de 0,875

1. Stabiliți o corespondență între funcții și graficele acestora.

În tabel, sub fiecare literă, indicați numărul corespunzător.

Arată soluția

1. Hiperbola din figura 1 este situată în al doilea și al patrulea trimestru, prin urmare, funcției B îi poate corespunde acestui grafic. Să verificăm: a) la x = -6, y = -(1/-6*3) = 0,05; b) la x = -2, y = -(1/-2*3) = 0,17; c) la x = 2, y = -(1/2*3) = -0,17; d) la x = 6, y = -(1/6*3) = -0,05. Q.E.D.
2. Hiperbola din figura 2 este situată în primul și al treilea trimestru, prin urmare, funcției A poate corespunde acestui grafic.Efectuați singur verificarea, prin analogie cu primul exemplu.
3. Hiperbola din figura 3 este situată în al doilea și al patrulea trimestru, prin urmare, funcției B îi poate corespunde acestui grafic. Să verificăm: a) la x = -6, y = -(3/-6) = 0,5; b) la x = -2, y = -(3/-2) = 1,5; c) la x = 2, y = -(3/2) = -1,5; d) la x = 6, y = -(3/6) = -0,5. Q.E.D.

Răspuns:
A – 2; B – 3; ÎN 1

1. Progresia aritmetică (a n) este dată de condițiile:

a 1 = 48, a n+1 = a n – 17.

Aflați suma primilor săi șapte termeni.

Arată soluția

a 1 = 48, a n+1 = a n – 17

a n + 1 =a n – 17 ⇒ d = -17

a n = a 1 + d(n-1)

a 7 = a 1 + d(n-1) = 48 – 17 (7 – 1) = 48 – 102 = -54

S 7 = (a 1 + a 7)∙7 / 2

S 7 = (a 1 + a 7)∙3.5

S 7 = (48 – 54)∙3,5 = -21
Răspuns:
-21

1. Găsiți sensul expresiei

Arată soluția

Deschiderea parantezelor. Nu uitați că prima paranteză este pătratul diferenței.

Răspuns:
50

1. Aria unui patrulater poate fi calculată folosind formula

unde d 1 și d 2 sunt lungimile diagonalelor patrulaterului, a este unghiul dintre diagonale. Folosind această formulă, găsiți lungimea diagonalei d 2 dacă

Arată soluția

Amintiți-vă de regula, dacă avem o fracție cu trei etaje, atunci valoarea inferioară este transferată în partea de sus

Răspuns:
17

1. Precizați soluția inegalității

3 – x > 4x + 7

Arată soluția

Pentru a rezolva această inegalitate, trebuie să faceți următoarele:

a) mutați termenul 4x în partea stângă a inegalității și -3 în partea dreaptă, fără a uita să schimbați semnele pe cele opuse. Primim:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

b) Înmulțiți ambele părți ale inegalității cu numărul negativ -1 și înlocuiți semnul inegalității cu cel opus.

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

c) aflați valoarea lui x

d) mulțimea soluțiilor acestei inegalități va fi intervalul numeric de la -∞ la -2, care corespunde răspunsului 2
Răspuns:
2

Modulul „Geometrie”

1. Doi pini cresc la o distanță de 30 m unul de celălalt. Înălțimea unui pin este de 26 m, iar celălalt este de 10 m. Găsiți distanța (în metri) dintre vârfurile lor.

Arată soluția

Soluţie

În imagine am înfățișat doi pini. Distanța dintre ele este a = 30 m; am notat diferența de înălțime ca b; Ei bine, distanța dintre vârfuri este de c.

După cum puteți vedea, avem un triunghi dreptunghic regulat format dintr-o ipotenuză (c) și două catete (a și b). Pentru a afla lungimea ipotenuzei, folosim teorema lui Pitagora:

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor c 2 = a 2 + b 2

b = 26 – 10 = 16 (m)

Deci, distanța dintre vârfurile pinilor este de 34 de metri
Răspuns:
34

1. Într-un triunghi ABC se știe că AB= 5, BC = 6, AC = 4. Aflați cos∠ABC

Arată soluția

Pentru a rezolva această problemă, trebuie să utilizați teorema cosinusului. Pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte 2 laturi minus de două ori produsul acestor laturi și cosinusul unghiului dintre ele:

A 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cosα

AC² = AB² + BC² – 2 AB BC cos∠ABC
4² = 5² + 6² – 2 5 6 cos∠ABC
16 = 25 + 36 – 60 cos∠ABC

60 cos∠ABC = 25 + 36 – 16
60 cos∠ABC = 45
cos∠ABC = 45 / 60 = 3/4 = 0,75
Răspuns:
cos∠ABC = 0,75

1. Pe un cerc cu centrul în punct DESPRE puncte marcate AȘi B astfel încât ∠AOB = 18 o. Lungimea arcului mai mic AB este egal cu 5. Aflați lungimea arcului mai mare AB.

Arată soluția

Se știe că un cerc are 360 ​​de grade. Pe baza acestui fapt, 18 o este:

360 o / 18 o = 20 – numărul de segmente într-un cerc de 18 o

Asa de, 18 o alcătuiesc 1/20 din întreaga circumferință, ceea ce înseamnă partea rămasă a cercului:

acestea. rămas 342 o (360 o – 18 o = 342 o) alcătuiesc a 19-a parte a întregului cerc

Dacă lungimea arcului mai mic AB este 5, apoi lungimea arcului mai mare AB va fi:

5 * 19 = 95
Răspuns:
95

1. În trapez ABCD se știe că AB = CD, ∠BDA= 18 o și ∠ BDC= 97 o. Găsiți unghiul ABD. Dați răspunsul în grade.

Arată soluția

În funcție de condițiile problemei, avem un trapez isoscel. Unghiurile de la baza unui trapez isoscel (superior și inferior) sunt egale.

∠ADC = 18 + 97 = 115°
∠DAB = ∠ADC = 115°

Acum să ne uităm la triunghiul ABD ca întreg. Știm că suma unghiurilor unui triunghi este de 180°. De aici:

∠ABD = 180 – ∠ADB – ∠DAB = 180 – 18 – 115 = 47°.
Răspuns:
47°

1. Un triunghi este reprezentat pe hârtie în carouri cu dimensiunea pătrată de 1x1. Găsiți-i zona.

Arată soluția

Aria unui triunghi este egală cu produsul dintre jumătatea bazei triunghiului (a) și înălțimea acestuia (h):

a – lungimea bazei triunghiului

h este înălțimea triunghiului.

Din figură vedem că baza triunghiului este 6 (celule), iar înălțimea este 5 (celule). Pe baza acestui lucru obținem:

Răspuns:
15

1. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

1. Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu două unghiuri ale altui triunghi, atunci triunghiurile sunt similare.
2. Două cercuri se intersectează dacă raza unui cerc este mai mare decât raza celuilalt cerc.
3. Linia mediană a unui trapez este egală cu suma bazelor sale.

Ca răspuns, notați numărul declarației selectate.

Partea 2

Modul de algebră

1. Rezolvați ecuația

Arată soluția

Să mutăm expresia √5-x din partea dreaptă la stânga

Să reducem ambele expresii √5-x

Să mutăm 18 în partea stângă a ecuației

Avem în fața noastră o ecuație pătratică obișnuită.

Intervalul valorilor acceptabile în acest caz este: 5 – x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5

Pentru a rezolva ecuația, trebuie să găsiți discriminantul:

D = 9 + 72 = 81 = 9 2

x 1 = (3 + 9)/2 = 12/2 = 6 – nu este o soluție

x 2 = (3 – 9)/2 = -6/2 = -3

x = -3
Răspuns:
-3

1. Nava cu motor se deplasează de-a lungul râului până la destinație timp de 80 km și, după oprire, se întoarce la punctul de plecare. Găsiți viteza navei în apă nemișcată dacă viteza actuală este de 5 km/h, șederea durează 23 de ore, iar nava se întoarce la punctul de plecare la 35 de ore de la plecare.

Arată soluția

x este viteza propriei navei

x + 5 – viteza navei de-a lungul curentului

x – 5 – viteza navei împotriva curentului

35 – 23 = 12 (h) – ora de deplasare a navei de la punctul de plecare la punctul de destinație și înapoi, excluzând parcarea

80 * 2 = 160 (km) – distanța totală parcursă de navă

Pe baza celor de mai sus, obținem ecuația:

reduceți la un numitor comun și rezolvați:

Pentru a rezolva în continuare ecuația, este necesar să găsim discriminantul:

Viteza proprie a navei este de 15 km/h
Răspuns:

y = x 2 + 2x + 1 (graficul prezentat în linie roșie)

y = -36/x (grafic cu linie albastră)

Să ne uităm la ambele funcții:

1. y=x 2 +2x+1 pe intervalul [–4;+∞) este o funcție pătratică, graficul este o parabolă, iar = 1 > 0 – ramurile sunt îndreptate în sus. Dacă o reducem folosind formula pentru pătratul sumei a două numere, obținem: y=(x+1) 2 – deplasăm graficul la stânga cu 1 unitate, așa cum se vede din grafic.
2. y=–36/x este o proporționalitate inversă, graficul este o hiperbolă, ramurile sunt situate în trimestrul 2 și 4.

Graficul arată clar că linia dreaptă y=m are un punct comun cu graficul la m=0 și m > 9 și două puncte comune la m=9, adică. răspuns: m=0 și m≥9, verificați:
Un punct comun la vârful parabolei y = x 2 + 2x + 1

x 0 = -b/2a = -2/2 = -1

y 0 = -1 2 + 2(-1) + 1 = 1 – 2 + 1 = 0 ⇒ c = 0

Două puncte comune la x = – 4; y = 9 ⇒ c = 9
Răspuns:
0; }