Piramidă. Formule și proprietăți ale piramidei

apothem apothem

(din grecescul apotíthēmi - amân), 1) un segment (precum și lungimea acestuia) de perpendiculară A, a căzut din centrul unui poligon obișnuit pe oricare dintre laturile acestuia. 2) În piramida corectă, apotema este înălțimea A marginea laterală.

APOTEM

APOPHEMA (apothema greacă - ceva amânat),
1) un segment (precum și lungimea acestuia) al perpendicularei a, coborât din centrul unui poligon regulat la oricare dintre laturile sale.
2) Într-o piramidă obișnuită, apotema este înălțimea feței laterale.

Dicţionar enciclopedic. 2009 .

Sinonime:

Vezi ce este „apotema” în alte dicționare:

Vezi APOTEM. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. APOTHEMA, vezi APOTHEMA. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Pavlenkov F., 1907... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

- (din greaca apotithemi I amân) ..1) un segment (precum și lungimea acestuia) al perpendicularei a, coborât din centrul unui poligon regulat la oricare dintre laturile sale2)] Într-o piramidă regulată, apotema este înălțimea a feței laterale... Dicţionar enciclopedic mare

Există., număr de sinonime: 3 apotema (2) lungime (10) perpendicular (4) Dicționar ... Dicţionar de sinonime

APOTEM- (1) lungimea perpendicularei coborâte din centrul unui cerc circumscris în jurul unui poligon regulat la oricare dintre laturile acestuia; (2) înălțimea feței laterale a unei piramide regulate; (3) înălțimea trapezului, care este fața laterală a unui trunchi obișnuit ... ... Marea Enciclopedie Politehnică

- (din grecescul apotithçmi am pus deoparte) 1) lungimea perpendicularei coborâte din centrul unui poligon regulat la oricare dintre laturile acestuia (Fig. 1); 2) într-o piramidă regulată A. înălţimea a feţei sale laterale (fig. 2). Orez. 1 la… … Marea Enciclopedie Sovietică

- (din grecescul apotfthemi am amânat) 1) un segment (precum și lungimea lui) al perpendicularei a, coborât din centrul unui poligon regulat la oricare dintre laturile sale. 2) Într-o piramidă regulată A., înălțimea a feței laterale (vezi figura). La art. Apotema... Marele dicționar politehnic enciclopedic

Lungimea unei perpendiculare a scăzut de la centrul unui poligon regulat la una dintre laturile sale; apotema este egală cu raza cercului înscris în poligonul dat. A. a fost numită și partea înclinată a conului... Dicţionar enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron

- (din grecescul apotithemi I amân), 1) un segment (precum și lungimea acestuia) al perpendicularei a, coborât din centrul unui poligon regulat pe oricare dintre laturile sale. 2) Într-o piramidă regulată A. înălțimea a feței laterale ... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Apotema, apotema, apotema, apotema, apotema, apotema, apotema, apotema, apotema, apotema, apotema, apotema

apotema- înălțimea feței laterale a unei piramide regulate, care este desenată din vârful acesteia (în plus, apotema este lungimea perpendicularei, care este coborâtă de la mijlocul unui poligon regulat la 1 din laturile sale);
fetele laterale (ASB, BSC, CSD, DSA) - triunghiuri care converg în vârf;
coaste laterale ( LA FEL DE , BS , CS , D.S. ) - laturile comune ale fetelor laterale;
vârful piramidei (v. S) - un punct care leagă marginile laterale și care nu se află în planul bazei;
înălţime ( ASA DE ) - un segment al perpendicularei, care este tras prin vârful piramidei până în planul bazei acesteia (capetele unui astfel de segment vor fi vârful piramidei și baza perpendicularei);
secțiunea diagonală a unei piramide- sectiune a piramidei, care trece prin varful si diagonala bazei;
baza (ABCD) este un poligon căruia nu îi aparține vârful piramidei.

proprietățile piramidei.

1. Când toate marginile laterale au aceeași dimensiune, atunci:

lângă baza piramidei este ușor să descrii un cerc, în timp ce vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc;
nervurile laterale formează unghiuri egale cu planul de bază;
în plus, este adevărat și invers, adică. când marginile laterale formează unghiuri egale cu planul de bază sau când un cerc poate fi descris lângă baza piramidei și vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc, atunci toate marginile laterale ale piramidei au aceeasi dimensiune.

2. Când fețele laterale au un unghi de înclinare față de planul bazei de aceeași valoare, atunci:

lângă baza piramidei, este ușor să descrii un cerc, în timp ce vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc;
înălțimile fețelor laterale sunt de lungime egală;
aria suprafeței laterale este egală cu ½ produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea feței laterale.

3. O sferă poate fi descrisă în apropierea piramidei dacă baza piramidei este un poligon în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec prin punctele medii ale marginilor piramidei perpendicular pe acestea. Din această teoremă concluzionăm că o sferă poate fi descrisă atât în jurul oricărei piramide triunghiulare, cât și în jurul oricărei piramide regulate.

4. O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă dacă planurile bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează în punctul 1 (condiție necesară și suficientă). Acest punct va deveni centrul sferei.

Cea mai simplă piramidă.

În funcție de numărul de colțuri ale bazei piramidei, acestea sunt împărțite în triunghiulare, patruunghiulare și așa mai departe.

Piramida va triunghiular, patruunghiular, și așa mai departe, când baza piramidei este un triunghi, un patrulater și așa mai departe. O piramidă triunghiulară este un tetraedru - un tetraedru. Patraunghiular - pentaedru și așa mai departe.

Pentru a rezolva cu succes probleme de geometrie, este necesar să înțelegem clar termenii pe care îi folosește această știință. De exemplu, acestea sunt „linie dreaptă”, „plan”, „poliedru”, „piramidă” și multe altele. În acest articol, vom răspunde la întrebarea, ce este o apotema.

Folosirea dublă a termenului „apotem”

În geometrie, sensul cuvântului „apotem” sau „apotemă”, așa cum este numit și el, depinde de obiectul căruia i se aplică. Există două clase fundamental diferite de figuri în care este una dintre caracteristicile lor.

În primul rând, acestea sunt poligoane plate. Care este apotema pentru un poligon? Aceasta este înălțimea trasă de la centrul geometric al figurii la oricare dintre laturile acesteia.

Pentru a clarifica ce este în joc, luați în considerare un exemplu specific. Să presupunem că există un hexagon regulat prezentat în figura de mai jos.

Simbolul l desemnează lungimea laturii sale, litera a denotă apotema. Pentru triunghiul marcat, nu este doar înălțimea, ci și bisectoarea și mediana. Este ușor de arătat că în ceea ce privește latura l se poate calcula după cum urmează:

În mod similar, apotema este definită pentru orice n-gon.

Al doilea este piramidele. Ce este apotema pentru o astfel de figură? Această problemă necesită o analiză mai detaliată.

Pe această temă: Cum să-ți faci genele lungi și groase în doar o lună?

Piramidele și apotema lor

Mai întâi, să definim o piramidă în termeni de geometrie. Această figură este un corp tridimensional format dintr-un n-gon (bază) și n triunghiuri (laturi). Acestea din urmă sunt conectate într-un punct, care se numește vârf. Distanța de la ea la bază este înălțimea figurii. Dacă cade pe centrul geometric al n-gonului, atunci piramida se numește dreptă. Dacă, în plus, n-gonul are unghiuri și laturi egale, atunci figura se numește regulată. Mai jos este un exemplu de piramidă.

Ce este apotema pentru o astfel de figură? Aceasta este perpendiculara care conectează laturile n-gonului de partea de sus a figurii. În mod evident, reprezintă înălțimea triunghiului, care este latura piramidei.

Apotema este convenabil de utilizat atunci când rezolvați probleme geometrice cu piramide obișnuite. Faptul este că pentru ei toate fețele laterale sunt egale între ele triunghiuri isoscele. Ultimul fapt înseamnă că toate n apotemele sunt egale, așa că pentru o piramidă obișnuită putem vorbi despre o singură astfel de linie dreaptă.

Apotema unei piramide patruunghiulare corectă

Poate cel mai evident exemplu al acestei figuri va fi celebra prima minune a lumii - piramida lui Keops. Ea este în Egipt.

Pentru orice astfel de figură cu o bază n-gonală regulată, pot fi date formule care să permită determinarea apotema acesteia în ceea ce privește lungimea a laturii poligonului, în termeni de marginea laterală b și înălțimea h. Aici scriem formulele corespunzătoare pentru o piramidă dreaptă cu bază pătrată. Apotema h b pentru ea va fi egală cu:

Pe această temă: Steagul Bashkiria - descriere, simbolism și istorie

h b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4);

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4)

Prima dintre aceste expresii este valabilă pentru orice piramidă obișnuită, a doua - doar pentru una pătrangulară.

Să arătăm cum aceste formule pot fi folosite pentru a rezolva problema.

problema geometrica

Să fie dată o piramidă dreaptă cu bază pătrată. Este necesar să se calculeze aria de bază. Apotema piramidei este de 16 cm, iar înălțimea ei este de 2 ori latura bazei.

Fiecare elev știe: pentru a găsi aria pătratului, care este baza piramidei luate în considerare, ar trebui să cunoașteți latura acesteia a. Pentru a-l găsi, folosim următoarea formulă pentru apotema:

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4)

Sensul apotemului este cunoscut din starea problemei. Deoarece înălțimea h este de două ori lungimea laturii a, această expresie poate fi convertită după cum urmează:

h b = √((2*a) 2 + a 2 /4) = a/2*√17 =>

a = 2*h b /√17

Aria unui pătrat este egală cu produsul laturilor sale. Înlocuind expresia rezultată cu a, avem:

S \u003d a 2 \u003d 4/17 * h b 2

Rămâne să înlocuiți valoarea apotemului din condiția problemei în formulă și să scrieți răspunsul: S ≈ 60,2 cm 2.

Citeste si:

Notă. Aceasta face parte din lecția cu probleme de geometrie (secțiunea geometrie solidă, probleme despre piramidă). Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie, care nu este aici - scrieți despre ea pe forum. În sarcini, în locul simbolului „rădăcină pătrată”, se folosește funcția sqrt (), în care sqrt este simbolul rădăcinii pătrate, iar expresia radicală este indicată între paranteze.Pentru expresiile radicale simple se poate folosi semnul „√”..

Materiale și formule teoretice, vezi capitolul " Piramida corectă ".

O sarcină

Apotema unei piramide triunghiulare regulate este de 4 cm, iar unghiul diedric de la bază este de 60 de grade. Aflați volumul piramidei.

Soluţie.

Deoarece piramida este corectă, luați în considerare următoarele:

Înălțimea piramidei este proiectată în centrul bazei
Centrul bazei unei piramide regulate în funcție de starea problemei este un triunghi echilateral
Centrul unui triunghi echilateral este atât centrul cercului înscris, cât și al cercului circumscris.
Înălțimea piramidei formează un unghi drept cu planul bazei

Volumul unei piramide poate fi găsit folosind formula:
V = 1/3 Sh

Deoarece apotema unei piramide regulate formează un triunghi dreptunghic împreună cu înălțimea piramidei, folosim teorema sinusului pentru a găsi înălțimea. În plus, să luăm în considerare:

Primul catet al triunghiului dreptunghic considerat este înălțimea, al doilea catet este raza cercului înscris (într-un triunghi regulat, centrul este atât centrul cercului înscris, cât și al cercului circumscris), ipotenuza este apotema lui piramida
Al treilea unghi al unui triunghi dreptunghic este de 30 de grade (suma unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade, unghiul de 60 de grade este dat de condiție, al doilea unghi este un unghi drept conform proprietăților piramidei , al treilea este 180-90-60 = 30)
sinus 30 de grade este egal cu 1/2
sinusul de 60 de grade este egal cu rădăcina pătrată a lui trei
sinusul de 90 de grade este 1

Conform teoremei sinusului:
4 / sin(90) = h / sin(60) = r / sin(30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
Unde
r=2
h = 2√3

La baza piramidei se află un triunghi regulat, aria lui care poate fi găsită prin formula:
S unui triunghi echilateral = 3√3 r 2 .
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3.

Acum găsiți volumul piramidei:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V \u003d 24 cm 3.

Răspuns: 24 cm3.

O sarcină

Înălțimea și latura bazei unei piramide patruunghiulare obișnuite sunt 24 și, respectiv, 14. Aflați apotema piramidei.

Soluție.

Deoarece piramida este regulată, atunci la baza ei se află un patrulater regulat - un pătrat. În plus, înălțimea piramidei este proiectată în centrul pătratului. Astfel, catetul unui triunghi dreptunghic, care este format din apotema piramidei, înălțimea și segmentul care le leagă este egal cu jumătate din lungimea bazei unei piramide patruunghiulare obișnuite.

De unde, conform teoremei lui Pitagora, lungimea apotemului va fi găsită din ecuația:

72 + 242 = x2
x2 = 625
x=25

Raspuns: 25 cm