Soluția ecuațiilor fracțiilor în gradul X. Care este ecuația indicativă și cum să o rezolvați

Soluția ecuațiilor indicative. Exemple.

Atenţie!
Acest subiect are suplimentar
Materiale într-o secțiune specială 555.
Pentru cei care sunt puternic "nu foarte ..."
Și pentru cei care sunt "foarte ...")

Ce ecuația indicativă? Această ecuație în care necunoscută (Xers) și expresii cu ei sunt în indicatori Unele grade. Și numai acolo! Este important.

Acolo ești exemple ecuații indicative. :

3 x · 2 x \u003d 8 x + 3

Notă! În motive de grade (de mai jos) - numai numerele. ÎN indicatori Degnezi (în partea de sus) - o mare varietate de expresii cu Xa. Dacă, brusc, ex va ieși în ecuație undeva, cu excepția indicatorului, de exemplu:

va fi deja o ecuație mixtă de tip. Aceste ecuații nu au reguli clare pentru soluții. Nu le vom considera încă. Aici ne vom ocupa prin rezolvarea ecuațiilor exponențiale în formă pură.

De fapt, ecuațiile indicative curate sunt în mod clar rezolvate departe. Dar există anumite tipuri de ecuații orientative care pot fi rezolvate și necesare. Iată aceste tipuri pe care le vom uita.

Soluția celor mai simple ecuații orientative.

Pentru a începe, eu decid ceva complet elementar. De exemplu:

Chiar și fără teorii, este clar la selecția simplă că x \u003d 2. Mai mult, dreapta, dreapta!? Nici o altă valoare a rolelor ICA. Și acum ne uităm la înregistrarea soluției acestei ecuații indicative victime:

Ce am facut? De fapt, pur și simplu am aruncat aceleași baze (trei). Au aruncat complet. Și ce plăcere, a ajuns la punct!

Într-adevăr, dacă în ecuația indicativă din stânga și dreapta aceeași Numerele în orice grade, aceste numere pot fi îndepărtate și echivalente. Matematica permite. Rămâne să fii scump o ecuație mult mai simplă. Mare, nu?)

Cu toate acestea, amintiți-vă fier: puteți elimina bazele numai când stânga și dreapta de la sol sunt în singurătate mândră! Fără vecini și coeficienți. Spune, în ecuații:

2 x +2 x + 1 \u003d 2 3, sau

dublu nu poate fi eliminat!

Ei bine, cel mai important lucru pe care l-am stăpânit. Cum să treceți de la expresiile indicative rele la ecuații mai simple.

"Asta e vremurile!" - Tu vei spune. "Cine va da un astfel de primitiv pe control și examene!"

Forțat să fie de acord. Nimeni nu va da. Dar acum știți unde să vă străduim atunci când rezolvați exemple libere. Este necesar să o aduceți la formular atunci când în stânga - același număr este același număr. Mai mult, totul va fi mai ușor. De fapt, acesta este clasicul matematicii. Luați exemplul original și transformați-l la dorit ne Vedere. Conform regulilor matematicii, desigur.

Luați în considerare exemplele care necesită eforturi suplimentare pentru a le aduce la cele mai simple. Să le numim ecuații indicative simple.

Soluție de ecuații simple indicative. Exemple.

La rezolvarea ecuațiilor indicative, principalele reguli - acțiuni cu grade. Fără cunoașterea acestor acțiuni, nimic nu va funcționa.

La acțiuni cu grade este necesar să se adauge observarea și topirea personală. Avem nevoie de aceleași fundații? Aici le căutăm într-un exemplu într-o formă clară sau criptată.

Să vedem cum se face acest lucru în practică?

Să ne dăm un exemplu:

2 2x - 8 x + 1 \u003d 0

Primul aspect furios - pe bază. Ei ... sunt diferiți! Două și opt. Dar să cadă în deznădăjduire - devreme. E timpul să ne amintim asta

Două și opt - relativ la gradul.) Este posibil să scrieți:

8 x + 1 \u003d (2 3) x + 1

Dacă vă amintiți formula de acțiune cu grade:

(a n) m \u003d un nm,

În general, se dovedește:

8 x + 1 \u003d (2 3) x + 1 \u003d 2 3 (x + 1)

Exemplul inițial a început să arate astfel:

2 2x - 2 3 (x + 1) \u003d 0

Transfer 2 3 (x + 1) La dreapta (nimeni nu a anulat acțiunile elementare ale matematicii!), Obținem:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Aici, aproape, și asta este. Eliminăm fundațiile:

Rezolvați acest monstru și obțineți

Acesta este răspunsul corect.

În acest exemplu, reintroduce cunoștințele detectelor a două. noi identificat În opt dintre cele două criptate. Această tehnică (criptarea bazelor generale sub numere diferite) este o tehnică foarte populară în ecuațiile inferioare! Da, și în logaritmii. Este necesar să puteți învăța în numerele altor numere. Acest lucru este extrem de important pentru rezolvarea ecuațiilor indicative.

Faptul este că pentru a construi orice număr în orice grad nu este o problemă. Multiplicați, chiar și pe o bucată de hârtie și asta este. De exemplu, pentru a construi 3 la gradul al cincilea va fi capabil de fiecare. 243 Se pare că știți masa de multiplicare.) Dar, în ecuațiile inferioare, este mult mai probabil să nu fie ridicată, ci dimpotrivă ... să afli ce număr în ce măsură Ascunderea pentru un număr 243 sau, spun, 343 ... aici nu veți ajuta niciun calculator.

Gradul de numere ar trebui să fie cunoscut în față, da ... Fă-o?

Pentru a determina ce grade și ce numere sunt numere:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Răspunsuri (în dezordine, naturale!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Dacă vă uitați atent, puteți vedea un fapt ciudat. Răspunsurile sunt semnificativ mai mult decât sarcini! Ei bine, se întâmplă ... de exemplu, 2 6, 4 3, 8 2 este tot 64.

Să presupunem că ați luat act de informațiile despre cunoștință cu numerele.) Să vă reamintim că pentru a rezolva ecuațiile indicative toate Stocul de cunoștințe matematice. Inclusiv din clasele de mijloc junior. Nu mergeți imediat la clasele de senior, nu?)

De exemplu, la rezolvarea ecuațiilor indicative, multiplicatorul total al parantezelor ajută foarte des (Hello Grade 7!). Urmăriți următorul om:

3 2x + 4 -11 · 9 x \u003d 210

Și din nou, prima vedere - pe pământ! Fundațiile din grade sunt diferite ... Troika și nouă. Și vrem să fim la fel. Ei bine, în acest caz, dorința este îndeplinită!) Pentru că:

9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x

Conform aceleiași reguli de acțiune cu grade:

3 2x + 4 \u003d 3 2x · 3 4

Atât de mare, puteți scrie:

3 2x · 3 4 - 11 · 3 2x \u003d 210

Am condus un exemplu în aceleași motive. Deci, ce este următorul!? Troika nu poate arunca ... blocaj?

Deloc. Amintiți-vă cea mai universală și puternică regulă de soluție toate Sarcini matematice:

Nu știți ce aveți nevoie - faceți ceea ce puteți!

Arăți, totul se formează).

Ce este în această ecuație indicativă poate sa Fă-o? Da, în partea stângă, solicită direct un suport! Multiplicatorul total de 3 2x indică în mod clar la ea. Să încercăm și apoi să fie vizibilă:

3 2x (3 4 - 11) \u003d 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Exemplul devine mai bun și mai bun!

Ne amintim că pentru a elimina motivele, avem nevoie de un grad curat, fără coeficienți. Numărul US 70 interferează. Deci, împărțim ambele părți ale ecuației cu 70, primim:

Op-Pa! Totul și stabilit!

Acesta este răspunsul final.

Se întâmplă, totuși, că ruperea acelorași baze este obținută, dar lichidarea lor este în vreun fel. Acest lucru se întâmplă în ecuațiile indicative ale unui alt tip. Vom stăpâni acest tip.

Înlocuirea variabilei în rezolvarea ecuațiilor indicative. Exemple.

Rezolvarea ecuației:

4 x - 3 · 2 x +2 \u003d 0

Primul - ca de obicei. Du-te la o bază. La de două ori.

4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x

Avem ecuația:

2 2x - 3 · 2 x +2 \u003d 0

Și aici va fi dependent. Tehnicile anterioare nu vor funcționa, indiferent cât de stropitoare. Va trebui să obținem un alt mod puternic și universal de la Arsenal. Numit O. Înlocuind variabila.

Esența metodei este ușor de surprins. În loc de o pictogramă complexă (în cazul nostru - 2 x), scriem un alt, mai simplu (de exemplu - T). Acest lucru pare, o înlocuire fără sens duce la rezultate minunate!) Doar totul devine clar și ușor de înțeles!

Deci, lasa

Apoi 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Înlocuiți în ecuația noastră toate gradele cu cavități pe T:

Ei bine, insecte?) Ecuațiile pătrate nu au uitat încă? Ne hotărâm prin discriminator, obținem:

Aici, cel mai important, nu opriți, așa cum se întâmplă ... acest lucru nu este un răspuns, suntem necesari și nu t. Ne întoarcem la ICCAM, adică Facem un înlocuitor. Mai întâi pentru T 1:

Acesta este,

O rădăcină găsită. Căutăm al doilea, de la T 2:

Um ... a plecat 2 x, dreapta 1 ... nici o problema? Da nu! Suficient pentru a ne aminti (de la acțiunea cu grade, da ...) că este unul oricine Număr la zero gradul. Orice. Ce aveți nevoie și puneți-l. Avem nevoie de doi. Asa de:

Acum totul este. A primit 2 rădăcini:

Acesta este răspunsul.

Pentru rezolvarea ecuațiilor indicative În cele din urmă, uneori se dovedește o expresie incomodă. Tip:

Din cele șapte deuce printr-o diplomă simplă nu funcționează. Nu rude ... cum să fie aici? Cineva, poate confuz ... și aici este o persoană care citește subiectul pe acest site "Ce este un logaritm?" , numai Skupo zâmbet și va face un răspuns solid drept la mâna grea:

Nu poate exista un astfel de răspuns în sarcinile "în". Există un număr specific necesar. Dar în sarcinile "C" - cu ușurință.

În această lecție, sunt date exemple de rezolvare a celor mai frecvente ecuații orientative. Subliniem cea principală.

Sfaturi practice:

1. Primul lucru pe care îl privim bază grade. Ne gândim dacă este imposibil să le facem la fel. Încercați să o faceți, folosind în mod activ acțiuni cu grade. Nu uitați că numerele fără ICS pot fi, de asemenea, transformate într-un grad!

2. Încercăm să aducem ecuația indicativă la formular când sunt stânga și dreapta aceeași Numere în orice grade. Folosind. acțiuni cu grade și factorizare.Ce pot lua în considerare în numere - cred.

3. Dacă a doua placă nu a funcționat, încercăm să aplicăm înlocuirea variabilei. Ca rezultat, o ecuație se poate dovedi care este ușor rezolvată. Cel mai adesea - pătrat. Sau fracționate, care coboară și în pătrat.

4. Pentru a rezolva cu succes ecuațiile indicative, este necesar să cunoaștem gradul unor numere "în față".

Ca de obicei, la sfârșitul lecției, vi se oferă un pic.) Singur. De la simplu - la complex.

Decideți ecuațiile indicative:

Mai respectate:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 · 3 x \u003d 9

2 x - 2 0,5x + 1 - 8 \u003d 0

Găsiți produsul rădăcinilor:

2 3 + 2 x \u003d 9

S-a întâmplat?

Ei bine, atunci cel mai complex exemplu (rezolvat, totuși, în minte ...):

7 0,13x + 13 0,7X + 1 + 2 0,5X + 1 \u003d -3

Ce este mai interesant? Atunci ai un exemplu rău. Este destul de trasând dificultăți crescute. Pseudonimul că, în acest exemplu, economiile de economii și cea mai universală regulă de rezolvare a tuturor sarcinilor matematice.)

2 5x-1 · 3 3x-1 · 5 2x-1 \u003d 720 x

Exemplu mai simplu, pentru odihnă):

9 · 2 x - 4 · 3 x \u003d 0

Si pentru desert. Găsiți numărul de ecuații de rădăcini:

x · 3 x - 9x + 7 · 3 x - 63 \u003d 0

Da da! Aceasta este o ecuație de tip mixtă! Pe care nu am considerat-o în această lecție. Și ce să le luați în considerare, este necesar să rezolvați!) Această lecție este destul de suficient pentru a rezolva ecuația. Ei bine, este nevoie de tăietor ... și să vă ajute să vă ajute cu clasa a șaptea (acesta este un indiciu!).

Răspunsuri (în tulburare, printr-un punct de virgulă):

unu; 2; 3; patru; fără soluții; 2; -2; -cinci; patru; 0.

Toate de succes? Excelent.

Există o problemă? Nici o problemă! Într-o secțiune specială 555, toate aceste ecuații indicative sunt rezolvate cu explicații detaliate. Ce, de ce și de ce. Și, desigur, există informații suplimentare valoroase despre lucrul cu tot felul de ecuații orientative. Nu numai cu acestea.)

Ultima întrebare distractivă pentru o considerație. În această lecție, am lucrat cu ecuații corecte. De ce nu am spus un cuvânt aici despre OTZ? În ecuații, acesta este un lucru foarte important, apropo ...

Dacă vă place acest site ...

Apropo, am un alt cuplu de site-uri interesante pentru tine.)

Acesta poate fi accesat în rezolvarea exemplelor și aflați nivelul dvs. Testarea cu verificarea instantanee. Aflați - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu caracteristici și derivați.

Echipament:

• un calculator,
• proiector multimedia,
• ecran,
• Atasamentul 1(Prezentarea diapozitivelor în PowerPoint) "Metode de rezolvare a ecuațiilor indicative"
• Apendicele 2. (Rezolvarea ecuației de tip "trei baze diferite de grade" în cuvânt)
• Apendicele 3. (Material de distribuție în cuvânt pentru munca practică).
• Anexa 4. (Material de distribuție în cuvânt pentru temele).

În timpul clasei

1. Stadiul organizațional

• subiecte de mesaje Lecție (înregistrată pe tablă),
• necesitatea unei lecții generalizante în clasele 10-11:

Etapa de instruire a studenților pentru cunoștințele active de învățare

Reiterare

Definiție.

O ecuație indicativă se numește o ecuație care conține o variabilă într-un indicator al gradului (elevul este răspuns).

Remarca profesorului. Ecuațiile indicative aparțin clasei ecuațiilor transcendentale. Acest nume dificil de actorie sugerează că astfel de ecuații, în general, nu sunt rezolvate ca o formulă.

Ele pot fi rezolvate numai prin metode aproximativ numerice pe computere. Dar cum rămâne cu sarcinile de examinare? Tot trucul este că examinatorul este această sarcină că admite doar o soluție analitică. Cu alte cuvinte, puteți (și ar trebui!) Să facă așa ceva transformări identicecare reduce această ecuație indicativă cu cea mai simplă ecuație orientativă. Aceasta este cea mai ușoară ecuație așa-numită: cea mai simplă ecuație orientativă. Este rezolvată logarithing.

Situația cu soluția ecuației indicative seamănă cu o călătorie printr-un labirint, care este inventat în mod special de compilatorul sarcinii. Dintre aceste raționamente foarte frecvente, există recomandări concrete.

Pentru a rezolva cu succes ecuațiile indicative, este necesar:

1. Nu numai că cunoașteți în mod activ toate identitățile demonstrative, dar și pentru a găsi multe valori variabile pe care se constată aceste identități că atunci când se utilizează aceste identități, nu achiziționați rădăcini suplimentare, și chiar mai mult, nu pierdeți soluții ale ecuației.

2. Cunoașteți în mod activ toate identitățile demonstrative.

3. În mod clar, în detaliu și fără erori pentru a face transformări matematice ale ecuațiilor (pentru a transfera componentele dintr-o parte a ecuației la altul, fără a uita de schimbarea semnului, duce la denominatorul general al fracției și altele asemenea) . Aceasta se numește cultura matematică. În același timp, calculele în sine ar trebui să fie făcute automat cu mâinile lor, iar capul ar trebui să se gândească la firul de urmărire global al soluției. Făcând conversiile ar trebui să fie cât mai aproape posibil și mai mult. Numai acest lucru va oferi o garanție a soluției inconfundabile potrivite. Și amintiți-vă: O mică eroare aritmetică poate crea pur și simplu o ecuație transcendentală, care, în principiu, nu este rezolvată analitic. Se pare că ai coborât și m-ai odihnit în peretele labirintului.

4. Cunoașteți metodele de rezolvare a problemelor (adică cunoașteți toate căile de trecere a soluției labirint). Pentru orientarea corectă la fiecare etapă veți avea (conștient sau intuitiv!):

• a determina tipul ecuației.;
• amintiți-vă de tipul corespunzător metoda decizională sarcini.

Etapa de generalizare și sistematizare a materialului studiat.

Un profesor, împreună cu studenții cu implicarea unui computer, este întocmită o revizuire a repetării tuturor tipurilor de ecuații și metode indicative pentru soluția lor, este întocmită schema generală. (Educația este utilizată program de calculator L.Ya. Borevsky "Curs de matematică - 2000", prezentare de PowerPoint - așa-numitele Matsov.)

Smochin. unu.Figura arată diagrama generală a tuturor tipurilor de ecuații orientative.

După cum se poate observa din această schemă, strategia de rezolvare a ecuațiilor indicative este de a aduce această ecuație orientativă cu ecuația, în primul rând, cu aceleași baze de grade și apoi - și cu aceiași indicatori ai gradelor.

După primirea ecuației cu aceleași baze și indicatori de grade, înlocuiți această grad la o nouă variabilă și obțineți o ecuație algebrică simplă (de obicei, rațională fracționată sau pătrată) față de această nouă variabilă.

Decizia acestei ecuații și a face un înlocuitor, dvs. ca rezultat ajunge la agregatul celor mai simple ecuații indicative care sunt rezolvate general Cu logaritmarea.

Ecuațiile sunt situate, în care se găsesc doar grade (private). Profitând de identitatea indicativă, aceste ecuații reușesc să aducă imediat la o bază, în special, la cea mai simplă ecuație orientativă.

Luați în considerare modul în care ecuația indicativă este rezolvată cu trei baze diferite de grade.

(Dacă profesorul are un program de calculator de formare L.Ya. Borevsky "Matematică - 2000, lucrăm în mod natural cu un disc dacă nu - puteți face o imprimare a acestui tip de ecuație din acesta, prezentat mai jos.)

Smochin. 2. Planul de soluție pentru ecuație.

Smochin. 3. Începutul soluției ecuației

Smochin. patru. Eliminarea soluției ecuației.

Efectuarea de muncă practică

Determinați tipul de ecuație și rezolvați-l.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Însumând lecția

Instalarea estimărilor pentru lecție.

Sfârșitul lecției

Pentru profesor

Diagrama răspunsurilor de muncă practică.

Sarcina: Din lista ecuațiilor, selectați ecuațiile tipului specificat (№ Răspundeți la tabel):

1. Trei baze diferite de grade
2. Două baze diferite - indicatori diferiți de grad
3. Fundațiile de grade - gradul de un număr
4. Aceleași baze - indicatori diferiți de grade
5. Aceleași baze de grade - aceiași indicatori ai gradelor
6. Lucrarea de grade
7. Două baze diferite de grade - aceiași indicatori
8. Cele mai simple ecuații indicative

1. (Lucrare de grade)

2. (Aceleași fundații sunt indicatori diferiți ai gradelor)

Exemple:

\\ (4 ^ x \u003d 32 \\)
\\ (5 ^ (2x-1) -5 ^ (2x-3) \u003d 4.8 \\)
\\ ((\\ sqrt (7)) ^ (2x + 2) -50 \\ cdot (\\ sqrt (7)) ^ (x) + 7 \u003d 0 \\)

Cum de a rezolva ecuațiile exponențiale

La rezolvarea, orice ecuație indicativă, ne străduim să ducem la formularul \\ (F (x)) \u003d A ^ (G (x)) \\) și apoi să transformăm tranziția la egalitatea de indicatori, adică:

\\ (a ^ (F (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\ (⇔ \\) \\ (F (x) \u003d g (x) \\)

De exemplu: \\ (2 ^ (x + 1) \u003d 2 ^ 2 \\) \\ (⇔ \\) \\ (x + 1 \u003d 2 \\)

Important! Din aceeași logică urmează două cerințe pentru o astfel de tranziție:
- numărul B. În partea stângă și dreapta ar trebui să fie aceeași;
- grade pe stânga și dreapta ar trebui să fie "curate"adică, nu ar trebui să existe, înmulțirea, diviziunile etc.

De exemplu:

Pentru a vă bucura de ecuația cu formularul \\ (a ^ (F (x)) \u003d A ^ (g (x)) \\) Aplicați și.

Exemplu . Decideți ecuația indicativă \\ (\\ sqrt (27) · 3 ^ (x - 1) \u003d ((\\ frac (1) (3))) ^ (2x) \\)
Decizie:

\\ (\\ sqrt (27) · 3 ^ (X - 1) \u003d ((\\ frac (1) (3))) ^ (2x) \\)		Știm că \\ (27 \u003d 3 ^ 3 \\). Având în vedere acest lucru, transformăm ecuația.
\\ (\\ sqrt (3 ^ 3) · 3 ^ (x - 1) \u003d ((\\ frac (1) (3))) ^ (2x) \\)		Prin proprietatea rădăcinii \\ (\\ sqrt [n] (a) \u003d a ^ (\\ frac (1) (n)) \\) Obținem că \\ (\\ sqrt (3 ^ 3) \u003d ((3 ^ 3) ) ^ (\\ Frac (1) (2)) \\). Apoi, folosind gradul de grad \\ ((a ^ b) ^ c \u003d a ^ (bc) \\), obținem \\ ((3 ^ 3)) ^ (\\ frac (1) (2)) \u003d 3 ^ (3 \\ cdot \\ frac (1) (2)) \u003d 3 ^ (\\ frac (3) (2)) \\).
\\ (3 ^ (\\ frac (3) (2)) \\ cdot 3 ^ (x - 1) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (2x) \\)		Știm, de asemenea, că \\ (a ^ B · a ^ C \u003d a ^ (B + C) \\). Aplicând acest lucru în partea stângă, primim: \\ (3 ^ (\\ frac (3) (2)) · 3 ^ (x - 1) \u003d 3 ^ (\\ frac (3) (2) + x - 1) \u003d 3 ^ (1,5 + x - 1) \u003d 3 ^ (x + 0.5) \\).
\\ (3 ^ (x + 0.5) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (2x) \\)		Acum amintiți-vă că: \\ (a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a ^ n) \\). Această formulă poate fi utilizată și în direcția opusă: \\ (\\ frac (1) (a ^ n) \u003d a ^ (- n) \\). Apoi \\ (\\ frac (1) (3) \u003d \\ frac (1) (3 ^ 1) \u003d 3 ^ (- 1) \\).
\\ (3 ^ (x + 0.5) \u003d (3 ^ (- 1)) ^ (2x) \\)		Aplicarea proprietății \\ ((a ^ b) ^ c \u003d a ^ (BC) \\) În partea dreaptă, obținem: \\ ((3 ^ (- 1)) ^ (2x) \u003d 3 ^ ((- 1) · 2x) \u003d 3 ^ (- 2x) \\).
\\ (3 ^ (x + 0.5) \u003d 3 ^ (- 2x) \\)		Și acum avem fundamentele egale și nu există coeficienți de interferență etc. Așa că putem face tranziția.
		Exemplu . Rezolvați ecuația indicativă \\ (4 ^ (x + 0.5) -5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\) Decizie: \\ (4 ^ (x + 0.5) -5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\) Noi folosim din nou gradul de grad \\ (a ^ b \\ cdot a ^ c \u003d a ^ (b + c) \\) în direcția opusă. \\ (4 ^ x · 4 ^ (0,5) -5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\) Acum vă amintiți că \\ (4 \u003d 2 ^ 2 \\). \\ ((2 ^ 2) ^ x · (2 \u200b\u200b^ 2) ^ (0,5) -5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\) Folosind proprietățile de gradul, convertim: \\ ((2 ^ 2) ^ x \u003d 2 ^ (2x) \u003d 2 ^ (x · 2) \u003d (2 ^ x) ^ 2 \\) \\ ((2 ^ 2) ^ (0,5) \u003d 2 ^ (2 · 0.5) \u003d 2 ^ 1 \u003d 2. \\) \\ (2 · (2 \u200b\u200b^ x) ^ 2-5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\) Parem cu atenție ecuația și vedem că sugerează înlocuirea \\ (T \u003d 2 ^ x \\). \\ (T_1 \u003d 2 \\) \\ (t_2 \u003d \\ frac (1) (2) \\) Cu toate acestea, am găsit valorile \\ (t \\) și avem nevoie de \\ (x \\). Ne întoarcem la IC-uri, făcând înlocuirea inversă. \\ (2 ^ x \u003d 2 \\) \\ (2 ^ x \u003d \\ frac (1) (2) \\) Transformăm a doua ecuație folosind proprietatea unui grad negativ ... \\ (2 ^ x \u003d 2 ^ 1 \\ (2 ^ x \u003d 2 ^ (- 1) \\) ... și există înainte de răspuns. \\ (x_1 \u003d 1 \\) \\ (x_2 \u003d -1 \\) Răspuns : \(-1; 1\). Întrebarea rămâne - cum să înțelegeți când se aplică metoda? Vine cu experiență. Între timp, nu ați lucrat, utilizați recomandare generală Pentru a rezolva sarcini complexe, "nu știți ce să faceți - faceți ceea ce puteți". Adică căutați cum puteți converti ecuația în principiu și încercați să o faceți - brusc ceea ce va ieși? Principalul lucru pe cale de a face numai transformări rezonabile matematică. Ecuații indicative care nu au soluții Vom analiza încă două situații care sunt adesea puse în blocul elevului: - un număr pozitiv la un grad este zero, de exemplu, \\ (2 ^ x \u003d 0 \\); - Un număr pozitiv este de un grad egal cu un număr negativ, de exemplu, \\ (2 ^ x \u003d -4 \\). Să încercăm să rezolvăm bustul. Dacă X este un număr pozitiv, atunci gradul în creștere \\ (2 ^ x \\) va crește numai: \\ (x \u003d 1 \\); \\ (2 ^ 1 \u003d 2 \\) \\ (x \u003d 2 \\); \\ (2 ^ 2 \u003d 4 \\) \\ (x \u003d 3 \\); \\ (2 ^ 3 \u003d 8 \\). \\ (x \u003d 0 \\); \\ (2 ^ 0 \u003d 1 \\) De asemenea. Există bastoane negative. Amintiți-vă proprietatea \\ (a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a ^ n) \\), verificați: \\ (x \u003d -1 \\); \\ (2 ^ (- 1) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 1) \u003d \\ frac (1) (2) \\) \\ (x \u003d -2 \\); \\ (2 ^ (- 2) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 2) \u003d \\ frac (1) (4) \\) \\ (x \u003d -3 \\); \\ (2 ^ (- 3) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 3) \u003d \\ frac (1) (8) \\) În ciuda faptului că numărul cu fiecare pas devine mai mic, acesta nu va ajunge niciodată la zero. Deci, și gradul negativ nu ne-a salvat. Ajungem la concluzia logică: Un număr pozitiv în orice măsură va rămâne un număr pozitiv. Astfel, ambele ecuații de mai sus nu au soluții. Ecuații indicative cu baze diferite În practică, uneori există ecuații indicative cu diferite baze care nu sunt reduse între ele și, în același timp, cu aceiași indicatori. Arătau astfel: \\ (a ^ (F (x)) \u003d b ^ (F (x)) \\), unde \\ (A \\) și \\ (b \\) sunt numere pozitive. De exemplu: \\ (7 ^ (x) \u003d 11 ^ (x) \\) \\ (5 ^ (x + 2) \u003d 3 ^ (x + 2) \\) \\ (15 ^ (2x-1) \u003d (\\ frac (1) (7)) ^ (2x-1) \\) Aceste ecuații pot fi rezolvate cu ușurință prin împărțirea pe oricare dintre părțile ecuației (de obicei împărțite în partea dreaptă, adică pe \\ (b ^ (F (x))). Deci vă puteți împărți, deoarece un număr pozitiv este în orice măsură pozitivă (adică, nu suntem împărțiți la zero). Obținem: \\ (\\ Frac (a ^ (F (x))) (B ^ (F (x))) \\) \\ (\u003d 1 \\) Exemplu . Rezolvați ecuația indicativă \\ (5 ^ (x + 7) \u003d 3 ^ (x + 7) \\) Decizie: \\ (5 ^ (x + 7) \u003d 3 ^ (x + 7) \\) Aici nu putem să scoatem primele cinci în primele trei, nici opusul (cel puțin fără utilizare). Deci, nu putem ajunge la forma \\ (a ^ (F (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\). În același timp, indicatorii sunt aceiași. Să împărțim ecuația pe partea dreaptă, adică pe \\ (3 ^ (x (x + 7) \\) (putem face acest lucru, după cum știm că partea de sus nu va fi zero). \\ (5 ^ (x (x (x (x (x (x (x (x (x (x (x (x) \\ (3 ^ (x (x (x (x (x (x (x (x (x (x (x (x (x (x (x (x (x + 7)) (3 ^ (x + 7) ) \\) Acum vă aduceți aminte de proprietatea \\ ((\\ frac (a) (b)) ^ c \u003d \\ frac (a ^ c) (b ^ c) \\) și utilizați-l în stânga în direcția opusă. În dreapta am tăiat pur și simplu fracțiunea. \\ ((\\ Frac (5) (3)) ^ (x + 7) \\ (\u003d 1 \\) Ar părea mai bine nu. Dar amintiți-vă o altă proprietate a gradului: \\ (a ^ 0 \u003d 1 \\), cu alte cuvinte: "Orice număr la gradul zero este egal cu \\ (1 \\)". Adevărat și invers: "Unitatea poate fi reprezentată ca orice număr la zero gradul". Folosim acest lucru făcând baza în dreapta ca stânga. \\ ((Frac (5) (3)) ^ (x + 7) \\ (\u003d \\) \\ ((\\ frac (5) (3)) ^ 0 \\) Voila! Scapa de terenuri. Noi scriem răspunsul. Răspuns : \(-7\). Uneori "aceiași" indicatori ai gradului nu este evident, dar utilizarea pricepută a gradului de grad rezolvă această problemă. Exemplu . Rezolvați ecuația indicativă \\ (7 ^ (2x-4) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \\) Decizie: \\ (7 ^ (2x-4) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \\) Ecuația pare destul de tristă ... nu numai că nu poate fi redusă la același număr (cele șapte nu vor fi egale cu același \\ (\\ Frac (1) (3) \\)), deci, de asemenea, indicatori diferiți ... Cu toate acestea, Să introducem în indicatorul gradului stâng. \\ (7 ^ (2 (x-2)) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \\) Îmi amintesc de proprietate \\ ((a ^ b) ^ c \u003d a ^ (B · (b) \\), convertim stânga: \\ (7 ^ (2 (x-2)) \u003d 7 ^ (2 · (X-2)) \u003d (7 ^ 2) ^ (x - 2) \u003d 49 ^ (X-2) \\). \\ (49 ^ (x-2) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \\) Acum, amintirea proprietății unui grad negativ \\ (a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a) ^ n \\), traducem drept: \\ (\\ frac (1) (3)) ^ (- X + 2) \u003d (3 ^ (- 1)) ^ (- x + 2) \u003d 3 ^ (- 1 (-x + 2)) \u003d 3 ^ (x-2) \\) \\ (49 ^ (x-2) \u003d 3 ^ (x-2) \\) Hallelujah! Indicatorii au devenit aceiași! Acționând schema deja familiarizată, decidem înainte de răspuns. Răspuns : \(2\).

În această lecție, vom lua în considerare soluționarea unor ecuații de demonstrație mai complexe, amintim principalele dispoziții teoretice privind funcție indicativă.

1. Definirea și proprietățile funcției indicative, metoda de rezolvare a celor mai simple ecuații indicative

Reamintiți definiția și proprietățile de bază ale funcției indicative. Este pe proprietățile pe care se bazează soluția tuturor ecuațiilor indicative și inegalităților.

Functie exponentiala - aceasta este o funcție a formularului în care baza gradului și aici x este o variabilă independentă, argumentul; y - variabilă dependentă, funcție.

Smochin. 1. Programați funcția indicativă

Graficul prezintă expozanți de creștere și scădere care ilustrează o funcție indicativă la baza unei unități mai mari și a unei unități mai mici, dar un zero mare, respectiv.

Ambele curbe trec prin punctul (0; 1)

Proprietățile funcției indicative:

Domeniu: ;

Zona de valoare:;

Funcția monotonnei, cu creștere, cu scăderi.

Funcția de monotonă ia fiecare valoare proprie cu singura valoare a argumentului.

Când argumentul crește de la minus la plus infinit, funcția crește de la zero nu incluzivă la infinit. Cu opusul, atunci când argumentul crește de la minus la plus infinit, funcția scade de la infinit la zero nu incluziv.

2. Soluția ecuațiilor tipice indicative

Amintiți cum să rezolvați cele mai simple ecuații demonstraționale. Decizia lor se bazează pe monotonia funcției indicative. La astfel de ecuații, aproape toate ecuațiile indicative complexe sunt reduse.

Egalitatea indicatorilor de gradul cu baze egale se datorează proprietății funcției indicative, și anume monotoniei sale.

Soluție tehnică:

Egalizați bazele gradelor;

Echivalează grade.

Să ne întoarcem la luarea în considerare a ecuațiilor exponențiale mai complexe, scopul nostru este de a reduce fiecare dintre ele la cele mai simple.

Ne eliberăm de rădăcina din stânga și să dau o diplomă la aceeași bază:

Pentru a reduce ecuația indicativă complexă la cea mai simplă, înlocuirea variabilă este adesea utilizată.

Folosim gradul de proprietate:

Introducem înlocuirea. Apoi

Înmulțiți ecuația rezultată pentru două și mutați toate componentele în partea stângă:

Prima rădăcină nu satisface decalajul valorilor lui, aruncându-l. Primim:

Lăsați măsura în același indicator:

Introducem un înlocuitor:

Apoi . Cu acest înlocuitor, este evident că este nevoie de valori strict pozitive. Primim:

Știm cum să rezolvăm ecuațiile unor astfel de pătrate, am băut răspunsul:

Pentru a vă asigura că rădăcinile corectează, puteți efectua o verificare a teoremei WEET, adică pentru a găsi cantitatea de rădăcini și munca lor și pentru a verifica cu coeficienții corespunzători ai ecuației.

Primim:

3. Metode de rezolvare a ecuațiilor orientative omogene ale gradului al doilea

Să studiem următorul tip important de ecuații indicative:

Ecuațiile de acest tip sunt numite gradul al doilea omogen în raport cu funcțiile F și G. În partea stângă există un pătrat în trei etape față de F cu un parametru G sau un pătrat trei scăzdd față de G cu parametrul F.

Soluție tehnică:

Această ecuație poate fi rezolvată ca un pătrat, dar este mai ușor să se facă diferit. Două cazuri ar trebui luate în considerare:

În primul caz, ajungem

În al doilea caz, avem dreptul de a împărți gradul mai vechi și de a obține:

Ar trebui înlocuită cu variabile, obținem o ecuație pătrată în raport cu:

Observăm că funcțiile F și G pot fi oricine, dar suntem interesați de cazul în care este o funcție indicativă.

4. Exemple de soluționare a ecuațiilor omogene

Transmitem toți termenii din partea stângă a ecuației:

Deoarece funcțiile orientative dobândesc valori strict pozitive, avem dreptul de a împărtăși imediat ecuația, fără a lua în considerare cazul în cazul în care:

Primim:

Introducem un înlocuitor: (În funcție de proprietățile funcției indicative)

A primit o ecuație pătrată:

Definim rădăcinile pe teorema Vieta:

Prima rădăcină nu satisface decalajul valorilor lui Y, aruncându-l, obținem:

Folosim proprietățile de gradul și dau toate gradele la motive simple:

Este ușor să observați funcțiile F și G:

Deoarece funcțiile indicative dobândesc valori strict pozitive, avem dreptul de a împărtăși imediat ecuația, fără a lua în considerare cazul când.

Soluția celor mai multe probleme matematice este într-un fel sau altul asociat transformării expresiilor numerice, algebrice sau funcționale. Specificate în special se aplică deciziei. În variantele EGE în matematică la un astfel de tip de sarcini, sarcina este, în special, problema C3. Aflați cum să rezolvați sarcinile C3 este importantă nu numai în scopul de a avea succes surchaze Ege.Dar, pentru că această abilitate este utilă atunci când studiază cursul matematicii în cea mai înaltă școală.

Efectuarea sarcinilor C3, trebuie să decideți tipuri diferite ecuații și inegalități. Printre acestea se numără modulele care conțin trigonometrice, trigonometrice, trigonometrice, logaritmice (valori absolute), precum și combinate. Acest articol discută principalele tipuri de ecuații și inegalități orientative, precum și diverse metode ale soluțiilor lor. Citiți despre decizia celorlalte tipuri de ecuații și inegalități la rubrica "" în articole privind metodele de rezolvare a problemelor C3 de la opțiunile ESMER. matematică.

Înainte de a continua cu analiza specifică ecuații indicative și inegalitățiCa tutore în matematică, vă sugerez să răcoriți un material teoretic de care avem nevoie.

Functie exponentiala

Ce este o funcție indicativă?

Funcția tipului. y. = un X.Unde a. \u003e 0 I. a. ≠ 1, numit funcție indicativă.

întreținere proprietățile funcției indicative y. = un X.:

Funcția indicativă grafică

Graficul funcției indicative este expozant:

Grafice de funcții orientative (expozanți)

Soluția ecuațiilor indicative

Indicativ Acestea se numesc ecuații în care o variabilă necunoscută este numai în indicatorii de orice grade.

Pentru soluții ecuații indicative. Trebuie să știți și să utilizați următoarea teoremă simplă:

Teorema 1. Ecuația indicativă a. f.(x.) = a. g.(x.) (Unde a. > 0, a. ≠ 1) Ecuație echivalentă f.(x.) = g.(x.).

În plus, este util să ne amintim formulele de bază și acțiunile cu grade:

Titlu \u003d "(Lang: redate de QuickTextex.com">!}

Exemplul 1. Rezolva ecuația:

Decizie: Folosim formulele de mai sus și înlocuirea:

Ecuația ia forma:

Discriminant primit ecuația pătrată. Pozitiv:

Titlu \u003d "(Lang: redate de QuickTextex.com">!}

Aceasta înseamnă că această ecuație are două rădăcini. Le găsim:

Revenind la substituirea returnării, obținem:

A doua ecuație rădăcină nu are, deoarece funcția indicativă este strict pozitivă pe întreaga zonă de definiție. Rezolvăm al doilea:

Având în vedere acest lucru din Teorema 1, mergeți la ecuația echivalentă: x. \u003d 3. Acesta va fi răspunsul la sarcină.

Răspuns: x. = 3.

Exemplul 2. Rezolva ecuația:

Decizie: Nu există restricții privind suprafața valorilor admise la ecuație, deoarece expresia de hrănire are sens la orice sens x. (functie exponentiala y. = 9 4 -X. pozitiv și nu egal cu zero).

Rezolvăm ecuația prin transformări echivalente folosind regulile de multiplicare și divizare a gradelor:

Ultima tranziție a fost efectuată în conformitate cu teorema 1.

Răspuns:x.= 6.

Exemplul 3. Rezolva ecuația:

Decizie: Ambele părți ale ecuației sursei pot fi împărțite la 0,2 x. . Această tranziție va fi echivalentă, deoarece această expresie este mai mare decât zero în orice valoare. x. (Funcția indicativă este strict pozitivă în zona definiției sale). Apoi, ecuația ia forma:

Răspuns: x. = 0.

Exemplul 4. Rezolva ecuația:

Decizie:simplificăm ecuația la elementare prin transformări echivalente utilizând regulile de divizare și multiplicare a gradelor date la începutul articolului:

Diviziunea ambelor părți ale ecuației pentru 4 x. , ca în exemplul anterior, este o transformare echivalentă, deoarece această expresie nu este zero indiferent de valori x..

Răspuns: x. = 0.

Exemplul 5. Rezolva ecuația:

Decizie: funcţie y. = 3 X., în picioare în partea stângă a ecuației, este în creștere. Funcţie y. = —x.-2/3, în picioare în partea dreaptă a ecuației, este descendentă. Aceasta înseamnă că, dacă se intersectează graficele acestor funcții, atunci nu mai mult de un punct. În acest caz, nu este dificil să ghiciți că graficele se intersectează la punct x. \u003d -1. Nu vor mai exista alte rădăcini.

Răspuns: x. = -1.

Exemplul 6. Rezolva ecuația:

Decizie: Simplificăm ecuația prin transformări echivalente, având în vedere oriunde funcția indicativă este strict mai mare decât zero în orice sens x.Și utilizarea regulilor de calculare a gradelor și a gradelor private date la începutul articolului:

Răspuns: x. = 2.

Soluția inegalităților orientative

Indicativ Se numește inegalități în care o variabilă necunoscută este conținută numai în indicatorii de orice grade.

Pentru soluții inegalități orientative Cunoașterea necesită următoarea teoremă:

Teorema 2. În cazul în care un a. \u003e 1, apoi inegalitatea a. f.(x.) > a. g.(x.) Este echivalentă cu inegalitatea aceluiași înțeles: f.(x.) > g.(x.). Dacă 0.< a. < 1, то показательное неравенство a. f.(x.) > a. g.(x.) Este echivalentă cu inegalitatea sensului opus: f.(x.) < g.(x.).

Exemplul 7.Rezolvați inegalitatea:

Decizie: Imaginați inegalitatea inițială în formularul:

Împărțim ambele părți ale acestei inegalitate pentru 3 2 x. În același timp (datorită pozitivității funcției y.= 3 2x.) Semnul inegalității nu se va schimba:

Folosim substituirea:

Apoi inegalitatea va lua forma:

Deci, soluția de inegalitate este decalajul:

revenind la substituirea returnării, obținem:

Inegalitatea stângă datorată pozitivității funcției indicative se efectuează automat. Profitând de bunăstarea binecunoscută a logaritmului, treceți la inegalitatea echivalentă:

Deoarece va fi o tranziție la următoarea inegalitate la următoarele în gradul de grad, va exista o tranziție la următoarea inegalitate:

Deci, în cele din urmă obține răspuns:

Exemplul 8. Rezolvați inegalitatea:

Decizie: Folosind proprietățile multiplicării și gradelor de divizare, rescrieți inegalitatea sub formă:

Introducem o nouă variabilă:

Luând în considerare această substituție, inegalitatea ia forma:

Înmulți numitorul și numitorul fracției la 7, obținem următoarea inegalitate echivalentă:

Deci, inegalitatea satisface următoarele valori ale variabilei t.:

Apoi, trecând la substituirea returnării, obținem:

Deoarece temelia gradului este mai mult decât o unitate, echivalentă (prin teorema 2) va trece la inegalitate:

În cele din urmă ajunge răspuns:

Exemplul 9. Rezolvați inegalitatea:

Decizie:

Împărțim ambele părți ale inegalității expresiei:

Este întotdeauna mai mare decât zero (datorită pozitivității funcției indicative), astfel încât semnul inegalității nu este necesar. Primim:

t, situat în interval:

Revenind la substituția de întoarcere, obținem că inegalitatea inițială se dezintegrează în două cazuri:

Prima inegalitate a soluțiilor nu are relevanța funcției indicative. Rezolvăm al doilea:

Exemplul 10. Rezolvați inegalitatea:

Decizie:

Ramuri parabola y. = 2x.+2-x. 2 sunt direcționate, prin urmare, este limitat de la valoarea pe care o atinge în vertexul său:

Ramuri parabola y. = x. 2 -2x.+2, în picioare în indicator, sunt îndreptate în sus, înseamnă că este limitat la partea de jos cu valoarea pe care o atinge în vertexul său:

Împreună cu acest fund limitat, funcția este, de asemenea y. = 3 x. 2 -2x.+2, în picioare în partea dreaptă a ecuației. Ea atinge cea mai mică valoare în același punct ca parabola în picioare în indicator, iar această valoare este 3 1 \u003d 3. Deci, inegalitatea inițială poate fi corectă numai dacă funcția din stânga și funcția din dreapta este luată la dreapta Un punct valoarea egală cu 3 (intersecția zonelor acestor funcții este doar acest număr). Această condiție se efectuează într-un singur punct. x. = 1.

Răspuns: x.= 1.

Pentru a învăța să decideți ecuații indicative și inegalități, Este necesar să se antreneze în mod constant în decizia lor. În acest caz dificil puteți ajuta diverse manuale metodice, profesori în matematică elementară, colecții de sarcini competitive, clase în matematică la școală, de asemenea sesiuni individuale Cu un tutore profesionist. Vă doresc sincer succesul în prepararea și rezultatele strălucitoare ale examenului.

Sergey Valerievich.

P. S. Dragi oaspeți! Vă rugăm să nu scrieți aplicații în comentariile privind rezolvarea ecuațiilor dvs. Din păcate, nu am absolut nici un timp pentru asta. Astfel de mesaje vor fi șterse. Citiți articolul. Poate că veți găsi răspunsuri la întrebările care nu vă permit să vă rezolvați singuri sarcina.