Cum de a rezolva ecuațiile cu fracțiunile. Soluție indicativă a ecuațiilor cu fracțiuni

În acest articol vă voi arăta algoritmi pentru decizia a șapte tipuri de ecuații raționalecare, prin înlocuirea variabilelor, să fie redusă la pătrat. În majoritatea cazurilor, transformările care duc la înlocuire sunt foarte nontriviale și este destul de greu de ghicit despre ei.

Pentru fiecare tip de ecuații, voi explica cum să facem o variabilă de înlocuire în ea și apoi în limba video corespunzătoare voi afișa o soluție detaliată.

Aveți ocazia să continuați soluția ecuațiilor dvs. și apoi să vă verificați soluția cu Tutorial video.

Deci, să începem.

1 . (x - 1) (x-7) (x-4) (x + 2) \u003d 40

Rețineți că în partea stângă a ecuației există un produs de patru paranteze și în cea dreaptă.

1. Am grupat paranteze în două astfel încât cantitatea de membri liberi a fost aceeași.

2. Mutați-le.

3. Introducem înlocuirea variabilei.

În ecuația noastră, grupați primul suport cu al treilea și al doilea cu al patrulea, deoarece (-1) + (- 4) \u003d (- 7) +2:

În acest loc, schimbarea variabilei devine evidentă:

Avem ecuația

Răspuns:

2 .

Ecuația acestui tip este similară cu cea precedentă cu o singură diferență: în partea dreaptă a ecuației există un produs al numărului. Și se rezolvă destul de diferit:

1. Gruparea parantezelor pentru două astfel încât produsul membrilor liberi să fie același.

2. Mutarea fiecărei perechi de paranteze.

3. Din fiecare factor, supunem suportul x.

4. Împărțăm ambele părți ale ecuației.

5. Introducem înlocuirea variabilei.

În această ecuație, grupați primul suport cu al patrulea, iar al doilea cu al treilea, deoarece:

Rețineți că, în fiecare consola, coeficientul cu același element este același. Voi aduce un multiplicator din fiecare suport:

Deoarece x \u003d 0 nu este rădăcina ecuației inițiale, împărțim ambele părți ale ecuației. Primim:

Obținem ecuația:

Răspuns:

3 .

Rețineți că în numitorii de ambele fracții există pătrate de trei metri, care au un coeficient de rang înalt și un membru gratuit sunt aceleași. Voi aduce, ca în ecuația celui de-al doilea tip X pe suport. Primim:

Împărțim numărătorul și numitorul fiecărei fracții pe x:

Acum putem înlocui variabila:

Obținem ecuația față de variabila T:

4 .

Rețineți că coeficienții ecuației sunt simetrici față de cea centrală. Această ecuație este numită se intoarce .

Pentru ao rezolva,

1. Împărțim ambele părți ale ecuației (putem face acest lucru, deoarece X \u003d 0 nu este rădăcina ecuației.) Vom primi:

2. Groupați termenii în acest fel:

3. În fiecare grup, vom aduce un multiplicator general pentru suport:

4. Introducem un înlocuitor:

5. Exprimați expresia:

De aici

Obținem ecuația față de T:

Răspuns:

5. Ecuații uniforme.

Ecuațiile care au o structură omogenă se pot întâlni la rezolvarea indicativă, logaritmică și ecuații trigonometrice., deci trebuie să puteți recunoaște.

Ecuațiile uniforme au o astfel de structură:

În această egalitate a, B și C - numerele și pătratul și cercul indică aceleași expresii. Aceasta este, în partea stângă a unei ecuații omogene, cantitatea de aripă unică, având același grad (în acest caz, gradul de aripă unică este de 2) și nu există nici un membru liber.

Pentru a rezolva o ecuație omogenă, împărțim ambele părți

Atenţie! Când împărțiți partea dreaptă și partea stângă a ecuației cu o expresie care conține un necunoscut, rădăcinile pot fi pierdute. Prin urmare, este necesar să verificați dacă rădăcinile sunt expresia pe care le împărțim ambele părți ale ecuației, rădăcini ale ecuației sursei.

Să mergem mai întâi. Obținem ecuația:

Acum introducem înlocuirea variabilei:

Simplificăm expresia și obținem o ecuație de bichete pentru T:

Răspuns: sau

7 .

Această ecuație are o astfel de structură:

Pentru ao rezolva, trebuie să selectați un pătrat complet în partea stângă a ecuației.

Pentru a evidenția întregul kddararat, trebuie să adăugați sau să scăpați munca satisfăcătoare. Apoi primim pătratul cuantumului diferenței. Pentru înlocuirea cu succes a variabilei, aceasta are o valoare definitoare.

Să începem găsirea unei lucrări duble. Este aceasta va fi cheia înlocuirii variabilei. În ecuația noastră, munca dublă este egală

Acum, estimez că suntem mai convenabili de a avea - pătratul cantității sau diferenței. Luați în considerare, pentru a începe cu suma expresiilor:

Excelent! Această expresie este exact munca dublă. Apoi, în paranteze obține o sumă pătrată, trebuie să adăugați și să deduceți un produs dublu:

În primul rând, pentru a învăța cum să lucrați cu fracțiuni raționale fără erori, este necesar să învățați formula multiplicării abreviare. Și nu doar pentru a învăța - trebuie să fie recunoscute chiar și atunci când sinurile, logaritmii și rădăcinile sunt în rolul termenilor.

Cu toate acestea, instrumentul principal rămâne descompunerea numărătorului și a numitorului fracțiunii raționale pe multiplicatori. Acest lucru poate fi realizat în trei moduri diferite:

1. De fapt, în funcție de formula de multiplicare abreviată: vă permit să minimalizați polinomul la unul sau mai mulți factori;
2. Folosind descompunerea unui triplu pătrat la multiplicatori prin intermediul discriminatorului. Aceeași metodă vă permite să vă asigurați că orice tripleene pe multiplicatori nu se extinde deloc;
3. Metoda de grupare este instrumentul cel mai dificil, dar acesta este singurul mod în care funcționează în cazul în care cele două cele anterioare au lucrat.

După cum probabil, ghiciți probabil din numele acestui videoclip, vom vorbi din nou despre fracțiunile raționale. Cu doar câteva minute în urmă, m-am încheiat cu un al zecelea Grede și acolo am înțeles aceste expresii. Prin urmare, această lecție va fi destinată elevilor de liceu.

Cu siguranță, mulți vor avea acum o întrebare: "De ce ar trebui studenții să studieze lucruri simple ca fracții raționale, deoarece trece în clasa 8?" Dar necazul este că majoritatea oamenilor au "trecut". În clasa a 10-a 10-11, ei nu-și mai amintesc cum se face multiplicarea, diviziunea, scăderea și adăugarea de fracțiuni raționale ale clasei a VIII-a și, la urma urmei, se bazează pe aceste simple cunoștințe că sunt construite mai multe structuri mai complexe, Ca o soluție de ecuații logaritmice, trigonometrice și multe alte expresii complexe, prin urmare, fără fracțiuni raționale, nu există aproape nimic de-a face în liceu.

Rezolvarea sarcinilor

Să trecem la afaceri. În primul rând, vom avea nevoie de două fapte - două seturi de formule. Mai întâi de toate, trebuie să știți formulele multiplicării abreviare:

• $ ((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) \u003d \\ stânga (a-b \\ dreapta) \\ stânga (a + b \\ dreapta) $ - diferența de pătrate;
• $ ((a) ^ (2)) \\ pm 2AB + ((b) ^ (2)) \u003d ((în stânga (a \\ pm b \\ dreapta)) ^ (2)) $ - sumă pătrată sau diferență;
• $ ((a) ^ (3)) + ((b) ^ (3)) \u003d \\ stânga (a + b \\ dreapta) \\ stânga ((a) ^ (2)) - AB + ((b) ^ (2)) \\ dreapta) $ - cantitatea de cuburi;
• $ ((a) ^ (3)) - ((b) ^ (3)) \u003d \\ stânga (ab / dreapta) \\ stânga ((a) ^ (2)) + ab + ((b) ^ ( 2)) \\ dreapta) $ - diferența de cuburi.

În forma sa pură, ele nu se găsesc în nici un exemple și în expresii serioase serioase. Prin urmare, sarcina noastră este de a învăța să vedem sub scrisori $ A $ și $ B Există multe modele mult mai complexe, de exemplu, logaritmii, rădăcinile, sinusurile etc. Puteți învăța cum să o vedeți numai cu o practică constantă. De aceea este absolut necesar să se rezolve fracțiunile raționale.

A doua formulă absolut evidentă este descompunerea pătratului trei descompunere a multiplicatorilor:

$ ((x) _ (1)) $; $ ((x) _ (2)) $ - rădăcini.

Ne-am ocupat de partea teoretică. Dar cum să rezolvați fracții raționale reale, care sunt luate în considerare în clasa 8? Acum practicăm.

Numărul de sarcină 1.

\\ [\\ Frac (27 ((a) ^ (3)) - 64 ((b) ^ (3))) ((b) ^ (3)) - 4): \\ frac (9 (a) ^ (2)) + 12Ab + 16 ((b) ^ (2)) (((b) ^ (2)) + 4b + 4) \\]

Să încercăm să aplicăm formulele descrise mai sus pentru a rezolva fracțiunile raționale. În primul rând, vreau să explic de ce aveți nevoie de o descompunere a multiplicatorilor. Faptul este că, la prima vedere, la prima parte a sarcinii, vreau să taie cubul cu un pătrat, dar este din punct de vedere categoric de a face acest lucru, deoarece acestea sunt termenii din numărător și în numitor, dar în nici un caz nu sunt multiplicatori.

În general, care este reducerea? Reducerea este utilizarea regulilor de bază ale muncii cu astfel de expresii. Proprietatea principală a FRACI este că putem numara și numitorul se poate multiplica pe același număr decât "zero". În acest caz, când am tăiat, dimpotrivă, ne împărțim pe același număr decât "Zero". Cu toate acestea, toți termenii în picioare în numitor, împărțiți pe același număr. Este imposibil să faceți acest lucru. Și avem dreptul să taiem numitorul cu numitorul numai atunci când ambele sunt așezate pentru multiplicatori. S-o facem.

Acum este necesar să vedem cât de mult sunt componentele într-un anumit element, în conformitate cu aceasta, aflați ce formulă trebuie utilizată.

Transformăm fiecare expresie la cubul exact:

Referindu-se la un numitor:

\\ [((stânga (3a \\ dreapta)) ^ (3)) - ((\\ stânga (4b \\ dreapta)) ^ (3)) \u003d \\ stânga (3a-4b \\ dreapta) \\ stânga (((stânga (3a \\ dreapta)) ^ (2)) + 3A \\ CDOT 4B + ((\\ stânga (4B \\ dreapta)) ^ (2)) \\ dreapta) \\]

Să ne uităm la numitor. Spumă cu formula pătratului pătratelor:

\\ [((b) ^ (2)) - 4 \u003d ((b) ^ (2)) - ((2) ^ (2)) \u003d \\ stânga (b-2 \\ dreapta) \\ stânga (B + 2 \\ DREAPTA) \\]

Acum, să ne uităm la a doua parte a expresiei:

Numărător:

Rămâne să se ocupe de numitorul:

\\ [((B) ^ (2)) + 2 \\ CDOT 2B + ((2) ^ (2)) \u003d ((în stânga (b + 2 \\ dreapta)) ^ (2)) \\]

Să rescrieți întregul design, luând în considerare faptele de mai sus:

\\ [\\ Frac (\\ stânga) \\ stânga ((\\ stânga (3a \\ dreapta)) ^ (2)) + 3A \\ CDOT 4B + ((\\ stânga (4B \\ dreapta)) ^ (2)) \\ dreapta) ) (\\ stânga (b-2 \\ dreapta) \\ stânga (b + 2 \\ dreapta)) \\ cdot \\ dreapta) \\ cdot \\ frac (((stânga (b + 2 \\ dreapta)) ((2))) ((("stânga ( 3A \\ dreapta)) ^ (2)) + 3A \\ CDOT 4B + ((\\ stânga (4B \\ dreapta)) ^ (2))) \u003d \\]

\\ [\u003d \\ Frac (\\ stânga (3a-4b \\ dreapta) \\ stânga (b + 2 \\ dreapta)) (\\ stânga (b-2 \\ dreapta)) \\]

Nuanțele de multiplicare a fracțiilor raționale

Retragerea cheie din aceste construcții este după cum urmează:

• Nu fiecare polinom este refuzat în multiplicatori.
• Chiar dacă el scade, este necesar să se urmărească cu atenție pentru care formula multiplicării abreviate.

Pentru aceasta, în primul rând, trebuie să evaluați cât de mult (dacă există două dintre ele, atunci tot ceea ce putem face este să le descompun fie prin cantitatea de diferențe din pătrate, fie prin cantitatea sau diferența de cuburi; și dacă Există trei, apoi, fără echivoc sau pătratul sumei sau pătratul diferenței). Se întâmplă adesea că sau numitorul sau numitorul nu necesită descompunere pe multiplicatori, poate fi liniară, sau discriminatorul său va fi negativ.

Numărul de sarcină 2.

\\ [\\ Frac (3-6x) (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 8) \\ cdot \\ frac (2x + 1) (((x) ^ (2)) + 4-4x) \\ CDOT \\ FRAC (8 - ((x) ^ (3)) (4 ((x) ^ (2)) - 1)

În general, schema de rezolvare a acestei sarcini nu este diferită de cea anterioară - doar acțiunea va fi mai mult și vor deveni mai diverse.

Să începem cu prima fracțiune: să ne uităm la numărătorul său și să facem posibile transformări:

Acum, să ne uităm la numitor:

Cu a doua fracție: într-un numitor, nimic nu se poate face deloc, pentru că este o expresie liniară și este imposibil să se supună din ea. Să ne uităm la numitor:

\\ [((x) ^ (2)) - 4x + 4 \u003d ((x) ^ (2)) - 2 \\ cdot 2x + (((2) ^ (2)) \u003d (("stânga (x-2 \\ dreapta)) ^ (2)) \\]

Mergem la a treia fracțiune. Numărător:

Vom face față denominatorului ultimei fracțiuni:

Am rescris expresia cu faptul că faptele descrise mai sus:

\\ [\\ Frac (3 \\ stânga (1-2x \\ dreapta)) (2 \\ stânga ((x) ^ (2)) + 2x + 4 \\ dreapta)) \\ cdot \\ frac (2x + 1) ((((( \\ stânga (X-2 \\ dreapta)) ^ (2))) \\ cdot \\ frac (\\ stânga (2-x \\ dreapta) \\ stânga ((2) ^ (2)) + 2x + ((x) ^ (2)) \\ dreapta)) (\\ stânga (2x-1 \\ dreapta) \\ stânga (2x + 1 \\ dreapta)) \u003d \\]

\\ [\u003d \\ Frac (-3) (2 \\ stânga (2-X \\ dreapta)) \u003d - \\ frac (3) (2 \\ stânga (2-X \\ dreapta)) \u003d \\ frac (3) (2 \\ stânga (X-2 \\ dreapta)) \\]

Soluții nuanțe

După cum puteți vedea, nu toți și nu se odihnește întotdeauna în formula de multiplicare abreviată - uneori este suficient pentru a face o constantă sau variabilă pentru paranteze. Cu toate acestea, există, de asemenea, o situație inversă atunci când componentele sunt atât de mult sau sunt atât de construite încât formulele de multiplicare abreviată la ele sunt, în general, imposibile. În acest caz, un instrument universal vine la salvare, și anume, metoda de grupare. Aceasta este ceea ce aplicăm acum în următoarea sarcină.

Numărul de sarcină 3.

\\ [\\ Frac ((a) ^ (2)) + ab) (5a - (a) ^ (2)) + ((b) ^ (2)) - 5b) \\ cdot \\ frac ((() ^ (2)) - ((b) ^ (2)) + 25-10A) ((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2))) \\]

Vom analiza prima parte:

\\ [((a) ^ (2)) + ab \u003d a \\ stânga (a + b \\ dreapta) \\]

\\ [\u003d 5 \\ stânga (AB \\ dreapta) - \\ stânga (ab / dreapta) \\ stânga (a + b \\ dreapta) \u003d \\ stânga (ab / dreapta) \\ stânga (5-1 \\ stânga (A + B \\ dreapta ) \\ Dreapta) \u003d \\]

\\ [\u003d \\ stânga (a-b \\ dreapta) \\ stânga (5-a-b \\ dreapta) \\]

Să rescriem expresia originală:

\\ [\\ Frac (a \\ stânga (a + b \\ dreapta)) (\\ stânga (ab / dreapta) \\ stânga (5-AB \\ dreapta)) \\ CDOT \\ dreapta)) \\ CDOT \\ FRAC ((a) ^ (2)) - ( (b) ^ (2)) + 25-10A) ((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)))

Acum ne vom da seama cu al doilea paraket:

\\ [((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) + 25-10A \u003d ((a) ^ (2)) - 10A + 25 - ((b) ^ (2)) \u003d \\ stânga ((a) ^ (2)) - 2 \\ CDOT 5A + ((5) ^ (2)) \\ dreapta) - ((b) ^ (2)) \u003d \\]

\\ [\u003d ((stânga (A-5 \\ dreapta)) ^ (2)) - (((b) ^ (2)) \u003d \\ stânga (A-5-B \\ dreapta) \\ Stânga (A-5 + b \\ dreapta) \\]

Deoarece cele două elemente nu au putut fi grupate, am grupat trei. Rămâne să se dară numai cu numitorul ultimei fracțiuni:

\\ [((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) \u003d \\ stânga (a-b \\ dreapta) \\ stânga (A + B \\ dreapta) \\]

Acum rescrieți întregul design:

\\ [\\ Frac (a \\ stânga (a + b \\ dreapta)) (\\ stânga (ab / dreapta) \\ stânga (5-ab \\ dreapta) \\ cdot \\ frac (\\ stânga (A-5-B \\ dreapta) \\ stânga (A-5 + B \\ dreapta)) (\\ stânga (AB \\ dreapta) ab \\ dreapta)) ^ (2))) \\]

Sarcina este rezolvată și nimic mai mult de simplificat aici.

Soluții nuanțe

Ne-am ocupat de gruparea și am primit un alt instrument foarte puternic, care extinde posibilitățile de descompunere asupra multiplicatorilor. Dar problema este asta viata reala Nimeni nu ne va da astfel de exemple rafinate, unde există mai multe fracții, care trebuie doar să se descompună numărătorului și numitorului pe multiplicator, iar apoi este posibil să le tăiați cât mai mult posibil. Expresiile reale vor fi mult mai complicate.

Cel mai probabil, în plus față de multiplicarea și diviziunile, scăderea și adăugarea, toate tipurile de paranteze vor fi prezente acolo - în general, va trebui să luăm în considerare procedura. Dar cel mai rău lucru este că atunci când scăderea și adăugarea fracțiilor cu diferite denominator Ei vor trebui să conducă la unul comun. Pentru aceasta, fiecare dintre ele va trebui să fie pusă pe multiplicatori, apoi să transforme aceste fracțiuni: aduceți și mai mult. Cum de a face acest lucru, rapid, și în același timp obțineți un răspuns corect corect? Este vorba despre acest lucru pe care îl vom vorbi acum pe exemplul următorului design.

Numărul de sarcină 4.

\\ [\\ stânga ((x) ^ (2)) + \\ frac (27) (x) \\ dreapta) \\ cdot \\ stânga (\\ frac (1) (x + 3) + \\ frac (1) ((1) x) ^ (2)) - 3x + 9) \\ dreapta) \\]

Să bem prima fracțiune și să încercăm să ne ocupăm separat:

\\ [((x) ^ (2)) + \\ frac (27) (x) \u003d \\ frac (((x) ^ (2))) (1) + \\ frac (27) (x) \u003d \\ frac ( ((x) ^ (3))) (x) + \\ frac (27) (x) \u003d \\ frac (((x) ^ (3) + 27) (x) \u003d \\ frac (((x) ^ (3)) + ((3) ^ (3))) (x) \u003d \\]

\\ [\u003d \\ Frac (\\ stânga (x + 3 \\ dreapta) \\ stânga ((x) ^ (2)) - 3x + 9 \\ dreapta)) (x) \\]

Du-te la al doilea. Imediat luați în considerare discriminalul numitorului:

El nu se desfășoară pe multiplicatori, așa că scriem următoarele:

\\ [\\ Frac (1) (x + 3) + \\ frac (1) (((x) ^ (2)) - 3x + 9) \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) - 3x + 9 + x + 3) (\\ stânga (x + 3 \\ dreapta) \\ stânga (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \\ dreapta)) \u003d \\]

\\ [\u003d \\ Frac ((x) ^ (2)) - 2x + 12) (\\ stânga (x + 3 \\ dreapta) \\ stânga (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \\ dreapta)) \\]

Numărul a băut separat:

\\ [((x) ^ (2)) - 2x + 12 \u003d 0 \\]

În consecință, acest polinom la multiplicatori nu este prevăzut.

Maxim pe care l-am putea face și descompun, am făcut deja.

Total rescrie designul original și obține:

\\ [\\ Frac (\\ stânga (x + 3 \\ dreapta) \\ stânga (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \\ dreapta)) (x) \\ cdot \\ frac (((x) ^ (2) ) -2x + 12) (\\ stânga (x + 3 \\ dreapta) \\ stânga (((x) ^ (2)) - 3x + 9 \\ dreapta)) \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) - 2x + 12) (x) \\]

Tot, sarcina este rezolvată.

Pentru a fi sincer, nu a fost o sarcină atât de dificilă: totul a fost ușor pus pe factori, au cauzat rapid termeni similari și totul a fost redus frumos. Prin urmare, acum să încercăm să rezolvăm provocarea încercării.

Numărul de sarcină 5.

\\ [\\ stânga (\\ frac (x) ((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \\ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \\ frac (1) (x-2) \\ dreapta) \\ cdot \\ stânga (\\ frac ((x) ^ (2)) (((x) ^ (2)) - 4) - \\ Frac (2) (2-x) \\ dreapta) \\]

În primul rând, să ne ocupăm de primul suport. De la început, voi descompune cel de-al doilea numitor de fracție pentru factori separat:

\\ [((x) ^ (3)) - 8 \u003d ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (3)) \u003d \\ stânga (x-2 \\ dreapta) \\ stânga ((x) ^ (2)) + 2x + 4 \\ dreapta) \\]

\\ [\\ Frac (x) ((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \\ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3)) - 8) - \\ frac (1) (((x) ^ (2))) \u003d \\]

\\ [\u003d \\ Frac (x) ((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \\ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\\ stânga (x-2 \\ dreapta) \\ stânga (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \\ dreapta)) - \\ frac (1) (x-2) \u003d \\]

\\ [\u003d \\ Frac (x \\ stânga (x-2 \\ dreapta) + ((x) ^ (2)) + 8- \\ stânga (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \\ dreapta)) ( \\ stânga (x-2 \\ dreapta) \\ stânga (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \\ dreapta)) \u003d \\]

\\ [\u003d \\ Frac ((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\\ stânga (x -2 \\ dreapta) \\ stânga (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \\ dreapta)) \u003d \\]

\\ [\u003d \\ Frac ((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\\ stânga (x-2 \\ dreapta) \\ stânga ((x) ^ (2)) + 2x + 4 \\ dreapta)) \u003d \\ Frac (("stânga (x-2 \\ dreapta)) (2)) (\\ stânga (x-2 \\ dreapta) \\ stânga (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \\ Dreapta)) \u003d \\ frac (X-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \\]

Acum vom lucra cu a doua fracțiune:

\\ [\\ Frac ((x) ^ (2)) (((x) ^ (2)) - 4) - \\ frac (2) (2-x) \u003d \\ frac (((x) ^ (2 )) (\\ stânga (x-2 \\ dreapta) \\ stânga (x + 2 \\ dreapta)) - \\ frac (2) (2-x) \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + 2 \\ Stânga (X-2 \\ dreapta)) (\\ stânga (x-2 \\ dreapta) \\ stânga (x + 2 \\ dreapta)) \u003d \\]

\\ [\u003d \\ Frac ((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\\ stânga (x-2 \\ dreapta) \\ stânga (x + 2 \\ dreapta)) \\]

Reveniți la designul nostru original și scrieți:

\\ [\\ Frac (x-2) ((x) ^ (2)) + 2x + 4) \\ cdot \\ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\\ stânga (x-2 \\ Dreapta) \\ stânga (x + 2 \\ dreapta)) \u003d \\ frac (1) (x + 2) \\]

Puncte cheie

Din nou, fapte cheie ale tutorialului video de astăzi:

1. Trebuie să cunoască formula "Nazubok" de multiplicare abreviată - și nu doar știți, ci pentru a putea vedea în aceste expresii pe care le veți întâlni sarcini reale. Pentru a ne ajuta în acest lucru poate o regulă minunată: dacă există doi termeni, atunci aceasta este fie diferența de pătrate, fie diferența sau cantitatea de cuburi; Dacă trei pot fi doar pătratul cantității sau diferenței.
2. Dacă orice design nu este extins utilizând formulele multiplicării abreviate, atunci vom ajuta fie formula standard pentru extinderea celor trei mize asupra multiplicatorilor, fie metoda de grupare.
3. Dacă ceva nu funcționează, analizați cu atenție expresia originală - și dacă există unele transformări cu el deloc. Poate că va fi suficient pentru a purta pur și simplu multiplicatorul pentru suport și acest lucru este foarte des doar o constantă.
4. În expresii complexe în care aveți nevoie pentru a efectua mai multe acțiuni la rând, nu uitați să duceți la numitor comunȘi numai după aceea, când toate fracțiunile sunt date, asigurați-vă că oferiți unul similar în noul numărător și apoi descompuneți noua numărator încă o dată pe multiplicatori - este posibil ca ceva să scadă.

Asta-i tot ce am vrut să-ți spun astăzi despre fracțiunile raționale. Dacă ceva este incomprehensibil - există încă o grămadă de ceasuri video pe site, precum și o grămadă de sarcini auto-hotărâtă. Stai cu noi!

Rezolvarea ecuațiilor cu fracțiuni Ia în considerare în exemple. Exemplele sunt simple și indicative. Cu ajutorul lor, veți putea să alocați modul cel mai ușor de înțeles ,.
De exemplu, este necesar să rezolvați ecuația simplă X / B + C \u003d d.

Ecuații de acest tip numite liniară, pentru că În numitor, există numai numere.

Soluția este efectuată prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației pe B, apoi ecuația ia formularul X \u003d B * (D - C), adică. Denominatorul de denomoter din partea stângă este redus.

De exemplu, cum să rezolvăm ecuația fracționată:
X / 5 + 4 \u003d 9
Mulțimișăm ambele părți de 5. Avem:
X + 20 \u003d 45
x \u003d 45-20 \u003d 25

Un alt exemplu atunci când necunoscutul este în numitor:

Ecuațiile de acest tip sunt numite fracționate sau pur și simplu fracționate.

Ar fi posibil să rezolvăm ecuația fracționată prin scăderea fracțiilor, după care această ecuație se transformă cel mai adesea într-o linie liniară sau pătrată, care este rezolvată în mod obișnuit. Trebuie să luați în considerare următoarele puncte:

• valoarea variabilei în 0 Denumimatorul nu poate fi rădăcină;
• nu puteți împărți sau înmulți ecuația pe expresia \u003d 0.

Aici, acest concept intră în vigoare, deoarece suprafața valorilor admise (OTZ) - acestea sunt valorile rădăcinilor ecuației în care are sens.

Astfel, rezolvarea ecuației, este necesar să se găsească rădăcinile, după care le verifică pentru respectarea OTZ. Aceste rădăcini care nu corespund cu OWZ, sunt excluse din răspuns.

De exemplu, trebuie rezolvată o ecuație fracționată:

Pe baza regulilor de mai sus x nu poate fi \u003d 0, adică. OTZ în acest caz: X - orice valoare diferită de zero.

Scapă de numitorul prin înmulțirea tuturor membrilor ecuației pe x

Și rezolvați ecuația obișnuită

5x - 2x \u003d 1
3x \u003d 1.
x \u003d 1/3.

Răspuns: x \u003d 1/3

Rezolvarea ecuației mai complicate:

Acest lucru este prezent și ... Otz: X -2.

Prin decizia acestei ecuații, nu vom purta totul într-o singură direcție și nu vom aduce fracția la numitorul general. Vom înmulți imediat ambele părți ale ecuației asupra expresiei care vor reduce imediat toți denominatori.

Pentru a reduce denominanții, partea stângă este necesară pentru multiplicarea pe X + 2 și dreapta - prin 2. înseamnă că ambele părți ale ecuației trebuie să fie înmulțite cu 2 (x + 2):

Aceasta este cea mai comună multiplicare a fracțiunilor pe care le-am luat deja mai sus.

Scriem aceeași ecuație, dar oarecum diferită

Partea stângă este redusă cu (x + 2), iar mâna dreaptă 2. După reducere, obținem o ecuație liniară convențională:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, care corespunde ODZ-ului nostru

Răspuns: x \u003d 2.

Rezolvarea ecuațiilor cu fracțiuni Nu este la fel de dificil cum pare. În acest articol, am arătat acest lucru în exemple. Dacă aveți dificultăți cum de a rezolva ecuațiile cu fracțiunile, apoi dezabonați în comentarii.

O expresie întregă este o expresie matematică compusă din numere și variabile alfabetice prin acțiunile de adăugare, scădere și multiplicare. De asemenea, include și expresii care sunt în compoziția lor o diviziune în orice alt număr decât zero.

Conceptul de expresie rațională fracționată

Expresia fracționată este o expresie matematică, care, pe lângă acțiunea de adăugare, scădere și multiplicare, realizată cu numere și variabile de litere, precum și diviziuni pe un număr, nu egale cu zero, conține, de asemenea, diviziuni pe expresii cu variabile de litere.

Expresiile raționale sunt toate expresiile întregi și fracționare. Ecuațiile raționale sunt ecuații ale căror părți stângi și drepte sunt expresii raționale. Dacă în ecuația rațională, părțile stângi și drepte vor fi expresii întregi, atunci o astfel de ecuație rațională este numită în întregime.

Dacă în ecuația rațională, partea stângă sau dreaptă va fi expresii fracționate, atunci o astfel de ecuație rațională se numește fracționată.

Exemple de expresii raționale fracționate

1. x-3 / x \u003d -6 * x + 19

2. (X - 4) / (2 * x + 5) \u003d (x + 7) / (x-2)

3. (x - 3) / (x-5) + 1 / x \u003d (x + 5) / (x * (x-5))

Schema de rezolvare a unei ecuații raționale fracționate

1. Găsiți un numitor general al tuturor fracțiunilor care sunt incluse în ecuație.

2. Înmulțiți ambele părți ale ecuației asupra numitorului general.

3. Rezolvați ecuația întreagă rezultată.

4. Verificați rădăcinile și excludeți-le celor care se transformă în zero un numitor comun.

Deoarece rezolvăm ecuațiile raționale fracționate, vor exista variabile în numitori. Deci, ei vor fi într-un numitor comun. Și în al doilea paragraf al algoritmului, multiplicăm pe un numitor comun, pot apărea rădăcini străine. În care denominatorul general va fi zero și, prin urmare, multiplicarea acestora va fi lipsită de sens. Prin urmare, la final, asigurați-vă că verificați rădăcinile primite.

Luați în considerare un exemplu:

Rezolvați o ecuație rațională fracționată: (x-3) / (x-5) + 1 / x \u003d (x + 5) / (x * (x-5)).

Vom adera la schema generală: Găsiți la început denominatorul general al tuturor fracțiunilor. Obținem X * (X-5).

Înmulțiți fiecare fracțiune pe numitorul general și scrieți ecuația întreagă rezultată.

(x-3) / (x-5) * (x * (x-5)) \u003d x * (x + 3);
1 / x * (x * (x-5)) \u003d (X-5);
(x + 5) / (x * (x (x-5)) * (x * (x-5)) \u003d (x + 5);
x * (x + 3) + (x-5) \u003d (x + 5);

Simplificăm ecuația rezultată. Primim:

x ^ 2 + 3 * x + x-5 - x - 5 \u003d 0;
x ^ 2 + 3 * x-10 \u003d 0;

A primit o ecuație pătrată simplă. Îl rezolvăm prin oricare dintre metodele cunoscute, obținem rădăcinile x \u003d -2 și x \u003d 5.

Acum realizăm verificarea soluțiilor obținute:

Înlocuim numărul -2 și 5 la denominatorul general. La X \u003d -2, denominatorul total X * (X-5) nu se aplică la zero, -2 * (- 2-5) \u003d 14. Astfel, numărul -2 va fi rădăcina ecuației raționale fracționare inițiale.

La X \u003d 5, denominatorul total X * (X-5) devine zero. În consecință, acest număr nu este rădăcina ecuației raționale originale fracționate, deoarece va exista o diviziune la zero.

Să ne familiarizăm cu ecuații raționale raționale și fracționate, le vom da o definiție, oferim exemple și vom analiza cele mai frecvente tipuri de sarcini.

Yandex.rtb r-a-339285-1

Ecuația rațională: definiție și exemple

Cunoștința cu expresii raționale începe în clasa a VIII-a a școlii. În acest moment, lecțiile algebrei, studenții încep din ce în ce mai mult să răspundă sarcinilor cu ecuații care conțin expresii raționale în înregistrările lor. Să reîmprospătăm în memorie ceea ce este.

Definiție 1.

Ecuația rațională - Aceasta este o astfel de ecuație, în ambele părți ale cărei expresii raționale sunt conținute.

În diverse indemnizații puteți întâlni o altă formulare.

Definiția 2.

Ecuația rațională - Aceasta este o astfel de ecuație, înregistrarea părții stângi din care conține o expresie rațională și dreptul zero.

Definițiile pe care le-am condus pentru ecuații raționale sunt echivalente, așa cum spun același lucru. Confirmă corectitudinea cuvintelor noastre faptul că pentru orice expresii raționale P. și Q. ecuații P \u003d Q. și P - Q \u003d 0 vor fi expresii echivalente.

Acum să ne întoarcem la exemple.

Exemplul 1.

Ecuații raționale:

x \u003d 1, 2 · x - 12 · x2 · y · z3 \u003d 0, xx 2 + 3 · x - 1 \u003d 2 + 2 7 · x - a · (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 \u003d 3.

Ecuațiile raționale în același mod ca și ecuațiile altor specii pot conține orice număr de variabile de la 1 la mai multe. Pentru a începe, luăm în considerare exemple simple în care ecuațiile vor conține doar o singură variabilă. Și apoi să începem să complicăm treptat sarcina.

Ecuațiile raționale sunt împărțite în două grupuri mari: întregi și fracționate. Să vedem ce ecuații se vor referi la fiecare dintre grupuri.

Definiția 3.

Ecuația rațională va fi întreg dacă există expresii raționale întregi în înregistrarea părților stângi și drepte.

Definiție 4.

Ecuația rațională va fi fracțiune în cazul în care una sau ambele părți conțin o fracțiune.

Ecuațiile raționale fracționate sunt obligatorii conținând o diviziune într-o variabilă sau variabila este disponibilă în numitor. Nu există o astfel de diviziune în înregistrările întregii diviziuni.

Exemplul 2.

3 · x + 2 \u003d 0 și (x + y) · (3 ● x 2 - 1) + x \u003d - y + 0, 5 - ecuații întregi raționale. Aici ambele părți ale ecuației sunt reprezentate de expresii întregi.

1 x - 1 \u003d x 3 și X: (5 · x 3 + y 2) \u003d 3: (x - 1): 5 - Acestea sunt ecuații raționale fracționate.

Ecuațiile liniare și pătrate pot fi atribuite numărului de ecuații raționale întregi.

Rezolvarea ecuațiilor întregi

Soluția acestor ecuații este de obicei redusă pentru a le transforma în ecuații algebale echivalente. Este posibil să se realizeze acest lucru prin efectuarea unor transformări echivalente ale ecuațiilor în conformitate cu următorul algoritm:

• În primul rând, obținem zero în partea dreaptă a ecuației, pentru aceasta, este necesar să se transfere expresia care este în partea dreaptă a ecuației, la partea stângă și să schimbe semnul;
• apoi transformăm expresia pe partea stângă a ecuației în polinomul speciilor standard.

Trebuie să obținem o ecuație algebrică. Această ecuație va fi echivalentă cu ecuația sursă. Cazurile ușoare ne permit să rezolvăm problema pentru a reduce o ecuație întreagă cu o linie liniară sau pătrată. În general, rezolvăm ecuația algebrică a gradului N..

Exemplul 3.

Este necesar să găsiți rădăcinile întregii ecuații. 3 · (x + 1) · (x - 3) \u003d x · (2 \u200b\u200b· x - 1) - 3.

Decizie

Realizăm transformarea expresiei inițiale pentru a obține o ecuație algebrică echivalentă cu ea. Pentru a face acest lucru, vom transfera expresia conținută în partea dreaptă a ecuației, spre stânga și vom înlocui semnul opusului. Ca rezultat, primim: 3 · (x + 1) · (x - 3) - x · (2 \u200b\u200b· x - 1) + 3 \u003d 0.

Acum vom efectua o transformare de expresie care este situată în partea stângă a polinomului de tip standard și vom produce acțiunile necesare cu acest polinom:

3 · (x + 1) · (2 \u200b\u200b· x - 1) + 3 \u003d (3, x + 3) · (x - 3) - 2 · x 2 + x + 3 \u003d \u003d 3 · x 2 - 9 · x + 3 · x - 9 - 2 · x 2 + x + 3 \u003d x 2 - 5 · x - 6

Am reușit să reducem soluția ecuației inițiale cu decizia ecuație pătrată. Vedere X 2 - 5 · x - 6 \u003d 0. Discriminanța acestei ecuații este pozitivă: D \u003d (- 5) 2 - 4,1 · (- 6) \u003d 25 + 24 \u003d 49. Aceasta înseamnă că rădăcinile reale vor fi două. Le vom găsi folosind rădăcina ecuației pătrate:

x \u003d - - 5 ± 49 2 · 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 sau x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 \u003d 6 sau x 2 \u003d - 1

Vom verifica loialitatea rădăcinilor ecuației pe care le-am găsit în timpul soluției. Pentru aceasta, numărul pe care l-am primit va înlocui în ecuația inițială: 3 · (6 + 1) · (6 - 3) \u003d 6 · (2,6 - 1) - 3și 3 · (- 1 + 1) · (- 1-3) \u003d (- 1) · (2 \u200b\u200b· (- 1) - 1) - 3. În primul caz 63 = 63 Al doilea 0 = 0 . Rădăcini x \u003d 6. și x \u003d - 1 Într-adevăr, rădăcinile ecuației date în starea exemplului.

Răspuns: 6 , − 1 .

Să ne întrebăm ce este "gradul de ecuație întreagă". Cu acest termen, ne vom întâlni adesea în cazurile în care va trebui să depunem o ecuație întreagă sub formă de algebrică. Să definim conceptul.

Definiție 5.

Gradul de ecuație întregi- Acesta este gradul de ecuație algebrică, echivalent cu întreaga ecuație originală.

Dacă vă uitați la ecuațiile din exemplul de mai sus, puteți instala: Gradul acestei ecuații este al doilea.

Dacă cursul nostru sa limitat la soluționarea ecuațiilor de gradul al doilea, atunci luarea în considerare a subiectului asupra acestui lucru ar putea fi finalizată. Dar totul nu este atât de simplu. Soluția ecuațiilor din al treilea grad este asociată cu dificultăți. Și pentru ecuații deasupra gradului al patrulea și nu există deloc formule generale rădăcini. În acest sens, soluționarea întregii ecuații a celei de-a treia, a patra și a altor grade ne cere să aplicăm o serie de alte tehnici și metode.

Mai des, abordarea este utilizată pentru a rezolva întreaga ecuații raționale, care se bazează pe metoda de expansiune pe multiplicatori. Algoritmul acțiunilor în acest caz este după cum urmează:

• transferați expresia din partea dreaptă spre stânga, astfel încât zero să rămână în partea dreaptă;
• prezentăm expresia din partea stângă ca produs al multiplicatorilor și apoi treceți la agregarea mai multor ecuații mai simple.

Exemplul 4.

Găsiți soluția de ecuație (x 2 - 1) · (x 2 - 10 · x + 13) \u003d 2 · x · (x 2 - 10 · x + 13).

Decizie

Transferați expresia din partea dreaptă a înregistrării spre stânga cu semnul opus: (x 2 - 1) · (x 2 - 10 · x + 13) - 2 · x · (x 2 - 10 · x + 13) \u003d 0. Conversia părții stângi în polinomul speciilor standard este nepractică datorită faptului că acest lucru ne va da ecuația algebrică a gradului al patrulea: X 4 - 12 · x 3 + 32 · x 2 - 16 · x - 13 \u003d 0. Ușurința de transformare nu justifică toate dificultățile cu soluția unei astfel de ecuații.

Este mult mai ușor să mergeți la un alt mod: voi aduce un multiplicator general pentru paranteze X 2 - 10 · x + 13.Deci vom ajunge la ecuația de tip (x 2 - 10 · x + 13) · (x 2 - 2 · x - 1) \u003d 0. Acum înlocuiți ecuația rezultată cu un set de ecuații pătrate X 2 - 10 · x + 13 \u003d 0 și X 2 - 2 · x - 1 \u003d 0 Și găsim rădăcinile lor prin discriminanță: 5 + 2,3, 5 - 2 · 3, 1 + 2, 1 - 2.

Răspuns: 5 + 2 · 3, 5 - 2,3, 1 + 2, 1 - 2.

În mod similar, putem folosi metoda de introducere a unei noi variabile. Această metodă ne permite să trecem la ecuații echivalente cu grade mai mici decât în \u200b\u200becuația inițială.

Exemplul 5.

Există rădăcini la ecuație (x 2 + 3 · x + 1) 2 + 10 \u003d - 2 · (x 2 + 3 · x - 4)?

Decizie

Dacă încercăm acum să reducem întreaga ecuație rațională pentru algebrică, atunci obținem ecuația 4 grade care nu are rădăcini raționale. Prin urmare, va fi mai ușor să mergem la altul: Introduceți o nouă variabilă Y, care va înlocui expresia în ecuație X 2 + 3 · x.

Acum vom lucra cu o ecuație întregă (Y + 1) 2 + 10 \u003d - 2 · (Y - 4). Transferați partea dreaptă a ecuației în stânga cu semnul opus și realizați transformările necesare. Primim: Y 2 + 4 · Y + 3 \u003d 0. Găsiți rădăcinile ecuației pătrate: Y \u003d - 1și y \u003d - 3.

Acum petreceți înlocuirea inversă. Obținem două ecuații X 2 + 3 · x \u003d - 1 și x 2 + 3 · x \u003d - 3.Rescrieți-le ca x 2 + 3 · x + 1 \u003d 0 și x 2 + 3 · x + 3 \u003d 0. Folosind formula rădăcină a ecuației pătrate pentru a găsi rădăcinile primei ecuații de la: - 3 ± 5 2. Discriminanța a doua ecuație este negativă. Aceasta înseamnă că nu există rădăcini valide în a doua ecuație.

Răspuns: - 3 ± 5 2

Ecuații întregi diplome mari Se potrivesc în sarcini destul de des. Ei nu trebuie să fie speriat. Trebuie să fiți gata să aplicați o metodă non-standard pentru soluția lor, inclusiv o serie de transformări artificiale.

Decizia ecuațiilor raționale fracționate

Să începem luarea în considerare a acestor subtopice cu algoritmul de rezolvare a ecuațiilor fracționate raționale ale formei P (x) Q (x) \u003d 0, unde P (x) și Q (x) - expresii întregi raționale. Soluția ecuațiilor raționale fracționate rămase poate fi întotdeauna redusă la rezolvarea ecuațiilor speciilor specificate.

Cea mai utilizată metodă de rezolvare a ecuațiilor P (x) Q (x) \u003d 0 se bazează pe următoarea afirmație: Fracțiunea numerică U v.Unde V. - Acesta este un număr diferit de zero este zero numai în cazurile în care număratorul de fracțiune este zero. După logica declarației date, putem argumenta că soluția ecuației P (x) Q (x) \u003d 0 poate fi redusă la execuția a două condiții: P (x) \u003d 0 și Q (x) ≠ 0. Acest algoritm construit pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționate ale formei P (x) Q (x) \u003d 0:

• găsiți o soluție la o ecuație rațională întregi P (x) \u003d 0;
• verificați dacă sunt efectuate rădăcinile găsite în timpul soluției, starea Q (x) ≠ 0.

Dacă această condiție este executată, atunci rădăcina găsită dacă nu, rădăcina nu este o soluție la problemă.

Exemplul 6.

Găsiți rădăcinile ecuației 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 \u003d 0.

Decizie

Avem de-a face cu o ecuație rațională fracționată a formei P (x) Q (x) \u003d 0, în care P (x) \u003d 3,2 x 2, Q (x) \u003d 5,2-2 - 2 \u003d 0. Vom continua să rezolvăm ecuația liniară 3 · x - 2 \u003d 0. Rădăcina acestei ecuații va fi x \u003d 2 3.

Vom verifica rădăcina găsită, indiferent dacă satisface condiția 5 · x 2 - 2 ≠ 0. Pentru a face acest lucru, vom înlocui o valoare numerică în expresie. Obținem: 5 · 2 3 2 - 2 \u003d 5,4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Starea este efectuată. Înseamnă că x \u003d 2 3 Este rădăcina ecuației sursei.

Răspuns: 2 3 .

Există o altă opțiune pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționate P (x) Q (x) \u003d 0. Reamintește că această ecuație este echivalentă cu o ecuație întreagă P (x) \u003d 0 Pe suprafața valorilor admise ale variabilei X a ecuației sursei. Acest lucru ne permite să folosim următorul algoritm în rezolvarea ecuațiilor P (x) Q (x) \u003d 0:

• rezolvăm ecuația P (x) \u003d 0;
• găsim zona de valori admise ale variabilei x;
• luăm rădăcini care stau în zona de valori admise ale variabilei X, ca rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționare originale.

Exemplul 7.

Decideți ecuația x 2 - 2 · x - 11 x 2 + 3 · x \u003d 0.

Decizie

Pentru a începe cu ecuația pătrată X 2 - 2 · x - 11 \u003d 0. Pentru a calcula rădăcinile sale, folosim formula rădăcină pentru un singur coeficient. A primi D 1 \u003d (- 1) 2 - 1 · (- 11) \u003d 12și x \u003d 1 ± 2 3.

Acum găsim variabila OTZ x pentru ecuația sursă. Acestea sunt toate numerele pentru care X 2 + 3 · x ≠ 0. Acest lucru este același cu x · (x + 3) ≠ 0Unde x ≠ 0, x ≠ - 3.

Acum verificați dacă rădăcinile obținute în prima etapă a rădăcinii decid X \u003d 1 ± 2 3 în valorile valorilor admise ale variabilei X. Vedem asta. Aceasta înseamnă că ecuația rațională fracționată inițială are două rădăcini x \u003d 1 ± 2 3.

Răspuns: x \u003d 1 ± 2 3

Cea de-a doua metodă de soluție descrisă este mai ușoară pentru primele în cazurile în care zona de valori admise ale variabilei X este ușor localizată și rădăcinile ecuației P (x) \u003d 0 iraţional. De exemplu, 7 ± 4 · 26 9. Rădăcinile pot fi raționale, dar cu un numitor mare sau numitor. De exemplu, 127 1101 și − 31 59 . Acest lucru vă permite să economisiți timp în condiții de verificare Q (x) ≠ 0 : Este mult mai ușor să excludem rădăcinile care nu sunt potrivite, conform ...

În aceste cazuri atunci când rădăcinile ecuației P (x) \u003d 0 Întreg, este mai rapid să se utilizeze primul algoritmii descriși pentru rezolvarea ecuațiilor formei P (x) Q (x) \u003d 0. Mai repede pentru a găsi imediat rădăcinile întregii ecuații P (x) \u003d 0După care este verificată dacă este efectuată o condiție pentru ei Q (x) ≠ 0și nu găsiți OTZ, apoi rezolvați ecuația P (x) \u003d 0 Pe acest ciudat. Acest lucru se datorează faptului că, în astfel de cazuri, este de obicei o inspecție mai ușoară decât găsirea OTZ.

Exemplul 8.

Găsiți rădăcinile ecuației (2 · x - 1) · (x - 6) · (x 2 - 5 · x + 14) · (x + 1) x 5 - 15 · x 4 + 57 · x 3 - 13 · X 2 + 26 · x + 112 \u003d 0.

Decizie

Să începem cu luarea în considerare a întregii ecuații (2 · x - 1) · (x - 6) · (x 2 - 5 · x + 14) · (x + 1) \u003d 0 Și găsind rădăcinile sale. Pentru a face acest lucru, vom aplica metoda de rezolvare a ecuațiilor prin descompunere multiplicatoare. Se pare că ecuația inițială este echivalentă cu totalitatea a patru ecuații 2 · x - 1 \u003d 0, x - 6 \u003d 0, x 2 - 5 · x + 14 \u003d 0, x + 1 \u003d 0, din care trei liniare și un pătrat. Găsiți rădăcini: de la prima ecuație x \u003d 1 2, de la al doilea - x \u003d 6., de la al treilea - x \u003d 7, x \u003d - 2, de la al patrulea - x \u003d - 1.

Vom verifica rădăcinile primite. Este dificil să se determine OTZ în acest caz, deoarece acest lucru va trebui să rezolve o ecuație algebrică a cincea. Va fi mai ușor să verificați starea în care numitorul fracției, care este în partea stângă a ecuației, nu trebuie să contacteze zero.

La rândul său, substituați rădăcinile în locul variabilei X în expresie X 5 - 15 · x 4 + 57 · x 3 - 13 · x 2 + 26 · x + 112și calculează valoarea sa:

1 2 5 - 15 · 1 2 4 + 57 · 1 2 3 - 13,1 2 2 + 22 - 1 2 + 112 \u003d 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 \u003d 122 + 1 32 ≠ 0;

6 5 - 15 · 6 4 + 57 · 6 3 - 13,6 2 + 26 · 6 + 112 \u003d 448 ≠ 0;

7 5 - 15 · 7 4 + 57 · 7 3 - 13,7 2 + 26 · 7 + 112 \u003d 0;

(- 2) 5 - 15 · (- 2) 4 + 57 · (-2) 3 - 13 · (- 2) 2 + 26 · (- 2) + 112 \u003d - 720 ≠ 0;

(- 1) 5 - 15 · (- 1) 4 + 57 · (- 1) 3 - 13 · (- 1) 2 + 26 · (- 1) + 112 \u003d 0.

Testul ne permite să stabilim că rădăcinile ecuației inițiale de racinare fracționate sunt 1 2, 6 și − 2 .

Răspuns: 1 2 , 6 , - 2

Exemplul 9.

Găsiți rădăcinile ecuației raționale fracționate 5 · x 2 - 7, x - 1 · x - 2 x 2 + 5 · x - 14 \u003d 0.

Decizie

Să începem să lucrăm cu ecuația (5 · x 2 - 7 · x - 1) · (X - 2) \u003d 0. Găsiți rădăcinile lui. Este mai ușor să prezentăm această ecuație ca o combinație de ecuații pătrate și liniare. 5 · x 2 - 7 · x - 1 \u003d 0 și X - 2 \u003d 0.

Utilizați formula rădăcină a ecuației pătrate pentru a căuta rădăcini. Ajungem de la prima ecuație două rădăcini x \u003d 7 ± 69 10 și de la al doilea x \u003d 2..

Pentru a înlocui valoarea rădăcinilor în ecuația inițială pentru a verifica condițiile, va fi destul de dificil. Va fi mai ușor să determinați variabila OTZ x. În acest caz, variabila OTZ x este toate numerele, cu excepția celor pentru care condiția este satisfăcută. x 2 + 5 · x - 14 \u003d 0. Obținem: X ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Acum verificați dacă rădăcinile găsite de noi aparțin zonei de valori admise ale variabilei x.

Rădăcinile x \u003d 7 ± 69 10 - aparțin, prin urmare, sunt rădăcini ale ecuației inițiale și x \u003d 2. - Nu aparține, prin urmare, aceasta este o rădăcină străină.

Răspuns: x \u003d 7 ± 69 10.

Vom analiza separat când în numerotarea unei ecuații raționale fracționate a formei P (x) Q (x) \u003d 0 este numărul. În astfel de cazuri, dacă există un număr diferit de zero în numerotare, ecuația nu va avea rădăcini. Dacă acest număr va fi zero, atunci rădăcina ecuației va fi orice număr de OTZ.

Exemplul 10.

Decideți ecuația rațională fracționată - 3, 2 x 3 + 27 \u003d 0.

Decizie

Această ecuație nu va avea rădăcini, deoarece în număratorul fracțiunii din partea stângă a ecuației este diferită de zero. Aceasta înseamnă că, indiferent de valorile x valoarea sarcinii de trib nu este egală cu zero.

Răspuns: Nu există rădăcini.

Exemplul 11.

Decideți ecuația 0 x 4 + 5 · x 3 \u003d 0.

Decizie

Deoarece fracțiunea este zero în numărător, soluția ecuației va fi orice valoare a lui x de la variabila OTZ X.

Acum definim OTZ. Acesta va include toate valorile lui X, în care x 4 + 5 · x 3 ≠ 0. Ecuația soluțiilor. x 4 + 5 · x 3 \u003d 0sunteți 0 și − 5 Deoarece această ecuație este echivalentă cu ecuația x 3 · (x + 5) \u003d 0, și, la rândul său, este echivalentă cu combinația a două ecuații x 3 \u003d 0 și X + 5 \u003d 0Unde aceste rădăcini sunt vizibile. Ajungem la faptul că zona dorită de valori admise este orice x, cu excepția x \u003d 0. și x \u003d - 5.

Se pare că o ecuație rațională fracționată 0 x 4 + 5 · x 3 \u003d 0 are un set infinit de soluții care sunt numere în afară de zero și - 5.

Răspuns: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Acum, să vorbim despre ecuațiile raționale fracționate ale speciilor și metodelor arbitrare ale soluției lor. Ele pot fi scrise ca R (x) \u003d s (x)Unde R (x) și S x) - Expresii raționale și cel puțin una fracționată. Soluția acestor ecuații este redusă la rezolvarea ecuațiilor formei P (x) Q (x) \u003d 0.

Știm deja că putem obține o ecuație echivalentă atunci când vom transfera o expresie din partea dreaptă a ecuației la stânga cu semnul opus. Aceasta înseamnă că ecuația R (x) \u003d s (x) Ecuația echivalentă R (x) - s (x) \u003d 0. De asemenea, am dezasamblat modalități de a transforma expresia rațională într-o fracțiune rațională. Datorită acestui lucru, putem converti cu ușurință ecuația R (x) - s (x) \u003d 0 La fracțiunea rațională identică a formei P (x) Q (x).

Așa că vom trece de la ecuația rațională inițială fracționată R (x) \u003d s (x) La ecuația formei P (x) Q (x) \u003d 0, pentru a decide pe care am învățat-o deja.

Ar trebui să se țină cont de faptul că atunci când efectuează tranziții R (x) - s (x) \u003d 0 la p (x) q (x) \u003d 0, și apoi la P (x) \u003d 0 Este posibil să nu luăm în considerare extinderea valorilor admise ale variabilei X.

Situația este destul de reală când ecuația inițială R (x) \u003d s (x) și ecuația. P (x) \u003d 0ca urmare, transformările vor înceta să fie echivalente. Apoi soluția ecuației P (x) \u003d 0 ne poate da rădăcini care vor fi neautorizate pentru R (x) \u003d s (x). În acest sens, în fiecare caz, este necesar să se verifice oricare dintre metodele descrise mai sus.

Pentru a vă ușura să studiați subiectul, am rezumat toate informațiile din Algrads de rezolvare a unei ecuații raționale fracționate a speciilor R (x) \u003d s (x):

• noi purtăm expresia din partea dreaptă cu semnul opus și obținem dreptul de zero;
• transformăm expresia inițială într-o fracțiune rațională P (x) Q (x), efectuând în mod constant acțiuni cu fracțiuni și polinoame;
• rezolvăm ecuația P (x) \u003d 0;
• dezvăluie rădăcini străine prin verificarea accesoriilor lor OTZ sau metoda de substituție la ecuația inițială.

Din punct de vedere vizual, lanțul de acțiune va arăta astfel:

r

Exemplul 12.

Decideți ecuația rațională fracționată x x + 1 \u003d 1 x + 1.

Decizie

Ne întoarcem la ecuația x x + 1 - 1 x + 1 \u003d 0. Transformăm o expresie rațională fracționată pe partea stângă a ecuației cu forma P (x) Q (x).

Pentru a face acest lucru, va trebui să aducem fracțiuni raționale denominatorului general și să simplificăm expresia:

xx + 1 - 1 x - 1 \u003d x · x - 1 · (x + 1) - 1 · x · (x + 1) x · (x + 1) \u003d x 2 - x - 1 - x 2 - xx · (X + 1) \u003d - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Pentru a găsi rădăcinile ecuației - 2 · x - 1 x · (x + 1) \u003d 0, trebuie să rezolvăm ecuația - 2 · x - 1 \u003d 0. Avem o singură rădăcină x \u003d - 1 2.

Am lăsat să verificăm oricare dintre metode. Luați în considerare amândoi.

Înlocuim valoarea obținută în ecuația inițială. Obținem - 1 2 - 1 2 + 1 \u003d 1 - 1 2 + 1. Am venit la egalitate numerică credincioasă − 1 = − 1 . Înseamnă că x \u003d - 1 2 Este rădăcina ecuației sursei.

Acum cheltuiți verificări prin OTZ. Definim zona de valori admise ale variabilei x. Acesta va fi toate numerele setate, cu excepția 1 și 0 (cu x \u003d - 1 și x \u003d 0, denominatorii de fracțiuni sunt aplicați la zero). Mergând rădăcina x \u003d - 1 2 aparține Otz. Aceasta înseamnă că este rădăcina ecuației sursei.

Răspuns: − 1 2 .

Exemplul 13.

Găsiți rădăcinile ecuației x 1 x + 3 - 1 x \u003d - 2 3 · x.

Decizie

Avem de-a face cu o ecuație rațională fracționată. În consecință, vom acționa conform algoritmului.

Transferim expresia din partea dreaptă spre stânga cu semnul opus: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x \u003d 0

Realizăm transformările necesare: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x \u003d x 3 + 2 · x 3 \u003d 3 · x 3 \u003d x.

Ajungem la ecuație x \u003d 0.. Rădăcina acestei ecuații este zero.

Verificați dacă această rădăcină este străini pentru ecuația inițială. Înlocuim valoarea în ecuația inițială: 0 1 0 + 3 - 1 0 \u003d - 2 3 · 0. După cum puteți vedea, ecuația rezultată nu are sens. Aceasta înseamnă că 0 este o rădăcină străină, iar ecuația rațională fracționată inițială nu are rădăcină.

Răspuns: Nu există rădăcini.

Dacă nu am inclus alte transformări echivalente în algoritm, aceasta nu înseamnă deloc că nu pot fi folosite. Algoritmul este universal, dar este conceput pentru a ajuta și nu limita.

Exemplul 14.

Decideți ecuația 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - X2 \u003d 7 7 24

Decizie

Cea mai ușoară modalitate de a rezolva ecuația rațională fracționată în funcție de algoritm. Dar există un alt mod. Ia in considerare.

Luăm departe de partea dreaptă și stângă 7, obținem: 1 3 + 1 2 + 1 5 - X2 \u003d 7 24.

De aici puteți concluziona că expresia în numitorul din partea stângă trebuie să fie egală cu numărul, invers din partea dreaptă, adică 3 + 1 2 + 1 5 - X2 \u003d 24 7.

Închirierea din ambele părți 3: 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 3 7. Prin analogie 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, de la 1 5 - X2 \u003d 1 3, și mai departe 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Vom verifica pentru a stabili dacă rădăcinile găsite sunt rădăcinile ecuației sursei.

Răspuns: x \u003d ± 2

Dacă observați o greșeală în text, selectați-o și apăsați CTRL + ENTER