Eroare absolută. Eroare de calcul absolută și relativă

X \u003d x cp 

Absolut

eroare

Relativ

eroare

a +. b.

a +. b.

Lăsați o valoare aleatorie a. Măsurat n. O dată în aceleași condiții. Rezultatele măsurătorilor au dat un set n.numere diferite

Eroare absolută - Dimensiunea dimensiunii. Printre N. Valorile erorilor absolute sunt neapărat găsite atât pozitive, cât și negative.

Pentru valoarea cea mai probabilă a mărimii dar De obicei acceptați in medie Valoarea rezultatelor măsurătorilor

.

Cu cât este mai mare numărul de măsurători, cu atât valoarea medie este mai apropiată de cea adevărată.

Eroare absolutăi.

.

Eroare relativăi.-HO Dimensiunea numită magnitudinea

Eroare relativă - magnitudinea este fără dimensiuni. De obicei, eroarea relevantă este exprimată ca procent, pentru acest lucru e I. Dominat de 100%. Valoarea erorii relative caracterizează precizia măsurării.

Eroare absolută medie determinat astfel:

.

Subliniem necesitatea de a rezuma valorile absolute (module) ale D și eu.În caz contrar, rezultatul zero identic va fi.

Eroare relativă medie numit magnitudinea

.

Cu un număr mare de măsurători.

Eroarea relativă poate fi considerată ca semnificație a erorii de pe unitatea de valoare măsurată.

Precizia măsurătorilor este judecată pe baza comparării erorilor rezultatelor măsurătorilor. Prin urmare, erorile de măsurare sunt exprimate în acest formular astfel încât să fie suficientă pentru a se potrivi cu acuratețea pentru a se potrivi doar cu rezultatele rezultatelor, fără a compara dimensiunile obiectelor măsurate sau pentru a cunoaște aceste dimensiuni este foarte aproximativ. Din practica se știe că eroarea absolută a măsurării unghiului nu depinde de valoarea unghiului, iar eroarea absolută a lungimii de măsurare depinde de valoarea lungimii. Cu atât mai mare este lungimea lungimii, aceasta metoda Și condițiile de măsurare Eroarea absolută va fi mai mare. În consecință, în funcție de eroarea absolută a rezultatului, exactitatea măsurării unghiului poate fi judecată, iar precizia măsurării duratei este imposibilă. Exprimarea erorii în formă relativă vă permite să comparați cazuri cunoscute Acuratețea măsurătorilor unghiulare și liniare.

Conceptele de bază ale teoriei probabilității. Eroare aleatorie.

Eroare aleatorie apelați componenta erorilor de măsurare care variază aleatoriu atunci când se repetă măsurători ale aceleiași valori.

Atunci când se desfășoară cu aceeași îngrijire și în aceleași condiții de măsurători repetate ale aceleiași valori constante neschimbate, obținem rezultate de măsurare - unele dintre ele diferă una de cealaltă, iar unele coincid. Astfel de discrepanțe în rezultatele măsurătorilor sunt indicate despre prezența componentelor aleatorii ale erorii.

Eroare aleatoare are loc cu impactul simultan al multor surse, fiecare dintre care are un efect inconspicuos asupra rezultatului de măsurare, dar impactul total al tuturor surselor poate fi destul de puternic.

Erori aleatorii sunt consecința inevitabilă a oricăror măsurători și sunt condiționate:

a) inexactitatea eșantioanelor pe scara de instrumente și instrumente;

b) nu este identică cu condițiile de măsurători repetate;

c) modificări dezordonate în condițiile externe (temperatură, presiune, câmp de alimentare etc.), care nu pot fi monitorizate;

d) toate celelalte efecte asupra măsurătorilor, motivele pentru care suntem necunoscuți. Mărimea erorii aleatorii poate fi minimizată prin repetarea repetată a experimentului și prelucrarea matematică corespunzătoare a rezultatelor obținute.

O eroare aleatorie poate avea o valoare diferită în valoarea absolută, care nu poate fi prevăzută pentru acest act de măsurare. Această eroare poate fi egală atât pozitivă, cât și negativă. Erorile aleatoare sunt întotdeauna prezente în experiment. În absența unor erori sistematice, ele servesc ca împrăștierea măsurătorilor repetate în raport cu adevărata valoare.

Să presupunem că, cu ajutorul cronometrului, se măsoară perioada de oscilații a pendulului și măsurarea repetată în mod repetat. Pornirea erorilor și a cronometrului se oprește, eroare în mărimea referinței, o mică neuniformitate a mișcării pendulului - toate acestea determină împrăștierea rezultatelor măsurătorilor repetate și, prin urmare, poate fi atribuită categoriei erorilor aleatorii.

Dacă nu există alte erori, atunci rezultatele vor fi oarecum supraestimate, în timp ce altele sunt oarecum scăzute. Dar dacă, în plus, ceasul rămâne, de asemenea, în urmă, atunci toate rezultatele vor fi subevaluate. Aceasta este o eroare sistematică.

Unii factori pot provoca erori sistematice și aleatorii în același timp. Deci, incluzând și oprirea cronometrului, putem crea o mică scatter neregulată de momente de pornire și de a opri ceasul în raport cu mișcarea pendulului și să facem o eroare aleatorie. Dar dacă suntem, de asemenea, în grabă să pornim cronometrul și să mergem să o dezactivați oarecum oarecum, atunci va duce la o eroare sistematică.

Erori aleatorii sunt cauzate de o eroare paralală la numărarea diviziunii amplorii dispozitivului, comutează fundamentul clădirii, influența unei mișcări minore a aerului etc.

Deși este imposibil să se excludă erorile accidentale de măsurători individuale, teoria matematică a fenomenelor aleatorii face posibilă reducerea influenței acestor erori asupra rezultatului final de măsurare. Mai jos se va demonstra că, pentru aceasta, este necesar să nu se producă una, ci mai multe măsurători, iar cu cât este mai mică semnificația erorii pe care vrem să o obținem, trebuie efectuate mai multe măsurători.

Datorită faptului că apariția unor erori aleatorii este inevitabilă și nerezonabilă, sarcina principală a fiecărui proces de măsurare este de a aduce la minim erorile.

Teoria erorilor se bazează pe două ipoteze principale confirmate de experiență:

1. Cu un număr mare de măsurători, erorile aleatorii au aceeași dimensiune, dar de semn diferitAceste erori în direcția creșterii și scăderii rezultatului sunt destul de comune.

2. Mare în cantitatea absolută de erori sunt mai puțin frecvente decât mici, prin urmare, probabilitatea unei erori este redusă cu o creștere a amplorii sale.

Comportamentul variabilelor aleatorii descriu modele statistice care sunt subiectul teoriei de probabilitate. Definirea statistică a probabilității w I. evenimente i. este atitudinea

unde n. - numărul total de experimente n i. - numărul de experimente în care evenimentul i.a avut loc. În acest caz, numărul total de experimente ar trebui să fie foarte mare ( n. ® ¥). Cu un număr mare de măsurători, erorile aleatorii sunt subordonate distribuției normale (distribuția Gauss), principalele semne ale cărora sunt următoarele:

1. Cu cât deviația mai mare a valorii măsurate de la adevărat, cu atât mai puțină probabilitate a unui astfel de rezultat.

2. Abaterile în ambele direcții de la valoarea reală sunt la fel de posibile.

Dintre ipotezele de mai sus, rezultă că pentru a reduce efectul erorilor aleatorii, este necesar să se măsoare această valoare de mai multe ori. Să presupunem că măsuram o anumită valoare x. Lăsați produsul n.măsurători: x 1, x 2, ... x n - aceeași metodă și cu aceeași atenție. Se poate aștepta ca numărul dN.rezultatele obținute, care se află într-un interval destul de îngust de la X. inainte de x + dx.trebuie să fie proporțional cu:

Magnitudinea intervalului luat DX.;

Numărul total de măsurători N..

Probabilitate dW.(x.) Ce înseamnă x. se află în intervalul de la x. inainte de x + dx, Determinată după cum urmează :

(cu numărul de măsurători N. ®¥).

Funcţie f.(h.) Se numește funcția de distribuție sau densitatea de probabilitate.

Ca postulatul teoriei erorilor, se presupune că rezultatele măsurătorilor directe și erorile lor aleatorii cu cantitățile lor mari sunt supuse legii distribuției normale.

Găsită prin distribuția funcției Gauss a unei variabile aleatorii continue aleatorii X. Are următoarea formă:

unde Mus. - parametrii de distribuție .

Distribuția parametrică este egală cu valoarea medie a lui á x.- variabilă aleatorie, care, cu o funcție de distribuție cunoscută arbitrară, este determinată de integral

.

În acest fel, valoarea m este cea mai probabilă valoare a valorii măsurate a lui x, adică. Cea mai bună evaluare.

Parametrul S 2 al distribuției normale este egal cu dispersia D a unei variabile aleatorie, care, în cazul general, este determinată de următorul integral

.

Rădăcină pătrată Din dispersie se numește o abatere medie patrată a unei variabile aleatoare.

Abaterea medie (eroare) a variabilei aleatorii Ásñ este determinată utilizând funcția de distribuție după cum urmează.

Eroarea medie de măsurare a lui Ásñ, calculată în funcție de funcția distribuției Gauss, este corelată de la valoarea deviației medii pavurale, după cum urmează:

< s. > \u003d 0,8s.

Parametrii S și M sunt interconectați după cum urmează:

.

Această expresie vă permite să găsiți deviația mediedratica medie dacă există o curbă normală de distribuție.

Graficul funcției Gauss este prezentat în desene. Funcţie f.(x.) simetrice despre ordonarea petrecută la punct x \u003d.m; trece prin maxim la punct x \u003d.m și are o îndoire la punctele M ± s. Astfel, dispersia caracterizează lățimea funcției de distribuție sau indică cât de mult valorile variabilei aleatorie față de adevărata sa valoare sunt împrăștiate. Mai precis, măsurarea, cu atât mai aproape de valoarea reală a rezultatelor măsurătorilor individuale, adică Valoarea S este mai mică. Figura A Afișează funcția F.(x.) pentru trei valori s .

Figura pătrat, curbă limitată f.(x.) și drept vertical, petrecut din puncte X. 1 I. x. 2 (figura b) , Numeric egal cu probabilitatea măsurării rezultatul în intervalul d x \u003d x. 1 - X. 2, care se numește probabilitate de încredere. Zonă sub întreaga curbă f.(x.) egal cu probabilitatea unor variante aleatorii în intervalul de la 0 la ¥, adică.

,

deoarece probabilitatea unui eveniment fiabil este egală cu una.

Folosind o distribuție normală, teoria erorilor pune și rezolvă două sarcini principale. Prima este evaluarea acurateței măsurătorilor. În al doilea rând - evaluarea acurateței mediei valoarea aritmetică. Rezultatele măsurătorilor. Interval de încredere. Coeficient de ridicare.

Teoria probabilității vă permite să determinați dimensiunea intervalului în care cu o anumită probabilitate w. Există rezultate ale măsurătorilor individuale. Această probabilitate este numită probabilitate de încredere, și intervalul corespunzător (<x.\u003e ± D. x.) W. numit. interval confidențial. Probabilitatea de încredere este, de asemenea, egală cu proporția relativă a rezultatelor din interiorul intervalului de încredere.

Dacă numărul de măsurători N. Destul de mare, probabilitatea de încredere exprimă ponderea total N. Aceste măsurători în care valoarea măsurată a fost în intervalul de încredere. Fiecare probabilitate de încredere w.aceasta corespunde intervalului dvs. de încredere. 2 80%. Mai mare intervalul confidențial, cu atât este mai probabil să obțină rezultatul în acest interval. În teoria probabilității, se stabilește o relație cantitativă între valoarea intervalului de încredere, probabilitatea de încredere și numărul măsurătorilor.

Dacă alegeți intervalul corespunzător erorii medii, adică a \u003d.Anunț. darС, apoi cu un număr suficient de mare de măsurători corespund probabilității de încredere W. 60%. Cu o scădere a numărului de măsurători, probabilitatea de încredere corespunzătoare acestui interval de încredere (Á darñ ± Anunț. darñ), scade.

Astfel, pentru a evalua intervalul de încredere al variabilelor aleatorii, puteți utiliza valoarea erorii medii. darñ .

Pentru a caracteriza valoarea unei erori aleatorii, trebuie să specificați două numere, și anume valoarea intervalului de încredere și valoarea probabilității de încredere . O indicație a amplorii erorii fără probabilitatea de încredere corespunzătoare este în mare măsură lipsită de semnificație.

Dacă eroarea medie de măsurare a intervalului de încredere înregistrată în formular (<x.\u003e ± Ásñ) W.definită cu probabilitatea de încredere w.= 0,57.

Dacă este cunoscută deviația mediedraticadă medie distribuția rezultatelor măsurătorilor, intervalul specificat are forma (<x.>± t w.s) W.Unde T w. - coeficientul în funcție de valoarea probabilității de încredere și se calculează pe distribuția Gauss.

Cele mai frecvent utilizate valori x. prezentat în tabelul 1.

În practică, este de obicei numerele că computerele sunt realizate sunt valori aproximative ale anumitor cantități. Pentru discursul de bază, valoarea aproximativă a mărimii se numește un număr aproximativ. Valoarea adevărată a mărimii se numește numărul exact. Numărul aproximativ are o valoare practică numai atunci când putem determina ce grad de precizie este dat, adică. Evaluați eroarea. Amintiți conceptele de bază de la curs general matematică.

Denota: x. - număr precis (valoarea valorii reale), dar - Număr decabil (valoarea aproximativă de magnitudine).

Definiție 1.. Eroarea (sau eroarea adevărată) a unui număr aproximativ este diferența dintre număr x. și valoarea lui aproximativă dar. Eroare de un număr aproximativ dar Vom denota. Asa de,

Numărul exact x. Cel mai adesea este necunoscut, deci nu este posibil să găsim erori adevărate și absolute. Pe de altă parte, este necesar să se estimeze eroarea absolută, adică. Specificați numărul care nu poate depăși eroarea absolută. De exemplu, măsurarea lungimii subiectului cu acest instrument, trebuie să avem încredere că eroarea valorii numerice rezultate nu va depăși un anumit număr, de exemplu 0,1 mm. Cu alte cuvinte, trebuie să cunoaștem limita erorii absolute. Vom numi această graniță cu o eroare absolută extremă.

Definiția 3.. Cea mai mare eroare absolută a numărului aproximativ dar Numit un număr pozitiv astfel încât, adică

Inseamna h. Prin lipsa, - în exces. Aplicați o astfel de intrare:

Este clar că eroarea absolută limită este determinată ambiguu: dacă un anumit număr este eroarea absolută limită, atunci orice număr mai mare este, de asemenea, eroarea limită absolută. În practică, încearcă să aleagă un număr mai mic și ușor de scris (cu 1-2 numere semnificative) un număr care să satisfacă inegalitatea (2.3).

Exemplu. Determinați numărul de eroare absolut absolut și limitat A \u003d 0,17, luată ca valoare aproximativă a numărului.

Adevărata eroare:

Eroare absolută:

Pentru eroarea absolută limită puteți lua un număr și un număr mai mare. În recordul zecimal vom avea: înlocuind acest număr mare și, eventual, mai ușor prin înregistrarea, vom lua:

cometariu. În cazul în care un dar Există o valoare aproximativă a numărului h., în plus, eroarea absolută maximă este egală cu h., atunci spun asta darexistă o valoare aproximativă a numărului h. Cu acuratețea h.

Cunoașterea erorii absolute nu este suficientă pentru a caracteriza calitatea măsurării sau calculului. Fie, de exemplu, să obțină astfel de rezultate atunci când măsurați lungimea. Distanța dintre două orașe S 1.\u003d 500 1 km și distanța dintre două clădiri din oraș S 2.\u003d 10 km. Deși erorile absolute ale ambelor rezultate sunt aceleași, dar are o importanță deosebită că, în primul caz, eroarea absolută la 1 km scade la 500 km, în al doilea - 10 km. Calitatea măsurătorii în primul caz este mai bună decât în \u200b\u200bal doilea. Calitatea măsurătorilor sau calculului se caracterizează printr-o eroare relativă.

Definiție 4. Eroare relativă de valoare aproximativă dar Numere h. numit raportul numărului de eroare absolută darla valoarea absolută a numărului h.:

Definiție 5. Eroarea relativă limită a numărului aproximativ dar numit un număr pozitiv astfel încât.

De atunci, de la formula (2.7) rezultă că poate fi calculată prin formula

Pentru discursul de concurs în cazurile în care acest lucru nu provoacă neînțelegeri, în loc de "eroarea relativă limită", ei spun pur și simplu "eroare relativă".

Eroarea relativă limită este adesea exprimată ca procent.

Exemplul 1.. . Credincios, putem accepta \u003d. Prin producerea divizării și rotunjită (în mod necesar în sus), obținem \u003d 0,0008 \u003d 0,08%.

Exemplul 2.La cântărirea corpului, rezultatul a fost obținut: p \u003d 23,4 0,2 g. Avem \u003d 0,2. . Prin producerea de diviziune și rotunjire, obținem \u003d 0,9%.

Formula (2.8) determină relația dintre erorile absolute și relative. De la formula (2.8) urmează:

Utilizarea formulelor (2.8) și (2.9), putem, dacă numărul este cunoscut dar, pe această eroare absolută pentru a găsi o eroare relativă și viceversa.

Rețineți că formulele (2.8) și (2.9) trebuie adesea utilizate și apoi atunci când încă nu cunoaștem numărul aproximativ darcu precizia necesară și știm valoarea aproximativă aproximativă dar. De exemplu, este necesar să se măsoare durata subiectului cu o eroare relativă nu mai mare de 0,1%. Se întreabă: Este posibilă măsurarea lungimii cu precizia dorită cu ajutorul unui etrier, permițându-vă să măsurați lungimea cu o eroare absolută de până la 0,1 mm? Să nu am măsura încă subiectul instrumentului exact, dar știm că lungimea aproximativă aproximativă este de aproximativ 12 ani cm. Prin formula (1.9) găsim o eroare absolută:

Se poate observa că, cu ajutorul unui calicer, este posibil să se măsoare cu precizia necesară.

În procesul de lucru computațională, este adesea necesar să se deplaseze de la o eroare absolută la relativă și viceversa, care se face folosind formule (1.8) și (1.9).

Nici o dimensiune nu este gratuită de erori sau, mai precis, probabilitatea măsurării fără erori se apropie de zero. Tija și cauzele erorilor sunt foarte diverse și mulți factori le afectează (figura 1.2).

Caracteristicile generale ale factorilor de influență pot fi sistematizați din diferite puncte de vedere, de exemplu, prin influențare factori enumerați (Fig.1.2).

Conform rezultatelor măsurării erorii, este posibil să se împartă în trei tipuri: sistematice, aleatorii și rate.

Erori sistematice, la rândul lor, ele sunt împărțite în grupuri datorită apariției și caracterului lor de manifestare. Ele pot fi eliminate în diferite moduri, de exemplu, introducerea de amendamente.

smochin. 1.2.

Eroare aleatorie asociate cu o combinație complexă de factori în schimbare, de obicei necunoscută și dificil de analizat. Efectul acestora asupra rezultatului măsurării poate fi redus, de exemplu, prin măsurători repetate, cu o prelucrare statistică suplimentară a rezultatelor obținute prin metoda de teorie a probabilității.

LA promaham. acestea sunt erori brute care apar cu schimbări bruște ale stării experimentale. Aceste erori sunt, de asemenea, aleatoriu în natură, iar după detectare trebuie excluse.

Precizia măsurătorilor este evaluată prin erori de măsurare, care sunt împărțite la natura apariției instrumentale și metodologice și a metodei de calcule la absolut, relativ și dat.

Instrumental eroarea se caracterizează prin clasa de precizie a dispozitivului de măsurare, care este dată în pașaportul său sub formă de erori primare și suplimentare normalizate.

Metodic eroarea se datorează imperfecțiunii metodelor și instrumentelor de măsurare.

Absolut eroarea este diferența dintre valorile măsurate G U și adevăratele g ale valorii determinate prin formula:

Δ \u003d Δg \u003d g U -G

Rețineți că valoarea are dimensiunea valorii măsurate.

Relativ găsirea erorii din egalitate

Δ \u003d ± Δg / g U · 100%

LED eroarea se calculează cu formula (clasa de precizie a dispozitivului de măsurare)

Δ \u003d ± Δg / g Norme · 100%

unde normele G este valoarea rațională a valorii măsurate. Este nevoie de egal:

a) valoarea finală a scalei dispozitivului, dacă marca zero este pe margine sau în afara scalei;

b) cantitatea valorilor finale ale scalei, cu excepția semnelor, dacă marca zero este amplasată în interiorul scalei;

c) lungimea scalei dacă scala este neuniformă.

Clasa de precizie a dispozitivului este setată atunci când este verificată și este o eroare normalizată calculată prin formule

γ \u003d ± Δg / G Norme · 100% dacăΔg m \u003d const

unde ΔG M este cea mai mare eroare absolută posibilă a dispozitivului;

G k - valoarea finală a limitei de măsurare a dispozitivului; C și D - coeficienții care iau în considerare parametrii de proiectare și proprietățile mecanismului de măsurare al dispozitivului.

De exemplu, pentru un voltmetru cu o eroare relativă constantă există egalitate

Δ m \u003d ± c

Erori relativi și reduse sunt asociate cu următoarele dependențe:

a) Pentru orice semnificație a erorii de mai sus

Δ \u003d ± γ · G Norms / G U

b) pentru cea mai mare eroare

Δ \u003d ± γ m · g norme / g u

Din aceste rapoarte, rezultă că atunci când se măsoară, de exemplu, un voltmetru, în lanț la aceeași valoare a tensiunii, eroarea relativă este cea mai mare tensiune mai puțin măsurabilă. Și dacă acest voltmetru este selectat incorect, atunci eroarea relativă poate fi proporțională cu valoareaG N. Ceea ce este inacceptabil. Rețineți că, în conformitate cu terminologia sarcinilor rezolvate, de exemplu, la măsurarea tensiunii g \u003d u, la măsurarea curentului C \u003d I, notația literei în formulele pentru calcularea erorilor trebuie înlocuită cu caracterele corespunzătoare.

Exemplul 1.1. Voltmetru având valori γ m \u003d 1,0%, U n \u003d G Norme, G K \u003d 450 înTensiunea U u este măsurată, egală cu 10 V. Estimăm eroarea de măsurare.

Decizie.

Răspuns. Eroarea de măsurare este de 45%. Cu o astfel de eroare, tensiunea măsurată nu poate fi considerată fiabilă.

Cu capabilități limitate de selectare a dispozitivului (voltmetru), o eroare metodologică poate fi luată în considerare cu modificările prin formula

Exemplul 1.2. Calculați eroarea absolută a voltmetrului B7-26 atunci când se măsoară tensiunea în circuitul DC. Clasa de precizie a voltmetrului este setată ca eroarea redusă maximă γ M \u003d ± 2,5%. Folosit în limita de lucru a nivelului de voltmetru U norme \u003d 30 V.

Decizie.Eroarea absolută este calculată în conformitate cu formulele celebre:

(Deoarece eroarea dată, prin definiție, este exprimată prin formula , De aici puteți găsi o eroare absolută:

Răspuns. ΔU \u003d ± 0,75 V.

Etapele importante din procesul de măsurare sunt prelucrarea rezultatelor și regulilor de rotunjire. Teoria calculelor aproximative permite, cunoașterea gradului de precizie a datelor, estimați gradul de exactitate a rezultatelor chiar înainte de a efectua acțiuni: pentru a selecta datele cu gradul adecvat de precizie suficiente pentru a asigura acuratețea necesară a rezultatului, dar nu prea mare pentru a salva calculatorul de la calcule inutile; raționalizați procesul de calcul în sine, eliberându-l de la calculele care nu vor afecta rezultatele exact cifre.

La procesarea rezultatelor, se aplică regulile de rotunjire.

• Regula 1. Dacă primul număr al numerelor aruncate este mai mare de cinci, acesta din urmă dintre cifrele stocate este crescut de unul.

• Regula 2. Dacă primul dintre numerele aruncate este mai mic de cinci, atunci creșterea nu este făcută.

• Regula 3. Dacă numărul aruncat este egal cu cinci, și nu există numere semnificative în spatele ei, rotunjirea este făcută pe cea mai apropiată număr par. Ultima figură salvată rămâne neschimbată dacă este chiar și crește dacă nu este nici măcar.

Dacă există cifre semnificative pentru cinci cifre, rotunjirea se efectuează conform regulii 2.

Aplicarea regulii 3 Pentru a rotunji un număr, nu creștem acuratețea rotunjirii. Dar, cu numeroase rotunde, numerele excesive vor apărea aproximativ la fel de des ca fiind suficiente. Compensarea de erori reciproce va oferi cea mai mare acuratețe a rezultatului.

Numărul este evident depășind eroarea absolută (sau în cel mai rău caz egal cu acesta) este numit limitați eroarea absolută.

Mărimea erorii limită nu este destul de definită. Pentru fiecare număr aproximativ, ar trebui să fie cunoscută eroarea de limitare (absolută sau relativă).

Când nu este indicat direct, se înțelege că eroarea absolută limită este jumătate din unitatea ulterioară a ultimei descărcări scrise. Deci, dacă un număr aproximativ de 4.78 este dat fără indicarea celei mai mari erori, se înțelege că eroarea absolută limitativă este de 0,005. Ca urmare a acestui acord, puteți face întotdeauna fără indicarea numărului de eroare marginal, rotunjit în conformitate cu regulile 1-3, adică, dacă numărul aproximativ este indicat de litera α, atunci

Unde Δn este eroarea absolută limită; A Δ N este o eroare relativă limită.

În plus, atunci când se utilizează rezultatele procesării reguli pentru găsirea erorii Sumele, diferențele, lucrările și private.

• Regula 1. Eroarea absolută a sumei este egală cu suma erorilor limitate absolute a termenilor individuali, dar cu un număr semnificativ de erori ale termenilor apare, de obicei, compensarea reciprocă a erorilor, astfel încât eroarea adevărată a sumei numai în cazuri excepționale coincide cu cea mai mare eroare sau este aproape de ea.

• Regula 2. Diferența absolută a limitei în diferența este egală cu suma erorilor absolute limitate ale redusă sau scăzută.

Eroarea relativă limită este ușor de găsit prin calcularea erorii absolute limită.

• Regula 3. Eroarea relativă limită a sumei (dar nu diferență) se află între cele mai mici și cele mai multe erori relative ale termenilor.

Dacă toate componentele au aceeași eroare relativă limită, cantitatea are aceeași eroare relativă limită. Cu alte cuvinte, în acest caz, acuratețea sumei (în termeni procentuali) nu este inferioară exactității componentelor.

În contrast, cantitatea de numere aproximative poate fi mai puțin precisă decât cea diminuată și subtrababilă. Pierderea de precizie este deosebit de mare în cazul în care diminuarea și subtractabilă diferă puțin una de cealaltă.

• Regula 4. Eroarea relativă limită a lucrării este aproximativ egală cu suma erorilor relative limită ale factorilor: Δ \u003d 1 + 5 2, sau, mai precis, 5 \u003d δ 1 + 5 2 + Δ 1 Δ2 unde Δ este Eroarea relativă a lucrării, Δ 1 Δ 2 - Erori relative din fabrică.

Notează:

1. Dacă numerele aproximative sunt înmulțite cu același număr de numere semnificative, atunci în lucrare ar trebui salvate cât mai multe numere semnificative. Acestea din urmă dintre cifrele salvate nu vor fi complet fiabile.

2. Dacă anumiți factori au numere mai semnificative decât altele, apoi la multiplicare, prima rundă trebuie rotunjită, salvând atât de multe cifre, deoarece are cel mai puțin acumulator sau unul mai mult (ca rezervă), alte cifre sunt inutile.

3. Dacă este necesar ca lucrările a două numere să aibă un număr predeterminat, este destul de fiabil, atunci în fiecare dintre factori, numărul de cifre exacte (obținut prin măsurarea sau calculul) ar trebui să fie per unitate. Dacă numărul de factori este mai mare de două și mai puțin de zece, atunci în fiecare dintre factori, numărul de cifre precise pentru o garanție completă ar trebui să fie de două unități mai mari decât numărul dorit de cifre precise. Aproape este destul de suficient pentru a lua doar o figură excesivă.

• Regula 5. Eroarea relativă limită a privat este aproximativ egală cu suma erorilor relative limită ale diviziei și divizorului. Valoarea exactă a erorii relative limită depășește întotdeauna aproximativ aproximativ. Procentul de depășire este aproximativ egal cu eroarea relativă maximă a divizorului.

Exemplul 1.3. Găsiți eroarea absolută limită a 2,81: 0.571 privată.

Decizie.Eroarea de diviziune relativă limită este de 0,005: 2.81 \u003d 0,2%; Divider - 0,005: 0,571 \u003d 0,1%; Private - 0,2% + 0,1% \u003d 0,3%. Eroarea absolută limită a privatului aproximativ va fi 2.81: 0,571 · 0,0030 \u003d 0,015

Deci, în 2,81: 0.571 \u003d 4.92, cifra a treia semnificație nu este fiabilă.

Răspuns.0,015.

Exemplul 1.4. Calculați eroarea relativă a citirilor de voltmetru incluse în diagrama (figura 1.3), care se obține, presupunând că voltmetrul are o rezistență infinit de mare și nu face distorsiuni în lanțul măsurat. Clasificați eroarea de măsurare pentru această sarcină.

smochin. 1.3

Decizie.Denotă prin citirile voltmetrului real prin și, iar voltmetrul cu rezistență infinit mare și ∞. Înclinarea unei erori relative

observa asta

apoi ajungem

Deoarece R și \u003e\u003e R și R\u003e R, fracțiunea în numitorul ultimei egalități este mult mai mică decât una. Prin urmare, puteți utiliza formula aproximativă Târg pentru λ≤1 pentru orice α. Presupus că în această formulă α \u003d -1 și λ \u003d RR (R + R) -1 R și -1, obținem δ ≈ RR / (R + R) R și.

Cu cât este mai mare rezistența voltmetrului comparativ cu rezistența externă a lanțului, cu atât mai mică este eroarea. Dar condiția R.<

Răspuns.Eroare sistematică metodică.

Exemplul 1.5. În circuitul DC (fig.1.4), aparatele sunt incluse: A - Ammetru de tip M 330 Clasa de precizie K A \u003d 1,5 cu limită de măsurare I K \u003d 20 A; A 1 este un ammetru al clasei de precizie de tip m 366 la A1 \u003d 1,0 cu o limită de măsurare I K1 \u003d 7,5 A. Găsiți cea mai mare eroare relativă posibilă de măsurare a curentului I 2 și posibile limite ale valorii sale reale dacă dispozitivele au arătat că eu \u003d 8, 0a. și i 1 \u003d 6,0A. Clasificați măsurarea.

smochin. 1.4.

Decizie.Determinați curentul I2 conform citirilor instrumentului (excluzând erorile lor): I2 \u003d I - I 1 \u003d 8,0-6,0 \u003d 2,0 A.

Noi găsim modulele erorilor absolute ale ammetrelor A și A 1

Pentru o egalitate având Pentru ampermetru

Vom găsi cantitatea de module de eroare absolută:

În consecință, cea mai mare valoare posibilă și aceeași valoare exprimată în acțiunile acestei valori este egală cu 1. 10 3 - pentru un dispozitiv; 2 · 10 3 - Pentru un alt instrument. Care dintre aceste dispozitive va fi cea mai exactă?

Decizie.Precizia dispozitivului este caracterizată printr-o valoare, erori inverse (cu cât dispozitivul este mai precis, cu atât eroarea mai mică), adică. Pentru primul instrument, acesta va fi 1 / (1. 10 3) \u003d 1000, pentru a doua - 1 / (2. 10 3) \u003d 500. Rețineți că 1000\u003e 500. Prin urmare, primul dispozitiv este mai precis de două ori.

Puteți ajunge la o ieșire similară, verificând corespondența erorilor: 2. 10 3/1. 10 3 \u003d 2.

Răspuns.Primul dispozitiv este de două ori mai precis.

Exemplul 1.6. Găsiți suma măsurătorilor aproximative ale dispozitivului. Găsiți numărul de semne fideli: 0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0.0667 + 0.0625 + 0.0588+ 0.0556 + 0.0526.

Decizie.Plierea tuturor rezultatelor măsurătorilor, primim 0,6187. Cea mai mare cantitate maximă de 0,00005 · 9 \u003d 0,00045. Deci, în ultima sumă a sumei, este posibilă o eroare de până la 5 unități. Prin urmare, vedem suma la al treilea marcă, adică. Mii, primim 0.619 - rezultatul în care toate semnele sunt corecte.

Răspuns.0,619. Numărul de semne credincioase este trei semne după virgulă.

Popular

Structura și funcțiile mitocondrii, plasticului și lizozomilor Structura de nume și ...

Hemingway "Comanda numește clopotul Ernest Hemingway pentru cine ...

Unele fapte despre "Anne Karenina ceea ce a vrut Leo Tolstoy să arate Anna Karenina O dată american ...

Oceanul Atlantic și Indian Aflați lumea ocean -...

Consolidarea puterii regale întărirea puterii regelui în Franța Întrebări la începutul paragrafului ...

Nou pe site

Caracteristica generală a unicelulară

"Note de nebun": descrierea și analiza povestii din notele enciclopedia ale nebuniei din literatura rusă

Caste și comunități în caracteristicile medievale din India ale dezvoltării societății indiene în Evul Mediu

Feedback despre povestea populară populară rusă "Morozko

Poezia secolului de argint: poeți, poezii, direcții principale și caracteristici poezie de argint de recunoaștere a femeilor bărbați