Лінійна швидкість при русі по колу. Рух матеріальної точки по колу

Рух тіла по колу з постійною за модулем швидкістю- це рух, у якому тіло за будь-які рівні проміжки часу визначає однакові дуги.

Положення тіла на колі визначається радіусом-вектором\(~\vec r\), проведеним із центру кола. Модуль радіуса-вектора дорівнює радіусу кола R(Рис. 1).

За час Δ tтіло, рухаючись з точки Ав точку У, Здійснює переміщення \(~\Delta \vec r\), рівне хорді АВ, і проходить шлях, що дорівнює довжині дуги l.

Радіус-вектор повертається на кут Δ φ . Кут виражають у радіанах.

Швидкість (~\vec \upsilon\) руху тіла по траєкторії (кола) спрямована по дотичній до траєкторії. Вона називається лінійною швидкістю. Модуль лінійної швидкості дорівнює відношенню довжини дуги кола lдо проміжку часу Δ tза який ця дуга пройдена:

\(~\upsilon = \frac(l)(\Delta t).\)

Скалярна фізична величина, чисельно рівна відношенню кута повороту радіуса-вектора до проміжку часу, за який цей поворот стався, називається кутовий швидкістю:

\(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t).\)

У СІ одиницею кутової швидкості є радіан за секунду (рад/с).

При рівномірному русі по колу кутова швидкість та модуль лінійної швидкості - величини постійні: ω = const; υ = Const.

Положення тіла можна визначити, якщо відомий модуль радіуса-вектора \(~\vec r\) та кут φ , який він складає з віссю Ox(кутова координата). Якщо у початковий момент часу t 0 = 0 кутова координата дорівнює φ 0 , а в момент часу tвона дорівнює φ , то кут повороту Δ φ радіуса-вектора за час \(~\Delta t = t - t_0 = t\) дорівнює \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\). Тоді з останньої формули можна отримати кінематичне рівняння руху матеріальної точки по колу:

\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)

Воно дозволяє визначити положення тіла у будь-який момент часу t. Враховуючи, що \(~\Delta \varphi = \frac(l)(R)\), отримуємо\[~\omega = \frac(l)(R \Delta t) = \frac(\upsilon)(R) \Rightarrow\]

\(~\upsilon = \omega R\) - формула зв'язку між лінійною та кутовою швидкістю.

Проміжок часу Τ , протягом якого тіло здійснює один повний оборот, називається періодом обертання:

\(~T = \frac(\Delta t)(N),\)

де N- Число оборотів, скоєних тілом за час Δ t.

За час Δ t = Τ тіло проходить шлях (~l = 2 \pi R\). Отже,

\(~\upsilon = \frac(2 \pi R)(T); \ \omega = \frac(2 \pi)(T) .\)

Величина ν , зворотна періоду, що показує, скільки оборотів здійснює тіло за одиницю часу, називається частотою обертання:

\(~\nu = \frac(1)(T) = \frac(N)(\Delta t).\)

Отже,

\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \ \omega = 2 \pi \nu .\)

Література

Аксенович Л. А. Фізика у середній школі: Теорія. Завдання. Тести: Навч. посібник для установ, які забезпечують отримання заг. середовищ, освіти / Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракіна, К. С. Фаріно; За ред. К. С. Фаріно. – Мн.: Адукація i виховування, 2004. – C. 18-19.

Відстань та час, що йде на подолання цієї відстані, пов'язує фізичне поняття – швидкість. І в людини, зазвичай, немає питань визначення цієї величини. Всі розуміють, що рухатися автомобілем зі швидкістю 100 км/год - значить за одну годину проїхати 100 кілометрів.

А як бути, якщо тіло обертається? Наприклад, звичайний побутовий вентилятор робить з десяток обертів на секунду. І в той же час швидкість обертання лопат така, що їх запросто можна зупинити рукою без шкоди для себе. Земля навколо своєї зірки - Сонця - робить один оборот за цілий рік, а це понад 30 мільйонів секунд, але швидкість її руху навколозорячою орбітою становить близько 30 кілометрів за одну секунду!

Як пов'язати звичну швидкість зі швидкістю обертання, як виглядає формула кутової швидкості?

Поняття кутової швидкості

Поняття кутової швидкості використовується у вивченні законів обертання. Воно застосовується до всіх тіл, що обертаються. Будь то обертання деякої маси навколо іншої, як у випадку із Землею і Сонцем, або обертання самого тіла навколо полярної осі (добове обертання нашої планети).

Відмінність кутової швидкості від лінійної у цьому, що вона фіксує зміна кута, а чи не відстані в одиницю часу. У фізиці кутову швидкість прийнято позначати буквою грецького алфавіту "омега" - ω.

Класична формула кутової швидкості обертання розглядається так.

Припустимо, що навколо деякого центру А обертається фізичне тіло з постійною швидкістю. Його положення у просторі щодо центру визначається кутом φ. У деякий момент часу t1 тіло, що розглядається, знаходиться в точці В. Кут відхилення тіла від початкового φ1.

Потім тіло переміщається у точку З. Воно перебуває у момент часу t2. Час, що знадобився для переміщення:

Змінюється і положення тіла у просторі. Тепер кут відхилення дорівнює φ2. Зміна кута за період часу ∆t склала:

∆φ = φ2 - φ1.

Тепер формула кутової швидкості формулюється так: кутова швидкість визначається як відношення зміни кута ∆φ за час ∆t.

Одиниці виміру кутової швидкості

Швидкість руху тіла лінійна вимірюється у різних величинах. Рух автотранспорту дорогами звично вказують за кілометри на годину, морські судна роблять вузли - морські милі на годину. Якщо ж розглядати рух космічних тіл, то тут найчастіше фігурують кілометри на секунду.

Кутова швидкість залежно від величини та від предмета, що обертається, також вимірюється в різних одиницях.

Радіани за секунду (рад/с) - класичне мірило швидкості у міжнародній системі одиниць (СІ). Показують – на скільки радіан (в одному повному обороті 2 ∙ 3,14 радіан) встигає повернутися тіло за одну секунду.

Оберти за хвилину (об/хв) - найпоширеніша одиниця для позначення швидкостей обертання в техніці. Вали двигунів як електричних, так і автомобільних видають саме (достатньо подивитися на тахометр у своєму автомобілі) оберти за хвилину.

Оберти за секунду (про/с) - використовується рідше, передусім у освітніх цілях.

Період звернення

Іноді визначення швидкості обертання зручніше користуватися іншим поняттям. Періодом звернення прийнято називати час, протягом якого якесь тіло робить оборот 360° (повне коло) навколо центру обертання. Формула кутової швидкості, виражена через період звернення, набуває вигляду:

Виражати періодом звернення швидкість обертання тіл виправдано у випадках, коли тіло обертається відносно повільно. Повернемося до розгляду руху нашої планети довкола світила.

Формула кутової швидкості дозволяє обчислити її, знаючи період обігу:

ω = 2П/31536000 = 0,000000199238499086111 рад/с.

Дивлячись на отриманий результат, можна зрозуміти чому, розглядаючи обертання небесних тіл, зручніше користуватися саме періодом звернення. Людина бачить перед собою зрозумілі цифри і наочно уявляє собі їхній масштаб.

Зв'язок кутовий та лінійний швидкостей

У деяких завданнях мають бути визначені лінійна та кутова швидкість. Формула трансформації проста: лінійна швидкість тіла дорівнює добутку кутової швидкості на радіус обертання. Як показано малюнку.

«Працює» вираз у зворотному порядку, з його допомогою визначається і кутова швидкість. Формула через лінійну швидкість виходить шляхом нескладних арифметичних маніпуляцій.

Зазвичай, коли говорять про переміщення, ми уявляємо собі об'єкт, який рухається прямою. Швидкість такого руху прийнято називати лінійною, і розрахунок її середньої величини виконується просто: достатньо знайти відношення пройденої відстані до часу, за який він був подоланий тілом. Якщо ж об'єкт переміщається по колу, то цьому випадку вже визначається не лінійна, а що це за величина і як її розраховують? Про це якраз і піде розмова у цій статті.

Кутова швидкість: поняття та формула

Коли рухається по колу, швидкість її переміщення можна характеризувати величиною кута повороту радіуса, який з'єднує об'єкт, що рухається, з центром даного кола. Зрозуміло, що це величина залежно від часу постійно змінюється. Швидкість, з якою цей процес відбувається, і є не що інше, як кутова швидкість. Іншими словами, це відношення величини відхилення радіус-вектора об'єкта до проміжку часу, яке знадобилося об'єкту на здійснення такого повороту. Формула кутової швидкості (1) може бути записана у такому вигляді:

w = φ / t, де:

φ - кут повороту радіусу,

t – період часу обертання.

Одиниці виміру величини

У міжнародній системі загальноприйнятих одиниць (СІ) для характеристики поворотів прийнято використовувати радіани. Тому 1 рад/с – основна одиниця, яка використовується в розрахунках кутової швидкості. У той же час ніхто не забороняє застосовувати градуси (нагадаємо, що один радіан дорівнює 180/пі, або 57?18'). Також кутова швидкість може виражатися у числі обертів за хвилину чи секунду. Якщо переміщення по колу відбувається рівномірно, то ця величина може бути знайдена за формулою (2):

де n – частота обертання.

В іншому випадку подібно до того, як це роблять для звичайної швидкості, розраховують середню, або миттєву кутову швидкість. Слід зазначити, що величина, що розглядається, є векторною. Для визначення її напряму зазвичай використовують яке часто застосовується у фізиці. Вектор кутової швидкості спрямований у ту ж сторону, в яку відбувається гвинт із правим різьбленням. Іншими словами, він спрямований уздовж осі, навколо якої обертається тіло, в той бік, звідки обертання видно тим, що відбувається проти руху годинникової стрілки.

Приклади розрахунку

Припустимо, потрібно визначити, чому дорівнює лінійна і кутова швидкість колеса, якщо відомо, що діаметр дорівнює одному метру, а кут обертання змінюється відповідно до закону φ=7t. Скористаємося нашою першою формулою:

w = φ / t = 7t / t = 7 з -1.

Це і буде шукана кутова швидкість. Тепер перейдемо до пошуку звичної швидкості переміщення. Як відомо, v = s/t. Враховуючи, що s у нашому випадку – це колеса (l = 2π*r), а 2π – один повний оборот, виходить наступне:

v = 2π*r / t = w * r = 7 * 0.5 = 3.5 м/с

Ось ще одне завдання на цю тему. Відомо, що на екваторі дорівнює 6370 кілометрів. Потрібно визначити лінійну та кутову швидкість руху точок, що знаходяться на цій паралелі, що виникає в результаті обертання нашої планети навколо своєї осі. У цьому випадку нам знадобиться друга формула:

w = 2π * n = 2 * 3,14 * (1 / (24 * 3600)) = 7,268 * 10 -5 рад / с.

Залишилося з'ясувати, чому дорівнює лінійна швидкість: v = w * r = 7,268 * 10 -5 * 6370 * 1000 = 463 м / с.

Рівномірний рух по колу- Це найпростіший приклад. Наприклад, по колу рухається кінець стрілки годинника по циферблату. Швидкість руху тіла по колу зветься лінійна швидкість.

При рівномірному русі тіла по колу модуль швидкості тіла з часом не змінюється, тобто v = const, а змінюється лише напрямок вектора швидкості в цьому випадку відсутня (a r = 0), а зміна вектора швидкості за напрямом характеризується величиною, яка називається доцентрове прискорення() a n або а ЦС. У кожній точці вектор допоміжного прискорення направлений до центру кола по радіусу.

Модуль доцентрового прискорення дорівнює

a ЦС = v 2 / R

Де v – лінійна швидкість, R – радіус кола

Мал. 1.22. Рух тіла по колу.

Коли описується рух тіла по колу, використовується кут повороту радіусу- Кут φ, на який за час t повертається радіус, проведений з центру кола до точки, в якій в цей момент знаходиться тіло, що рухається. Кут повороту вимірюється у радіанах. дорівнює куту між двома радіусами кола, довжина дуги між якими дорівнює радіусу кола (рис. 1.23). Тобто якщо l = R, то

1 радіан = l / R

Так як довжина коладорівнює

l = 2πR

360 про = 2πR / R = 2π рад.

Отже

1 рад. = 57,2958 про = 57 про 18'

Кутова швидкістьрівномірного руху тіла по колу - це величина ω, що дорівнює відношенню кута повороту радіуса φ до проміжку часу, протягом якого скоєно цей поворот:

ω = φ / t

Одиниця вимірювання кутової швидкості – радіан за секунду [рад/с]. Модуль лінійної швидкості визначається ставленням довжини пройденого шляху l до проміжку часу t:

v=l/t

Лінійна швидкістьпри рівномірному русі по колу спрямована по дотичній у цій точці колу. При русі точки довжина l дуги кола, пройденої точкою, пов'язана з кутом повороту виразом φ

l = Rφ

де R – радіус кола.

Тоді у разі рівномірного руху точки лінійна та кутова швидкості пов'язані співвідношенням:

v = l / t = Rφ / t = Rω або v = Rω

Мал. 1.23. Радіан.

Період звернення- Це проміжок часу Т, протягом якого тіло (точка) здійснює один оборот по колу. Частота звернення– це величина, зворотна періоду звернення – число оборотів за одиницю часу (за секунду). Частота звернення позначається літерою n.

n = 1/T

За один період кут повороту φ точки дорівнює 2π радий, тому 2π = ωT, звідки

T = 2π/ω

Тобто кутова швидкість дорівнює

ω = 2π / T = 2πn

Центрошвидке прискоренняможна виразити через період Т та частоту звернення n:

a ЦС = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

На цьому уроці ми розглянемо криволінійний рух, саме рівномірний рух тіла по колу. Ми дізнаємося, що таке лінійна швидкість, доцентрове прискорення при русі тіла по колу. Також введемо величини, які характеризують обертальний рух (період обертання, частота обертання, кутова швидкість) і зв'яжемо ці величини між собою.

Під рівномірним рухом по колу розуміють, що за будь-який однаковий проміжок часу тіло повертається на однаковий кут (див. рис. 6).

Мал. 6. Рівномірний рух по колу

Тобто модуль миттєвої швидкості не змінюється:

Таку швидкість називають лінійної.

Хоча модуль швидкості не змінюється, напрямок швидкості змінюється безперервно. Розглянемо вектори швидкості у точках Aі B(див. мал. 7). Вони спрямовані у різні боки, тому не рівні. Якщо відняти від швидкості в точці Bшвидкість у точці A, отримуємо вектор.

Мал. 7. Вектори швидкості

Відношення зміни швидкості () до часу, протягом якого ця зміна відбулася (), є прискоренням.

Отже, будь-який криволінійний рух є прискореним.

Якщо розглянути трикутник швидкостей, отриманий малюнку 7, то за дуже близькому розташуванні точок Aі Bодин до одного кут (α) між векторами швидкості буде близьким до нуля:

Також відомо, що цей трикутник рівнобедрений, тому модулі швидкостей рівні (рівномірний рух):

Отже, обидва кути при підставі цього трикутника необмежено близькі до:

Це означає, що прискорення, яке спрямоване вздовж вектора фактично перпендикулярно дотичної. Відомо, що лінія в колі, перпендикулярна дотичній, є радіусом, тому прискорення спрямоване вздовж радіусу до центру кола. Називається таке прискорення доцентровим.

На малюнку 8 зображено розглянутий раніше трикутник швидкостей і рівнобедрений трикутник (дві сторони є радіусами кола). Ці трикутники є подібними, так як у них рівні кути, утворені взаємно перпендикулярними прямими (радіус, як і вектор, перпендикулярні до дотичної).

Мал. 8. Ілюстрація до висновку формули доцентрового прискорення

Відрізок ABє переміщенням (). Ми розглядаємо рівномірний рух по колу, тому:

Підставимо отриманий вираз для ABу формулу подоби трикутників:

Понять «лінійна швидкість», «прискорення», «координата» замало у тому, щоб описати рух кривою траєкторії. Тому необхідно запровадити величини, що характеризують обертальний рух.

1. Періодом обертання (T ) називається час одного повного обороту. Вимірюється у системі СІ в секундах.

Приклади періодів: Земля обертається навколо осі за 24 години (), а навколо Сонця - за 1 рік ().

Формула для обчислення періоду:

де – повний час обертання; - число обертів.

2. Частота обертів (n ) - Число оборотів, яке тіло здійснює в одиницю часу. Вимірюється в системі СІ у зворотних секундах.

Формула для знаходження частоти:

де – повний час обертання; - число обертів

Частота і період - обернено пропорційні величини:

3. Кутовою швидкістю () називають відношення зміни кута, на який повернулося тіло, на час, за який цей поворот відбувся. Вимірюється в системі СІ у радіанах, поділених на секунди.

Формула для знаходження кутової швидкості:

де - Зміна кута; - Час, за який відбувся поворот на кут.