піраміда. Формули та властивості піраміди
Апофема апофема
(від грец. apotíthēmi - відкладаю), 1) відрізок (а також його довжина) перпендикуляра а, опущений з центру правильного багатокутника на будь-яку його сторону. 2) У правильній піраміді апофема – висота абічній грані.
АПОФЕМААПОФЕМА (грец. apothemа - щось відкладене),
1) відрізок (а також його довжина) перпендикуляра, опущеного з центру правильного багатокутника на будь-яку з його сторін.
2) У правильній піраміді апофема – висота бічної грані.
Енциклопедичний словник. 2009 .
Синоніми:Дивитись що таке "апофема" в інших словниках:
Див АПОТЕМА. Словник іншомовних слів, що увійшли до складу російської мови. Чудінов А.М., 1910. АПОФЕМА див. АПОТЕМА. Словник іншомовних слів, що увійшли до складу російської мови. Павленков Ф., 1907. Словник іноземних слів російської мови
- (від грец. apotithemi відкладаю)..1) відрізок (а також його довжина) перпендикуляра а, опущеного з центру правильного багатокутника на будь-яку з його сторін2)] У правильній піраміді апофема висота бічної грані. Великий Енциклопедичний словник
Сущ., кіль у синонімів: 3 апотема (2) довжина (10) перпендикуляр (4) Словник … Словник синонімів
АПОФЕМА- (1) довжина перпендикуляра, опущеного з центру кола, описаного навколо правильного багатокутника, на будь-яку його сторону; (2) висота бічної грані правильної піраміди; (3) висота трапеції, яка є бічною гранню правильної усіченої… … Велика політехнічна енциклопедія
- (від грец. apotithçмi відкладаю убік) 1) довжина перпендикуляра, опущеного з центру правильного багатокутника на будь-яку з його сторін (рис. 1); 2) у правильній піраміді А. висота а її бічній грані (рис 2). Рис. 1 к… … Велика Радянська Енциклопедія
- (від грец. apotfthemi відкладаю) 1) відрізок (а також його довжина) перпендикуляра а, опущеного з центру правильного багатокутника на будь-яку з його сторін. 2) У правильній піраміді А. висота а бічної грані (див. мал.). До ст. Апофема … Великий енциклопедичний політехнічний словник
Довжина перпендикуляра, опущеного із центру правильного багатокутника однією з його сторін; апофема дорівнює радіусу вписаного в цей багатокутник кола. А. також називали похилий бік конуса. Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона
- (від грец. apotithemi відкладаю); 1) відрізок (а також його довжина) перпендикуляра а, опущеного з центру правильного багатокутника на будь-яку з його сторін. 2) У правильній піраміді А. висота а бічної грані. Природознавство. Енциклопедичний словник
Апофема, апофеми, апофеми, апофем, апофемі, апофемам, апофеми, апофеми, апофеми, апофеми, апофеми, апофеми, апофемах (
- апофема- Висота бічної грані правильної піраміди, яка проведена з її вершини (крім того, апофемою є довжина перпендикуляра, який опущений з середини правильного багатокутника на одну з його сторін);
- бічні грані (ASB, BSC, CSD, DSA) - Трикутники, що сходяться у вершині;
- бічні ребра ( AS , BS , CS , DS ) - загальні сторони бічних граней;
- вершина піраміди (т. S) - точка, яка з'єднує бічні ребра і яка не лежить у площині основи;
- висота ( SO ) - відрізок перпендикуляра, який проведений через вершину піраміди до площини її основи (кінцями такого відрізка будуть вершина піраміди та основа перпендикуляра);
- діагональний переріз піраміди- переріз піраміди, який проходить через вершину та діагональ основи;
- основа (ABCD) багатокутник, якому не належить вершина піраміди.
Властивості піраміди.
1. Коли всі бічні ребра мають однакову величину, тоді:
- біля основи піраміди легко описати коло , причому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
- бічні ребра утворюють з площиною основи однакові кути;
- крім того, вірне і зворотне, тобто. коли бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути, або коли біля основи піраміди можна описати коло і вершина піраміди проектуватиметься в центр цього кола, отже, всі бічні ребра піраміди мають однакову величину.
2. Коли бічні грані мають кут нахилу до площини основи однієї величини, тоді:
- біля основи піраміди легко описати коло, причому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
- висоти бічних граней мають рівну довжину;
- площа бічної поверхні дорівнює ½ добутку периметра основи на висоту бічної грані.
3. Біля піраміди можна описати сферу в тому випадку, якщо в основі піраміди лежить багатокутник, навколо якого можна описати коло (необхідна та достатня умова). Центром сфери стане точка перетину площин, що проходять через середини ребер піраміди перпендикулярно до них. З цієї теореми робимо висновок, що як у будь-якій трикутній, так і у всякої правильної піраміди можна описати сферу.
4. У піраміду можна вписати сферу в тому випадку, якщо бісекторні поверхні внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в 1-ій точці (необхідна і достатня умова). Ця точка стане осередком сфери.
Найпростіша піраміда.
За кількістю кутів основи піраміди ділять на трикутні, чотирикутні тощо.
Піраміда буде трикутної, чотирикутний, і так далі, коли основою піраміди буде трикутник, чотирикутник і таке інше. Трикутна піраміда є чотиригранником - тетраедр. Чотирьохкутна - п'ятигранник і так далі.
Для успішного розв'язання задач із геометрії необхідно чітко розуміти терміни, які використовує ця наука. Наприклад, такими є «пряма», «площина», «багатогранник», «піраміда» та багато інших. У цій статті відповімо питанням, що таке апофема.
Двояке використання терміна «апофема»
У геометрії значення слова «апофема» чи «апотема», як його ще називають, залежить від цього, якого об'єкту її застосовують. Існує два принципово різних класу постатей, у яких є однією з їхніх характеристик.
Насамперед це плоскі багатокутники. Що таке апофема для багатокутника? Це висота, проведена з геометричного центру фігури до будь-якої її сторін.
Щоб було зрозуміліше, що йдеться, розглянемо конкретний приклад. Припустимо, що є правильний шестикутник, показаний на малюнку.
Символом l є довжина його сторони, літерою a — апофема. Для зазначеного трикутника вона є не лише висотою, а й бісектрисою та медіаною. Нескладно показати, що через сторону l її можна обчислити так:
Аналогічним чином апофема визначається будь-якого n-угольника.
По-друге — це піраміди. Що таке апофема для такої постаті? Це питання потребує більш детального розгляду.
По темі: Як зробити свої вії довгими та густими лише за один місяць?
Піраміди та їх апофеми
Спочатку дамо визначення піраміді з погляду геометрії. Ця фігура є об'ємним тілом, утвореним одним n-кутником (основа) і n трикутниками (бічні сторони). Останні з'єднані в одній точці, яка називається вершиною. Відстань від неї вщент - це висота фігури. Якщо вона попадає на геометричний центр n-кутника, то піраміда називається прямою. Якщо до того ж n-кутник має рівні кути та сторони, то фігура називається правильною. Нижче наведено приклад піраміди.
Що таке апофема для такої постаті? Це перпендикуляр, який сполучає сторони n-кутника з вершиною фігури. Очевидно, що вона є висотою трикутника, що є бічною стороною піраміди.
Апофему зручно використовувати під час вирішення геометричних завдань із правильними пірамідами. Справа в тому, що для них усі бічні грані є рівними один одному рівнобедреними трикутниками. Останній факт означає, що всі n апофем рівні, тому для правильної піраміди можна говорити про одну-єдину таку пряму.
Апофема чотирикутної піраміди правильної
Мабуть, найочевиднішим прикладом цієї постаті буде знамените перше диво світу — піраміда Хеопса. Вона знаходиться у Єгипті.
Для будь-якої такої фігури з правильною n-вугільною основою можна навести формули, що дозволяють визначити її апофему через довжину сторони багатокутника, через бічне ребро b і висоту h. Тут запишемо відповідні формули для прямої піраміди з квадратною основою. Апофема h b для неї дорівнюватиме:
По темі: Прапор Башкирії - опис, символізм та історія
h b = √ (b 2 - a 2 / 4);
h b = √(h 2 + a 2/4)
Перший з цих виразів справедливий для будь-якої правильної піраміди, другий — тільки для чотирикутної.
Покажемо, як ці формули можна використовувати для вирішення задачі.
Геометричне завдання
Нехай задана пряма піраміда, що має квадратну основу. Необхідно розрахувати її підстави площу. Апофема піраміди дорівнює 16 см, а її висота в 2 рази більша за сторону основи.
Кожен школяр знає: щоб знайти площу квадрата, яким є підстава піраміди, слід розглядати його сторону a. Для її знаходження скористаємося такою формулою для апофеми:
h b = √(h 2 + a 2/4)
Значення апофеми відоме з умови завдання. Оскільки висота h у два рази більша за довжину сторони a, цей вираз можна перетворити наступним чином:
h b = √((2*a) 2 + a 2 /4) = a/2*√17 =>
a = 2*h b /√17
Площа квадрата дорівнює добутку його сторін. Підставляючи отриманий вираз для a, маємо:
S = a 2 = 4/17 * h b 2
Залишається підставити у формулу значення апофеми з умови завдання та записати відповідь: S ≈ 60,2 см 2 .
Читайте також:
Примітка. Це частина уроку із завданнями з геометрії (розділ стереометрія, завдання про піраміду). Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. У задачах замість символу "квадратний корінь" застосовується функція sqrt(), у якій sqrt - символ квадратного кореня, а дужках зазначено підкорене вираз.Для простих підкорених виразів можна використовувати знак "√".Теоретичні матеріали та формули див. Правильна піраміда ".
Завдання
Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює 4см, а двогранний кут при підставі дорівнює 60 градусів. Знайдіть обсяг піраміди.Рішення.
Оскільки піраміда правильна, врахуємо таке:
- Висота піраміди проектується на центр основи
- Центр основи правильної піраміди за умовою завдання – рівносторонній трикутник
- Центр рівностороннього трикутника є одночасно центром вписаного та описаного кола
- Висота піраміди утворює з площиною основи прямий кут
V = 1/3 Sh
Оскільки апофема правильної піраміди утворює разом із висотою піраміди прямокутний трикутник, знаходження висоти використовуємо теорему синусів. Крім того, візьмемо до уваги:
- Перший катет розглянутого прямокутного трикутника є висотою, другий катет - радіусом вписаного кола (у правильному трикутнику центр одночасно є центром вписаного та описаного кола), гіпотенуза є апофемою піраміди
- Третій кут прямокутного трикутника дорівнює 30 градусам (сума кутів трикутника – 180 градусів, кут 60 градусів дано за умовою, другий кут – прямий за властивостями піраміди, третій 180-90-60 = 30)
- синус 30 градусівдорівнює 1/2
- синус 60 градусів дорівнює кореню з трьох навпіл
- синус 90 градусів дорівнює 1
4 / sin(90) = h / sin(60) = r / sin(30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
звідки
r = 2
h = 2√3
В основі піраміди лежить правильний трикутник, площу якого можна знайти за формулою:
S правильний трикутник = 3√3 r 2 .
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3.
Тепер знайдемо обсяг піраміди:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V = 24 см3.
Відповідь: 24 см 3 .
Завдання
Висота та сторона основи правильної чотирикутної піраміди відповідно дорівнюють 24 та 14. знайдіть апофему піраміди.Рішення .
Оскільки піраміда правильна, то її підставі лежить правильний чотирикутник - квадрат. Крім того, висота піраміди проектується у центр квадрата. Таким чином, катет прямокутного трикутника, який утворений апофемою піраміди, висотою та відрізком, що їх з'єднує, дорівнює половині довжини основи правильної чотирикутної піраміди.
Звідки за теоремою Піфагора довжина апофеми буде знайдено з рівняння:
7 2 + 24 2 = х 2
x 2 = 625
x = 25
Відповідь: 25 см
