Елементи механіки суцільних середовищ. Елементи механіки суцільних середовищ Ламинарное і турбулентний течії

Завершенням космічного польоту вважається посадка на планету. До теперішнього часу тільки три країни навчилися повертати на Землю космічні апарати: Росія, США і Китай.

Для планет з атмосферою (рис. 3.19) проблема посадки зводиться головним чином до вирішення трьох завдань: подолання високого рівня перевантажень; захист від аеродинамічного нагрівання; управління часом досягнення планети і координатами точки посадки.

Мал. 3,19. Схема спуску КА з орбіти і посадки на планету з атмосферою:

N- включення гальмівного двигуна; А- сход КА з орбіти; М- відділення СА від орбітального КА; В- вхід СА в щільні шари атмосфери; С -початок роботи парашутної системи посадки; D- посадка на поверхню планети;

1 - балістичний спуск; 2 - плануючий спуск

При посадці на планету без атмосфери (рис. 3.20, а, б) Знімається проблема захисту від аеродинамічного нагрівання.

КА, що знаходиться на орбіті штучного супутника планети або наближається до планети з атмосферою для здійснення посадки на неї має великий запас кінетичної енергії, пов'язаної зі швидкістю КА і його масою, і потенційної енергії, обумовленої становищем КА щодо поверхні планети.

Мал. 3.20. Спуск і посадка КА на планету без атмосфери:

а- спуск на планету з попередніми виходом на орбіту очікування;

б- м'яка посадка КА з гальмівним двигуном і посадковим пристроєм;

I - гіперболічна траєкторія підльоту до планети; II - орбітальна траєкторія;

III - траєкторія спуску з орбіти; 1, 2, 3 - активні ділянки польоту при гальмуванні і м'яку посадку

При вході в щільні шари атмосфери перед носовою частиною СА виникає ударна хвиля, що нагріває газ до високої температури. У міру занурення в атмосферу СА гальмується, швидкість його зменшується, а розпечений газ все більше нагріває СА. Кінетична енергія апарату перетворюється в тепло. При цьому велика частина енергії відводиться в навколишній простір двома шляхами: велика частина тепла відводиться в навколишнє атмосферу через дії сильних ударних хвиль і за рахунок тепловипромінювання з нагрітої поверхні СА.

Найбільш сильні ударні хвилі виникають при затупленою формі носової частини, ось чому для СА застосовують затуплені форми, а не загострені, характерні для польоту при малих швидкостях.

З ростом швидкостей і температур велика частина тепла передається до апарату не за рахунок тертя об стислі шари атмосфери, а за рахунок випромінювання і конвекції від ударної хвилі.

Для відводу тепла від поверхні СА застосовуються такі методи:

- поглинання тепла теплозахисних шаром;

- радіаційного охолодження поверхні;

- застосування буря покриттів.

До входу в щільні шари атмосфери траєкторія КА підпорядковується законам небесної механіки. В атмосфері на апарат крім гравітаційних сил діють аеродинамічні і відцентрові сили, що змінюють форму траєкторії його руху. Сила тяжіння спрямована до центру планети, сила аеродинамічного опору у напрямку, протилежному вектору швидкості, відцентрова і підйомна сили - перпендикулярно напрямку руху СА. Сила аеродинамічного опору зменшує швидкість апарату, в той час як відцентрова і підйомна сили повідомляють йому прискорення в напрямку, перпендикулярному його руху.

Характер траєкторії спуску в атмосфері визначається в основному його аеродинамічними характеристиками. При відсутності підйомної сили у СА траєкторія його руху в атмосфері називається балістичної (траєкторії спуску СА космічних кораблів серій «Восток» і «Восход»), а при наявності підйомної сили - або плануючої (СА КК Союз і «Аполлон», а також «Спейс Шаттл»), або рикошетирующих (СА КК Союз і «Аполлон»). Рух по планетоцентрична орбіті не пред'являє високих вимог до точності наведення при вході в атмосферу, оскільки шляхом включення рухової установки для гальмування або прискорення порівняно легко скорегувати траєкторію. При вході в атмосферу зі швидкістю, що перевищує першу космічну, помилки в розрахунках найбільш небезпечні, тому що занадто крутий спуск може привести до руйнування СА, а надто пологий - до віддалення від планети.

при балістичному спуску вектор рівнодійної аеродинамічних сил спрямований прямо протилежно вектору швидкості руху апарата. Спуск по балістичної траєкторії не вимагає управління. Недоліком цього способу є велика крутизна траєкторії, і, як наслідок, входження апарату в щільні шари атмосфери на великій швидкості, що призводить до сильного аеродинамічному нагріванню апарату і до перевантажень, іноді перевищують 10g - близьким до гранично-допустимих значень для людини.

при аеродинамічному спуску зовнішній корпус апарату має, як правило, конічної форми, причому вісь конуса становить деякий кут (кут атаки) з вектором швидкості апарату, за рахунок чого рівнодіюча аеродинамічних сил має складову, перпендикулярну до вектора швидкості апарату - підйомну силу. Завдяки підйомної силі, апарат знижується повільніше, траєкторія його спуску стає більш пологою, при цьому ділянка гальмування розтягується і по довжині і в часі, а максимальні перевантаження і інтенсивність аеродинамічного нагріву можуть бути знижені в кілька разів, в порівнянні з балістичним гальмуванням, що робить планує спуск для людей більш безпечним і комфортним.

Кут атаки при спуску змінюється в залежності від швидкості польоту і поточної щільності повітря. У верхніх, розріджених шарах атмосфери він може досягати 40 °, поступово зменшуючись зі зниженням апарату. Це вимагає наявності на СА системи управління планують польотом, що ускладнює і ускладнює апарат, і в випадках, коли він служить для спуску тільки апаратури, яка здатна витримувати більш високі перевантаження, ніж людина, використовується, як правило, балістична гальмування.

Орбітальний щабель «Спейс Шаттл», при поверненні на Землю виконує функцію спускового апарата, планує на всій ділянці спуску від входу в атмосферу до торкання шасі посадкової смуги, після чого випускається гальмівний парашут.

Після того, як на ділянці аеродинамічного гальмування швидкість апарату знизиться до дозвуковій далі спуск СА може здійснюватися за допомогою парашутів. Парашут в щільній атмосфері гасить швидкість апарату майже до нуля і забезпечує м'яку посадку його на поверхню планети.

У розрідженій атмосфері Марса парашути менш ефективні, тому на заключному ділянці спуску парашут відчіплюється і включаються посадочні ракетні двигуни.

Спущені пілотовані апарати космічних кораблів серії Союз ТМА-01М, призначені для приземлення на сушу, також мають твердопаливні гальмівні двигуни, що включаються за кілька секунд до торкання землі, щоб забезпечити більш безпечну і комфортну посадку.

Спусковий апарат станції Венера-13 після спуску на парашуті до висоти 47 км скинув його і відновив аеродинамічнийгальмування. Така програма спуску була продиктована особливостями атмосфери Венери, нижні шари якої дуже щільні і гарячі (до 500 ° С), і парашути з тканини не витримали б таких умов.

Слід зазначити, що в деяких проектах космічних кораблів багаторазового використання (зокрема, одноступінчатих вертикального зльоту і посадки, наприклад, Delta Clipper) передбачається на кінцевому етапі спуску, після аеродинамічного гальмування в атмосфері, також виробляти беспарашютную моторну посадку на ракетних двигунах. Конструктивно спусковий апарат можуть істотно відрізнятися один від одного в залежності від характеру корисного навантаження і от фізичних умов на поверхні планети, на яку проводиться посадка.

При посадці на планету без атмосфери знімається проблема аеродинамічного нагріву, але для здійснення посадки гасіння швидкості здійснюється за допомогою гальмівної рухової установки, яка повинна працювати в режимі програмованої тяги, а маса палива при цьому може значно перевищувати масу самого СА.

ЕЛЕМЕНТИ МЕХАНІКИ СУЦІЛЬНИХ СРЕД

Суцільний вважається середу, для якої характерно рівномірний розподіл речовини - тобто середа з однаковою щільністю. Такими є рідини і гази.

Тому в цьому розділі ми розглянемо основні закони, які виконуються в цих середовищах.

план

1. Поняття суцільного середовища. Загальні властивості рідин і газів. Ідеальна та в'язка рідина. Рівняння Бернуллі. Ламинарное і турбулентний плин рідин. Формула Стокса. Формула Пуазейля.

2. Пружні напруги. Енергія пружно деформованого тіла.

тези

1. Обсяг газу визначається обсягом того судини, який газ займає. У рідинах на відміну від газів середня відстань між молекулами залишається практично постійним, тому рідина має практично незмінним обсягом. У механіці з великим ступенем точності рідини і гази розглядаються як суцільні, безперервно розподілені в зайнятої ними частини простору. Щільність рідини мало залежить від тиску. Щільність же газів від тиску залежить істотно. З досвіду відомо, що сжимаемостью рідини і газу в багатьох завданнях можна знехтувати і користуватися єдиним поняттям нестисливої \u200b\u200bрідини, щільність якої всюди однакова і не змінюється з часом. Ідеальна рідина - фізична абстракція,т. е. уявна рідина, в якій відсутні сили внутрішнього тертя. Ідеальна рідина - уявна рідина, в якій відсутні сили внутрішнього тертя. Їй суперечить в'язка рідина. Фізична величина, Яка визначається нормальною силою, що діє з боку рідини на одиницю площі, називається тиском ррідини. Одиниця тиску - паскаль (Па): 1 Па дорівнює тиску, який створюється силою 1 Н, рівномірно розподіленим по нормальної до неї поверхні площею 1 м 2 (1 Па \u003d 1 Н / м 2). Тиск при рівновазі рідин (газів) підкоряється закону Паскаля: тиск в будь-якому місці спочиває рідини однаково в усіх напрямках, причому тиск однаково передається по всьому об'єму, зайнятого спочиває рідиною.

Тиск змінюється лінійно з висотою. Тиск Р \u003d rghназивається гідростатичним. Сила тиску на нижні шари рідини більше, ніж на верхні, тому на тіло, занурене в рідину, діє виштовхуюча сила, яка визначається законом Архімеда: на тіло, занурене в рідину (газ), діє з боку цієї рідини спрямована вгору виштовхуюча сила, рівна вазі витісненої тілом рідини (газу), де r - щільність рідини, V- обсяг зануреного в рідину тіла.

Рух рідин називається течією, а сукупність часток рідини, що рухається - потоком. Графічно рух рідин зображується за допомогою ліній струму, які проводяться так, що дотичні до них збігаються за напрямком з вектором швидкості рідини у відповідних точках простору (рис. 45). За картині ліній струму можна судити про направлення і модулі швидкості в різних точках простору, т. Е. Можна визначити стан руху рідини. Частина рідини, обмежену лініями струму, називають трубкою струму. Перебіг рідини називається сталим (або стаціонарним), якщо форма і розташування ліній струму, а також значення швидкостей в кожній її точці з часом не змінюються.

Розглянемо будь-яку трубку струму. Виберемо два її перетину S 1 і S 2 , перпендикулярні напрямку швидкості (рис. 46). Якщо рідина нестислива (r \u003d const), то через перетин S 2 пройде за 1 з такою ж обсяг рідини, як і через перетин S 1, т. Е. Твір швидкості течії нестисливої \u200b\u200bрідини на поперечний переріз трубки струму є величина постійна для даної трубки струму. Співвідношення називається рівнянням нерозривності для нестисливої \u200b\u200bрідини. - рівняння Бернуллі - вираз закону збереження енергії стосовно до сталого перебігу ідеальної рідини ( тут р -статичний тиск (тиск рідини на поверхню обтічного нею тіла), величина - динамічний тиск, - гідростатичний тиск). Для горизонтальної трубки струму рівняння Бернуллі записується у вигляді, де ліва частина називається повним тиском. - формула Торрічеллі

В'язкість - це властивість реальних рідин чинити опір переміщенню однієї частини рідини відносно іншої. При переміщенні одних верств реальної рідини щодо інших виникають сили внутрішнього тертя, спрямовані по дотичній до поверхні шарів. Сила внутрішнього тертя F тим більше, чим більше розглянута площа поверхні шару S, і залежить від того, наскільки швидко змінюється швидкість течії рідини при переході від шару до шару. Величина Dv / Dx показує, як швидко змінюється швидкість при переході від шару до шару в напрямку х,перпендикулярному напрямку руху шарів, і називається градієнтом швидкості. Таким чином, модуль сили внутрішнього тертя дорівнює, де коефіцієнт пропорційності h , залежить від природи рідини, називається динамічною в'язкістю (або просто в'язкістю). Одиниця в'язкості - паскаль секунда (Па с) (1 Па з \u003d 1 Н с / м 2). Чим більше в'язкість, тим сильніше рідина відрізняється від ідеальної, тим більша потуга внутрішнього тертя в ній виникають. В'язкість залежить від температури, причому характер цієї залежності для рідин і газів різний (для рідин з підвищенням температури зменшується, у газів, навпаки, збільшується), що вказує на відмінність в них механізмів внутрішнього тертя. Особливо сильно від температури залежить в'язкість масел. Методи визначення в'язкості:

1) формула Стокса; 2) формула Пуазейля

2. Деформація називається пружною, якщо після припинення дії зовнішніх сил тіло приймає початкові розміри і форму. Деформації, які зберігаються в тілі після припинення дії зовнішніх сил, називаються пластичними. Сила, що діє на одиницю площі поперечного перерізу, називається напругою і вимірюється в паскалях. Кількісною мірою, що характеризує ступінь деформації, випробовуваної тілом, є його відносна деформація. Відносне зміна довжини стрижня (поздовжня деформація), відносне поперечний розтяг (стиск), де d -діаметр стрижня. Деформації e і e " завжди мають різні знаки, де m - позитивний коефіцієнт, що залежить від властивостей матеріалу, званий коефіцієнтом Пуассона.

Роберт Гук експериментально встановив, що для малих деформацій відносне подовження e і напруга s прямо пропорційні один одному:, де коефіцієнт пропорційності Еназивається модулем Юнга.

Модуль Юнга визначається напругою, що викликає відносне подовження, рівне одиниці. тоді закон Гука можна записати так, де k- коефіцієнт пружності:подовження стрижня при пружною деформації пропорційно діючої настрижень силі. Потенційна енергія пружно розтягнутого (стисненого) стрижня Деформації твердих тіл підкоряються закону Гука тільки для пружних деформацій. Зв'язок між деформацією і напругою представляється у вигляді діаграми напруг (рис. 35). З малюнка видно, що лінійна залежність s (e), встановлена \u200b\u200bГуком, виконується лише в дуже вузьких межах до так званої межі пропорційності (s п). При подальшому збільшенні напруги деформація ще пружна (хоча залежність s (e) вже не лінійна) і до межі пружності (s у) залишкові деформації не виникають. За межею пружності в тілі виникають залишкові деформації і графік, що описує повернення тіла в первинний стан після припинення дії сили, відіб'ється не кривий ВО, апаралельної їй - CF.Напруга, при якому з'являється помітна залишкова деформація (~ \u003d 0,2%), називається межею плинності (s т) - точка Зна кривій. В області CDдеформація зростає без збільшення напруги, т. е. тіло як би «тече». Ця область називається областю плинності (або областю пластичних деформацій). Матеріали, для яких область плинності значна, називаються грузлими, для яких же вона практично відсутня - крихкими. При подальшому розтягуванні (за точку D)відбувається руйнування тіла. Максимальна напруга, що виникає в тілі до руйнування, називається межею міцності (s p).

7.1. Загальні властивості рідин і газів. Кинематическое опис руху рідини. Векторні поля. Потік і циркуляція векторного поля. Стаціонарна течія ідеальної рідини. Лінії і трубки струму. Рівняння руху і рівноваги рідини. Рівняння нерозривності для нестисливої \u200b\u200bрідини

механіка суцільних середовищ - це розділ механіки, присвячений вивченню руху і рівноваги газів, рідин, плазми і деформуються твердих тіл. Основне допущення механіки суцільних середовищ полягає в тому, що речовина можна розглядати як безперервну суцільну середу, нехтуючи його молекулярною (атомним) будовою, і одночасно вважати безперервним розподіл в середовищі всіх її характеристик (щільності, напруг, швидкостей частинок).

Рідина - це речовина в конденсованому стані, проміжному між твердим і газоподібним. Область існування рідини обмежена з боку низьких температур фазовим переходом в твердий стан (кристалізація), а з боку високих температур - в газоподібний (випаровування). При вивченні властивостей суцільного середовища саме середовище представляється складається з частинок, розміри яких багато більше розмірів молекул. Таким чином, кожна частка включає в себе величезну кількість молекул.

Щоб описати рух рідини, можна задати положення кожної частинки рідини як функцію часу. Такий спосіб опису розроблявся Лагранжем. Але можна стежити не за частками рідини, а за окремими точками простору, і відзначати швидкість, з якою проходять через кожну точку окремі частинки рідини. Другий спосіб називається методом Ейлера.

Стан руху рідини можна визначити, вказавши для кожної точки простору вектор швидкості як функцію часу.

Сукупність векторів, заданих для всіх точок простору, утворює поле вектора швидкості, яке можна зобразити таким чином. Проведемо в рухомої рідини лінії так, щоб дотична до них в кожній точці збіглася у напрямку з вектором (рис.7.1). Ці лінії називаються лініями струму. Домовимося проводити лінії струму так, щоб їх густота (відношення числа ліній до величини перпендикулярної до них майданчики, через яку вони проходять) була пропорційна величині швидкості в даному місці. Тоді по картині ліній струму можна буде судити не тільки про направлення, але й про величину вектора в різних точках простору: там, де швидкість більше, лінії струму будуть гущі.

Число ліній струму, що проходять через площадку, перпендикулярну до ліній струму, так само, якщо майданчик орієнтована довільно до ліній струму, число ліній струму одно, де - кут між напрямком вектора і нормаллю до майданчика. Часто використовують позначення. Число ліній струму через майданчик кінцевих розмірів визначається інтегралом:. Інтеграл такого виду називається потоком вектора через майданчик.

Величина і напрямок вектора змінюється з часом, отже, і картина ліній не залишається постійною. Якщо в кожній точці простору вектор швидкості залишається постійним за величиною і напрямком, то протягом називається сталим або стаціонарним. При стаціонарному перебігу будь-яка частка рідини проходить цю точку простору з одним і тим же значенням швидкості. Картина ліній струму в цьому випадку не змінюється, і лінії струму збігаються з траєкторіями часток.

Потік вектора через деяку поверхню і циркуляція вектора по заданому контуру дозволяють судити про характер векторного поля. Однак ці величини дають середню характеристику поля в межах обсягу, визначеного поверхнею, через яку визначається потік, або в околиці контура, по якому береться циркуляція. Зменшуючи розміри поверхні або контуру (стягуючи їх в точку), можна прийти до величинам, які будуть характеризувати векторне поле в даній точці.

Розглянемо поле вектора швидкості несжимаемой нерозривному рідини. Потік вектора швидкості через деяку поверхню дорівнює обсягу рідини, що протікає через цю поверхню в одиницю часу. Побудуємо в околиці точки Р уявну замкнуту поверхню S (мал.7.2). Якщо в обсязі V, обмеженому поверхнею, рідина не виникає і не зникає, то потік, що випливає назовні через поверхню, буде дорівнює нулю. Відмінність потоку від нуля буде вказувати на те, що всередині поверхні є джерела або стоки рідини, т.е.точкі, в яких рідина надходить в об'єм (джерела) або віддаляється з обсягу (стоки) Величина потоку визначає сумарну потужність джерел і стоків. При переважанні джерел над стоками потік позитивний, при переважанні стоків - негативний.

Частка від ділення потоку на величину обсягу, з якого потік випливає,, є середня питома потужність джерел, укладених в обсязі V. Чим менше об'єм V, що включає в себе точку Р, тим ближче це середнє значення до істинної питомої потужності в цій точці. У межі при, тобто при стягуванні обсягу в точку, ми отримаємо справжню питому потужність джерел в точці Р, звану дивергенцией (розбіжністю) вектора:. Отриманий вираз справедливо для будь-якого вектора. Інтегрування ведеться по замкнутій поверхні S, яка обмежує обсяг V. Дивергенція визначається поведінкою векторної функції поблизу точки Р. Дивергенція - це скалярна функція координат, що визначають положення точки Р в просторі.

Знайдемо вираз для дивергенції в декартовій системі координат. Розглянемо в околиці точки Р (x, y, z) малий обсяг у вигляді паралелепіпеда з ребрами, паралельними осям координат (рис.7.3). З причини малості обсягу (його будемо стремить до нуля) значення в межах кожної з шести граней паралелепіпеда можна вважати незмінними. Потік через всю замкнуту поверхню утворюється з потоків, що течуть через кожну з шести граней окремо.

Знайдемо потік через пару граней, перпендикулярних ост Х на рис.7.3 межі 1 та 2). Зовнішня нормаль до межі 2 збігається з напрямком осі Х. Тому і потік через грань 2 дорівнює .Нормаль має напрям, протилежний осі Х. Проекції вектора на вісь Х і на нормаль мають протилежні знаки,, і потік через грань 1 дорівнює. Сумарний потік в напрямку Х дорівнює. Різниця є приріст при зміщенні вздовж осі Х на. Зважаючи на крихту це збільшення можна представити у вигляді. Тоді отримуємо. Аналогічно, через пари граней, перпендикулярних осях Y і Z, потоки рівні і. Повний потік через замкнуту поверхню. Розділивши цей вираз на, знайдемо дивергенцію вектора в точці Р:

Знаючи дивергенцію вектора в кожній точці простору, можна обчислити потік цього вектора через будь-яку поверхню кінцевих розмірів. Для цього розіб'ємо обсяг, обмежений поверхнею S, на нескінченно велике число нескінченно малих елементів (рис.7.4).

Для будь-якого елементу потік вектора через поверхню цього елемента дорівнює. Підсумувавши за всіма елементами, отримуємо потік через поверхню S, що обмежує обсяг V:, інтегрування проводиться обсягом V, або

Це теорема Остроградського - Гаусса. Тут, - одиничний вектор нормалі до поверхні dS в даній точці.

Повернемося до течії нестисливої \u200b\u200bрідини. Побудуємо контур. Уявімо собі, що ми якимось чином заморозили миттєво рідина в усьому обсязі за винятком дуже тонкого замкнутого каналу постійного перетину, що включає в себе контур (ріс.7.5). Залежно від характеру перебігу рідина в нинішньому каналі виявиться або нерухомою, або рухається (циркулюючої) уздовж контуру в одному з можливих напрямків. В якості запобіжного цього руху вибирається величина, що дорівнює добутку швидкості рідини в каналі і довжини контуру,. Ця величина називається циркуляцією вектора по контуру (так як канал має постійний перетин і модуль швидкості не змінюється). У момент затвердіння стінок у кожної частинки рідини в каналі буде гаситися складова швидкості, перпендикулярна до стінки і залишиться лише складова, дотична до контуру. З цієї складової пов'язаний імпульс, модуль якого для частинки рідини, укладеної в відрізку каналу довжиною, дорівнює, де - щільність рідини, - перетин каналу. Рідина ідеальна - тертя немає, тому дія стінок може змінити тільки напрямок, його величина залишиться незмінною. Взаємодія між частинками рідини викличе такий перерозподіл імпульсу між ними, яке вирівняє швидкості всіх частинок. При цьому сума алгебри імпульсів зберігається, тому, де - швидкість циркуляції, - дотична складова швидкості рідини в обсязі в момент часу, що передував затвердіння стінок. Розділивши на, отримаємо.

Циркуляція характеризує властивості поля, усереднені по області з розмірами порядку діаметра контуру. Щоб отримати характеристику поля в точці Р, потрібно зменшить розміри контуру, стягуючи його в точку Р. При цьому в якості характеристики поля беруть межа відносини циркуляції вектора по плоскому контуру, стягується в точку Р, до величини площині контуру S:. Величина цієї межі залежить не тільки від властивостей поля в точці Р, а й від орієнтації контуру в просторі, яка може бути задана напрямком позитивної нормалі до площини контура (позитивної вважається нормаль, пов'язана з напрямком обходу контуру правилом правого гвинта). Визначаючи цю межу для різних напрямків, ми отримаємо різні його значення, причому для протилежний напрямків нормаль ці значення відрізняються знаком. Для деякого напряму нормалі величина межі буде максимальною. Таким чином, величина межі поводиться як проекція деякого вектора на напрямок нормалі до площини контура, по якому береться циркуляція. Максимальне значення межі визначає модуль цього вектора, а напрямок позитивної нормалі, при якому досягається максимум, дає напрямок вектора. Цей вектор називається ротором або вихором вектора:.

Щоб знайти проекції ротора на осі декартової система координат, потрібно визначити значення межі для таких орієнтацій майданчики S, при яких нормаль до майданчика збігається з однією з осей X, Y, Z. Якщо, наприклад, направити по осі Х, знайдемо. Контур розташований в цьому випадку в площині, паралельній YZ, візьмемо контур у вигляді прямокутника зі сторонами і. При значення і на кожній з чотирьох сторін контура можна вважати незмінними. Ділянка 1 контуру (рис.7.6) протилежний осі Z, тому на цій ділянці збігається з, на ділянці 2, на ділянці 3, на ділянці 4. Для циркуляції по цьому контуру отримуємо значення:. Різниця є приріст при зміщенні вздовж Y на. Зважаючи на крихту це збільшення можна представити у вигляді Аналогічно, різниця. Тоді циркуляція з даного контуру,

де - площа контуру. Розділивши циркуляцію на, знайдемо проекцію ротора на вісь Х:. Аналогічно,,. Тоді ротор вектора визначається виразом: +,

Знаючи ротор вектора в кожній точці деякої поверхні S, можна обчислити циркуляцію цього вектора по контуру, що обмежує поверхню S. Для цього розіб'ємо поверхню на дуже малі елементи (ріс.7.7). Циркуляція по контуру, що обмежує дорівнює, де - позитивна нормаль до елемента. Підсумувавши ці вирази по всій поверхні S і підставивши вираз для циркуляції, отримаємо. Це теорема Стокса.

Частина рідини, обмежена лініями струму, називається трубкою струму. Вектор, будучи в кожній точці дотичним до лінії струму, буде дотичним до поверхні трубки струму, і частки рідини не перетинають стінок трубки струму.

Розглянемо перпендикулярний до напрямку швидкості перетин трубки струму S (рис.7.8.). Будемо вважати, що швидкість часток рідини однакова у всіх точках цього перетину. За час через перетин S пройдуть всі частинки, відстань яких в початковий момент не перевищує значення. Отже, за час через перетин S пройде обсяг рідини, що дорівнює, а за одиницю часу через перетин S пройде обсяг рідини, що дорівнює .. Будемо вважати, що трубка струму настільки тонка, що швидкість часток в кожному її перерізі можна вважати постійною. Якщо рідина нестисливої \u200b\u200b(тобто її щільність усюди однакова і не змінюється), то кількість рідини між перетинами і (ріс.7.9.) Буде залишатися незмінним. Тоді обсяги рідини, що протікають за одиницю часу через перетину і, повинні бути однаковими:

Таким чином, для нестисливої \u200b\u200bрідини величина в будь-якому перетині однієї і тієї ж трубки струму повинна бути однакова:

Це твердження називається теоремою про нерозривність струменя.

Рух ідеальної рідини описується рівнянням Нав'є-Стокса:

де t - час, x, y, z - координати рідкої частки, - проекції об'ємної сили, р - тиск, ρ - щільність середовища. Це рівняння дозволяє визначити проекції швидкості частинки середовища як функції координат і часу. Щоб замкнути систему, до рівняння Навье- Стокса додають рівняння нерозривності, яке є наслідком теореми про нерозривність струменя:

Для інтегрування цих рівнянь потрібно задати початкові (якщо рух не є стаціонарним) і граничні умови.

7.2. Тиск в поточній рідини. Рівняння Бернуллі і наслідок з нього

Розглядаючи рух рідин, в ряді випадків можна вважати, що переміщення одних рідин щодо інших не пов'язане з виникненням сил тертя. Рідина, якою внутрішнє тертя (в'язкість) повністю відсутня, називається ідеальною.

Виділимо в стаціонарно поточної ідеальної рідини трубку струму малого перетину (ріс.7.10). Розглянемо обсяг рідини, обмежений стінками трубки струму і перпендикулярними до ліній струму перетинами і .За час цей обсяг переміститися уздовж трубки струму, причому перетин переміститися в положення, пройшовши шлях, перетин переміститися в положення, пройшовши шлях .В силу нерозривності струменя заштриховані обсяги матимуть однакову величину:

Енергія кожної частки рідини дорівнює сумі її кінетичної енергії і потенційної в полі сили тяжіння. Внаслідок стаціонарності течії частка, що знаходиться через час в будь-який з точок незаштриховані частини розглянутого обсягу (наприклад точка O на рис. 7.10), має таку ж швидкість (і таку ж кінетичну енергію), Яку мала частка, яка перебувала в тій же точці в початковий момент часу. Тому приріст енергії всього розглянутого обсягу дорівнює різниці енергій заштрихованих обсягів і.

В ідеальній рідині сили тертя відсутні, тому приріст енергії (7.1) дорівнює роботі, яку здійснюють над виділеним об'ємом силами тиску. Сили тиску на бічну поверхню перпендикулярні в кожній точці до напрямку переміщення частинок і роботи не здійснюють. Робота сил, прикладених до перетинів і дорівнює

Прирівнявши (7.1) і (7.2), отримуємо

Так як перетину і були взяті довільно, то можна стверджувати, що вираз залишається постійним в будь-якому перетині трубки струму, тобто в стаціонарно поточної ідеальної рідини уздовж будь-якої лінії струму виконується умова

Це рівняння Бернуллі. Для горизонтальної лінії струму рівняння (7.3) приймає вид:

7.3.ІСТЕЧЕНІЕ РІДИНИ ІЗ ОТВОРИ

Застосуємо рівняння Бернуллі до випадку витікання рідини з малого отвору в широкому відкритому посуді. Виділимо в рідині трубку струму, верхнє перетин якої лежить на поверхні рідини, а нижня збігається з отвором (рис.7.11). У кожному з цих перетинів швидкість і висоту над деякими вихідним рівнем можна вважати однаковими, тиску в обох перетинах рівні атмосферного і також однакові, швидкість переміщення відкритій поверхні будемо вважати рівною нулю. Тоді рівняння (7.3) приймає вид:

імпульс

7.4 .Вязкая рідина. Сили внутрішнього тертя

Ідеальна рідина, тобто рідина без тертя, є абстракцією. Всім реальним рідин і газів в більшій чи меншій мірі властива в'язкість або внутрішнє тертя.

В'язкість проявляється в тому, що виникло в рідині або газі рух після припинення дії сил, що стали причиною його, поступово припиняється.

Розглянемо дві паралельні один одному пластини, поміщені в рідину (ріс.7.12). Лінійні розміри пластин багато більше відстані між ними d. Нижня пластина утримується на місці, верхня приводиться в рух щодо нижньої з деякою

швидкістю. Експериментально доведено, що для переміщення верхньої пластини з постійною швидкістю необхідно впливати на неї цілком певної постійної за величиною силою. Пластина не отримує прискорення, отже, дія цієї сили врівноважується рівною їй за величиною силою, яка і є сила тертя, що діє на пластину при її русі в рідині. Позначимо її, а частина рідини, що лежить під площиною, діє на частину рідини, що лежить над площиною, з силою. При цьому і визначаються формулою (7.4). Таким чином, ця формула виражає силу між дотичними шарами рідини.

Експериментально доведено, що швидкість часток рідини змінюється в напрямку z, перпендикулярному пластин (рис.7.6) за лінійним законом

Частинки рідини, що безпосередньо стикаються з пластинами, як би прилипають до них і мають таку ж швидкість, як і самі пластини. З формули (7.5) отримуємо

Знак модуля в цій формулі поставлений з наступних причин. При зміні напрямку руху похідна швидкості змінить знак, в той час як відношення завжди позитивно. З урахуванням сказаного вираз (7.4) приймає вигляд

Одиницею в'язкості з СІ служить така в'язкість, при якій градієнт швидкості з модулем, призводить до виникнення сили внутрішнього тертя в 1 Н на 1м поверхні торкання шарів. Ця одиниця називається Паскаль - секундою (Па · с).

1 | | | |

Лекція №5 Елементи механіки суцільних середовищ
Фізична модель: суцільне середовище - це модель речовини, в
рамках якої нехтують внутрішньою будовою речовини,
вважаючи, що речовина безперервно розподілено
по всьому
займаного ним обсягу і цілком заповнює цей обсяг.
Однорідної називається среда, що має в кожній точці однакові
властивості.
Ізотропної називається среда, властивості якої однакові за всіма
напрямками.
Агрегатні стани речовини
Тверде тіло - стан речовини, що характеризується
фіксованим обсягом і незмінністю форми.
рідина
–
стан
речовини,
що характеризується
фіксованим обсягом, але не має певної форми.
Газ - стан речовини, при якому речовина заповнює весь
наданий йому об'єм.

Механіка деформованого тіла
Деформація - зміна форми і розмірів тіла.
Пружність - властивість тіл чинити опір зміні їх об'єму і
форми під впливом навантажень.
Деформація називається пружною, якщо вона зникає після зняття
навантаження і - пластичної, якщо вона після зняття навантаження не
зникає.
В теорії пружності доводиться, що всі види деформацій
(Розтягання - стискання, зсув, вигин, крутіння) можуть бути зведені до
одночасно відбувається деформацій розтягування - стиснення і
зсуву.

Деформація розтягу - стиску
Розтягання - стискання - збільшення (або
зменшення) довжини тіла циліндричної або
призматичної форми, що викликається силою,
спрямованої уздовж поздовжньої його осі.
Абсолютна деформація - величина, що дорівнює
зміни
розмірів тіла, викликаного
зовнішнім впливом:
l l l0
,
(5.1)
де l0 і l - початкова і кінцева довжина тіла.
Закон Гука (I) (Роберт Гук 1660 г.): сила
пружності
пропорційна
величиною
абсолютної деформації і спрямована в
бік її зменшення:
F k l,
де k - коефіцієнт пружності тіла.
(5.2)

Відносна деформація:
l l0
.
(5.3)
Механічне напруження - величина,
характеризує стан
деформованого тіла \u003d Па:
F S
,
(5.4)
де F - сила, що викликає деформацію,
S - площа перетину тіла.
Закон Гука (II): Механічне напруження,
виникає в тілі, пропорційно
величиною його відносної деформації:
E
,
(5.5)
де E - модуль Юнга - величина,
характеризує
пружні
властивості
матеріалу, що чисельно дорівнює напрузі,
виникає в тілі при одиничній
відносної деформації, [E] \u003d Па.

Деформації твердих тіл підкоряються закону Гука до
певної межі. Зв'язок між деформацією і напругою
представляється у вигляді діаграми напруг, якісний хід
якої розглянуто для металевого бруска.

Енергія пружної деформації
При розтягуванні - стисканні енергія пружної деформації
l
k l 2 1 2
(5.8)
kxdx
E V,
2
2
0
де V - об'єм тіла, що деформується.
густина
розтягуванні - стисканні
w
енергії
1 2
E
V 2
густина
деформації зсуву
пружною
.
енергії
1
w G 2
2
при
(5.9)
пружною
.
деформації
деформації
(5.10)
при

Елементи механіки рідин і газів
(Гідро- і механіка)
Перебуваючи в твердому агрегатному стані, Тіло одночасно
володіє як пружністю форми, так і пружністю обсягу (або, що
те ж саме, при деформаціях в твердому тілі виникають як
нормальні, так і тангенціальні механічні напруги).
рідини
і гази мають лише пружністю обсягу, але не
мають пружністю форми (вони приймають форму посудини, в
якому
рідин
знаходяться).
і
газів
наслідком
є
цієї
загальної
однаковість
в
особливості
якісному
відносно більшості механічних властивостей рідин і газів, а
їх відмінністю є
лише
кількісні характеристики
(Наприклад, як правило, щільність рідини більше щільності
газу). Тому в рамках механіки суцільних середовищ використовується
єдиний підхід до вивчення рідин і газів.

вихідні характеристики
Щільність речовини скалярна фізична величина,
характеризує розподіл маси за обсягом речовини і
що визначається відношенням маси речовини, укладеної в
деякому обсязі, до величини цього обсягу \u003d м / кг3.
У разі однорідного середовища щільність речовини розраховується за
формулою
m V.
(5.11)
У загальному випадку неоднорідного середовища маса і щільність речовини
пов'язані співвідношенням
V
(5.12)
m dV.
0
тиск
- скалярна величина, що характеризує стан
рідини або газу і рівна силі, яка діє на одиничну
поверхню в напрямку нормалі до неї [p] \u003d Па:
p Fn S
.
(5.13)

елементи гідростатики
Особливості сил, що діють всередині спочиває рідини
(Газу)
1) Якщо всередині спочиває рідини виділити невеликий обсяг, то
рідина на цей обсяг має однаковий тиск у всіх
напрямках.
2) Відпочиваюча рідина діє на дотичну з нею
поверхню твердого тіла з силою, спрямованої по нормалі до цієї
поверхні.

рівняння нерозривності
Трубка струму - частина рідини, обмежена лініями струму.
Стаціонарним (або сталим) називається такий перебіг
рідини, при якому форма і розташування ліній струму, а також
значення швидкостей в кожній точці рідини, що рухається зі
часом не змінюються.
Масова витрата рідини - маса рідини, що проходить через
поперечний переріз трубки струму в одиницю часу \u003d кг / с:
Qm m t Sv,
(5.15)
де і v - щільність і швидкість течії рідини в перерізі S.

рівняння
нерозривності
–
математичне
співвідношення,
в
відповідно до якого при стаціонарному перебігу рідини її
масова витрата в кожному перетині трубки струму один і той же:
1S1v 1 2S2v 2 або Sv const
,
(5.16)

Нестисливої \u200b\u200bназивається рідина, щільність якої не залежить від
температури і тиску.
Об'ємна витрата рідини - об'єм рідини, що проходить через
поперечний переріз трубки струму в одиницю часу \u003d м3 / с:
QV V t Sv,
(5.17)
Рівняння нерозривності нестисливої \u200b\u200bоднорідної рідини -
математичне співвідношення, відповідно до якого при
стаціонарному перебігу несжимаемой однорідної рідини її
об'ємна витрата в кожному перетині трубки струму один і той же:
S1v 1 S2v 2 або Sv const
,
(5.18)

В'язкість - властивість газів і рідин чинити опір
переміщенню однієї їх частини щодо іншої.
Фізична модель: ідеальна рідина - уявна
нестисливої \u200b\u200bрідина, в якій відсутні в'язкість і
теплопровідність.
Рівняння Бернуллі (Данило Бернуллі 1738 г.) - рівняння,
є
наслідком
закону
збереження
механічної
енергії для стаціонарного потоку ідеальної нестисливої \u200b\u200bрідини
і записане для довільного перерізу трубки струму, що знаходиться в
поле сил тяжіння:
v 12
v 22
v 2
gh1 p1
gh2 p2 або
gh p const. (5.19)
2
2
2

У рівнянні Бернуллі (5.19):
p - статичний тиск (тиск рідини на поверхню
обтічного нею тіла;
v 2
- динамічний тиск;
2
gh - гідростатичний тиск.

Внутрішнє тертя (в'язкість). закон Ньютона
Закон Ньютона (Ісаак Ньютон, 1686 г.): сила внутрішнього тертя,
яка припадає на одиницю площі рухомих шарів рідини або
газу, прямо пропорційна градієнту швидкості руху шарів:
F
S
dv
dy
,
(5.20)
де - коефіцієнт внутрішнього тертя (динамічна в'язкість),
\u003d М2 / с.

Види течії в'язкої рідини
Ламінарний плин - форма протягом, при якій рідина або
газ переміщається шарами без перемішування і пульсацій (тобто
безладних швидких змін швидкості і тиску).
Турбулентний плин - форма перебігу рідини або газу, при
якої
їх
елементи
здійснюють
невпорядковані,
несталі руху по складних траєкторіях, що призводить до
інтенсивного перемішування між шарами рухомих рідини
або газу.

число Рейнольдса
Критерій переходу ламінарного режиму течії рідини в
турбулентний режим заснований на використанні числа Рейнольдса
(Осборн Рéйнольдс, 1876-1883 рр.).
У разі руху рідини по трубі число Рейнольдса
визначається як
v d
Re
,
(5.21)
де v - середня по перерізу труби швидкість рідини; d - діаметр
труби; і - щільність і коефіцієнт внутрішнього тертя
рідини.
При значеннях Re<2000 реализуется ламинарный режим течения
рідини по трубі, а при Re\u003e 4000 - турбулентний режим. при
значеннях 2000 спостерігається суміш ламинарного і турбулентного потоків).

Розглянемо течія в'язкої рідини, звернувшись безпосередньо
до досвіду. За допомогою гумового шланга подсоединим до водопровідного
крану тонку горизонтальну скляну трубку з упаяними в неї
вертикальними манометричними трубками (див. малюнок).
При невеликій швидкості течії добре видно зниження рівня
води в манометрических трубках в напрямку течії (h1\u003e h2\u003e h3). це
вказує на наявність градієнта тиску уздовж осі трубки -
статичний тиск в рідині зменшується по потоку.

Ламінарний плин в'язкої рідини в горизонтальній трубі
При рівномірному прямолінійному перебігу рідини сили тиску
врівноважуються силами в'язкості.

розподіл
перетині
потоку
швидкостей
вузький
в
поперечному
рідини
можна, можливо
спостерігати при її витіканні з вертикальною
трубки через вузький отвір (див. малюнок).
Якщо, наприклад, при закритому крані До налити
на початку
неподкрашенний гліцерин, а потім
зверху обережно додати підфарбований, то в
стані рівноваги межа розділу Г буде
горизонтальної.
Якщо кран До відкрити, то межа прийме
форму, схожу на параболоїд обертання. це
вказує
на
існування
розподілу
швидкостей в перетині трубки при в'язкому перебігу
гліцерину.

Формула Пуазейля
Розподіл швидкостей в перетині горизонтальної труби при
ламінарному плині в'язкої рідини визначається формулою
p 2 + 2
v r
R r
4 l
,
(5.23)
де R і l радіус і довжина труби, відповідно, p - різниця
тисків на кінцях труби, r - відстань від осі труби.
Об'ємна витрата рідини визначається формулою Пуазейля
(Жан Пуазейль, 1840 г.):
R 4 p
.
(5.24)
Qv
8 l

Рух тіл у в'язкому середовищі
При русі тіл в рідині або газі на тіло
діє сила внутрішнього тертя, що залежить від
швидкості руху тіла. При малих швидкостях
спостерігається
ламинарное
обтікання
тіла
рідиною або газу і сила внутрішнього тертя
виявляється
пропорційної
швидкості
руху тіла і визначається формулою Стокса
(Джордж Стокс, 1851 г.):
F b l v
,
(5.25)
де b - постійна, що залежить від форми тіла і
його орієнтації щодо потоку, l -
характерний розмір тіла.
Для кулі (b \u003d 6, l \u003d R) сила внутрішнього тертя:
F 6 Rv
де R - радіус кулі.
,

Механіка суцільних середовищ - це розділ механіки, присвячений вивченню руху і рівноваги газів, рідин, плазми і деформуються твердих тіл. Основне допущення механіки суцільних середовищ полягає в тому, що речовина можна розглядати як безперервну суцільну середу, нехтуючи його молекулярною (атомним) будовою, і одночасно вважати безперервним розподіл в середовищі всіх її характеристик (щільності, напруг, швидкостей частинок).

Стан руху рідини можна визначити, вказавши для кожної точки простору вектор швидкості як функцію часу.

сукупність векторів , Заданих для всіх точок простору, утворює поле вектора швидкості, яке можна зобразити таким чином. Проведемо в рухомої рідини лінії так, щоб дотична до них в кожній точці збіглася у напрямку з вектором (Рис.7.1). Ці лінії називаються лініями струму. Домовимося проводити лінії струму так, щоб їх густота (відношення числа ліній
до величини перпендикулярної до них майданчики
, Через яку вони проходять) була пропорційна величині швидкості в даному місці. Тоді по картині ліній струму можна буде судити не тільки про направлення, але й про величину вектора в різних точках простору: там, де швидкість більше, лінії струму будуть гущі.

Число ліній струму, що проходять через площадку
, Перпендикулярну до ліній струму, так само
, Якщо майданчик орієнтована довільно до ліній струму, число ліній струму одно, де
- кут між напрямком вектора і нормаллю до майданчика . Часто використовують позначення
. Число ліній струму через майданчик кінцевих розмірів визначається інтегралом:
. Інтеграл такого виду називається потоком вектора через майданчик .

В елічіна і напрямок вектора змінюється з часом, отже, і картина ліній не залишається постійною. Якщо в кожній точці простору вектор швидкості залишається постійним за величиною і напрямком, то протягом називається сталим або стаціонарним. При стаціонарному перебігу будь-яка частка рідини проходить цю точку простору з одним і тим же значенням швидкості. Картина ліній струму в цьому випадку не змінюється, і лінії струму збігаються з траєкторіями часток.

Розглянемо поле вектора швидкості несжимаемой нерозривному рідини. Потік вектора швидкості через деяку поверхню дорівнює обсягу рідини, що протікає через цю поверхню в одиницю часу. Побудуємо в околиці точки Р уявну замкнуту поверхню S(Рис.7.2) . Якщо в обсязі V, Обмеженому поверхнею, рідина не виникає і не зникає, то потік, що випливає назовні через поверхню, буде дорівнює нулю. Відмінність потоку від нуля буде вказувати на те, що всередині поверхні є джерела або стоки рідини, т.е.точкі, в яких рідина надходить в об'єм (джерела) або віддаляється з обсягу (стоки) Величина потоку визначає сумарну потужність джерел і стоків. При переважанні джерел над стоками потік позитивний, при переважанні стоків - негативний.

Частка від ділення потоку на величину обсягу, з якого потік випливає,
, Є середня питома потужність джерел, укладених в обсязі V. Чим менше об'єм V,що включає в себе точку Р,тим ближче це середнє значення до істинної питомої потужності в цій точці. У межі при
, Тобто при стягуванні обсягу в точку, ми отримаємо справжню питому потужність джерел в точці Р, звану дивергенцией (розбіжністю) вектора :
. Отриманий вираз справедливо для будь-якого вектора. Інтегрування ведеться по замкнутій поверхні S,обмежує обсяг V. Дивергенція визначається поведінкою векторної функції поблизу точки Р. Дивергенція - це скалярна функція координат, що визначають п оложеніе точки Р в просторі.

Знайдемо вираз для дивергенції в декартовій системі координат. Розглянемо в околиці точки Р (x, y, z) малий обсяг у вигляді паралелепіпеда з ребрами, паралельними осям координат (рис.7.3). З причини малості обсягу (його будемо стремить до нуля) значення
в межах кожної з шести граней паралелепіпеда можна вважати незмінними. Потік через всю замкнуту поверхню утворюється з потоків, що течуть через кожну з шести граней окремо.

Знайдемо потік через пару граней, перпендикулярних ост Хна рис.7.3 межі 1 та 2) . зовнішня нормаль до межі 2 збігається з напрямком осі Х. Тому
і потік через грань 2 дорівнює
.Нормаль має напрям, протилежний осі Х.проекції вектора на вісь Х і на нормаль мають протилежні знаки,
, І потік через грань 1 дорівнює
. Сумарний потік в напрямку Х дорівнює
. різниця
являє собою приріст при зміщенні вздовж осі Х на
. зважаючи на крихту

. тоді отримуємо
. Аналогічно, через пари граней, перпендикулярних осях Yі Z , Потоки рівні
і
. Повний потік через замкнуту поверхню. Розділивши цей вираз на
, знайдемо дивергенцію вектора в точці Р:

Знаючи дивергенцію вектора в кожній точці простору, можна обчислити потік цього вектора через будь-яку поверхню кінцевих розмірів. Для цього розіб'ємо обсяг, обмежений поверхнею S, На нескінченно велике число нескінченно малих елементів
(Рис.7.4).

Для будь-якого елементу
потік вектора через поверхню цього елемента дорівнює
. Підсумувавши за всіма елементами
, Отримуємо потік через поверхню S, Що обмежує обсяг V:
, Інтегрування проводиться обсягом V,або

Е то теорема Остроградського - Гаусса. тут
,- одиничний вектор нормалі до поверхні dS в даній точці.

Повернемося до течії нестисливої \u200b\u200bрідини. побудуємо контур . Уявімо собі, що ми якимось чином заморозили миттєво рідина в усьому обсязі за винятком дуже тонкого замкнутого каналу постійного перетину, що включає в себе контур (Ріс.7.5). Залежно від характеру перебігу рідина в нинішньому каналі виявиться або нерухомою, або рухається (циркулюючої) уздовж контуру в одному з можливих напрямків. В якості запобіжного цього руху вибирається величина, що дорівнює добутку швидкості рідини в каналі і довжини контуру,
. Ця величина називається циркуляцією вектора по контуру (Так як канал має постійний перетин і модуль швидкості не змінюється). У момент затвердіння стінок у кожної частинки рідини в каналі буде гаситися складова швидкості, перпендикулярна до стінки і залишиться лише складова, дотична до контуру. З цієї складової пов'язаний імпульс
, Модуль якого для частинки рідини, укладеної в відрізку каналу довжиною
, дорівнює
, де - щільність рідини, - перетин каналу. Рідина ідеальна - тертя немає, тому дія стінок може змінити тільки напрямок
, Його величина залишиться незмінною. Взаємодія між частинками рідини викличе такий перерозподіл імпульсу між ними, яке вирівняє швидкості всіх частинок. При цьому сума алгебри імпульсів зберігається, тому
, де - швидкість циркуляції, - дотична складова швидкості рідини в обсязі
в момент часу, що передував затвердіння стінок. розділивши на
, отримаємо
.

Ц іркуляція характеризує властивості поля, усереднені по області з розмірами порядку діаметра контуру . Щоб отримати характеристику поля в точці Р, Потрібно зменшить розміри контуру, стягуючи його в точку Р. При цьому в якості характеристики поля беруть межа відносини циркуляції вектора по плоскому контуру , Стягується в точку Р, До величини площині контуру S:
. Величина цієї межі залежить не тільки від властивостей поля в точці Р, Але і від орієнтації контуру в просторі, яка може бути задана напрямком позитивної нормалі до площини контуру (позитивної вважається нормаль, пов'язана з напрямком обходу контуру правилом правого гвинта). Визначаючи цю межу для різних напрямків , Ми отримаємо різні його значення, причому для протилежний напрямків нормаль ці значення відрізняються знаком. Для деякого напряму нормалі величина межі буде максимальною. Таким чином, величина межі поводиться як проекція деякого вектора на напрямок нормалі до площини контура, по якому береться циркуляція. Максимальне значення межі визначає модуль цього вектора, а напрямок позитивної нормалі, при якому досягається максимум, дає напрямок вектора. Цей вектор називається ротором або вихором вектора :
.

Щоб знайти проекції ротора на осі декартової система координат, потрібно визначити значення межі для таких орієнтацій майданчики S , При яких нормаль до майданчика збігається з однією з осей X, Y, Z.Якщо, наприклад, направити по осі Х, знайдемо
. контур розташований в цьому випадку в площині, паралельній YZ, Візьмемо контур у вигляді прямокутника зі сторонами
і
. при
значення і на кожній з чотирьох сторін контура можна вважати незмінними. Ділянка 1 контуру (рис.7.6) протилежний осі Z, тому на цій ділянці збігається з
, На ділянці 2
, На ділянці 3
, На ділянці 4
. Для циркуляції по цьому контуру отримуємо значення: . різниця
являє собою приріст при зміщенні вздовж Y на
. зважаючи на крихту
це збільшення можна представити у вигляді
Аналогічно, різницю
. Тоді циркуляція з даного контуру
,

де
- площа контуру. Розділивши циркуляцію на
, Знайдемо проекцію ротора на вісь Х:
. аналогічно,
,
. Тоді ротор вектора визначається виразом:

+
,

або
.

З ная ротор вектора в кожній точці деякої поверхні S, Можна обчислити циркуляцію цього вектора по контуру , Що обмежує поверхню S. Для цього розіб'ємо поверхню на дуже малі елементи
(Ріс.7.7). Циркуляція по контуру, що обмежує
дорівнює
, де - позитивна нормаль до елемента
. Підсумувавши ці вирази по всій поверхні Sі підставивши вираз для циркуляції, отримаємо
. Це теорема Стокса.

Частина рідини, обмежена лініями струму, називається трубкою струму. вектор , Будучи в кожній точці дотичним до лінії струму, буде дотичним до поверхні трубки струму, і частки рідини не перетинають стінок трубки струму.

Розглянемо перпендикулярний до напрямку швидкості перетин трубки струму S(Рис.7.8.). Будемо вважати, що швидкість часток рідини однакова у всіх точках цього перетину. За час
через перетин Sпройдуть всі частинки, відстань яких в початковий момент не перевищує значення
. Отже, за час
через перетин S
, А за одиницю часу через перетин S пройде обсяг рідини, що дорівнює
.. Будемо вважати, що трубка струму настільки тонка, що швидкість часток в кожному її перерізі можна вважати постійною. Якщо рідина нестисливої \u200b\u200b(тобто її щільність усюди однакова і не змінюється), то кількість рідини між перетинами і (Ріс.7.9.) Буде залишатися незмінним. Тоді обсяги рідини, що протікають за одиницю часу через перетину і , Повинні бути однаковими:

Таким чином, для нестисливої \u200b\u200bрідини величина
в будь-якому перетині однієї і тієї ж трубки струму повинна бути однакова:

.Це твердження називається теоремою про нерозривність струменя.

Рух ідеальної рідини описується рівнянням Нав'є-Стокса:

де t - час, x, y, z - координати рідкої частки,

- проекції об'ємної сили, р - тиск, ρ - щільність середовища. Це рівняння дозволяє визначити проекції швидкості частинки середовища як функції координат і часу. Щоб замкнути систему, до рівняння Навье- Стокса додають рівняння нерозривності, яке є наслідком теореми про нерозривність струменя:

. Для інтегрування цих рівнянь потрібно задати початкові (якщо рух не є стаціонарним) і граничні умови.