Проекції швидкості на осі. типи рухів

Для виконання розрахунків швидкостей і прискорень необхідно переходити від запису рівнянь у векторній формі до запису рівнянь в алгебраїчній формі.

Вектори початкової швидкості і прискорення можуть мати різні напрямки, тому перехід від векторної записи рівнянь до алгебраїчних може виявитися досить трудомістким.

Відомо, що проекція суми двох векторів на якусь координатну вісь дорівнює сумі проекцій доданків векторів на ту ж вісь.

Графік швидкості

з рівняння випливає, що графіком залежності проекції швидкості равноускоренного руху від часу є пряма. Якщо проекція початкової швидкості на вісь OX дорівнює нулю, то пряма проходить через початок координат.

Основні види руху

1. а n \u003d 0, a t \u003d 0 - прямолінійний рівномірний рух;

2. а n \u003d 0, a t \u003d const - прямолінійний равнопеременное рух;

3. а n \u003d 0, a t ¹ 0 -прямолінійний зі змінним прискоренням;

4. а n \u003d const, a t \u003d 0 -рівномірний по колу

5. а n \u003d const, a t \u003d const - равнопеременное по колу

6. а n ¹ const, a t ¹ const - криволінійне зі змінним прискоренням.

обертальний рух твердого тіла.

Обертальний рух твердого тіла відносно нерухомої осі - рух, при якому всі точки твердого тіла описують кола, центри яких лежать на одній прямій, званої віссю обертання.

Рівномірний рух по колу

Розглянемо найбільш простий вид обертального руху, І приділимо особливу увагу доцентровому прискоренню.

При рівномірному русі по колу значення швидкості залишається постійним, а напрям вектора швидкості змінюється в процесі руху.

З подоби трикутників OAB і BCD слід

Якщо інтервал часу Δt малий, то малий і кут a. При малих значеннях кута a довжина хорди AB приблизно дорівнює довжині дуги AB, тобто . Оскільки ,, То отримуємо

Оскільки, то отримуємо

Період і частота

Проміжок часу, за який тіло робить повний оборот при русі по колу, називається періодам звернення (Т). Оскільки довжина кола дорівнює 2pR, Період обертання при рівномірному русі тіла зі швидкістю v по колу радіусом Rдорівнює:

Величина, зворотна періоду обертання, називається частотою. Частота показує, скільки оборотів по колу здійснює тіло в одиницю часу:

(з 1)

Кінематика обертального руху

Для вказівки напряму обертання малим кутах повороту приписують напрям: спрямований по осі обертання так, щоб розглядається з його кінця обертання відбувалося проти годинникової стрілки (правило правого гвинта). Якщо тіло зробило N поворотів:. Середня кутова швидкість:

Миттєва кутова швидкість:

(12)

3.1. Равнопеременное рух по прямій.

3.1.1. Равнопеременное рух по прямій - рух по прямій з постійним по модулю і напрямку прискоренням:

3.1.2. Прискорення () - фізична векторна величина, що показує, на скільки зміниться швидкість за 1 с.

У векторному вигляді:

де - початкова швидкість тіла, - швидкість тіла в момент часу t.

У проекції на вісь Ox:

де - проекція початкової швидкості на вісь Ox, - проекція швидкості тіла на вісь Ox в момент часу t.

Знаки проекцій залежать від напрямку векторів і осі Ox.

3.1.3. Графік проекції прискорення від часу.

При равнопеременное русі прискорення постійно, тому буде являти собою прямі лінії, паралельні осі часу (див. Рис.):

3.1.4. Швидкість при равнопеременное русі.

У векторному вигляді:

У проекції на вісь Ox:

Для рівноприскореного руху:

Для равнозамедленно руху:

3.1.5. Графік проекції швидкості в залежності від часу.

Графік проекції швидкості від часу - пряма лінія.

Напрямок руху: якщо графік (або частина його) знаходяться над віссю часу, то тіло рухається в позитивному напрямку осі Ox.

Значення прискорення: чим більше тангенс кута нахилу (чим крутіше піднімається вгору або опускає вниз), тим більше модуль прискорення; де - зміна швидкості за час

Перетин з віссю часу: якщо графік перетинає вісь часу, то до точки перетину тіло гальмувало (равнозамедленно рух), а після точки перетину початок розганятися в протилежну сторону (рівноприскореного руху).

3.1.6. геометричний сенс площі під графіком в осях

Площа під графіком, коли на осі Oy відкладена швидкість, а на осі Ox - час - це шлях, пройдений тілом.

На рис. 3.5 намальований випадок рівноприскореного руху. Шлях в даному випадку буде дорівнює площі трапеції: (3.9)

3.1.7. Формули для розрахунку шляху

рівноприскореного руху	равнозамедленно рух
(3.10)	(3.12)
(3.11)	(3.13)
(3.14)

Всі формули, представлені в таблиці, працюють тільки при збереженні напрямку руху, тобто до перетину прямої з віссю часу на графіку залежності проекції швидкості від часу.

Якщо ж перетин сталося, то рух простіше розбити на два етапи:

до перетину (гальмування):

Після перетину (розгін, рух у зворотний бік)

У формулах вище - час від початку руху до перетину з віссю часу (час до зупинки), - шлях, який пройшло тіло від початку руху до перетину з віссю часу, - час, що минув з моменту перетину осі часу до на даний момент t, - шлях, який пройшло тіло в зворотному напрямку за час, що минув з моменту перетину осі часу до даного моменту t, - модуль вектора переміщення за весь час руху, L - шлях, пройдений тілом за весь час руху.

3.1.8. Переміщення за -у секунду.

За час тіло пройде шлях:

За час тіло пройде шлях:

Тоді за -ий проміжок тіло пройде шлях:

За проміжок можна приймати будь-який відрізок часу. Найчастіше с.

Тоді за 1-у секунду тіло проходить шлях:

За 2-у секунду:

За 3-ю секунду:

Якщо уважно подивимося, то побачимо, що і т. Д.

Таким чином, приходимо до формули:

Словами: шляхи, прохідні тілом за послідовні проміжки часу співвідносяться між собою як ряд непарних чисел, і це не залежить від того, з яким прискоренням рухається тіло. Підкреслимо, що це співвідношення справедливо при

3.1.9. Рівняння координати тіла при равнопеременное русі

рівняння координати

Знаки проекцій початкової швидкості і прискорення залежать від взаємного розташування відповідних векторів і осі Ox.

Для вирішення завдань до рівняння необхідно додавати рівняння зміни проекції швидкості на вісь:

3.2. Графіки кінематичних величин при прямолінійній русі

3.3. Вільне падіння тіла

Під вільним падінням мається на увазі наступна фізична модель:

1) Падіння відбувається під дією сили тяжіння:

2) Опір повітря відсутній (в задачах іноді пишуть «опором повітря знехтувати»);

3) Всі тіла, незалежно від маси падають з однаковим прискоренням (іноді додають - «незалежно від форми тіла», але ми розглядаємо рух тільки матеріальної точки, Тому форма тіла вже не враховується);

4) Прискорення вільного падіння направлено строго вниз і на поверхні Землі одно (в задачах часто приймаємо для зручності підрахунків);

3.3.1. Рівняння руху в проекції на вісь Oy

На відміну від руху по горизонтальній прямій, коли далеко не всіх задач відбувається зміна напрямку руху, при вільному падінні найкраще відразу користуватися рівняннями, записаними в проекціях на вісь Oy.

Рівняння координати тіла:

Рівняння проекції швидкості:

Як правило, в задачах зручно вибрати вісь Oy наступним чином:

ось Oy направлена \u200b\u200bвертикально вгору;

Початок координат збігається з рівнем Землі або найнижчою точкою траєкторії.

При такому виборі рівняння і перепишуть в наступному вигляді:

3.4. Рух в площині Oxy.

Ми розглянули рух тіла з прискоренням уздовж прямої. Однак цим равнопеременное рух не обмежується. Наприклад, тіло, кинуте під кутом до горизонту. У таких завданнях необхідно враховувати рух відразу по двох осях:

Або в векторному вигляді:

І зміна проекції швидкості на обидві осі:

3.5. Застосування поняття похідної та інтеграла

Ми не будемо наводити тут докладний визначення похідної та інтеграла. Для вирішення завдань нам знадобляться лише невеликий набір формул.

похідна:

де A, B і то є постійні величини.

інтеграл:

Тепер подивимося, як поняття похідної та інтеграла може бути застосовано до фізичним величинам. В математиці похідна позначається «" », у фізиці похідна по часу позначається« ∙ »над функцією.

швидкість:

тобто швидкість є похідною від радіус-вектора.

Для проекції швидкості:

прискорення:

тобто прискорення є похідною від швидкості.

Для проекції прискорення:

Таким чином, якщо відомий закон руху то легко можемо знайти і швидкість і прискорення тіла.

Тепер скористаємося поняттям інтеграла.

швидкість:

тобто, швидкість можна знайти як інтеграл за часом від прискорення.

Радіус-вектор:

тобто, радіус-вектор можна знайти, взявши інтеграл від функції швидкості.

Таким чином, якщо відома функція то легко можемо знайти і швидкість, і закон руху тіла.

Константи в формулах визначаються з початкових умов - значення і в момент часу

3.6. Трикутник швидкостей і трикутник переміщень

3.6.1. трикутник швидкостей

У векторному вигляді при постійному прискоренні закон зміни швидкості має вигляд (3.5):

Ця формула означає, що вектор дорівнює векторній сумі векторів і Векторну суму завжди можна зобразити на малюнку (див. Рис.).

У кожному завданні, в залежності від умов, трикутник швидкостей матиме свій вигляд. Таке уявлення дозволяє використовувати при вирішенні геометричні міркування, що часто спрощує рішення задачі.

3.6.2. трикутник переміщень

У векторному вигляді закон руху при постійному прискоренні має вигляд:

При вирішенні завдання можна вибирати систему відліку до Ваших потреб, тому не втрачаючи спільності, можемо вибрати систему відліку так, що то є початок системи координат поміщаємо в точку, де в початковий момент знаходиться тіло. тоді

тобто вектор дорівнює векторній сумі векторів і Изобразим на малюнку (див. рис.).

Як і в попередньому випадку в залежності від умов трикутник переміщень матиме свій вигляд. Таке уявлення дозволяє використовувати при вирішенні геометричні міркування, що часто спрощує рішення задачі.

Графіки дають можливість представити залежність швидкості і прискорення від часу при русі тіла (точки) наочно.
Графіки модуля і проекції прискорення
Якщо точка рухається з постійним прискоренням, то графіки модуля і проекції прискорення будуть прямими, паралельними осі часу. Треба пам'ятати, що модуль - невід'ємна величина, тому графік модуля прискорення не може бути розташований нижче осі часу (рис. 1.50). Проекції прискорення можуть мати позитивні і негативні значення (рис. 1.51, а, б). Малюнок 1.51, б показує, що прискорення постійно і направлено протилежно осі X.
Мал. 1.50

про
За графіком проекції прискорення можна знайти, крім ах, зміна проекції швидкості. Воно чисельно дорівнює площі прямокутника ОАВС або OKMN, так як Avx \u003d axt, a axt чисельно дорівнює площі прямокутника ОАВС або OKMN.
Площа береться зі знаком мінус, якщо вона розташована нижче осі часу, що відповідає малюнку 1.51, б, де Avx \u003d axt
Формули проекцій швидкості (1.17.3) є лінійними функціями часу. Тому графіки модуля і проекцій ско-рости представляють собою прямі лінії. На малюнку 1.52 пред-ставлені графіки залежності модуля швидкості від часу для трьох рухів з постійним прискоренням. Графіки 2 і 3 відповідають рухам, модулі початкових швидкостей яких відповідають відрізкам OA і ПРО. Графік 1 відповідає руху з рівномірно зростаючим модулем швидкості і початковою швидкістю, що дорівнює нулю. Графік 3 відповідає руху з модулем швидкості, рівномірно убутним до ну-ля. Відрізок ОС чисельно дорівнює часу руху точки до ос-тановки. Мал. 1.52
Графік проекції швидкості
Графіки модуля швидкості содер- / 1
про
жать менше інформації, ніж графіки проекції швидкості, так як за першими графіками можна судити про напрямок руху щодо координатних осей.
Мал. 1.53
На малюнку 1.53 зображені графіки 1, 2 проекцій швидкості двох точок. Обидві вони мають початкову швидкість, рівну нулю. Перша точка рухається в
позитивному напрямку осі X, і так як Avx\u003e 0, то а1х\u003e 0. Друга точка рухається протилежно осі X, так як Avx На малюнку 1.54 також зображені графіки 1, 2 проекцій швидкості двох точок. Обидві вони мають одне і те ж значення проекції початкової швидкості, відповідне відрізку OA. Згідно з графіком 1 точка рухається в позитивному напрямку осі X, причому модуль і проекція швидкості рівномірно зростають.
Згідно з графіком 2 (див. Рис. 1.54) точка протягом певного проміжку часу (відрізок ОВ) рухається в позитивному напрямку осі X (vx\u003e 0) з рівномірно зменшується до нуля (зупинка) значенням проекції швидкості. Після цього проекція швидкості стає негативною; це означає, що точка стала рухатися в напрямку, протилежному позитивного напрямку осі X. При цьому проекція швидкості по модулю, а значить, і модуль швидкості рівномірно збільшуються. Проекція прискорення точки негативна. Так як проекція швидкості точки рівномірно убуває, то проекція прискорення залишається постійною. Отже, точка рухається з постійним прискоренням.
Графіки залежності швидкості і прискорення від часу при постійному прискоренні досить прості. Глав-ве тут - звикнути до зображення позитивних і негативних величин і не плутати графіки модулів і проекцій.
? 1. Покажіть, що кут нахилу графіка проекції швидкості до осі часу тим більше, чим більше модуль проекції прискорення, т. Е. Проекція прискорення є кутовим коефіцієнтом прямої.
2. На малюнку 1.55 зображені графіки 1, 2 проекцій швидкості двох точок. Доведіть, що графіки відповідають руху з прискоренням, що не змінюються як по модулю, так і за напрямком.? Мал. 1.54 Рис. 1.55
Як змінюється швидкість точки, графік проекції швидкості якої в залежності від часу зображений прямий 1 (див. Рис. 1.55)? Чому відповідають відрізки ОС і ОХ\u003e?
Як змінювалася швидкість точки (див. Графік 2 на малюнку 1.55)? Чому відповідає відрізок ОС? Куди направлено прискорення точки відносно осі XI

Інструкція

Сам по собі заданий вектор нічого не дає в плані математичного опису руху, тому його розглядають в проекціях на координатні осі. Це може бути одна координатна вісь (промінь), дві (площину) або три (простір). Щоб знайти проекції, потрібно опустити перпендикуляри з кінців вектора на осі.

Проекція являє собою як би «тінь» вектора. Якщо тіло рухається перпендикулярно даної осі, проекція виродиться в точку і буде мати нульове значення. При русі паралельно координатної осі проекція збігається вектора. І коли тіло рухається так, що його вектор швидкості спрямований під деяким кутом φ до осі x, проекція на вісь x буде відрізком: V (x) \u003d V cos (φ), де V - модуль. Проекція позитивна, коли напрямок вектора швидкості збігається з позитивним напрямком координатної осі, і негативна в зворотному випадку.

Нехай рух точки задано координатними рівняннями: x \u003d x (t), y \u003d y (t), z \u003d z (t). Тоді функції швидкості, спроектований на три осі, будуть мати вигляд, відповідно, V (x) \u003d dx / dt \u003d x "(t), V (y) \u003d dy / dt \u003d y" (t), V (z) \u003d dz / dt \u003d z "(t), тобто для знаходження швидкості потрібно взяти похідні. Сам вектор швидкості буде виражатися рівнянням V \u003d V (x) i + V (y) j + V (z) k, де i, j, k - одиничні вектори координатних осей x, y, z. Модуль швидкості можна обчислити за формулою V \u003d √ (V (x) ^ 2 + V (y) ^ 2 + V (z) ^ 2).