По прямій починає рухатися точка з постійним. Рух по прямій з постійним прискоренням приклади розв'язання задач

з пунктів A і B, Відстань між якими дорівнює l, Одночасно назустріч один одному почали рухатися два тіла: перше зі швидкістю v 1, друге - v 2. Визначити, через скільки часу вони зустрінуться і відстань від точки A до місця їх зустрічі. Вирішити задачу також графічно.

Рішення

1-й спосіб:

Залежність координат тіл від часу:

У момент зустрічі координати тел співпадуть, т. Е.. Значить, зустріч відбудеться через час від початку руху тел. Знайдемо відстань від пункту A до місця зустрічі як.

2-й спосіб:

Швидкості тіл рівні тангенсу кута нахилу відповідного графіка залежності координати від часу, т. Е.,. Моменту зустрічі відповідає точка C перетину графіків.

Через якийсь час і де зустрілися б тіла (див. Задачу 1), якби вони рухалися в одному і тому ж напрямку A→B, Причому з точки B тіло почало рухатися через t 0 секунд після початку руху його з точки A?

Рішення

Графіки залежності координат тіл від часу зображені на малюнку.

Складемо на основі малюнка систему рівнянь:

Вирішивши систему щодо t C отримаємо:

Тоді відстань від пункту A до місця зустрічі:

.

Моторний човен проходить відстань між двома пунктами A і B за течією річки за час t 1 \u003d 3 ч, а пліт - за час t \u003d 12 год. Скільки часу t 2 витратить моторний човен на зворотний шлях?

Рішення

нехай s - відстань між пунктами A і B, v - швидкість човна відносно води, а u - швидкість течії. висловивши відстань s тричі - для плота, для човна, що рухається за течією, і для човна, що рухається проти течії, отримаємо систему рівнянь:

Вирішивши систему, одержимо:

Ескалатор метро спускає йде по ньому вниз людини за 1 хв. Якщо людина буде йти вдвічі швидше, то він спуститься за 45 с. Скільки часу спускається людина, що стоїть на ескалаторі?

Рішення

позначимо буквою l довжину ескалатора; t 1 - час спуску людини, що йде зі швидкістю v; t 2 - час спуску людини, що йде зі швидкістю 2 v; t - час спуску стоїть на ескалаторі людини. Тоді, розрахувавши довжину ескалатора для трьох різних випадків (людина йде зі швидкістю v, Зі швидкістю 2 v і стоїть на ескалаторі нерухомо), отримаємо систему рівнянь:

Вирішивши цю систему рівнянь, отримаємо:

Людина біжить по ескалатору. У перший раз він нарахував n 1 \u003d 50 сходинок, вдруге, рухаючись в ту ж сторону зі швидкістю втричі більшою, він нарахував n 2 \u003d 75 сходинок. Скільки сходинок він нарахував би на нерухомому ескалаторі?

Рішення

Оскільки при збільшенні швидкості людина нарахував більше супенек, значить напрямки швидкостей ескалатора і людини збігаються. нехай v - швидкість людини щодо ескалатора, u - швидкість ескалатора, l - довжина ескалатора, n - число сходинок на нерухомому ескалаторі. Число сходинок, що вміщується в одиниці довжини ескалатора, так само n/l. Тоді час перебування людини на ескалаторі при його русі щодо ескалатора зі швидкістю v одно l/(v+u), А шлях, пройдений по ескалатору, дорівнює vl/(v+u). Тоді кількість сходинок, які нараховують на цьому шляху, так само. Аналогічно, для випадку, коли швидкість людини щодо ескалатора 3 v, Отримаємо.

Таким чином, ми можемо скласти систему рівнянь:

виключивши ставлення u/v, Отримаємо:

Між двома пунктами, розташованими на річці на відстані s \u003d 100 км один від іншого, курсує катер, який, ідучи за течією, проходить цю відстань за час t 1 \u003d 4 год, а проти течії, - за час t 2 \u003d 10 год. Визначити швидкість течії річки u і швидкість катера v щодо води.

Рішення

висловивши відстань s двічі, - для катера, що йде за течією, і катери, що йде проти течії, - отримаємо систему рівнянь:

Вирішивши цю систему, отримаємо v \u003d 17,5 км / год, u \u003d 7,5 км / год.

Повз пристані проходить пліт. У цей момент в селище, що знаходиться на відстані s 1 \u003d 15 км від пристані, вниз по річці відправляється моторний човен. Вона дійшла до селища за час t \u003d 3/4 ч і, повернувши назад, зустріла пліт на відстані s 2 \u003d 9 км від селища. Які швидкість течії річки і швидкість човна відносно води?

Рішення

нехай v - швидкість моторного човна, u - швидкість течії річки. Оскільки від моменту відправлення моторного човна від пристані до моменту зустрічі моторного човна з плотом, очевидно, пройде однаковий час і для плота, і для моторного човна, то можна скласти таке рівняння:

де зліва - це вираз часу, що пройшов до моменту зустрічі, для плота, а праворуч - для моторного човна. Запишемо рівняння для часу, яке затратила моторний човен на подолання шляху s 1 від пристані до селища: t=s 1 /(v+u). Таким чином, отримуємо систему рівнянь:

Звідки отримаємо v \u003d 16 км / год, u \u003d 4 км / год.

Колона військ під час походу рухається зі швидкістю v 1 \u003d 5 км / год, розтягнувшись по дорозі на відстань l \u003d 400 м. Командир, що знаходиться в хвості колони, посилає велосипедиста з дорученням головному загону. Велосипедист відправляється і їде зі швидкістю v 2 \u003d 25 км / год і, на ходу виконавши доручення, відразу ж повертається назад з тією ж швидкістю. Через скільки часу t після отримання доручення він повернувся назад?

Рішення

В системі відліку, пов'язаної з колоною, швидкість велосипедиста на своєму шляху до головного загону дорівнює v 2 -v 1, а при русі назад v 2 +v 1. Тому:

Спростивши і підставивши числові значення, отримаємо:

.

вагон шириною d \u003d 2,4 м, що рухається зі швидкістю v \u003d 15 м / с, був пробитий кулею, яка летіла перпендикулярно руху вагона. Зсув отворів в стінках вагона відносно один одного так само l \u003d 6 см. Яка швидкість руху кулі?

Рішення

позначимо буквою u швидкість кулі. Час польоту кулі від стінки до стінки вагона дорівнює часу, протягом якого вагон проходить відстань l. Таким чином, можна скласти рівняння:

Звідси знаходимо u:

.

Яка швидкість крапель v 2 прямовисно падає дощу, якщо шофер легкового автомобіля помітив, що краплі дощу не залишають сліду на задньому склі, нахиленому вперед під кутом α \u003d 60 ° до горизонту, коли швидкість автомобіля v 1 більше 30 км / год?

Рішення

Як видно з малюнка,

щоб краплі дощу не залишали сліду на задньому склі, Наобходимо, щоб час проходження краплею відстані h дорівнювало часу, за яке автомобіль пройде відстань l:

Або, висловивши звідси v 2:

На вулиці йде дощ. В якому випадку відро, що стоїть в кузові вантажного автомобіля, наповниться швидше водою: Коли автомобіль рухається або коли він стоїть?

відповідь

Однаково.

З якою швидкістю v і за яким курсом повинен летіти літак, щоб за час t \u003d 2 ч пролетіти точно на Північ шлях s \u003d 300 км, якщо під час польоту дме північний вітер під кутом α \u003d 30 ° до меридіану зі швидкістю u \u003d 27 км / год?

Рішення

Запишемо систему рівнянь по малюнку.

Оскільки літак повинен летіти строго на північ, проекція його швидкості на вісь Oy v y дорівнює y-складати швидкості вітру u y.

Вирішивши цю систему, знайдемо, що літак повинен тримати курс на північний захід під кутом 4 ° 27 "до меридіану, а його швидкість повинна бути дорівнює 174 км / ч.

За гладкому горизонтальному столу рухається зі швидкістю v Чорна дошка. Якої форми слід залишить на цій дошці крейда, кинутий горизонтально зі швидкістю u перпендикулярно напрямку руху дошки, якщо: а) тертя між крейдою і дошкою дуже малий; б) тертя велике?

Рішення

Мел залишить на дошці слід, що представляє собою пряму лінію, що становить кут arctg ( u/v) З напрямком руху дошки, т. Е. Збігається з направленням суми векторів швидкості дошки та крейди. Це справедливо і для випадку а) і для випадку б), т. К. Сила тертя не впливає на напрямок руху крейди, оскільки лежить на одній прямій з вектором швидкості, то вона лише зменшує швидкість крейди, тому траєкторія в разі б) може не доходити до краю дошки.

Корабель виходить з пункту A і йде зі швидкістю v, Що становить кут α з лінією AB.

Під яким кутом β до лінії AB слід було б випустити з пункту B торпеду, щоб вона вразила корабель? Торпеду потрібно випустити в той момент, коли корабель перебував у пункті A. Швидкість торпеди дорівнює u.

Рішення

Крапка C на малюнку - це місце зустрічі корабля і торпеди.

AC = vt, BC = ut, де t - час від старту до моменту зустрічі. Згідно з теоремою синусів

Звідси знаходимо β :

.

До повзуна, який може переміщатися по направляючої рейці,

прикріплений шнур, протягнуто через кільце. Шнур вибирають зі швидкістю v. З якою швидкістю u рухається повзун в момент, коли шнур становить допомогою ключового кут α ?

Відповідь і рішення

u = v/ cos α.

За дуже малий проміжок часу Δt повзун переміщається на відстань AB = Δl.

Шнур за цей же проміжок часу вибирають на довжину AC = Δlcos α (Кут ∠ ACB можна вважати прямим, оскільки кут Δα дуже малий). Тому можна записати: Δl/u = Δlcos α /v, звідки u = v/ cos α , Що означає, що швидкість вибирання мотузки дорівнює проекції швидкості повзуна на напрям мотузки.

Робітники, що піднімають вантаж,

тягнуть канати з однаковою швидкістю v. яку швидкість u має вантаж в той момент, коли кут між канатами, до яких він прикріплений, дорівнює 2 α ?

Відповідь і рішення

u = v/ cos α.

Проекція швидкості вантажу u на напрям мотузки дорівнює швидкості мотузки v (Див. Задачу 15), т. Е.

ucos α = v,

u = v/ cos α.

стрижень довжиною l \u003d 1 м шарнірно з'єднаний з муфтами A і B, Які переміщаються по двох взаємно перпендикулярним рейках.

муфта A рухається з постійною швидкістю v A \u003d 30 см / с. знайти швидкість v B муфти B в момент, коли кут OAB \u003d 60 °. Прийнявши за початок відліку часу момент, коли муфта A перебувала в точці O, Визначити відстань OB і швидкість муфти B в функції часу.

Відповідь і рішення

v B \u003d v A ctg α \u003d 17,3 см / с; , .

У будь-який момент часу проекції швидкостей v A і v B-решт стрижня

на вісь стрижня рівні між собою, так як інакше стрижень мав би зменшуватися або збільшуватися. Значить, можна записати: v Acos α = v Bsin α . Звідки v B = v Actg α .

У будь-який момент часу для трикутника OAB справедлива теорема Піфагора: l 2 = OA 2 (t) + OB 2 (t). знайдемо звідси OB(t):. оскільки OA(t) = v A t, Тоді остаточно запишемо вираз для OB(t) Так:.

оскільки ctg α в будь-який момент часу дорівнює OA(t)/ OB(t), То можна записати вираз для залежності v B від часу: .

Танк рухається зі швидкістю 72 км / ч. З якою швидкістю рухаються щодо Землі: а) верхня частина гусениці; б) нижня частина гусениці; в) точка гусениці, яка в наразі рухається вертикально по відношенню до танку?

Відповідь і рішення

а) 40 м / с; б) 0 м / с; в) ≈28,2 м / с.

нехай v - швидкість швидкість танка щодо Землі. Тоді швидкість будь-якої точки гусениці щодо танка також дорівнює v. Швидкість будь-якої точки гусениці відносно Землі є сума векторів швидкості танка відносно Землі і швидкості точки гусениці щодо танка. Тоді для випадку а) швидкість буде дорівнює 2 v, Для б) 0, а для в) v.

1. Автомобіль проїхав першу половину шляху зі швидкістю v 1 \u003d 40 км / год, другу - зі швидкістю v 2 \u003d 60 км / год. знайти середню швидкість на всьому пройденому шляху.

2. Автомобіль проїхав половину шляху зі швидкістю v 1 \u003d 60 км / год, решту шляху він половину часу йшов зі швидкістю v 2 \u003d 15 км / год, а останню ділянку - зі швидкістю v 3 \u003d 45 км / год. Знайти середню швидкість автомобіля на всьому шляху.

Відповідь і рішення

1. v ср \u003d 48 км / год; 2. v ср \u003d 40 км / год.

1. Нехай s - весь шлях, t - час, витрачений на подолання всього шляху. Тоді середня швидкість на всьому шляху дорівнює s/t. час t складається з суми проміжків часу, витрачених на подолання 1-й і 2-й половин шляху:

Підставивши цей час в вираз для середньої швидкості, отримаємо:

.(1)

2. Виконання цього завдання можна звести до вирішення (1.), якщо спочатку визначити середню швидкість на другій половині шляху. Позначимо цю швидкість v СР2, тоді можна записати:

де t 2 - час, витрачений на подолання 2-й половини шляху. Шлях, пройдений за цей час, складається з шляху, пройденого зі швидкістю v 2, і шляху, пройденого зі швидкістю v 3:

Підставивши це в вираз для v СР2, отримаємо:

.

.

Поїзд першу половину шляху йшов зі швидкістю в n\u003d 1,5 рази більшою, ніж другу половину шляху. Середня швидкість поїзда на всьому шляху v cp \u003d 43,2 км / год. Які швидкості поїзда на першій ( v 1) і другий ( v 2) половинах шляху?

Відповідь і рішення

v 1 \u003d 54 км / год, v 2 \u003d 36 км / год.

нехай t 1 і t 2 - час проходження поїздом відповідно першої і другої половин шляху, s - весь шлях, пройдений поїздом.

Складемо систему рівнянь - перше рівняння являє собою вираз для першої половини шляху, друге - для другої половини шляху, а третє - для всього шляху, пройденого поїздом:

зробивши підстановку v 1 =nv 2 і вирішивши вийшла систему рівнянь, отримаємо v 2 .

Два кульки почали одночасно і з однаковою швидкістю рухатися по поверхнях, що мають форму, зображену на малюнку.

Як будуть відрізнятися швидкості і часи руху кульок до моменту їх прибуття в точку B? Тертям знехтувати.

Відповідь і рішення

Швидкості будуть однакові. Час руху першого кульки буде більше.

На малюнку зображено приблизні графіки руху кульок.

Оскільки шляху, пройдені кульками, рівні, то площі заштрихованих фігур є рівними (площа заштрихованої фігури чисельно дорівнює пройденому шляху), тому, як видно з малюнка, t 1 >t 2 .

Літак летить з пункту A в пункт B і повертається назад в пункт A. Швидкість літака в безвітряну погоду дорівнює v. Знайти відношення середніх швидкостей за все перельоту для двох випадків, коли під час перельоту вітер дме: а) уздовж лінії AB; б) перпендикулярно лінії AB. Швидкість вітру дорівнює u.

Відповідь і рішення

Час польоту літака з пункту A в пункт B і назад у разі, коли вітер дме уздовж лінії AB:

.

Тоді середня швидкість в цьому випадку:

.

У разі, якщо вітер дме перпендикулярно лінії AB, Вектор швидкості літака повинен бути спрямований під кутом до лінії AB так, щоб компенсувати вплив вітру:

Час польоту «туди-назад» в цьому випадку складе:

Швидкості польоту літака в пункт B і назад однакові і рівні:

.

Тепер можна знайти відношення середніх швидкостей, отриманих для розглянутих випадків:

.

Відстань між двома станціями s \u003d 3 км поїзд метро проходить з середньою швидкістю v ср \u003d 54 км / год. При цьому на розгін він витрачає час t 1 \u003d 20 с, потім йде рівномірно деякий час t 2 і на уповільнення до повної зупинки витрачає час t 3 \u003d 10 с. Побудувати графік швидкості руху поїзда і визначити найбільшу швидкість поїзда v макс.

Відповідь і рішення

На малюнку зображений графік швидкості руху поїзда.

Пройдений поїздом шлях чисельно дорівнює площі фігури, обмеженої графіком і віссю часу t, Тому можна записати систему рівнянь:

З першого рівняння висловлюємо t 2:

тоді з другого рівняння системи знайдемо v макс:

.

Від потяга відчіплюють останній вагон. Поїзд продовжує рухатися з тією ж швидкістю v 0. Як будуть ставитися шляху, пройдені поїздом і вагоном до моменту зупинки вагона? Вважати, що вагон рухався равнозамедленно. Вирішити задачу також графічно.

відповідь

У момент, коли скресла поїзд, який проводжає почав рівномірно бігти по ходу поїзда зі швидкістю v 0 \u003d 3,5 м / с. Беручи рух поїзда рівноприскореному, визначити швидкість поїзда v в той момент, коли супроводжуваний порівняється з проводжав.

відповідь

v\u003d 7 м / с.

Графік залежності швидкості деякого тіла від часу зображений на малюнку.

Накреслити графіки залежності прискорення і координати тіла, а також пройденого ним шляху від часу.

відповідь

Графіки залежності прискорення, координати тіла, а також пройденого ним шляху від часу зображені на малюнку.

Графік залежності прискорення тіла від часу має форму, зображену на малюнку.

Накреслити графіки залежності швидкості, зміщення і шляху, пройденого тілом, від часу. Початкова швидкість тіла дорівнює нулю (на ділянці розриву прискорення дорівнює нулю).

Тіло починає рухатися з точки A зі швидкістю v 0 і через деякий час потрапляє в точку B.

Який шлях пройшло тіло, якщо воно рухалося равноускоренно з прискоренням, чисельно рівним a? Відстань між точками A і B одно l. Знайти середню швидкість тіла.

На малюнку дано графік залежності координати тіла від часу.

після моменту t=t 1 крива графіка - парабола. Що за рух зображено на цьому графіку? Побудувати графік залежності швидкості тіла від часу.

Рішення

На ділянці від 0 до t 1: рівномірний рух зі швидкістю v 1 \u003d tg α ;

на ділянці від t 1 до t 2: равнозамедленно рух;

на ділянці від t 2 до t 3: рівноприскореного руху в протилежну сторону.

На малюнку зображений графік залежності швидкості тіла від часу.

На малюнку дано графіки швидкостей для двох точок, що рухаються по одній прямій від одного і того ж початкового положення.

Відомі моменти часу t 1 і t 2. В який момент часу t 3 точки зустрінуться? Побудувати графіки руху.

За яку секунду від початку руху шлях, пройдений тілом в рівноприскореному русі, втричі більше шляху, пройденого в попередню секунду, якщо рух відбувається без початкової швидкості?

Відповідь і рішення

За другу секунду.

Найпростіше це завдання вирішити графічно. Оскільки пройдений тілом шлях чисельно дорівнює площі фігури під лінією графіка швидкості, то з малюнка очевидно, що шлях, пройдений за другу секунду (площать під відповідним ділянкою графіка дорівнює площі трьох трикутників), в 3 рази більше шляху, пройденого на першу секунду (площа дорівнює площі одного трикутника).

Вагонетка повинна перевезти вантаж в найкоротший термін з одного місця на інше, що знаходиться на відстані L. Вона може прискорювати або сповільнювати свій рух тільки з однаковим за величиною і постійним прискоренням a, Переходячи потім в рівномірний рух або зупиняючись. Який максимальної швидкості v повинна досягти вагонетка, щоб виконати вказане вище вимога?

Відповідь і рішення

Очевидно, що вагонетка перевезе вантаж за мінімальний час, якщо вона буде першу половину шляху рухатися з прискоренням + a, А половину, що залишилася з прискоренням - a.

Тоді можна записати наступні вирази: L = ½· vt 1 ; v = ½· at 1 ,

звідки знаходимо максимальну швидкість:

Реактивний літак летить зі швидкістю v 0 \u003d 720 км / ч. З певного моменту літак рухається з прискоренням протягом t\u003d 10 с і в останню секунду проходить шлях s\u003d 295 м. Визначити прискорення a і кінцеву швидкість v літака.

Відповідь і рішення

a\u003d 10 м / с 2, v\u003d 300 м / с.

Зобразимо графік швидкості літака на малюнку.

Швидкість літака в момент часу t 1 дорівнює v 1 = v 0 + a(t 1 - t 0). Тоді шлях, пройдений літаком за час від t 1 до t 2 дорівнює s = v 1 (t 2 - t 1) + a(t 2 - t 1) / 2. Звідси можна висловити шукану величину прискорення a і, підставивши значення з умови задачі ( t 1 - t 0 \u003d 9 с; t 2 - t 1 \u003d 1 с; v 0 \u003d 200 м / с; s \u003d 295 м), отримаємо прискорення a \u003d 10 м / с 2. Кінцева швидкість літака v = v 2 = v 0 + a(t 2 - t 0) \u003d 300 м / с.

Перший вагон поїзда пройшов повз спостерігача, що стоїть на платформі, за t 1 \u003d 1 с, а другий - за t 2 \u003d 1,5 с. довжина вагона l\u003d 12 м. Знайти прискорення a поїзди і його швидкість v 0 на початку спостереження. Рух поїзда вважати равнопеременное.

Відповідь і рішення

a\u003d 3,2 м / с 2, v 0 ≈13,6 м / с.

Шлях, пройдений поїздом до моменту часу t 1 дорівнює:

а шлях до моменту часу t 1 + t 2:

.

З першого рівняння знайдемо v 0:

.

Підставивши отриманий вираз у друге рівняння, отримаємо прискорення a:

.

Шарик, пущений вгору по похилій площині, проходить послідовно два рівних відрізка довжиною l кожен і продовжує рухатися далі. Перший відрізок кулька пройшов за t секунд, другий - за 3 t секунд. знайти швидкість v кульки в кінці першого відрізка шляху.

Відповідь і рішення

Оскільки розглядається рух кульки можна зупинити, доцільно вибрати початком відліку загальну точку двох відрізків. При цьому прискорення при русі на першому відрізку буде позитивним, а при русі на другому відрізку - негативним. Початкова швидкість в обох випадках дорівнює v. Тепер запишемо систему рівнянь руху для шляхів, пройдених кулькою:

виключивши прискорення a, Отримаємо шукану швидкість v:

Дошка, розділена на п'ять рівних відрізків, починає ковзати по похилій площині. Перший відрізок пройшов повз позначки, зробленої на похилій площині в тому місці, де знаходився передній край дошки на початку руху, за τ \u003d 2 с. за якийсь час пройде повз цієї позначки останній відрізок дошки? Рух дошки вважати рівноприскореному.

Відповідь і рішення

τ п \u003d 0,48 с.

Знайдемо довжину першого відрізка:

Тепер запишемо рівняння руху для точок початку (момент часу t 1) і кінця (момент часу t 2) п'ятого відрізка:

Виконавши підстановку знайденої вище довжини першого відрізка замість l і знайшовши різницю ( t 2 - t 1), отримаємо відповідь.

Куля, що летить зі швидкістю 400 м / с, вдаряє в земляний вал і проникає в нього на глибину 36 см. Скільки часу рухалася вона всередині валу? З яким прискоренням? Яка була її швидкість на глибині 18 см? На якій глибині швидкість кулі зменшилася в три рази? Рух вважати равнопеременное. Чому буде дорівнювати швидкість кулі до моменту, коли куля пройде 99% свого шляху?

Відповідь і рішення

t \u003d 1,8 · 10 -3 с; a ≈ 2,21 × 10 5 м / с 2; v ≈ 282 м / с; s \u003d 32 см; v 1 \u003d 40 м / с.

Час руху кулі усередині вала знайдемо з формули h = vt/ 2, де h - повна глибина занурення кулі, звідки t = 2h/v. прискорення a = v/t.

По похилій дошці пустили котитися від низу до верху кульку. На відстані l \u003d 30 см від початку шляху кулька побував двічі: через t 1 \u003d 1 с і через t 2 \u003d 2 с після початку руху. Визначити початкову швидкість v 0 і прискорення a руху кульки, вважаючи його постійним.

Відповідь і рішення

v 0 \u003d 0,45 м / с; a \u003d 0,3 м / с 2.

Залежність швидкості кульки від часу виражається формулою v = v 0 - at. У момент часу t = t 1 і t = t 2 кулька мав однакові за величиною і протилежні по напрямку швидкості: v 1 = - v 2. але v 1 = v 0 - at 1 і v 2 = v 0 - at 2, тому

v 0 - at 1 = - v 0 + at 2, або 2 v 0 = a(t 1 + t 2).

Оскільки кулька рухається рівноприскореному, то відстань l можна виразити таким чином:

Тепер можна скласти систему з двох рівнянь:

,

вирішивши яку, отримаємо:

Тіло падає з висоти 100 м без початкової швидкості. За якийсь час тіло проходить перший і останній метри свого шляху? Який шлях проходить тіло за першу, за останню секунду свого руху?

відповідь

t 1 ≈ 0,45 с; t 2 ≈ 0,023 с; s 1 ≈ 4,9 м; s 2 ≈ 40 м.

Визначити час відкритого положення фотографічного затвора τ , Якщо при фотографуванні кульки, падаючого уздовж вертикальної сантиметрової шкали від нуля без початкової швидкості, на негативі була отримана смужка, що тягнеться від n 1 до n 2 поділок шкали?

відповідь

.

Вільно падаюче тіло пройшло останні 30 м за час 0,5 с. Знайти висоту падіння.

відповідь

Вільно падаюче тіло за останню секунду падіння пройшло 1/3 свого шляху. Знайти час падіння і висоту, з якої впало тіло.

відповідь

t ≈ 5,45 с; h ≈ 145 м.

З якою початковою швидкістю v 0 треба кинути вниз м'яч з висоти h, Щоб він підстрибнув на висоту 2 h? Тертям об повітря і іншими втратами механічної енергії знехтувати.

відповідь

З яким проміжком часу відірвалися від карниза даху дві краплі, якщо через дві секунди після початку падіння другий краплі відстань між краплями було 25 м? Тертям об повітря знехтувати.

відповідь

τ ≈ 1 с.

Тіло кидають вертикально вгору. Спостерігач зауважує проміжок часу t 0 між двома моментами, коли тіло проходить точку B, Що знаходиться на висоті h. Знайти початкову швидкість кидання v 0 і час всього руху тіла t.

відповідь

; .

з точок A і B, Розташованих по вертикалі (точка A вище) на відстані l \u003d 100 м один від одного, кидають одночасно два тіла з однаковою швидкістю 10 м / с: з A - вертикально вниз, з B - вертикально вгору. Через скільки часу і в якому місці вони зустрінуться?

відповідь

t \u003d 5 с; на 75 м нижче точки B.

Тіло кинуто вертикально вгору з початковою швидкістю v 0. Коли воно досягло найвищої точки шляху, з того ж початкового пункту з тією ж швидкістю v 0 кинуто друге тіло. На якій висоті h від початкового пункту вони зустрінуться?

відповідь

Два тіла кинуті вертикально вгору з однієї і тієї ж точки з однаковою початковою швидкістю v 0 \u003d 19,6 м / с з проміжком часу τ \u003d 0,5 с. Через який час t після кидання другого тіла і на якій висоті h зустрінуться тіла?

відповідь

t \u003d 1,75 с; h ≈ 19,3 м.

Аеростат піднімається з Землі вертикально вгору з прискоренням a \u003d 2 м / с 2. через τ \u003d 5 с від початку його руху з нього випав предмет. Через скільки часу t цей предмет впаде на Землю?

відповідь

t ≈ 3,4 с.

З аеростата, що опускається зі швидкістю u, Кидають вгору тіло зі швидкістю v 0 відносно Землі. Яке буде відстань l між аеростатом і тілом до моменту найвищого підйому тіла відносно Землі? Яке найбільшу відстань l макс між тілом і аеростатом? Через який час τ від моменту кидання тіло порівняється з аеростатом?

відповідь

l = v 0 2 + 2uv 0 /(2g);

l макс \u003d ( u + v 0) 2 /(2g);

τ = 2(v 0 + u)/g.

Тіло, що перебуває в точці B на висоті H \u003d 45 м від Землі, починає вільно падати. Одночасно з точки A, Розташованої на відстані h \u003d 21 м нижче точки B, Кидають інше тіло вертикально вгору. Визначити початкову швидкість v 0 другого тіла, якщо відомо, що обидва тіла впадуть на Землю одночасно. Опором повітря знехтувати. прийняти g \u003d 10 м / с 2.

відповідь

v 0 \u003d 7 м / с.

Тіло вільно падає з висоти h. У той же момент інше тіло кинуто з висоти H (H > h) Вертикально вниз. Обидва тіла впали на землю одночасно. Визначити початкову швидкість v 0 другого тіла. Перевірити правильність рішення на чисельному прикладі: h \u003d 10 м, H \u003d 20 м. Прийняти g \u003d 10 м / с 2.

відповідь

v 0 ≈ 7 м / с.

Камінь кидають горизонтально з вершини гори, що має ухил α. З якою швидкістю v 0 повинен бути кинутий камінь, щоб він впав на гору на відстані L від вершини?

відповідь

Двоє грають в м'яч, кидаючи його один одному. Який найбільшої висоти досягає м'яч під час гри, якщо він від одного гравця до іншого летить 2 с?

відповідь

h \u003d 4,9 м.

Літак летить на постійній висоті h по прямій з швидкістю v. Льотчик повинен скинути бомбу в ціль, що лежить попереду літака. Під яким кутом до вертикалі він повинен бачити мету в момент скидання бомби? Яке в цей момент відстань від мети до точки, над якою знаходиться літак? Опір повітря руху бомби не враховувати.

відповідь

; .

Два тіла падають з однієї і тієї ж висоти. На шляху одного тіла знаходиться розташована під кутом 45 ° до горизонту майданчик, від якої це тіло пружно відбивається. Як розрізняються часи і швидкості падіння цих тіл?

відповідь

Час падіння тіла, на шляху якого знаходився майданчик, більше, оскільки вектор набраної до моменту сооударенія швидкості змінив свій напрямок на горизонтальне (при пружному зіткненні змінюється напрямок швидкості, але не його величина), значить вертикальна складова вектора швидкості стала дорівнює нулю, в той час як у іншого тіла вектор швидкості не змінювався.

Швидкості падіння тіл рівні до моменту зіткнення одного з тіл з майданчиком.

Ліфт піднімається з прискоренням 2 м / с 2. У той момент, коли його швидкість стала дорівнює 2,4 м / с, зі стелі ліфта почав падати болт. Висота ліфта 2,47 м. Обчислити час падіння болта і відстань, пройдену болтом щодо шахти.

відповідь

0,64 с; 0,52 м.

На деякій висоті одночасно з однієї точки кинуті два тіла під кутом 45 ° до вертикалі зі швидкістю 20 м / с: одне вниз, інше вгору. Визначити різницю висот Δh, На яких будуть тіла через 2 с. Як рухаються ці тіла один щодо одного?

відповідь

Δ h ≈ 56,4 м; тіла віддаляються один від одного з постійною швидкістю.

Довести, що при вільний рух тіл поблизу поверхні Землі їх відносна швидкість постійна.

з точки A вільно падає тіло. Одночасно з точки B під кутом α до горизонту кидають інше тіло так, щоб обидва тіла зіткнулися в повітрі.

Показати, що кут α не залежить від початкової швидкості v 0 тіла, кинутого з точки B, І визначити цей кут, якщо. Опором повітря знехтувати.

відповідь

α \u003d 60 °.

Тіло кинуто під кутом α до горизонту зі швидкістю v 0. визначити швидкість v цього тіла на висоті h над горизонтом. Чи залежить ця швидкість від кута кидання? Опір повітря не враховувати.

Під кутом α \u003d 60 ° до горизонту кинуто тіло з початковою швидкістю v\u003d 20 м / с. Через скільки часу t воно буде рухатися під кутом β \u003d 45 ° до горизонту? Тертя відсутня.

З трьох труб, розташованих на землі, з однаковою швидкістю б'ють струмені води: під кутом 60, 45 і 30 ° до горизонту. Знайти відносини найбільших висот h підйому струменів води, що випливають з кожної труби, і діяльностей падіння l води на землю. Опір повітря руху водяних струменів не враховувати.

З точки, що лежить на верхньому кінці вертикального діаметра d деякої окружності, по жолобах, встановленим вздовж різних хорд цієї окружності, одночасно починають ковзати без тертя вантажі.

Визначити, через який проміжок часу t вантажі досягнутий окружності. Як цей час залежить від кута нахилу хорди до вертикалі?

Початкова швидкість кинутого каменя v 0 \u003d 10 м / с, а по тому t\u003d 0,5 с швидкість каменю v\u003d 7 м / с. На яку максимальну висоту над початковим рівнем підніметься камінь?

відповідь

H макс ≈ 2,8 м.

На деякій висоті одночасно з однієї точки з однаковими швидкостями викидаються по всіляких напрямках кульки. Що буде являти собою геометричне місце точок знаходження кульок в будь-який момент часу? Опором повітря знехтувати.

відповідь

Геометричним місцем точок знаходження кульок в будь-який момент часу буде сфера, радіус якої v 0 t, А її центр розташований нижче початкової точки на величину gt 2 /2.

Мета, яка перебуває на пагорбі, видно з місця розташування знаряддя під кутом α до горизонту. Дистанція (відстань по горизонталі від знаряддя до мети) дорівнює L. Стрільба по цілі проводиться при куті піднесення β .

Визначити початкову швидкість v 0 снаряда, що потрапляє в ціль. Опір повітря не враховувати. При якому куті піднесення β 0 дальність стрільби вздовж схилу буде максимальною?

Відповідь і рішення

, .

Виберемо систему координат xOy таким чином, щоб точка відліку збіглася зі зброєю. Тепер запишемо кінематичні рівняння руху снаряда:

замінивши x і y на координати цілі ( x = L, y = Ltgα) і виключивши t, Отримаємо:

дальність l польоту снаряда вздовж схилу l = L/ cos α . Тому формулу, яку ми отримали, можна переписати так:

,

цей вислів максимально при максимальному значенні твори

Тому l максимально при максимальному значенні \u003d 1 або

при α \u003d 0 ми отримуємо відповідь β 0 = π / 4 \u003d 45 °.

пружне тіло падає з висоти h на похилу площину. Визначити, через скільки часу t після відображення тіло впаде на похилу площину. Як час залежить від кута похилій площині?

відповідь

Від кута похилій площині не залежить.

З висоти H на похилу площину, яка утворює з горизонтом кут α \u003d 45 °, вільно падає м'яч і пружно відбивається з тією ж швидкістю. Знайти відстань від місця першого удару до другого, потім від другого до третього і т. Д. Вирішити завдання в загалом вигляді (Для будь-якого кута α ).

відповідь

; s 1 = 8Hsin α ; s 1:s 2:s 3 = 1:2:3.

Відстань до гори визначають за часом між пострілом і його луною. Яка може бути похибка τ у визначенні моментів пострілу і приходу луни, якщо відстань до гори не менше 1 км, а його потрібно визначити з точністю 3%? Швидкість звуку в повітрі c\u003d 330 м / с.

відповідь

τ ≤ 0,09 с.

Глибину колодязя хочуть виміряти з точністю 5%, кидаючи камінь і помічаючи час τ , Через яке буде чути сплеск. Починаючи з яких значень τ необхідно враховувати час проходження звуку? Швидкість звуку в повітрі c\u003d 330 м / с.

відповідь

Більшість завдань на рух тіл з постійним прискоренням вирішується в основному так само, як і завдання на рівномірний прямолінійний рух (Див. § 1.9). Однак замість одного рівняння залежності координати від часу тепер буде два: для координати і для проекції швидкості залежно від часу:
2 "
X \u003d Xq + v0xt +

2? завдання 1
Ковзаняр, розігнавшись до швидкості v0 \u003d 6 м / с, почав ковзати равнозамедленно. Через деякий час t \u003d 30 с модуль швидкості ковзанярі, що рухається прямолінійно, став дорівнює v \u003d 3 м / с. Знайдіть прискорення ковзанярі, вважаючи його постійним.
Рішення. Сумісний вісь X з траєкторією ковзанярі. За позитивний напрямок осі виберемо напрямок вектора початкової швидкості v0 (рис. 1.66). Так як ковзаняр рухається з по-
стоячи прискоренням, то vx \u003d v0x + axt. Звідси ах \u003d, де
vx \u003d v і vQx \u003d v0, так як вектори 50 і v мають таке ж направле-
v - v0
ніє, що і вісь X. Отже, ах \u003d ---, ах \u003d -0,1 м / с2 і
а \u003d 0,1 м / с2. Знак «мінус» вказує, що прискорення направлено протилежно осі X.
завдання 2
Бруска на гладкій похилій площині повідомили початкову швидкість v0 \u003d 0,4 м / с, спрямовану вгору. Брусок рухається прямолінійно з постійним прискоренням, модуль якого а \u003d 0,2 м / с2. Знайдіть швидкості бруска в моменти часу, що дорівнюють 1, 2, 3 з від початку руху. Визначте положення бруска в ці моменти часу щодо тієї точки, де брусок мав швидкість і0. Чому дорівнює шлях, пройдений бруском за 3 с?
Рішення. Прискорення бруска направлено вниз вздовж площині як при його підйомі, так і при спуску.

97
4-Мякішев, 10 кл.
сумісний координатну вісь з траєкторією руху. За позитивний напрямок осі X приймемо напрямок вектора початкової швидкості і0. Початок координат виберемо в тій точці траєкторії, де брусок мав швидкість v0 (рис. 1.67).? Брусок рухається з постійним прискоренням, тому vx \u003d vQx + axt. Так як v0x \u003d vQ, ах \u003d -а, то їх \u003d v0 - at. Ця формула справедлива для будь-якого моменту часу.
Знайдемо проекції і модулі швидкостей в зазначені моменти часу:
vlx \u003d v0 - atl \u003d 0,2 м / с, vx \u003d | uljt | \u003d 0,2 м / с;
v2x \u003d v0- at2 \u003d 0, v2 \u003d 0;
v3x \u003d v0 - at3 \u003d -0,2 м / с, v3 \u003d | u3J \u003d 0,2 м / с.
Так як vlx\u003e 0, то швидкість направлена \u200b\u200bв ту ж сторону, що і вісь X. Знак «мінус» у проекції v3x вказує на те, що швидкість v3 спрямована в бік, протилежний осі X. Так і повинно бути, адже після зупинки ( v2 \u003d 0) брусок почне ковзати вниз по площині.
Знайдемо положення бруска для заданих моментів часу:
.2
at \\ _. 0,2 м _ 0 х1 \u003d v0t1 - \u003d 0,4 м - - \u003d 0,3 м,
.2 at2
х2 \u003d v0t2 - -g- \u003d 0,8 м - 0,4 м \u003d 0,4 м,
.2 at3
х3 \u003d v0t3 - -g- \u003d 1,2 м - 0,9 м \u003d 0,3 м.
Зверніть увагу на те, що в точці В з координатою 0,3 м (лг1 \u003d лг3) (див. Рис. 1.67) тіло було двічі (при підйомі і спуску). У ці ж моменти часу тіло мало швидкості, рівні по модулю (L\u003e 1 \u003d L\u003e 3), але протилежні за напрямком: v1 - -v3.
У точці А з координатою х2 (див. Рис. 1.67) швидкість v2 \u003d 0. Тут відбулася зміна напрямку швидкості. У момент часу t3 \u003d 3 з брусок знаходився в точці Б з координатою х3. Отже, пройдений бруском шлях
s - OA + АВ \u003d 2Х2 - х3 \u003d 0,5 м.
завдання 3
На малюнку 1.68, а зображено графік залежності проекції швидкості точки від часу. Побудуйте графік залежності координати від часу, якщо початкова координата І, \u003d 5 м, побудуйте графік залежності шляху від часу.
Рішення. Спочатку побудуємо графік залежності координати від часу. Перші 2 з точка рухалася равнозамедленно протилежно осі X (vlx У наступні 2 з рух було рівноприскореному в тому ж напрямку, що і спочатку (v2x
Ю t, з
Від 4 до 6 з точка знову рухалася равнозамедленно в колишньому напрямі, тому х3 \u003d х2 + Лх3 \u003d -1 м - 3 м \u003d -4 м. Графік - парабола Сгде Dl - її вершина.

8 Ю t, з
Від 6 до 8 з точка рухалася равноускоренно в позитивному напрямку осі X (v4x\u003e 0). Графік - парабола DXEj. До кінця 8-ї секунди координата Ї4 \u003d -4М + ЗМ \u003d -1 М. Далі точка рухалася равнозамедленно в тому ж напрямку (v5x\u003e 0): \u003d -1 м + 3 м \u003d 2 м. Графік - парабола E1FV? 1. При побудові графіка шляху необхідно врахувати, що шлях - невід'ємна величина і не може зменшуватися в
процесі руху.
Графік складається з відрізків парабол А2В2, В2С2, C2D2, D2E2, E2F2 (рис. 1.68, в).
Вправа 3
Невеликому кубику на гладкій похилій площині повідомили початкову швидкість і0 \u003d 8 м / с, спрямовану вгору. Кубик рухається прямолінійно з постійним прискоренням, модуль якого а \u003d 2 м / с2. Знайдіть положення кубика щодо тієї точки площині, де кубику повідомлена швидкість v0, в моменти часу 2, 4, 6 з від початку руху, а також швидкість кубика в ті ж моменти часу. Чому дорівнює шлях, пройдений кубиком за 5 с?
Два велосипедиста їдуть назустріч один одному. Один з них з початковою швидкістю 18 км / год піднімається в гору равнозамедленно з постійним прискоренням, модуль якого 20 см / с2. Інший велосипедист з початковою швидкістю 5,4 км / год спускається з гори з таким же по модулю прискоренням. Через якийсь час вони зустрінуться? На якій відстані від підніжжя гори відбудеться зустріч і який шлях пройде кожен з них до цього моменту? Відстань між велосипедистами в початковий момент часу було 195 м.
На малюнку 1.69 зображені графіки I, II і III проекцій швидкості трьох тіл, що рухаються прямолінійно. Охарактеризуйте особливості руху тіл. Чому відповідає точка А перетину графіків? Знайдіть модулі прискорень тел. Запишіть формули для обчислення проекцій швидкості кожного тіла.
Відстань 20 км між двома станціями потяг проходить зі швидкістю, середній модуль якої дорівнює 72 км / год, причому на розгін він витрачає 2 хв, а потім йде з постійною швидкістю. На гальмування до повної зупинки потяг витрачає 3 хв. Визначте модуль максимальної швидкості поїзда.
Санки, що скачуються з гори, в перші 3 з проходять 2 м, а в наступні 3 с - 4 м. Вважаючи рух рівноприскореним, знайдіть модуль прискорення і модуль початкової швидкості санок.
Тіло, що рухається рівноприскореному з початковою швидкістю 1 м / с, набуває, пройшовши деяку відстань, швидкість 7 м / с. Яка була швидкість тіла на середині цієї відстані? Vx, м / с
vx\u003e м / с з
-4"

Мал. 1.70
4
Про
Мал. 1.69
t, з За прямої починає рухатися точка з постійним прискоренням. Через деякий час t1 після початку її руху напрямок прискорення точки змінюється на протилежне, залишаючись незмінним по модулю. Визначте, через який час t2 після початку руху
"Точка повернеться в початкове положення.
Вагонетка повинна перевезти вантаж в найкоротший термін з одного місця на інше, віддалене від першого на відстань L. Вона може збільшувати або зменшувати свою швидкість тільки з однаковим по модулю прискоренням, рівним а. Крім того, вона може рухатися з постійною швидкістю. Який найбільшою за модулем швидкості повинна досягти вагонетка, щоб було виконано вказане вище умова?
На малюнку 1.70 наведено графік залежності проекції швидкості точки, що рухається прямолінійно, від часу. Побудуйте графік залежності координати від часу, якщо \u003d 4,5 м. Побудуйте графік залежності шляху від часу.

1. Тіло рухається з постійним прискоренням і нульовою початковою швидкістю. Показати графічно, що шляхи, прохідні тілом за послідовні рівні проміжки часу, відносяться як послідовні непарні числа.

Рішення . При рівноприскореному русі тіла з нульовою початковою швидкістю його швидкість з плином часу tзмінюється за законом

де a- прискорення.

Побудуємо графік швидкості (див. Рис.) І відзначимо на осі tрівні проміжки ОА 1 =А 1 А 2 =А 2 А 3 =А 3 А 4 \u003d ...; з точок А 1 ,А 2, ... проведемо пунктиром вертикальні прямі до перетину з графіком швидкості в точках В 1 ,В 2 ,В 3, .... Тоді шлях, пройдений за перший проміжок, чисельно дорівнює площі трикутника ОА 1 В 1; шляху, пройдені за наступні проміжки, рівні площам відповідних трапецій. З графіка видно, що площа першої трапеції А 1 А 2 В 2 В 1 становить три площі трикутника ОА 1 В 1; площа наступної трапеції А 2 А 3 В 3 В 2 дорівнює п'яти площах трикутника ОА 1 В 1 і т.д. Отже, ставлення шляхів, прохідних тілом за послідовні рівні проміжки часу одно:

S 1:S 2:S 3: …: S n = 1:3:5: …: (2n – 1).

2. За п'яту секунду равноускоренного руху з нульовою початковою швидкістю тіло проходить шлях S 2 \u003d 36 м. Який шлях S 1 проходить тіло за першу секунду цього руху?

Рішення . З рішення попередньої задачі випливає, що

S 1:S 5 = 1:9.

отже,

4 м.

3. Вільно падаюче тіло за останню секунду падіння пройшло 1/3 свого шляху. Знайти час падіння t і висоту h, З якої впало тіло.

Рішення . Із законів руху тіла з постійним прискоренням і нульовою початковою швидкістю отримаємо наступні рівняння:

Тут  \u003d 1 с. Вирішуючи отриману систему рівнянь, знайдемо:

За умовою завдання t\u003e 1. Цій умові задовольняє корінь
5,4 с. Далі отримаємо:

4. Повітряна куля піднімається з поверхні Землі вертикально вгору з прискоренням a \u003d2 м / с 2. Через \u003d 10 с після початку руху від кошика кулі відірвався предмет. На яку максимальну висоту h m підніметься цей предмет? Через який час t 1 і з якою швидкістю v 1 він впаде на Землю?

Р ешеніем . Предмет відірвався від кошика повітряної кулі на висоті
маючи швидкість v 0 \u003d а, спрямовану вертикально вгору. Виберемо систему відліку - вісь ОХ, Спрямовану вертикально вгору, і зобразимо на рисунку положення предмета в момент відриву від кошика. Максимальна висота дорівнює

h m =h 0 +S m ,

де
- шлях, пройдений предметом за час після відриву до підйому на максимальну висоту, тобто

Далі очевидно, що після відриву предмет рухається вгору протягом часу
до зупинки в найвищій точці, після чого він вільно падає з висоти h m ; при цьому час його падіння tнайдем зі співвідношення
тобто

отже,

Швидкість предмета, який упав на Землю, визначимо із співвідношення

5. З яким проміжком часу відірвалися від карниза даху дві краплі води, якщо через дві секунди після початку падіння другий краплі відстань між ними було S\u003d 25 м?

Рішення . Нехай  - проміжок часу між відривом першої і другої крапель, t \u003d 2 з - час з моменту відриву другий краплі. Тоді до моменту відриву другий краплі перша крапля пройшла шлях S 0 = g 2/2 і мала швидкість v 0 \u003d g. Далі очевидно, що відстань між краплями одно

де
- шлях, пройдений першою краплею за час t,
- шлях, пройдений другий краплею за цей же час.

отже,

Вирішуючи отримане рівняння і врахувавши, що \u003e 0, знайдемо:

6. По похилій дошці пустили котитися від низу до верху кульку. На відстані l\u003d 30 см від початку кидка кулька побував двічі: через t 1 \u003d 1 с і через t 2 \u003d 2 с після початку руху. Визначити початкову швидкість v 0 і прискорення aкульки, вважаючи його постійним.

Рішення . Запишемо закон руху кульки, вибравши вісь OX, Спрямовану вздовж руху кульки:

Перепишемо це рівняння так:

при x=lце рівняння має коріння t 1 і t 2 .

Тому за теоремою Віетті

Вирішуючи цю систему, знайдемо:

\u003d 30 см / с 2,

\u003d 45 см / с.

зауваження . Дану задачу можна вирішити інакше, а саме: скориставшись законом руху
записати два рівняння x(t 1) =lі x(t 2) =l, А потім вирішувати отриману систему рівнянь з двома невідомими v 0 і a.