3 закону збереження імпульсу і енергії. Московський державний університет друку
Енергія і імпульс є найважливішими поняттями фізики. Виявляється, що взагалі в природі закони збереження грають важливу роль. Пошук зберігаються величин і законів, з яких вони можуть бути отримані, - предмет досліджень у багатьох розділах фізики. Виведемо ці закони найпростішим способом з другого закону Ньютона.
Закон збереження імпульсу.імпульс, або кількість рухуpвизначається як добуток маси mматеріальної точки на швидкість V: p= mV. Другий закон Ньютона з використанням визначення імпульсу записується у вигляді
= dp= F, (1.3.1)
тут F- рівнодіюча прикладених до тіла сил.
замкнута системаназивають систему, в якій сума зовнішніх сил, що діють на тіло дорівнює нулю:
F= å Fi= 0 . (1.3.2)
Тоді зміна імпульсу тіла в замкнутій системі за другим законом Ньютона (1.3.1), (1.3.2) становить
dp= 0 . (1.3.3)
В цьому випадку імпульс системи частинок залишається постійною величиною:
p= å pi= Const. (1.3.4)
Цей вислів є закон збереження імпульсу, Який формулюється так: коли сума зовнішніх сил, що діють на тіло або систему тіл, дорівнює нулю, імпульс тіла або системи тіл є постійною величиною.
Закон збереження енергії.У повсякденному житті під поняттям «робота» ми розуміємо будь-корисна праця людини. У фізиці ж вивчається механічна робота, Яка відбувається, тільки коли тіло переміщається під дією сили. Механічна робота ΔA визначається як скалярний твір сили F, Яка додається до тіла, і переміщення тіла Δ rв результаті дії цієї сили:
A A= (F, Δ r) = F A r cosα. (1.3.5)
У формулі (1.3.5) знак роботи визначається знаком cos α.
Бажаючи пересунути шафу, ми з силою на нього натискаємо, але якщо він при цьому в рух не приходить, то механічної роботими не робимо. Можна уявити собі випадок, коли тіло рухається без участі сил (за інерцією),
в цьому випадку механічна робота також не здійснюється. Якщо система тіл може зробити роботу, то вона має енергію.
Енергія є одним з найважливіших понять не тільки в механіці, але і в інших областях фізики: термодинаміки і молекулярної фізики, електриці, оптиці, атомній, ядерній та фізики частинок.
У будь-якій системі, що належить фізичній світу, енергія зберігається при будь-яких процесах. Змінюватися може лише форма, в яку вона переходить. Наприклад, при попаданні кулі в цеглу частина кінетичної енергії(Причому, більша) переходить в тепло. Причина цього - наявність сили тертя між кулею і цеглою, в якому вона рухається з великим тертям. При обертанні ротора турбіни механічна енергія перетворюється в електричну енергію, а при цьому в замкнутому ланцюзі виникає струм. Енергія, що виділяється при спалюванні хімічного палива, тобто енергія молекулярних зв'язків, перетворюється в теплову енергію. Природа хімічної енергії - це енергія міжмолекулярних і міжатомних зв'язків, по суті, представляє собою молекулярну або атомну енергію.
Енергія - скалярна величина, що характеризує здатність тіла зробити роботу:
E2- E1 = ΔA. (1.3.6)
При здійсненні механічної роботи енергія тіла переходить з однієї форми в іншу. Енергія тіла може бути в формі кінетичної або потенційної енергії.
енергію механічного руху
Wкін =.
називають кінетичної енергієюпоступального руху тіла. Робота і енергія в системі одиниць СІ вимірюється в джоулях (Дж).
Енергія може бути обумовлена не тільки рухом тіл, але і їх взаємним розташуваннямі формою. Таку енергію називають потенційної.
Потенційною енергією володіють один щодо одного два вантажу, з'єднані пружиною, або тіло, що знаходиться на деякій висоті над Землею. цей останній прикладвідноситься до гравітаційної потенційної енергії, коли тіло переміщається з однієї висоти над Землею на іншу. Вона обчислюється за формулою
На малюнку зображені графіки залежності імпульсу від швидкості руху двох тіл. Маса якого тіла більше і у скільки разів?
1) Маси тіл однакові
2) Маса тіла 1 більше в 3,5 рази
3) Маса тіла 2 більше
4) За графіками можна
порівняти маси тел
Пластиліновий кульку масою т, рухається зі швидкістю V , налітає на спочивають пластиліновий кульку масою 2т. Після удару кульки, злиплі, рухаються разом. Яка швидкість їх руху?
1) v /3
3) v /2
4) Для відповіді не вистачає даних
вагони масою m = 30 т і m= 20 т рухаються за прямолінійним залізничній колії зі швидкостями, залежність проекцій яких на вісь, паралельну шляхах, від часу показана на малюнку. Через 20 с між вагонами сталася автозчеплення. З якою швидкістю, і в який бік поїдуть зчеплені вагони?
1) 1,4 м / с, в сторону початкового руху 1.
2) 0,2 м / с, в сторону початкового руху 1.
3) 1,4 м / с, в сторону початкового руху 2 .
4) 0,2 м / с, в сторону початкового руху 2 .
Енергія (Е) - фізична величина, що показує, яку роботу може зробити тіло
Досконала робота - дорівнює зміні енергії тіла
Координата тіла змінюється відповідно до рівняння x : = 2 + 30 t - 2 t 2 , Записаним в СІ. Маса тіла 5 кг. Яка кінетична енергія тіла через 3 с після початку руху?
1) 810 Дж
2) 1440 Дж
3) 3240 Дж
4) 4410 Дж
Пружину розтягують на 2см . При цьому відбувається робота 2 Дж. Яку слід зробити роботу, щоб розтягнути пружину ще на 4 см.
1) 16 Дж
2) 4 Дж
3) 8 Дж
4) 2 Дж
З якої з формул можна визначити кінетичну енергію Е к, яку має тіло у верхній точці траєкторії (див.рис.)?
2) E K = m (V 0) 2/2 + mgh-mgH
4) E K = m (V 0) 2/2 + mgH
М'яч кидали з балкона 3 рази з однаковою початковою швидкістю. Перший раз вектор швидкості м'яча був спрямований вертикально вниз, другий раз - вертикально вгору, третій раз - горизонтально. Опором повітря знехтувати. Модуль швидкості м'яча при підльоті до землі буде:
1) більше в першому випадку
2) більше в другому випадку
3) більше в третьому випадку
4) однаковим у всіх випадках
Парашутист рівномірно опускається з точки 1 в точку 3 (рис.). В якій з точок траєкторії його кінетична енергія має найбільше значення?
1) В точці 1.
2) В точці 2 .
3) В точці 3.
4) У всіх точках значення
енергії однакові.
З'їхавши зі схилу яру, санки піднімаються по протилежному його схилу на висоту 2 м (до точки 2 на малюнку) і зупиняються. Маса санок 5 кг. Їх швидкість на дні яру дорівнювала 10 м / с. Як змінилася повна механічна енергія санок при русі з точки 1 в точку 2?
1) Не змінилася.
2) Зросла на 100 Дж.
3) Зменшилася на 100 Дж.
4) Зменшилася на 150 Дж.
8.3. Закон збереження моменту імпульсу. рівняння моментів
Відомо що моментом імпульсу(Моментом кількості руху) матеріальної точки називається векторна фізична величина, чисельно дорівнює добутку її імпульсу (кількості руху) на плече, тобто на найкоротша відстань від напрямку імпульсу до осі (або центру) обертання:
L i = m i v i r i = m i ω i r i r i = m i r i 2 ω i = I i ω, (8.22)
де I i - момент інерції матеріальної точки щодо обраної осі (обраного центру) обертання;
ω - кутова швидкість матеріальної точки.
У векторній формі
L i= I i ω або L = [r p]. (8.23)
Момент імпульсу твердого тіла(Системи) щодо обраної осі (або центру) обертання дорівнює сумі моментів імпульсу окремо взятих матеріальних точок тіла (тел системи) щодо тієї ж осі (того ж центру) обертання. При цьому
L= I ω , (8.24)
де - момент інерції тіла (системи);
ω - кутова швидкість.
Основне рівняння динаміки обертального руху матеріальної точки має вигляд
,
(8.25)
де L i - момент імпульсу матеріальної точки відносно початку координат;
- сумарний крутний момент, діючий на i-ю матеріальну точку;
- результуючий момент всіх внутрішніх сил, що діють на матеріальну точку;
- результуючий момент всіх зовнішніх сил, що діють на матеріальну точку.
Для тіла, що складається з n матеріальних точок (системи з n тел):
.
(8.26)
Так як 
-Момент всіх внутрішніх силдорівнює нулю, то
або 
,
(8.27)
де L 0 - момент імпульсу тіла (системи) щодо початку координат;
Mвн - сумарний крутний момент зовнішніх сил, що діють на тіло (систему).
З (8.27) випливає, що момент імпульсу тіла (системи) може змінюватися під дією моменту зовнішніх сил, а швидкість його зміни дорівнює сумарному обертального моменту зовнішніх сил, що діють на тіло (систему).
якщо Mвн = 0, то
, а L 0 = const. (8.28)
Таким чином, якщо на тіло (замкнуту систему) не діє зовнішній крутний момент, то його момент імпульсу залишається величиною постійною. Дане твердження і називають законом збереження моменту імпульсу.
Для реальних систем закон збереження моменту імпульсу можна записати так
, А L 0 x = const. (8.29)
Із закону збереження моменту імпульсу випливає: якщо тіло не оберталося
(Ω = 0), то при M = 0 воно і не прийде в обертання; якщо тіло здійснювало обертальний рух, то при M = 0, воно буде здійснювати рівномірний обертальний рух.
рівняння 
,
називають рівняннями моментів, Відповідно для тіла (системи) або матеріальної точки.
Рівняння моментів вказує, як змінюється момент імпульсу під дією сил. Так як d L 0 = M∙ dt, то момент сил, що співпадає по напряму з моментом імпульсу, збільшує його. Якщо ж момент сил спрямований назустріч моменту імпульсу, то останній зменшується.
Рівняння моментів справедливо для будь-якої довільно обраної нерухомої осі обертання.
Наведемо кілька прикладів:
а ) коли кішка несподівано для себе падає з великої висоти, вона посилено обертає хвостом в ту чи іншу сторону, домагаючись оптимального розвороту свого тіла для сприятливого приземлення;
б )
людина переміщається по краю круглої, вільно обертової платформи: нехай моменти імпульсу платформи і людини відповідно рівні 
і 
, Тоді, приймаючи систему замкнутою, отримаємо
,
,
.
Тобто кутові швидкості обертання цих тіл навколо їх загальної осібудуть протилежні за знаком, а по величині - обернено пропорційні їх моментам інерції;
в ) досвід з лавою Жуковського. Людина, що знаходиться посередині лави і обертається разом з платформою, притягує до себе вантажі. Нехтуючи тертям в опорних підшипниках, вважаємо момент сили рівним нулю:
,
,
.
,
.
при 
,
, якщо ж 
, то 
;
г) при фігурному катанні на ковзанах спортсмен, виконуючи обертання, складається і при цьому прискорює своє обертання;
д )
гіроскопи
- пристрої, принцип дії яких заснований на законі збереження моменту імпульсу тіла: 
. Призначені для фіксування спочатку заданого напрямку в просторі на об'єкті, який переміщається в довільному напрямку і нерівномірно (космічні ракети, танки і ін.).
Рух тіла з постійною швидкістю, як випливає з законів Ньютона, може бути здійснено двома способами: або без дії на дане тіло сил, або при дії сил, геометрична сума яких дорівнює нулю. Між ними є принципова відмінність. У першому випадку не здійснюється робота, у другому - силами відбувається робота.
Термін «робота» вживають у двох значеннях: для позначення процесу і для позначення скалярною фізичної величини, яка виражається твором проекції сили на напрямок переміщення на довжину вектора переміщення формула "src =" http://hi-edu.ru/e-books/ xbook787 / files / f150.gif "border =" 0 "align =" absmiddle "alt =" (! LANG:
В математиці скалярний добуток двох векторів на косинус кута між ними називають скалярним творомвекторів, Тому робота дорівнює скалярному добутку вектора сили F і вектора переміщення формула "src =" http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f152.gif "border =" 0 "align =" absmiddle "alt = "(! LANG:
Якщо кут між напрямком сили і напрямком переміщення гострий, то сила здійснює позитивну роботу, якщо тупий, то робота сили негативна.
У загальному випадку, коли сила змінюється довільним чином і траєкторія тіла довільна, обчислення роботи виявляється не такою вже простою справою. Весь шлях тіла розбивають на настільки малі ділянки, щоб на кожному з них силу можна було вважати постійною. На кожному з таких ділянок знаходять елементарну роботуформула "src =" http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f154.gif "border =" 0 "align =" absmiddle "alt =" (! LANG:
Повна робота при переміщенні тіла з точки 1 в точку 2 дорівнює площі фігури під графіком F (r), рис. 18 
.
У практичній діяльності важливо знати швидкість виконання роботи. Величина, що характеризує швидкість здійснення роботи, називається потужністю.
Потужність чисельно дорівнює відношенню роботи формула "src =" http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f156.gif "border =" 0 "align =" absmiddle "alt =" (! LANG:, За який вона відбувається:
визна-е "> середню потужність, а межа цього відношення при визна-е"> миттєву потужність:
приклад "> dA = визна-е"> потужність визначається скалярним твором векторів діючої сили і швидкості руху тіла:
приклад "> v різна по відношенню до двох систем відліку, що рухається відносно один одного.
Здатність конкретного тіла здійснювати роботу характеризують за допомогою енергії.
Взагалі енергія виступає у фізиці як єдина і універсальна міра різних формруху матерії і відповідних їм взаємодій.
Оскільки рух - невід'ємна властивість матерії, то будь-яке тіло, система тіл або полів мають енергію. Тому енергія системи кількісно характеризує цю систему відносно можливих в ній перетворень руху. Зрозуміло, що ці перетворення відбуваються внаслідок взаємодії між частинами системи, а також між системою і зовнішнім середовищем. Для різних форм руху і відповідних їм взаємодій вводять різні видиенергії- механічну, внутрішню, електромагнітну, ядерну і т.д.
Ми Роздивимось механічну енергію. Зміна механічного руху тіла викликається силами, що діють на нього з боку інших тіл. Щоб кількісно охарактеризувати процес обміну енергією між взаємодіючими тілами в механіці використовується поняття роботи сили. У механіці розрізняють кінетичну і потенційну енергії.
кінетичної енергієюрухається матеріальної точки називають величину, яка визначається як половину твору маси точки на квадрат її швидкості:
приклад "> m, що рухається поступально зі швидкістю v, дорівнює також приклад"> F діє на покоїться тіло і викликає його рух зі швидкістю v, то вона робить роботу, а енергія рухомого тіла зростає на величину витраченої роботи. Приріст кінетичної енергії розглянутого тіла одно сумарною роботі всіх сил, що діють на тіло:
формула "src =" http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f165.gif "border =" 0 "align =" absmiddle "alt =" (! LANG:- різниця між кінцевим і початковим значеннями кінетичної енергії.
Затвердження (3.1) називається теоремою про зміну кінетичної енергії.
Сили, що діють на тіло, можуть відрізнятися за своєю природою і властивостями. У механіці склалося поділ сил на консервативні і неконсерватівние.
Консервативними (потенційними) називаються сили, Робота яких не залежить від траєкторії руху тіла, а визначається тільки початковим і кінцевим його положенням, тому робота по замкнутій траєкторії завжди дорівнює нулю. Такими силами є, наприклад, сила тяжіння і сила пружності.
Неконсервативний (диссипативними) називаються сили, Робота яких залежить від форми траєкторії і пройденого шляху. Неконсервативний є, наприклад, сила тертя ковзання, сили опору повітря або рідини.
У загальному випадку робота будь-яких консервативних сил може бути представлена як спад деякої величини П, яку називають потенційної енергієютіла:
визна-е "> Спад величини відрізняється від збільшення знаком визна-е"> Потенційна енергія - частина механічної енергії системи, яка визначається взаємним розташуванням тіл і характером взаємодії між ними.
Потенціальна енергіявизначається роботою, яку здійснили б діючі консервативні сили, переміщаючи тіло з початкового стану, де можна відповідним вибором координат вважати, що потенційна енергія П1 дорівнює нулю, в це положення.
Вираз (3.2) можна записати у вигляді:
формула "src =" http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f169.gif "border =" 0 "align =" absmiddle "alt =" (! LANG:
Отже, якщо відома функція П, то (3.3) повністю визначає силу F по модулю і напрямку:
формула "src =" http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f171.gif "border =" 0 "align =" absmiddle "alt =" (! LANG:
Вектор, що стоїть в (3.4) справа в квадратних дужках і побудований за допомогою скалярної функції П, називається градієнтом функціїП і позначається gradП. Позначення приклад "> П у напрямку х, відповідно приклад"> у, а приклад "> z.
Тоді можна сказати, що сила, яка діє на матеріальну точку в потенційному полі, дорівнює взятому з протилежним знаком градієнту потенційної енергії цієї точки:
приклад "> х з початкового стану 1 в кінцевий стан 2:
визна-е "> Потенційна енергія може мати різну фізичну природу і конкретний вид функції П залежить від характеру силового поля. Наприклад, потенційна енергія тіла маси m, що знаходиться на висоті h над поверхнею землі, дорівнює П = mgh, якщо за нульовий рівень умовно прийнята поверхню землі. Так як початок відліку вибирається довільно, то потенційна енергія може мати від'ємне значення.
Потенційна енергія тіла, що знаходиться під дією пружної сили деформованої пружини дорівнює приклад "> х - величина деформації пружини, k - жорсткість пружини.
Можна знайти роботу проти сил пружності. Докладемо до пружного тіла силу F = -kх, тоді робота при подовженні від формула "src =" http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f179.gif "border =" 0 "align =" absmiddle "alt =" (! LANG::
визна-е "> функцією стану системи. Вона залежить тільки від конфігурації системи та її положення по відношенню до зовнішніх тіл.
Робота сили тертя залежить від шляху, а значить, і форми траєкторії. Отже, сила тертя є неконсервативної.
Фізичну величину, що дорівнює сумі кінетичної і потенційної енергій тіла, називають його механічної енергієюЕ = приклад "> П.
Можна показати, що приріст механічної енергії одно сумарною роботі формула "src =" http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f183.gif "border =" 0 "align =" absmiddle "alt =" (! LANG:
отже, якщо неконсерватівние сили відсутні або такі, що не здійснюють роботи над тілом протягом даного нас часу, то механічна енергія тіла залишається постійною за цей час: Е = const. Це твердження відоме як закон збереження механічної енергії.
Розглянемо систему N частинок, між якими діють лише консервативні сили формула "src =" http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f185.gif "border =" 0 "align =" absmiddle "alt = "(! LANG:.
Запишемо другий закон Ньютона для всіх N частинок системи:
формула "src =" http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f187.gif "border =" 0 "align =" absmiddle "alt =" (! LANG:), Їх сума дорівнює нулю..gif "border =" 0 "align =" absmiddle "alt =" (! LANG:- імпульс всієї системи.
В результаті складання рівнянь отримуємо
визна-е "> закон зміни імпульсу системи.
Для системи частинок часто користуються тим чи іншим усреднением. Це набагато зручніше, ніж стежити за кожною окремою частинкою. Таким усреднением є центр мас - точка, радіус-вектор якої визначається виразом:
формула "src =" http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f192.gif "border =" 0 "align =" absmiddle "alt =" (! LANG:- маса частинки, що має радіус-вектор приклад "> m - маса системи, яка дорівнює сумі мас усіх її частинок.
Оскільки маса є мірою інертності, центр мас називають центром інерції системи. Іноді його називають також центром тяжіння, маючи на увазі, що в цій точці прикладена рівнодіюча сил тяжіння всіх частинок системи.
При русі системи центр мас змінюється зі швидкістю
формула "src =" http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f195.gif "border =" 0 "align =" absmiddle "alt =" (! LANG:- імпульс системи, рівний векторній сумі імпульсів всіх її частинок.
На підставі (3.8) вираз (3.6) можна представити у вигляді:
формула "src =" http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f197.gif "border =" 0 "align =" absmiddle "alt =" (! LANG:- прискорення центра інерції системи.
Таким чином, центр інерції системи рухається під дією зовнішніх сил, як матеріальна точказ масою, що дорівнює масі всієї системи.
Права частина (3.6) може бути дорівнює нулю в двох випадках: якщо система замкнута або якщо зовнішні сили компенсують один одного. У цих випадках отримуємо:
визна-е "> Якщо сума зовнішніх сил дорівнює нулю (система є замкнутою), імпульс системи тіл залишається постійним при будь-яких відбуваються в ній (закон збереження імпульсу).
Рівняння (3.9) - закон збереження імпульсу замкнутої системи - один з найважливіших законів природи. Як і закон збереження енергії, він виконується завжди і всюди - в макросвіті, мікросвіті і в масштабах космічних об'єктів.
особлива роль фізичних величин- енергії і імпульсу пояснюється тим, що енергія характеризує властивості часу, а імпульс - властивості простору: їх однорідність і симетрію.
однорідність часуозначає, що будь-які явища в різні моменти часу протікають абсолютно однаково.
однорідність просторуозначає, що в ньому немає жодних орієнтирів, ніяких особливостей. Тому неможливо визначити положення частинки «щодо простору», його можна визначити тільки відносно іншої частинки. Будь-які фізичні явища в усіх точках простору протікають абсолютно однаково.
Визна-е "> абсолютно пружними (або просто пружними). Так, наприклад, можна вважати абсолютно пружним центральне зіткнення двох сталевих куль.
визна-е "> непружними. Зміна механічної енергії при таких зіткненнях, як правило, характеризується спадом і супроводжується, наприклад, виділенням тепла. Якщо тіла після зіткнення рухаються як єдине ціле, то таке зіткнення називають абсолютно непружним.
Непружних удар. Нехай розглянуті вище кулі після удару рухаються як одне ціле зі швидкістю u. Використовуємо закон збереження імпульсу:
формула "src =" http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f222.gif "border =" 0 "align =" absmiddle "alt =" (! LANG:
Механічна енергія системи в разі непружного удару не зберігається, Тому що діють неконсерватівние сили. Знайдемо зменшення кінетичної енергії куль. До удару їх енергія дорівнює сумі енергій обох куль:
формула "src =" http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f224.gif "border =" 0 "align =" absmiddle "alt =" (! LANG:
зміна енергії
визна-е "> Приклад використання законів збереження імпульсу і механічної енергії
ЗАВДАННЯ. Куля масою m, яка летіла горизонтально зі швидкістю v, потрапляє в кулю масою М, підвішену на нитці, і застряє в ньому. Визначити висоту h, на яку підніметься куля разом з кулею.
визна-е "> РІШЕННЯ
Зіткнення кулі і кулі - неупругое. Відповідно до закону збереження імпульсу для замкнутої системи куля - куля можна записати:
приклад "> u - швидкість кулі і кулі.
Згідно із законом збереження механічної енергії:
формула "src =" http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f229.gif "border =" 0 "align =" absmiddle "alt =" (! LANG:
Контрольні питання і завдання
1. Що таке робота сили? Як графічно визначити роботу сили?
2. Дайте визначення кінетичної енергії тіла.
3. У чому полягає теорема про зміну кінетичної енергії тіла?
4. Що характеризує потенційна енергія?
5. Як визначити конкретний вид потенційної енергії тіла в тому чи іншому силовому полі?
6. Яке зміна потенційної енергії пружини жорсткістю k при її розтягуванні на?
7. Що таке повна механічна енергія?
8. Сформулюйте закон збереження механічної енергії тіла.
9. Що таке потужність? Від чого вона залежить?
10. Як математично записується закон збереження імпульсу?
11. Які окремі випадки виконання закону збереження імпульсу Ви знаєте?
12. Якими рівняннями можна описати абсолютно пружне і абсолютно непружні зіткнення двох тіл?
Е повн = Е кін + U
Е кін = mv 2/2 + Jw 2/2 - кінетична енергія поступального та обертального руху,
U = mgh - потенційна енергія тіла маси m на висоті h над поверхнею Землі.
F тр = Кn - сила тертя ковзання, N - сила нормального тиску, до - коефіцієнт тертя.
У разі нецентрального удару закон збереження імпульсу
S р i= Constзапісивается в проекціях на осі координат.
Закон збереження моменту імпульсу і закон динаміки обертального руху
S L i= Const- закон збереження моменту імпульсу,
L ос = Jw - осьовий момент імпульсу,
L орб = [ rp] -Орбітальний момент імпульсу,
dL / dt = SM зовн - закон динаміки обертального руху,
М= [rF] = RFsina - момент сили, F - сила, a - кут між радіусом - вектором і силою.
А = òМdj - робота при обертальному русі.
розділ механіка
кінематика
завдання
Завдання. Залежність пройденого тілом шляху від часу дається рівнянням s = A-Bt + Ct 2. Знайти швидкість і прискорення тіла в момент часу t.
приклад рішення
v = ds / dt = -B + 2Ct, a = dv / dt = ds 2 / dt 2 = 2C.
варіанти
1.1. Залежність пройденого тілом шляху від часу дається
рівнянням s = A + Bt + Ct 2, де А = 3м, В = 2 м / с, С = 1 м / с 2.
Знайти швидкість за третю секунду.
2.1. Залежність пройденого тілом шляху від часу дається
рівнянням s = A + Bt + Ct 2 + Dt 3, де С = 0,14м / с 2 і D = 0,01 v / c 3.
Через скільки часу після початку руху прискорення тіла
дорівнюватиме 1 м / с 2.
3.1.Колесо, обертаючись равноускоренно, досягло кутової швидкості
20 рад / c через N = 10 оборотів після початку руху. знайти
кутове прискорення колеса.
4.1.Колесо радіусом 0,1 м обертається так, що залежність кута
j = А + Bt + Ct 3, де В = 2 рад / с і С = 1рад / с 3. Для точок, що лежать
на ободі колеса, знайти через 2 с після початку руху:
1) кутову швидкість, 2) лінійну швидкість, 3) кутове
прискорення, 4) тангенціальне прискорення.
5.1.Колесо радіусом 5 см обертається так, що залежність кута
повороту радіуса колеса від часу дається рівнянням
j = А + Bt + Ct 2 + Dt 3, де D = 1 рад / с 3. Знайти для точок, що лежать
на ободі колеса зміна тангенціального прискорення за
щосекунди руху.
6.1.Колесо радіусом 10 см обертається так, що залежність
лінійної швидкості точок, що лежать на ободі колеса, від
часу дається рівнянням v = At + Bt 2, де А = 3 см / с 2 і
В = 1 см / с 3. Знайти кут, що складається вектором повного
прискорення з радіусом колеса в момент часу t = 5 с після
початку руху.
7.1.Колесо обертається так, що залежність кута повороту радіуса
колеса від часу дається рівнянням j = А + Bt + Ct 2 + Dt 3, де
В = 1 рад / с, С = 1 рад / с 2, D = 1 рад / с 3. Знайти радіус колеса,
якщо відомо, що до кінця другого секунди руху
нормальне прискорення точок, що лежать на ободі колеса одно
а n = 346 м / с 2.
8.1.Радіус вектор матеріальної точки змінюється з часом по
закону R= T 3 I+ T 2 j.Визначте для моменту часу t = 1 с:
модуль швидкості і модуль прискорення.
9.1.Радіус вектор матеріальної точки змінюється з часом по
закону R= 4t 2 I+ 3t j+2к.Запишіть вираз для вектора
швидкості і прискорення. Визначте для моменту часу t = 2 с
модуль швидкості.
10.1.Точка рухається в площині ху із положення з координатами
х 1 = у 1 = 0 зі швидкістю v= A i+ Bx j. визначити рівняння
траєкторії точки у (х) і форму траєкторії.
Момент інерції
відстані L / 3 від початку стрижня.
Приклад рішення.
M - маса стрижня J = J ст + J гр
L - довжина стержня J ст1 = mL 2/12 - момент інерції стержня
2m - маса грузика щодо його центру. по теоремі
Штайнера знаходимо момент інерції
J =? стрижня щодо осі о, віддаленої від центру на відстань а = L / 2 - L / 3 = L / 6.
J ст = mL 2/12 + m (L / 6) 2 = mL 2/9.
Згідно з принципом суперпозиції
J = mL 2/9 + 2m (2L / 3) 2 = mL 2.
варіанти
1.2. Визначити момент інерції стержня масою 2m щодо осі, віддаленої від початку стрижня на відстань L / 4. На кінці стрижня зосереджена маса m.
2.2.Определіть момент інерції стержня масою m відносно
осі, віддаленої від початку стрижня на відстань L / 5. На кінці
стрижня зосереджена маса 2m.
3.2. Визначити момент інерції стержня масою 2m щодо осі, віддаленої від початку стрижня на відстань L / 6. На кінці стрижня зосереджена маса m.
4.2. Визначити момент інерції стержня масою 3m щодо осі, віддаленої від початку стрижня на відстань L / 8. На кінці стрижня зосереджена маса 2m.
5.2. Визначити момент інерції стержня масою 2m щодо осі, що проходить через початок стрижня. До кінця і середини стрижня прикріплені зосереджені маси m.
6.2. Визначити момент інерції стержня масою 2m щодо осі, що проходить через початок стрижня. До кінця стрижня прикріплена зосереджена маса 2m, а до середини прикріплена зосереджена маса 2m.
7.2. Визначити момент інерції стержня масою m відносно осі, віддаленої від початку стрижня на L / 4. До кінця і середини стрижня прикріплені зосереджені маси m.
8.2. Знайти момент інерції тонкого однорідного кільця маси m і радіусом r щодо осі, що лежить в площині кільця і віддаленої від його центру на r / 2.
9.2. Знайти момент інерції тонкого однорідного диска маси m і радіусом r щодо осі, що лежить в площині диска і віддаленої від його центру на r / 2.
10.2. Знайти момент інерції однорідного кулі маси m і радіусом
r щодо осі, віддаленої від його центру на r / 2.
