To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan bo'lsin:

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi, bu erda tegishli koordinata o'qlarida to'g'ri chiziq bilan kesilgan segmentlar.

Umumiy tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziqni tuzing:

Undan siz ushbu to'g'ri chiziq tenglamasini segmentlarda qurishingiz mumkin:

Tekislikda to'g'ri chiziqlarning o'zaro joylashishi.

Bayonot 1.

To'g'ri chiziqlar uchun va tenglamalar bilan berilgan:

Shu bilan birga, zarur va etarli:

Isbot: va mos keladi, ularning yo'nalish vektorlari va kollinear, ya'ni:

Ushbu chiziqlar orqali M 0 nuqtasini oling, keyin:

Birinchi tenglamani (2) ga ko'paytirib, ikkinchisiga qo'shsak:

Demak, (2), (3) va (4) formulalar ekvivalentdir. (2) o'rinli bo'lsin, u holda (*) sistemaning tenglamalari ekvivalent bo'ladi; mos keladigan to'g'ri chiziqlar mos keladi.

Bayonot 2.

(*) tenglamalar bilan berilgan to'g'ri chiziqlar parallel va bir-biriga to'g'ri kelmaydi, agar:

Isbot:

Agar ular mos kelmasa ham:

Mos kelmaydigan, ya'ni Kroneker-Kapelli teoremasiga ko'ra:

Bu faqat quyidagi hollarda mumkin:

Ya'ni (5) sharti ostida.

Birinchi tenglik (5) bajarilganda, - ikkinchi tenglikning bajarilmasligi tizimning (*) nomuvofiqligini beradi, to'g'ri chiziqlar parallel va bir-biriga mos kelmaydi.

Izoh 1.

Polar koordinatalar tizimi.

Biz tekislikdagi nuqtani o'rnatamiz va uni qutb deb ataymiz. Qutbdan chiqadigan nur qutb o'qi deb ataladi.

Keling, segmentlarning uzunligini o'lchash uchun masshtabni tanlaylik va m atrofida soat miliga teskari yo'nalishda aylanish ijobiy deb hisoblanishiga rozi bo'laylik. Berilgan tekislikning istalgan nuqtasini ko'rib chiqing, uning qutbgacha bo'lgan masofasini belgilang va uni qutb radiusi deb nomlang. Qutb o'qini mos keladigan tarzda aylantirishingiz kerak bo'lgan burchak bilan belgilanadi va qutb burchagi deb ataladi.

Ta'rif 3.

Nuqtaning qutb koordinatalariga uning qutb radiusi va qutb burchagi deyiladi:

Izoh 2. qutbda. Nuqtadan tashqari nuqtalar uchun qiymat yig'indiga qadar aniqlanadi.

Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimini ko'rib chiqaylik: qutb kelib chiqishi bilan, qutb o'qi esa musbat yarim o'q bilan mos keladi. Bu yerda. Keyin:

To'g'ri to'rtburchaklar dekart va qutb koordinata tizimlari o'rtasida qanday bog'liqlik bor.

Bernulli lemniskat tenglamasi. Uni qutb koordinata tizimida yozing.

Tekislikdagi to'g'ri chiziqning normal tenglamasi. Qutb o'qi, - koordinatali o'qdan o'tadigan o'q bilan mos kelsin. Bo'lsin:

Keling, unda:

Nuqta uchun shart (**):

Qutb koordinata sistemasidagi to'g'ri chiziq tenglamasi.

Bu erda boshlang'ichdan to'g'ri chiziqqa tortilgan uzunlik, normalning o'qga moyillik burchagi.

Tenglama (7) qayta yozilishi mumkin:

Tekislikdagi to'g'ri chiziqning normal tenglamasi.

Ba'zi afin koordinatalar tizimi OXY berilsin.

2.1 teorema. Har qanday tekis l koordinatalar sistemasi OX shaklning chiziqli tenglamasi bilan berilgan

A x+ B y+ C = O, (1)

Bu erda A, V, S R va A 2 + V 2 0. Aksincha, (1) ko'rinishdagi har qanday tenglama to'g'ri chiziqni aniqlaydi.

(1) ko'rinishdagi tenglama - chiziqning umumiy tenglamasi .

(1) tenglamadagi barcha A, B va C koeffitsientlari nolga teng bo'lsin. Keyin

Ax-By = -C, va.

-C / A = a, -C / B = b ni belgilaymiz. olamiz

-chiziqli segment tenglamasi .

Haqiqatan ham, raqamlar | a | va | b | to'g'ri chiziq bilan kesilgan segmentlarning qiymatlarini ko'rsating l mos ravishda OX va OY o'qlarida.

To'g'ri bo'lsin l to‘g‘ri to‘rtburchaklar koordinatalar sistemasida (1) umumiy tenglama bilan berilgan va M 1 (x 1, y 1) va M 2 (x 2, y 2) nuqtalar tegishli bo‘lsin. l... Keyin

A x 1 + B da 1 + C = A NS 2 + B da 2 + C, ya'ni A ( x 1 -x 2) + B ( da 1 -da 2) = 0.

Oxirgi tenglik = (A, B) vektorning = (x 1 -x 2, y 1 -y 2) vektoriga ortogonal ekanligini bildiradi. bular. (A, B) vektor deyiladi l chiziqning normal vektori.

= (- B, A) vektorini ko'rib chiqing. Keyin

A (-B) + BA = 0. bular. ^.

Shuning uchun = (- B, A) vektori achchiqning yo'naltiruvchi vektoridir l.

To'g'ri chiziqning parametrik va kanonik tenglamalari

Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi

Affin koordinatalar sistemasida (0, X, Y) to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsin. l, uning yo'nalishi vektori = (m, n) va nuqta M 0 ( x 0 ,y 0) egalik qiladi l... Keyin ixtiyoriy M nuqta uchun ( x,da) bu qatordan bizda mavjud

va qanday qilib .

va belgilasak

Keyin mos ravishda M va M nuqtalarining radius vektorlari 0

- vektor ko'rinishdagi to'g'ri chiziq tenglamasi.

Chunki = ( NS,da), =(NS 0 ,da 0), keyin

x= x 0 + mt,

y= y 0 + nt

- to'g'ri chiziqning parametrik tenglamasi .

Demak, bundan kelib chiqadi

- chiziqning kanonik tenglamasi .

Nihoyat, agar to'g'ri chiziqda bo'lsa l ikki nuqta M 1 ( NS 1 ,da 1) va

M 2 ( x 2 ,da 2), keyin vektor = ( NS 2 -NS 1 ,y 2 -da 1) bor rahbarlik qilish vektor to'g'ri chiziq l... Keyin

- berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi.

Ikki to'g'ri chiziqning o'zaro o'rni.

To'g'ri chiziqlar bo'lsin l 1 va l 2 ularning umumiy tenglamalari bilan berilgan

l 1: A 1 NS+ B 1 da+ S 1 = 0, (1)

l 2: A 2 NS+ B 2 da+ C 2 = 0.

Teorema... To'g'ri chiziqlar bo'lsin l 1 va l 2 (1) tenglamalar bilan berilgan. Keyin va faqat keyin:

1) l soni bo'lmaganda to'g'ri chiziqlar kesishadi

A 1 = lA 2, B 1 = lB 2;

2) shunday l soni mavjud bo'lganda chiziqlar mos tushadi

A 1 = lA 2, B 1 = lB 2, S 1 = lS 2;

3) shunday l soni mavjud bo'lganda, chiziqlar aniq va parallel bo'ladi

A 1 = lA 2, V 1 = lV 2, S 1 lS 2.

To'g'ri chiziqlar to'plami

To'g'ri chiziqlar to'plami nuqtadan o'tuvchi tekislikdagi barcha chiziqlar to'plami deyiladi, deyiladi markaz nur.

Nur tenglamasini o'rnatish uchun har qanday ikkita to'g'ri chiziqni bilish kifoya l 1 va l 2 nurning markazidan o'tadi.

Affin koordinatalar tizimiga chiziqlar kiritilsin l 1 va l 2 tenglamalar bilan berilgan

l 1: A 1 x+ B 1 y+ C 1 = 0,

l 2: A 2 x+ B 2 y+ C 2 = 0.

Tenglama:

A 1 x+ B 1 y+ C + l (A 2 NS+ B 2 y+ C) = 0

- l 1 va l 2 tenglamalar bilan aniqlangan to'g'ri chiziqlar qalami tenglamasi.

Keyinchalik koordinatalar tizimi deganda biz to'rtburchaklar koordinata tizimini tushunamiz .

Ikki to'g'ri chiziqning parallellik va perpendikulyarlik shartlari

To'g'ri chiziqlar bo'lsin l 1 va l 2. ularning umumiy tenglamalari; = (A 1, B 1), = (A 2, B 2) - bu chiziqlarning normal vektorlari; k 1 = tga 1, k 2 = tga 2 - qiyaliklar; = ( m 1 ,n 1), (m 2 ,n 2) - yo'nalish vektorlari. Keyin, to'g'ridan-to'g'ri l 1 va l 2, agar quyidagi shartlardan biri bajarilsa, parallel bo'ladi:

yoki ikkalasi ham k 1 =k 2 yoki.

Endi to'g'ri chiziqlarga ruxsat bering l 1 va l 2 perpendikulyar. Keyin, aniq, ya'ni A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.

To'g'ri bo'lsa l 1 va l 2 tenglamalar bilan berilgan

l 1: da=k 1 x+ b 1 ,

l 2: da=k 2 x+ b 2 ,

keyin tga 2 = tg (90º + a) = .

Demak, bundan kelib chiqadi

Nihoyat, agar va to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlari, u holda ^, ya'ni,

m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0

Oxirgi munosabatlar ikkita tekislikning perpendikulyarligi uchun zarur va etarli shartni ifodalaydi.

Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak

Ikki to'g'ri chiziq orasidagi ph burchak ostida l 1 va l 2 biz bitta to'g'ri chiziqni boshqa to'g'ri chiziqqa parallel bo'lishi yoki unga to'g'ri kelishi uchun aylantirish kerak bo'lgan eng kichik burchakni tushunamiz, ya'ni 0 £ ph £

To'g'ri chiziqlar umumiy tenglamalar bilan berilgan bo'lsin. Bu aniq

cosph =

Endi to'g'ri chiziqlarga ruxsat bering l 1 va l 2 nishab koeffitsientli tenglamalar bilan berilgan k 1 dyuym k mos ravishda 2. Keyin

Ko'rinib turibdiki, ya'ni ( NS-NS 0) + B ( da-da 0) + C ( z-z 0) = 0

Qavslarni kengaytiramiz va D = -A ni belgilaymiz x 0 - B da 0 - C z 0. olamiz

A x+ B y+ C z+ D = 0 (*)

- tekislikning umumiy tenglamasi yoki tekislikning umumiy tenglamasi.

3.1 teorema Chiziqli tenglama (*) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) tekislikning tenglamasi va aksincha, tekislikning har qanday tenglamasi chiziqli.

1) D = 0, keyin tekislik koordinatadan o'tadi.

2) A = 0, u holda tekislik OX o'qiga parallel bo'ladi

3) A = 0, B = 0, u holda tekislik OXY tekisligiga parallel.

Tenglamadagi barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lsin.

- chiziq segmentlarida tekislik tenglamasi... | a |, | b |, | c | raqamlari koordinata o'qlarida tekislik bilan kesilgan chiziq segmentlarining qiymatlarini ko'rsating.

Va biz to'g'ri chiziq tenglamasining maxsus shaklini batafsil tahlil qilamiz -. To'g'ri chiziq tenglamasining segmentlardagi shaklidan boshlaymiz va misol keltiramiz. Shundan so'ng biz to'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi bilan berilgan to'g'ri chiziqni qurishga to'xtalamiz. Xulosa qilib aytganda, biz to'g'ri chiziqning to'liq umumiy tenglamasidan segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasiga o'tish qanday amalga oshirilishini ko'rsatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Chiziq segmentlarida to'g'ri chiziq tenglamasi - tavsif va misol.

Oxy samolyotda o'rnatilsin.

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi tekislikda Oksi ko'rinishga ega bo'lib, a va b nolga teng bo'lmagan ba'zi haqiqiy sonlardir.

Segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi bunday nomga ega bo'lishi bejiz emas - a va b raqamlarining mutlaq qiymatlari koordinata o'qlarida to'g'ri chiziq bilan kesilgan segmentlarning uzunliklariga teng. Ox va Oy, kelib chiqishidan boshlab.

Keling, ushbu fikrga aniqlik kiritaylik. Bizga ma'lumki, to'g'ri chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalari ushbu to'g'ri chiziq tenglamasini qanoatlantiradi. Keyin segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi bilan berilgan to'g'ri chiziq nuqtalardan o'tishi aniq ko'rinadi va chunki va ... Va nuqtalar faqat Ox va Oy koordinata o'qlarida joylashgan bo'lib, a va b birliklari bilan koordinata boshidan chiqariladi. A va b raqamlari uchun belgilar chiziq segmentlarini yotqizish kerak bo'lgan yo'nalishni ko'rsatadi. "+" belgisi segment koordinata o'qining musbat yo'nalishi bo'yicha joylashtirilganligini anglatadi, "-" belgisi buning aksini anglatadi.

Keling, yuqorida aytilganlarning barchasini tushuntiruvchi sxematik chizmani chizamiz. Segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasidagi a va b raqamlarining qiymatlariga qarab, to'g'ri chiziqlarning qattiq to'rtburchaklar koordinata tizimiga nisbatan joylashishini ko'rsatadi.

Endi maʼlum boʻldiki, toʻgʻri chiziqning segmentlardagi tenglamasi bu toʻgʻri chiziqni Oxy toʻrtburchaklar koordinata sistemasida qurishni osonlashtiradi. Ko'rinish segmentlarida to'g'ri chiziq tenglamasi bilan berilgan to'g'ri chiziqni qurish uchun tekislikda to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi nuqtalarni belgilash va keyin ularni o'lchagich yordamida to'g'ri chiziq bilan bog'lash kerak.

Keling, bir misol keltiraylik.

Misol.

Ko'rish segmentlarida to'g'ri chiziq tenglamasi bilan belgilangan to'g'ri chiziqni chizing.

Yechim.

Kesimlardagi to‘g‘ri chiziqning berilgan tenglamasidan to‘g‘ri chiziq nuqtalardan o‘tishini ko‘rish mumkin. ... Biz ularni belgilaymiz va ularni to'g'ri chiziq bilan bog'laymiz.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasiga keltirish.

Tekislikdagi to'g'ri chiziqqa oid ba'zi masalalarni yechishda to'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi bilan ishlash qulay. Biroq, tekislikdagi to'g'ri chiziqni aniqlaydigan boshqa turdagi tenglamalar mavjud. Shuning uchun to'g'ri chiziqning berilgan tenglamasidan ushbu to'g'ri chiziq tenglamasiga segmentlarda o'tishni amalga oshirish kerak.

Ushbu kichik bo'limda to'g'ri chiziqning to'liq umumiy tenglamasi berilgan bo'lsa, segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasini qanday olish mumkinligini ko'rsatamiz.

Bizga tekislikdagi to'g'ri chiziqning to'liq umumiy tenglamasini bilib olaylik ... A, B va C nolga teng bo'lmagani uchun siz C raqamini tenglikning o'ng tomoniga o'tkazishingiz, hosil bo'lgan tenglikning ikkala tomonini -C ga bo'lishingiz va x va y uchun koeffitsientlarni maxrajlarga yuborishingiz mumkin:
.

(Oxirgi o'tishda biz tenglikdan foydalandik ).

Shunday qilib, biz to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasidanmiz segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasiga o'tdi, bu erda .

Misol.

To'g'ri to'rtburchak koordinatalar sistemasidagi to'g'ri chiziq Oksi tenglama bilan berilgan ... Ushbu chiziq tenglamasini chiziq bo'laklariga yozing.

Yechim.

Keling, bir soniyani berilgan tenglikning o'ng tomoniga o'tkazamiz: ... Endi hosil bo'lgan tenglikni ikkala qismga ajratamiz: ... Olingan tenglikni kerakli shaklga o'tkazish qoladi: ... Shunday qilib, biz segmentlardagi to'g'ri chiziqning kerakli tenglamasini oldik.

Javob:

Agar to'g'ri chiziq aniqlansa

Agar to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasida Ax + Vy + C = 0 C ¹ 0 bo'lsa, -C ga bo'linib, biz quyidagilarni olamiz: yoki

Koeffitsientlarning geometrik ma'nosi koeffitsientdir a to'g'ri chiziqning Ox o'qi bilan kesishgan nuqtasining koordinatasi va b- to'g'ri chiziqning Oy o'qi bilan kesishish nuqtasi koordinatasi.

Misol. x - y + 1 = 0 to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan.Ushbu to'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasini toping.

C = 1, a = -1, b = 1.

To'g'ri chiziqning normal tenglamasi.

Ax + Vy + C = 0 tenglamaning ikkala tomoni chaqirilgan songa bo'lingan bo'lsa normallashtiruvchi omil, keyin olamiz

Xcosj + ysinj - p = 0 -

to'g'ri chiziqning normal tenglamasi.

Normallashtiruvchi omilning ± belgisi m × S bo'lishi uchun tanlanishi kerak< 0.

p - boshdan to'g'ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning uzunligi va j - Ox o'qining musbat yo'nalishi bilan bu perpendikulyar tomonidan hosil qilingan burchak.

Misol. 12x - 5y - 65 = 0 to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan.Bu to'g'ri chiziqning har xil turdagi tenglamalarini yozish talab etiladi.

bu to'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi:

bu to'g'ri chiziqning qiyalik bilan tenglamasi: (5 ga bo'linadi)

chiziqning normal tenglamasi:

; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.

Shuni ta'kidlash kerakki, har bir to'g'ri chiziqni segmentlarda tenglama bilan ifodalash mumkin emas, masalan, o'qlarga parallel yoki koordinatadan o'tuvchi to'g'ri chiziqlar.

Misol. To'g'ri chiziq koordinata o'qlarida teng musbat segmentlarni kesib tashlaydi. Ushbu segmentlar hosil qilgan uchburchakning maydoni 8 sm 2 bo'lsa, to'g'ri chiziq tenglamasini tuzing.

To'g'ri chiziqli tenglama quyidagi ko'rinishga ega:, a = b = 1; ab / 2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 muammo bayonotiga mos kelmaydi.

Jami: yoki x + y - 4 = 0.

Misol. A (-2, -3) nuqtadan va koordinatadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing.

To'g'ri chiziqli tenglama quyidagi ko'rinishga ega:, bu erda x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi

Berilgan chiziqqa perpendikulyar.

Ta'rif. M 1 (x 1, y 1) nuqtadan o‘tuvchi va y = kx + b to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘lgan to‘g‘ri chiziq tenglama bilan ifodalanadi:

Tekislikdagi to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak.

Ta'rif. Agar y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 ikkita to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsa, bu to‘g‘ri chiziqlar orasidagi o‘tkir burchak quyidagicha aniqlanadi.

Ikki to'g'ri chiziq parallel bo'ladi, agar k 1 = k 2 bo'lsa.

Agar k 1 = -1 / k 2 bo'lsa, ikkita to'g'ri chiziq perpendikulyar.

Teorema. Ax + Vy + C = 0 va A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 to'g'ri chiziqlar A 1 = lA, B 1 = lB proportsional koeffitsientlari parallel bo'lganda. Agar ham S 1 = ly bo'lsa, u holda chiziqlar mos keladi.

Ikki to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalari ushbu to'g'ri chiziqlar tenglamalar tizimining yechimi sifatida topiladi.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.

Teorema. Agar M (x 0, y 0) nuqta berilsa, Ax + Vy + C = 0 to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa quyidagicha aniqlanadi.

Isbot. M nuqtadan berilgan to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning asosi M 1 (x 1, y 1) nuqta bo‘lsin. Keyin M va M nuqtalari orasidagi masofa 1:

X 1 va y 1 koordinatalarini tenglamalar tizimining yechimi sifatida topish mumkin:

Tizimning ikkinchi tenglamasi berilgan toʻgʻri chiziqqa perpendikulyar M 0 nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasidir.

Agar tizimning birinchi tenglamasini quyidagi shaklga aylantirsak:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + 0 ga + C = 0,

keyin hal qilib, biz quyidagilarni olamiz:

Ushbu ifodalarni (1) tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni topamiz:

Teorema isbotlangan.

Misol . To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni aniqlang: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p / 4.

Misol. 3x - 5y + 7 = 0 va 10x + 6y - 3 = 0 to'g'ri chiziqlar perpendikulyar ekanligini ko'rsating.

Biz topamiz: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, shuning uchun to'g'ri chiziqlar perpendikulyar.

Misol. Uchburchakning A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) uchlari berilgan. C uchidan chizilgan balandlik tenglamasini toping.

AB tomonining tenglamasini topamiz:; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Kerakli balandlik tenglamasi: Ax + By + C = 0 yoki y = kx + b.

k =. Keyin y =. Chunki balandlik C nuqtadan o'tadi, u holda uning koordinatalari bu tenglikni qanoatlantiradi: bu erdan b = 17. Jami:.

Javob: 3x + 2y - 34 = 0.

Ikkinchi tartibli egri chiziqlar.

Ikkinchi tartibli egri chiziq tenglama orqali berilishi mumkin

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Koordinatalar tizimi mavjud (to'rtburchaklar dekart bo'lishi shart emas), unda bu tenglamani quyidagi shakllardan birida ko'rsatish mumkin.

1) - ellips tenglamasi.

2) - "xayoliy" ellipsning tenglamasi.

3) - giperbolaning tenglamasi.

4) a 2 x 2 - c 2 y 2 = 0 - ikkita kesishuvchi chiziq tenglamasi.

5) y 2 = 2px - parabola tenglamasi.

6) y 2 - a 2 = 0 ikkita parallel chiziq tenglamasi.

7) y 2 + a 2 = 0 - ikkita "xayoliy" parallel chiziqlar tenglamasi.

8) y 2 = 0 - bir-biriga to'g'ri keladigan juft to'g'ri chiziqlar.

9) (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 aylananing tenglamasi.

Doira.

Aylanada (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2, markaz koordinatalariga ega (a; b).

Misol. Aylana markazi va radiusi koordinatalarini toping, agar uning tenglamasi quyidagi shaklda berilgan bo'lsa:

2x 2 + 2y 2 - 8x + 5y - 4 = 0.

Markazning koordinatalarini va aylananing radiusini topish uchun ushbu tenglamani yuqorida 9-bandda ko'rsatilgan shaklga keltirish kerak. Buning uchun to'liq kvadratlarni tanlang:

x 2 + y 2 - 4x + 2,5y - 2 = 0

x 2 - 4x + 4 –4 + y 2 + 2,5y + 25/16 - 25/16 - 2 = 0

(x - 2) 2 + (y + 5/4) 2 - 25/16 - 6 = 0

(x - 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Bu yerdan O ni topamiz (2; -5/4); R = 11/4.

Ellips.

Ta'rif. Ellips tenglama bilan berilgan egri chiziq deyiladi.

Ta'rif. Fokuslar bunday ikkita nuqta deyiladi, ellipsning istalgan nuqtasigacha bo'lgan masofalar yig'indisi doimiy hisoblanadi.

F 1, F 2 - fokuslar. F 1 = (c; 0); F 2 (-c; 0)

c - o'choqlar orasidagi masofaning yarmi;

a - yarim katta o'q;

b - yarim kichik o'q.

Teorema. Ellipsning fokus uzunligi va yarim o'qlari nisbati bilan bog'liq:

a 2 = b 2 + c 2.

Isbot: Agar M nuqta ellipsning vertikal o'qi bilan kesishmasida bo'lsa, r 1 + r 2= 2 (Pifagor teoremasi bo'yicha). Agar M nuqta ellipsning gorizontal o'qi bilan kesishmasida bo'lsa, r 1 + r 2 = a - c + a + c. Chunki ta'rifi bo'yicha miqdor r 1 + r 2 Doimiy qiymat bo'lsa, tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

a 2 = b 2 + c 2

r 1 + r 2 = 2a.

Ta'rif. Ellipsning shakli fokus uzunligining asosiy o'qqa nisbati bo'lgan xarakteristikasi bilan belgilanadi va deyiladi. ekssentriklik.

Chunki bilan< a, то е < 1.

Ta'rif. k = b / a miqdori deyiladi siqish nisbati ellips va 1 - k = (a - b) / a miqdori deyiladi siqish ellips.

Siqilish nisbati va ekssentriklik nisbati bilan bog'liq: k 2 = 1 - e 2.

Agar a = b (c = 0, e = 0, fokuslar birlashadi), u holda ellips aylanaga aylanadi.

Agar M (x 1, y 1) nuqta uchun shart bajarilsa:, u holda u ellips ichida, agar, nuqta ellipsdan tashqarida.

Teorema. Ellipsga tegishli ixtiyoriy M (x, y) nuqta uchun quyidagi munosabatlar amal qiladi::

R 1 = a - ex, r 2 = a + ex.

Isbot. Yuqorida r 1 + r 2 = 2a ekanligi ko'rsatilgan. Bundan tashqari, geometrik sabablarga ko'ra siz quyidagilarni yozishingiz mumkin:

Shu kabi atamalarni kvadratlash va qisqartirgandan keyin:

Xuddi shunday r 2 = a + ex ekanligini isbotlash mumkin. Teorema isbotlangan.

Ellipsga ikkita to'g'ri chiziq bog'langan, deyiladi direktorlar... Ularning tenglamalari:

X = a / e; x = -a / e.

Teorema. Nuqta ellipsda yotishi uchun fokusga masofaning mos keladigan direktrisaga nisbati ekssentriklik e ga teng bo lishi zarur va yetarlidir.

Misol. Tenglama bilan berilgan ellipsning chap fokus va pastki uchidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqni tenglashtiring:

1) Pastki uchining koordinatalari: x = 0; y 2 = 16; y = -4.

2) Chap fokusning koordinatalari: c 2 = a 2 - b 2 = 25 - 16 = 9; c = 3; F 2 (-3; 0).

3) Ikki nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi:

Misol. Ellips tenglamasini tuzing, agar uning fokuslari F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), katta o'qi 2 bo'lsa.

Ellips tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:. Fokuslar orasidagi masofa:

2c =, shuning uchun a 2 - b 2 = c 2 = ½

2a = 2 shart bo'yicha, shuning uchun a = 1, b =

Giperbola.

Ta'rif. Giperbola tekislikning nuqtalari to'plami deyiladi, buning uchun berilgan ikkita nuqtadan masofalar orasidagi farq moduli deyiladi. nayranglar fokuslar orasidagi masofadan kamroq doimiy qiymat mavjud.

Ta'rif bo'yicha ïr 1 - r 2 ï = 2a. F 1, F 2 - giperbolaning o'choqlari. F 1 F 2 = 2c.

Giperbolaning ixtiyoriy M (x, y) nuqtasini tanlaylik. Keyin:

c 2 - a 2 = b 2 ni belgilang (geometrik jihatdan bu qiymat kichik yarim o'qdir)

Kanonik giperbola tenglamasi olindi.

Giperbola o'choqlarni bog'laydigan segmentning o'rta nuqtasiga va koordinata o'qlariga nisbatan simmetrikdir.

2a o'qi giperbolaning haqiqiy o'qi deb ataladi.

2b o'qi giperbolaning xayoliy o'qi deb ataladi.

Giperbolada ikkita asimptota bor, ularning tenglamalari

Ta'rif. O'zaro munosabatlar deyiladi ekssentriklik giperbolalar, bu erda c fokuslar orasidagi masofaning yarmi va haqiqiy yarim o'qdir.

c 2 - a 2 = b 2 ekanligini hisobga olsak:

Agar a = b, e = bo'lsa, giperbola deyiladi isoscellar (teng tomonli).

Ta'rif. Giperbolaning haqiqiy o'qiga perpendikulyar bo'lgan va markazdan a/e masofada simmetrik joylashgan ikkita to'g'ri chiziq deyiladi. direktorlar giperbola. Ularning tenglamalari:.

Teorema. Agar r giperbolaning ixtiyoriy M nuqtasidan istalgan fokusgacha bo'lgan masofa bo'lsa, d - bir xil nuqtadan ushbu fokusga mos keladigan direktrisagacha bo'lgan masofa, u holda r / d nisbati ekssentrisitetga teng doimiy qiymatdir.

Isbot. Giperbolaning eskizini chizamiz.

Aniq geometrik munosabatlardan siz yozishingiz mumkin:

a / e + d = x, shuning uchun d = x - a / e.

(x - c) 2 + y 2 = r 2

Kanonik tenglamadan: b 2 = c 2 - a 2 ni hisobga olgan holda:

O'shandan beri c / a = e, keyin r = ex - a.

Giperbolaning chap novdasi uchun dalil shunga o'xshash. Teorema isbotlangan.

Misol. Cho‘qqilari va o‘choqlari ellipsning mos cho‘qqi va o‘choqlarida joylashgan giperbolaning tenglamasini toping.

Ellips uchun: c 2 = a 2 - b 2.

Giperbola uchun: c 2 = a 2 + b 2.

Giperbola tenglamasi:.

Misol. Giperbola tenglamasini yozing, agar uning ekssentrisiteti 2 bo'lsa va fokuslar parabola parametri tenglamasi bilan ellips fokuslari bilan mos tushsa. Parabolaning kanonik tenglamasini chiqaramiz.

Geometrik munosabatlardan: AM = MF; AM = x + p / 2;

MF 2 = y 2 + (x - p / 2) 2

(x + p / 2) 2 = y 2 + (x - p / 2) 2

x 2 + xp + p 2/4 = y 2 + x 2 - xp + p 2/4

Direktrix tenglamasi: x = -p / 2.

Misol . y 2 = 8x parabolada direktrisadan masofasi 4 ga teng nuqtani toping.

Parabola tenglamasidan p = 4 ekanligini topamiz.

r = x + p / 2 = 4; shuning uchun:

x = 2; y 2 = 16; y = ± 4. Qidiruv nuqtalari: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Misol. Qutb koordinata tizimidagi egri chiziq tenglamasi:

Dekart to‘rtburchaklar koordinata sistemasidagi egri chiziq tenglamasini toping, egri chiziq turini aniqlang, fokuslar va ekssentrisitetni toping. Egri chiziqni sxematik tarzda qurish.

Dekart to'rtburchaklar va qutbli koordinatalar sistemalari orasidagi bog'lanishdan foydalanamiz:;

Kanonik giperbola tenglamasi olindi. Tenglamadan ko'rinib turibdiki, giperbola Ox o'qi bo'ylab 5 ga chapga siljigan, katta yarim o'q a 4 ga, kichik yarim o'q b 3 ga teng, shundan c 2 = a 2 + b ni olamiz. 2; c = 5; e = c / a = 5/4.

Fokuslar F 1 (-10; 0), F 2 (0; 0).

Keling, bu giperbolani chizamiz.

Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi.
Yo'nalish vektori to'g'ri chiziqdir. Oddiy vektor

Tekislikdagi to'g'ri chiziq - bu sizga boshlang'ich sinflardan beri ma'lum bo'lgan eng oddiy geometrik shakllardan biri bo'lib, bugun biz analitik geometriya usullaridan foydalangan holda uni qanday engish kerakligini bilib olamiz. Materialni o'zlashtirish uchun siz to'g'ri chiziq qurishingiz kerak; to'g'ri chiziqni, xususan, koordinata o'qlariga parallel bo'lgan to'g'ri chiziq va koordinata o'qlaridan o'tuvchi to'g'ri chiziqni aniqlash uchun qanday tenglama ishlatilishini bilish. Ushbu ma'lumotni qo'llanmada topish mumkin Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari, Men uni matan uchun yaratdim, lekin chiziqli funktsiya bo'limi juda muvaffaqiyatli va batafsil bo'lib chiqdi. Shuning uchun, aziz choynaklar, avval u erda isinib turing. Bundan tashqari, siz asosiy bilimlarga ega bo'lishingiz kerak vektorlar, aks holda materialni tushunish to'liq bo'lmaydi.

Ushbu darsda biz tekislikda to'g'ri chiziq tenglamasini yozish usullarini ko'rib chiqamiz. Men amaliy misollarni e'tiborsiz qoldirmaslikni tavsiya qilaman (hatto bu juda oddiy bo'lib tuyulsa ham), chunki men ularga kelajakda talab qilinadigan elementar va muhim faktlar, texnikalar, shu jumladan oliy matematikaning boshqa bo'limlarida ham taqdim etaman.

• Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?
• Qanaqasiga ?
• To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi bo'yicha yo'nalish vektorini qanday topish mumkin?
• Nuqtadan va normal vektordan to'g'ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?

va biz boshlaymiz:

Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasi

To'g'ri chiziq tenglamasining mashhur "maktab" shakli deyiladi qiyalik bilan to'g'ri chiziq tenglamasi... Masalan, to'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan bo'lsa, uning qiyaligi:. Ushbu koeffitsientning geometrik ma'nosini va uning qiymati to'g'ri chiziqning joylashishiga qanday ta'sir qilishini ko'rib chiqing:

Geometriya kursi buni isbotlaydi to'g'ri chiziqning qiyaligi burchak tangensi o'qning ijobiy yo'nalishi o'rtasidava bu qator:, va burchak soat miliga teskari yo'nalishda "ochiladi".

Chizmani chalkashtirmaslik uchun men faqat ikkita chiziq uchun burchaklar chizdim. "Qizil" chiziqni va uning qiyaligini ko'rib chiqing. Yuqoridagi kabi: ("alfa" burchagi yashil yoy bilan ko'rsatilgan). Nishab bilan "ko'k" chiziq uchun tenglik to'g'ri ("beta" burchagi jigarrang yoy bilan ko'rsatilgan). Va agar burchakning tangensi ma'lum bo'lsa, agar kerak bo'lsa, uni topish oson va burchakning o'zi teskari funktsiya - arktangent yordamida. Ular aytganidek, qo'lda trigonometrik jadval yoki mikrokalkulyator. Shunday qilib, qiyalik to'g'ri chiziqning abscissa o'qiga moyillik darajasini tavsiflaydi.

Bunday holda, quyidagi holatlar mumkin:

1) Nishab manfiy bo'lsa:, u holda chiziq, taxminan aytganda, yuqoridan pastga o'tadi. Masalan, chizmadagi "ko'k" va "qizil" to'g'ri chiziqlar.

2) Nishab musbat bo'lsa: u holda chiziq pastdan yuqoriga o'tadi. Masalan, chizmadagi "qora" va "qizil" chiziqlar.

3) Nishab nolga teng bo'lsa:, u holda tenglama shaklni oladi va mos keladigan to'g'ri chiziq o'qga parallel bo'ladi. Masalan, "sariq" to'g'ri chiziq.

4) O'qga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar oilasi uchun (chizmada o'qning o'zidan tashqari hech qanday misol yo'q), qiyalik mavjud emas (tangens 90 daraja aniqlanmagan).

Moduldagi qiyalik qanchalik katta bo'lsa, to'g'ri chiziqning grafigi shunchalik tik bo'ladi.

Masalan, ikkita chiziqni ko'rib chiqing. Shunday qilib, bu erda chiziq keskinroq nishabga ega. Eslatib o'taman, modul sizga belgini e'tiborsiz qoldirishga imkon beradi, biz faqat qiziqamiz mutlaq qiymatlar qiyalik koeffitsientlari.

O'z navbatida, to'g'ri chiziq to'g'ri chiziqlarga qaraganda tikroqdir. .

Aksincha: modulda qiyalik qanchalik kichik bo'lsa, to'g'ri chiziq shunchalik tekis bo'ladi.

To'g'ridan-to'g'ri uchun tengsizlik to'g'ri, shuning uchun to'g'ri chiziq tekisroq. O'zingizga ko'karishlar va zarbalar qo'ymaslik uchun bolalar slaydlari.

Bu nima uchun kerak?

Sizning azobingizni uzaytiring Yuqoridagi faktlarni bilish sizning xatolaringizni, xususan, grafikani chizishdagi xatolarni darhol ko'rishga imkon beradi - agar chizma "aniq bir narsa noto'g'ri" bo'lib chiqsa. Bu sizga tavsiya etiladi to'g'ridan-to'g'ri masalan, to'g'ri chiziq juda tik va pastdan tepaga, to'g'ri chiziq esa juda sayoz, o'qga yaqin va yuqoridan pastgacha borishi aniq edi.

Geometrik masalalarda ko'pincha bir nechta to'g'ri chiziqlar paydo bo'ladi, shuning uchun ularni qandaydir tarzda belgilash qulay.

Belgilar: to'g'ri chiziqlar kichik lotin harflari bilan ko'rsatilgan:. Ommabop variant - bu tabiiy pastki belgilar bilan bir xil harf bilan belgilash. Masalan, biz ko'rib chiqqan beshta to'g'ri chiziq bilan belgilanishi mumkin .

Har qanday to'g'ri chiziq yagona ikkita nuqta bilan aniqlanganligi sababli, uni quyidagi nuqtalar bilan belgilash mumkin: va hokazo. Belgilanish nuqtalarning to'g'ri chiziqqa tegishli ekanligini aniq ko'rsatadi.

Bir oz isinish vaqti:

Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?

Agar ma'lum bir to'g'ri chiziqqa tegishli nuqta va bu to'g'ri chiziqning qiyaligi ma'lum bo'lsa, bu to'g'ri chiziqning tenglamasi quyidagi formula bilan ifodalanadi:

1-misol

Agar nuqta shu to'g'ri chiziqqa tegishli ekanligi ma'lum bo'lsa, to'g'ri chiziqni qiyalik bilan tenglashtiring.

Yechim: To'g'ri chiziq tenglamasi formula bo'yicha tuziladi ... Ushbu holatda:

Javob:

Imtihon elementar bajariladi. Birinchidan, biz hosil bo'lgan tenglamani ko'rib chiqamiz va nishabimiz joyida ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Ikkinchidan, nuqtaning koordinatalari bu tenglamani qondirishi kerak. Keling, ularni tenglamada almashtiramiz:

To'g'ri tenglik olinadi, ya'ni nuqta hosil bo'lgan tenglamani qanoatlantiradi.

Chiqish: Tenglama to'g'ri.

O'z-o'zidan hal qilish uchun yanada murakkab misol:

2-misol

To'g'ri chiziqning tenglamasini tuzing, agar uning o'qning musbat yo'nalishiga og'ish burchagi ma'lum bo'lsa va nuqta shu to'g'ri chiziqqa tegishli.

Agar sizda biron bir qiyinchilik bo'lsa, nazariy materialni qayta o'qing. Aniqrog'i, amaliyroq, men ko'plab dalillarni sog'indim.

So‘nggi qo‘ng‘iroq chalindi, bitiruv kechasi yopildi va bizni ona maktabimiz darvozasi ortida analitik geometriya kutmoqda. Hazillar tugadi.... Yoki ular endi boshlayotgandir =)

Biz nostaljik tarzda qalamni tanishga silkitamiz va to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi bilan tanishamiz. Analitik geometriyada aynan shu narsa qo'llaniladi:

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi shaklga ega:, ba'zi raqamlar qayerda. Bundan tashqari, koeffitsientlar bir vaqtning o'zida nolga teng emas, chunki tenglama o'z ma'nosini yo'qotadi.

Nishab tenglamasini kostyum va galstuk kiyib olaylik. Birinchidan, barcha shartlarni chap tomonga o'tkazamiz:

Birinchi navbatda "x" bilan atama qo'yilishi kerak:

Asosan, tenglama allaqachon shaklga ega, ammo matematik odob-axloq qoidalariga ko'ra, birinchi atama koeffitsienti (bu holda) ijobiy bo'lishi kerak. Belgilarni o'zgartirish:

Ushbu texnik xususiyatni unutmang! Biz birinchi koeffitsientni (ko'pincha) ijobiy qilamiz!

Analitik geometriyada to'g'ri chiziq tenglamasi deyarli har doim umumiy shaklda beriladi. Xo'sh, agar kerak bo'lsa, uni qiyalik bilan "maktab" ko'rinishiga olib kelish oson (ordinata o'qiga parallel to'g'ri chiziqlar bundan mustasno).

Keling, o'zimizga nima deb so'raylik yetarli to'g'ri chiziq qurishni bilasizmi? Ikki ball. Ammo keyinchalik bu bolalik ishi haqida ko'proq, endi o'qlar qoidasiga amal qiladi. Har bir to'g'ri chiziq aniq belgilangan qiyalikga ega, unga "moslashish" oson. vektor.

Chiziqqa parallel bo'lgan vektor bu chiziqning yo'nalish vektori deyiladi.... Shubhasiz, har qanday to'g'ri chiziq cheksiz ko'p yo'nalish vektorlariga ega va ularning barchasi kollinear bo'ladi (birga yo'nalishli yoki yo'q - bu muhim emas).

Men yo'nalish vektorini quyidagicha belgilayman:

Ammo to'g'ri chiziq qurish uchun bitta vektor etarli emas, vektor erkin va tekislikning biron bir nuqtasiga bog'lanmagan. Shuning uchun to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lgan ba'zi bir nuqtani bilish qo'shimcha ravishda zarur.

To'g'ri chiziqni nuqtadan va yo'nalish vektoridan qanday tenglashtirish mumkin?

To'g'ri chiziqqa tegishli ba'zi nuqta va bu to'g'ri chiziqning yo'nalishi vektori ma'lum bo'lsa , u holda bu to'g'ri chiziq tenglamasini formula bilan tuzish mumkin:

Ba'zan deyiladi chiziqning kanonik tenglamasi .

Qachon nima qilish kerak koordinatalaridan biri nolga teng, biz quyida amaliy misollarni ko'ramiz. Aytgancha, e'tibor bering - ikkalasi birdan koordinatalar nolga teng bo'lishi mumkin emas, chunki nol vektor ma'lum bir yo'nalishni belgilamaydi.

3-misol

Nuqtadan to‘g‘ri chiziq va yo‘nalish vektorini tenglashtiring

Yechim: To'g'ri chiziq tenglamasi formula bo'yicha tuziladi. Ushbu holatda:

Proportsional xususiyatlardan foydalanib, biz kasrlardan xalos bo'lamiz:

Va biz tenglamani umumiy shaklga keltiramiz:

Javob:

Bunday misollardagi rasm, qoida tariqasida, bajarilishi shart emas, lekin tushunish uchun:

Chizmada biz boshlang'ich nuqtani, asl yo'nalish vektorini (u tekislikning istalgan nuqtasidan chetga surib qo'yish mumkin) va tuzilgan chiziqni ko'ramiz. Aytgancha, ko'p hollarda qiyalik bilan tenglama yordamida to'g'ri chiziqni qurish eng qulaydir. Bizning tenglamamizni shaklga aylantirish va to'g'ri chiziq qurish uchun yana bitta nuqtani osongina tanlash oson.

Ushbu bo'limning boshida ta'kidlanganidek, to'g'ri chiziq cheksiz ko'p yo'nalish vektorlariga ega va ularning barchasi kollineardir. Masalan, men uchta vektorni chizdim: ... Qaysi yo'nalish vektorini tanlasak, natija har doim bir xil to'g'ri chiziq tenglamasi bo'ladi.

Nuqta va yo‘nalish vektori bo‘ylab to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz:

Biz nisbatni belgilaymiz:

Ikkala tomonni -2 ga bo'ling va biz tanish tenglamani olamiz:

Qiziqqanlar xuddi shunday vektorlarni sinab ko'rishlari mumkin yoki boshqa har qanday kollinear vektor.

Endi teskari masalani yechamiz:

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi bo'yicha yo'nalish vektorini qanday topish mumkin?

Juda oddiy:

Agar chiziq umumiy tenglama bilan berilgan bo'lsa, u holda vektor bu chiziqning yo'nalishi vektoridir.

To'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlarini topishga misollar:

Tasdiqlash bizga cheksiz to'plamdan faqat bitta yo'nalish vektorini topishga imkon beradi, ammo bizga ko'proq kerak emas. Ba'zi hollarda yo'nalish vektorlarining koordinatalarini kamaytirish tavsiya etiladi:

Shunday qilib, tenglama o'qga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqni aniqlaydi va natijada olingan yo'nalish vektorining koordinatalari qulay tarzda -2 ga bo'linadi va yo'nalish vektori sifatida aynan bazis vektorini oladi. Bu mantiqiy.

Xuddi shunday, tenglama o'qga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqni belgilaydi va vektorning koordinatalarini 5 ga bo'lib, biz yo'nalish vektori sifatida ortni olamiz.

Endi bajaramiz 3-misolni tekshiring... Misol yuqoriga ko'tarildi, shuning uchun eslataman, unda biz nuqta va yo'nalish vektori bo'ylab to'g'ri chiziq tenglamasini tuzdik.

Birinchidan, to'g'ri chiziq tenglamasi bilan biz uning yo'nalishi vektorini tiklaymiz: - hamma narsa yaxshi, biz asl vektorni oldik (ba'zi hollarda u asl vektorga to'g'ri kelishi mumkin va buni odatda mos keladigan koordinatalarning mutanosibligidan sezish oson).

Ikkinchidan, nuqtaning koordinatalari tenglamani qanoatlantirishi kerak. Biz ularni tenglamaga almashtiramiz:

To'g'ri tenglik olindi, biz bundan juda xursandmiz.

Chiqish: Vazifa to'g'ri bajarildi.

4-misol

Nuqtadan to‘g‘ri chiziq va yo‘nalish vektorini tenglashtiring

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol. Dars oxirida yechim va javob. Yuqorida ko'rib chiqilgan algoritm bo'yicha tekshirishni amalga oshirish tavsiya etiladi. Har doim (iloji bo'lsa) qoralamani tekshirishga harakat qiling. 100% oldini olish mumkin bo'lgan xatolarga yo'l qo'yish ahmoqlikdir.

Yo'nalish vektorining koordinatalaridan biri nolga teng bo'lsa, ular juda oddiy ishlaydi:

5-misol

Yechim: Formula ishlamaydi, chunki o'ng tomonning maxraji nolga teng. Chiqish bor! Proportsional xususiyatlardan foydalanib, biz formulani shaklda qayta yozamiz, qolganlari esa chuqur yo'l bo'ylab aylantiriladi:

Javob:

Imtihon:

1) To'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini qayta tuzing:
- olingan vektor dastlabki yo'nalish vektori bilan kollinear.

2) Nuqta koordinatalarini tenglamaga almashtiring:

To'g'ri tenglik olinadi

Chiqish: topshiriq to'g'ri bajarildi

Savol tug'iladi, agar baribir ishlaydigan universal versiya bo'lsa, nima uchun formula bilan bezovta qilish kerak? Buning ikkita sababi bor. Birinchidan, kasr formulasi ancha yaxshi eslab qoladi... Ikkinchidan, universal formulaning yo'qligi shundaki chalkashlik xavfi sezilarli darajada oshadi koordinatalarni almashtirganda.

6-misol

Nuqta va yo‘nalish vektori bo‘ylab to‘g‘ri chiziqni tenglashtiring.

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol.

Keling, hamma joyda mavjud bo'lgan ikkita nuqtaga qaytaylik:

Ikki nuqtadan to'g'ri chiziq tenglamasi qanday tuziladi?

Agar ikkita nuqta ma'lum bo'lsa, bu nuqtalardan o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasini quyidagi formula bilan tuzish mumkin:

Aslida, bu formulaning bir turi va nima uchun: agar ikkita nuqta ma'lum bo'lsa, vektor bu chiziqning yo'nalishi vektori bo'ladi. Darsda Dummies uchun vektorlar biz eng oddiy masalani ko'rib chiqdik - vektorning koordinatalarini ikki nuqta bilan qanday topish mumkin. Ushbu masala bo'yicha yo'nalish vektorining koordinatalari:

Eslatma : nuqtalarni "almashtirish" va formuladan foydalanish mumkin. Bunday yechim ekvivalent bo'ladi.

7-misol

Ikki nuqtadan to‘g‘ri chiziqni tenglashtiring .

Yechim: Biz formuladan foydalanamiz:

Biz maxrajlarni taraymiz:

Va pastki qismni aralashtiramiz:

Endi kasr sonlardan qutulish qulay. Bunday holda, siz ikkala qismni 6 ga ko'paytirishingiz kerak:

Biz qavslarni ochamiz va tenglamani eslaymiz:

Javob:

Imtihon ravshan - dastlabki nuqtalarning koordinatalari olingan tenglamani qondirishi kerak:

1) Nuqta koordinatalarini almashtiring:

Haqiqiy tenglik.

2) Nuqta koordinatalarini almashtiring:

Haqiqiy tenglik.

Chiqish: to'g'ri chiziq tenglamasi to'g'ri.

Agar kamida bitta ball tenglamani qanoatlantirmasa, xatoni qidiring.

Shuni ta'kidlash kerakki, bu holda grafik tekshirish qiyin, chunki siz to'g'ri chiziq qurishingiz va nuqtalar unga tegishli yoki yo'qligini ko'rishingiz mumkin. , unchalik oson emas.

Men yechimning bir nechta texnik jihatlarini ham qayd etaman. Ehtimol, bu vazifada oyna formulasidan foydalanish foydaliroqdir va, xuddi shu nuqtalarda tenglama tuzing:

Bu kichik fraktsiyalar. Agar xohlasangiz, yechimni oxirigacha kuzatib borishingiz mumkin, natijada bir xil tenglama bo'lishi kerak.

Ikkinchi nuqta - yakuniy javobni ko'rib chiqish va uni yanada soddalashtirish mumkinmi? Misol uchun, agar tenglama olingan bo'lsa, uni ikkiga qisqartirish tavsiya etiladi: - tenglama bir xil to'g'ri chiziqni o'rnatadi. Biroq, bu allaqachon suhbat mavzusi to'g'ri chiziqlarning nisbiy holati.

Javobni olgandan keyin 7-misolda, har qanday holatda, men tenglamaning HAMMA koeffitsientlari 2, 3 yoki 7 ga bo'linishini tekshirib ko'rdim. Garchi ko'pincha bunday qisqartirishlar yechim paytida ham amalga oshiriladi.

8-misol

Nuqtalardan o‘tgan to‘g‘ri chiziqni tenglashtiring .

Bu mustaqil yechim uchun misol bo'lib, u sizga hisoblash texnikasini yaxshiroq tushunish va ishlab chiqish imkonini beradi.

Oldingi paragrafga o'xshash: formulada bo'lsa maxrajlardan biri (yo'nalish vektorining koordinatasi) yo'qoladi, keyin uni qayta yozamiz. Yana, uning qanchalik noqulay va chalkash ko'rinishiga e'tibor bering. Amaliy misollar keltirishning ma'nosini ko'rmayapman, chunki biz bunday muammoni allaqachon hal qilganmiz (5, 6-sonlarga qarang).

Chiziq normal vektor (normal vektor)

Oddiy nima? Oddiy so'z bilan aytganda, bu perpendikulyardir. Ya'ni, chiziqning normal vektori bu chiziqqa perpendikulyar. Shubhasiz, har qanday to'g'ri chiziq ularning cheksiz ko'piga ega (shuningdek, yo'nalish vektorlari) va to'g'ri chiziqning barcha normal vektorlari kollinear bo'ladi (birga yo'nalishli yoki yo'q - farq yo'q).

Ular bilan demontaj qilish yo'nalish vektorlariga qaraganda osonroq bo'ladi:

Agar chiziq to'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar tizimida umumiy tenglama bilan berilgan bo'lsa, u holda vektor bu chiziqning normal vektoridir.

Agar yo'nalish vektorining koordinatalarini tenglamadan ehtiyotkorlik bilan "tortib olish" kerak bo'lsa, u holda normal vektorning koordinatalari oddiygina "olib tashlanadi".

Oddiy vektor har doim to'g'ri chiziqning yo'nalish vektoriga ortogonal bo'ladi. Keling, ushbu vektorlarning ortogonalligini tekshiramiz nuqta mahsuloti:

Men yo'nalish vektori bilan bir xil tenglamalar bilan misollar keltiraman:

Bir nuqta va normal vektorni bilgan holda to'g'ri chiziq tenglamasini tuzish mumkinmi? Siz buni ichingizda his qilishingiz mumkin. Agar normal vektor ma'lum bo'lsa, unda to'g'ri chiziqning yo'nalishi noyob tarzda aniqlanadi - bu 90 graduslik burchakka ega bo'lgan "qattiq struktura".

Nuqtadan va normal vektordan to'g'ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?

Agar to'g'ri chiziqqa tegishli biron bir nuqta va bu to'g'ri chiziqning normal vektori ma'lum bo'lsa, bu to'g'ri chiziqning tenglamasi quyidagi formula bilan ifodalanadi:

Bu erda hamma narsa kasrlarsiz va boshqa kutilmagan hodisalarsiz amalga oshirildi. Bu bizning oddiy vektorimiz. Uni sevmoq. Va hurmat =)

9-misol

Nuqta bo‘ylab to‘g‘ri chiziq bilan normal vektorni tenglashtiring. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini toping.

Yechim: Biz formuladan foydalanamiz:

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi olinadi, tekshiramiz:

1) Oddiy vektorning koordinatalarini tenglamadan "olib tashlang": - ha, albatta, asl vektor shartdan olingan (yoki kollinear vektor olinishi kerak).

2) Nuqta tenglamani qanoatlantirishini tekshiring:

Haqiqiy tenglik.

Tenglamaning to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilganimizdan so'ng, vazifaning ikkinchi, osonroq qismini bajaramiz. To'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorini chiqaramiz:

Javob:

Chizmada vaziyat quyidagicha ko'rinadi:

O'quv maqsadlari uchun mustaqil hal qilish uchun shunga o'xshash vazifa:

10-misol

Nuqtadan to‘g‘ri chiziq va normal vektorni tenglashtiring. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini toping.

Darsning yakuniy qismi tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamalarining kamroq tarqalgan, ammo muhim turlariga bag'ishlangan.

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi.
To'g'ri chiziqning parametrik ko'rinishdagi tenglamasi

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi nolga teng bo'lmagan doimiylar ko'rinishiga ega. Ba'zi turdagi tenglamalarni bu shaklda ifodalash mumkin emas, masalan, to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik (chunki erkin atama nolga teng va o'ng tomonda bittasini olishning imkoni yo'q).

Bu, obrazli qilib aytganda, tenglamaning “texnik” turi. Oddiy vazifa - to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini segmentlarda to'g'ri chiziq tenglamasi shaklida ifodalash. Qanday qilib qulay? To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi to'g'ri chiziqning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini tezda topish imkonini beradi, bu oliy matematikaning ba'zi masalalarida juda muhimdir.

Chiziqning o'q bilan kesishgan nuqtasini toping. Biz "o'yin" ni nolga aylantiramiz va tenglama shaklni oladi. Istalgan nuqta avtomatik ravishda olinadi:.

Xuddi o'q bilan - to'g'ri chiziqning ordinata o'qini kesishgan nuqtasi.