Първо ниво

Интервал. Изчерпателен справочник (2019)

Този метод просто трябва да го разберете и да го познавате като пет пръста си! Само защото се използва за решаване на рационални неравенства и защото, знаейки този метод, както трябва, да решават тези неравенства, изненадващо просто. Малко по-късно ще ви разкрия няколко тайни, как да спестявам време за решаване на тези неравенства. Е, заинтригуван? Тогава отидохме!

Същността на метода в разлагането на неравенството на множителите (заменете темата) и дефиницията на OTZ и знака на фабриката, сега ще обясня всичко. Вземете най-прост пример :.

Областта на допустимите стойности () не е необходимо да пише тук, тъй като няма разделения на променливата, а радикалите (корените) не се наблюдават тук. Факторите тук са толкова разградени за нас. Но не се отпускайте, всичко е да напомняте на основите и да разберете същността!

Да предположим, че не знаете метода на интервали, как бихте решили това неравенство? Елате логично и рисувайте какво знаете. Първо, лявата страна ще бъде по-голяма от нула, ако и двете изрази в скоби са или повече нула, или по-малко нула, защото Плюс на плюс дава "плюс" и "минус" на "минус" дава "плюс", нали? И ако знаците в изрази в скоби са различни, в крайна сметка лявата част ще бъде по-малка от нула. И какво трябва да знаем значенията, в които изразите в скоби ще бъдат отрицателни или положителни?

Трябва да решим уравнението, то е точно същото като неравенството, само вместо знак, че корените на това уравнение ще ви позволят да определите тези гранични стойности, по време на отстъплението, от което ще бъдат по-големи мултипликатори. по-малко от нула.

И сега самите интервали. Какъв е интервалът? Това е цифрова права линия, т.е. всички възможни номера, сключени между две някои числа, са краищата на интервала. Тези интервали не са толкова лесни за подаване, така че интервалите се вземат за рисуване, сега научни.

Ние нарисуваме оста, той съдържа цялата цифрова серия от и до. На оста, точките се прилагат, най-наречените нули на функциите, стойностите, в които изразът е нула. Тези точки "се разгръщат", което означава, че те не се прилагат за броя на тези стойности, в които неравенството е вярно. В този случай те се разгръщат. Знак за неравенство, а не, това е строго по-голямо и не повече или равно.

Искам да кажа, че не е необходимо да се отбележи нула, той е без кръгове тук, така и за разбиране и ориентация по оста. Добре, оста беше боядисано, точките (по-точно чашата) поставят, какво, как ще ми помогне в решаването? - питаш те. Сега просто вземете стойността за ICA от интервалите, за да ги поставите в неравенството и вижте кой знак ще бъде в резултат на умножение.

Накратко, просто вземете, например, ние го заменяме тук, тя ще се окаже и това означава на целия интервал (през целия интервал), от който взехме, неравенството ще бъде справедливо. С други думи, ако x е от преди, неравенството е вярно.

Правя същото и с интервала от преди, вземаме или например, заместваме, ние определяме знака, марката ще бъде "минус". И ние правим същото с следдиплома, третият интервал от до, където знакът ще бъде "плюс". Такъв много текст излезе, но малка яснота е вярна?

Гледайки отново за неравенство.

Сега всичко се прилага и към същата ос и знаци, които ще доведат до резултата. Счупената линия, в моя пример, показваме положителните и отрицателните участъци на оста.

Погледнете неравенството - на чертежа, отново за неравенство - и отново на чертежаЕ нещо ясно? Опитайте се да кажете на какви интервали на ИКА, неравенството ще бъде вярно. Точно така, от донесъединението ще бъде вярно и от преди, и на интервала от неравенството на нула и тази празнина е малко интереси, защото имаме знак за неравенство.

Е, тъй като си разбрал това, тогава е малко - да напишете отговора! В отговор, ние пишем тези пропуски, при които лявата страна е повече от нула, която се чете като X-линия, принадлежи от минус на безкрайност до минус един и два до плюс безкрайност. Струва си да се изясни, че скобите означават, че стойностите, ограничени от интервала, не са решения на неравенството, т.е. те не са включени в отговор, но само предполагат, че преди, например, но не и решение.

Сега пример, в който ще имате не само интервал за рисуване:

Какво мислите, какво трябва да се направи преди точката на оста да кандидатствате? Да, факторите се разлагат:

Начертаваме интервалите и поставяме знаците, забелязваме точките от нас, за да бъдем замразени, защото знакът е стриктно по-малък от нула:

Време е да ви разкрие една тайна, която обещах в началото на тази тема! И какво, ако ви кажа, че не можете да замените стойностите от всеки интервал, за да определите знака, но можете да дефинирате знак в един от интервалите, а в другите просто алтернативни знаци!

Така спасихме малко време на приписване на герои - мисля, че този път, който е спечелил изпита, не пречи!

Пишем отговора:

Сега разгледайте пример за частично рационално неравенство - неравенство, двете части на които са рационални изрази (виж).

Какво можете да кажете за това неравенство? И го гледаш като фракционно рационално уравнениеКакво правим първо? Веднага виждаме, че няма корени, това означава определено рационално, но веднага фракция и дори с неизвестен в знаменателя!

Вярно, otz нужда!

Така че, тук всички фактори, с изключение на една степен, имат променлива от първата степен, но има множител, където X е втората степен. Обикновено знакът се промени след прехода чрез една от точките, в които лявата част на неравенството приема нулевата стойност, за която определихме това, което X е равен на ex във всеки мултипликатор. И тук, така че винаги е положително, защото Всеки номер в квадрат\u003e нула и положителни термини.

Какво мислите, че ще повлияе на значението на неравенството? Право - няма да засегне! Ние можем спокойно да се разделим на двете части на неравенството и по този начин да премахнем този мултипликатор, така че очите да не се обаждат.

беше време да се начертаят интервалите, за да се направи това е необходимо да се определят тези гранични стойности, по време на отстъплението, от което мултипликателите ще бъдат по-големи и по-малки от нула. Но обърнете внимание, че тук знакът означава точката, в която лявата част на неравенството отнема нулевата стойност, ние няма да изпомпваме, тя е сред решенията, такава точка, която имаме една, е точката, в която X е равен на един. И точката, в която знаменателят е отрицателен за ядрото? - Разбира се, че не!

Знаменателят не трябва да е нула, така че интервалът ще изглежда така:

За тази схема можете лесно да напишете отговор, аз просто казвам, че сега имате на ваше разположение, има нов скок - площад! Тук е такава скоба [ Той казва, че стойността е включена в интервала за решения, т.е. Това е част от отговора, тази скоба съответства на боядисаната (не боядисана) точка върху оста.

Тук, - получихте ли същия отговор?

Разлагаме се с факторите и прехвърляме всичко в една посока, трябва само да бъдем оставени надясно, да се сравним с него:

Обръщам внимание, че в последната трансформация, за да вляза в номератора, както в знаменателя, аз умножавам двете части на неравенството. Не забравяйте, че когато умножите двете части на неравенството, признаците на неравенството се променят в обратното !!!

Ние пишем ...

В противен случай знаменателят ще се обърне към нула и на нула, както си спомняте, е невъзможно да споделите!

Съгласен съм, в полученото неравенство, тя е махала да се отреже на числителя и знаменател! Невъзможно е да направите това, можете да загубите някои от решенията или ...

Сега се опитайте да приложите точки на оста. Отбелязвам само когато при прилагането на точки е необходимо да се обърне внимание на факта, че точката със стойност, която продължава от знака привидно трябва да се приложи към осите като боядисани, тя няма да бъде рисувана, тя ще бъде попитателна! Защо питаш? И дори си спомняте, няма да го споделите за нула?

Не забравяйте, собственото е над всичко! Ако цялото неравенство и признаци на равенство казват едно нещо, и Otz е друг, доверие OST, страхотен и могъщ! Е, сте построили интервали, сигурен съм, че сте се възползвали от моя намек за редуването и сте го направили така (вижте чертежа по-долу) и сега пушите, и не повтаряйте тази грешка повече! Каква грешка? - питаш те.

Факт е, че в това неравенство мултипликатът се повтаря два пъти (помнете как все още сте го бъркали?). Така че, ако един мултипликатор се повтаря в неравенството още няколко пъти, след това при преминаване през точката на оста, която привлича този множител до нула (в този случай, точката) няма да промени знака, ако тогава Знакът се променя!

Ще бъде верен на следната ос с интервали и знаци:

И, обърнете внимание, че знакът не се интересува от това, че в началото (когато видяхме само неравенството, знакът беше), след трансформации, знакът беше променен на, което означава, че се интересуваме от пропуски с a знак.

Отговор:

Ще кажа, че има ситуации, в които има корените на неравенствата, които не са включени във всеки интервал, в отговор те се записват в къдрави скоби, като това, например :. Можете да прочетете повече за такива ситуации в статия средно ниво.

Нека обобщим как да решават неравенствата по метода на интервала:

1. Ние носим всичко в лявата част, оставяме само нула отдясно;
2. Намираме ...
3. Ние прилагаме по оста всички корените на неравенството;
4. Ние приемаме произволни от една от пропуските и определяме знака в интервала, за който принадлежи коренът, алтернативни признаци, обръщайки внимание на корените, повтаряйки неравенството няколко пъти, от паритет или преброяване на тяхното повторение, променя знамението, когато преминаване през тях или не;
5. В отговор, ние пишем интервали, наблюдаваме скрубера и не боядисват точки (виж OTZ), поставяйки необходимите видове скоби между тях.

Е, най-накрая, нашата любима позиция, "Направи си сам"!

Примери:

Отговори:

Интервал. Средно ниво

Линейна функция

Линейната се нарича функция на формата. Помислете например за функцията. Това е положително и отрицателно, когато. Точка е нулева функция (). Да покажем признаците на тази функция на числовата ос:

Ние казваме, че "функцията променя знака, когато се движи през точката".

Може да се види, че функциите на функцията съответстват на позицията на функцията на функцията: ако графикът е над оста, знакът "", ако е по-долу - "".

Ако обобщим това правило за произволно линейна функция, Получавам такъв алгоритъм:

• Ние намираме нулеви функции;
• Отбелязваме го на числовата ос;
• Определете знака на функцията от нулевите страни.

Квадратична функция

Надявам се да си спомняте как са решени квадратните неравенства? Ако не, прочетете темата. Да напомним обща форма. квадратична функция: .

Сега нека си спомним кои знаци получават квадратична функция. Неговата графика - Parabola и функцията поема знака "" с такава, в която Parabola е над оста, и "" - ако Parabola е под оста:

Ако функцията има нули (стойности, в които), Parabola пресича оста в две точки - корените на съответното квадратно уравнение. Така осът е разделен на три интервала, а признаците на функцията се променят, когато се движат през всеки корен.

Възможно ли е някак да дефинира признаци, без да се изтегля всеки път, когато парабола?

Припомнете си, че квадратният три намаление може да бъде разложен върху факторите:

Например: .

Забележка Корените на оста:

Ние синахме, че функционалният знак може да се променя само когато се движи през корена. Ние използваме този факт: за всеки от трите интервали, до които оста се разделя с корени, е достатъчно да се определи функцията на функцията само в една произволно избрана точка: в другите точки на интервала знакът ще бъде същият .

В нашия пример: Когато и двете изрази в скоби са положителни (заместваме, например :). Сложихме знак "":

Е, когато (твърди например) двете скоби са отрицателни, това означава, че работата е положителна:

Това е това интервал: Познаване на признаците на факторите на всеки интервал, ние определяме знака на цялата работа.

Обмислете и случаите, когато няма нули на функцията, или е само един.

Ако няма, тогава няма корени. Така че, няма да има "преход през корена". Така че функцията върху цялата цифрова ос отнема само един знак. Лесно е да се определи, замествайки във функцията.

Ако коренът е само един, параболът се докосва от оста, така че функционалният знак не се променя, когато се движи през корена. Какво правило ще се появи за такива ситуации?

Ако разграждате такава функция за мултипликатори, два идентични мултипликатори ще се окажат:

И всеки израз на площада е неотрицателен! Следователно функцията на функцията не се променя. В такива случаи ще разпределим корена, когато се движим, през който знакът не се променя, заобиколен с квадрат:

Такъв корен ще се нарича няколко.

Интервален метод в неравенствата

Сега всяко квадратно неравенство може да бъде решено без рисуване на парабола. Достатъчно е само да поставите признаците на квадратичната функция на оста и да изберете интервали в зависимост от признаците на неравенство. Например:

Корените на ума на оста и подпише знаците:

Нуждаем се от част от ос със знака ""; Тъй като неравенството на вълнестите, самите корени са включени и в решението:

Сега разгледайте рационалното неравенство - неравенство, двете части са рационални изрази (виж).

Пример:

Всички фактори, с изключение на едно - тук "линейно", което е, съдържат променлива само в първа степен. Такива линейни мултици са необходими за прилагане на интервалния метод - знак, когато се движите през корените им. Но множителят изобщо няма корени. Това означава, че винаги е положително (проверете го сами) и следователно не засяга знамението на цялото неравенство. Това означава, че тя може да бъде разделена от лявата и дясната страна на неравенството и по този начин се отървете от него:

Сега всичко е същото, както и с квадратни неравенства: определяме кои точки всеки от мултипликателите се обръщат към нула, маркирайте тези точки на оста и подредете знаците. Обръщам внимание много важен факт:

Отговор:. Пример :.

За да приложим метода на интервали, е необходимо в една от частите на неравенството. Затова прехвърляме дясната страна вляво:

В цифроратор и знаменател, същият мултипликатор, но не бързайте да го отрежете! В края на краищата, тогава можем да забравим да закупим тази точка. По-добре е да се отбележи този корен като няколко, т.е. когато се движите през него, знакът няма да се промени:

Отговор:.

И още една демонстрация пример:

Отново, ние не намаляваме същите мултипликатори на числителя и знаменателя, тъй като ако намалим, ще трябва да запаметявате конкретно, че трябва да си купите точка.

• : повтори време;
• : пъти;
• : пъти (в числителя и един в знаменателя).

В случай на четен номер, ние правим същото като преди: доставяме точката от площада и не променяме знака, когато се движим през корена. Но в случай на нечетна сума, това правило не се изпълнява: знакът все още ще се променя по време на прехода през корена. Ето защо, с такъв корен, ние също не правеме нищо, сякаш не е многократно. Горните правила се отнасят до всички и нечетни степени.

Какво пишем в отговора?

Ако има нарушение на редуването на знаците, е необходимо да бъдеш много внимателен, защото с неразбираемо неравенство в отговор всички рисувани точки. Но някои от Nah често стоят на имение, което не е включено в боядисаната област. В този случай ги добавяме към отговора като изолирани точки (в къдрави скоби):

Примери (решаване на себе си):

Отговори:

1. Ако сред мултипликателите е просто коренът, защото може да бъде представен като.
   .

Интервал. Накратко за най-важното нещо

Интервалентът се използва за решаване на рационалните неравенства. Той се крие при определянето на знака на работата по признаците на фактори на различни интервали.

Алгоритъм за решаване на рационални неравенства чрез интервали.

• Ние носим всичко в лявата част, оставяме само нула отдясно;
• Намираме ...
• Ние прилагаме по оста всички корените на неравенството;
• Ние приемаме произволни от една от пропуските и определяме знака в интервала, за който принадлежи коренът, алтернативни признаци, обръщайки внимание на корените, повтаряйки неравенството няколко пъти, от паритет или преброяване на тяхното повторение, променя знамението, когато преминаване през тях или не;
• В отговор, ние пишем интервали, наблюдаваме скрубера и не боядисват точки (виж OTZ), поставяйки необходимите видове скоби между тях.

Е, темата е завършена. Ако прочетете тези линии, тогава сте много готино.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, тогава имате тези 5%!

Сега най-важното нещо.

Разбрахте теорията по тази тема. И повторя, това е ... просто супер! Вие сте по-добре от абсолютното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно ...

За какво?

За успешен eurchase EGGE.За допускане до Института по бюджета и най-важното за живота.

Няма да ви убедя нещо, просто ще кажа едно нещо ...

Хора, които са получили добро образованиеМашина много повече от тези, които не са го получили. Това са статистически данни.

Но това не е най-важното нещо.

Основното е, че те са по-щастливи (има такива изследвания). Може би защото има много повече възможности в подкрепа на тях и животът става по-ярък? Не знам...

Но мисля, че си ...

Какво трябва да сте сигурни, че сте по-добри от други на изпита и в крайна сметка да бъдете ... по-щастливи?

Напълнете ръка, като решавате задачи по тази тема.

Няма да попитате теорията на изпита.

Ще имаш нужда решаване на задачи за известно време.

И ако не сте ги решили (много!), Определено сте глупаво погрешни или просто нямате време.

Това е като в спорт - трябва да повторите много пъти, за да спечелите със сигурност.

Намерете къде искате колекция, задължително с решения, подробен анализ И решават, решават, решават!

Можете да използвате нашите задачи (не непременно) и ние, разбира се, препоръчваме ги.

За да запълните ръката с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника, който четете сега.

Как? Има две възможности:

1. Отворен достъп до всички скрити задачи в тази статия - 299.
2. Отворен достъп до всички скрити задачи във всички 99 статии от учебника - 999.

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и достъп за всички задачи и всички скрити текстове могат да бъдат отворени незабавно.

Във втория случай ще ви дадем Симулатора "6000 задачи с решения и отговори, на всяка тема, за всички нива на сложност." Това е достатъчно сигурно, за да запълни ръката за решаване на задачи за всяка тема.

Всъщност, това е много повече от просто симулатор - цяла програма за обучение. Ако имате нужда, ще можете да го използвате по същия начин.

Достъпът до всички текстове и програми е осигурен за цялото съществуване на обекта.

В заключение...

Ако нашите задачи не харесват, намират други. Просто не спирайте на теорията.

"Разбирам" и "мога да реша" е напълно различни умения. Имате нужда от двете.

Намерете задачата и решете!

В този урок ще продължим да решаваме рационалните неравенства на интервали за по-сложни неравенства. Разгледайте решението на фракционните линейни и фракционни-квадратични неравенства и свързани задачи.

Сега се връщаме към неравенството

Разгледайте някои свързани задачи.

Намерете най-малкото решение на неравенството.

Намерете броя на неравенството на естествените решения

Намерете продължителността на интервалите, които съставляват много решения на неравенство.

2. Портал Естествени науки ().

3. Електронни комплекс за обучение и методология Да подготвят 10-11 класа до входни изпити по компютърни науки, математика, руски език ().

5. Образователен център "Технология на обучението" ().

6. Раздел College.ru по математика ().

1. Мордович A.g. и други. Algebra 9 Cl.: Задача за студенти от общообразователни институции / А. Мордович, Т. М. Мишощина и др. - 4-ти Ед. - m.: Mnemozina, 2002.-143 с.: IL. №№ 28 (B, B); 29 (B, в); 35, буква а, б); 37 (B, в); 38 (а).

Как да решават неравенствата по интервали (алгоритъм с примери)

Пример . (Задача от OGE) Решаване на неравенството на интервали ((x-7) ^ 2< \sqrt{11}(x-7)\)
Решение:

Отговор : ((7; 7+ sqrt (11)) \\ t

Пример . Решават неравенството на метода на интервала (≥0)
Решение:

(Frac ((4-x) ^ 3 (x + 6) (6-x) ^ 4) ((x + 7.5))\(≥0\)		Тук на пръв поглед всичко изглежда нормално, а неравенството първоначално е показано на правилния ум. Но това не е така - в края на краищата, в първата и третата скоба, числителят на IKS стои с минус знак. Ние трансформираме скобите, като се има предвид, че четвъртата степен е равномерна (т.е. знакът минус ще премахне), а третата е странна (т.е. няма да премахне). ((4-x) ^ 3 \u003d (- x + 4) ^ 3 \u003d (- (x-4)) ^ 3 \u003d - (x-4) ^ 3) ((6-x) ^ 4 \u003d (- x + 6) ^ 4 \u003d (- (x-6)) ^ 4 \u003d (x-6) ^ 4) Като този. Сега връщаме скобите "на място", които вече се трансформират.
(FRAC (- (X-4) ^ 3 (x + 6) (x-6) ^ 4) ((x + 7.5))\(≥0\)		Сега всички скоби изглеждат така (първият е делото без знак и само след това номера). Но преди числителят се появи минус. Да го премахнете, умножаващо неравенството на (- 1), не забравяйте да обърнете знака за сравнение
(FRAC ((x-4) ^ 3 (x + 6) (x-6) ^ 4) ((x + 7.5))\(≤0\)		Готов. Сега изглежда неравенството. Можете да използвате интервалния метод.
(x \u003d 4;) (x \u003d -6;) (x \u003d 6;) (x \u003d -7.5)		Ние поставяме точките на оста, знаците и задържането на необходимите интервали.
		В интервала от (4), знакът не трябва да се променя, защото скобата ((x-6)) в доволната степен (виж параграф 4 на алгоритъма). Квадратчето ще бъде напомняне, че шестте са и решението на неравенството. Пишем отговора.

Отговор : ((- ∞; 7,5] ∪ [-6; 4] са оставени (6 дясно) \\ t

Пример. (Задача от OGE) Решаване на неравенството по метода на интервали (x ^ 2 (-x ^ 2-64) ≤64 (-x ^ 2-64) \\ t
Решение:

(x ^ 2 (-x ^ 2-64) ≤64 (-x ^ 2-64) \\ t		Отляво и надясно има същото - очевидно не е случайно. Първото желание е да се разделим (- x ^ 2-64), но това е грешка, защото Има шанс да загубите корен. Вместо това прехвърляме (64 (-x ^ 2-64) от лявата страна
(x ^ 2 (-x ^ 2-64) -64 (-x ^ 2-64) ≤0 \\ t
((- x ^ 2-64) (x ^ 2-64) ≤0 \\ t		Ще повтарям минус в първата скоба и ще разпространя втория до множителите
(- (x ^ 2 + 64) (x-8) (x + 8) ≤0)		Забележка: (x ^ 2) или равно на нула или повече нула. Така, \\ t (x ^ 2 + 64) - уникално положително при всяка стойност на ICA, т.е. този израз не влияе на знака на лявата страна. Затова можете спокойно да споделяте двете части на неравенството за този израз. Разделяме неравенството само на (- - 1) да се отървем от минус.
((x-8) (x + 8) ≥0)		Сега можете да приложите метода на интервала
(x \u003d 8;) (x \u003d -8)		Ние пишем отговора

Отговор : \((-∞;-8]∪}