Pyramida. Vzorce a vlastnosti pyramidy

apotéma apotéma

(z řeckého apotíthēmi - odkládám), 1) úsečka (stejně jako její délka) kolmice A, klesl ze středu pravidelného mnohoúhelníku na kteroukoli z jeho stran. 2) Ve správné pyramidě je apotéma výška A boční hrana.

APOTHEM

APOPHEMA (řecká apotéma - něco odloženo),
1) úsečka (stejně jako její délka) kolmice a, pokleslá ze středu pravidelného mnohoúhelníku na kteroukoli z jeho stran.
2) V pravidelné pyramidě je apotéma výška boční plochy.

encyklopedický slovník. 2009 .

Synonyma:

Podívejte se, co je „apotém“ v jiných slovnících:

Viz APOTEM. Slovník cizích slov zahrnutých v ruském jazyce. Chudinov A.N., 1910. APOTÉMA, viz APOTÉMA. Slovník cizích slov zahrnutých v ruském jazyce. Pavlenkov F., 1907 ... Slovník cizích slov ruského jazyka

- (z řečtiny apotithemi odkládám) ..1) úsečka (stejně jako její délka) kolmice a, spuštěná ze středu pravidelného mnohoúhelníku na kteroukoli z jeho stran2)] V pravidelném jehlanu je apotéma výška z bočního obličeje... Velký encyklopedický slovník

Exist., počet synonym: 3 apotema (2) délka (10) kolmá (4) Slovník ... Slovník synonym

APOTHEM- (1) délka kolmice pokleslé ze středu kružnice opsané kolem pravidelného mnohoúhelníku na kteroukoli z jeho stran; (2) výška boční stěny pravidelného jehlanu; (3) výška lichoběžníku, což je boční plocha pravidelného komolého ... ... Velká polytechnická encyklopedie

- (z řeckého apotithçmi jsem odložil) 1) délka kolmice pokleslé ze středu pravidelného mnohoúhelníku na kteroukoli jeho stranu (obr. 1); 2) v pravidelném jehlanu A. výška a jeho boční plochy (obr. 2). Rýže. 1 až…… Velká sovětská encyklopedie

- (z řeckého apotfthemi odkládám) 1) úsečka (stejně jako její délka) kolmice a, spuštěná ze středu pravidelného mnohoúhelníku na kteroukoli z jeho stran. 2) U pravidelného jehlanu A. výška a boční plochy (viz obrázek). K čl. Apotém... Velký encyklopedický polytechnický slovník

Délka kolmice pokleslé ze středu pravidelného mnohoúhelníku na jednu z jeho stran; apotéma se rovná poloměru kružnice vepsané do daného mnohoúhelníku. A. se také nazývala nakloněná strana kužele ... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron

- (z řeckého apotithemi odkládám), 1) úsečka (stejně jako její délka) kolmice a, spuštěná ze středu pravidelného mnohoúhelníku na kteroukoli její stranu. 2) V pravidelném jehlanu A. výška a boční stěny ... Přírodní věda. encyklopedický slovník

Apotém, apotém, apotém, apotém, apotém, apotém, apotém, apotém, apotém, apotém, apotém, apotém, apotém (

apotéma- výška boční plochy pravidelného jehlanu, který se kreslí od jeho vrcholu (apotém je navíc délka kolmice, která je snížena ze středu pravidelného mnohoúhelníku na 1 jeho stranu);
boční plochy (ASB, BSC, CSD, DSA) - trojúhelníky, které se sbíhají nahoře;
boční žebra ( TAK JAKO , BS , CS , D.S. ) - společné strany bočních ploch;
vrchol pyramidy (v. S) - bod, který spojuje boční hrany a který neleží v rovině základny;
výška ( TAK ) - segment kolmice, který je veden vrcholem jehlanu do roviny jeho základny (konce takového segmentu budou vrcholem jehlanu a základnou kolmice);
diagonální část pyramidy- řez jehlanem, který prochází vrcholem a úhlopříčkou základny;
základna (ABECEDA) je mnohoúhelník, ke kterému vrchol pyramidy nepatří.

pyramidové vlastnosti.

1. Když mají všechny boční okraje stejnou velikost, pak:

v blízkosti základny pyramidy je snadné popsat kruh, zatímco vrchol pyramidy bude promítán do středu tohoto kruhu;
boční žebra svírají se základní rovinou stejné úhly;
navíc platí i obráceně, tzn. když boční hrany svírají se základní rovinou stejné úhly nebo když lze popsat kružnici blízko základny jehlanu a vrchol jehlanu se promítne do středu této kružnice, pak všechny boční hrany jehlanu mají stejné velikosti.

2. Když mají boční plochy úhel sklonu k rovině základny stejné hodnoty, pak:

v blízkosti základny pyramidy je snadné popsat kruh, zatímco vrchol pyramidy se bude promítat do středu tohoto kruhu;
výšky bočních ploch jsou stejně dlouhé;
plocha boční plochy je ½ součinu obvodu základny a výšky boční plochy.

3. Kouli lze popsat v blízkosti jehlanu, jestliže základna jehlanu je mnohoúhelník, kolem kterého lze popsat kruh (nutná a postačující podmínka). Střed koule bude průsečíkem rovin, které procházejí středy hran jehlanu, které jsou k nim kolmé. Z této věty vyvozujeme, že kouli lze popsat jak kolem libovolného trojúhelníku, tak kolem libovolné pravidelné pyramidy.

4. Kouli lze vepsat do jehlanu, pokud se roviny os vnitřních dihedrálních úhlů jehlanu protnou v 1. bodě (nutná a postačující podmínka). Tento bod se stane středem koule.

Nejjednodušší pyramida.

Podle počtu rohů základny pyramidy se dělí na trojúhelníkové, čtyřúhelníkové a tak dále.

Pyramida bude trojúhelníkový, čtyřúhelníkový, a tak dále, když základna pyramidy je trojúhelník, čtyřúhelník a tak dále. Trojúhelníkový jehlan je čtyřstěn – čtyřstěn. Čtyřúhelník - pětistěn a tak dále.

Pro úspěšné řešení problémů v geometrii je nutné jasně porozumět termínům, které tato věda používá. Jsou to například „přímka“, „rovina“, „polyhedron“, „pyramida“ a mnoho dalších. V tomto článku odpovíme na otázku, co je to apotém.

Dvojí použití výrazu „apotém“

V geometrii význam slova „apotém“ nebo „apotém“, jak se také nazývá, závisí na tom, na jaký objekt je aplikován. Existují dvě zásadně odlišné třídy postav, u kterých je to jedna z jejich charakteristik.

V první řadě se jedná o ploché polygony. Jaká je apotéma pro mnohoúhelník? Toto je výška nakreslená od geometrického středu obrázku k kterékoli z jeho stran.

Aby bylo jasnější, co je v sázce, zvažte konkrétní příklad. Předpokládejme, že na obrázku níže je pravidelný šestiúhelník.

Symbol l označuje délku jeho strany, písmeno a apotému. U vyznačeného trojúhelníku to není jen výška, ale také sečna a střed. Je snadné ukázat, že pokud jde o stranu l, lze ji vypočítat následovně:

Podobně je apotém definován pro libovolný n-úhelník.

Druhým jsou pyramidy. Co je apotém pro takovou postavu? Tento problém vyžaduje podrobnější zvážení.

Na toto téma: Jak udělat řasy dlouhé a husté za pouhý měsíc?

Pyramidy a jejich apotéma

Nejprve si definujme pyramidu z hlediska geometrie. Tento obrazec je trojrozměrné těleso tvořené jedním n-úhelníkem (základna) a n trojúhelníky (stranami). Ty jsou spojeny v jednom bodě, který se nazývá vrchol. Vzdálenost od ní k základně je výška postavy. Pokud dopadá na geometrický střed n-úhelníku, pak se jehlan nazývá přímý. Pokud má n-úhelník navíc stejné úhly a strany, pak se obrazec nazývá pravidelný. Níže je uveden příklad pyramidy.

Co je apotém pro takovou postavu? Toto je kolmice, která spojuje strany n-úhelníku s horní částí obrázku. Je zřejmé, že představuje výšku trojúhelníku, což je strana pyramidy.

Apotém je vhodné použít při řešení geometrických problémů s pravidelnými jehlany. Faktem je, že pro ně jsou všechny boční plochy stejné jako rovnoramenné trojúhelníky. Poslední fakt znamená, že všech n apotém je stejných, takže u pravidelné pyramidy můžeme mluvit o jediné takové přímce.

Apotém čtyřbokého jehlanu správně

Snad nejviditelnějším příkladem této postavy bude slavný první div světa – Cheopsova pyramida. Je v Egyptě.

Pro každý takový obrazec s pravidelnou n-gonální základnou lze zadat vzorce, které umožňují určit jeho apotém z hlediska délky a strany mnohoúhelníku, z hlediska boční hrany b a výšky h. Zde napíšeme odpovídající vzorce pro přímý jehlan se čtvercovou základnou. Apotéma h b pro to bude rovna:

Na toto téma: Vlajka Bashkiria - popis, symbolika a historie

h b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4);

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4)

První z těchto výrazů platí pro jakoukoli pravidelnou pyramidu, druhý - pouze pro čtyřúhelníkovou.

Ukážeme si, jak lze tyto vzorce použít k vyřešení problému.

geometrický problém

Nechť je dán rovný jehlan se čtvercovou základnou. Je nutné vypočítat jeho základní plochu. Apotéma pyramidy je 16 cm a její výška je dvojnásobek strany základny.

Každý student ví: abyste našli plochu čtverce, který je základnou uvažované pyramidy, měli byste znát její stranu a. Abychom to našli, použijeme pro apotém následující vzorec:

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4)

Význam apotému je znám ze stavu problému. Protože výška h je dvojnásobkem délky strany a, lze tento výraz převést následovně:

h b = √((2*a) 2 + a 2 /4) = a/2*√17 =>

a = 2*h b /√17

Plocha čtverce se rovná součinu jeho stran. Dosazením výsledného výrazu za a máme:

S \u003d a 2 \u003d 4/17 * h b 2

Zbývá dosadit do vzorce hodnotu apotému z podmínky úlohy a zapsat odpověď: S ≈ 60,2 cm 2.

Přečtěte si také:

Poznámka. Toto je část lekce s úlohami z geometrie (část tělesová geometrie, úlohy o jehlanu). Pokud potřebujete vyřešit problém v geometrii, který zde není - napište o něm do fóra. V úlohách se místo symbolu „druhé odmocniny“ používá funkce sqrt (), ve které je sqrt symbol odmocniny a radikální výraz je uveden v závorkách..Pro jednoduché radikální výrazy lze použít znak „√“..

Teoretické materiály a vzorce viz kapitola " Správná pyramida ".

Úkol

Apotém pravidelného trojúhelníkového jehlanu je 4 cm a úhel vzepětí u základny je 60 stupňů. Najděte objem pyramidy.

Řešení.

Protože pyramida je správná, zvažte následující:

Výška pyramidy se promítá do středu základny
Střed podstavy pravidelného jehlanu podle podmínky úlohy je rovnostranný trojúhelník
Střed rovnostranného trojúhelníku je středem kružnice vepsané i kružnice opsané.
Výška jehlanu svírá s rovinou podstavy pravý úhel

Objem pyramidy lze zjistit pomocí vzorce:
V = 1/3 Sh

Protože apotém pravidelného jehlanu tvoří spolu s výškou jehlanu pravoúhlý trojúhelník, použijeme pro zjištění výšky sinusovou větu. Kromě toho vezměme v úvahu:

První větev uvažovaného pravoúhlého trojúhelníku je výška, druhá větev je poloměr kružnice vepsané (u pravidelného trojúhelníku je střed středem kružnice vepsané i kružnice opsané), přepona je apotém pyramida
Třetí úhel pravoúhlého trojúhelníku je 30 stupňů (součet úhlů trojúhelníku je 180 stupňů, úhel 60 stupňů je dán podmínkou, druhý úhel je pravý úhel podle vlastností jehlanu, třetí je 180-90-60 = 30)
sinus 30 stupňů rovná se 1/2
sinus 60 stupňů se rovná druhé odmocnině ze tří
sinus 90 stupňů je 1

Podle sinusové věty:
4 / sin(90) = h / sin(60) = r / sin(30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
kde
r=2
h = 2√3

Na základně pyramidy leží pravidelný trojúhelník, jehož oblast lze nalézt podle vzorce:
S rovnostranného trojúhelníku = 3√3 r 2 .
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3.

Nyní najděte objem pyramidy:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V \u003d 24 cm 3.

Odpovědět: 24 cm3.

Úkol

Výška a strana základny pravidelného čtyřbokého jehlanu je 24 a 14. Najděte apotému jehlanu.

Řešení .

Jelikož je pyramida pravidelná, pak na její základně leží pravidelný čtyřúhelník - čtverec. Výška pyramidy se navíc promítá do středu náměstí. Tedy, rameno pravoúhlého trojúhelníku, který je tvořen apotémou jehlanu, je výška a úsečka, která je spojuje, rovna polovině délky základny pravidelného čtyřbokého jehlanu.

Odkud se podle Pythagorovy věty zjistí délka apotému z rovnice:

72 + 242 = x2
x2 = 625
x=25

Odpověď: 25 cm