Na kanálu na YouTube našich stránek webu udržet krok všech nových video lekcí.

Nejdříve si pamatujme základní vzorce stupňů a jejich vlastnosti.

Práce čísla a. Samotná nastane n krát, tento výraz můžeme zapsat jako a ... A \u003d a n

1. A 0 \u003d 1 (a ≠ 0)

3. A n a m \u003d a n + m

4. (a n) m \u003d a nm

5. A n b n \u003d (ab) n

7. A n / a m \u003d a n - m

Síla nebo demonstrační rovnice - Jedná se o rovnice, ve kterých jsou proměnné ve stupních (nebo indikátorech) a základem je číslo.

Příklady konzumační rovnice:

V tomto příkladu je číslo 6 základem, který vždy znamená v přízemí a proměnnou x. stupeň nebo indikátor.

Dejte nám více příkladů orientačních rovnic.
2 x * 5 \u003d 10
16 x - 4 x - 6 \u003d 0

Nyní budeme analyzovat, jak jsou řešeny demonstrační rovnice?

Udělejte si jednoduchou rovnici:

2 x \u003d 2 3

Tento příklad lze vyřešit i v mysli. Je vidět, že x \u003d 3. Koneckonců, takže levá a pravá část by měla být rovna počtu 3 místo x.
Podívejme se, jak je nutné toto rozhodnutí vydat:

2 x \u003d 2 3
x \u003d 3.

Za účelem vyřešení takové rovnice jsme odstranili stejné pozemky (tj. Dva) a zaznamenal, co zůstane, je to stupně. Obdržel požadovanou odpověď.

Nyní shrnujte naše rozhodnutí.

Algoritmus pro řešení orientační rovnice:
1. Je třeba zkontrolovat stejný Lee nadace na rovnici vpravo a vlevo. Pokud nejsou základy stejné jako hledání možností pro řešení tohoto příkladu.
2. Poté, co se nadace staly stejné, rovnat se Stupně a vyřešit výslednou novou rovnici.

Nyní přepište několik příkladů:

Začněme jednoduchým.

Základy v levé a pravé části se rovná číslu 2, což znamená, že můžeme odmítnout a srovnávat jejich stupně.

x + 2 \u003d 4 Ukázalo se, že to nejjednodušší rovnice.
X \u003d 4 - 2
x \u003d 2.
Odpověď: X \u003d 2

V následujícím příkladu lze vidět, že báze jsou odlišné. Je to 3 a 9.

3 3x - 9 x + 8 \u003d 0

Chcete-li začít, převedeme devět na pravou stranu, dostaneme:

Nyní musíte udělat stejnou nadaci. Víme, že 9 \u003d 3 2. Používáme stupeň vzorec (a n) m \u003d a nm.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Získáme 9 x + 8 \u003d (3) x + 8 \u003d 3 2x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 Nyní je jasné, že vlevo a pravá strana Základy jsou stejné a rovny trojici, pak je můžeme zlikvidovat a srovnávat stupně.

3x \u003d 2x + 16 obdržel nejjednodušší rovnici
3x - 2x \u003d 16
X \u003d 16.
Odpověď: X \u003d 16.

Díváme se na následující příklad:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Za prvé, podíváme se na základnu, základy jsou různé dva a čtyři. A musíme být stejné. Převádíme čtyři podle vzorce (a n) m \u003d a nm.

4 x \u003d (2) x \u003d 2 2x

A také používat jeden vzorec a n a m \u003d a n + m:

2 2x + 4 \u003d 2 2x 2 4

Přidat do rovnice:

2 2x 2 4 - 10 2 2x \u003d 24

Došli jsme příklad ke stejným důvodům. Ale zasahujeme do jiných čísel 10 a 24. Co s nimi? Pokud vidíte, že je jasné, že máme 2 2 2, to je odpověď - 2 2, můžeme vyjmout závorky:

2 2x (2 4 - 10) \u003d 24

Vypočítáme výraz v závorkách:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Všechny rovnice Delim na 6:

Představte si 4 \u003d 2 2:

2 2x \u003d 2 2 báze jsou stejné a vyhodí je a odpovídají stupni.
2x \u003d 2 Ukázalo se, že to nejjednodušší rovnice. Rozdělujeme to na 2
X \u003d 1.
Odpověď: X \u003d 1.

Řešení rovnice:

9 x - 12 * 3 x + 27 \u003d 0

Transformujeme:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x

Dostaneme rovnici:
3 2x - 12 3 x +27 \u003d 0

Základy, které máme stejné, jsou stejné tři. V tomto příkladu lze vidět, že první tři stupně dvakrát (2x) je větší než u druhé (jednoduše x). V tomto případě můžete vyřešit metoda nahrazení. Číslo s nejmenším stupněm nahrazuje:

Pak 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Nahradíme v rovnici všechny stupně s dutinami na t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Dostávat kvadratická rovnice. Rozhodneme se prostřednictvím diskriminace, dostaneme:
D \u003d 144-108 \u003d 36
T 1 \u003d 9
T 2 \u003d 3

Vrátit se k proměnné x..

Take t 1:
T 1 \u003d 9 \u003d 3 x

To znamená

3 x \u003d 9
3 x \u003d 3 2
x 1 \u003d 2

Nalezený jeden kořen. Hledáme druhou, od T 2:
T 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x \u003d 3 1
x 2 \u003d 1
Odpověď: X 1 \u003d 2; x 2 \u003d 1.

Na stránkách můžete v pomoci vyřešit rozhodnutí požádat vás klást otázky. Odpovíme.

Připojte se ke skupině

I. I.Složení n. v továrně, z nichž každá je stejná ale volala n.Mezi stupněm čísla ale A označuje ale N..

Příklady. Napište produkt ve tvaru stupně.

1) mmmm; 2) AAABB; 3) 5 · 5 · 5 · 5 · CCC; 4) PPKK + PPPK-PPKKK.

Rozhodnutí.

1) mmmm \u003d m 4Vzhledem k definici, práce čtyř faktorů, z nichž každá je stejná m., bude Čtvrtý stupeň čísla m.

2) AAABB \u003d A 3 B 2; 3) 5 · 5 · 5 · 5 · CCC \u003d 5 4 C3; 4) PPKK + PPPK-PPKKK \u003d P 2 K 2 + P3 K-P 2 K 3.

II. Akce, se kterými je výrobek několika stejných závad, se nazývá cvičení. Číslo, které je postaveno do stupně, se nazývá založení stupně. Číslo, které ukazuje, který stupeň je základem se nazývá ukazatel stupně. Tak, ale N. - stupeň ale - základem stupně n.- indikátor. Například:

2 3 — to je stupeň. Číslo 2 - základem stupně, ukazatel stupně je stejný 3 . Hodnota stupně 2 3 stejně 8, tak jako 2 3 \u003d 2 · 2 \u003d 8.

Příklady. Napište následující výrazy bez indikátoru.

5) 4 3; 6) A 3 B 2 C3; 7) A 3-4; 8) 2A 4 + 3B 2.

Rozhodnutí.

5) 4 3 = 4 · 4 · 4 ; 6) A 3 B 2 C 3 \u003d aAABBCCC; 7) A 3-B 3 \u003d aAA-BBB; 8) 2A 4 + 3B 2 \u003d 2AAAA + 3BB.

III. A 0 \u003d 1 Jakékoli číslo (kromě nuly) v nulovém stupni rovném jednom. Například, 25 0 \u003d 1.
IV. A 1 \u003d A Nějaké číslo v prvním stupni je rovna samému sobě.

PROTI. M.∙ a n.= m. + N. Při násobení stupňů se stejnými bázemi je základna ponechána pro stejné a indikátory složit.

Příklady. Zjednodušit:

9) A 3 · A 7; 10) B 0 + B 2 · B3; 11) C 2 · C 0 · C · C 4.

Rozhodnutí.

9) A 3 · A 7\u003d 1 + 3 + 7 \u003d A 11; 10) B 0 + B 2 · B 3 \u003d1 + B2 + 3 \u003d 1 + B 5;

11) C 2 · C 0 · C · C 4 \u003d1 · C 2 · C · C 4 \u003d C 2 + 1 + 4 \u003d C 7 .

Vi. M.: a n.= m. - N. Při dělení stupňů se stejnými bázemi, základna je ponechána pro stejnou a od stupně dělitele, stupeň děliče se odečte.

Příklady. Zjednodušit:

12) A 8: A 3; 13) m 11: m 4; 14) 5 6: 5 4.

12) A 8: A 3\u003d A 8-3 \u003d A 5; 13) m 11: m 4\u003d M 11-4 \u003d m 7; čtrnáct ) 5 6:5 4 \u003d 5 2 \u003d 5 · 5 \u003d 25.

Vii. (m.) N.= mn. Pokud je stupeň zvýšen do stupně, je základna ponechána pro stejné a indikátory jsou prodlouženy.

Příklady. Zjednodušit:

15) (a 3) 4; 16) (C 5) 2.

15) (a 3) 4\u003d A 3 · 4 \u003d A 12; 16) (C 5) 2\u003d C5 · 2 \u003d C 10.

Poznámkaže práce multiplikátorů nemění práci, že:

15) (3) 4 \u003d (4) 3; 16) (C5) 2 \u003d (C 2) 5.

PROTI.I. I. II.. (A ∙ b) n \u003d a n ∙ b n Při postojování práce je každý z multiplikátorů zvýšen do tohoto stupně.

Příklady. Zjednodušit:

17) (2a 2) 5; 18) 0,2 6 · 5 6; 19) 0,25 2 · 40 2.

Rozhodnutí.

17) (2a 2) 5\u003d 2 5 · A 2 · 5 \u003d 32A 10; 18) 0,2 6 · 5 6\u003d (0,2 · 5) 6 \u003d 1 6 \u003d 1;

19) 0,25 2 · 40 2\u003d (0,25 · 40) 2 \u003d 10 2 \u003d 100.

Ix. Při ferenci do stupně zlomků je postaven do tohoto stupně a numerátoru a jmenovatele frakce.

Příklady. Zjednodušit:

Rozhodnutí.

Strana 1 z 1 1

Jeden z hlavních vlastností algebry a v celé matematice je titul. Samozřejmě, v 21. století, všechny výpočty mohou být prováděny na online kalkulačce, ale je lepší, aby se vývoj mozku naučili, jak to udělat sami.

V tomto článku zvažte nejvíce důležité otázkytýkající se této definice. Jmenovitě pochopíme, že je to obecně takové a co je hlavní funkce, které jsou vlastnosti v matematice.

Zvažte příklady, jaký výpočet vypadá, je hlavní vzorce. Budeme analyzovat hlavní typy velikosti a to, co se liší od jiných funkcí.

Chápeme, jak vyřešit s pomocí této hodnoty různé úkoly. Ukážeme na příkladech, jak vztyčit na nulový stupeň, iracionální, negativní atd.

Online cvičení kalkulačka

Jaký je stupeň čísla

Co je implikováno pod výrazem "vztyčí datum do stupně?

Stupeň N číslo A je produkt multiplikátorů N-jednou v řadě.

Matematicky to vypadá takto:

a n \u003d a * a * a * ... a n.

Například:

• 2 3 \u003d 2 ve třetím kroku. \u003d 2 * 2 * 2 \u003d 8;
• 4 2 \u003d 4 v kroku. dva \u003d 4 * 4 \u003d 16;
• 5 4 \u003d 5 v kroku. čtyři \u003d 5 * 5 * 5 * 5 \u003d 625;
• 10 5 \u003d 10 V 5 Krok. \u003d 10 * 10 * 10 * 10 * 10 \u003d 100000;
• 10 4 \u003d 10 ve 4 kroku. \u003d 10 * 10 * 10 * 10 \u003d 10 000.

Níže bude tabulka čtverců a kostek od 1 do 10.

Tabulka stupňů od 1 do 10

Níže budou výsledky výstavby přirozená čísla Pozitivní stupně - "od 1 do 100".

CH-LO.	2. st-n	3 stm.
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Vlastnosti stupňů

Co je charakteristické matematická funkce? Zvažte základní vlastnosti.

Vědci založili následující značky charakteristika všech stupňů:

• a n * a m \u003d (a) (n + m);
• a n: a m \u003d (a) (n-m);
• (A b) m \u003d (a) (b * m).

Zkontrolujte příklady:

2 3 * 2 2 \u003d 8 * 4 \u003d 32. Na druhé straně 2 5 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 32.

Podobně: 2 3: 2 \u003d 8/4 \u003d 2. Jinak 2 3-2 \u003d 2 1 \u003d 2.

(23) 2 \u003d 8 2 \u003d 64. A pokud se liší? 2 6 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 32 * 2 \u003d 64.

Jak vidíte, pravidla fungují.

A co s přidáním a odečtením? Všechno je jednoduché. Provádí se první konstrukce rozsahu a teprve pak přidat a odčítání.

Podívejme se na příklady:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 \u003d 25 - 9 \u003d 16. POZNÁMKA: Pravidlo nebude provedeno, pokud nejprve provedete odčítání: (5 - 3) 2 \u003d 2 \u003d 4.

V tomto případě je však nutné vypočítat první přídavek, protože tam jsou akce v závorkách: (5 + 3) 3 \u003d 8 3 \u003d 512.

Jak vyrábět výpočty ve složitějších případech? Stejný řád:

• v přítomnosti závorek - musíte s nimi začít;
• pak cvičení do stupně;
• poté proveďte akce násobení, dělení;
• po přidání odečítání.

tady je specifické vlastnostiCharakteristika ne pro všechny stupně:

1. Kořen n-th titulu ze stupně m je zaznamenán jako: a m / n.
2. Při postojování frakce ve stupni: Tento postup podléhá čísliteli a jeho jmenovateli.
3. Při postojování produktu různých čísel do stupně bude exprese odpovídat produktu těchto čísel do daného rozsahu. To je: (A * b) n \u003d a n * b n.
4. S erekcí čísla v negativním kroku., Je nutné rozdělit 1 podle počtu ve stejném st-buď, ale s znakem "+".
5. Pokud je Denomoter negativní stupeň, bude tento výraz roven produktu numatelátoru k jmenovateli k pozitivnímu stupni.
6. Jakékoli číslo do stupně 0 \u003d 1 a v kroku. 1 \u003d sami.

Tato pravidla jsou v některých případech důležitá, zvažte je podrobněji níže.

Záporný

Co dělat s mínus titulem, tj. Když je indikátor negativní?

Na základě vlastností 4 a 5 (viz výše uvedená položka) ukázalo se to:

A (- n) \u003d 1 / a n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

A naopak:

1 / A (- n) \u003d a n, 1/2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

A pokud zlomek?

(A / b) (- n) \u003d (b / a) n, (3/5) (-2) \u003d (5/3) 2 \u003d 25/9.

Poměr

Pod ním pochopit titul s ukazateli rovnými celými čísly.

Co potřebujete pamatovat:

0 \u003d 1, 1 0 \u003d 1; 2 0 \u003d 1; 3.15 0 \u003d 1; (-4) 0 \u003d 1 ... atd.

A 1 \u003d a, 1 1 \u003d 1; 2 1 \u003d 2; 3 1 \u003d 3 ... atd.

Kromě toho, pokud (-a) 2 n +2, n \u003d 0, 1, 2 ... Výsledek bude znaménkem "+". Pokud je záporné číslo postaveno do lichého stupně, pak naopak.

Obecné vlastnosti a všechny specifické znaky popsané výše jsou také charakteristické.

Zlomek

Tento druh lze zaznamenat se schématem: a m / n. Čtení jako: n-esenciální kořen ze stupně m.

S zlomkovým indikátorem můžete dělat cokoliv: Řez, ležel na částech, vzpřímeném do jiného stupně atd.

Iracionální

Nechť α být iracionální číslo a ˃ 0.

Pochopit podstatu stupně s takovým ukazatelem, zvažte různé možné případy:

• A \u003d 1. Výsledek bude roven 1. Vzhledem k tomu, že dochází k axiom - 1 ve všech stupních se rovná jedné;

A R1 ˂ a α a R2, R1 ˂ R 2 - racionální čísla;

• 0˂˂1.

V tomto případě naopak: a R2 ˂ A α ˂ a R1 za stejných podmínek jako ve druhém odstavci.

Například ukazatel stupně čísla π. Je to racionální.

r 1 - v tomto případě je 3;

r 2 - bude rovna 4.

Pak, při a \u003d 1, 1 π \u003d 1.

A \u003d 2, pak 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A \u003d 1/2, pak (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Pro tyto stupně jsou charakteristické všechny matematické operace a specifické vlastnosti popsané výše.

Závěr

Pojďme shrnout - proč tyto množství potřebují, jaká je výhoda těchto funkcí? Samozřejmě, nejprve zjednodušují životnost matematiků a programátorů při řešení příkladů, protože vám umožní minimalizovat výpočty, snižovat algoritmy, systematize data a mnohem více.

Kde jinde mohou tyto znalosti považovat za hodnocené? V každé pracovní specialitě: lékařství, farmakologie, stomatologie, konstrukce, technologie, inženýrství, design atd.

Výrazy, transformace výrazů

Výkonné výrazy (výrazy s tituly) a jejich konverze

V tomto článku budeme hovořit o transformačních výrazech s tituly. Nejdříve se zaměříme na transformace, které jsou prováděny s výrazy jakéhokoliv druhu, včetně výkonné výrazy, jako jsou zveřejňování závorek, což představuje podobné termíny. A pak budeme analyzovat transformaci inherentní výrazy s tituly: práce s podkladem a ukazatelem stupně, použití vlastností stupňů atd.

Navigace stránky.

Jaké jsou výrazy výkonu?

Termín "mocné výrazy" prakticky nedochází ke školním učebnicím matematiky, ale často se objeví ve sbírkách úkolů, zejména navržených pro přípravu na EGE a OGE, například. Po analýze úkolů, ve kterých jsou jakékoli akce vyžadovány s výrazy výkonu, je jasné, že pod výrazem posílání rozumí výrazům obsahujícími v jejich studijních záznamech. Proto je možné tuto definici přijmout pro sebe:

Definice.

Vývojové výrazy - Jedná se o výrazy obsahující stupně.

Tady příklady výrazů výkonu. Kromě toho je předkládáme podle toho, jak se vyskytne vývoj názorů na míru s přirozeným ukazatelem do stupně se skutečným indikátorem.

Jak víte, nejprve seznámení se stupněm čísla s přirozenou postavou, v této fázi první nejjednodušší exprese výkonu typu 3, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (-0,1) 4, 3 · 2 se objeví -A + a 2, x 3-1, (a 2) 3 atd.

O něco později, stupeň čísla s celým číslem je studován, což vede k vzniku výrazů s celými negativními tituly, jako je následující: 3 -2, , A -2 + 2 · B -3 + C 2.

Na střední škole se znovu vrátil do stupňů. Tam je stupeň s racionálním ukazatelem, který zahrnuje vzhled vhodných výrazů výkonu: , , atd. Konečně diskutuje o stupních s iracionálními ukazateli a zahrnující jejich výrazy:.

Pouzdro uvedené podle výrazových výrazů není omezen na: proměnná proniká dále v rozsahu rozsahu a existují takové výrazy 2 x 2 + 1 nebo . A po seznámení se výrazy se stupněmi a logaritmy začnou setkat, například x 2 · lgx -5 · x lgx.

Takže jsme se zabývali otázkou, která představuje mocné výrazy. Budeme se nadále naučit převést je.

Hlavní typy transformací výrazů výkonu

S výrazy výkonu můžete provádět některý z hlavních transformací identity výrazů. Můžete například odhalit závorky, nahradit numerické výrazy jejich hodnotami, přinést podobné pojmy atd. Přirozeně by mělo být nezbytné dodržovat postup pro provádění akcí. Dáváme příklady.

Příklad.

Vypočítejte hodnotu exprese výkonu 2 3 · (4 2 -12).

Rozhodnutí.

Podle postupu pro provádění akcí nejprve provádějte akce v závorkách. Za prvé, nahradíme stupeň 4 2 jeho hodnoty 16 (viz v případě potřeby) a za druhé, vypočítáme rozdíl 16-12 \u003d 4. Mít 2 3 · (4 2 -12) \u003d 2 3 · (16-12) \u003d 2 3 · 4.

Ve výsledném expresi nahradíme stupeň 2 3 jeho hodnoty 8, po kterém počítáme produkt 8 · 4 \u003d 32. Toto je požadovaná hodnota.

Tak, 2 3 · (4 2 -12) \u003d 2 3 · (16-12) \u003d 2 3 · 4 \u003d 8 · 4 \u003d 32.

Odpovědět:

2 3 · (4 2 -12) \u003d 32.

Příklad.

Zjednodušte výrazy s tituly 3 · A 4 · B -7 -1 + 2 · A 4 · B -7.

Rozhodnutí.

Je zřejmé, že tento výraz obsahuje podobné termíny 3 · 4 · b -7 a 2 · 4 · b -7 a můžeme je vést :.

Odpovědět:

3 · A 4 · B -7 -1 + 2 · A 4 · B -7 \u003d 5 · A 4 · B -7 -1.

Příklad.

Představte výraz s tituly ve formě práce.

Rozhodnutí.

Úvěr s úkolem umožňuje reprezentaci čísla 9 ve formě stupně 3 2 a následné použití vzorce zkrácených násobení. Čtvercové rozdíly:

Odpovědět:

Existuje také číslo identické transformacev výrazných výrazech. Pak je rozeznáme.

Pracovat s základem a ukazatelem stupně

Existuje rozsah, na základě základny a / nebo indikátor, které nejsou jen čísly nebo proměnné, ale některé výrazy. Jako příklad uveďte záznam (2 + 0,3 · 7) 5-3.7 a (A + 1) -A 2) 2 · (X + 1).

Při práci s podobnými výrazy je možné jako exprese v základně stupně a exprese v indikátoru je nahrazen identicky roven expresi na liché proměnné. Jinými slovy, můžeme nám samostatně převést zakořenění stupně pro nás samostatně a samostatně indikátor. Je jasné, že v důsledku této transformace bude výraz identicky roven počátečnímu.

Tyto transformace umožňují zjednodušit výrazy se stupněmi nebo dosáhnout dalšího účelu, který potřebujeme. Například ve výše uvedeném výkonu (2 + 0,3 · 7) 5-3.7 je možné provádět akce s čísly na základně a indikátoru, který vám umožní přesunout do stupně 4.1 1.3. A po zveřejnění závorek a přiveďte podobné pojmy na základě stupně (A + 1) -A 2) 2 · (X + 1), získáme expresi výkonu jednodušší formy A 2 · ( X + 1).

Použijte vlastnosti stupňů

Jednou z hlavních nástrojů pro transformaci výrazů se stupněmi je rovnost odrážející. Vzpomenout na hlavní z nich. Pro všechna kladná čísla A a B a libovolná platná čísla R a S, následující vlastnosti stupňů platí:

• a r · a s \u003d a r + s;
• a R: A S \u003d R-S;
• (a b) r \u003d r · b r;
• (A: b) r \u003d r: b r;
• (A r) s \u003d r · s.

Všimněte si, že s přírodními, celými čísly, stejně jako pozitivní ukazatele stupně omezení na čísle A a B nemusí být stejně přísné. Například pro přírodní čísla m a n, rovnost a m · a n \u003d a m + n je pravdivý nejen pro pozitivní a, ale také negativní a pro A \u003d 0.

Ve škole se zaměřuje na transformaci výrazů výkonu, je zaměřena na možnost vybrat vhodnou vlastnost a správně ji aplikovat. Zároveň jsou základy stupňů obvykle pozitivní, což umožňuje použití vlastností stupňů bez omezení. Totéž platí pro transformaci výrazů obsahujících proměnné v základnách stupňů - oblast přípustných hodnot proměnných je obvykle, že na něj jsou přijaty pouze kladné hodnoty, což umožňuje volně používat vlastnosti stupňů . Obecně platí, že je nutné neustále se divit, zda je možné použít veškerý majetek stupňů v tomto případě, protože nepřesnost používání vlastností může vést k zúžení OTZ a jiných problémů. Podrobně a na příkladech jsou tyto momenty demontovány v článku transformace výrazů pomocí vlastností stupňů. Zde se obrátíme k úvaze několika jednoduchých příkladů.

Příklad.

Připravte expresi A 2,5 · (A 2) -3: A -5.5 jako stupeň se základnou A.

Rozhodnutí.

Za prvé, druhý faktor (a 2) -3 konvertuje cvičení ve stupni ve stupni ve stupni: (A 2) -3 \u003d A 2 · (-3) \u003d A -6. Počáteční exprese napájení má formu 2,5 · A -6: A -5.5. Je zřejmé, že to zůstane využít vlastností násobení a rozdělení stupňů se stejným základem, máme
a 2,5 · A -6: A -5.5 \u003d
a 2,5-6: A -5.5 \u003d A -3,5: A -5.5 \u003d
a -3.5 - (- 5.5) \u003d A 2.

Odpovědět:

a 2,5 · (A 2) -3: A -5.5 \u003d A 2.

Vlastnosti stupňů při převodu výrazů výkonu se používají jak zleva doprava a vpravo doleva.

Příklad.

Najděte hodnotu výrazu výkonu.

Rozhodnutí.

Rovnost (A · b) r \u003d r · b r, aplikovaná vlevo vlevo, umožňuje počáteční exprese, aby se přesunul do výrobku a dále. A při násobení stupňů se stejnými bázemi, ukazatele se skládají: .

Bylo možné provést transformaci počátečního exprese a jinak:

Odpovědět:

.

Příklad.

Exprese výkonu A 1,5 -a -a 0,5 -6, zadejte novou proměnnou T \u003d A 0,5.

Rozhodnutí.

Stupeň A 1.5 může být reprezentován jako 0,5 · 3 a v databázi vlastnosti stupně do stupně (A R) S \u003d A R · S, aplikovaný vpravo na levé straně, převést jej na formu (0,5) 3. Takto, 1,5 -a -a 0,5 -6 \u003d (0,5) 3 -a -a 0,5 -6. Nyní je snadné zadat novou proměnnou t \u003d A 0,5, získáme t3 -t-6.

Odpovědět:

t 3 -t-6.

Transformace frakcí obsahujících stupně

Výkonné výrazy mohou obsahovat frakce s tituly nebo představují takové frakce. Tyto frakce jsou plně použitelné jakékoliv z hlavních transformací frakcí, které jsou inherentní zlomky jakéhokoliv druhu. To znamená, že zlomky, které obsahují stupně, mohou být sníženy, vést k novému jmenovateli, pracovat odděleně s jejich numerátorem a odděleně s jmenovatelem atd. Pro ilustraci slov zvažte řešení několika příkladů.

Příklad.

Zjednodušte výraz výkonu .

Rozhodnutí.

Tento výraz napájení je zlomek. Budeme pracovat s nulátorem a denominátorem. V nulátoru odhalíme závorky a zjednodušuje výraz získaný po tomto, s využitím vlastností stupňů a v denominátoru poskytneme podobné pojmy:

A stále mění znaménko jmenovatele, umístění mínus před zlomkem: .

Odpovědět:

.

Přinesení stupňů frakcí do nového jmenovatele se provádí podobně jako přináší racionální frakce k novému jmenovateli. Současně je umístěn další faktor a vynásobení numerátoru a jmenovatele frakce. Provádění této akce, stojí za to připomenout, že přinášet do nového jmenovatele může vést k zúžení OTZ. To se nestane, je nutné, aby další faktor se nevztahuje na nulu bez ohledu na to, jaké hodnoty proměnných z lichých proměnných pro počáteční výraz.

Příklad.

Dejte frakcemi do nového jmenovatele: a) na denominátor A, B) na denominátor.

Rozhodnutí.

a) V tomto případě je poměrně jednoduché zjistit, co další multiplikátor pomáhá dosáhnout požadovaný výsledek. Jedná se o násobitel A 0,3, jako 0,7 · 0,3 \u003d A 0,7 + 0,3 \u003d A. Všimněte si, že na území přípustných hodnot proměnné A (Jedná se o množství všech pozitivních platných čísel) stupeň 0.3 se nevztahuje na nulu, proto máme právo násobit numerátor a jmenovatele Zadaná frakce na tomto dalším faktoru:

b) pozorněji se dívá na denominátor, to lze nalézt

A násobení tohoto výrazu bude poskytovat množství kostek a to je. A to je nový jmenovatel, ke kterému musíme přinést původní frakci.

Tak jsme našli další faktor. Na ploše přípustných hodnot proměnných X a Y se výraz nevztahuje na nulu, proto můžeme násobit numerátor a jmenovatel frakce:

Odpovědět:

ale) b) .

Neexistuje nic nového při redukci frakcí obsahujících stupně, není nic nového: numerátor a jmenovatele jsou reprezentovány jako řada multiplikátorů a stejné multiplikátory numátoru a jmenovatel se sníží.

Příklad.

Snižte frakci: A) , b).

Rozhodnutí.

a) Za prvé, numerátor a jmenovatel může být snížen na čísla 30 a 45, což se rovná 15. Také, samozřejmě můžete provést snížení x 0,5 +1 a . To je to, co máme:

b) V tomto případě nemohou být stejné multiplikátory v Čitateli a jmenovateli okamžitě viditelné. Chcete-li je dostat, budete muset provést předběžné transformace. V tomto případě jsou uzavřeny v expanzi jmenovatele pro multiplikátory pomocí vzorce čtvercového rozdílu:

Odpovědět:

ale)

b) .

Přináší frakce k novému jmenovateli a snížení frakcí se používá především k provádění účinku s frakcemi. Akce se provádějí podle známých pravidel. Při přidávání (odečtení) frakcí jsou dány společným jmenovatelemPoté existují čísla (odečtené) číslice, a denominátor zůstává stejný. V důsledku toho se vypne zlomek, jehož numerátor je produkt číslic, a jmenovatel je produktem jmenovatelů. Divize frakce je násobení frakcí, inverzní.

Příklad.

Následuj kroky .

Rozhodnutí.

Za prvé, provádíme odčítání frakcí umístěných v závorkách. Chcete-li to udělat, přiveďte je do společného jmenovatele, který má , po kterém odčítáme čísla:

Nyní násobíme zlomky:

Je zřejmé, že je možné snížit stupeň x 1/2, po kterém máme .

Expresi napájení můžete stále zjednodušit v denominátoru pomocí vzorce čtvercového rozdílu: .

Odpovědět:

Příklad.

Zjednodušte výraz výkonu .

Rozhodnutí.

Je zřejmé, že tato frakce může být snížena (x 2,7 +1) 2, dává zlomek . Je jasné, že musíte udělat něco jiného s tituly ICA. K tomu transformujeme výslednou frakci do práce. To nám dává příležitost využít majetku titulů se stejnými pozemky: . A na závěr pokračujte od poslední práce na zlomku.

Odpovědět:

.

A také dodávám, že je to možné a v mnoha případech je žádoucí přenášet několik míry stupňů z numatelátoru do jmenovatele nebo z jmenovatele na numerátor, změnou znaménka indikátoru. Tyto transformace často zjednodušují další akce. Například výraz napájení může být nahrazen.

Transformace výrazů s kořeny a stupněmi

Často ve výrazech, které vyžadují některé transformace, spolu se stupněmi s frakčními ukazateli existují kořeny. Převést podobný výraz do správné mysli, ve většině případů stačí jen jít do kořenů nebo jen na stupně. Ale protože je vhodnější pracovat s tituly, obvykle jdou z kořenů na stupně. Je však vhodné vykonávat takový přechod, když proměnné OTZ pro počáteční exprese umožňuje nahradit kořeny podle stupňů, aniž by museli se obrátit na modul nebo rozdělit Otz na několik mezer (podrobně jsme rozebrali přechod z kořenů ke stupni a zpět po prozkoumání stupně s racionálním ukazatelem se zavede stupeň s iraciačním indikátorem, což vám umožní hovořit o stupni s libovolným skutečným ukazatelem. V této fázi, škola začíná studovat exponenciální funkce který je analyzován stupněm, ve kterém je číslo umístěno, a v indikátoru - proměnná. Takže jsme konfrontováni se silnými výrazy obsahujícími číslo v základu stupně a v indikátoru - výrazy s proměnnými a přirozeně je třeba provést transformace takových výrazů.

Je třeba říci, že transformace výrazů specifikovaných druhů musí být prováděna při řešení konzumační rovnice a orientační nerovnostiA tyto transformace jsou poměrně jednoduché. V ohromném počtu případů jsou založeny na vlastnostech stupně a jsou určeny z větší části pro vstup do nové proměnné v budoucnu. Prokázat, že umožní rovnici 5 2 · x + 1 -3 · 5 x · 7 x -14 · 7 2 · X-1 \u003d 0.

Za prvé, stupně indikátorů, z nichž je součet některých proměnných (nebo výrazů s proměnnými) a čísla jsou nahrazena prací. To platí pro první a poslední výrazové výrazy z levé strany:
5 2 · x · 5 1 -3 · 5 x · 7 x -14 · 7 2 · x · 7 -1 \u003d 0,
5 · 5 2 · x -3 · 5 x · 7 x -2 · 7 2 · x \u003d 0.

Dále se rozdělení obou částí rovnosti provádí na expresi 7 2 · X, které pouze kladné hodnoty berou na zdrojovou rovnici zdrojové rovnice (jedná se o standardní příjem řešení tohoto typu, to není O něm nyní se zaměřte na následné transformace výrazů s tituly):

Nyní jsou frakce sníženy ve stupních, což dává .

Nakonec se poměr stupňů se stejnými ukazateli nahrazuje stupněmi vztahů, což vede k rovnici Který je ekvivalentní . Transformace umožňují zavést novou proměnnou, která snižuje řešení počáteční indikativní rovnice k řešení čtvercové rovnice

I. V. BOYKOV, L. D. ROMANDOVA Sběr úkolů pro přípravu na zkoušku. Část 1. Penza 2003.

Sekce: Matematika

Typ lekce: Lekce zobecnění a systematizace znalostí

Cíle:

vzdělávací - Opakujte stanovení stupně, pravidla násobení a rozdělení stupňů, výstavba stupně do té míry, konsolidovat schopnost řešit příklady obsahující stupně

rozvíjející se - rozvoj logické myšlení Studenti, zájem o studovaný materiál,

vzrůstající - Vzdělávání odpovědného přístupu k studiu, kultuře komunikace, pocity kolektivismu.

Zařízení: Počítač, multimediální projektor, interaktivní deska, prezentace "stupeň" pro ústní účet, karty s úkoly, distribuční materiál.

Plán lekce:

Organizující čas.

Opakování pravidel

Verbální počítání.

Historický odkaz.

Práce na palubě.

Fizkultminutka.

Práce na interaktivní desce.

Samostatná práce.

Domácí práce.

Sčítání lekce.

Během tříd

I. Organizační moment

Témata zpráv a účely lekce.

V předchozích lekcích jste objevili pro sebe Úžasný svět Stupně, naučené násobit a sdílet tituly, postavit je do stupně. Dnes musíme konsolidovat znalosti získané při řešení příkladů.

II. Opakování pravidel (orálně)

1. Dejte definici přirozeným indikátorem? (Stupeň čísel ale S přirozeným indikátorem, velkým 1, zvaným práci n. násobitelé, z nichž každá je stejná ale.)
2. Jak vynásobit dva stupně? (Vynásobte tituly se stejnými bázemi, je nutné opustit základnu stejným způsobem a indikátory jsou složeny.)
3. Jak rozdělit stupeň do stupně? (Rozdělit stupně se stejnými bázemi, je nutné nechat základnu stejné a indikátory odečítají.)
4. Jak vytvořit produkt do stupně? (Vybudovat produkt do určité míry, je to nutné každý multiplikátor v tomto stupni)
5. Jak budovat titul ve stupni? (Stupnit míru do určité míry je nutné opustit půdu stejným a znásobným ukazatelům)

III. Verbální počítání (Multimédia)

IV. Historický odkaz

Všechny úkoly z papyrus AKHMES, které jsou zaznamenány asi 1650 př.nl. E. Spojené s praxí výstavby, umístění pozemních pozemků atd. Úkoly jsou seskupeny na témata. Výhodou je úkolem nalezení oblasti trojúhelníku, čtyřkrátů a kruhu, různé aktivity s celými čísly a frakcemi, proporcionální divize, hledání vztahů, je zde také výstavba různých stupňů, řešení rovnic první a druhý stupeň s jedním neznámým.

Neexistují žádné vysvětlení ani důkazy. Požadovaný výsledek je buď dán přímo nebo stručný algoritmus pro jeho výpočet je uveden. Tato metoda prezentace, typické pro země vědy na východě, naznačuje, že matematika zde vyvinuta zobecněním a odhadem, které netvoří žádnou společnou teorii. Nicméně, v papyrusu existuje řada důkazů, že egyptští matematici věděli, jak extrahovat kořeny a zvýšit titul, vyřešit rovnice, a dokonce vlastnit útoky algebry.

V. Práce na tabuli

Najděte hodnotu výrazu racionální cesty:

Vypočítejte hodnotu výrazu:



Vi. Fizkultminutka

6. pro oči
7. pro krk
8. pro ruce
9. pro pochodeň
10. pro nohy

Vii. Řešení úkolů (S zobrazením na interaktivní desce)

Je kořenová rovnice pozitivního čísla?

xN - i1Abbnckbmcl9fb.xn - p1AI

Vzorce stupňů a kořenů.

Vzorce titulů Používá se v procesu zkratky a zjednodušit komplexní výrazy při řešení rovnic a nerovností.

Číslo c. je n.Malý stupeň a. když:



Operace s tituly.

1. Vynásobte titul stejným základem, jejich ukazatele se skládají:

2. Při dělení stupňů se stejným základem jsou jejich ukazatele odečteny:



3. Stupeň práce 2 nebo více multiplikátorů se rovná produktu těchto faktorů:

(Abc ...) n \u003d a n · b n · c n ...

4. Stupeň frakce se rovná poměru stupňů dělení a děliče:

5. Nákup míry do značné míry jsou indikátory stupňů prodlouženy:

Každý výše uvedený vzorec je pravdivý ve směrech zleva doprava a naopak.

Kořenové operace.

1. Kořen práce několika faktorů se rovná produktu kořenů těchto faktorů:

2. Kořen ze vztahu rovný vztah Rozdělit a děličové kořeny:



3. Když je kořen postaven, je do tohoto stupně poměrně zabudován.



4. Pokud zvyšujete stupeň kořene n. jednou a zároveň stavět v n.Stupeň krmného čísla, hodnota kořene se nezmění:



5. Pokud snížíte stupeň kořene n. jednou a zároveň extrahovat kořen n.Stupeň z poduztřeného čísla, hodnota kořene se nezmění:



Stupeň určitého čísla s nesporným (celkem) indikátorem je určen jako jednotka dělená stupněm stejného čísla s indikátorem rovným absolutní hodnotě ne-pozitivního indikátoru:



Vzorec m. : a n \u003d a m - n lze použít nejen s m. > n. ale také m. 4: A 7 \u003d A 4 \u200b\u200b- 7 \u003d A -3.

Na vzorce m. : a n \u003d a m - n stal se spravedlivým as. m \u003d n.Je zapotřebí přítomnost nulového stupně.

Stupeň libovolného čísla, která není rovna nule, s nulovým indikátorem se rovná jednomu.

Vybudovat platné číslo ale ve stupni m / n., je nutné extrahovat kořen n.Stupeň m.Stupeň tohoto čísla ale:



Stupně vzorců.

6. a. — n. = - rozdělení stupňů;

7. - rozdělení stupňů;

8. A 1 / n \u003d ;

Pravidla akce s tituly

1. Stupeň práce dvou nebo několika lůb se rovná práce stupňů těchto faktorů (se stejným ukazatelem):

(Abc ...) n \u003d a n b n c n ...

Příklad 1. (7 2 10) 2 \u003d 7 2 2 2 10 2 \u003d 49 4 100 \u003d 19600. Příklad 2. (X 2 -a 2) 3 \u003d [(x + a) (x - a)] 3 \u003d ( X + A) 3 (X - A) 3

Téměř důležitá reverzní transformace:

a n b n c n ... \u003d (abc ...) n

ty. Produkt stejných stupňů několika veličin se rovná stejnému stupni produktu těchto hodnot.

Příklad 3. Příklad 4. (A + B) 2 (A 2 - AB + B 2) 2 \u003d [(A + B) (A 2 - AB + B 2)] 2 \u003d (A 3 + B3) 2

2. Stupeň soukromého (zlomeného) se rovná soukromému rozdělení stejného stupně děleného stejným stupněm děliče:

Příklad 5. Příklad 6.

Reverzní transformace:. Příklad 7. . Příklad 8. .

3. Při násobení stupňů se stejnými bázemi jsou tituly složeny:

Příklad 9.2 2 2 5 \u003d 2 2 + 5 \u003d 2 7 \u003d 128. Příklad 10. (A - 4C + x) 2 (A - 4C + x) 3 \u003d (A - 4C + x) 5.

4. Při dělení stupňů se stejnými bázemi se stupeň dělič odečte od stupně dělení

Příklad 11. 12 5:12 3 \u003d 12 5-3 \u003d 12 2 \u003d 144. Příklad 12. (X-Y) 3: (X - Y) 2 \u003d X-Y.

5. Při postojování stupně do stupně jsou ukazatele stupně variabilní:

Příklad 13. (23) 2 \u003d 2 6 \u003d 64. Příklad 14.

www.maths.yfa1.ru.

Stupně a kořeny

Operace se stupněmi a kořeny. Stupeň s negativem ,

nula a zlomky indikátor. O výrazech, které nedávají smysl.

Operace s tituly.

1. Při násobení stupňů se stejnou základnou, jejich indikátory se skládají:

m. · a n \u003d a m + n.

2. Při dělení stupňů se stejným základem, jejich ukazatele odstranit .



3. Stupeň práce dvou nebo několika včelů se rovná práce stupňů těchto faktorů.

4. Stupeň vztahu (zlomený) se rovná poměru stupňů dělení (numerátoru) a děličem (jmenovatele):

(a / B.) n \u003d a n / b n.

5. Při postojování míry do té míry se jejich ukazatele násobí:

Všechny výše uvedené vzorce jsou čteny a jsou prováděny v obou směrech zleva doprava a naopak.

PRI MERS. (2 · 3 · 5/15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² \u003d 900/225 \u003d 4 .

Kořenové operace. Ve všech následujících vzorcích znamená symbol aritmetický kořen (Příznivý výraz pozitivně).

1. Kořen práce několika lůně se rovná produktu kořenů těchto faktorů:

2. Koření ze vztahu se rovná přístupu kořenů dělitele a děliče:



3. Když je kořen postaven, stačí stavět tento stupeň předmět:



4. Pokud zvýšíte stupeň kořene v m krát a zároveň vybudovat číslo posuvu do M-stupeň, hodnota kořene se nezmění:



5. Pokud snížíte stupeň kořene v m krát a zároveň odeberte kořen M-stupeň z čísla posuvu, hodnota kořene se nezmění:




Rozšíření pojmu stupně. Doposud jsme považovali tituly pouze s přirozeným ukazatelem; Ale akce s tituly a kořeny mohou také vést k záporný, nula a zlomeninový Ukazatele. Všechny tyto ukazatele stupňů vyžadují další definici.

Stupeň s negativním ukazatelem. Stupeň určitého čísla s negativním (celkem) indikátorem je definován jako jednotka dělená stupněm stejného čísla s indikátorem rovným absolutním velivovi negativního indikátoru:



T Heathe Formula. m. : a n. = a m - n lze použít nejen kdy m. více než n. ale také m. méně než n. .

PRI MERS. a. 4: a. 7 \u003d A. 4 — 7 \u003d A. — 3 .

Pokud chceme vzorec m. : a n. = m. — n. Bylo to spravedlivé m \u003d n. Musíme určit nulový stupeň.

Stupeň s nulovým indikátorem. Stupeň jakéhokoliv nenulového čísla s nulou je roven 1.

Pri mers. 2 0 \u003d 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Stupeň s frakčním indikátorem. Za účelem vytvoření platného čísla A do stupně M / N je nutné extrahovat kořen N-stupně z M-stupeň tohoto čísla A:



O výrazech, které nedávají smysl. Existuje několik takových výrazů.

kde a. ≠ 0 , neexistuje.

Ve skutečnosti, za předpokladu, že x. - některé číslo, pak v souladu s definicí provozu rozdělení, máme: a. = 0· x.. a. \u003d 0, který v rozporu se stavem: a. ≠ 0

— jakékoliv číslo.

Za předpokladu, že tento výraz je roven některým číslem x.Podle definice provozu divize máme: 0 \u003d 0 · x. . Ale tato rovnost se koná, kdy libovolné číslo x.Podle potřeby prokázat.

0 0 — jakékoliv číslo.



Zvažte tři základní případy:

1) x. = 0 – Tato hodnota nesplňuje tuto rovnici.

2) pro x. \u003e 0 dostaneme: x / X. \u003d 1, tj. 1 \u003d 1, odkud následuje

co x. - jakékoliv číslo; Ale s ohledem na to

náš případ x. \u003e 0, odpověď je x. > 0 ;

Vlastnosti stupně

Připomínáme vám, že v této lekci pochopíte vlastnosti stupňů s přirozenými indikátory a nuly. Stupně s racionálními ukazateli a jejich vlastnosti budou považovány za lekce pro 8 tříd.

Poměr s přirozeným indikátorem má několik důležitých vlastností, které vám umožní zjednodušit výpočty v příkladech se stupni.

Číslo vlastnictví 1.
Práce stupňů

Při násobení stupňů se stejnými bázemi zůstává základna beze změny a ukazatele stupňů jsou složeny.

a m · n \u003d m + n, kde "A" je libovolné číslo a "m", "n" - každá přirozená čísla.

Tato vlastnost titulů působí také na práci tří a více stupňů.

• Zjednodušte výraz.
  b · B 2 · B3 · B4 · B 5 \u003d B 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \u003d B ^
• Představují ve formě stupně.
  6 15 · 36 \u003d 6 15 · 6 2 \u003d 6 15 · 6 2 \u003d 6 17
• Představují ve formě stupně.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 \u003d (0,8) 3 + 12 \u003d (0,8) 15

Všimněte si, že v zadaném vlastnictví bylo pouze o násobení stupňů se stejnými bázemi. . Nevztahuje se na jejich přidávání.

Je nemožné vyměnit množství (3 3 + 3 2) o 3 5. To je pochopitelné, pokud
vypočítejte (3 3 + 3 2) \u003d (27 + 9) \u003d 36, 3 5 \u003d 243

Nemovitosti číslo 2.
Soukromý stupeň

Při dělení stupňů se stejnými bázemi zůstává základna nezměněna a od indikátoru divize odpočitatelného stupně děliče.

• Napište soukromé ve tvaru stupně
  (2b) 5: (2b) 3 \u003d (2b) 5 - 3 \u003d (2b) 2
• Vypočítat.

11 3 - 2 · 4 2 - 1 \u003d 11 · 4 \u003d 44
Příklad. Řešit rovnici. Používáme majetek soukromých stupňů.
3 8: t \u003d 3 4

Odpověď: T \u003d 3 4 \u003d 81

Použití vlastností č. 1 a č. 2, můžete snadno zjednodušit výrazy a provádět výpočty.

Příklad. Zjednodušte výraz.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 5m + 6 + 3 m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 6m + 8 - 4 m - 3 \u003d 4 2m + 5

Příklad. Najděte hodnotu výrazu pomocí vlastností stupně.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Upozorňujeme, že v nemovitosti 2 to bylo pouze o dělení stupňů se stejnými bázemi.

Nelze nahradit rozdíl (4 3 -4 2) o 4 1. To je pochopitelné, pokud spočítáte (4-4 -4 2) \u003d (64 - 16) \u003d 48, A 4 1 \u003d 4

Nemovitosti číslo 3.
Postavit

Při postojování stupně do té míry se nadace zůstane nezměněna a ukazatele stupňů jsou variabilní.

(a n) m \u003d a n · m, kde "a" je libovolné číslo a "m", "n" - každá přirozená čísla.

Příklad.
(A 4) 6 \u003d A 4 \u200b\u200b· 6 \u003d A 24

Příklad. Přítomna 3 20 ve formě stupně se základnou 3 2.

V oblasti cvičení do stupně Je známo, že když je stupeň zvýšen, ukazatele jsou variabilní, to znamená:

Vlastnosti 4.
Stupeň práce

Při postojování míry do stupně práce je každý multiplikátor postaven do tohoto stupně a výsledky se vynásobí.

(a · b) n \u003d a n · b n, kde "a", "b" - každá racionální čísla; "N" - jakékoli přirozené číslo.

• Příklad 1.
  (6 · A 2 · B3 · C) 2 \u003d 6 2 · A 2 · 2 · B3 · 2 · C1 · 2 \u003d 36 A 4 · B 6 · C 2
• Příklad 2.
  (-X 2 · Y) 6 \u003d (-1) 6 · x 2 · 6 · Y 1 · 6) \u003d x 12 · Y 6

Vezměte prosím na vědomí, že vlastnost číslo 4, stejně jako další vlastnosti stupňů, platí v opačném pořadí.

(a n · b n) \u003d (a · b) n

To znamená, že aby násobil titul se stejnými indikátory, je možné vynásobit základny a indikátor titulů se nezměnil.

• Příklad. Vypočítat.
  2 4 · 5 4 \u003d (2 · 5) 4 \u003d 10 4 \u003d 10 000
• Příklad. Vypočítat.
  0,5 16 · 2 16 \u003d (0,5 · 2) 16 \u003d 1

Ve složitějších příkladech mohou být případy, kdy musí být provedeno výše uvedené množství s různými bázemi a různými ukazateli. V tomto případě doporučujeme jednat následovně.

Například, 4 5 · 3 2 \u003d 4 3 · 4 2 · 3 2 \u003d 4 3 · (4 · 3) 2 \u003d 64 · 12 2 \u003d 64 · 144 \u003d 9216

Příklad desetinné frakce.

4 21 · (-0.25) 20 \u003d 4 · 4 20 · (-0.25) 20 \u003d 4 · (4 · (-0.25)) 20 \u003d 4 · (-1) 20 \u003d 4 · 1 \u003d čtyři

Vlastnosti 5.
Soukromý titul (zlomek)

Chcete-li pozvat titul v soukromí, můžete do tohoto stupně vytvořit samostatný a dělič a první výsledek je rozdělen do druhé.

(A: b) n \u003d a n: b n, kde "a", "b" - každá racionální čísla, b ≠ 0, n - jakékoli přirozené číslo.

• Příklad. Představte výraz ve formě soukromých stupňů.
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Připomínáme vám, že soukromé mohou být reprezentovány jako zlomek. Proto se na téma podrobněji zaměříme na další stránce.