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Erinnern wir uns an die Grundformeln der Grade und ihrer Eigenschaften.

Die Arbeit der Nummer eIN. Das selbst erfolgt n-mal, dieser Ausdruck, den wir als A einschreiben können ... a \u003d a n

1. A 0 \u003d 1 (A ≠ 0)

3. a n a m \u003d a n + m

4. (a n) m \u003d a nm

5. a n b n \u003d (ab) n

7. A n / a m \u003d a n - m

Macht- oder Demonstrationsgleichungen - Dies sind Gleichungen, in denen Variablen in Grad (oder Indikatoren) sind, und die Basis ist die Zahl.

Beispiele kennzeichnungsgleichungen.:

In diesem Beispiel ist die Nummer 6 die Basis, die immer unten steht, und die Variable x. Grad oder Indikator.

Lassen Sie uns mehr Beispiele für die indikativen Gleichungen geben.
2 x * 5 \u003d 10
16 x - 4 x - 6 \u003d 0

Jetzt werden wir analysieren, wie die Demonstrationsgleichungen gelöst werden?

Nehmen Sie eine einfache Gleichung:

2 x \u003d 2 3

Dieses Beispiel kann auch im Kopf gelöst werden. Es ist ersichtlich, dass x \u003d 3. Schließlich, so dass der linke und der rechte Teil der Zahl 3 statt x gleich sein sollte.
Lassen Sie uns nun sehen, wie es notwendig ist, diese Entscheidung auszustellen:

2 x \u003d 2 3
x \u003d 3.

Um eine solche Gleichung zu lösen, wurden wir entfernt gleiche Gründe (d. H. Zwei) und aufgezeichnet, was bleibt, ist es Abschlüsse. Erhielt die gewünschte Antwort.

Fassen Sie nun unsere Entscheidung zusammen.

Algorithmus zur Lösung einer indikativen Gleichung:
1. Müssen Sie überprüfen das gleiche Lee-Stiftungen an der Gleichung rechts und links. Wenn die Basen nicht die Suche nach Optionen zum Lösen dieses Beispiels sind.
2. Nachdem die Fundamente derselbe werden, gleich Abschlüsse und lösen die resultierende neue Gleichung.

Jetzt ein paar Beispiele neu schreiben:

Beginnen wir mit einem einfachen.

Die Basen im linken und rechten Teil sind gleich der Nummer 2, dh wir können ihre Abschlüsse ablehnen und gleichsetzen.

x + 2 \u003d 4 Es stellte sich die einfachste Gleichung heraus.
x \u003d 4 - 2
x \u003d 2.
Antwort: x \u003d 2

Im folgenden Beispiel ist es zu sehen, dass die Basen unterschiedlich sind. Es ist 3 und 9.

3 3x - 9 x + 8 \u003d 0

Um damit zu beginnen, übertragen wir die neun auf die rechte Seite, wir bekommen:

Jetzt müssen Sie dasselbe Fundament machen. Wir wissen, dass 9 \u003d 3 2. Wir verwenden die Grad-Formel (a n) m \u003d a nm.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Wir erhalten 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 Nun ist es klar, dass in der linken Seite und rechte Seite Die Basen sind gleich und gleich der Troika, dann können wir sie entsorgen und Grad gleichsetzen.

3x \u003d 2x + 16 erhielt die einfachste Gleichung
3x - 2x \u003d 16
x \u003d 16.
Antwort: x \u003d 16.

Wir betrachten das folgende Beispiel:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Erstens sehen wir uns die Basis an, die Fundamente sind unterschiedlich zwei und vier. Und wir müssen gleich sein. Wir konvertieren die vier von der Formel (a n) m \u003d a nm.

4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x

Und verwenden Sie auch eine Formel A n a m \u003d a n + m:

2 2x + 4 \u003d 2 2x 2 4

In die Gleichung hinzufügen:

2 2x 2 4 - 10 2 2x \u003d 24

Wir haben ein Beispiel in denselben Gründen geführt. Aber wir stören andere Zahlen 10 und 24. Was tun mit ihnen? Wenn Sie sehen können, dass es klar ist, dass wir 2 2 2 haben, das ist die Antwort - 2 2, können wir die Klammern herausnehmen:

2 2x (2 4 - 10) \u003d 24

Wir berechnen den Ausdruck in Klammern:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Alle Gleichung delim bis 6:

Stellen Sie sich 4 \u003d 2 2:

2 2x \u003d 2 2 Basen sind gleich und werfen sie aus und gleichgültigen Grad.
2x \u003d 2 Es stellte sich die einfachste Gleichung heraus. Wir teilen es auf 2
x \u003d 1.
Antwort: x \u003d 1.

Lösung der Gleichung:

9 x - 12 * 3 x + 27 \u003d 0

Wir transformieren:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x

Wir bekommen die Gleichung:
3 2x - 12 3 x +27 \u003d 0

Die Grundlagen, die wir gleich haben, sind gleich drei. In diesem Beispiel ist ersichtlich, dass der erste drei Grad zweimal (2x) größer ist als der der zweiten (einfach x). In diesem Fall können Sie lösen ersatzmethode. Die Zahl mit dem kleinsten Grad ersetzen:

Dann 3 2x \u003d (3 ×) 2 \u003d t 2

Wir ersetzen in Gleichung alle Grad mit Hohlräumen auf t:

t 2 - 12T + 27 \u003d 0
Erhalten quadratische Gleichung. Wir entscheiden durch das Diskriminant, wir bekommen:
D \u003d 144-108 \u003d 36
T 1 \u003d 9
T 2 \u003d 3

Rückkehr zur Variablen x..

Nehmen Sie t 1:
T 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Das ist,

3 x \u003d 9
3 x \u003d 3 2
x 1 \u003d 2

Eine wurzel gefunden Wir suchen nach dem zweiten, von T 2:
T 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x \u003d 3 1
x 2 \u003d 1
Antwort: x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 1.

Auf der Website können Sie in der Hilfe bei der Behebung der Entscheidung, Fragen zu stellen, Fragen zu stellen. Wir werden antworten.

Tritt der Gruppe bei

ICH.Komposition n. In der Fabrik ist jeder gleich aber namens n.Unter dem Grad der Anzahl aber Und bezeichnet aber N..

Beispiele. Schreiben Sie ein Produkt in Form des Grades.

1) mmmm; 2) Aaabb; 3) 5 · 5 · 5 · 5 · CCC; 4) PPKK + PPPK-PPKKK.

Entscheidung.

1) mmmm \u003d m 4Seitdem die Arbeit von vier Faktoren, von denen jeder gleich ist, ist m., wird sein Der vierte Grad der Anzahl m.

2) aaabb \u003d a 3 b 2; 3) 5 · 5 · 5 · 5 · CCC \u003d 5 4 C 3; 4) PPKK + PPPK-PPKKK \u003d P 2 K 2 + P 3 K-P 2 K 3.

II. Die Aktion, durch die ein Produkt von mehreren gleichen Fehler vorliegt, wird als Übung bezeichnet. Die in einem Grad errichtete Zahl wird als Grundlage des Grades bezeichnet. Die Zahl, die zeigt, in welchem \u200b\u200bGrad der Grundlage ist, wird als Indikator des Grades bezeichnet. So, aber N. - Grad aber - die Grundlage des Grades n.- Indikator. Beispielsweise:

2 3 — dies ist ein Grad. Nummer 2 - Die Grundlage des Grades ist der Indikator des Grads gleich 3 . Grad-Wert 2 3 gleichermaßen 8, als 2 3 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 8.

Beispiele. Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke ohne Indikator.

5) 4 3; 6) A 3 B 2 C 3; 7) ein 3-b 3; 8) 2A 4 + 3B 2.

Entscheidung.

5) 4 3 = 4 · 4 · 4 ; 6) A 3 B 2 C 3 \u003d aaabbccc; 7) A 3-b 3 \u003d aAA-BBB; 8) 2A 4 + 3B 2 \u003d 2AAAAA + 3BB.

III. A 0 \u003d 1 Jede Zahl (außer Null) in einem Nullgrad gleich einem. Zum Beispiel 25 0 \u003d 1.
IV. Ein 1 \u003d a Jede Zahl in dem ersten Grad ist gleich von sich selbst.

V. Ein M.∙ eIN.= ein M. + N. Beim Multiplizieren von Grad mit den gleichen Basen wird die Basis für dasselbe und Indikatoren übrig falten.

Beispiele. Vereinfachen:

9) a · a 3 · a 7; 10) B 0 + B 2 · B 3; 11) C 2 · C 0 · C · C 4.

Entscheidung.

9) A · A 3 · A 7\u003d a 1 + 3 + 7 \u003d A 11; 10) B 0 + B 2 · B 3 \u003d1 + B 2 + 3 \u003d 1 + B 5;

11) C 2 · c 0 · c · c 4 \u003d1 · C 2 · C · C 4 \u003d C 2 + 1 + 4 \u003d C 7 .

Vi. Ein M.: eIN.= ein M. - N. Bei der Trennung von Grad mit den gleichen Basen bleibt die Basis für dieselbe, und aus dem Grad des Divisators wird der Teilnehmergrad abgezogen.

Beispiele. Vereinfachen:

12) A 8: A 3; 13) M 11: M 4; 14) 5 6: 5 4.

12) A 8: A 3\u003d A 8-3 \u003d A 5; 13) M 11: M 4\u003d M 11-4 \u003d m 7; vierzehn ) 5 6:5 4 \u003d 5 2 \u003d 5 · 5 \u003d 25.

Vii. (ein M.) N.= ein mn. Wenn der Grad in den Grad angehoben wird, bleibt die Basis für dasselbe, und die Indikatoren sind verlängert.

Beispiele. Vereinfachen:

15) (A 3) 4; 16) (C 5) 2.

15) (A 3) 4\u003d a 3 · 4 \u003d A 12; 16) (C 5) 2\u003d C 5 · 2 \u003d C 10.

beachten Siedass, da die Arbeit der Multiplizierer die Arbeit nicht ändert, das:

15) (A 3) 4 \u003d (A 4) 3; 16) (C 5) 2 \u003d (C 2) 5.

V.ICH. II.. (A ∙ b) n \u003d a n ∙ b n Beim Errichten der Arbeit wird jeder der Multiplizierer in diesen Grad erhöht.

Beispiele. Vereinfachen:

17) (2A 2) 5; 18) 0,2 6 · 5 6; 19) 0,25 2 · 40 2.

Entscheidung.

17) (2a 2) 5\u003d 2 5 · a 2 · 5 \u003d 32A 10; 18) 0,2 6 · 5 6\u003d (0,2 · 5) 6 \u003d 1 6 \u003d 1;

19) 0,25 2 · 40 2\u003d (0,25 · 40) 2 \u003d 10 2 \u003d 100.

Ix. Wenn er in den Grad der Fraktionen ergreift, wird es in diesen Grad und den Zähler und den Nenner der Fraktion errichtet.

Beispiele. Vereinfachen:

Entscheidung.

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Eine der Hauptmerkmale in Algebra und in der gesamten Mathematik ist der Grad. Natürlich können im 21. Jahrhundert alle Berechnungen am Online-Rechner durchgeführt werden, aber es ist besser für die Entwicklung des Gehirns, um zu lernen, wie es selbst geht.

Beachten Sie in diesem Artikel am meisten wichtige Fragenzu dieser Definition. Wir werden nämlich verstehen, dass es im Allgemeinen so ist und was sind die Hauptfunktionen, die Eigenschaften in der Mathematik sind.

Betrachten Sie an den Beispielen, wie die Berechnung aussieht, wie die Hauptformeln sind. Wir werden die Hauptgrößenarten analysieren und was sie von anderen Funktionen unterscheiden.

Wir werden verstehen, wie Sie mit Hilfe dieses Werts verschiedene Aufgaben lösen können. Wir zeigen auf den Beispielen, wie er auf null Grad, irrational, negativ usw. aufgerichtet ist

Online-Trainingsrechner

Was ist der Grad der Anzahl?

Was ist unter dem Ausdruck impliziert "errichten ein Datum in den Grad?

Der Grad n der Zahl A ist das Produkt der Multiplizierer des N-einmal in einer Reihe.

Mathematisch sieht es so aus:

a n \u003d a * a * a * ... a n.

Beispielsweise:

• 2 3 \u003d 2 im dritten Schritt. \u003d 2 * 2 * 2 \u003d 8;
• 4 2 \u003d 4 im Schritt. zwei \u003d 4 * 4 \u003d 16;
• 5 4 \u003d 5 im Schritt. vier \u003d 5 * 5 * 5 * 5 \u003d 625;
• 10 5 \u003d 10 V 5 Schritt. \u003d 10 * 10 * 10 * 10 * 10 \u003d 100000;
• 10 4 \u003d 10 in 4 Schritt. \u003d 10 * 10 * 10 * 10 \u003d 10.000.

Nachfolgend wird der Tisch der Quadrate und der Würfel von 1 bis 10 sein.

Gradabdecker von 1 bis 10

Unten werden die Ergebnisse der Konstruktion sein natürliche Zahlen Positive Abschlüsse - "von 1 bis 100".

CH-LO.	2. st-n	3 stm
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Eigenschaften von Grad

Was ist charakteristisch für solche mathematische Funktion.? Betrachten Sie die grundlegenden Eigenschaften.

Wissenschaftler haben Folgendes etabliert zeichen, die für alle Abschlüsse charakteristisch sind:

• a n * a m \u003d (a) (n + m);
• a n: a m \u003d (a) (n-m);
• (a b) m \u003d (a) (b * m).

Überprüfen Sie die Beispiele:

2 3 * 2 2 \u003d 8 * 4 \u003d 32. Andererseits 2 5 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 32.

In ähnlicher Weise: 2 3: 2 2 \u003d 8/4 \u003d 2. Andernfalls 2 3-2 \u003d 2 1 \u003d 2.

(2 3) 2 \u003d 8 2 \u003d 64. Und wenn auch anders? 2 6 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 32 * 2 \u003d 64.

Wie Sie sehen, funktionieren die Regeln.

Und was ist mit mit Zusatz und Subtraktion? Alles ist einfach. Es wird zunächst den Bau des Umfangs und nur dann Zugabe und Subtraktion durchgeführt.

Schauen wir uns die Beispiele an:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 \u003d 25 - 9 \u003d 16. Hinweis: Die Regel wird nicht ausgeführt, wenn Sie zunächst die Subtraktion vornehmen: (5 - 3) 2 \u003d 2 2 \u003d 4.

In diesem Fall ist es jedoch notwendig, erste Zugabe zu berechnen, da es Maßnahmen in Klammern gibt: (5 + 3) 3 \u003d 8 3 \u003d 512.

Wie man produziert berechnungen in komplexeren Fällen? Dieselbe Reihenfolge:

• in Anwesenheit von Klammern - Sie müssen mit ihnen beginnen;
• dann die Übung in den Grad;
• führen Sie dann die Handlungen der Multiplikation aus, die Division;
• nach Zugabe, Subtraktion.

es gibt bestimmte EigenschaftenCharakteristisch nicht für alle Grade:

1. Die Wurzel des N-TH-Grads aus dem Grad M wird als M / n aufgezeichnet.
2. Beim Errichten einer Fraktion in einem Grad: Dieses Verfahren unterliegt sowohl dem Zähler als auch dem Nenner.
3. Beim Errichten des Produkts verschiedener Zahlen in den Grad entspricht der Ausdruck dem Produkt dieser Zahlen in einem bestimmten Umfang. Das ist: (a * b) n \u003d a n * b n.
4. Mit der Erektion der Zahl im negativen Schritt., Ist es notwendig, 1 von der Nummer in derselben ST-entweder, sondern mit dem "+" -Zeichen teilzunehmen.
5. Wenn der Denomotor ein negativer Grad ist, ist dieser Ausdruck gleich dem Produkt des Zählers zum Nenner zu einem positiven Grad.
6. Jede Zahl in den Grad 0 \u003d 1 und im Schritt. 1 \u003d selbst.

Diese Regeln sind in einigen Fällen wichtig, um sie detaillierter zu betrachten.

Negativ

Was tun mit einem Minusgrad, d. H. Wenn der Indikator negativ ist?

Basierend auf den Eigenschaften 4 und 5 (Siehe Artikel oben) es stellt sich heraus:

A (- n) \u003d 1 / a n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Umgekehrt:

1 / a (- n) \u003d a n, 1/2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Und wenn der Bruch?

(A / b) (- n) \u003d (b / a) n, (3/5) (-2) \u003d (5/3) 2 \u003d 25/9.

Verhältnis

Darunter versteht der Grad mit den Indikatoren, die den Ganzzahlen entsprechen.

Was Sie sich erinnern müssen:

A 0 \u003d 1, 1 0 \u003d 1; 2 0 \u003d 1; 3.15 0 \u003d 1; (-4) 0 \u003d 1 ... usw.

Ein 1 \u003d A, 1 1 \u003d 1; 2 1 \u003d 2; 3 1 \u003d 3 ... usw.

Zusätzlich, wenn (-a) 2 N +2, n \u003d 0, 1, 2 ... das Ergebnis wird mit dem Zeichen "+" sein. Wenn eine negative Zahl in einem ungeraden Grad errichtet wird, dann umgekehrt.

Allgemeine Eigenschaften, und alle oben beschriebenen spezifischen Merkmale sind ebenfalls charakteristisch.

Fraktionaler Grad.

Diese Art kann mit einem Schema aufgezeichnet werden: ein m / n. Lesen Sie wie: n-Essential Wurzel aus dem Grad m.

Mit einem fraktionalen Indikator können Sie alles tun: Schneiden, in Teilen aufstellen, auf einen anderen Grad usw. aufstellen usw.

Irrational

Sei α eine irrationale Zahl und ein ˃ 0.

Um das Wesen des Grads mit einem solchen Indikator zu verstehen, betrachten Sie verschiedene mögliche Fälle:

• A \u003d 1. Das Ergebnis ist gleich 1. Da ein Axiom - 1 in allen Grad ist, ist ein Eins.

Und R 1 ˂ A α ˂ und R 2, R 1 ˂ R 2 - rationale Nummern;

• 0˂˂1.

In diesem Fall im Gegenteil: und R 2 ˂ A α ˂ A R 1 unter den gleichen Bedingungen wie im zweiten Absatz.

Zum Beispiel der Indikator der Gradzahl π. Es ist rational.

r 1 - In diesem Fall ist 3;

r 2 - wird gleich 4 sein.

Dann bei a \u003d 1, 1 π \u003d 1.

A \u003d 2, dann 2 3 ˂ 2 π ˂ 2, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A \u003d 1/2, dann (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Für solche Grade sind alle mathematischen Operationen und spezifischen Eigenschaften, die oben beschrieben wurden, charakteristisch.

Fazit

Lassen Sie uns zusammenfassen - warum müssen diese Mengen den Vorteil solcher Funktionen? Natürlich vereinfachen sie zunächst das Leben von Mathematikern und Programmierern, wenn Sie Beispiele lösen, da Sie Berechnungen minimieren, Algorithmen reduzieren, Daten und vieles mehr systematisieren.

Wo sonst kann dieses Wissen in praktisch kommen? In jeder Arbeitspezialität: Medizin, Pharmakologie, Zahnmedizin, Bau, Technologie, Engineering, Design usw.

Ausdrücke, Transformation von Ausdrücken

Leistungsstarke Ausdrücke (Ausdrücke mit Grad) und ihre Umwandlung

In diesem Artikel werden wir über Transformierende Ausdrücke mit Grad sprechen. Zuerst werden wir uns auf Transformationen konzentrieren, die mit Ausdrücken von Arten durchgeführt werden, einschließlich starke Ausdrücke, wie beispielsweise die Offenlegung von Klammern, ähnliche Begriffe bringen. Und dann werden wir die Transformation analysieren, die den Ausdrücken mit Grad innewohnt: Arbeiten mit der Basis und dem Indikator des Grades, der Verwendung der Eigenschaften von Grad usw.

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Was sind Stromausdrücke?

Der Begriff "leistungsstarke Ausdrücke" erfolgt praktisch nicht den Schullehrbüchern der Mathematik, sondern erscheint häufig in Sammlungen von Aufgaben, die speziell für die Vorbereitung auf EGE und OGE, beispielsweise zur Vorbereitung der EGE, ertönt. Nach der Analyse der Aufgaben, in denen die Aktionen mit Stromausdrücken erforderlich sind, wird klar, dass unter Stromausdrücken die Ausdrücke die in ihren Grad-Datensätzen enthaltenen Ausdrücke verstehen. Daher ist es möglich, eine solche Definition für sich selbst anzunehmen:

Definition.

Stromausdrücke - Dies sind Ausdrücke, die Grad enthalten.

Hier beispiele für Leistungsausdrücke. Darüber hinaus werden wir sie entsprechend der Entwicklung der Ansichten mit einem natürlichen Indikator in den Grad mit dem tatsächlichen Indikator einreichen.

Wie Sie wissen, ist zunächst die Bekanntschaft mit dem Zahlengrad mit einer natürlichen Figur in diesem Stadium die ersten einfachsten Leistungsausdrücke vom Typ 3, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (-0,1) 4, 3 · A 2 erscheint -A + A 2, X 3-1, (A 2) 3 usw.

Etwas später wird der Nummerngrad mit einer Ganzzahl untersucht, der zur Entstehung von Stromausdrücken mit ganz negativen Grad führt, wie folgt: 3 -2, , A -2 + 2 · b -3 + c 2.

In der High School kehrte wieder in Abschlüsse zurück. Es gibt einen Grad mit einem rationalen Indikator, der das Erscheinungsbild geeigneter Leistungsausdrücke beinhaltet: , , usw. Erörtert schließlich Abschlüsse mit irrationalen Indikatoren und umfassen ihre Ausdrücke: ,.

Der von Stromausdrücken aufgeführte Koffer ist nicht darauf beschränkt auf: Die Variable dringt in den Umfang weiter ein, und es gibt solche Ausdrücke 2 x 2 +1 oder . Und nach Bekanntschaft beginnen die Ausdrücke mit Grad und Logarithmen, zum Beispiel X 2 · LGX -5 · x LGX zu erfüllen.

Wir haben uns also mit der Frage befasst, was leistungsstarke Ausdrücke darstellt. Wir werden weiter lernen, sie umzuwandeln.

Die wichtigsten Arten von Transformationen von Leistungsausdrücken

Mit Stromausdrücken können Sie eine der wichtigsten Identitätsumsetzungen von Ausdrücken durchführen. Sie können zum Beispiel Klammern aufdecken, numerische Ausdrücke durch ihre Werte ersetzen, ähnliche Begriffe bringen usw. Natürlich sollte es notwendig sein, das Verfahren zur Durchführung von Aktionen einzuhalten. Wir geben Beispiele an.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert des Leistungsausdrucks 2 3 (4 2 -12).

Entscheidung.

Nach dem Verfahren zur Durchführung von Aktionen führen Sie zunächst Aktionen in Klammern aus. Erstens ersetzen wir zunächst den Grad 4 2 seines Werts 16 (siehe ggf.), und zweitens berechnen wir die Differenz 16-12 \u003d 4. Haben 2 3 · (4 2 -12) \u003d 2 3 · (16-12) \u003d 2 3 · 4.

Im resultierenden Ausdruck ersetzen wir den Grad 2 3 ihres Werts 8, wonach wir das Produkt 8 · 4 \u003d 32 berechnen. Dies ist der gewünschte Wert.

So, 2 3 · (4 2 -12) \u003d 2 3 · (16-12) \u003d 2 3 · 4 \u003d 8 · 4 \u003d 32.

Antworten:

2 3 · (4 2 -12) \u003d 32.

Beispiel.

Vereinfachen Sie die Ausdrücke mit Grad 3 · A 4 · B -7 -1 + 2 · A 4 · B -7.

Entscheidung.

Es ist offensichtlich, dass dieser Ausdruck ähnliche Ausdrücke 3 · a 4 · b -7 und 2 · a 4 · b -7 enthält, und wir können sie führen :.

Antworten:

3 · A 4 · B -7 -1 + 2 · A 4 · B -7 \u003d 5 · A 4 · B -7 -1.

Beispiel.

Präsentieren Sie einen Ausdruck mit Grad in Form einer Arbeit.

Entscheidung.

Kredit mit der Aufgabe ermöglicht die Darstellung der Zahl 9 in Form von Grad 3 2 und der anschließenden Verwendung der Formel der abgekürzten Multiplikation. Quadratische Unterschiede:

Antworten:

Es gibt auch eine Zahl identische Transformationeninhärenten Leistungsausdrücken. Dann werden wir sie erkennen.

Arbeiten mit der Basis und dem Indikator des Grades

Es gibt Ausdehnung, an der Basis und / oder des Indikators, deren nicht nur Zahlen oder Variablen sind, sondern einige Ausdrücke. Als Beispiel geben Sie den Datensatz (2 + 0,3 · 7) 5-3.7 und (A · (A + 1) -A 2) 2 · (x + 1).

Bei der Arbeit mit ähnlichen Ausdrücken ist es möglich, als Ausdruck in der Basis des Grades möglich, und der Expression in der Anzeige wird durch identisch gleich der Expression an den ungeraden seiner Variablen ersetzt. Mit anderen Worten, wir können die Grad des Grads separat in separat und separat den Indikator umwandeln. Es ist klar, dass infolge dieser Transformation ein Ausdruck identisch gleich dem anfänglichen ist.

Solche Transformationen ermöglichen es, Ausdrücke mit Grad zu vereinfachen oder andere Zwecke zu erreichen, die wir brauchen. Beispielsweise ist es in der oben genannten Leistungsausdruck (2 + 0,3 · 7) 5-3.7 möglich, Aktionen mit Zahlen an der Basis und dem Indikator durchzuführen, mit dem Sie in den Grad von 4.1 1.3 bewegen können. Und nach den Offenbarungen der Klammern und mit ähnlichen Begriffen an der Basis des Grades (A · (A + 1) -A 2) 2 · (x + 1), erhalten wir eine Leistungsausdruck einer einfacheren Form a 2 · ( X + 1).

Verwenden Sie die Eigenschaften von Grad

Eine der Hauptwerkzeuge zum Umwandeln von Ausdrücken mit Grad ist die Gleichheit, die reflektiert. Erinnere dich an das Haupt von ihnen. Für alle positiven Zahlen A- und B- und beliebigen gültigen Zahlen R und S gelten die folgenden Eigenschaften von Grad gültig:

• ein r · a s \u003d a r + s;
• ein r: a s \u003d a r-s;
• (a · b) r \u003d a r · b r;
• (A: B) R \u003d A R: B R;
• (A r) s \u003d a r · s.

Beachten Sie, dass mit natürlichen, ganzen Zahlen sowie den positiven Indikatoren des Einschränkungsgrades auf der Nummer A und B nicht streng sein können. Zum Beispiel trifft zur natürlichen Ziffer M und N die Gleichheit ein M · a n \u003d a m + n nicht nur für positive a, sondern auch für negativ und für a \u003d 0 treu.

In der Schule ist der Fokus auf die Umwandlung von Stromausdrücken auf die Möglichkeit, eine geeignete Eigenschaft auszuwählen und richtig anzuwenden. Gleichzeitig sind die Stützpunkte in der Regel positiv, was die Verwendung der Eigenschaften von Grad ohne Einschränkungen ermöglicht. Gleiches gilt für die Umwandlung von Ausdrücken, die Variablen in den Stützpunkten von Grad enthalten - der Bereich der zulässigen Werte von Variablen ist in der Regel, dass nur positive Werte darauf aufgenommen werden, mit der Sie die Eigenschaften von Grad frei nutzen können . Im Allgemeinen ist es notwendig, sich ständig zu fragen, ob in diesem Fall jede Eigenschaft von Grad verwendet werden kann, da der ungenradige Einsatz von Eigenschaften zu einer Verengung von Otz und anderen Problemen führen kann. Im Detail und in den Beispielen werden diese Momente in der Artikeltransformation von Ausdrücken unter Verwendung der Eigenschaften von Grad zerlegt. Hier beschränken wir uns auf die Berücksichtigung mehrerer einfachen Beispiele.

Beispiel.

Bereiten Sie einen Expression A 2,5 · (A 2) -3: A -5,5 als Grad mit einer Basis a auf.

Entscheidung.

Erstens wandelt der zweite Faktor (A 2) -3 die Übung in dem Grad in dem Grad um: (A 2) -3 \u003d A 2 · (-3) \u003d A -6. Der anfängliche Leistungsausdruck nimmt das Formular 2,5 · A -6: A -5,5 an. Es bleibt offensichtlich, die Eigenschaften von Multiplikation und Abteilung der Grade mit derselben Basis zu nutzen, wir haben
a 2,5 · A -6: A -5,5 \u003d
a 2.5-6: A -5,5 \u003d A -3,5: A -5,5 \u003d
a -3,5 - (- 5.5) \u003d A 2.

Antworten:

a 2,5 · (A 2) -3: A -5,5 \u003d A 2.

Die Eigenschaften von Grad beim Umwandeln von Leistungsausdrücken werden sowohl von links nach rechts als auch rechts nach links verwendet.

Beispiel.

Finden Sie den Wert eines Stromausdrucks.

Entscheidung.

Gleichheit (a · b) r \u003d a r · b r, an der rechts links angewendet, ermöglicht von der anfänglichen Ausdruck, zum Produkt und weiter zu wechseln. Und wenn die Grade mit den gleichen Basen multipliziert, falten die Indikatoren zusammen: .

Es war möglich, die Umwandlung des anfänglichen Ausdrucks und ansonsten durchzuführen:

Antworten:

.

Beispiel.

Der Leistungsausdruck A 1,5 -A 0,5 -6 eingibt eine neue Variable t \u003d A 0,5.

Entscheidung.

Der Grad A 1,5 kann als 0,5 · 3 dargestellt werden, und auf der Datenbank der Grad-Eigenschaft in den Grad (A R) s \u003d A R · S, an der rechts nach rechts angewendet, umgewandelt in das Formular (0,5) 3. Auf diese Weise, ein 1,5 -a 0,5 -6 \u003d (0,5) 3 -A 0,5 -6. Nun ist es einfach, eine neue Variable T \u003d A 0.5 einzugeben, wir erhalten t 3-t-6.

Antworten:

t 3-t-6.

Transformation von Fraktionen, die Grad enthalten

Leistungsstarke Ausdrücke können Fraktionen mit Grad enthalten oder solche Fraktionen darstellen. Solche Fraktionen sind vollständig anwendbar, was die Haupttransformationen von Fraktionen, die von Fraktionen jeglicher Art inhärent sind, vollständig anwendbar. Das heißt, Fraktionen, die Grad enthalten, können reduziert werden, führen zu einem neuen Nenner, arbeiten separat mit ihrem Zähler und separat mit dem Nenner usw. Um die Wörter zu veranschaulichen, berücksichtigen Sie die Lösungen mehrerer Beispiele.

Beispiel.

Den Stromausdruck vereinfachen .

Entscheidung.

Dieser Leistungsausdruck ist ein Bruchteil. Wir arbeiten mit seinem Zähler und dem Nenner. Im Zähler zeigen wir die Klammern und vereinfachen den danach erhaltenen Ausdruck mit den Eigenschaften von Grad, und in dem Nenner werden wir ähnliche Begriffe angeben:

Und immer noch das Zeichen des Nenners ändern, minus vor dem Bruch legen: .

Antworten:

.

Das Brauen der Fraktionen an einen neuen Nenner bringt, ähnlich, um rationale Fraktionen an einen neuen Nenner zu bringen. Gleichzeitig befindet sich auch ein zusätzlicher Faktor und multipliziert auch den Zähler und den Nenner der Fraktion. Wenn Sie diese Aktion ausführen, lohnt es sich, daran zu erinnern, dass ein neuer Nenner zu einem neuen Nenner zu einer Verengung von Otz führen kann. Zu diesem Fall ist es nicht möglich, dass der zusätzliche Faktor nicht auf Null gilt, unabhängig von den Werten der Variablen aus den ungeraden Variablen für den anfänglichen Ausdruck.

Beispiel.

Brüche einem neuen Nenner geben: a) an den Nenner A, B) zum Nenner

Entscheidung.

a) In diesem Fall ist es ziemlich einfach, herauszufinden, was ein zusätzlicher Multiplizierer dazu beiträgt, dies zu erreichen das gewünschte Ergebnis. Dies ist ein Multiplizierer A 0,3, als 0,7 · A 0,3 \u003d A 0,7 + 0,3 \u003d a. Es sei angemerkt, dass im Bereich der zulässigen Werte der Variablen A (diese eine Vielzahl von allen positiven gültigen Zahlen) Grad A 0,3 nicht an Null ansprechen, daher haben wir das Recht, den Zähler und den Nenner der Zähler zu multiplizieren Angegebene Fraktion bei diesem zusätzlichen Faktor:

b) Schauen Sie näher auf den Nenner aus, es kann das gefunden werden, das

Und die Multiplikation dieses Ausdrucks an wird die Menge an Würfel und das ist, dh. Und dies ist der neue Nenner, zu dem wir den ursprünglichen Fraktion bringen müssen.

Wir haben also einen zusätzlichen Faktor gefunden. Im Bereich der zulässigen Werte der Variablen X und Y gilt der Ausdruck nicht auf Null, daher können wir den Zähler und den Nenner der Fraktion multiplizieren:

Antworten:

aber) b) .

Es gibt nichts Neues bei der Reduzierung von Fraktionen, die Grad enthalten, es gibt nichts Neues: Der Zähler und der Nenner sind als Zahl von Multiplizierern dargestellt, und derselbe Multiplizierer des Zählers und der Nenner werden reduziert.

Beispiel.

Reduzieren Sie den Fraktion: a) , b).

Entscheidung.

a) Erstens können der Zähler und der Nenner auf die Zahlen 30 und 45 reduziert werden, die gleich 15 ist. Offensichtlich können Sie auch eine Reduzierung von X 0,5 +1 und . Das haben wir:

b) In diesem Fall können die gleichen Multiplizierer im Zähler und der Nenner nicht sofort sichtbar sein. Um sie zu bekommen, müssen Sie vorläufige Transformationen durchführen. In diesem Fall werden sie bei der Erweiterung des Nenners für Multiplikatoren mit der Formel des quadratischen Unterschieds abgeschlossen:

Antworten:

aber)

b) .

Bruchteile an einen neuen Nenner bringen und die Reduzierung der Fraktionen wird hauptsächlich verwendet, um Maßnahmen mit Fraktionen durchzuführen. Maßnahmen werden gemäß den bekannten Regeln durchgeführt. Beim Hinzufügen (subtrahierender) Fraktionen werden sie gegeben gemeinsamer NennerDanach gibt es Zahlen (abgezogene) Ziffern, und der Nenner bleibt gleich. Infolgedessen ertönt er einen Bruchteil, dessen Nenner das Produkt der Ziffern ist, und der Nenner ist ein Produkt von Nennern. Die Teilung der Fraktion ist Multiplikation durch Fraktion, invers

Beispiel.

Folge den Schritten .

Entscheidung.

Erstens führen wir die Subtraktion von Fraktionen in Klammern durch. Um dies zu tun, bringen Sie sie zu einem gemeinsamen Nenner, der hat , danach subtrahieren wir die Zahlen:

Jetzt multiplizieren wir die Fraktionen:

Offensichtlich ist es möglich, den Grad von x 1/2 zu reduzieren, wonach wir haben .

Sie können den Stromausdruck immer noch im Nenner vereinfachen, wobei die Formel der Quadratdifferenz verwendet wird: .

Antworten:

Beispiel.

Den Stromausdruck vereinfachen .

Entscheidung.

Natürlich kann diese Fraktion um (x 2.7 +1) 2 reduziert werden, es gibt einen Bruchteil . Es ist klar, dass Sie mit den Graden von ICA etwas anderes tun müssen. Dazu führen wir den resultierenden Bruchteil in die Arbeit. Dies gibt uns die Möglichkeit, das Anwesen von Grade mit demselben Gelände zu nutzen: . Und abschließend gehen Sie von der letzten Arbeit an den Fraktion fort.

Antworten:

.

Und ich füge auch hinzu, dass es möglich ist, und in vielen Fällen ist es wünschenswert, mehrere Grad-Raten vom Zähler an einen Nenner oder vom Nenner zu einem Zähler zu übertragen, um das Indikatorzeichen zu wechseln. Solche Transformationen vereinfachen oft weitere Aktionen. Beispielsweise kann ein Leistungsausdruck ersetzt werden.

Umwandlung von Ausdrücken mit Wurzeln und Grad

Häufig sind in Ausdrücken, die einige Transformationen erfordern, zusammen mit Abschlüssen mit fraktionalen Indikatoren Wurzeln. Um einen ähnlichen Ausdruck in den richtigen Geist umzuwandeln, reicht es in den meisten Fällen aus, nur um zu Wurzeln oder nur auf Grad zu gehen. Da es aber bequemer ist, mit Grad zu arbeiten, gehen Sie normalerweise von Wurzeln bis zum Abschluss. Es ist jedoch ratsam, einen solchen Übergang auszuüben, wenn die OTZ-Variablen für den anfänglichen Ausdruck es ermöglicht, die Wurzeln um Grad auszutauschen, ohne dass sie sich an das Modul oder die Split-OTZ auf mehrere Lücken (wir den Übergang von den Wurzeln ausführlich aufgeteilt haben Zu den Abschlüssen und Rücken, nachdem der Grad mit einem rationalen Indikator erkannt wurde, wird der Grad mit dem irrationalen Indikator eingeführt, mit dem Sie mit einem willkürlichen echten Indikator über den Grad sprechen können. Zu diesem Zeitpunkt beginnt die Schule zu studieren exponentialfunktion Das ist analysalien definiert durch den Grad, in dem sich die Nummer befindet, und in der Anzeige - die Variable. Wir werden also mit den leistungsstarken Ausdrücken konfrontiert, die die Zahl in der Grundlage des Grads enthalten, und in den Indikator-Ausdrücken mit Variablen, und natürlich ist es erforderlich, Transformationen solcher Ausdrücke durchzuführen.

Es sollte gesagt werden, dass die Umwandlung der Ausdrücke der angegebenen Spezies normalerweise beim Lösen durchgeführt werden muss kennzeichnungsgleichungen. und indikative UngleichungenUnd diese Transformationen sind ziemlich einfach. In der überwältigenden Anzahl von Fällen basieren sie auf den Grad-Eigenschaften und zielen größtenteils an, um in der Zukunft eine neue Variable einzugeben. Demonstrieren sie die Gleichung 5 2 · x + 1 -3 · 5 x · 7 x -14 · 7 2 · x-1 \u003d 0.

Erstens werden die Abschlüsse in den Indikatoren eine Summe einiger Variablen (oder Ausdrücke mit Variablen) und die Zahlen durch die Werke ersetzt. Dies gilt für die ersten und letzten Begriffsausdrücke von der linken Seite:
5 2 · x · 5 1 -3 · 5 x · 7 x -14 · 7 2 · x · 7 -1 \u003d 0,
5 · 5 2 · x -3 · 5 x · 7 x -2 · 7 2 · x \u003d 0.

Ferner wird die Aufteilung beider Gleichheitsteile von der Expression 7 2 · x durchgeführt, wobei nur positive Werte die Quellgleichung an die Quellgleichung annehmen (Dies ist der Standardempfang von Lösungsgleichungen dieses Typs, es ist nicht Über ihn jetzt, so konzentrieren Sie sich auf nachfolgende Transformationen von Ausdrücke mit Grad):

Nun werden die Fraktionen mit Abschlüssen reduziert, was gibt .

Schließlich wird das Verhältnis von Grad mit den gleichen Indikatoren durch Beziehungsgrade ersetzt, was zur Gleichung führt Das ist äquivalent. . Transformationen ermöglichen es, eine neue Variable einzuführen, die die Lösung der anfänglichen indikativen Gleichung reduziert, um die quadratische Gleichung zu lösen

I. V. Boykov, L. D. Romanova Sammlung von Aufgaben zur Vorbereitung auf die Prüfung. Teil 1. Penza 2003.

Abschnitte: Mathematik

Art der Lektion: Lektion der Verallgemeinerung und Systematisierung des Wissens

Ziele:

lehrreich - Wiederholen Sie die Ermittlung des Grades, die Regeln der Multiplikation und der Abteilung von Grad, den Aufbau eines Grads in den Grad, konsolidieren die Fähigkeit, Beispiele zu lösen, die Grad enthalten

entwicklung - Entwicklung logisches Denken Studenten, Interesse an dem studierenden Material,

erziehen - Bildung einer verantwortungsvollen Haltung gegenüber dem Studium, Kultur der Kommunikation, des Kollektivismus.

Ausrüstung: Computer, Multimedia-Projektor, interaktiver Vorstand, Präsentation "Grad" für Oralkonto, Karten mit Aufgaben, Verteilungsmaterial.

Unterrichtsplan:

Zeit organisieren.

Wiederholung der Regeln.

Verbales Zählen

Historische Referenz.

Arbeit an der Tafel.

Fizkultminutka.

Arbeit an einem interaktiven Vorstand.

Selbstständige Arbeit.

Hausaufgaben.

Die Lektion zusammenfassen.

Während der Klassen

I. Organisatorischer Moment

Nachrichtenthemen und -unterrichtszwecke.

In den vorherigen Lektionen, die Sie für sich selbst entdeckt haben wunderbare Welt Abschlüsse, gelernt, sich zu multiplizieren und Grad zu teilen, errichten sie in einen Abschluss. Heute müssen wir das im Lösungsbeispiel gewonnene Wissen festigen.

II. Wiederholung der Regeln. (oral)

1. Geben Sie die Definition mit einem natürlichen Indikator an? (Zahlengrad aber Mit einem natürlichen Indikator, großer 1, als Arbeit n. Multiplikatoren, von denen jeder gleich ist aber.)
2. Wie kann man zwei Grad multiplizieren? (Um den Grad mit den gleichen Basen zu multiplizieren, ist es notwendig, die Basis auf dieselbe Weise zu verlassen, und die Indikatoren sind gefaltet.)
3. Wie teilen Sie den Abschluss in den Grad? (Um die Grad mit den gleichen Basen zu teilen, ist es notwendig, die Basis gleich zu verlassen, und die Indikatoren subtrahieren.)
4. Wie errichtet man ein Produkt in einen Abschluss? (Um ein Produkt in einem Grad aufzubauen, ist es jeder Multiplizierer in diesem Grad erforderlich)
5. Wie baut man einen Abschluss in einem Abschluss? (Um einen Abschluss in einen Grad aufzubauen, ist es notwendig, den Boden auf dieselbe und Multiplizierkenner zu verlassen)

III. Verbale Zählung (Multimedia)

IV. Historische Referenz

Alle Aufgaben von Papyrus Akhmes, die etwa 1650 v. Chr. e. Im Zusammenhang mit der Bautraxis, der Platzierung von Grundstücken usw. Aufgaben sind auf Themen gruppiert. Der Vorteil ist die Aufgabe, den Bereich von Dreieck, Vier-Auslöser und einem Kreis zu finden, eine Vielzahl von Aktivitäten mit Ganzzahlen und Fraktionen, proportionaler Abteilung, Finden von Beziehungen, es besteht auch die Konstruktion verschiedener Grade, die Lösung der Gleichungen von der erste und zweite Grad mit einem unbekannten.

Es gibt keine Erklärung oder Beweise. Das gewünschte Ergebnis wird entweder direkt oder ein kurzer Algorithmus für seine Berechnung gegeben. Diese Präsentationsmethode, typisch für Wissenschaftsländer des Ostens., schlägt vor, dass die Mathematik dort von Verallgemeinerungen entwickelt wurde, und Erraten, die keine gemeinsame Theorie bilden. In Papyrus gibt es jedoch eine Reihe von Beweisen, dass ägyptische Mathematiker wussten, wie man Wurzeln extrahieren und den Grad erhöhen, Gleichungen lösen und sogar die Angriffen von Algebra besaßen.

V. Arbeit am Brett

Finden Sie den Wert des Ausdrucks rational:

Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks:



Vi. Fizkultminutka.

6. für die Augen
7. für den Hals
8. für die Hände
9. für Fackel
10. für Beine

Vii. Aufgaben lösen (mit einem Display auf einem interaktiven Vorstand)

Ist die Wurzel der Gleichung einer positiven Zahl?

xN - I1ABBNCKBMCL9FB.XN - P1AI

Die Formeln von Graden und Wurzeln.

Formeln Abschlüsse. Im Prozess der Abkürzung verwendet und komplexe Ausdrücke vereinfachen, um Gleichungen und Ungleichungen zu lösen.

Nummer c. ist ein n.Wenig Grad eIN. wann:



Operationen mit Grad.

1. Multiplikation des Grads mit derselben Basis, ihre Anzeigen falten:

2. Bei der Teilung der Grade mit derselben Basis werden ihre Indikatoren abgezogen:



3. Der Arbeitsgrad von 2 oder mehr Multiplikatoren entspricht dem Produkt dieser Faktoren:

(ABC ...) n \u003d a n · b n · c n ...

4. Der Fraktionsgrad ist gleich dem Verhältnis von Grad der Kluft und dem Teiler:

5. Ohrring des Grades in dem Grad, die Indikatoren von Grad werden länger verlängert:

Jede obige Formel ist in Richtungen von links nach rechts und umgekehrt wahr.

Wurzeloperationen.

1. Die Wurzel der Arbeit mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Wurzel aus der Beziehung gleich Relation. Teilen und Trennwurzeln:



3. Wenn die Wurzel errichtet wird, ist es ziemlich in diesen Grad integriert.



4. Wenn Sie den Wurzelgrad erhöhen n. Einmal und gleichzeitig einbauen n.Der Grad der Feed-Nummer, der Wert der Wurzel ändert sich nicht:



5. Wenn Sie den Wurzelgrad in reduzieren n. einmal und gleichzeitig die Wurzel extrahieren n.Grad von einer unterhitzten Nummer ändert sich der Wert der Wurzel nicht:



Der Grad einer bestimmten Anzahl mit einem unbestreitbaren (ganzen) Indikator wird als Einheit bestimmt, das durch den Grad derselben Anzahl unterteilt ist, wobei ein Indikator entspricht, der dem absoluten Wert des nicht positiven Indikators entspricht:



Formel ein M. : a n \u003d a m - n kann nicht nur mit verwendet werden m. > n. aber auch m. 4: A 7 \u003d A 4 \u200b\u200b- 7 \u003d A -3.

Zur Formel ein M. : a n \u003d a m - n wurde fair wie m \u003d N.Das Vorhandensein eines Nullgrades ist erforderlich.

Der Grad der beliebigen Zahl, die nicht gleich Null ist, wobei der Nullindikator gleich ist.

So bauen Sie eine gültige Nummer aber in dem Grad m / n.Es ist notwendig, die Wurzel zu extrahieren n.Grad von m.Grad dieser Nummer aber:



Formeln Abschlüsse.

6. eIN. — n. = - Abteilung von Grad;

7. - Abteilung von Grad;

8. A 1 / N \u003d ;

Grad-Maßregeln mit Grad

1. Der Arbeitsgrad von zwei oder mehreren Mutterleib ist gleich der Arbeit der Grade dieser Faktoren (mit demselben Indikator):

(ABC ...) n \u003d a n b n c n ...

Beispiel 1. (7 2 10) 2 \u003d 7 2 2 2 10 2 \u003d 49 4 100 \u003d 19600. Beispiel 2. (X 2 -A 2) 3 \u003d [(x + a) (x - a)] 3 \u003d ( x + a) 3 (x - a) 3

Fast wichtige Umkehrtransformation:

a n b n c n ... \u003d (abc ...) n

jene. Das Produkt der gleichen Grade mehrerer Mengen entspricht dem gleichen Grad des Produkts dieser Werte.

Beispiel 3. Beispiel 4. (A + B) 2 (A 2 - AB + B 2) 2 \u003d [(A + B) (A 2 - AB + B 2)] 2 \u003d (A 3 + B 3) 2

2. Der private Grad (Fraktion) ist gleich dem privaten Teilen desselben Grads, der durch den gleichen Grad des Teilnehmers geteilt wird:

Beispiel 5 Beispiel 6.

Umkehrtransformation :. Beispiel 7. . Beispiel 8. .

3. Beim Multiplizieren von Grad mit den gleichen Basen sind Abschlüsse gefaltet:

BEISPIEL 9.2 2 2 5 \u003d 2 2 + 5 \u003d 2 7 \u003d 128. Beispiel 10. (A - 4C + X) 2 (A - 4C + X) 3 \u003d (A - 4C + X) 5.

4. Beim Teilen von Grad mit den gleichen Basen wird der Teilnehmergrad aus dem Grad der Kluft abgezogen

Beispiel 11. 12 5:12 3 \u003d 12 5-3 \u003d 12 2 \u003d 144. Beispiel 12. (x-y) 3: (x - y) 2 \u003d x-y.

5. Beim Errichten des Grades in dem Grad sind die Grad-Indikatoren variabel:

Beispiel 13. (2 3) 2 \u003d 2 6 \u003d 64. Beispiel 14.

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Grade und Wurzeln.

Operationen mit Grad und Wurzeln. Grad mit Negativ ,

null und fraktional. indikator. Über Ausdrücke, die nicht sinnvoll sind.

Operationen mit Grad.

1. Beim Multiplizieren von Grad mit derselben Basis, ihre Indikatoren falten:

ein M. · a n \u003d a m + n.

2. Bei der Trennung von Grad mit der gleichen Basis ihre Indikatoren entfernen .



3. Der Arbeitsgrad von zwei oder mehreren Wäscheln ist gleich der Arbeit der Grade dieser Faktoren.

4. Der Relationsgrad (Fraktion) ist gleich dem Verhältnis von Grad der Dividide (Numerator) und dem Teiler (Nenner):

(a / b) n \u003d a n / b n.

5. Beim Errichten eines Grades in dem Grad werden ihre Indikatoren multipliziert:

Alle obigen Formeln werden gelesen und in beide Richtungen von links nach rechts und umgekehrt durchgeführt.

PRI MERS. (2 · 3 · 5/15) ² = 2 ² · 3 · · 5 ² / 15 ² \u003d 900/225 \u003d 4 .

Wurzeloperationen. In allen folgenden Formeln bedeutet das Symbol arithmetische Wurzel. (Mitgewollter Ausdruck positiv).

1. Die Wurzel der Arbeit mehrerer Mutterleib ist dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren gleich:

2. Die Wurzel aus der Beziehung entspricht der Haltung der Wurzeln der Kluft und der Teiler:



3. Wenn die Wurzel errichtet wird, reicht es aus, diesen Grad aufzubauen gegenstand:



4. Wenn Sie den Wurzelgrad in m-Zeiten erhöhen und gleichzeitig eine Einspeisungsnummer in einem M-Grad erstellen, ändert sich der Stammwert nicht:



5. Wenn Sie den Wurzelgrad in m-Zeiten reduzieren und gleichzeitig die Wurzel des M-Grads von der Einspeisungsnummer entfernen, ändert sich der Stammwert nicht:




Erweiterung des Konzepts des Grades. Bisher haben wir Grade nur mit einem natürlichen Indikator betrachtet; Aber die Handlungen mit Grad und Wurzeln können auch dazu führen negativ, null und fraktional Indikatoren. Alle diese Indikatoren von Grad erfordern zusätzliche Definition.

Grad mit einem negativen Indikator. Der Grad einer bestimmten Anzahl mit einem negativen (ganzen) Indikator ist definiert als eine Einheit, die durch den Grad derselben Anzahl unterteilt ist, wobei ein Indikator gleich dem absoluten Veliver des negativen Indikators ist:



T Heide-Formel. ein M. : eIN. = ein m-n kann nicht nur wann verwendet werden m. mehr als n. aber auch m. weniger als n. .

PRI MERS. eIN. 4: eIN. 7 \u003d A. 4 — 7 \u003d A. — 3 .

Wenn wir die Formel wollen ein M. : eIN. = ein M. — n. Es war fair für m \u003d N. Wir müssen null Grad bestimmen.

Der Grad mit dem Zero-Indikator. Der Grad der Nicht-Null-Zahl mit Null ist gleich 1.

Pri mers. 2 0 \u003d 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grad mit fraktionierter Indikator. Um eine gültige Zahl A in den Grad M / N aufzubauen, ist es erforderlich, die Wurzel des N-Grades aus M-Grad dieser Nummer A zu extrahieren:



Über Ausdrücke, die nicht sinnvoll sind. Es gibt mehrere solche Ausdrücke.

wo eIN. ≠ 0 , existiert nicht.

In der Tat davon angenommen, dass x. - Einige Nummer, dann in Übereinstimmung mit der Definition des Divisionsbetriebs haben wir: eIN. = 0· x.. eIN. \u003d 0, was dem Zustand widerspricht: eIN. ≠ 0

— irgendeine Nummer.

In der Tat wird davon ausgegangen, dass dieser Ausdruck einer Nummer entspricht x., gemäß der Definition des Divisionsbetriebs haben wir: 0 \u003d 0 · x. . Diese Gleichheit findet jedoch statt, wenn jede Nummer X.Wie erforderlich, um zu beweisen.

0 0 — irgendeine Nummer.



Betrachten Sie drei grundlegende Fälle:

1) x. = 0 – Dieser Wert erfüllt diese Gleichung nicht.

2) für. x. \u003e 0 Wir bekommen: x / X. \u003d 1, d. H. 1 \u003d 1, von wo er folgt

was x. - irgendeine Nummer; Aber berücksichtigen das in

unser Fall x. \u003e 0, Antwort ist x. > 0 ;

Eigenschaften des Grades

Wir erinnern Sie daran, dass Sie in dieser Lektion verstehen eigenschaften von Grad mit natürlichen Indikatoren und Null. Die Abschlüsse mit rationalen Indikatoren und ihren Eigenschaften werden in den Unterrichts für 8 Klassen in Betracht gezogen.

Das Verhältnis mit einem natürlichen Indikator verfügt über mehrere wichtige Eigenschaften, mit denen Sie Berechnungen in Beispielen mit Grad vereinfachen können.

Eigenschaftsnummer 1.
Die Arbeit von Grad

Beim Multiplizieren von Grad mit den gleichen Basen bleibt die Basis unverändert, und die Indikatoren von Grad sind gefaltet.

ein m · a n \u003d a m + n, wobei "a" eine beliebige Anzahl ist, und "M", "n" - jegliche natürliche Zahlen.

Diese Eigenschaft von Grad wirkt auch auf die Arbeit von drei und mehr Grad.

• Den Ausdruck vereinfachen.
  b · B 2 · B 3 · B 4 · B 5 \u003d B 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \u003d B 15
• In Form des Grades darstellen.
  6 15 · 36 \u003d 6 15 · 6 2 \u003d 6 15 · 6 2 \u003d 6 17
• In Form des Grades darstellen.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 \u003d (0,8) 3 + 12 \u003d (0,8) 15

Beachten Sie, dass es in der angegebenen Eigenschaft nur darum ging, Grade mit den gleichen Basen zu multiplizieren. . Es gilt nicht für ihre Zugabe.

Es ist unmöglich, den Betrag (3 3 + 3 2) um 3 5 zu ersetzen. Das ist verständlich, wenn
berechnen (3 3 + 3 2) \u003d (27 + 9) \u003d 36, a 3 5 \u003d 243

Eigenschaftsnummer 2.
Privater Abschluss

Bei der Trennung von Grad mit den gleichen Basen bleibt der Sockel unverändert, und vom Indikator des Divisionsabzugs ist der Grad des Teilnehmers.

• Schreibe privat in Form von Grad
  (2b) 5: (2b) 3 \u003d (2b) 5 - 3 \u003d (2b) 2
• Berechnung.

11 3 - 2 · 4 2 - 1 \u003d 11 · 4 \u003d 44
Beispiel. Gleichung lösen. Wir verwenden das Eigentum von privaten Abschlüssen.
3 8: t \u003d 3 4

Antwort: t \u003d 3 4 \u003d 81

Mit Eigenschaften Nr. 1 und Nr. 2 können Sie die Ausdrücke einfach vereinfachen und Berechnungen vornehmen.

Beispiel. Den Ausdruck vereinfachen.
4 5 m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 6m + 8 - 4m - 3 \u003d 4 2m + 5

Beispiel. Finden Sie den Wert des Ausdrucks mit den Grad-Eigenschaften.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Bitte beachten Sie, dass es in der Unterkunft 2 nur darum ging, Grade mit den gleichen Basen zu teilen.

Es ist unmöglich, den Unterschied (4 3 -4 2) um 4 1 zu ersetzen. Dies ist verständlich, wenn Sie berechnen (4 3 -4 2) \u003d (64 - 16) \u003d 48, A 4 1 \u003d 4

Eigenschaftsnummer 3.
Aufrecht

Beim Errichten des Grades in dem Grad bleibt das Fundament unverändert, und die Indikatoren von Grad sind variabel.

(a n) m \u003d a n · m, wobei "A" eine beliebige Zahl ist, und "M", "n" - jede natürliche Anzahl.

Beispiel.
(A 4) 6 \u003d A 4 \u200b\u200b· 6 \u003d A 24

Beispiel. Vorhanden 3 20 in Form eines Grades mit einer Basis von 3 2.

Durch das Gebiet der Übung in den Grad Es ist bekannt, dass, wenn der Grad angehoben ist, die Indikatoren variabel sind, bedeutet dies:

Eigenschaften 4.
Arbeitsgrad.

Beim Errichten des Grads in den Arbeitsgrad wird jeder Multiplizierer in diesen Grad errichtet, und die Ergebnisse werden multipliziert.

(a · b) n \u003d a n · b n, wobei "a", "b" - alle rationalen Zahlen; "N" - jede natürliche Zahl.

• Beispiel 1.
  (6 · a 2 · b 3 · c) 2 \u003d 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · c 1 · 2 \u003d 36 a 4 · b 6 · c 2
• Beispiel 2.
  (-X 2 · y) 6 \u003d ((-1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) \u003d x 12 · y 6

Bitte beachten Sie, dass die Eigenschaftsnummer 4 sowie andere Eigenschaften von Grad in umgekehrter Reihenfolge anwenden.

(a n · b n) \u003d (a · b) n

Das heißt, um den Grad mit den gleichen Indikatoren zu multiplizieren, ist es möglich, die Basen zu multiplizieren, und die Gradanzeige ist unverändert.

• Beispiel. Berechnung.
  2 4 · 5 4 \u003d (2 · 5) 4 \u003d 10 4 \u003d 10 000
• Beispiel. Berechnung.
  0,5 16 · 2 16 \u003d (0,5 · 2) 16 \u003d 1

In komplexeren Beispielen können Fälle auftreten, wenn Multiplikation und Abteilung über Abschlussgrade mit unterschiedlichen Basen und verschiedenen Indikatoren durchgeführt werden müssen. In diesem Fall empfehlen wir, wie folgt zu fungieren.

Beispielsweise 4 5 · 3 2 \u003d 4 3 · 4 2 · 3 2 \u003d 4 3 · (4 · 3) 2 \u003d 64 · 12 2 \u003d 64 · 144 \u003d 9216

Beispiel für Dezimalfraktion.

4 21 · (-0,25) 20 \u003d 4 · 4 20 · (-0,25) 20 \u003d 4 · (4 · (-0,25)) 20 \u003d 4 · (-1) 20 \u003d 4 · 1 \u003d vier

Eigenschaften 5.
Privatgrad (Bruchteil)

Um den Grad in Privat einzuladen, können Sie in diesem Grad einen separaten und Teiler aufbauen, und das erste Ergebnis ist in die zweite eingeteilt.

(A: B) N \u003d A N: B N, wobei "A", "B" - alle rationalen Zahlen, B ≠ 0, n - jede natürliche Zahl.

• Beispiel. Einen Ausdruck in Form privater Abschlüsse präsentieren.
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Wir erinnern Sie daran, dass privat als Fraktion dargestellt werden kann. Daher konzentrieren wir uns auf der nächsten Seite mehr detaillierter.