به خاطر سپردن آن بسیار آسان است.

خوب، ما خیلی دور نخواهیم رفت، بلافاصله تابع معکوس را در نظر خواهیم گرفت. معکوس تابع نمایی چیست؟ لگاریتم:

در مورد ما، پایه یک عدد است:

چنین لگاریتمی (یعنی لگاریتمی با پایه) "طبیعی" نامیده می شود و ما از نماد خاصی برای آن استفاده می کنیم: به جای آن می نویسیم.

برابر چیست؟ البته، .

مشتق لگاریتم طبیعی نیز بسیار ساده است:

مثال ها:

1. مشتق تابع را بیابید.
2. مشتق تابع چیست؟

پاسخ ها: توان و لگاریتم طبیعی توابعی هستند که از نظر مشتق ساده هستند. توابع نمایی و لگاریتمی با هر پایه دیگری مشتق متفاوتی خواهند داشت که بعد از مرور قوانین تمایز آن را تحلیل خواهیم کرد.

قوانین تمایز

چه قوانینی؟ بازم یه اصطلاح جدید دیگه؟!...

تفکیکفرآیند یافتن مشتق است.

فقط و همه چیز. کلمه دیگری برای این فرآیند چیست؟ نه proizvodnovanie... دیفرانسیل ریاضی را همان افزایش تابع در می نامند. این اصطلاح از دیفرانسیل لاتین - تفاوت می آید. اینجا.

هنگام استخراج همه این قوانین، از دو تابع به عنوان مثال و. ما همچنین به فرمول هایی برای افزایش آنها نیاز خواهیم داشت:

در کل 5 قانون وجود دارد.

ثابت از علامت مشتق خارج می شود.

اگر - یک عدد ثابت (ثابت)، پس.

بدیهی است که این قانون برای تفاوت نیز کار می کند: .

بیایید ثابت کنیم. اجازه دهید، یا راحت تر.

مثال ها.

مشتقات توابع را پیدا کنید:

1. در نقطه؛
2. در نقطه؛
3. در نقطه؛
4. در نقطه

راه حل ها:

1. (مشتق در همه نقاط یکسان است، زیرا یک تابع خطی است، یادتان هست؟)

مشتق از یک محصول

همه چیز در اینجا مشابه است: ما یک تابع جدید را معرفی می کنیم و افزایش آن را پیدا می کنیم:

مشتق:

مثال ها:

1. مشتقات توابع را پیدا کنید و
2. مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.

راه حل ها:

مشتق تابع نمایی

اکنون دانش شما کافی است تا بیاموزید که چگونه مشتق هر تابع نمایی را بیابید، و نه فقط توان را (آیا فراموش کرده اید که چیست؟).

پس فلان عدد کجاست

ما قبلاً مشتق تابع را می دانیم، بنابراین بیایید سعی کنیم تابع خود را به یک پایه جدید برسانیم:

برای این کار از یک قانون ساده استفاده می کنیم: . سپس:

خوب، کار کرد. حالا سعی کنید مشتق را پیدا کنید و فراموش نکنید که این تابع پیچیده است.

اتفاق افتاد؟

در اینجا، خود را بررسی کنید:

فرمول بسیار شبیه به مشتق توان است: همانطور که بود، باقی می ماند، فقط یک عامل ظاهر شد، که فقط یک عدد است، اما یک متغیر نیست.

مثال ها:
مشتقات توابع را پیدا کنید:

پاسخ ها:

این فقط یک عدد است که بدون ماشین حساب نمی توان آن را محاسبه کرد، یعنی نمی توان آن را به شکل ساده تر نوشت. لذا در جواب به این صورت رها شده است.

توجه داشته باشید که در اینجا ضریب دو تابع است، بنابراین قانون تمایز مناسب را اعمال می کنیم:

در این مثال حاصل ضرب دو تابع:

مشتق تابع لگاریتمی

در اینجا مشابه است: شما قبلاً مشتق لگاریتم طبیعی را می دانید:

بنابراین، برای پیدا کردن یک دلخواه از لگاریتم با پایه متفاوت، به عنوان مثال،:

ما باید این لگاریتم را به پایه بیاوریم. چگونه پایه لگاریتم را تغییر می دهید؟ امیدوارم این فرمول را به خاطر بسپارید:

فقط اکنون به جای آن می نویسیم:

مخرج فقط یک ثابت بود (یک عدد ثابت، بدون متغیر). مشتق بسیار ساده است:

مشتقات توابع نمایی و لگاریتمی تقریباً هرگز در امتحان یافت نمی شوند، اما دانستن آنها اضافی نخواهد بود.

مشتق تابع مختلط

"تابع پیچیده" چیست؟ نه، این یک لگاریتم نیست، و نه یک مماس قوسی. درک این توابع ممکن است دشوار باشد (البته اگر لگاریتم برای شما دشوار به نظر می رسد، مبحث "لگاریتم" را بخوانید و همه چیز درست می شود)، اما از نظر ریاضی، کلمه "پیچیده" به معنای "دشوار" نیست.

یک نوار نقاله کوچک را تصور کنید: دو نفر نشسته اند و با برخی از اشیاء اقداماتی را انجام می دهند. به عنوان مثال، اولی یک تخته شکلات را در یک بسته بندی می پیچد و دومی آن را با یک روبان می بندد. به نظر می رسد چنین شی کامپوزیتی: یک شکلات پیچیده شده و با یک روبان گره خورده است. برای خوردن یک شکلات تخته ای، باید مراحل مخالف را به ترتیب معکوس انجام دهید.

بیایید یک خط لوله ریاضی مشابه ایجاد کنیم: ابتدا کسینوس یک عدد را پیدا می کنیم و سپس عدد حاصل را مربع می کنیم. بنابراین، آنها به ما یک عدد (شکلات) می دهند، من کسینوس آن را پیدا می کنم (لفاف) و سپس شما آنچه را که به دست آوردم مربع می کنید (آن را با یک روبان ببندید). چی شد؟ تابع. این مثالی از یک تابع پیچیده است: زمانی که برای یافتن مقدار آن، اولین عمل را مستقیماً با متغیر انجام می دهیم و سپس اقدام دوم دیگری را با آنچه در نتیجه اولی اتفاق افتاده است انجام می دهیم.

به عبارت دیگر، تابع پیچیده تابعی است که آرگومان آن تابع دیگری است: .

برای مثال ما، .

ما ممکن است همان اقدامات را به ترتیب معکوس انجام دهیم: ابتدا شما مربع می کنید و سپس من به دنبال کسینوس عدد حاصل می گردم:. به راحتی می توان حدس زد که نتیجه تقریباً همیشه متفاوت خواهد بود. یک ویژگی مهم توابع پیچیده: وقتی ترتیب اعمال تغییر می کند، تابع تغییر می کند.

مثال دوم: (همان). .

آخرین اقدامی که انجام می دهیم نامیده می شود عملکرد "خارجی".و اولین اقدام انجام شد - به ترتیب عملکرد "داخلی".(این اسامی غیر رسمی هستند، من از آنها فقط برای توضیح مطالب به زبان ساده استفاده می کنم).

سعی کنید خودتان تعیین کنید کدام تابع خارجی و کدام داخلی است:

پاسخ ها:جداسازی توابع داخلی و خارجی بسیار شبیه به تغییر متغیرها است: به عنوان مثال، در تابع

1. ابتدا چه اقدامی انجام خواهیم داد؟ ابتدا سینوس را محاسبه می کنیم و تنها سپس آن را به مکعب می آوریم. بنابراین یک عملکرد داخلی است، نه یک عملکرد خارجی.
   و کارکرد اصلی ترکیب آنهاست: .
2. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
3. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
4. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
5. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .

متغیرها را تغییر می دهیم و یک تابع می گیریم.

خوب، اکنون شکلات خود را استخراج می کنیم - به دنبال مشتق باشید. روال همیشه برعکس است: ابتدا مشتق تابع بیرونی را جستجو می کنیم، سپس نتیجه را در مشتق تابع درونی ضرب می کنیم. برای مثال اصلی، به نظر می رسد:

مثالی دیگر:

بنابراین، اجازه دهید در نهایت قانون رسمی را فرموله کنیم:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

به نظر ساده است، درست است؟

بیایید با مثال ها بررسی کنیم:

راه حل ها:

1) داخلی:

خارجی: ;

2) داخلی:

(فقط سعی نکنید تا الان کم کنید! چیزی از زیر کسینوس خارج نشده، یادتان هست؟)

3) داخلی:

خارجی: ;

فوراً مشخص است که در اینجا یک عملکرد پیچیده سه سطحی وجود دارد: از این گذشته ، این به خودی خود یک عملکرد پیچیده است و ما هنوز ریشه را از آن استخراج می کنیم ، یعنی عمل سوم را انجام می دهیم (شکلات را در یک بسته بندی قرار می دهیم. و با یک روبان در کیف). اما دلیلی برای ترس وجود ندارد: به هر حال، ما این عملکرد را به همان ترتیب معمول "باز کردن" می کنیم: از پایان.

یعنی ابتدا ریشه و بعد کسینوس و فقط بعد عبارت داخل پرانتز را متمایز می کنیم. و سپس همه را ضرب می کنیم.

در چنین مواردی، شماره گذاری اقدامات راحت است. یعنی آنچه را که می دانیم تصور کنیم. به چه ترتیبی اقداماتی را برای محاسبه مقدار این عبارت انجام خواهیم داد؟ بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

هرچه این عمل دیرتر انجام شود، عملکرد مربوطه "خارجی" تر خواهد بود. دنباله اقدامات - مانند قبل:

در اینجا لانه سازی به طور کلی 4 سطح است. بیایید مسیر عمل را مشخص کنیم.

1. بیان رادیکال. .

2. ریشه. .

3. سینوس. .

4. مربع. .

5. کنار هم گذاشتن همه:

مشتق. به طور خلاصه در مورد اصلی

مشتق تابع- نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان با افزایش بی نهایت کوچک آرگومان:

مشتقات پایه:

قوانین تمایز:

ثابت از علامت مشتق خارج می شود:

مشتق جمع:

محصول مشتق:

مشتق ضریب:

مشتق تابع مختلط:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

1. ما تابع "داخلی" را تعریف می کنیم، مشتق آن را پیدا می کنیم.
2. ما تابع "خارجی" را تعریف می کنیم، مشتق آن را پیدا می کنیم.
3. نتایج نقطه اول و دوم را ضرب می کنیم.

مشتقات پیچیده مشتق لگاریتمی
مشتق تابع نمایی

ما همچنان به بهبود تکنیک تمایز خود ادامه می دهیم. در این درس مطالب پوشش داده شده را ادغام می کنیم، مشتقات پیچیده تری را در نظر می گیریم و همچنین با ترفندها و ترفندهای جدید برای یافتن مشتق، به ویژه با مشتق لگاریتمی آشنا می شویم.

آن دسته از خوانندگانی که آمادگی پایینی دارند به مقاله مراجعه کنند چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ نمونه های راه حلکه به شما این امکان را می دهد تا مهارت های خود را تقریباً از ابتدا بالا ببرید. در مرحله بعد، باید صفحه را به دقت مطالعه کنید مشتق تابع مختلط، درک کنید و حل کنید همهمثال هایی که زدم این درس از نظر منطقی سومین درس متوالی است و پس از تسلط بر آن، با اطمینان توابع نسبتاً پیچیده را متمایز خواهید کرد. این نامطلوب است که به موقعیت "کجای دیگر؟" بله، و بس است! ” از آنجایی که تمام مثال ها و راه حل ها از تست های واقعی گرفته شده اند و اغلب در عمل یافت می شوند.

بیایید با تکرار شروع کنیم. در درس مشتق تابع مختلطما تعدادی مثال را با نظرات دقیق در نظر گرفته ایم. در دوره مطالعه حساب دیفرانسیل و سایر بخش‌های آنالیز ریاضی، باید اغلب تمایز قائل شوید، و همیشه راحت نیست (و همیشه لازم نیست) مثال‌ها را با جزئیات زیاد ترسیم کنید. بنابراین در یافتن شفاهی مشتقات تمرین خواهیم کرد. مناسب ترین "نامزدها" برای این، مشتقاتی از ساده ترین توابع پیچیده هستند، به عنوان مثال:

طبق قاعده تمایز یک تابع پیچیده :

هنگام مطالعه سایر موضوعات matan در آینده، چنین رکورد دقیقی اغلب مورد نیاز نیست، فرض بر این است که دانش آموز می تواند مشتقات مشابهی را در خلبان خودکار پیدا کند. بیایید تصور کنیم ساعت 3 صبح تلفن زنگ زد و صدای دلنشینی پرسید: مشتق مماس دو x چیست؟ این باید با یک پاسخ تقریباً آنی و مودبانه دنبال شود: .

مثال اول بلافاصله برای یک راه حل مستقل در نظر گرفته می شود.

مثال 1

مشتقات زیر را به صورت شفاهی، در یک مرحله بیابید، به عنوان مثال: . برای تکمیل کار، فقط باید از آن استفاده کنید جدول مشتقات توابع ابتدایی(اگر قبلاً به خاطر نیاورده باشد). اگر مشکلی دارید، توصیه می کنم دوباره درس را بخوانید مشتق تابع مختلط.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

پاسخ در پایان درس

مشتقات پیچیده

پس از آماده سازی اولیه توپخانه، نمونه هایی با ضمیمه عملکردهای 3-4-5 کمتر ترسناک خواهند بود. شاید دو مثال زیر برای برخی پیچیده به نظر برسد، اما اگر درک شوند (کسی رنج می‌کشد)، تقریباً هر چیز دیگری در حساب دیفرانسیل شبیه شوخی کودکانه به نظر می‌رسد.

مثال 2

مشتق یک تابع را پیدا کنید

همانطور که قبلا ذکر شد، هنگام پیدا کردن مشتق یک تابع پیچیده، اول از همه، ضروری است درستسرمایه گذاری ها را درک کنید. در مواردی که شک دارید، یک ترفند مفید را به شما یادآوری می کنم: برای مثال، مقدار آزمایشی "x" را می گیریم و سعی می کنیم (به صورت ذهنی یا روی پیش نویس) این مقدار را با "عبارت وحشتناک" جایگزین کنیم.

1) ابتدا باید عبارت را محاسبه کنیم، بنابراین مجموع عمیق ترین تودرتو است.

2) سپس باید لگاریتم را محاسبه کنید:

4) سپس کسینوس را مکعب کنید:

5) در مرحله پنجم، تفاوت:

6) و در نهایت بیرونی ترین تابع جذر است:

فرمول تمایز تابع مرکب به ترتیب معکوس، از بیرونی ترین تابع به درونی ترین اعمال می شوند. ما تصمیم گرفتیم:

به نظر خطایی نیست...

(1) مشتق جذر را می گیریم.

(2) ما مشتق تفاوت را با استفاده از قانون می گیریم

(3) مشتق ثلاث برابر با صفر است. در ترم دوم مشتق درجه (مکعب) را می گیریم.

(4) مشتق کسینوس را می گیریم.

(5) مشتق لگاریتم را می گیریم.

(6) در نهایت، مشتق عمیق ترین تودرتو را می گیریم.

شاید خیلی سخت به نظر برسد، اما این وحشیانه ترین نمونه نیست. به عنوان مثال، مجموعه کوزنتسوف را در نظر بگیرید و از تمام جذابیت و سادگی مشتق تحلیل شده قدردانی خواهید کرد. متوجه شدم که آنها دوست دارند چیزی مشابه در امتحان بدهند تا بررسی کنند که آیا دانش آموز نحوه یافتن مشتق یک تابع پیچیده را می داند یا نمی فهمد.

مثال زیر برای یک راه حل مستقل است.

مثال 3

مشتق یک تابع را پیدا کنید

نکته: ابتدا قواعد خطی بودن و قاعده تمایز محصول را اعمال می کنیم

حل کامل و پاسخ در پایان درس.

زمان آن فرا رسیده است که به سراغ چیزهایی فشرده تر و زیباتر بروید.
برای موقعیتی که حاصلضرب نه دو، بلکه سه تابع در یک مثال آورده شده است، غیر معمول نیست. چگونه مشتق حاصلضرب سه عامل را پیدا کنیم؟

مثال 4

مشتق یک تابع را پیدا کنید

ابتدا نگاه می کنیم، اما آیا می توان حاصل ضرب سه تابع را به حاصل ضرب دو تابع تبدیل کرد؟ به عنوان مثال، اگر ما دو چند جمله ای در حاصلضرب داشتیم، می توانیم براکت ها را باز کنیم. اما در این مثال، همه توابع متفاوت هستند: درجه، توان و لگاریتم.

در چنین مواردی لازم است به طور متوالیقانون تمایز محصول را اعمال کنید دو برابر

ترفند این است که برای "y" حاصل ضرب دو تابع را نشان می دهیم: و برای "ve" - ​​لگاریتم:. چرا می توان این کار را انجام داد؟ آیا آن است - این حاصل دو عامل نیست و قاعده کار نمی کند؟! هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد:

اکنون باقی مانده است که قانون را برای بار دوم اعمال کنیم به پرانتز:

شما هنوز هم می توانید منحرف کنید و چیزی را از پرانتز خارج کنید، اما در این مورد بهتر است پاسخ را به این شکل بگذارید - بررسی آن آسان تر خواهد بود.

مثال بالا به روش دوم قابل حل است:

هر دو راه حل کاملاً معادل هستند.

مثال 5

مشتق یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است، در نمونه به روش اول حل می شود.

مثال های مشابه را با کسرها در نظر بگیرید.

مثال 6

مشتق یک تابع را پیدا کنید

در اینجا می توانید به چندین روش بروید:

یا مثل این:

اما اگر اول از همه از قانون تمایز ضریب استفاده کنیم، می توان راه حل را فشرده تر نوشت. ، گرفتن برای تمام شمارنده:

در اصل مثال حل می شود و اگر به این شکل رها شود اشتباه نمی شود. اما اگر وقت دارید، همیشه توصیه می شود پیش نویس را بررسی کنید، اما آیا می توان پاسخ را ساده کرد؟ ما عبارت صورت را به یک مخرج مشترک می آوریم و از شر کسری سه طبقه خلاص شوید:

عیب ساده‌سازی‌های اضافی این است که نه هنگام یافتن مشتق، بلکه در هنگام تغییرات پیش پا افتاده مدرسه، خطر اشتباه وجود دارد. از سوی دیگر، معلمان اغلب تکلیف را رد می‌کنند و می‌خواهند مشتق را «به ذهن بیاورند».

یک مثال ساده تر برای راه حلی که خودتان انجام دهید:

مثال 7

مشتق یک تابع را پیدا کنید

ما به تسلط بر تکنیک های یافتن مشتق ادامه می دهیم و اکنون یک مورد معمولی را در نظر می گیریم که یک لگاریتم "وحشتناک" برای تمایز پیشنهاد شود.

مثال 8

مشتق یک تابع را پیدا کنید

در اینجا می توانید با استفاده از قانون تمایز یک تابع پیچیده، راه طولانی را طی کنید:

اما اولین قدم بلافاصله شما را در ناامیدی فرو می برد - باید مشتق ناخوشایندی از درجه کسری و سپس از کسری بگیرید.

از همین رو قبل ازچگونه مشتق لگاریتم "فانتزی" را بگیریم، قبلاً با استفاده از ویژگی های مدرسه شناخته شده ساده شده است:

! اگر دفترچه تمرینی در دست دارید، این فرمول ها را همانجا کپی کنید. اگر دفتری ندارید، آنها را روی یک کاغذ بکشید، زیرا بقیه مثال های درس حول این فرمول ها می چرخد.

خود راه حل را می توان به صورت زیر فرموله کرد:

بیایید تابع را تبدیل کنیم:

مشتق را پیدا می کنیم:

تبدیل اولیه تابع خود راه حل را بسیار ساده کرد. بنابراین، زمانی که لگاریتمی مشابه برای تمایز پیشنهاد می‌شود، همیشه توصیه می‌شود که آن را تجزیه کنید.

و اکنون چند مثال ساده برای یک راه حل مستقل:

مثال 9

مشتق یک تابع را پیدا کنید

مثال 10

مشتق یک تابع را پیدا کنید

تمام تحولات و پاسخ ها در پایان درس.

مشتق لگاریتمی

اگر مشتق لگاریتم ها به این موسیقی شیرین باشد، این سوال پیش می آید که آیا در برخی موارد می توان لگاریتم را به صورت مصنوعی سازماندهی کرد؟ می توان! و حتی ضروری است.

مثال 11

مشتق یک تابع را پیدا کنید

نمونه های مشابهی که اخیراً در نظر گرفته ایم. چه باید کرد؟ می توان قاعده تمایز ضریب و سپس قاعده تمایز محصول را به طور متوالی اعمال کرد. عیب این روش این است که شما یک کسری بزرگ سه طبقه به دست می آورید که اصلاً نمی خواهید با آن مقابله کنید.

اما در تئوری و عمل چیز شگفت انگیزی به عنوان مشتق لگاریتمی وجود دارد. لگاریتم ها را می توان با "آویزاندن" آنها در هر دو طرف به طور مصنوعی سازماندهی کرد:

توجه داشته باشید : زیرا تابع می تواند مقادیر منفی بگیرد، سپس، به طور کلی، باید از ماژول ها استفاده کنید: ، که در نتیجه تمایز از بین می روند. با این حال، طراحی فعلی نیز قابل قبول است، جایی که به طور پیش فرض مجتمعارزش های. اما اگر با تمام دقت، پس در هر دو مورد لازم است رزرو کنید که.

اکنون باید لگاریتم سمت راست را تا حد امکان "تخریب" کنید (فرمول ها در مقابل چشمان خود؟). من این فرآیند را با جزئیات کامل شرح خواهم داد:

بیایید با تمایز شروع کنیم.
هر دو بخش را با یک ضربه به پایان می‌رسانیم:

مشتق سمت راست کاملاً ساده است، من در مورد آن نظر نمی دهم، زیرا اگر در حال خواندن این متن هستید، باید بتوانید با اطمینان از آن استفاده کنید.

سمت چپ چطور؟

در سمت چپ ما داریم تابع پیچیده. من این سوال را پیش بینی می کنم: "چرا، یک حرف "y" زیر لگاریتم وجود دارد؟".

واقعیت این است که این "یک حرف y" - یک تابع به خودی خود است(اگر خیلی واضح نیست به مقاله مشتق تابع به طور ضمنی مشخص شده مراجعه کنید). بنابراین، لگاریتم یک تابع خارجی و "y" یک تابع داخلی است. و از قانون تمایز تابع مرکب استفاده می کنیم :

در سمت چپ، گویی با جادو، یک مشتق داریم. علاوه بر این، طبق قاعده تناسب، "y" را از مخرج سمت چپ به بالای سمت راست پرتاب می کنیم:

و اکنون به یاد می آوریم که هنگام تمایز در مورد چه نوع "بازی" - کارکردی صحبت کردیم؟ بیایید شرایط را بررسی کنیم:

جواب نهایی:

مثال 12

مشتق یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای خودتان است. نمونه طراحی نمونه ای از این نوع در پایان درس.

با کمک مشتق لگاریتمی، می توان هر یک از مثال های شماره 4-7 را حل کرد، نکته دیگر این است که توابع در آنجا ساده تر هستند و شاید استفاده از مشتق لگاریتمی چندان موجه نباشد.

مشتق تابع نمایی

ما هنوز این تابع را در نظر نگرفته ایم. تابع نمایی تابعی است که دارد و درجه و پایه به "x" بستگی دارد. یک مثال کلاسیک که در هر کتاب درسی یا در هر سخنرانی به شما داده می شود:

چگونه مشتق تابع نمایی را پیدا کنیم؟

لازم است از تکنیکی که به تازگی در نظر گرفته شده استفاده شود - مشتق لگاریتمی. لگاریتم ها را در دو طرف آویزان می کنیم:

به عنوان یک قاعده، درجه از زیر لگاریتم در سمت راست خارج می شود:

در نتیجه، در سمت راست، حاصلضرب دو تابع داریم که طبق فرمول استاندارد متمایز خواهند شد. .

ما مشتق را پیدا می کنیم، برای این ما هر دو قسمت را زیر strokes محصور می کنیم:

مراحل بعدی آسان است:

سرانجام:

اگر برخی از تغییرات کاملاً واضح نیستند، لطفاً توضیحات مثال 11 را مجدداً با دقت بخوانید.

در کارهای عملی، تابع نمایی همیشه پیچیده تر از مثال سخنرانی در نظر گرفته شده خواهد بود.

مثال 13

مشتق یک تابع را پیدا کنید

ما از مشتق لگاریتمی استفاده می کنیم.

در سمت راست ما یک ثابت و حاصلضرب دو عامل داریم - "x" و "لگاریتم لگاریتم x" (لگاریتم دیگری زیر لگاریتم تودرتو است). هنگام تمایز یک ثابت، همانطور که به یاد داریم، بهتر است فوراً آن را از علامت مشتق خارج کنیم تا مانع از آن نشود. و البته قانون آشنا را اعمال کنید :

اثبات و اشتقاق فرمول های مشتق لگاریتم طبیعی و لگاریتم در مبنای a. نمونه هایی از محاسبه مشتقات ln 2x، ln 3x و ln nx. اثبات فرمول مشتق لگاریتم مرتبه n با روش استقرای ریاضی.

محتوا

همچنین ببینید: لگاریتم - خواص، فرمول ها، نمودار
لگاریتم طبیعی - خواص، فرمول ها، نمودار

استخراج فرمول برای مشتقات لگاریتم طبیعی و لگاریتم در پایه a

مشتق لگاریتم طبیعی x برابر است با یک تقسیم بر x:
(1) (lnx)′ =.

مشتق لگاریتم به پایه a برابر است با تقسیم بر متغیر x ضرب در لگاریتم طبیعی a:
(2) (log x)′ =.

اثبات

بگذارید یک عدد مثبت وجود داشته باشد که مساوی یک نباشد. تابعی را در نظر بگیرید که به متغیر x بستگی دارد که یک لگاریتم پایه است:
.
این تابع با تعریف شده است. بیایید مشتق آن را با توجه به x پیدا کنیم. طبق تعریف، مشتق حد زیر است:
(3) .

بیایید این عبارت را تبدیل کنیم تا آن را به خواص و قوانین ریاضی شناخته شده تقلیل دهیم. برای این کار باید حقایق زیر را بدانیم:
آ)خواص لگاریتم ما به فرمول های زیر نیاز داریم:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
ب)پیوستگی لگاریتم و ویژگی حدود برای یک تابع پیوسته:
(7) .
در اینجا تابعی وجود دارد که محدودیت دارد و این حد مثبت است.
که در)معنی دومین حد شگفت انگیز:
(8) .

ما این حقایق را تا حد خود اعمال می کنیم. ابتدا عبارت جبری را تبدیل می کنیم
.
برای این کار از ویژگی های (4) و (5) استفاده می کنیم.

.

ما از ویژگی (7) و محدودیت قابل توجه دوم (8) استفاده می کنیم:
.

و در نهایت، ویژگی (6) را اعمال کنید:
.
لگاریتم پایه هتماس گرفت لگاریتم طبیعی. به این صورت مشخص شده است:
.
سپس ؛
.

بنابراین، ما فرمول (2) را برای مشتق لگاریتم به دست آورده ایم.

مشتق لگاریتم طبیعی

یک بار دیگر، فرمول مشتق لگاریتم را در پایه a می نویسیم:
.
این فرمول ساده ترین شکل لگاریتم طبیعی را دارد که برای آن، . سپس
(1) .

به دلیل این سادگی، لگاریتم طبیعی به طور گسترده در حساب دیفرانسیل و انتگرال و سایر حوزه های ریاضیات مرتبط با حساب دیفرانسیل استفاده می شود. توابع لگاریتمی با پایه های دیگر را می توان بر حسب لگاریتم طبیعی با استفاده از ویژگی (6) بیان کرد:
.

اگر ثابت از علامت تمایز خارج شود، مشتق پایه لگاریتم را می توان از فرمول (1) یافت:
.

راه های دیگر برای اثبات مشتق لگاریتم

در اینجا فرض می کنیم که فرمول مشتق توان را می دانیم:
(9) .
سپس می‌توانیم فرمول مشتق لگاریتم طبیعی را استخراج کنیم، با توجه به اینکه لگاریتم معکوس توان است.

اجازه دهید فرمول مشتق لگاریتم طبیعی را ثابت کنیم، استفاده از فرمول برای مشتق تابع معکوس:
.
در مورد ما . معکوس لگاریتم طبیعی توان:
.
مشتق آن با فرمول (9) تعیین می شود. متغیرها را می توان با هر حرفی نشان داد. در فرمول (9)، متغیر x را با y جایگزین می کنیم:
.
از آن به بعد
.
سپس
.
فرمول ثابت شده است.

اکنون فرمول مشتق لگاریتم طبیعی را با استفاده از آن ثابت می کنیم قوانین تمایز یک تابع مرکب. از آنجایی که توابع و معکوس یکدیگر هستند، پس
.
این معادله را با توجه به متغیر x متمایز کنید:
(10) .
مشتق x برابر با یک است:
.
ما قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال می کنیم:
.
اینجا . جایگزین به (10):
.
از اینجا
.

مثال

مشتقات را بیابید ln 2x، ln 3xو ln nx.

توابع اصلی شکل مشابهی دارند. بنابراین، مشتق تابع را پیدا خواهیم کرد y = log nx. سپس n = 2 و n = 3 را جایگزین می کنیم. و بنابراین، فرمول هایی را برای مشتقات به دست می آوریم ln 2xو ln 3x .

بنابراین، ما به دنبال مشتق تابع هستیم
y = log nx .
بیایید این تابع را به عنوان یک تابع پیچیده متشکل از دو تابع نشان دهیم:
1) توابع وابسته متغیر : ;
2) توابع وابسته متغیر : .
سپس تابع اصلی از توابع و :
.

بیایید مشتق تابع را با توجه به متغیر x پیدا کنیم:
.
بیایید مشتق تابع را با توجه به متغیر پیدا کنیم:
.
ما فرمول مشتق یک تابع مختلط را اعمال می کنیم.
.
در اینجا ما جایگزین کرده ایم.

بنابراین یافتیم:
(11) .
می بینیم که مشتق به n بستگی ندارد. این نتیجه کاملا طبیعی است اگر تابع اصلی را با استفاده از فرمول لگاریتم محصول تبدیل کنیم:
.
- ثابت است. مشتق آن صفر است. سپس با توجه به قاعده افتراق جمع داریم:
.

; ; .

مشتق مدول لگاریتم x

بیایید مشتق یک تابع بسیار مهم دیگر - لگاریتم طبیعی ماژول x را پیدا کنیم:
(12) .

بیایید قضیه را در نظر بگیریم. سپس تابع به نظر می رسد:
.
مشتق آن با فرمول (1) تعیین می شود:
.

حال قضیه را در نظر بگیرید. سپس تابع به نظر می رسد:
,
جایی که .
اما مشتق این تابع را نیز در مثال بالا یافتیم. به n بستگی ندارد و برابر است
.
سپس
.

ما این دو مورد را در یک فرمول ترکیب می کنیم:
.

بر این اساس، برای لگاریتم به پایه a، داریم:
.

مشتقات مرتبه بالاتر لگاریتم طبیعی

تابع را در نظر بگیرید
.
مشتق مرتبه اول آن را پیدا کردیم:
(13) .

بیایید مشتق مرتبه دوم را پیدا کنیم:
.
بیایید مشتق مرتبه سوم را پیدا کنیم:
.
بیایید مشتق مرتبه چهارم را پیدا کنیم:
.

می توان دید که مشتق مرتبه n به شکل زیر است:
(14) .
اجازه دهید این را با استقرای ریاضی ثابت کنیم.

اثبات

اجازه دهید مقدار n = 1 را با فرمول (14) جایگزین کنیم:
.
از آنجا که، پس برای n = 1 ، فرمول (14) معتبر است.

فرض کنید فرمول (14) برای n = k برآورده شده است. اجازه دهید ثابت کنیم که از این نتیجه می شود که فرمول برای n = k معتبر است + 1 .

در واقع، برای n = k داریم:
.
نسبت به x افتراق دهید:

.
بنابراین ما دریافتیم:
.
این فرمول با فرمول (14) برای n = k + منطبق است 1 . بنابراین، از این فرض که فرمول (14) برای n = k معتبر است، نتیجه می شود که فرمول (14) برای n = k + معتبر است. 1 .

بنابراین، فرمول (14)، برای مشتق مرتبه n، برای هر n معتبر است.

مشتقات مرتبه بالاتر لگاریتم به پایه a

برای یافتن مشتق n ام لگاریتم پایه a، باید آن را بر حسب لگاریتم طبیعی بیان کنید:
.
با استفاده از فرمول (14)، مشتق n را پیدا می کنیم:
.

همچنین ببینید:

آیا فکر می کنید هنوز زمان زیادی تا امتحان باقی مانده است؟ یک ماهه؟ دوتا؟ سال؟ تمرین نشان می دهد که اگر دانش آموز از قبل شروع به آماده شدن برای امتحان کند، بهترین عملکرد را با امتحان دارد. در آزمون یکپارچه دولتی وظایف دشوار زیادی وجود دارد که مانع از کسب بالاترین نمرات برای دانش آموز و متقاضی آینده می شود. برای غلبه بر این موانع باید یاد گرفت، علاوه بر این، انجام این کار دشوار نیست. شما باید اصل کار با وظایف مختلف را از بلیط ها درک کنید. در این صورت هیچ مشکلی با موارد جدید وجود نخواهد داشت.

لگاریتم ها در نگاه اول بسیار پیچیده به نظر می رسند، اما با تجزیه و تحلیل دقیق تر، وضعیت بسیار ساده تر می شود. اگر می خواهید در امتحانی با بالاترین نمره قبول شوید، باید مفهوم مورد نظر را درک کنید که در این مقاله پیشنهاد می کنیم این کار را انجام دهید.

ابتدا اجازه دهید این تعاریف را از هم جدا کنیم. لگاریتم (log) چیست؟ این نشانگر قدرتی است که برای به دست آوردن عدد مشخص شده پایه باید به آن افزایش یابد. اگر روشن نیست، یک مثال ابتدایی را تحلیل می کنیم.

در این حالت، پایه زیر باید به توان دوم افزایش یابد تا عدد 4 به دست آید.

حال به مفهوم دوم می پردازیم. مشتق یک تابع به هر شکلی که باشد مفهومی نامیده می شود که تغییر در یک تابع در یک نقطه کاهش یافته را مشخص می کند. با این حال، این یک برنامه درسی مدرسه است و اگر به طور جداگانه با این مفاهیم مشکل دارید، ارزش تکرار موضوع را دارد.

مشتق لگاریتم

در تکالیف USE در مورد این موضوع، چندین کار را می توان به عنوان مثال ذکر کرد. بیایید با ساده ترین مشتق لگاریتمی شروع کنیم. باید مشتق تابع زیر را پیدا کنیم.

باید مشتق بعدی را پیدا کنیم

یک فرمول خاص وجود دارد.

در این مورد x=u، log3x=v. مقادیر تابع خود را در فرمول جایگزین کنید.

مشتق x برابر با یک خواهد بود. لگاریتم کمی دشوارتر است. اما اگر فقط مقادیر را جایگزین کنید، اصل را درک خواهید کرد. به یاد بیاورید که مشتق lg x مشتق لگاریتم اعشاری است و مشتق ln x مشتق لگاریتم طبیعی (بر اساس e) است.

اکنون فقط مقادیر بدست آمده را جایگزین فرمول کنید. خودتان آن را امتحان کنید، سپس پاسخ را بررسی کنید.

مشکل اینجا برای بعضی ها چی میتونه باشه؟ ما مفهوم لگاریتم طبیعی را معرفی کرده ایم. بیایید در مورد آن صحبت کنیم، و در عین حال چگونگی حل مشکلات با آن را دریابیم. شما هیچ چیز پیچیده ای نخواهید دید، به خصوص وقتی که اصل عملکرد آن را درک کنید. شما باید به آن عادت کنید، زیرا اغلب در ریاضیات (به ویژه در مؤسسات آموزش عالی) استفاده می شود.

مشتق لگاریتم طبیعی

در هسته آن، این مشتق لگاریتم به پایه e است (این یک عدد غیر منطقی است که تقریباً 2.7 است). در واقع ln بسیار ساده است، به همین دلیل است که اغلب در ریاضیات به طور کلی استفاده می شود. در واقع حل مشکل با او هم مشکلی نخواهد داشت. شایان ذکر است که مشتق لگاریتم طبیعی به پایه e برابر با یک تقسیم بر x خواهد بود. راه حل مثال زیر گویای ترین خواهد بود.

آن را به عنوان یک تابع پیچیده متشکل از دو تابع ساده تصور کنید.

به اندازه کافی برای تبدیل شدن

ما به دنبال مشتق u نسبت به x هستیم

بیایید به دومی ادامه دهیم

ما از روش حل مشتق یک تابع مختلط با جایگزینی u=nx استفاده می کنیم.

آنچه در پایان اتفاق افتاد؟

حالا بیایید به یاد بیاوریم که n در این مثال چه معنایی داشت؟ این هر عددی است که می تواند در لگاریتم طبیعی قبل از x رخ دهد. برای شما مهم است که درک کنید که پاسخ به آن بستگی ندارد. هر چیزی را جایگزین کنید، پاسخ همچنان 1/x خواهد بود.

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای در اینجا وجود ندارد، فقط کافی است اصل را درک کنید تا به سرعت و کارآمد مشکلات این موضوع را حل کنید. حالا شما نظریه را می دانید، باقی مانده است که در عمل تثبیت شود. حل مسائل را تمرین کنید تا اصل حل آنها را برای مدت طولانی به خاطر بسپارید. ممکن است پس از فارغ التحصیلی به این دانش نیاز نداشته باشید، اما در امتحان این دانش بیشتر از همیشه مرتبط خواهد بود. موفق باشی!