피라미드. 피라미드의 공식과 속성
격언
(그리스어 apotíthēmi에서 - 나는 연기한다), 1) 수직선의 한 부분(및 그 길이) ㅏ, 정다각형의 중심에서 측면으로 떨어집니다. 2) 올바른 피라미드에서 apothem은 높이입니다. ㅏ측면 가장자리.
아포템APOPHEMA (그리스 apothema - 연기된 것),
1) 정다각형의 중심에서 임의의 변으로 떨어진 수직선 a의 한 부분(및 그 길이).
2) 일반 피라미드에서 apothem은 측면의 높이입니다.
백과사전. 2009 .
동의어:다른 사전에 "apothem"이 무엇인지 확인하십시오.
아포템 참조. 러시아어에 포함된 외국어 사전. Chudinov A.N., 1910. APOTHEMA, APOTHEMA 참조. 러시아어에 포함된 외국어 사전. 파블렌코프 F., 1907 ... 러시아어 외국어 사전
- (그리스 apotithemi에서 나는 연기) ..1) 수직선 a의 한 부분(및 그 길이), 정다각형의 중심에서 변 중 어느 쪽으로든 낮아짐2)] 정다각형에서 apothem은 높이입니다. 측면의 ... 큰 백과사전
존재, 동의어 수: 3 apotema (2) 길이 (10) 수직 (4) 사전 ... 동의어 사전
아포템- (1) 정다각형 주위에 외접하는 원의 중심에서 그 변의 어느 한 쪽으로 떨어지는 수직선의 길이; (2) 정 피라미드의 측면 높이; (3) 규칙적으로 잘린 사각형의 측면인 사다리꼴의 높이 ... ... 그레이트 폴리테크닉 백과사전
- (그리스어 apotithçmi에서 나는 제쳐두고) 1) 정다각형의 중심에서 그 변 중 하나까지 떨어진 수직선의 길이 (그림 1); 2) 규칙적인 피라미드 A. 측면의 높이 a (그림 2). 쌀. 1 ~ … 위대한 소비에트 백과사전
- (그리스어 apotfemi I에서 연기) 1) 정다각형의 중심에서 측면 중 하나로 낮아진 수직선 a의 한 부분(및 그 길이). 2) 정 피라미드 A.에서 측면의 높이 a(그림 참조). 예술로. 아포뎀... 큰 백과사전 폴리테크닉 사전
정다각형의 중심에서 변 중 하나로 떨어진 수직선의 길이. apothem은 주어진 다각형에 내접하는 원의 반지름과 같습니다. A. 원뿔의 경사면이라고도합니다 ... 백과사전 F.A. 브로크하우스와 I.A. 에프론
- (그리스 apotithemi I에서 연기), 1) 수직선 a의 한 부분(및 길이)은 정다각형의 중심에서 측면 중 하나로 낮아집니다. 2) 정 피라미드 A. 측면의 높이 a ... 자연 과학. 백과사전
아포뎀, 아포뎀, 아포뎀, 아포뎀, 아포뎀, 아포뎀, 아포뎀, 아포뎀, 아포뎀, 아포뎀, 아포뎀, 아포뎀, 아포뎀 (
- 격언-정각 피라미드의 측면 높이, 정상에서 그린 것
- 측면 (ASB, BSC, CSD, DSA) - 상단에서 수렴하는 삼각형;
- 옆갈비 ( 처럼 , 학사 , CS , 디에스 ) - 측면의 공통 측면;
- 피라미드의 꼭대기 (v.S) - 측면 모서리를 연결하고 바닥면에 있지 않은 점;
- 키 ( 그래서 ) - 피라미드의 상단을 통해 밑면의 평면으로 그려진 수직선의 세그먼트(이러한 세그먼트의 끝은 피라미드의 상단과 수직선의 밑면이 됩니다)
- 피라미드의 대각선 부분- 꼭대기와 밑면의 대각선을 통과하는 피라미드의 단면;
- 베이스 (ABCD) 피라미드의 꼭대기가 속하지 않는 다각형입니다.
피라미드 속성.
1. 모든 측면 모서리의 크기가 같으면 다음을 수행합니다.
- 피라미드의 바닥 근처에서는 원을 묘사하기 쉽고 피라미드의 꼭대기는 이 원의 중심으로 투영됩니다.
- 측면 리브는 기본 평면과 동일한 각도를 형성합니다.
- 또한 그 반대도 마찬가지입니다. 측면 모서리가 기본 평면과 동일한 각도를 형성하거나 피라미드의 하단 근처에 원이 기술될 수 있고 피라미드의 상단이 이 원의 중심으로 투영될 때 피라미드의 모든 측면 모서리는 다음을 갖습니다. 같은 크기.
2. 측면이 동일한 값의 밑면에 대한 경사각을 가질 때:
- 피라미드의 바닥 근처에서는 원을 설명하기 쉽고 피라미드의 상단은 이 원의 중심으로 투영됩니다.
- 측면의 높이는 동일한 길이입니다.
- 측면의 면적은 밑면 둘레와 측면 높이의 곱의 1/2입니다.
3. 피라미드의 밑변이 원이 설명될 수 있는 다각형이면 구는 피라미드 근처에 설명될 수 있습니다(필요 충분 조건). 구의 중심은 평면에 수직인 피라미드 모서리의 중점을 통과하는 평면의 교차점이 됩니다. 이 정리에서 우리는 구가 삼각형 주위와 모든 일반 피라미드 주위에 모두 기술될 수 있다는 결론을 내립니다.
4. 피라미드의 내부 2면각의 이등분면이 첫 번째 점(필요 충분 조건)에서 교차하면 구는 피라미드에 내접할 수 있습니다. 이 점이 구의 중심이 됩니다.
가장 단순한 피라미드.
피라미드 밑면의 모서리 수에 따라 삼각형, 사각형 등으로 나뉩니다.
피라미드는 삼각형, 사각형등, 피라미드의 밑변이 삼각형일 때, 사변형 등. 삼각형 피라미드는 사면체 - 사면체입니다. 사각형 - 5면체 등.
기하학 문제를 성공적으로 풀기 위해서는 이 과학이 사용하는 용어를 명확하게 이해해야 합니다. 예를 들어, 이들은 "직선", "평면", "다면체", "피라미드" 및 기타 여러 가지입니다. 이 기사에서 우리는 격언이 무엇인가라는 질문에 답할 것입니다.
"apothem"이라는 용어의 이중 사용
기하학에서 "apothem" 또는 "apoteme"이라는 단어의 의미는 그것이 적용되는 대상에 따라 다릅니다. 그것들의 특징 중 하나인 두 가지 근본적으로 다른 부류의 인물이 있습니다.
우선, 이들은 평평한 다각형입니다. 다각형에 대한 격언은 무엇입니까? 이것은 도형의 기하학적 중심에서 측면까지 그린 높이입니다.
문제가 무엇인지 더 명확하게 하기 위해 구체적인 예를 고려하십시오. 아래 그림과 같이 정육각형이 있다고 가정해 봅시다.
기호 l은 변의 길이를 나타내고 문자 a는 apothem을 나타냅니다. 표시된 삼각형의 경우 높이뿐만 아니라 이등분선과 중앙값도 있습니다. 측면 l의 관점에서 다음과 같이 계산할 수 있음을 쉽게 알 수 있습니다.
유사하게, apothem은 모든 n-gon에 대해 정의됩니다.
두 번째는 피라미드입니다. 그러한 인물에 대한 격언은 무엇입니까? 이 문제는 더 자세한 고려가 필요합니다.
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피라미드와 그 격언
먼저 기하학의 관점에서 피라미드를 정의합시다. 이 도형은 하나의 n각형(밑변)과 n개의 삼각형(변)으로 이루어진 3차원 물체입니다. 후자는 상단이라고하는 한 지점에서 연결됩니다. 그것에서 밑면까지의 거리는 그림의 높이입니다. n-gon의 기하학적 중심에 떨어지면 피라미드를 직선이라고합니다. 또한 n-gon의 각도와 측면이 같으면 그림을 일반이라고합니다. 아래는 피라미드의 예입니다.
그러한 인물에 대한 격언은 무엇입니까? 이것은 n-gon의 측면을 그림의 상단에 연결하는 수직선입니다. 분명히 피라미드의 측면인 삼각형의 높이를 나타냅니다.
apothem은 일반 피라미드로 기하학적 문제를 해결할 때 사용하기 편리합니다. 사실은 모든 측면이 서로 이등변 삼각형과 같습니다. 마지막 사실은 모든 n개의 격언이 같음을 의미하므로 일반 피라미드의 경우 단일 직선에 대해 이야기할 수 있습니다.
사각뿔의 격언 맞음
아마도이 그림의 가장 명백한 예는 세계의 유명한 첫 번째 불가사의 인 Cheops의 피라미드 일 것입니다. 그녀는 이집트에 있습니다.
규칙적인 n각형 밑변을 가진 그러한 도형의 경우, 다각형의 변의 길이 측면에서 측면 모서리 b와 높이 h 측면에서 그 변위를 결정할 수 있는 공식이 주어질 수 있습니다. 여기에 정사각형 밑면을 가진 직선 피라미드에 대한 해당 공식을 씁니다. 그것에 대한 apothem h b는 다음과 같습니다.
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h b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4);
h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4)
이 표현식 중 첫 번째는 모든 일반 피라미드에 유효하고 두 번째는 사각형에만 유효합니다.
이 공식을 사용하여 문제를 해결하는 방법을 보여 드리겠습니다.
기하학적 문제
밑변이 정사각형인 직선 피라미드가 주어집니다. 기본 면적을 계산할 필요가 있습니다. 피라미드의 apothem은 16cm이고 높이는 밑변의 2배입니다.
모든 학생은 알고 있습니다. 고려 중인 피라미드의 밑변인 정사각형의 면적을 찾으려면 측면을 알아야 합니다. 그것을 찾기 위해 우리는 apothem에 대해 다음 공식을 사용합니다.
h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4)
격언의 의미는 문제의 상태에서 알 수 있습니다. 높이 h가 한 변의 길이의 두 배이므로 이 식은 다음과 같이 변환할 수 있습니다.
h b = √((2*a) 2 + a 2 /4) = a/2*√17 =>
a = 2*h b /√17
정사각형의 면적은 변의 곱과 같습니다. 결과 표현식을 에 대입하면 다음과 같습니다.
S \u003d a 2 \u003d 4/17 * h b 2
문제의 조건에서 apothem의 값을 공식으로 대체하고 답을 S ≈ 60.2 cm 2로 작성하는 것이 남아 있습니다.
더 읽어보기:
메모. 이것은 기하학 문제(단면 솔리드 기하학, 피라미드에 대한 문제)에 대한 수업의 일부입니다. 여기에 없는 기하학 문제를 해결해야 하는 경우 포럼에 작성하십시오. 작업에서 "제곱근"기호 대신 sqrt() 함수가 사용되며, 여기서 sqrt는 제곱근 기호이고 급진적 표현은 괄호로 표시됩니다..간단한 급진적 표현의 경우 "√" 기호를 사용할 수 있습니다..이론 재료 및 공식, "장 참조" 올바른 피라미드 ".
작업
정삼각뿔의 변위는 4cm이고 밑변의 2면각은 60도입니다. 피라미드의 부피를 찾으십시오.해결책.
피라미드가 정확하므로 다음을 고려하십시오.
- 피라미드의 높이는 밑면의 중심에 투영됩니다.
- 문제의 조건에 따른 정삼각형의 밑변의 중심은 정삼각형
- 정삼각형의 중심은 내접원과 외접원의 중심입니다.
- 피라미드의 높이는 밑면과 직각을 이룹니다.
V = 1/3 쉬
정각 피라미드의 변위는 피라미드의 높이와 함께 직각 삼각형을 형성하므로 사인 정리를 사용하여 높이를 구합니다. 또한 다음을 고려해 보겠습니다.
- 고려한 직각 삼각형의 첫 번째 다리는 높이이고 두 번째 다리는 내접원의 반지름입니다(정삼각형에서 중심은 내접원과 외접원의 중심임), 빗변은 피라미드
- 직각삼각형의 세 번째 각은 30도(삼각형의 각의 합은 180도, 60도의 각도는 조건에 의해 주어지며, 두 번째 각은 피라미드의 성질에 따른 직각이며, 세 번째는 180-90-60 = 30)
- 사인 30도 1/2와 같음
- 60도의 사인은 3의 제곱근과 같습니다.
- 90도의 사인은 1입니다.
4 / sin(90) = h / sin(60) = r / sin(30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
어디
r=2
h = 2√3
피라미드의 바닥에는 다음 공식으로 찾을 수 있는 정삼각형이 있습니다.
정삼각형의 S = 3√3 r 2 .
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3.
이제 피라미드의 부피를 찾으십시오.
V = 1/3 쉬
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V \u003d 24cm 3.
대답: 24cm3.
작업
정사각뿔은 밑변의 높이와 한 변이 각각 24, 14이므로 피라미드의 변위를 구합니다.해결책 .
피라미드가 규칙적이기 때문에 그 밑면에는 규칙적인 사변형-사각형이 있습니다. 또한 피라미드의 높이는 정사각형의 중앙으로 투영됩니다. 따라서 피라미드의 apothem에 의해 형성되는 직각 삼각형의 다리, 높이 및 그들을 연결하는 세그먼트는 정사각뿔의 밑변 길이의 절반과 같습니다.
어디에서 피타고라스 정리에 따라 방정식에서 apothem의 길이를 찾을 수 있습니다.
72 + 242 = x2
x2 = 625
x=25
답: 25cm
