상자에는 여러 개의 흰색 및 검은색 공이 들어 있습니다. 거기에서 무작위로 두 개의 공을 뽑으면 둘 다 흰색으로 나타날 확률은 1/2입니다.

NS) 무엇인가요상자에 있는 공의 최소 가능한 수는?
NS)검은 공의 수가 짝수인 경우 동일한 질문입니다.

힌트 1

상자에 포함시키십시오 승하얀 공과 NS검은 공. 상자에서 무작위로 두 개의 공을 뽑았을 때 둘 다 흰색이 될 확률은 얼마입니까?

힌트 2

원하는 값을 찾아보세요 승작은 값을 위해 NS(예를 들어, NS= 1, NS= 2, NS= 3, ...).

해결책

그래서, 상자에 포함시키십시오 승하얀 공과 NS검은 공. 간단하게 하기 위해 상자에서 순차적으로 공을 뽑는다고 가정합니다. 그러면 상자에서 꺼낸 첫 번째 공이 흰색으로 판명될 확률은 \ (\ frac (w) (w + b) \)이고 두 번째 공도 흰색일 확률(첫 번째 공이 흰색)은 \ (\ frac (w-1) (w + b-1) \)입니다. 문제의 조건에 따라 두 공이 모두 흰색일 확률은 1/2, 즉

\ [\ dfrac (w) (w + b) \ cdot \ dfrac (w-1) (w + b-1) = \ dfrac12 \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (1) \]

공이 상자에서 동시에 제거된다고 가정하면 결과 공식이 변경되지 않습니다. 실제로 두 개의 임의의 공을 그릴 수 있는 가능성의 수는 다음과 같습니다.

\ (C_ (w + b) ^ 2 = \ dfrac ((w + b) (w + b-1)) (2) \),

두 개의 흰색 공을 얻을 수 있습니다

\ (C_w ^ 2 = \ dfrac (w (w-1)) (2) \) 방법.

즉, 원하는 확률은

\ (\ dfrac (C_w ^ 2) (C_ (w + b) ^ 2) = \ frac (w) (w + b) \ cdot \ dfrac (w-1) (w + b-1) \).

결과 표현식은 두 변수의 방정식으로 간주될 수 있습니다. 승그리고 NS... 식( 승 + NS), 이 방정식을 철저하게 탐색하여 풀려고 하는 것이 가장 자연스럽습니다. 즉, 일관되게 값을 대체하려고 시도하는 것이 논리적입니다. NS = 1, NS = 2, NS= 3, ..., 그런 다음 결과가 상대적으로 승 이차 방정식전체 결정 여부. 우리의 경우 이 방법을 사용하면 다소 빨리 해결됩니다. 그래서, NS= 1 우리는 선형 방정식을 얻습니다.

\ [\ dfrac (w (w-1)) (w (w + 1)) = \ dfrac12 \ qquad \ Rightarrow \ qquad 2 (w-1) = w + 1 \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad w = 3 \]

이것은 우리에게 포인트)에 대한 솔루션을 제공합니다. 같은 방법으로 약간의 수정을 가하면 b)에 대한 답을 찾을 수 있지만 수학적 관점에서 보면 더 우아한 방법으로 갈 것입니다.

참고로 NS> 0 및 승> 0 불평등

\ [\ dfrac (w) (w + b)> \ dfrac (w-1) (w + b-1). \]

방정식 (1)을 고려하면 다음과 같습니다.

\ [\ 왼쪽 (\ dfrac (w) (w + b) \ 오른쪽) ^ 2> \ dfrac12> \ 왼쪽 (\ dfrac (w-1) (w + b-1) \ 오른쪽) ^ 2. \]

적출 제곱근, 우리는

\ [\ dfrac (w) (w + b)> \ dfrac (1) (\ sqrt2)> \ dfrac (w-1) (w + b-1) \]

이러한 불평등 중 첫 번째를 별도로 고려해 보겠습니다.

\ [\ dfrac (w) (w + b)> \ dfrac (1) (\ sqrt2) \ qquad \ Rightarrow \ qquad w \ sqrt2> w + b \ qquad \ Rightarrow \ qquad w> \ dfrac (b) (\ sqrt2-1) = (\ sqrt2 + 1) b.\]

유사하게, 두 번째 부등식에 대해 우리는

\ [\ dfrac (1) (\ sqrt2)> \ dfrac (w-1) (w + b-1) \ qquad \ Rightarrow \ qquad w + b + 1> (w-1) \ sqrt2 \ qquad \ Rightarrow \ 쿼드 w<\dfrac{b+\sqrt2-1}{\sqrt2-1}=(\sqrt2+1)b+1.\]

따라서 우리는 평가를 얻습니다. 승가치를 통해 NS:

\ [(1+ \ sqrt2) b + 1> w> (1+ \ sqrt2) b. \]

예를 들어, NS= 1, \ (1 (,) 414<\sqrt2<1{,}415\), мы получаем неравенство \(2{,}414승= 3. 우리의 경우( NS= 1 및 승= 3) 상자에서 두 개의 흰색 공을 얻을 확률은

이것은 상자에 있는 공의 최소 개수가 4개라는 것을 의미합니다.

이제 b)의 해를 구해보자. 답을 찾으려면 값을 순차적으로 고려하십시오. NS = 2, NS = 4, NS= 6, ... 및 해당 값 승우리가 올바른 것을 찾을 때까지.

NS	승간격에	적절한 승	NS
2	(4,82; 5,83)	5	\ (\ dfrac57 \ cdot \ dfrac46 \ ne \ dfrac12 \)
4	(9,65; 10,66)	10	\ (\ dfrac (10) (14) \ cdot \ dfrac9 (13) \ ne \ dfrac12 \)
6	(14,48; 15,49)	15	\ (\ dfrac (15) (21) \ cdot \ dfrac (14) (20) = \ dfrac12 \)

그래서 만약 NS짝수이면 상자에 있는 공의 최소 개수는 21개입니다.

뒷말

문제를 해결한 후 독자에게 자연스럽게 문제가 발생합니다. 상자에서 두 개의 흰색 공을 꺼낼 확률이 1/2인 모든 가능한 흑백 공 세트를 찾는 방법입니다. 이렇게 하려면 방정식 (1)을 변수의 방정식으로 고려하십시오. 승, 그리고 수량 NS매개변수로 간주됩니다. 이 방정식을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.

\ [\ dfrac (w) (w + b) \ cdot \ dfrac (w-1) (w + b-1) = \ dfrac12 \ qquad \ Rightarrow \ qquad 2w ^ 2-2w = w ^ 2 + 2wb + b ^ 2-wb \ qquad \ 오른쪽 화살표 \ qquad \] \

판별식이 정수의 제곱인 경우에만 이 방정식이 정수 솔루션을 갖는다는 것이 분명합니다. 즉, 어떤 정수에 대해 미디엄공정한 평등

또는 동등하게 \ (m ^ 2-8b ^ 2 = 1 \).

결과 방정식은 보다 일반적인 형식의 정수 방정식의 특수한 경우입니다.

여기 NS- 완전제곱수가 아닌 주어진 정수. Leonard Euler의 가벼운 손을 사용한 이러한 방정식은 전통적으로 Pell 방정식이라고 불립니다. 조건을 만족하는 매개변수의 각 값에 대해 NS이 유형의 방정식은 해가 무한히 많으며 이러한 해는 모두 같은 방식으로 얻어진다.

예를 들어 우리가 의미하는 바를 보여줍시다. 하자 NS= 2. 그러면 쌍( NS, 와이)는 방정식 \ (x ^ 2-2y ^ 2 = 1 \)에 대한 솔루션이며 쌍 (3 NS + 4와이, 2NS + 3와이)도 하나입니다. 물론,

\ [(3x + 4y) ^ 2-2 (2x + 3y) ^ 2 = (9x ^ 2 + 24xy + 16y ^ 2) -2 (4x ^ 2 + 12xy + 9y ^ 2) = x ^ 2-2y ^ 2. \]

따라서 사소한 솔루션 (1, 0)에서 시작하여 반복 공식을 사용하여 서로 다른 솔루션 \ ((x_k, y_k) \)의 무한 시퀀스를 얻을 수 있습니다.

\ ((x_k, y_k) = f (x_ (k-1), y_ (k-1)) \),

\ (f (x, y) = (3x + 4y, 2x + 3y) \).

우리의 경우 솔루션은 (3, 2), (17, 12), (99, 70), (577, 408), ...

이 값은 방정식 \ (x ^ 2-dy ^ 2 = 1 \)의 양의 솔루션을 소진하고 나머지 솔루션은 부호로만 표시된 솔루션과 다릅니다.

상황은 일반적인 경우와 비슷합니다. 여기에서 몇 가지 중요한 사항이 중요합니다. 첫째, 모든 중요하지 않은 양수 솔루션은 그 중 하나의 다중 "곱셈"으로 얻을 수 있습니다. 메인, 나에게. Pell 방정식의 두 솔루션의 "곱셈"은 다음과 같은 까다로운 연산을 의미합니다(이는 습관적으로 일반적인 곱셈으로 점으로 표시됨).

\ [(x_1, y_1) \ cdot (x_2, y_2) = (x_1x_2 + dy_1y_2, x_1y_2 + x_2y_1). \]

예를 들어, NS= 2, 주요 솔루션은 (3, 2)이고 임의 솔루션의 곱셈은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

\ ((x, y) \ cdot (3,2) = (3x + 4y, 2x + 3y) \) 는 바로 위에서 이야기한 것입니다.

둘째, 각 특정 의미에 대한 악명 높은 기본 솔루션을 찾는 방법을 아는 것이 흥미로웠습니다. NS... 여기에 연속 분수가 예기치 않게 도움이됩니다. 긍정적 인 결정 ( NS, 와이 Pell 방정식의 )은 숫자 \ (\ sqrt (d) \)의 적절한 분수 \ (\ frac (x) (y) \)에 해당합니다. 그러나 그 반대는 사실이 아닙니다. 모든 적절한 분수가 Pell 방정식의 해에 해당하는 것은 아니며 숫자가 ( 크- 1), 어디서 N- 숫자 \ (\ sqrt (d) \)에 대한 연속 분수 요소 시퀀스의 기간 길이. 일부 NS이 숫자(결과적으로 ~ 결과적으로 긍정적인 결정)는 상당히 클 수 있습니다. 그래서, NS= 61, 주 솔루션의 형식은 (1 766 319 049, 226 153 980)입니다.

마지막으로, 볼록체의 기하학적 Minkowski 보조정리는 Pell 방정식에 대한 중요하지 않은 솔루션의 존재를 증명하는 데 중요한 역할을 한다는 점에 주목하는 것이 흥미로울 것입니다. 이 보조 정리는 정수론의 다양한 문제에서 예기치 않게 발생하며 고등 수학에서 대수와 기하학의 연결을 가장 명확하게 보여주는 예입니다.

기사를 준비하는 데 다음 자료가 사용되었습니다.
1) V.O.Bugaenko. "Pell의 방정식"(라이브러리 "수학 교육", 문제 13).
2) F. 모스텔러. "해결책이 있는 50개의 재미있는 확률 문제."
3) "Quant" 저널의 Pell 방정식에 대한 V. Senderov 및 A. Spivak의 기사(

얘들 아, 우리는 우리의 영혼을 사이트에 넣었습니다. 에 감사하다
당신이 이 아름다움을 발견했다는 것을. 영감을 주셔서 감사합니다.
우리와 함께 페이스북그리고 연락

구글, 인텔, 애플 등 유명 기업은 면접 시 지원자에게 까다로운 과제를 요구하는 것으로 유명하다. AIN.UA는 그러한 작업의 10가지 흥미로운 예를 수집했습니다. 그 중 일부는 회사 자체에서 제안한 것이고 일부는 이미 인터뷰를 마친 사용자가 게시한 것입니다. 이를 해결하려면 학교 수준의 수학 지식이나 단순히 독창성이 필요합니다.

대지그러한 인터뷰를 어떻게 처리할 것인지 확인하겠다고 제안합니다.

애플이 요구하는 것

목적 1.

논리 문제. Sheldon Cooper(인기 있는 TV 시리즈의 같은 천재 물리학자)는 보물을 찾아 게임 퀘스트에서 마지막 국경에 도달했습니다. 그 앞에는 두 개의 문이 있으며 하나는 보물로, 두 번째는 치명적인 미로로 연결됩니다. 각 문에는 경비원이 있으며, 각자는 어느 문이 보물로 통하는지 알고 있습니다. 경비원 중 한 명은 절대 거짓말을 하지 않고, 다른 한 명은 항상 거짓말을 합니다. Sheldon은 누가 거짓말쟁이이고 누가 거짓말쟁이인지 모릅니다. 문을 선택하기 전에 한 가지 질문과 한 명의 경비원만 할 수 있습니다.

질문: Sheldon은 보물을 찾기 위해 경비원에게 무엇을 요청해야 합니까?

"다른 경비원에 따르면 어느 문이 맞습니까?"와 같은 질문을하면서 누구에게나 물어볼 수 있습니다. 그가 진실한 사람에게 묻는다면 그는 거짓말하는 경비원이 항상 거짓말을하기 때문에 어떤 문이 미로로 통하는지에 대한 정보를 얻을 것입니다. 그가 거짓말하는 경비원에게 다시 묻는다면, 그는 진정한 경비원이 가리킬 문에 대해 거짓말을 할 것이기 때문에 어떤 문이 미로로 통하는지 알게 될 것입니다.

목적 2.

지구는 외계인에 의해 점령되었습니다. 그들은 지구 전체를 파괴할 계획이지만 인류에게 기회를 주기로 결정했습니다. 그들은 가장 똑똑한 사람 10명을 선택하여 완전히 어두운 방에 차례로 배치했습니다. 각 사람들은 모자를 썼습니다. 모자는 분홍색과 녹색의 두 가지 색상뿐입니다. 모자를 모두 쓰고 나면 불이 켜집니다.

외계인은 행의 마지막 사람부터 시작하여 머리에 있는 모자의 색이 무엇인지 묻습니다. 모자 색깔을 제외한 다른 단어는 발음할 수 없습니다. 침묵을 유지하려면 - 너무. 정답을 맞히면 살아 있고, 실수를 하면 죽임을 당한다.

모자의 색이 무엇인지 알 수는 없지만 모든 사람에게 대답하는 몇 가지 원칙에는 동의할 수 있습니다. 모자의 위치는 무작위이며 조합은 무엇이든 될 수 있으며 앞에 있는 모든 모자를 볼 수 있습니다.

질문:가능한 많은 사람들이 살아남으려면 무엇에 답해야 합니까?

첫 번째 응답자는 앞에 있는 녹색 모자의 수를 계산합니다. 홀수이면 "녹색", 짝수이면 "분홍색"이라고 부릅니다. 다음은 그의 앞에 있는 모자의 수와 색상을 보고 그의 머리에 있는 모자의 색상을 계산할 수 있습니다. , 등등. 따라서 10명 중 9명은 생존이 보장되며 첫 번째 응답자는 1:1의 기회를 갖게 됩니다.

Adobe에서 질문하는 내용

목적 3.

연료 탱크가 가득 찬 오토바이 50대가 있어 100km를 주행할 수 있습니다.

질문:이 50개의 자전거를 사용하여 얼마나 멀리 갈 수 있습니까?

가장 간단한 대답은 동시에 시동을 걸고 100km를 운전하는 것입니다. 그러나 다른 해결책도 있습니다. 모든 오토바이를 먼저 50km 이동합니다. 그런 다음 자전거의 절반에서 나머지 절반으로 연료를 옮깁니다. 따라서 탱크가 가득 찬 오토바이 25대가 있습니다. 50km를 더 운전하고 절차를 반복하십시오. 따라서 350km를 올라갈 수 있습니다.

마이크로소프트가 묻는 것

작업 4.

끝없이 공급되는 물과 두 개의 양동이(5리터와 3리터)가 있습니다.

질문: 4리터는 어떻게 측정할까요?

5L 양동이에 물을 채우고 3L 양동이에 물을 붓습니다. 이제 작은 양동이에 3리터, 큰 양동이에 2리터가 있습니다. 작은 양동이를 비우고 큰 양동이의 나머지 2리터를 붓습니다. 큰 양동이에 물을 채우고 작은 양동이에 물을 붓습니다. 거기에는 이미 2리터의 물이 있으므로 리터를 채워야 하고 큰 물에는 4리터가 남아 있습니다.

작업 5.

두 개의 밧줄이 있습니다. 한쪽 끝에서 불을 붙이면 정확히 60분 동안 타버릴 정도다.

질문:성냥 한 상자만 가지고 어떻게 그런 밧줄 두 조각으로 45분을 측정할 수 있겠습니까(끈을 찢을 수는 없습니다)?

섹션 중 하나는 양쪽 끝에서 불이 붙고 두 번째 섹션은 동시에 한쪽 끝에서 불이 붙습니다. 첫 번째 세그먼트가 완전히 소진되면 30분이 지나고 첫 번째 세그먼트에서 30분 세그먼트도 남습니다. 양쪽 끝에서 불을 붙이면 15분이 걸립니다.

Google에서 묻는 질문

작업 6.

모양과 크기가 같은 공이 8개 있습니다.

질문:저울과 2개의 칭량을 사용하여 더 무거운 공을 어떻게 찾습니까?

6개의 공을 3개의 공으로 나누어 저울 위에 올려 놓습니다. 더 무거운 공을 가진 그룹이 그릇을 당길 것입니다. 이 3개의 공 중에서 2개를 선택하고 무게를 잰다. 그들 가운데 무거운 공이 있다면, 당신은 그것을 알게 될 것입니다. 무게가 같다면 무거운 것이 남는다. 3개의 공으로 구성된 그룹에 더 무거운 공이 없으면 나머지 2개 중 하나입니다.

퀄컴이 묻는다

작업 7.

이 문제는 선임 시스템 엔지니어의 위치에 대해 인터뷰한 사용자가 설명했습니다. 그는 문제에 대한 설명에서 자신의 답변이 있다고 언급했으며, 이에 대해 인터뷰를 진행하는 사람과 오랫동안 논쟁을 벌였습니다.

무선 네트워크를 통해 10개의 패킷 데이터 전송이 있다고 가정해 보겠습니다. 채널 품질이 좋지 않으므로 데이터 패킷이 전송되지 않을 확률이 1/10입니다. 송신기는 데이터 패킷이 성공적으로 전송되었는지 또는 실패했는지 여부를 항상 알고 있습니다. 전송이 실패하면 전송기는 성공할 때까지 패킷을 전송합니다.

질문:얼마나 많은 대역폭을 얻을 수 있습니까?

사용자 버전에 따르면 응답은 초당 9패킷이어야 합니다. 그러나 인터뷰를 진행한 사람은 이에 동의하지 않고 대답은 하지 않고 “재전송으로 인해 처리량을 1/10 이상 줄여야 한다”고 반복했다.

약 100,000개의 항목이 있는 형태학적 사전이 있으며 여기에는 완전 동사와 불완전 동사가 별도의 항목에 배치됩니다(즉, "do"와 "do"는 다른 어휘 항목으로 간주됨). 사전에서 그러한 종 쌍을 찾고 기사를 하나로 "접착"해야합니다.

질문:그러한 문제를 해결하기 위한 일반적인 시나리오와 종 쌍을 찾기 위한 대략적인 알고리즘을 설명하십시오.

불행히도 Yandex의 작업에 대한 답변이 없습니다.

그리고 보너스

문제 10.

이 작업은 Albert Einstein에 기인합니다. 그는 자신을 위해 조수를 선택하는 데 사용했다고 합니다. 거의 전설에 가까운 또 다른 이야기는 저자를 루이스 캐롤(Lewis Carroll)에게 돌립니다. 종이로 푸는 것은 매우 쉽지만 하드코어를 원한다면 머리로 해결해 보세요.

거리에 다섯 채의 집이 있습니다.
영국인은 빨간 집에 산다.
스페인 사람은 개가 있습니다.
그들은 온실에서 커피를 마십니다.
우크라이나 사람은 차를 마시고 있습니다.
그린 하우스는 백악관 바로 오른쪽에 있습니다.
Old Gold를 피우는 사람은 누구나 달팽이를 낳습니다.
Kool은 노란 집에서 훈제됩니다.
우유는 중앙 집에서 마신다.
노르웨이인은 첫 번째 집에 산다.
Chesterfield 흡연자의 이웃은 여우를 키웁니다.
Kool은 말이 보관된 집 옆 집에서 훈제됩니다.
Lucky Strike를 피우는 사람은 누구나 오렌지 주스를 마십니다.
일본인은 국회에서 담배를 피운다.
노르웨이 사람은 파란 집 옆에 산다.
각 집은 다른 색상으로 칠해져 있으며, 각 집에는 다른 국적의 대표자가 살고 있으며, 각 집에는 자신의 애완 동물, 좋아하는 담배 브랜드 및 음료가 있습니다.

질문:누가 물을 마십니까? 누가 얼룩말을 잡고 있습니까?

확률의 고전적 결정에 대한 문제.
솔루션의 예

세 번째 수업에서는 확률의 고전적 정의를 직접 적용하는 것과 관련된 다양한 문제를 살펴봅니다. 이 기사의 자료를 효과적으로 학습하려면 기본 개념을 숙지하는 것이 좋습니다. 확률 이론그리고 조합의 기초... 확률이 1에 가까운 고전적인 확률 결정 작업은 서버에 대한 독립/제어 작업에 있을 것이므로 진지한 작업을 준비하고 있습니다. 당신은 그것이 심각한 무엇입니까? ... 단 하나의 원시 공식. 경박함에 대해 경고합니다. 주제별 작업은 매우 다양하며 많은 작업이 쉽게 혼동될 수 있습니다. 이와 관련하여 본 수업을 통해 작업하는 것 외에도 돼지 저금통에있는 주제에 대한 추가 작업을 연구하십시오. 고등 수학의 기성 솔루션... 의사 결정 방법에 의한 결정 방법이지만 "친구"는 여전히 "눈으로 알아야합니다". 풍부한 상상력에도 한계가 있고 일반적인 작업도 충분하기 때문입니다. 글쎄, 나는 좋은 품질의 최대 수를 만들려고 노력할 것입니다.

우리는 장르의 고전을 회상합니다.

일부 테스트에서 이벤트가 발생할 확률은 비율과 같습니다. 여기서:

- 모두의 총 수 동등하게 가능, 초등학교이 시험의 결과는 전체 이벤트 그룹;

- 숫자 초등학교이벤트에 유리한 결과.

그리고 즉시 즉시 피트 스톱. 밑줄 친 용어를 이해했습니까? 이것은 직관적이지 않은 명확한 이해를 의미합니다. 그렇지 않은 경우 의 첫 번째 기사로 돌아가는 것이 좋습니다. 확률 이론그 후에야 더 나아가십시오.

첫 번째 예를 건너 뛰지 마십시오. 기본적으로 중요한 점 하나를 반복하고 솔루션을 올바르게 작성하는 방법과 수행 할 수있는 방법을 알려줍니다.

문제 1

항아리에는 흰색 공 15개, 빨간색 공 5개, 검은색 공 10개가 들어 있습니다. 하나의 공을 무작위로 뽑고 a) 흰색, b) 빨간색, c) 검은색일 확률을 찾으십시오.

해결책: 확률의 고전적 정의를 사용하기 위한 가장 중요한 전제 조건은 결과의 총 수를 계산하는 능력.

항아리의 총계: 15 + 5 + 10 = 30개의 공, 그리고 분명히 다음 사실이 사실입니다.

- 모든 공을 회수하는 것이 동등하게 가능합니다. (평등한 기회결과), 결과는 초등학교 그리고 형태 전체 이벤트 그룹 (즉, 테스트 결과 30개의 볼 중 1개는 반드시 제거됩니다).

따라서 총 결과 수:

다음 이벤트를 고려하십시오. - 항아리에서 흰색 공이 제거됩니다. 이 이벤트는 호의 초등학교따라서 고전적 정의에 따르면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
- 흰 공이 항아리에서 제거될 확률.

이상하게도 그러한 간단한 작업에서도 심각한 부정확성을 인정할 수 있습니다. 확률 이론... 여기에 함정이 어디 있습니까? 여기서 주장하는 것은 옳지 않다. "공의 절반이 흰색이므로 흰색 공을 뽑을 확률은» ... 확률의 고전적인 정의에서 우리는 초등결과 및 분수를 처방해야 합니다!

유사한 방식으로 다른 점과 함께 다음 이벤트를 고려하십시오.

- 빨간 공은 항아리에서 제거됩니다.
- 항아리에서 검은 공이 제거됩니다.

이벤트는 5개의 기본 결과와 이벤트 - 10개의 기본 결과에 의해 선호됩니다. 따라서 해당 확률은 다음과 같습니다.

서버의 많은 작업에 대한 일반적인 검사는 다음을 사용하여 수행됩니다. 완전한 그룹을 형성하는 사건의 확률의 합에 관한 정리... 우리의 경우 이벤트는 완전한 그룹을 형성합니다. 즉, 해당 확률의 합은 반드시 1과 같아야 합니다.

이것이 사실인지 확인해보자: 우리가 확신하고 싶었던 것.

답변:

원칙적으로 답은 더 자세히 기록할 수 있지만 개인적으로 나는 거기에 숫자만 넣는 데 익숙합니다. 왜냐하면 수백, 수천 개의 문제를 "추출"하기 시작하면 솔루션의 기록을 단축하려고 노력하기 때문입니다. 가능한 한 많이. 그건 그렇고, 간결함에 대해 : 실제로 "고속"설계 옵션이 널리 퍼져 있습니다. 솔루션:

총계: 15 + 5 + 10 = 항아리에 있는 공 30개. 고전적인 정의:
- 흰 공이 항아리에서 제거될 확률;
- 빨간 공이 항아리에서 제거될 확률;
- 검은 공이 항아리에서 제거될 확률.

답변:

그러나 조건에 여러 지점이 있는 경우 첫 번째 방법으로 솔루션을 발행하는 것이 더 편리한 경우가 많으며 시간이 조금 더 걸리지만 모든 것을 선반에 올려 놓고 문제를 더 쉽게 탐색할 수 있습니다.

워밍업:

작업 2

이 가게에는 30개의 냉장고가 있으며 그 중 5개는 공장 결함이 있습니다. 냉장고 1개는 랜덤으로 선택됩니다. 무결점일 가능성은 얼마나 될까요?

적절한 디자인 옵션을 선택하고 페이지 하단의 샘플을 확인하십시오.

가장 간단한 예에서 일반의 수와 유리한 결과의 수가 표면에 있지만 대부분의 경우 감자를 직접 파야합니다. 건망증 호출자에 대한 표준 문제 시리즈:

문제 3

전화를 걸 때 가입자는 마지막 두 자리 숫자를 잊어버렸지만 그 중 하나는 0이고 다른 하나는 홀수임을 기억합니다. 그가 정확한 번호로 전화를 걸 확률을 찾으십시오.

메모 : 0은 짝수(나머지 없이 2로 나누어짐)

해결책: 먼저 전체 선택 개수를 구합니다. 조건에 따라 가입자는 숫자 중 하나가 0이고 다른 숫자가 홀수임을 기억합니다. 여기에서는 조합과 사용으로 똑똑하지 않는 것이 더 합리적입니다. 결과의 직접 나열 ... 즉, 결정을 내릴 때 모든 조합을 간단히 기록합니다.
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

그리고 총 10개의 결과를 계산합니다.

유리한 결과는 하나뿐입니다. 올바른 숫자입니다.

고전적인 정의:
- 가입자가 정확한 번호로 전화를 걸 확률

답변: 0,1

십진법 분수는 확률 이론에서 매우 적절해 보이지만 일반 분수로만 작동하는 전통적인 Vyshmatov 스타일을 고수할 수도 있습니다.

자체 솔루션을 위한 고급 작업:

문제 4

가입자는 SIM 카드의 PIN 코드를 잊어버렸지만 3개의 "5"가 포함되어 있고 숫자 중 하나는 "7" 또는 "8"이라는 것을 기억합니다. 첫 번째 시도에서 승인이 성공할 확률은 얼마입니까?

여기에서 구독자가 많은 코드의 형태로 처벌을 받을 가능성에 대한 아이디어를 계속 발전시킬 수 있지만 불행히도 추론은 이미 이 강의의 범위를 벗어납니다.

아래 솔루션 및 답변.

때로는 조합을 나열하는 것이 매우 힘들 수 있습니다. 특히, 이것은 2개의 주사위를 던지는 다음 문제 그룹의 경우입니다. (덜 자주 - 더):

문제 5

두 개의 주사위를 던질 때 총계가 다음과 같을 확률을 구하십시오.

a) 5점
b) 4점 이하
c) 3점에서 9점까지.

해결책: 총 결과 수 찾기:

첫 번째 큐브의 측면이 방법으로 떨어질 수 있습니다 그리고두 번째 입방체의 면이 여러 방향으로 떨어질 수 있습니다. ~에 곱셈 규칙, 총: 가능한 조합. 다시 말해, 각각첫 번째 큐브의 면은 질서 있는커플 각각두 번째 큐브의 얼굴. 첫 번째 주사위에서 빠진 숫자는 두 번째 주사위에서 빠진 숫자인 형식으로 이러한 쌍을 기록하는 데 동의합시다. 예를 들어:

- 첫 번째 주사위에는 3점이 있고 두 번째 주사위에는 5점이 있으며 점수의 합은 3 + 5 = 8입니다.
- 첫 번째 주사위에서 6점이 떨어졌고 두 번째 주사위에서 1점, 점수의 합: 6 + 1 = 7;
- 두 뼈에 2점을 굴렸습니다. 합계: 2 + 2 = 4.

분명히 가장 작은 금액은 쌍으로 제공되고 가장 큰 금액은 두 개의 "6"으로 표시됩니다.

a) 다음 이벤트를 고려하십시오. - 두 개의 주사위를 던질 때 5점이 떨어집니다. 이 이벤트를 선호하는 결과의 수를 기록하고 계산해 보겠습니다.

총: 4개의 유리한 결과. 고전적인 정의:
필요한 확률입니다.

b) 다음과 같은 이벤트를 고려하십시오. - 4점 이하로 떨어집니다. 즉, 2점, 3점 또는 4점입니다. 다시 말하지만, 우리는 유리한 조합을 나열하고 계산합니다. 왼쪽에는 총 점수를 기록하고 콜론 뒤에는 적절한 쌍을 기록합니다.

총: 6개의 유리한 조합. 따라서:
- 4점 이하로 떨어질 확률.

c) 다음 이벤트를 고려하십시오. - 3에서 9까지의 포인트는 제외됩니다. 여기에서 당신은 직선 길을 갈 수 있지만 ... 나는 원하지 않습니다. 예, 일부 쌍은 이미 이전 단락에 나열되었지만 아직 수행해야 할 작업이 많이 있습니다.

진행하는 가장 좋은 방법은 무엇입니까? 이러한 경우 원형 교차로 경로가 합리적으로 판명됩니다. 고려하다 반대 사건: - 2 또는 10 또는 11 또는 12 포인트가 그려집니다.

점은 무엇인가? 반대 이벤트는 훨씬 적은 수의 쌍에서 선호됩니다.

총: 7개의 유리한 결과.

고전적인 정의:
- 3점 미만 또는 9점 이상 드랍될 확률.

결과를 직접 나열하고 집계하는 것 외에도 다양한 조합 공식... 그리고 다시 서사적 엘리베이터 문제:

문제 7

1층 20층 건물의 엘리베이터에 3명이 탔다. 그리고 출발합니다. 다음 확률을 찾으십시오.

) 그들은 다른 층에 나올 것입니다
b) 같은 층에 두 명이 나온다.
c) 모두 같은 층에 나옵니다.

우리의 매혹적인 수업이 끝났고 결국 다시 한 번 강력히 권장합니다. 풀지 않는다면 적어도 이해하는 것입니다. 확률의 고전적 결정에 대한 추가 문제... 내가 언급했듯이 "손으로 채우는 것"도 중요합니다!

과정을 따라 더 - 확률의 기하학적 정의그리고 확률에 대한 덧셈과 곱셈 정리그리고 ... 운이 가장 중요합니다!

솔루션 및 답변:

작업 2: 해결책: 30 - 5 = 25 냉장고가 불량이 아닙니다.

- 선택한 냉장고가 무작위로 결함이 없을 확률.
답변 :

작업 4: 해결책: 총 결과 수 찾기:
수상한 인물이 있는 장소를 선택할 수 있는 방법 그리고 각각에이 4개 위치 중 2개(7개 또는 8개)를 찾을 수 있습니다. 조합의 곱셈 규칙에 따르면 총 결과 수는 다음과 같습니다. .
또는 솔루션에서 모든 결과를 간단히 나열할 수 있습니다(다행히도 결과가 많지 않음).
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
하나의 유리한 결과(정확한 핀 코드).
따라서 고전적인 정의에 따르면:
- 첫 번째 시도부터 가입자가 인증될 확률
답변 :

작업 6: 해결책: 총 결과 수 찾기:
2 주사위의 숫자는 방식으로 떨어질 수 있습니다.

a) 다음 이벤트를 고려하십시오. - 두 개의 주사위를 던질 때 점수의 곱은 7과 같습니다. 확률의 고전적 정의에 따르면 이 사건에 대한 유리한 결과는 없습니다.
, 즉. 이 이벤트는 불가능합니다.

b) 이벤트를 고려하십시오. - 두 개의 주사위를 던질 때 점수의 곱은 최소 20이 됩니다. 이 이벤트는 다음 결과에 의해 유리합니다.

합계: 8
고전적인 정의:
필요한 확률입니다.

c) 반대의 경우를 고려하십시오.
- 포인트의 곱은 짝수입니다.
- 포인트의 곱은 홀수입니다.
이벤트에 유리한 모든 결과를 나열해 보겠습니다.

총: 9개의 유리한 결과.
확률의 고전적 정의에 따르면:
반대 사건은 완전한 그룹을 형성하므로 다음과 같습니다.
필요한 확률입니다.

답변 :

작업 8: 해결책: 총 결과 수를 계산합니다. 10개의 동전이 떨어질 수 있습니다.
또 다른 방법: 첫 번째 동전이 떨어질 수 있습니다. 그리고두 번째 동전이 떨어질 수있는 방법 그리고 … 그리고 10번째 동전이 떨어질 수 있습니다. 조합의 곱셈의 법칙에 따르면 10개의 동전이 떨어질 수 있습니다. 방법.
a) 이벤트를 고려하십시오. - 앞면이 모든 동전에 떨어집니다. 이 이벤트는 확률의 고전적 정의에 따라 유일한 결과에 의해 선호됩니다.
b) 이벤트를 고려하십시오. - 앞면은 9개의 동전에, 뒷면은 1개에 떨어집니다.
꼬리가 올 수있는 동전이 있습니다. 확률의 고전적 정의에 따르면: .
c) 이벤트를 고려하십시오. - 앞면이 동전의 절반으로 떨어집니다.
존재 앞면이 떨어질 수 있는 5개의 동전의 독특한 조합. 확률의 고전적 정의에 따르면:
답변 :