축 속도 예측. 움직임 유형

속도 및 가속도 계산을 수행하려면 벡터 형식의 방정식 작성에서 대수 형식의 방정식 작성으로 전환해야 합니다.

초기 속도와 가속도의 벡터는 다른 방향을 가질 수 있으므로 방정식의 벡터 표기법에서 대수 표기법으로의 전환은 매우 힘들 수 있습니다.

임의의 좌표 축에 대한 두 벡터의 합을 투영하는 것은 동일한 축에 있는 벡터 항의 투영의 합과 같다는 것이 알려져 있습니다.

속도 그래프

방정식에서 속도 투영의 플롯은 다음과 같습니다. 균일 가속 운동때때로 직선입니다. OX 축에 대한 초기 속도의 투영이 0이면 직선이 원점을 통과합니다.

움직임의 기본 유형

1. n = 0, t = 0- 직선의 균일한 움직임;

2. n = 0, t = 상수- 직선 등가 운동;

3. 및 n = 0, t ¹ 0 -가변 가속도의 직선;

4. n = 상수, t = 0 -원주적으로 균일한

5. n = 상수, t = 상수- 원주를 따라 동일하게 가변

6. n ¹ 상수, t ¹ 상수- 가변 가속도가 있는 곡선.

회전 운동 단단한.

고정 축을 중심으로 한 강체의 회전 운동 - 강체의 모든 점이 원을 그리며 그 중심이 하나의 직선 위에 놓이는 운동 회전축.

균일한 원운동

가장 간단한 형태를 고려하십시오 회전 운동, 구심 가속도에 특히 주의하십시오.

원을 따라 균일하게 움직이는 경우 속도 값은 일정하게 유지되고 속도 벡터의 방향은 이동하는 동안 변경됩니다.

삼각형 OAB와 BCD의 유사성은 다음을 의미합니다.

시간 간격 ∆t가 작으면 각도도 작습니다. 각도 a의 작은 값의 경우 현 AB의 길이는 호 AB의 길이와 거의 같습니다. ... 때문에 , 그러면 우리는 얻는다

그 이후로 우리는

주기 및 빈도

원을 그리며 움직일 때 몸이 완전히 회전하는 시간 간격이라고합니다. 순환 기간 (NS). 때문에 둘레는 2pR, 반지름이 있는 원을 따라 속도 v인 물체의 등속 운동에 대한 회전 주기 NS같음:

공전주기의 역수는 빈도. 주파수는 단위 시간당 신체가 원에서 몇 번 회전하는지 보여줍니다.

(s -1)

회전 운동학

회전 방향을 나타내기 위해 작은 회전 각도에 방향이 지정됩니다. 끝에서 볼 때 회전이 반시계 방향(오른쪽 나사의 규칙)이 되도록 회전 축을 따라 지정됩니다. 몸이 그랬다면 N턴:. 평균 각속도:

순간 각속도:

(12)

3.1. 직선에서 균등하게 교대하는 동작.

3.1.1. 직선에서 균등하게 교대하는 운동- 일정한 크기와 방향 가속도를 갖는 직선 운동:

3.1.2. 가속도()는 1초 동안 속도가 얼마나 변하는지를 나타내는 물리적 벡터량입니다.

벡터 형식:

여기서 는 물체의 초기 속도, 는 순간의 물체의 속도입니다. NS.

축에 투영 황소:

여기서 축에 대한 초기 속도의 투영은 황소, 축에 대한 신체 속도의 투영입니다. 황소순간에 NS.

투영의 부호는 벡터와 축의 방향에 따라 다릅니다. 황소.

3.1.3. 가속 대 시간 투영 그래프.

동일하게 가변적인 동작으로 가속도는 일정하므로 시간 축에 평행한 직선이 됩니다(그림 참조).

3.1.4. 동일한 동작으로 속도.

벡터 형식:

축에 투영 황소:

균일하게 가속된 동작의 경우:

균일한 슬로우 모션의 경우:

3.1.5. 프로젝션 속도 대 시간 그래프.

시간에 따른 속도 투영 그래프는 직선입니다.

이동 방향: 그래프(또는 그래프의 일부)가 시간 축 위에 있으면 몸체가 축의 양의 방향으로 이동합니다. 황소.

가속 값: 경사 탄젠트가 클수록(상승 또는 하강이 가파름) 가속 계수가 커집니다. 시간에 따른 속도의 변화는 어디에 있습니까

시간축과의 교차점: 그래프가 시간축을 가로지르면 몸체가 교차점까지 감속하고(균일한 슬로우모션), 교차점 이후에는 반대 방향으로 가속하기 시작합니다(균일하게 가속된 운동).

3.1.6. 기하학적 의미축의 그래프 아래 영역

축에 있을 때 그래프 아래 영역 오이속도가 표시되고 축에 황소- 시간은 몸이 가로지르는 길이다.

그림에서. 3.5 등가속도 운동의 경우를 나타낸다. 로가는 길 이 경우사다리꼴의 면적과 같습니다: (3.9)

3.1.7. 경로 공식

동등하게 가속된 움직임	균등 슬로우 모션
(3.10)	(3.12)
(3.11)	(3.13)
(3.14)

표에 제시된 모든 공식은 이동 방향이 유지되는 경우, 즉 속도 투영 대 시간 그래프에서 직선과 시간 축이 교차할 때까지만 작동합니다.

교차가 발생하면 움직임이 두 단계로 더 쉽게 나눌 수 있습니다.

횡단 전(제동):

횡단 후 (가속, 반대 방향으로 이동)

위의 공식에서 - 움직임의 시작부터 시간축과의 교차점까지의 시간(정지 시간) - 움직임의 시작부터 시간축과의 교차점까지 몸이 이동한 경로 - 시간 축을 교차하는 순간부터 경과된 시간 이 순간의 NS는 시간축을 가로지르는 순간부터 주어진 순간까지의 시간 동안 물체가 반대 방향으로 이동한 경로이다. NS, 는 전체 이동 시간에 대한 변위 벡터의 모듈이며, 엘- 전체 동작 동안 신체가 가로지르는 경로.

3.1.8. 순식간에 움직입니다.

시간 동안 몸은 다음과 같이 지나갈 것입니다.

시간 동안 몸은 다음과 같이 지나갈 것입니다.

그런 다음 th 간격에서 몸이 길을 지나갈 것입니다.

임의의 기간을 기간으로 간주할 수 있습니다. 가장 자주.

그런 다음 1초 안에 신체가 경로를 이동합니다.

2초에서:

3초에서:

자세히 보면 그런 것 등이 있습니다.

따라서 우리는 공식에 도달합니다.

즉, 연속적인 시간 간격 동안 신체가 가로지르는 경로는 일련의 홀수로 서로 관련되며 이는 신체가 움직이는 가속도에 의존하지 않습니다. 우리는 이 관계가 유효하다는 것을 강조합니다.

3.1.9. 같은 운동을하는 신체 좌표의 방정식

좌표 방정식

초기 속도 및 가속도의 투영 기호는 다음에 따라 다릅니다. 상호 처분해당 벡터와 축 황소.

문제를 해결하려면 축의 속도 투영을 방정식에 변경하는 방정식을 추가해야 합니다.

3.2. 직선 운동에 대한 운동학적 값 그래프

3.3. 몸 자유 낙하

자유 낙하는 다음과 같은 물리적 모델을 의미합니다.

1) 중력의 영향으로 낙하가 발생합니다.

2) 공기 저항이 없습니다(때로는 문제에서 "공기 저항 무시"라고 씁니다).

3) 모든 몸체는 질량에 관계없이 동일한 가속도로 떨어집니다(때로는 "몸의 모양에 관계없이" 추가하지만 우리는 움직임만 고려합니다. 재료 포인트, 따라서 몸의 모양은 더 이상 고려되지 않습니다);

4) 자유 낙하의 가속도는 엄격하게 아래쪽으로 향하고 지구 표면에서 동일합니다(문제에서 우리는 종종 계산의 편의를 위해 그것을 취합니다).

3.3.1. 축에 투영된 운동 방정식 오이

수평 직선을 따른 이동과 달리 모든 작업이 이동 방향을 변경하지 않는 경우 자유 낙하의 경우 축에 투영으로 작성된 방정식을 즉시 사용하는 것이 가장 좋습니다. 오이.

바디 좌표 방정식:

속도 투영 방정식:

일반적으로 작업에서 축을 선택하는 것이 편리합니다. 오이다음과 같은 방법으로:

중심선 오이수직으로 위쪽으로 향함;

원점은 지구의 높이 또는 궤적의 가장 낮은 지점과 일치합니다.

이 선택으로 방정식 및 는 다음과 같이 다시 작성됩니다.

3.4. 평면 이동 옥시.

우리는 직선을 따라 가속하는 몸의 움직임을 고려했습니다. 그러나 등가변동은 이에 한정되지 않는다. 예를 들어, 수평선에 비스듬히 던진 몸. 이러한 작업에서는 한 번에 두 축을 따라 이동하는 것을 고려해야 합니다.

또는 벡터 형식:

그리고 두 축의 속도 투영을 변경합니다.

3.5. 미분 및 적분 개념의 적용

우리는 여기에서 미분과 적분에 대한 자세한 정의를 제공하지 않을 것입니다. 문제를 풀기 위해서는 소수의 공식만 있으면 됩니다.

유도체:

어디 NS, NS즉, 상수 값입니다.

완전한:

이제 도함수와 적분의 개념이 어떻게 적용되는지 봅시다. 물리량... 수학에서 미분은 "" ", 물리학에서 시간 미분은 함수에 대해" ∙ "로 표시됩니다.

속도:

즉, 속도는 반경 벡터의 도함수입니다.

속도 투영의 경우:

가속:

즉, 가속도는 속도의 미분입니다.

가속 투영의 경우:

따라서 운동 법칙을 알면 몸의 속도와 가속도를 쉽게 찾을 수 있습니다.

이제 적분의 개념을 사용할 것입니다.

속도:

즉, 속도는 가속도의 시간 적분으로 찾을 수 있습니다.

반경 벡터:

즉, 반경 벡터는 속도 함수의 적분을 취하여 찾을 수 있습니다.

따라서 함수를 알면 몸의 속도와 운동 법칙을 쉽게 찾을 수 있습니다.

수식의 상수는 다음에서 결정됩니다. 초기 조건- 가치와 시간

3.6. 속도 삼각형과 변위 삼각형

3.6.1. 속도 삼각형

벡터 형식으로 일정한 가속도속도 변동의 법칙은 (3.5) 형식을 갖습니다.

이 공식은 벡터가 벡터의 벡터 합과 같고 벡터 합이 항상 그림에 표시될 수 있음을 의미합니다(그림 참조).

각 문제에서 조건에 따라 속도 삼각형은 고유한 형태를 갖습니다. 이 표현을 통해 솔루션에서 기하학적 고려 사항을 사용할 수 있으며, 이는 종종 문제의 솔루션을 단순화합니다.

3.6.2. 변위 삼각형

벡터 형식에서 등가속도 운동 법칙은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

문제를 풀 때 가장 편리한 방법으로 기준 좌표계를 선택할 수 있으므로 일반성을 잃지 않고 좌표계의 원점이 몸체가 있는 지점에 위치하도록 기준 좌표계를 선택할 수 있습니다. 초기 시점에 있습니다. 그 다음에

즉, 벡터는 벡터의 벡터 합과 같으며 그림에 표시됩니다(그림 참조).

앞의 경우와 마찬가지로 조건에 따라 변위 삼각형은 고유 한 형태를 갖습니다. 이 표현을 통해 솔루션에서 기하학적 고려 사항을 사용할 수 있으며, 이는 종종 문제의 솔루션을 단순화합니다.

그래프를 통해 물체(점)가 움직일 때 속도와 가속도의 의존성을 시각화할 수 있습니다.
모듈 플롯 및 가속도 예측
점이 일정한 가속도로 움직이면 계수의 그래프와 가속도의 투영은 시간 축에 평행한 직선이 됩니다. 계수는 음이 아닌 값이므로 가속 계수의 그래프는 시간 축 아래에 위치할 수 없습니다(그림 1.50). 가속도 예측은 양수 및 음수 값을 가질 수 있습니다(그림 1.51, a, b). 그림 1.51, b는 가속도가 일정하고 X축과 반대 방향을 향하고 있음을 보여줍니다.
쌀. 1.50

영형
가속도 투영 그래프에서 아 외에도 속도 투영의 변화를 찾을 수 있습니다. Avx = axt이기 때문에 직사각형 OABS 또는 OKMN의 면적과 수치적으로 동일하고 axt는 직사각형 OABS 또는 OKMN의 면적과 수치적으로 동일합니다.
Avx = axt인 그림 1.51, b에 해당하는 시간 축 아래에 있는 경우 영역은 빼기 기호로 표시됩니다.
속도 투영 공식(1.17.3)은 다음과 같습니다. 선형 함수시각. 따라서 모듈 및 속도 투영의 그래프는 직선입니다. 그림 1.52는 일정한 가속도를 가진 세 가지 움직임에 대한 시간에 대한 속도 계수의 의존성 그래프를 보여줍니다. 그래프 2와 3은 움직임에 해당하며, 초기 속도의 모듈은 세그먼트 OA 및 OB에 해당합니다. 그래프 1은 속도 계수가 균일하게 증가하고 초기 속도가 0인 움직임에 해당합니다. 그래프 3은 속도 계수가 0으로 균일하게 감소하는 움직임에 해당합니다. OS 세그먼트는 정지할 지점의 이동 시간과 수치적으로 동일합니다. 쌀. 1.52
속도 투영 그래프
속도 모듈 그래프는 다음을 포함합니다- / 1
영형
첫 번째 그래프를 기준으로 이동 방향을 판단하는 데 사용할 수 없기 때문에 속도 투영 그래프보다 더 적은 정보를 수집합니다. 좌표축.
쌀. 1.53
그림 1.53은 두 점의 속도 투영 그래프 1, 2를 보여줍니다. 둘 다 초기 속도가 0입니다. 첫 번째 점이 이동합니다.
X 축의 양의 방향이고 Avx> 0이므로 a1x> 0입니다. 두 번째 점은 X축과 반대 방향으로 이동합니다. Avx가 그림 1.54에 두 점의 속도 투영 그래프 1, 2도 나와 있기 때문입니다. 둘 다 세그먼트 OA에 해당하는 동일한 초기 속도 투영 값을 갖습니다. 그래프 1에 따르면 점은 X축의 양의 방향으로 이동하고 속도의 계수와 투영은 균일하게 증가합니다.
그래프 2(그림 1.54 참조)에 따르면 일정 시간 동안 점(세그먼트 OB)이 X축의 양의 방향(vx> 0)으로 이동하고 속도 투영 값이 균일하게 0(정지)으로 감소합니다. 그 후, 속도의 투영은 음수가 됩니다. 이것은 점이 X축의 양의 방향과 반대 방향으로 움직이기 시작했음을 의미합니다.이 경우 속도 계수의 투영, 따라서 속도 계수가 균일하게 증가합니다. 점 가속 투영은 음수입니다. 점 속도의 투영은 균일하게 감소하기 때문에 가속도의 투영은 일정하게 유지됩니다. 따라서 점은 일정한 가속도로 이동합니다.
일정한 가속도에서 속도와 가속도 대 시간의 플롯은 매우 간단합니다. 여기서 가장 중요한 것은 양수 및 음수 값의 이미지에 익숙해지고 모듈 및 투영의 그래프를 혼동하지 않는 것입니다.
? 1. 시간축에 대한 속도의 투영 그래프의 경사각이 클수록 가속도 투영의 모듈이 커짐, 즉 가속도 투영이 직선의 기울기임을 보여줍니다 .
2. 그림 1.55는 두 점의 속도 투영 그래프 1, 2를 보여줍니다. 그래프가 절대값과 방향 모두에서 변하지 않는 가속도를 갖는 운동에 해당함을 증명하십시오.? 쌀. 1.54 그림. 1.55
점의 속력은 어떻게 변하는가? 속력의 투영 그래프는 직선 1(그림 1.55 참조)에 의해 시간의 함수로 묘사된다. 세그먼트 OC 및 OX>는 무엇에 해당합니까?
점의 속도는 어떻게 변했습니까(그림 1.55의 그래프 2 참조)? OS 세그먼트는 무엇에 해당합니까? XI 축을 기준으로 한 점의 가속도는 어디에 있습니까?

지침

그 자체로 주어진 벡터는 모션의 수학적 설명 측면에서 아무 것도 제공하지 않으므로 좌표 축에 대한 투영으로 간주됩니다. 하나의 좌표축(레이), 두 개(평면) 또는 세 개(공간)일 수 있습니다. 투영을 찾으려면 축의 벡터 끝에서 수직선을 드롭해야 합니다.

투영은 벡터의 "그림자"와 같습니다. 몸체가 해당 축에 수직으로 움직이면 투영이 한 점으로 변질되고 값이 0이 됩니다. 좌표축에 평행하게 이동할 때 투영은 벡터와 일치합니다. 그리고 물체의 속도 벡터가 x축에 대해 특정 각도 φ로 향하도록 몸체가 움직일 때 x축에 대한 투영은 V(x) = V cos(φ)입니다. 여기서 V는 계수. 투영은 속도 벡터의 방향이 좌표축의 양의 방향과 일치할 때 양수이고 반대인 경우 음수입니다.

점의 운동이 좌표 방정식으로 주어집니다. x = x(t), y = y(t), z = z(t). 그러면 세 축에 투영된 속도 함수는 각각 V(x) = dx / dt = x "(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V(z) = dz / dt = z "(t), 즉 속도를 찾으려면 도함수를 취해야 합니다. 속도 벡터 자체는 V = V(x) i + V(y) j + V 방정식으로 표현됩니다. (z) k, 여기서 i, j, k - 좌표축 x, y, z의 단위 벡터. 속도 계수는 공식 V = √(V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2)로 계산할 수 있습니다. + V (z) ^ 2).