Jak poznać obszar wielokąta? Porady dotyczące rozwiązania problemu, dla którego wielokąt jest rysowany na papierze w kratkę.

Pomóż mi rozwiązać geometrię i uzyskaj lepszą odpowiedź

Odpowiedz od
1. Jeśli wielokąt jest arbitralny, narysuj wszystkie przekątne z jednego wierzchołka i znajdź obszar każdego powstałego trójkąta. Zsumuj wyniki. Jeśli wielokąt jest regularny, dla każdego indywidualnego przypadku istnieją wzory. Ale możesz wydedukować i ogólna formuła w zależności od liczby boków.
2. Powierzchnia wielokąta jest wielkością dodatnią o następujących właściwościach:
I. Równe wielokąty mają równe obszary.
II. Jeśli wielokąt składa się z dwóch wielokątów, które nie mają wewnętrznych punktów wspólnych, to jego pole jest równe sumie powierzchni tych wielokątów.
III Powierzchnia kwadratu o boku równym jednostce długości jest równa 1 (jednostka miary powierzchni)
3. Powierzchnia prostokąta jest równa iloczynowi jego boków
Dokument:
Niech prostokąt ma boki długości a i b. Zakończmy to do kwadratu o bokach a + b. Oznacza to, że jego powierzchnia (kwadrat) to (a + b) ^ 2. Z drugiej strony obszar ten jest równy sumie kwadratu o boku a, kwadratu o boku bi dwóch prostokątów o bokach aib (co udowodnimy). Oznaczmy ją jako S i przyrównajmy pole z kwadratem o boku a + b do sumy pól „małych prostokątów i kwadratów”.
(a + b) ^ 2 = S + S + a ^ 2 + b ^ 2
a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab = a ^ 2 + b ^ 2 + 2S
2ab = 2S
S = ok. Udowodniony
4. Sabcd = a * h (Powierzchnia równoległoboku jest równa iloczynowi jego podstawy i wysokości)
Jeżeli BF i CM są prostopadłe do prostej AD, to trójkąt ABF = trójkąt DCE
(ponieważ AB = DC i projekcja AF = DM). Dlatego pola tych trójkątów są równe. Powierzchnia równoległoboku ABCD jest równa sumie dwóch cyfr: trójkąta ABF (równego trójkątowi DCM) i trapezu FBCD. Tak więc, jeśli odejmiemy obszar trójkąta ABF od obszaru ABCD, otrzymamy obszar trapezu FBCD. Następnie powierzchnia równoległoboku ABCD jest równa powierzchni prostokąta FBCM. A boki tego prostokąta to BC = AD = a i BF = h.
S ABCD = AD BF = ah.
5. powierzchnia trójkąta prostokątnego to połowa powierzchni prostokąta, czyli S = ab. wtedy Str = ab / 2.
lub ch2. ponieważ w trójkącie prostokątnym iloczyn nóg jest równy iloczynowi wysokości i przeciwprostokątnej
6. Jeżeli kąt jednego trójkąta jest równy kątowi drugiego trójkąta, to stosunek pól tych trójkątów jest równy stosunkowi iloczynów boków obejmujących równe kąty.
7. Powierzchnia trapezu jest równa iloczynowi połowy sumy podstaw i wysokości narysowanej do podstaw. Po narysowaniu dwóch wysokości otrzymujemy prostokąt o bokach a i h oraz dwa trójkąty prostokątne o ramionach p i q, takie, że a + p + q = b. S = ah + ph / 2 + qh / 2 = (2a + p + q) h / 2 = (a + (a + p + q)) h / 2 = (a + b) h / 2. Quod errat demonstrandum
8. Formuły Twierdzenie Pitagorasa: Suma powierzchni kwadratów podpartych przez nogi (a i b) jest równa powierzchni kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej (c) Sformułowanie geometryczne: Początkowo sformułowano twierdzenie następująco: trójkąt prostokątny powierzchnia kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równa sumie powierzchni kwadratów zbudowanych na nogach. Sformułowanie algebraiczne: W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości nóg. To znaczy, oznaczającej długość przeciwprostokątnej trójkąta przechodzącego przez i długości nóg przez i: Oba zdania twierdzenia są równoważne, ale drugie zdanie jest bardziej elementarne, nie wymaga pojęcia pola. Oznacza to, że drugie stwierdzenie można sprawdzić, nie wiedząc nic o powierzchni i mierząc tylko długości boków trójkąta prostokątnego.

Pomóż mi rozwiązać geometrię i uzyskaj lepszą odpowiedź

Odpowiedz od
1. Jeśli wielokąt jest arbitralny, narysuj wszystkie przekątne z jednego wierzchołka i znajdź obszar każdego powstałego trójkąta. Zsumuj wyniki. Jeśli wielokąt jest regularny, dla każdego indywidualnego przypadku istnieją wzory. Ale możesz również wyprowadzić ogólny wzór, w zależności od liczby boków.
2. Powierzchnia wielokąta jest wielkością dodatnią o następujących właściwościach:
I. Równe wielokąty mają równe obszary.
II. Jeśli wielokąt składa się z dwóch wielokątów, które nie mają wewnętrznych punktów wspólnych, to jego pole jest równe sumie powierzchni tych wielokątów.
III Powierzchnia kwadratu o boku równym jednostce długości jest równa 1 (jednostka miary powierzchni)
3. Powierzchnia prostokąta jest równa iloczynowi jego boków
Dokument:
Niech prostokąt ma boki długości a i b. Zakończmy to do kwadratu o bokach a + b. Oznacza to, że jego powierzchnia (kwadrat) to (a + b) ^ 2. Z drugiej strony obszar ten jest równy sumie kwadratu o boku a, kwadratu o boku bi dwóch prostokątów o bokach aib (co udowodnimy). Oznaczmy ją jako S i przyrównajmy pole z kwadratem o boku a + b do sumy pól „małych prostokątów i kwadratów”.
(a + b) ^ 2 = S + S + a ^ 2 + b ^ 2
a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab = a ^ 2 + b ^ 2 + 2S
2ab = 2S
S = ok. Udowodniony
4. Sabcd = a * h (Powierzchnia równoległoboku jest równa iloczynowi jego podstawy i wysokości)
Jeżeli BF i CM są prostopadłe do prostej AD, to trójkąt ABF = trójkąt DCE
(ponieważ AB = DC i projekcja AF = DM). Dlatego pola tych trójkątów są równe. Powierzchnia równoległoboku ABCD jest równa sumie dwóch cyfr: trójkąta ABF (równego trójkątowi DCM) i trapezu FBCD. Tak więc, jeśli odejmiemy obszar trójkąta ABF od obszaru ABCD, otrzymamy obszar trapezu FBCD. Następnie powierzchnia równoległoboku ABCD jest równa powierzchni prostokąta FBCM. A boki tego prostokąta to BC = AD = a i BF = h.
S ABCD = AD BF = ah.
5. powierzchnia trójkąta prostokątnego to połowa powierzchni prostokąta, czyli S = ab. wtedy Str = ab / 2.
lub ch2. ponieważ w trójkącie prostokątnym iloczyn nóg jest równy iloczynowi wysokości i przeciwprostokątnej
6. Jeżeli kąt jednego trójkąta jest równy kątowi drugiego trójkąta, to stosunek pól tych trójkątów jest równy stosunkowi iloczynów boków obejmujących równe kąty.
7. Powierzchnia trapezu jest równa iloczynowi połowy sumy podstaw i wysokości narysowanej do podstaw. Po narysowaniu dwóch wysokości otrzymujemy prostokąt o bokach a i h oraz dwa trójkąty prostokątne o ramionach p i q, takie, że a + p + q = b. S = ah + ph / 2 + qh / 2 = (2a + p + q) h / 2 = (a + (a + p + q)) h / 2 = (a + b) h / 2. Quod errat demonstrandum
8. Formuły Twierdzenie Pitagorasa: Suma powierzchni kwadratów podpartych przez nogi (a i b) jest równa powierzchni kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej (c) Sformułowanie geometryczne: Początkowo twierdzenie zostało sformułowane w następujący sposób: W prostokątnym trójkącie powierzchnia kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równa sumie powierzchni kwadratów zbudowanych na nogach. Sformułowanie algebraiczne: W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości nóg. To znaczy, oznaczającej długość przeciwprostokątnej trójkąta przechodzącego przez i długości nóg przechodzących przez i: Oba zdania twierdzenia są równoważne, ale drugie zdanie jest bardziej elementarne, nie wymaga pojęcia pola. Oznacza to, że drugie stwierdzenie można sprawdzić, nie wiedząc nic o powierzchni i mierząc tylko długości boków trójkąta prostokątnego.

Praktyczny pomiar powierzchni wielokątów odbywa się w taki sam sposób jak zmiana długości odcinków. Jednostką miary powierzchni jest kwadrat, którego bok jest równy jednostce miary segmentów. Powierzchnia tego kwadratu jest uważana za równą jeden. Zmierzyć powierzchnię wielokąta oznacza dowiedzieć się, ile razy jednostka miary i jej części mieszczą się w danym wieloboku - ta liczba jest traktowana jako jego powierzchnia.

W praktyce pomiar powierzchni wielokąta można wykonać w następujący sposób.

Narysujmy kartkę papieru w kwadraty o boku równym jednostce miary segmentów i umieśćmy na niej ten wielokąt. Niech m będzie liczbą kwadratów całkowicie zakrytych przez wielokąt, a n liczbą kwadratów tylko częściowo zakrytych przez wielokąt.

Liczba S, która wyraża pole wielokąta, jest więc zawarta między liczbami

S 1 = m i S 1, = m + n:

Każdą z liczb S 1 i S 1 można uznać za przybliżoną wartość liczby S (S 1 - z niedoborem, S 1 - z nadmiarem).

Aby dokładniej zmierzyć powierzchnię wielokąta, każdy z n częściowo zakrytych kwadratów dzielimy na 100 równych kwadratów. Oczywiste jest, że powierzchnia każdego z nich jest równa. Niech m1 będzie liczbą kwadratów całkowicie zakrytych naszym wielokątem, n1 liczbą częściowo zakrytych kwadratów. Oczywiście m1 + n1? 100n. teraz możemy powiedzieć, że liczba S jest zawarta między liczbami S 2 = m + i S 2, = m +, tj. S 2? S? S 2, podczas gdy oczywiście S 2 jest większe lub równe S 1. z drugiej strony, skoro m1 + n1? 100n, więc? n, a zatem S 2? S 1.

Teraz dzielimy każdy z n 1 częściowo zakrytych kwadratów na 100 kolejnych małych równych kwadratów i powtarzamy nasze rozumowanie. W efekcie otrzymujemy nowe nierówności: S 1? S? S 3 i S 3,? S2 i S3? S 2,. Powtórzmy jeszcze raz podobne rozumowanie itd. W tym przypadku coraz więcej nierówności postaci SS S / R, S 1 S 2 ... SR, S / 1 S / 2 ... S / R, a różnica S / R -SR z wzrost k zbliży się do zera. Wynika to z faktu, że różnica jest równa powierzchni figury, która składa się z kwadratów i obejmuje polilinię ograniczającą wielokąt (na rysunku wielokąt pokazany jest w powiększonej skali).

Wraz ze wzrostem k liczba ta kurczy się coraz bliżej linii przerywanej, a zatem jej obszar zbliża się do zera. dlatego liczby S R i S / R będą zbliżać się do S. Jest to proces pomiaru powierzchni wielokąta, który pozwala znaleźć przybliżoną wartość S z dowolną dokładnością.

W problemach geometrycznych często wymagane jest obliczenie powierzchni wielokąta. Co więcej, może mieć dość zróżnicowany kształt - od znanego trójkąta do jakiegoś n-kąta z niewyobrażalną liczbą wierzchołków. Ponadto te wielokąty są wypukłe lub wklęsłe. W każdej konkretnej sytuacji ma opierać się na wyglądzie postaci. Okaże się więc, że wybierzesz najlepszy sposób rozwiązania problemu. Liczba może okazać się poprawna, co znacznie uprości rozwiązanie problemu.

Mała teoria o wielokątach

Jeśli narysujesz trzy lub więcej przecinających się linii, tworzą one pewną figurę. To ona jest wielokątem. Dzięki liczbie punktów przecięcia staje się jasne, ile będzie mieć wierzchołków. Dają nazwę powstałemu kształtowi. To mógłby być:

Taką figurę z pewnością będą charakteryzować dwie pozycje:

Sąsiednie boki nie należą do tej samej linii prostej.
Niesąsiadujące nie mają punktów wspólnych, to znaczy nie przecinają się.

Aby zrozumieć, które wierzchołki sąsiadują, musisz sprawdzić, czy należą do tej samej strony. Jeśli tak, to sąsiednie. W przeciwnym razie można je połączyć segmentem, który należy nazwać przekątną. Można je rysować tylko w wielokątach z więcej niż trzema wierzchołkami.

Jakie są ich rodzaje?

Wielokąt z więcej niż czterema rogami może być wypukły lub wklęsły. Różnica między tymi ostatnimi polega na tym, że niektóre z jego wierzchołków mogą leżeć po przeciwnych stronach linii prostej poprowadzonej przez dowolny bok wielokąta. We wypukłej wszystkie wierzchołki zawsze leżą po jednej stronie takiej prostej.

V kurs szkolny geometrii, większość czasu poświęcona jest kształtom wypukłym. Dlatego w problemach wymagane jest znalezienie obszaru wielokąta wypukłego. Następnie istnieje formuła pod względem promienia opisanego koła, która pozwala znaleźć pożądaną wartość dla dowolnej figury. W innych przypadkach nie ma jednego rozwiązania. Dla trójkąta wzór jest jeden, ale dla kwadratu lub trapezu jest zupełnie inny. W sytuacjach, gdy liczba jest nieprawidłowa lub jest dużo szczytów, zwyczajowo dzieli się je na proste i znajome.

A jeśli kształt ma trzy lub cztery wierzchołki?

W pierwszym przypadku okazuje się, że jest to trójkąt i możesz użyć jednej z formuł:

S = 1/2 * a * n, gdzie a to bok, n to jego wysokość;
S = 1/2 * a * b * sin (A), gdzie a, b to boki \ s trójkąta, A to kąt między znanymi bokami;
S = √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), gdzie c jest bokiem trójkąta, do już wyznaczonych dwóch, p jest półobwodem, czyli sumą ze wszystkich trzech stron podzielonych przez dwa ...

Figura z czterema wierzchołkami może okazać się równoległobokiem:

S = a*n;
S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin (α), gdzie d 1 i d 2 są przekątnymi, α jest kątem między nimi;
S = a * w * sin (α).

Formuła dla obszar trapezowy: S = h * (a + b) / 2, gdzie a i b są długościami podstaw.

Co zrobić z wielokątem foremnym z więcej niż czterema wierzchołkami?

Po pierwsze, taka figura charakteryzuje się tym, że wszystkie strony są w niej równe. Dodatkowo wielokąt ma te same kąty.

Jeśli opiszesz okrąg wokół takiej figury, to jej promień zbiegnie się z odcinkiem od środka wielokąta do jednego z wierzchołków. Dlatego, aby obliczyć powierzchnię wielokąta foremnego o dowolnej liczbie wierzchołków, potrzebny jest następujący wzór:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º / n), gdzie n jest liczbą wierzchołków wielokąta.

Z tego łatwo uzyskać taki, który jest przydatny w szczególnych przypadkach:

trójkąt: S = (3√3) / 4 * R 2;
kwadrat: S = 2 * R 2;
sześciokąt: S = (3√3) / 2 * R 2.

Sytuacja z niewłaściwą figurą

Sposobem na znalezienie obszaru wielokąta, jeśli nie jest on poprawny i nie można go przypisać do żadnej z wcześniej znanych figur, jest algorytm:

rozbij go na proste kształty, takie jak trójkąty, aby się nie przecinały;
obliczyć ich powierzchnie za pomocą dowolnej formuły;
zsumuj wszystkie wyniki.

Co jeśli problem zawiera współrzędne wierzchołków wielokąta?

Oznacza to, że znany jest zbiór par liczb dla każdego punktu, które wyznaczają boki figury. Zwykle są one zapisywane jako (x 1; y 1) dla pierwszego, (x 2; y 2) - dla drugiego, a n-ty wierzchołek ma takie wartości (x n; y n). Następnie obszar wielokąta definiuje się jako sumę n wyrazów. Każdy z nich wygląda tak: ((y i + 1 + y i) / 2) * (x i + 1 - x i). W tym wyrażeniu zmieniam się od jednego do n.

Należy zauważyć, że znak wyniku będzie zależał od przemieszczenia figury. Podczas korzystania z określonej formuły i poruszania się zgodnie z ruchem wskazówek zegara odpowiedź będzie negatywna.

Przykładowe zadanie

Stan: schorzenie. Współrzędne wierzchołków podane są przez wartości (0,6; 2,1), (1,8; 3,6), (2,2; 2,3), (3,6; 2,4), (3,1; 0,5). Chcesz obliczyć powierzchnię wielokąta.

Rozwiązanie. Zgodnie z powyższym wzorem pierwszy termin wyniesie (1,8 + 0,6) / 2 * (3,6 - 2,1). Tutaj wystarczy wziąć wartości dla gry i x z drugiego i pierwszego punktu. Prosta kalkulacja doprowadzi do wyniku 1.8.

Podobnie otrzymuje się drugi termin: (2,2 + 1,8) / 2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Rozwiązując takie problemy, nie należy dać się zastraszyć negatywnymi wartościami. Wszystko idzie tak, jak powinno. To jest zaplanowane.

Podobnie uzyskuje się wartości dla trzeciego (0,29), czwartego (-6,365) i piątego składnika (2,96). Wtedy całkowita powierzchnia wynosi: 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = - 3,915.

Wskazówki dotyczące rozwiązania problemu, dla którego wielokąt jest rysowany na papierze w kratkę

Najczęściej zastanawiające jest to, że w danych jest tylko rozmiar komórki. Okazuje się jednak, że więcej informacji nie jest potrzebnych. Rekomendacją rozwiązania takiego problemu jest podzielenie figury na wiele trójkątów i prostokątów. Ich obszary można dość łatwo policzyć po długościach boków, które można łatwo złożyć.

Ale często jest prostsze podejście. Polega na narysowaniu kształtu do prostokąta i obliczeniu wartości jego pola. Następnie policz obszary tych elementów, które okazały się zbędne. Odejmij je od ogólna wartość... Ta opcja czasami wiąże się z nieco mniejszą liczbą działań.