Cutia conține un număr de bile albe și negre. Dacă scoți la întâmplare două bile de acolo, atunci probabilitatea ca ambele să fie albe este de 1/2.

A) Ce este numărul minim posibil de bile în cutie?
b) Aceeași întrebare, cu condiția ca numărul de bile negre să fie par.

Sfat 1

Lasă cutia să conțină w bile albe si b bile negre. Care este probabilitatea ca, dacă scoți la întâmplare două bile din cutie, atunci ambele să fie albe?

Sfat 2

Încercați să găsiți valoarea dorită w pentru valori mici b(de exemplu, b= 1, b= 2, b= 3, ...).

Soluţie

Deci, lăsați cutia să conțină w bile albe si b bile negre. Pentru simplitate, vom presupune că extragem bile din cutie secvenţial. Atunci probabilitatea ca prima bilă pe care am scos-o din cutie să se dovedească a fi albă este \ (\ frac (w) (w + b) \), iar probabilitatea ca și a doua bilă să se dovedească a fi albă (cu condiția ca prima bila albă) este \ (\ frac (w-1) (w + b-1) \). După enunțul problemei, probabilitatea ca ambele bile să fie albe este 1/2, adică

\ [\ dfrac (w) (w + b) \ cdot \ dfrac (w-1) (w + b-1) = \ dfrac12 \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (1) \]

Rețineți că formula rezultată nu se schimbă dacă presupunem că bilele sunt scoase simultan din cutie. Într-adevăr, numărul de posibilități de a extrage două bile arbitrare este egal cu

\ (C_ (w + b) ^ 2 = \ dfrac ((w + b) (w + b-1)) (2) \),

poți obține două bile albe

\ (C_w ^ 2 = \ dfrac (w (w-1)) (2) \) moduri.

Adică probabilitatea căutată este

\ (\ dfrac (C_w ^ 2) (C_ (w + b) ^ 2) = \ frac (w) (w + b) \ cdot \ dfrac (w-1) (w + b-1) \).

Expresia rezultată poate fi considerată ca o ecuație în două variabile: wși b... Având în vedere că trebuie să găsim cea mai mică valoare a expresiei ( w + b), este cel mai firesc să încercăm să rezolvați această ecuație prin căutare exhaustivă. Și anume, este logic să încercăm să înlocuim constant valorile b = 1, b = 2, b= 3, ..., și apoi aflați dacă rezultanta are relativ w ecuație pătratică decizii întregi sau nu. În cazul nostru, această metodă duce la o soluție destul de rapidă. Prin urmare b= 1 obținem o ecuație liniară:

\ [\ dfrac (w (w-1)) (w (w + 1)) = \ dfrac12 \ qquad \ Săgeată la dreapta \ qquad 2 (w-1) = w + 1 \ qquad \ Săgeată la stânga la dreapta \ qquad w = 3 \]

Aceasta ne oferă soluția la punctul a). Cu aceeași metodă, cu puțină manichilă, s-ar putea găsi răspunsul la punctul b), totuși vom merge pe o altă cale, mai elegantă din punct de vedere matematic.

Rețineți că pentru b> 0 și w> 0 inegalitatea

\ [\ dfrac (w) (w + b)> \ dfrac (w-1) (w + b-1). \]

Ținând cont de ecuația (1), rezultă că

\ [\ stânga (\ dfrac (w) (w + b) \ dreapta) ^ 2> \ dfrac12> \ stânga (\ dfrac (w-1) (w + b-1) \ dreapta) ^ 2. \]

Extragerea rădăcini pătrate, avem

\ [\ dfrac (w) (w + b)> \ dfrac (1) (\ sqrt2)> \ dfrac (w-1) (w + b-1). \]

Să luăm în considerare separat prima dintre aceste inegalități:

\ [\ dfrac (w) (w + b)> \ dfrac (1) (\ sqrt2) \ qquad \ Rightarrow \ qquad w \ sqrt2> w + b \ qquad \ Rightarrow \ qquad w> \ dfrac (b) (\ sqrt2-1) = (\ sqrt2 + 1) b. \]

În mod similar, pentru a doua inegalitate avem

\ [\ dfrac (1) (\ sqrt2)> \ dfrac (w-1) (w + b-1) \ qquad \ Rightarrow \ qquad w + b + 1> (w-1) \ sqrt2 \ qquad \ Rightarrow \ qquad w<\dfrac{b+\sqrt2-1}{\sqrt2-1}=(\sqrt2+1)b+1.\]

Astfel, obținem o evaluare pentru w prin valoare b:

\ [(1+ \ sqrt2) b + 1> w> (1+ \ sqrt2) b. \]

De exemplu, pentru b= 1, ținând cont de faptul că \ (1 (,) 414<\sqrt2<1{,}415\), мы получаем неравенство \(2{,}414w= 3. În cazul nostru (pentru b= 1 și w= 3) probabilitatea de a scoate două bile albe din cutie este

ceea ce înseamnă că numărul minim de bile dintr-o cutie este de patru.

Să trecem acum la soluția punctului b). Pentru a găsi răspunsul, luați în considerare succesiv valorile b = 2, b = 4, b= 6, ... și valorile corespunzătoare w până le găsim pe cele potrivite.

b	wîn interval	adecvat w	P
2	(4,82; 5,83)	5	\ (\ dfrac57 \ cdot \ dfrac46 \ ne \ dfrac12 \)
4	(9,65; 10,66)	10	\ (\ dfrac (10) (14) \ cdot \ dfrac9 (13) \ ne \ dfrac12 \)
6	(14,48; 15,49)	15	\ (\ dfrac (15) (21) \ cdot \ dfrac (14) (20) = \ dfrac12 \)

Astfel, dacă b este par, atunci numărul minim de bile din cutie este 21.

Postfaţă

Întrebarea apare în mod firesc pentru cititor după rezolvarea problemei - cum să găsiți toate seturile posibile de bile albe și negre pentru care probabilitatea de a scoate două bile albe din cutie este 1/2. Pentru a face acest lucru, considerați ecuația (1) ca o ecuație în variabilă w, și cantitatea b va fi considerat un parametru. Să rescriem această ecuație după cum urmează:

\ [\ dfrac (w) (w + b) \ cdot \ dfrac (w-1) (w + b-1) = \ dfrac12 \ qquad \ Rightarrow \ qquad 2w ^ 2-2w = w ^ 2 + 2wb + b ^ 2-wb \ qquad \ Săgeată la dreapta \ qquad \] \

Este clar că această ecuație are o soluție întreagă dacă și numai dacă discriminantul ei este pătratul unui număr întreg. Cu alte cuvinte, pentru un număr întreg m egalitate corectă

sau, în mod echivalent, \ (m ^ 2-8b ^ 2 = 1 \).

Ecuația rezultată este un caz special de ecuații întregi de o formă mai generală:

Aici d- un număr întreg dat care nu este un pătrat perfect. Astfel de ecuații cu mâna ușoară a lui Leonard Euler sunt numite în mod tradițional ecuațiile Pell (deși matematicianul englez John Pell, după care Euler a numit astfel de ecuații, cel mai probabil nu are nimic de-a face cu ele). Rezultă că pentru fiecare valoare a parametrului care îndeplinește condiția d o ecuație de această formă are infinit de soluții și toate aceste soluții se obțin în același mod.

Să demonstrăm cu un exemplu la ce ne referim. Lasa d= 2. Atunci este ușor să arătăm că dacă perechea ( X, y) este o soluție a ecuației \ (x ^ 2-2y ^ 2 = 1 \), apoi perechea (3 X + 4y, 2X + 3y) este, de asemenea, unul. Intr-adevar,

\ [(3x + 4y) ^ 2-2 (2x + 3y) ^ 2 = (9x ^ 2 + 24xy + 16y ^ 2) -2 (4x ^ 2 + 12xy + 9y ^ 2) = x ^ 2-2y ^ 2. \]

Astfel, plecând de la soluția trivială (1, 0), putem obține o succesiune infinită de soluții diferite \ ((x_k, y_k) \) folosind formula recurenței

\ ((x_k, y_k) = f (x_ (k-1), y_ (k-1)) \),

\ (f (x, y) = (3x + 4y, 2x + 3y) \).

În cazul nostru, soluțiile se obțin astfel: (3, 2), (17, 12), (99, 70), (577, 408), ...

Se dovedește că aceste valori epuizează soluțiile pozitive ale ecuației \ (x ^ 2-dy ^ 2 = 1 \), iar restul soluțiilor sale diferă de cele indicate doar de semn.

Situația este similară în cazul general. Mai multe puncte importante sunt de interes aici. În primul rând, toate soluțiile pozitive netriviale pot fi obținute prin „multiplicarea” multiplă a uneia dintre ele, pe care o vom numi principalul, pentru mine. Prin „înmulțirea” a două soluții ale ecuației Pell, înțelegem următoarea operație dificilă (pe care o notăm de obicei ca o înmulțire obișnuită - cu un punct):

\ [(x_1, y_1) \ cdot (x_2, y_2) = (x_1x_2 + dy_1y_2, x_1y_2 + x_2y_1). \]

De exemplu, pentru d= 2, soluția principală este (3, 2), iar înmulțirea unei soluții arbitrare cu aceasta are forma

\ ((x, y) \ cdot (3,2) = (3x + 4y, 2x + 3y) \) este exact despre ce am vorbit mai sus.

În al doilea rând, este interesant să știți cum puteți găsi soluția de bază notorie pentru fiecare semnificație specifică. d... Aici fracțiile continuate ne ajută în mod neașteptat: se dovedește că orice decizie pozitivă ( X, y) din ecuația Pell corespunde fracției corespunzătoare \ (\ frac (x) (y) \) a numărului \ (\ sqrt (d) \). Cu toate acestea, inversul nu este adevărat: nu orice fracție potrivită corespunde soluției ecuației Pell, ci numai acelea ale căror numere au forma ( kn- 1), unde n- lungimea perioadei șirului de elemente de fracție continuată pentru numărul \ (\ sqrt (d) \). Pentru unii d aceste numere (și, în consecință, decizii pozitive) se pot dovedi a fi destul de mari. Prin urmare d= 61 soluția principală are forma (1 766 319 049, 226 153 980).

În sfârșit, va fi interesant de observat că în demonstrarea existenței unei soluții netriviale a ecuației Pell, rolul cheie îl joacă lema geometrică Minkowski pe un corp convex. Această lemă apare în mod neașteptat în diverse probleme ale teoriei numerelor și este cel mai clar exemplu al conexiunii dintre algebră și geometrie în matematica superioară.

La pregătirea articolului s-au folosit următoarele materiale:
1) V.O.Bugaenko. „Ecuațiile lui Pell” (Biblioteca „Educația matematică”, numărul 13).
2) F. Mosteller. „Cincizeci de probleme probabilistice distractive cu soluții”.
3) Articole de V. Senderov și A. Spivak despre ecuațiile Pell în revista „Quant” (

Băieți, ne punem suflet în site. Mulțumesc pentru
că descoperi această frumusețe. Mulțumesc pentru inspirație și pielea de găină.
Alăturați-vă nouă la Facebookși In contact cu

Corporațiile binecunoscute - Google, Intel sau Apple - sunt renumite pentru că le solicită sarcini dificile persoanelor aflate în căutarea unui loc de muncă în timpul interviurilor. AIN.UA a colectat 10 exemple interesante de astfel de sarcini. Unele dintre ele au fost sugerate chiar de companii, iar altele au fost postate de utilizatori care fuseseră deja intervievați. Soluția lor necesită cunoștințe de matematică la nivel de școală sau doar cunoștințe.

site-ul se oferă să verifice cum ai gestiona un astfel de interviu.

Ce cere Apple

Obiectivul 1.

Problema de logica. Sheldon Cooper (același fizician de geniu din popularul serial TV) a ajuns la ultima graniță într-o căutare de joc în căutarea comorilor. În fața lui - două uși, una duce la comoară, a doua - la labirintul mortal. La fiecare uşă este un paznic, fiecare dintre ei ştie ce uşă duce la comoară. Unul dintre gardieni nu minte niciodată, celălalt minte mereu. Sheldon nu știe cine este un mincinos și cine nu. Înainte de a alege o ușă, nu poți pune decât o singură întrebare și un singur paznic.

Întrebare: Ce ar trebui să-i ceară Sheldon gardianului să ajungă la comoară?

Poți să întrebi pe oricine, în timp ce pui întrebarea astfel: „Care ușă, potrivit unui alt gardian, este corectă?” Dacă îl va întreba pe cel adevărat, va primi informații despre ce ușă duce la labirint, pentru că paznicul mincinos minte mereu. Dacă îl va întreba pe paznicul mincinos, din nou, va afla ce ușă duce la labirint, pentru că va minți despre ușa către care va arăta adevăratul gardian.

Obiectivul 2.

Pământul a fost preluat de extratereștri. Ei plănuiesc să distrugă întreaga planetă, dar au decis să ofere omenirii o șansă. Au ales o duzină dintre cei mai deștepți oameni și i-au așezat într-o cameră complet întunecată, așezați la rând, unul după altul. Fiecare dintre oameni a fost pus pe o pălărie, pălării de doar două culori - roz și verde. După ce toate pălăriile sunt pe cap, lumina se aprinde.

Extratereștrul începe cu ultima persoană din rând și întreabă ce culoare are pălăria pe cap. Alte cuvinte, cu excepția culorii pălăriei, nu pot fi pronunțate. Să rămână tăcut – de asemenea. Dacă răspunde corect, rămâne în viață, dacă greșește, este ucis.

Nu poți să vezi ce culoare are pălăria ta, dar poți cădea de acord asupra unui principiu prin care să răspunzi tuturor. Locația pălăriilor este aleatorie, combinațiile pot fi oricare, poți vedea toate pălăriile care se află în fața ta.

Întrebare: Ce trebuie răspuns pentru ca cât mai mulți oameni să supraviețuiască?

Primul care răspunde numără numărul de pălării verzi din fața lui: dacă este un număr impar, el numește „verde”, dacă este par – „roz”. Următorul, văzând numărul și culoarea pălăriilor în fața lui, poate calcula astfel ce culoare are pălăria pe cap (de exemplu, dacă mai există un număr impar de verzi, atunci este evident că poartă roz. ), si asa mai departe. Astfel, 9 din 10 sunt garantate să supraviețuiască, iar primul care răspunde are o șansă de 1 la 1.

Ce se întreabă la Adobe

Obiectivul 3.

Ai 50 de motociclete cu rezervorul plin, ceea ce este suficient pentru 100 km de condus.

Întrebare: Folosind aceste 50 de biciclete, cât de departe poți merge (având în vedere că inițial sunt situate în același punct în spațiu)?

Cel mai simplu răspuns este să le pornești pe toate în același timp și să conduci 100 km. Dar există și o altă soluție. Deplasați mai întâi toate motocicletele 50 km. Apoi transferați combustibil de la jumătate din biciclete în cealaltă jumătate. Deci ai 25 de motociclete cu rezervorul plin. Conduceți încă 50 km și repetați procedura. Deci se pot urca 350 de km (fara a se tine cont de combustibilul care va ramane de la motocicleta "extra" cand cei 25 sunt impartiti in doua).

Ce întreabă Microsoft

Sarcina 4.

Ai o rezervă nesfârșită de apă și două găleți - 5 litri și 3 litri.

Întrebare: Cum vei măsura 4 litri?

Umpleți o găleată de 5 litri cu apă și turnați o parte din apă într-o găleată de 3 litri. Acum aveți 3 litri într-o găleată mică și 2 într-una mare. Goliți găleata mică și turnați restul de 2 litri din găleata mare în ea. Umpleți din nou găleata mare și turnați apa în găleata mică. Sunt deja 2 litri de apă acolo, așa că va trebui completat un litru, iar în cel mare vor rămâne 4 litri.

Sarcina 5.

Ai două bucăți de frânghie. Fiecare este de așa natură încât, dacă îi dai foc de la un capăt, va arde exact 60 de minute.

Întrebare: Cu doar o cutie de chibrituri, cum poți măsura 45 de minute cu două bucăți dintr-o astfel de frânghie (nu poți rupe frânghiile)?

Una dintre secțiuni este incendiată de la ambele capete, în timp ce a doua secțiune este incendiată în același timp, dar de la un capăt. Când primul segment se stinge complet, vor trece 30 de minute și va rămâne și un segment de 30 de minute din primul segment. Dându-i foc de la ambele capete, avem 15 minute.

Ce se cere pe Google

Sarcina 6.

Ai 8 bile de aceeași formă și dimensiune.

Întrebare: Cum găsești bila mai grea folosind o cântar și doar două cântăriri?

Luați 6 bile, împărțiți-le în grupuri de 3 bile și puneți-le pe cântar. Grupul cu bila mai grea va trage vasul. Alegeți oricare 2 bile din aceste trei și cântăriți. Dacă printre ei se află o minge grea, o vei ști; dacă cântăresc la fel, cel greu care rămâne. Dacă nu există nicio minge mai grea în grupuri de 3, aceasta se află printre celelalte 2.

întreabă Qualcomm

Sarcina 7.

Această problemă a fost descrisă de un utilizator care a fost intervievat pentru postul de inginer superior de sisteme. El a notat în descrierea problemei că a avut propriul răspuns, despre care s-a certat îndelung cu cel care a efectuat interviul.

Să presupunem că avem 10 transmisii de pachete de date prin rețeaua wireless. Canalul nu este de foarte bună calitate, deci există o șansă de 1/10 ca pachetul de date să nu fie transmis. Transmițătorul știe întotdeauna dacă un pachet de date a fost transmis cu succes sau fără succes. Când transmisia nu reușește, emițătorul va transmite pachetul până când acesta reușește.

Întrebare: Câtă lățime de bandă obținem?

După versiunea utilizatorului, răspunsul ar fi trebuit să fie: 9 pachete pe secundă. Dar cel care a condus interviul nu a fost de acord cu el, însă nu a dat un răspuns, ci a repetat că „datorită retransmisiei, debitul ar trebui redus cu mai mult de 1/10”.

Există un dicționar morfologic de aproximativ 100.000 de intrări, în care verbele perfect și imperfect sunt plasate în intrări separate (adică „do” și „do” sunt considerate intrări de vocabular diferite). Trebuie să găsiți astfel de perechi de specii în dicționar și să „lipiți” articolele într-unul singur.

Întrebare: Descrieți un scenariu general pentru rezolvarea unei astfel de probleme și un algoritm aproximativ pentru căutarea perechilor de specii.

Din păcate, nu avem răspunsuri la sarcinile Yandex.

Și bonusul

Problema 10.

Această sarcină este atribuită lui Albert Einstein - se presupune că a folosit-o pentru a-și selecta asistenți. O altă poveste aproape legendară îi atribuie autoritatea lui Lewis Carroll. Rețineți că este foarte ușor de rezolvat pe hârtie, dar dacă doriți hardcore - încercați să o rezolvați în cap.

Sunt cinci case pe stradă.
Englezul locuiește în casa roșie.
Spaniolul are un câine.
Ei beau cafea în casa verde.
Ucraineanul bea ceai.
Casa verde este situată imediat în dreapta casei albe.
Oricine fumează Old Gold crește melci.
Kool se fumează în casa galbenă.
Laptele se bea în casa centrală.
Norvegianul locuiește în prima casă.
Vecinul fumătorului din Chesterfield ține o vulpe.
Kool se fumează în casa de lângă cea în care este ținut calul.
Oricine fumează Lucky Strike bea suc de portocale.
Japonezul fumează Parlamentul.
Norvegianul locuiește lângă casa albastră.
Fiecare dintre case este pictată într-o culoare diferită, în fiecare casă locuiește un reprezentant al unei naționalități diferite, fiecare are propriul animal de companie, propria marcă preferată de țigări și o băutură.

Întrebare: Cine bea apa? Cine ține în brațe zebra?

Probleme pentru determinarea clasică a probabilității.
Exemple de soluții

În a treia lecție, ne vom uita la diverse probleme legate de aplicarea directă a definiției clasice a probabilității. Pentru a studia eficient materialele acestui articol, vă recomand să vă familiarizați cu conceptele de bază. teoria probabilitățiiși bazele combinatoriei... Sarcina determinării clasice a probabilității cu o probabilitate care tinde spre unul va fi prezentă în munca dumneavoastră independentă / de control pe terver, prin urmare, ne pregătim pentru o muncă serioasă. Te intrebi, ce este grav? ... doar o formulă primitivă. Vă avertizez împotriva frivolității - sarcinile tematice sunt destul de diverse și multe dintre ele pot fi ușor confuze. În acest sens, pe lângă lucrul prin lecția principală, încercați să studiați sarcini suplimentare pe subiect care sunt în pușculiță soluții gata făcute la matematică superioară... Metode de decizie prin metode de decizie, dar „prietenii” totuși „trebuie cunoscuți din vedere”, pentru că chiar și o imaginație bogată este limitată și există și sarcini tipice suficiente. Ei bine, voi încerca să fac numărul maxim de ele de bună calitate.

Ne amintim de clasicii genului:

Probabilitatea de apariție a unui eveniment într-un test este egală cu raportul, unde:

- numărul total al tuturor la fel de posibil, elementar rezultatele acestui proces, care formează grup complet de evenimente;

- număr elementar rezultate favorabile evenimentului.

Și imediat o oprire imediată. Înțelegi termenii subliniați? Aceasta înseamnă o înțelegere clară, nu intuitivă. Dacă nu, atunci este mai bine să revenim la primul articol pe teoria probabilității si abia dupa aceea mergi mai departe.

Vă rugăm să nu sări peste primele exemple - în ele voi repeta un punct fundamental important și, de asemenea, vă voi spune cum să elaborați corect o soluție și în ce moduri o puteți face:

Problema 1

Urna conține 15 bile albe, 5 roșii și 10 negre. Se extrage o minge la întâmplare, găsiți probabilitatea ca aceasta să fie: a) albă, b) roșie, c) neagră.

Soluţie: cea mai importantă condiție prealabilă pentru utilizarea definiției clasice a probabilității este capacitatea de a calcula numărul total de rezultate.

Total în urnă: 15 + 5 + 10 = 30 de bile și, evident, următoarele fapte sunt adevărate:

- recuperarea oricărei mingi este la fel de posibilă (oportunitate egala rezultate), în timp ce rezultatele elementar și formă grup complet de evenimente (adică, ca rezultat al testului, una dintre cele 30 de bile va fi cu siguranță îndepărtată).

Astfel, numărul total de rezultate:

Luați în considerare evenimentul: - o bilă albă va fi scoasă din urnă. Acest eveniment este favorizat elementar rezultate, prin urmare, conform definiției clasice:
- probabilitatea ca o bila alba sa fie scoasa din urna.

În mod ciudat, chiar și într-o sarcină atât de simplă, se poate admite o gravă inexactitate, asupra căreia am atras deja atenția în primul articol despre teoria probabilității... Unde este capcana aici? Este incorect să argumentăm aici că „Deoarece jumătate dintre bile sunt albe, atunci probabilitatea de a extrage o bilă albă este» ... În definiția clasică a probabilității, vorbim despre ELEMENTAR rezultate, iar fracția trebuie prescrisă!

Cu alte puncte în mod similar, luați în considerare următoarele evenimente:

- se va scoate o bila rosie din urna;
- o bila neagra va fi scoasa din urna.

Evenimentul este favorizat de 5 rezultate elementare, iar evenimentul - 10 rezultate elementare. Astfel, probabilitățile corespunzătoare sunt:

O verificare tipică pentru multe sarcini de pe server este efectuată folosind teoreme privind suma probabilităților evenimentelor care formează un grup complet... În cazul nostru, evenimentele formează un grup complet, ceea ce înseamnă că suma probabilităților corespunzătoare trebuie să fie în mod necesar egală cu unu:.

Să verificăm dacă este așa: de ce am vrut să ne convingem.

Răspuns:

În principiu, răspunsul poate fi scris mai detaliat, dar personal sunt obișnuit să pun acolo doar numere - din motivul că atunci când începi să „produci” probleme în sute și mii, te străduiești să scurtezi cât mai mult înregistrarea soluției. pe cat posibil. Apropo, despre concizie: în practică, o opțiune de design „de mare viteză” este răspândită solutii:

Total: 15 + 5 + 10 = 30 de bile în urnă. Conform definiției clasice:
- probabilitatea ca o bila alba sa fie scoasa din urna;
- probabilitatea ca o bila rosie sa fie scoasa din urna;
- probabilitatea ca o bila neagra sa fie scoasa din urna.

Răspuns:

Cu toate acestea, dacă există mai multe puncte în stare, atunci este adesea mai convenabil să elaborezi soluția în primul mod, ceea ce durează puțin mai mult timp, dar pune totul pe rafturi și facilitează navigarea în problemă.

Incalzire:

Sarcina 2

Magazinul a primit 30 de frigidere, dintre care cinci au un defect de fabrica. Un frigider este selectat aleatoriu. Care este probabilitatea ca acesta să fie fără defecte?

Selectați opțiunea de design corespunzătoare și verificați eșantionul din partea de jos a paginii.

În cele mai simple exemple, numărul de rezultate generale și numărul de rezultate favorabile se află la suprafață, dar în cele mai multe cazuri cartofii trebuie săpați singuri. O serie canonică de probleme ale apelantului uitător:

Problema 3

La formarea unui număr de telefon, abonatul a uitat ultimele două cifre, dar își amintește că una dintre ele este zero, iar cealaltă este impară. Găsiți probabilitatea ca el să formeze numărul corect.

Notă : zero este un număr par (divizibil cu 2 fără rest)

Soluţie: Mai întâi, găsiți numărul total de selecții. Prin condiție, abonatul își amintește că una dintre cifre este zero, iar cealaltă cifră este impară. Aici este mai rațional să nu fii deștept cu combinatoria și utilizarea lista directă a rezultatelor ... Adică, atunci când luăm o decizie, pur și simplu notăm toate combinațiile:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Și le numărăm - în total: 10 rezultate.

Există un singur rezultat favorabil: numărul corect.

Conform definiției clasice:
- probabilitatea ca abonatul să formeze numărul corect

Răspuns: 0,1

Fracțiile zecimale par destul de potrivite în teoria probabilității, dar puteți rămâne și la stilul tradițional Vyshmatov, operând numai cu fracții obișnuite.

Sarcină avansată pentru auto-soluție:

Problema 4

Abonatul a uitat codul PIN al cartelei SIM, dar își amintește că acesta conține trei „cinci”, iar unul dintre numere este fie „șapte”, fie „opt”. Care este probabilitatea de autorizare de succes la prima încercare?

Aici puteți dezvolta în continuare ideea probabilității ca abonatul să primească pedeapsă sub formă de o grămadă de coduri, dar, din păcate, raționamentul va depăși deja scopul acestei lecții.

Soluție și răspuns mai jos.

Uneori enumerarea combinațiilor poate fi o sarcină minuțioasă. În special, acesta este cazul în următorul grup de probleme, nu mai puțin popular, în care sunt aruncate 2 zaruri (mai rar - mai mult):

Problema 5

Găsiți probabilitatea ca atunci când aruncați două zaruri, totalul să fie:

a) cinci puncte;
b) nu mai mult de patru puncte;
c) de la 3 la 9 puncte inclusiv.

Soluţie: găsiți numărul total de rezultate:

Partea primului cub poate cădea în anumite moduri și fața celui de-al 2-lea cub poate cădea în anumite moduri; pe regula înmulțirii, Total: combinatii posibile. Cu alte cuvinte, fiecare fața primului cub poate fi ordonat cuplu cu fiecare fata celui de-al 2-lea cub. Să fim de acord să notăm o astfel de pereche în formular, unde este numărul eliminat pe primul zar, este numărul eliminat pe al 2-lea zar. De exemplu:

- primul zar are 3 puncte, al doilea - 5 puncte, suma punctelor: 3 + 5 = 8;
- pe primul zar s-au picat 6 puncte, pe al doilea - 1 punct, suma punctelor: 6 + 1 = 7;
- S-au aruncat 2 puncte pe ambele zaruri, suma: 2 + 2 = 4.

Evident, cea mai mică cantitate este dată de o pereche, iar cea mai mare - de două „șase”.

a) Luați în considerare evenimentul: - la aruncarea a două zaruri, se vor pierde 5 puncte. Să notăm și să calculăm numărul de rezultate care favorizează acest eveniment:

Total: 4 rezultate favorabile. Conform definiției clasice:
Este probabilitatea necesară.

b) Luați în considerare evenimentul: - nu se vor pierde mai mult de 4 puncte. Adică fie 2, fie 3, fie 4 puncte. Din nou, enumerăm și numărăm combinațiile favorabile, în stânga voi nota numărul total de puncte, iar după două puncte - perechi potrivite:

Total: 6 combinatii favorabile. Prin urmare:
- probabilitatea ca nu mai mult de 4 puncte să fie renunțate.

c) Luați în considerare evenimentul: - de la 3 la 9 puncte inclusiv vor fi renunțate. Aici poți lua o cale dreaptă, dar... nu vreau. Da, unele perechi au fost deja enumerate în paragrafele anterioare, dar mai este mult de făcut.

Care este cel mai bun mod de a proceda? În astfel de cazuri, un traseu giratoriu se dovedește a fi rațional. Considera eveniment opus: - Se vor extrage 2 sau 10 sau 11 sau 12 puncte.

Care e ideea? Evenimentul opus este favorizat de un număr semnificativ mai mic de perechi:

Total: 7 rezultate favorabile.

Conform definiției clasice:
- probabilitatea ca mai puțin de trei sau mai mult de 9 puncte să fie renunțate.

Pe lângă listarea directă și numărarea rezultatelor, diverse formule combinatorii... Și din nou, problema epică a liftului:

Problema 7

3 persoane au intrat în liftul clădirii de 20 de etaje de la primul etaj. Și plecăm. Găsiți probabilitatea ca:

a) vor ieși pe etaje diferite
b) doi ies la acelasi etaj;
c) toate ies la acelasi etaj.

Lecția noastră fascinantă s-a încheiat și, în cele din urmă, recomand încă o dată cu căldură, dacă nu să rezolvăm, atunci măcar să înțelegem probleme suplimentare privind determinarea clasică a probabilităţii... După cum am observat, contează și „umplutura de mână”!

Mai departe de-a lungul cursului - Definiția geometrică a probabilitățiiși Teoreme de adunare și înmulțire pentru probabilitățiși... norocul este principalul lucru!

Soluții și răspunsuri:

Obiectivul 2: Soluţie: 30 - 5 = 25 frigiderele nu sunt defecte.

- probabilitatea ca frigiderul ales să nu fie defect la întâmplare.
Răspuns :

Sarcina 4: Soluţie: găsiți numărul total de rezultate:
moduri în care puteți alege locul în care se află figura discutabilă iar pe fiecare dintre aceste 4 locuri se pot localiza 2 numere (șapte sau opt). Conform regulii înmulțirii combinațiilor, numărul total de rezultate este: .
Alternativ, în soluție, puteți enumera pur și simplu toate rezultatele (din fericire, nu sunt multe dintre ele):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Un rezultat favorabil (codul PIN corect).
Astfel, după definiția clasică:
- probabilitatea ca abonatul să fie autorizat din prima încercare
Răspuns :

Sarcina 6: Soluţie: găsiți numărul total de rezultate:
numerele de pe 2 zaruri pot cădea în anumite moduri.

a) Luați în considerare evenimentul: - la aruncarea a două zaruri, produsul punctelor va fi egal cu șapte. Pentru acest eveniment, nu există rezultate favorabile, conform definiției clasice a probabilității:
, adică acest eveniment este imposibil.

b) Luați în considerare un eveniment: - la aruncarea a două zaruri, produsul punctelor va fi de cel puțin 20. Acest eveniment este favorizat de următoarele rezultate:

Total: 8
Conform definiției clasice:
Este probabilitatea necesară.

c) Luați în considerare evenimentele opuse:
- produsul punctelor va fi par;
- produsul punctelor va fi impar.
Să enumerăm toate rezultatele favorabile evenimentului:

Total: 9 rezultate favorabile.
Conform definiției clasice a probabilității:
Evenimentele opuse formează un grup complet, prin urmare:
Este probabilitatea necesară.

Răspuns :

Sarcina 8: Soluţie: calculați numărul total de rezultate: 10 monede pot cădea în anumite moduri.
Alt mod: prima monedă poate cădea în anumite moduri și moduri în care a doua monedă poate cădea și … și moneda a 10-a poate cădea în anumite moduri. Conform regulii înmulțirii combinațiilor, pot cădea 10 monede moduri.
a) Luați în considerare evenimentul: - capete capete pe toate monedele. Acest eveniment este favorizat de singurul rezultat, conform definiției clasice a probabilității:.
b) Luați în considerare evenimentul: - 9 monede vor cădea cap, și una - cozi.
Există monede care pot veni în cozi. Conform definiției clasice a probabilității: .
c) Luați în considerare evenimentul: - capete capete pe jumătate din monede.
Există combinații unice de cinci monede pe care pot cădea capete. Conform definiției clasice a probabilității:
Răspuns :